روش گاوسی توضیح واضحی است. روش گاوس، توضیحات من

دو سیستم معادلات خطی در صورتی معادل نامیده می شوند که مجموعه تمام جواب های آنها بر هم منطبق باشد.

تبدیل های اولیه یک سیستم معادلات عبارتند از:

1. حذف معادلات بی اهمیت از سیستم، به عنوان مثال. آنهایی که تمام ضرایب آنها برابر با صفر است.
2. ضرب هر معادله در عددی غیر از صفر؛
3. افزودن به هر معادله i هر معادله j ام ضرب در هر عدد.

اگر این متغیر مجاز نباشد، یک متغیر x i آزاد نامیده می شود، اما کل سیستم معادلات مجاز است.

قضیه. تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات را به یک معادل تبدیل می کند.

منظور از روش گاوسی تبدیل سیستم معادلات اولیه و به دست آوردن یک سیستم معادل حل شده یا معادل ناسازگار است.

بنابراین، روش گاوسی شامل مراحل زیر است:

1. بیایید به معادله اول نگاه کنیم. بیایید اولین ضریب غیر صفر را انتخاب کنیم و کل معادله را بر آن تقسیم کنیم. معادله ای به دست می آوریم که در آن مقداری از متغیر x i با ضریب 1 وارد می شود.
2. بیایید این معادله را از بقیه کم کنیم و آن را در اعدادی ضرب کنیم که ضرایب متغیر x i در معادلات باقیمانده صفر شود. ما یک سیستم حل شده با توجه به متغیر x i و معادل سیستم اصلی بدست می آوریم.
3. اگر معادلات جزئی بوجود آیند (به ندرت، اما این اتفاق می افتد؛ به عنوان مثال، 0 = 0)، ما آنها را از سیستم عبور می دهیم. در نتیجه، یک معادله کمتر وجود دارد.
4. مراحل قبلی را بیش از n بار تکرار نمی کنیم که n تعداد معادلات سیستم است. هر بار که متغیر جدیدی را برای "پردازش" انتخاب می کنیم. اگر معادلات ناسازگاری به وجود آید (مثلاً 8 = 0)، سیستم ناسازگار است.

در نتیجه، پس از چند مرحله، یا یک سیستم حل شده (احتمالاً با متغیرهای آزاد) یا یک سیستم ناسازگار به دست خواهیم آورد. سیستم های مجاز به دو حالت تقسیم می شوند:

1. تعداد متغیرها برابر با تعداد معادلات است. این بدان معناست که سیستم تعریف شده است.
2. تعداد متغیرها بیشتر از تعداد معادلات است. ما تمام متغیرهای رایگان سمت راست را جمع آوری می کنیم - فرمول هایی را برای متغیرهای مجاز دریافت می کنیم. این فرمول ها در پاسخ نوشته شده است.

همین! سیستم معادلات خطی حل شد! این یک الگوریتم نسبتاً ساده است و برای تسلط بر آن نیازی نیست با معلم ریاضی بالاتر تماس بگیرید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

وظیفه. حل سیستم معادلات:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنید - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
2. ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم و معادله سوم را بر (-3) تقسیم می کنیم - دو معادله بدست می آوریم که در آن متغیر x 2 با ضریب 1 وارد می شود.
3. معادله دوم را به معادله اول اضافه می کنیم و از معادله سوم کم می کنیم. متغیر مجاز x 2 را دریافت می کنیم.
4. در نهایت، معادله سوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 3 را دریافت می کنیم.
5. ما یک سیستم تایید شده دریافت کرده ایم، پاسخ را یادداشت کنید.

راه‌حل کلی یک سیستم معادلات خطی همزمان، یک سیستم جدید معادل نسخه اصلی است که در آن همه متغیرهای مجاز بر حسب متغیرهای آزاد بیان می‌شوند.

چه زمانی ممکن است به یک راه حل کلی نیاز باشد؟ اگر باید مراحل کمتری از k انجام دهید (k تعداد معادلات است). با این حال، دلایلی که چرا این فرآیند در مرحله 1 به پایان می رسد< k , может быть две:

1. بعد از مرحله دوم، سیستمی به دست آوردیم که دارای معادله ای با عدد (l + 1) نیست. در واقع این خوب است، زیرا ... سیستم مجاز هنوز به دست آمده است - حتی چند قدم زودتر.
2. بعد از مرحله دوم معادله ای به دست می آید که در آن همه ضرایب متغیرها برابر با صفر هستند و ضریب آزاد با صفر متفاوت است. این یک معادله متناقض است، و بنابراین، سیستم ناسازگار است.

درک این نکته مهم است که پیدایش یک معادله ناسازگار با استفاده از روش گاوسی مبنای کافی برای ناسازگاری است. در همان زمان، ما توجه می کنیم که در نتیجه گام دوم، هیچ معادله بی اهمیتی نمی تواند باقی بماند - همه آنها درست در این فرآیند خط زده می شوند.

شرح مراحل:

1. معادله اول ضربدر 4 را از معادله دوم کم کنید. ما همچنین اولین معادله را به معادله سوم اضافه می کنیم - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
2. معادله سوم ضرب در 2 را از دومی کم کنید - معادله متناقض 0 = -5 را دریافت می کنیم.

بنابراین، سیستم ناسازگار است زیرا یک معادله ناسازگار کشف شده است.

وظیفه. سازگاری را بررسی کنید و یک راه حل کلی برای سیستم پیدا کنید:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از دومی (پس از ضرب در دو) و سومی کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
2. معادله دوم را از معادله سوم کم کنید. از آنجایی که همه ضرایب در این معادلات یکسان هستند، معادله سوم بی اهمیت می شود. در همان زمان، معادله دوم را در (-1) ضرب کنید.
3. دومی را از معادله اول کم کنید - متغیر مجاز x 2 را بدست می آوریم. کل سیستم معادلات هم اکنون حل شده است.
4. از آنجایی که متغیرهای x 3 و x 4 آزاد هستند، برای بیان متغیرهای مجاز آنها را به سمت راست منتقل می کنیم. این پاسخ است.

بنابراین، سیستم سازگار و نامشخص است، زیرا دو متغیر مجاز (x 1 و x 2) و دو متغیر آزاد (x 3 و x 4) وجود دارد.

1. سیستم معادلات جبری خطی

1.1 مفهوم سیستم معادلات جبری خطی

سیستم معادلات شرایطی است که شامل اجرای همزمان چندین معادله با توجه به چندین متغیر است. سیستمی از معادلات جبری خطی (از این پس SLAE نامیده می شود) که حاوی m معادلات و n مجهول است، سیستمی به شکل نامیده می شود:

که در آن اعداد a ij ضرایب سیستم نامیده می شوند، اعداد b i اصطلاحات آزاد نامیده می شوند. یک ijو b i(i=1,…, m؛ b=1,…, n) برخی از اعداد شناخته شده را نشان می دهد و x 1،…، x n- ناشناخته. در تعیین ضرایب یک ijشاخص اول i تعداد معادله را نشان می دهد و j دوم تعداد مجهولی است که این ضریب در آن قرار دارد. اعداد x n باید پیدا شوند. نوشتن چنین سیستمی به شکل ماتریس فشرده راحت است: AX=B.در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم است که ماتریس اصلی نامیده می شود.

– بردار ستون مجهولات xj.
بردار ستونی از عبارات آزاد bi است.

حاصل ضرب ماتریس های A*X تعریف می شود، زیرا در ماتریس A به تعداد سطر در ماتریس X (n قطعه) ستون وجود دارد.

ماتریس توسعه یافته یک سیستم، ماتریس A سیستم است که با ستونی از عبارت های آزاد تکمیل می شود

1.2 حل سیستم معادلات جبری خطی

راه حل یک سیستم معادلات، مجموعه منظمی از اعداد (مقادیر متغیرها) است که هنگام جایگزینی آنها به جای متغیرها، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

راه حل یک سیستم n مقدار مجهولات x1=c1, x2=c2,…, xn=cn است که با جایگزینی آن همه معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. هر راه حلی برای سیستم می تواند به عنوان یک ماتریس ستونی نوشته شود

سیستم معادلات اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر هیچ جوابی نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.

به یک سیستم ثابت گفته می شود که اگر یک راه حل داشته باشد معین است و اگر بیش از یک راه حل داشته باشد نامشخص است. در مورد اخیر، هر یک از راه حل های آن، یک راه حل خاص سیستم نامیده می شود. به مجموعه تمام راه حل های خاص، راه حل کلی می گویند.

حل یک سیستم به معنای یافتن سازگاری یا ناسازگاری آن است. اگر سیستم سازگار است، راه حل کلی آن را پیدا کنید.

دو سیستم اگر راه حل کلی یکسانی داشته باشند معادل (معادل) نامیده می شوند. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس.

تبدیلی که اعمال آن یک سیستم را به یک سیستم جدید معادل با سیستم اصلی تبدیل می کند، تبدیل معادل یا معادل نامیده می شود. مثال‌هایی از تبدیل‌های معادل شامل تبدیل‌های زیر است: مبادله دو معادله یک سیستم، مبادله دو مجهول به همراه ضرایب همه معادلات، ضرب هر دو طرف هر معادله یک سیستم در عددی غیر صفر.

یک سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود که تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا x1=x2=x3=…=xn=0 راه حلی از سیستم است. این راه حل صفر یا بی اهمیت نامیده می شود.

2. روش حذف گاوسی

2.1 ماهیت روش حذف گاوسی

روش کلاسیک برای حل سیستم های معادلات جبری خطی روش حذف متوالی مجهولات است - روش گاوسی(به آن روش حذف گاوسی نیز گفته می شود). این یک روش حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک شکل پله ای (یا مثلثی) کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، که از آخرین (توسط) شروع می شود. تعداد) متغیرها

فرآیند حل با استفاده از روش گاوسی شامل دو مرحله است: حرکت به جلو و عقب.

1. سکته مستقیم.

در مرحله اول، به اصطلاح حرکت مستقیم انجام می شود، زمانی که از طریق دگرگونی های ابتدایی روی ردیف ها، سیستم به شکل پلکانی یا مثلثی در می آید و یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر را انتخاب کنید، با مرتب کردن مجدد سطرها، آن را به بالاترین موقعیت منتقل کنید و سطر اول حاصل را از سطرهای باقیمانده پس از تنظیم مجدد کم کنید و آن را در یک مقدار ضرب کنید. برابر با نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به اولین عنصر ردیف اول است، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند.

پس از تکمیل این تبدیل‌ها، سطر اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده می‌شوند و تا زمانی که یک ماتریس صفر باقی بماند ادامه می‌یابد. اگر در هر تکرار هیچ عنصر غیر صفر در بین عناصر ستون اول وجود نداشت، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.

در مرحله اول (سکته مغزی مستقیم)، سیستم به شکل پلکانی (به ویژه مثلثی) کاهش می یابد.

سیستم زیر دارای فرم گام به گام است:

,

ضرایب aii عناصر اصلی (پیشرو) سیستم نامیده می شوند.

(اگر a11=0، ردیف های ماتریس را طوری مرتب کنید که آ 11 برابر 0 نبود. این همیشه ممکن است، زیرا در غیر این صورت ماتریس حاوی یک ستون صفر است، تعیین کننده آن برابر با صفر است و سیستم ناسازگار است).

بیایید سیستم را با حذف مجهول x1 در همه معادلات به جز معادله اول (با استفاده از تبدیل های ابتدایی سیستم) تبدیل کنیم. برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید

و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید (یا از معادله دوم جمله به جمله را در عدد اول تفریق کنید، ضربدر ). سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کرده و به معادله سوم سیستم اضافه می کنیم (یا از سومین معادله اول را در عدد کم می کنیم). بنابراین، خط اول را به ترتیب در یک عدد ضرب می کنیم و به آن اضافه می کنیم منخط هفتم، برای i= 2, 3, …,n

با ادامه این فرآیند، یک سیستم معادل به دست می آوریم:

- مقادیر جدید ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد در آخرین معادلات m-1 سیستم که با فرمول تعیین می شود:

بنابراین، در مرحله اول، تمام ضرایب موجود در زیر اولین عنصر اصلی a 11 از بین می روند

0، در مرحله دوم عناصری که در زیر عنصر اصلی دوم a 22 (1) قرار دارند از بین می روند (اگر 22 (1) 0 باشد) و غیره. با ادامه این روند، در نهایت در مرحله (m-1) سیستم اصلی را به یک سیستم مثلثی کاهش می دهیم.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات صفر ظاهر شوند، یعنی. برابری‌های شکل 0=0، کنار گذاشته می‌شوند. اگر معادله ای از فرم ظاهر شود

سپس این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

اینجاست که پیشرفت مستقیم روش گاوس به پایان می رسد.

2. سکته مغزی معکوس.

در مرحله دوم، به اصطلاح حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان همه متغیرهای اساسی به دست آمده بر حسب متغیرهای غیر اساسی و ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها است، یا اگر همه متغیرها پایه باشند. ، سپس تنها جواب سیستم معادلات خطی را به صورت عددی بیان کنید.

این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر پایه مربوطه بیان می شود (فقط یک عدد در آن وجود دارد) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب "پله ها" را بالا می برد.

هر خط دقیقاً مربوط به یک متغیر پایه است، بنابراین در هر مرحله به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد خط آخر را تکرار می کند.

توجه: در عمل، راحت تر است که نه با سیستم، بلکه با ماتریس توسعه یافته آن کار کنید و تمام تبدیلات اولیه را در ردیف های آن انجام دهید. راحت است که ضریب a11 برابر با 1 باشد (معادلات را دوباره مرتب کنید یا هر دو طرف معادله را بر a11 تقسیم کنید).

2.2 نمونه هایی از حل SLAE با استفاده از روش گاوسی

در این بخش با استفاده از سه مثال مختلف نشان خواهیم داد که چگونه روش گاوسی می تواند SLAE ها را حل کند.

مثال 1. یک SLAE مرتبه سوم را حل کنید.

بیایید ضرایب را تنظیم مجدد کنیم

در خط دوم و سوم برای انجام این کار، آنها را به ترتیب در 2/3 و 1 ضرب کنید و به خط اول اضافه کنید:

در این مقاله روش به عنوان روشی برای حل سیستم های معادلات خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است. این روش تحلیلی است، یعنی به شما امکان می دهد یک الگوریتم راه حل را به شکل کلی بنویسید و سپس مقادیری را از نمونه های خاص در آنجا جایگزین کنید. برخلاف روش ماتریسی یا فرمول‌های کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس، می‌توانید با آن‌هایی که تعداد جواب‌های نامحدود دارند نیز کار کنید. یا اصلاً ندارند.

حل با استفاده از روش گاوسی به چه معناست؟

ابتدا باید سیستم معادلات خود را در It به نظر می رسد بنویسیم. سیستم را بگیرید:

ضرایب به صورت جدول و عبارت های آزاد در ستونی جداگانه در سمت راست نوشته می شوند. ستون با شرایط آزاد برای راحتی از هم جدا شده است.

در مرحله بعد، ماتریس اصلی با ضرایب باید به شکل مثلث بالایی کاهش یابد. این نکته اصلی حل سیستم با استفاده از روش گاوسی است. به عبارت ساده، پس از دستکاری های خاص، ماتریس باید به گونه ای باشد که قسمت پایین سمت چپ آن فقط صفر داشته باشد:

سپس، اگر دوباره ماتریس جدید را به عنوان یک سیستم معادلات بنویسید، متوجه خواهید شد که آخرین ردیف قبلاً حاوی مقدار یکی از ریشه ها است که سپس به معادله بالا جایگزین می شود، ریشه دیگری پیدا می شود و غیره.

این توضیحی از راه حل با روش گاوسی در کلی ترین عبارات است. اگر ناگهان سیستم راه حلی نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ یا تعداد آنها بی نهایت زیاد است؟ برای پاسخ به این سؤالات و بسیاری از سؤالات دیگر، لازم است تمام عناصر مورد استفاده در حل روش گاوسی را به طور جداگانه در نظر بگیریم.

ماتریس ها، خواص آنها

هیچ معنای پنهانی در ماتریس وجود ندارد. این به سادگی یک راه راحت برای ثبت داده ها برای عملیات بعدی با آن است. حتی بچه های مدرسه هم نیازی به ترس از آنها ندارند.

ماتریس همیشه مستطیل شکل است، زیرا راحت تر است. حتی در روش گاوس، جایی که همه چیز به ساختن یک ماتریس مثلثی ختم می‌شود، یک مستطیل در ورودی ظاهر می‌شود، فقط با صفر در جایی که اعداد وجود ندارد. صفرها ممکن است نوشته نشوند، اما ضمنی هستند.

ماتریس یک اندازه دارد. "عرض" آن تعداد ردیف ها (m) و "طول" تعداد ستون ها (n) است. سپس اندازه ماتریس A (معمولاً از حروف بزرگ لاتین برای نشان دادن آنها استفاده می شود) به صورت A m×n نشان داده می شود. اگر m=n، این ماتریس مربع است و m=n ترتیب آن است. بر این اساس، هر عنصر ماتریس A را می توان با شماره ردیف و ستون آن نشان داد: a xy ; x - شماره ردیف، تغییرات، y - شماره ستون، تغییرات.

B نقطه اصلی تصمیم گیری نیست. در اصل، تمام عملیات را می توان مستقیماً با خود معادلات انجام داد، اما نمادگذاری بسیار دست و پا گیرتر خواهد بود و در آن گیج شدن بسیار آسان تر خواهد بود.

تعیین کننده

ماتریس یک تعیین کننده نیز دارد. این یک ویژگی بسیار مهم است. اکنون نیازی به یافتن معنای آن نیست، می توانید به سادگی نشان دهید که چگونه محاسبه می شود و سپس بگویید که چه ویژگی هایی از ماتریس تعیین می کند. ساده ترین راه برای یافتن دترمینال از طریق قطرها است. مورب های خیالی در ماتریس رسم می شوند. عناصر واقع در هر یک از آنها ضرب می شوند و سپس محصولات حاصل اضافه می شوند: مورب با شیب به سمت راست - با علامت مثبت، با شیب به سمت چپ - با علامت منفی.

توجه به این نکته بسیار مهم است که تعیین کننده فقط برای یک ماتریس مربع قابل محاسبه است. برای یک ماتریس مستطیلی، می توانید کارهای زیر را انجام دهید: از بین تعداد سطرها و تعداد ستون ها کوچکترین را انتخاب کنید (بگذارید k باشد)، و سپس به طور تصادفی k ستون و k ردیف را در ماتریس علامت گذاری کنید. عناصر در تقاطع ستون ها و ردیف های انتخاب شده یک ماتریس مربع جدید را تشکیل می دهند. اگر تعیین کننده چنین ماتریسی یک عدد غیر صفر باشد، آن را پایه مینور ماتریس مستطیلی اصلی می نامند.

قبل از شروع حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی، محاسبه دترمینان ضرری ندارد. اگر معلوم شد که صفر است، بلافاصله می توانیم بگوییم که ماتریس یا تعداد بی نهایت راه حل دارد یا اصلاً هیچ کدام. در چنین مورد غم انگیز، شما باید بیشتر بروید و از رتبه ماتریس مطلع شوید.

طبقه بندی سیستم

چیزی به نام رتبه یک ماتریس وجود دارد. این حداکثر مرتبه تعیین کننده غیر صفر آن است (اگر پایه مینور را به خاطر بسپاریم، می توانیم بگوییم که رتبه یک ماتریس ترتیب پایه مینور است).

بر اساس موقعیت با رتبه، SLAE را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

• مشترک. Uدر سیستم های مشترک، رتبه ماتریس اصلی (شامل فقط ضرایب) با رتبه ماتریس توسعه یافته (با ستونی از عبارت های آزاد) منطبق است. چنین سیستم هایی یک راه حل دارند، اما نه لزوما یک راه حل، بنابراین سیستم های مشترک علاوه بر این به موارد زیر تقسیم می شوند:
• - مسلم - قطعی- داشتن یک راه حل واحد در سیستم های خاص، رتبه ماتریس و تعداد مجهولات (یا تعداد ستون ها که یکسان است) برابر است.
• - تعریف نشده -با تعداد بی نهایت راه حل رتبه ماتریس ها در چنین سیستم هایی کمتر از تعداد مجهولات است.
• ناسازگار. Uدر چنین سیستم‌هایی، رتبه‌های ماتریس اصلی و توسعه‌یافته بر هم منطبق نیستند. سیستم های ناسازگار راه حلی ندارند.

روش گاوس خوب است زیرا در حین حل به فرد اجازه می دهد یا یک اثبات روشن از ناسازگاری سیستم (بدون محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ) به دست آورد یا یک راه حل به شکل کلی برای سیستمی با تعداد بی نهایت راه حل.

تحولات ابتدایی

قبل از اینکه مستقیماً به حل سیستم بپردازید، می توانید آن را برای محاسبات کمتر و راحت تر کنید. این از طریق دگرگونی های ابتدایی حاصل می شود - به گونه ای که اجرای آنها به هیچ وجه پاسخ نهایی را تغییر نمی دهد. لازم به ذکر است که برخی از تبدیل های ابتدایی داده شده فقط برای ماتریس هایی معتبر هستند که SLAE به عنوان منبع برای آنها عمل کرده است. در اینجا لیستی از این تحولات آمده است:

1. تنظیم مجدد خطوط بدیهی است که اگر ترتیب معادلات را در رکورد سیستم تغییر دهید، این امر به هیچ وجه روی جواب تاثیری نخواهد داشت. در نتیجه، ردیف‌های ماتریس این سیستم را نیز می‌توان تعویض کرد، البته ستون عبارت‌های آزاد را فراموش نکردیم.
2. ضرب تمام عناصر یک رشته در یک ضریب معین. بسیار مفید! می توان از آن برای کاهش اعداد بزرگ در یک ماتریس یا حذف صفرها استفاده کرد. بسیاری از تصمیمات، طبق معمول، تغییر نخواهند کرد، اما عملیات بعدی راحت تر خواهد شد. نکته اصلی این است که ضریب برابر با صفر نیست.
3. حذف ردیف هایی با فاکتورهای متناسب. این تا حدی از پاراگراف قبل ناشی می شود. اگر دو یا چند ردیف در یک ماتریس دارای ضرایب متناسب باشند، آنگاه وقتی یکی از سطرها بر ضریب تناسب ضرب/تقسیم شد، دو (یا دوباره، بیشتر) سطرهای کاملاً یکسان به دست می‌آیند، و ردیف‌های اضافی را می‌توان حذف کرد. فقط یکی
4. حذف یک خط پوچ اگر در حین تبدیل، ردیفی در جایی به دست آید که در آن همه عناصر، از جمله عضو آزاد، صفر باشند، آنگاه می توان چنین ردیفی را صفر نامید و از ماتریس خارج کرد.
5. افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر (در ستون های مربوطه)، ضرب در یک ضریب خاص. نامشخص ترین و مهم ترین تحول از همه. ارزش آن را دارد که با جزئیات بیشتری در مورد آن صحبت کنیم.

اضافه کردن یک رشته ضرب در یک ضریب

برای سهولت درک، ارزش آن را دارد که این فرآیند را مرحله به مرحله تجزیه کنیم. دو ردیف از ماتریس گرفته شده است:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ب 2

فرض کنید باید اولی را به دومی اضافه کنید، ضربدر ضریب "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

سپس ردیف دوم در ماتریس با یک ردیف جدید جایگزین می شود و ردیف اول بدون تغییر باقی می ماند.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

لازم به ذکر است که ضریب ضرب را می توان به گونه ای انتخاب کرد که در نتیجه جمع دو ردیف، یکی از عناصر ردیف جدید برابر با صفر شود. بنابراین، می توان معادله ای را در سیستمی به دست آورد که در آن یک مجهول کمتر وجود داشته باشد. و اگر دو معادله از این قبیل بدست آورید، می توان عملیات را دوباره انجام داد و معادله ای به دست آورد که حاوی دو مجهول کمتر باشد. و اگر هر بار یک ضریب از تمام ردیف هایی که زیر یک اصلی هستند را به صفر تبدیل کنید، می توانید مانند پله ها تا انتهای ماتریس پایین بروید و معادله ای با یک مجهول بدست آورید. به این می گویند حل سیستم با استفاده از روش گاوسی.

به طور کلی

بگذار یک سیستم وجود داشته باشد. دارای m معادله و n ریشه مجهول است. می توانید آن را به صورت زیر بنویسید:

ماتریس اصلی از ضرایب سیستم کامپایل شده است. ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس توسعه یافته اضافه می شود و برای راحتی، با یک خط از هم جدا می شود.

• ردیف اول ماتریس با ضریب k = (-a 21 /a 11) ضرب می شود.
• اولین ردیف اصلاح شده و ردیف دوم ماتریس اضافه می شوند.
• به جای ردیف دوم، نتیجه اضافه از پاراگراف قبلی در ماتریس درج می شود.
• اکنون ضریب اول در ردیف دوم جدید 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 است.

اکنون همان سری تبدیل ها انجام می شود، فقط ردیف اول و سوم درگیر است. بر این اساس، در هر مرحله از الگوریتم، عنصر a 21 با یک 31 جایگزین می شود. سپس همه چیز برای 41، ... a m1 تکرار می شود. نتیجه ماتریسی است که در آن اولین عنصر در ردیف ها صفر است. اکنون باید خط شماره یک را فراموش کنید و همان الگوریتم را از خط دو شروع کنید:

• ضریب k = (-a 32 /a 22);
• دومین خط اصلاح شده به خط "جاری" اضافه می شود.
• نتیجه اضافه به خطوط سوم، چهارم و غیره جایگزین می شود، در حالی که اولین و دومین بدون تغییر باقی می مانند.
• در ردیف های ماتریس دو عنصر اول از قبل برابر با صفر هستند.

الگوریتم باید تا زمانی که ضریب k = (-a m,m-1 /a mm) ظاهر شود تکرار شود. یعنی آخرین باری که الگوریتم اجرا شده فقط برای معادله پایینی بوده است. اکنون ماتریس شبیه یک مثلث است یا شکل پلکانی دارد. در خط پایین برابری a mn × x n = b m وجود دارد. ضریب و جمله آزاد مشخص هستند و ریشه از طریق آنها بیان می شود: x n = b m /a mn. ریشه حاصل در خط بالایی جایگزین می شود تا x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. و به همین ترتیب بر اساس قیاس: در هر خط بعدی یک ریشه جدید وجود دارد و با رسیدن به "بالای" سیستم ، می توانید راه حل های زیادی پیدا کنید. تنها خواهد بود.

زمانی که هیچ راه حلی وجود ندارد

اگر در یکی از ردیف های ماتریس، همه عناصر به جز جمله آزاد برابر با صفر باشند، معادله مربوط به این ردیف مانند 0 = b به نظر می رسد. راه حلی ندارد. و از آنجایی که چنین معادله ای در سیستم گنجانده شده است، پس مجموعه راه حل های کل سیستم خالی است، یعنی منحط است.

هنگامی که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد

ممکن است در ماتریس مثلثی داده شده هیچ ردیفی با یک عنصر ضریب معادله و یک جمله آزاد وجود نداشته باشد. فقط خطوطی هستند که وقتی بازنویسی شوند، شبیه معادله ای با دو یا چند متغیر به نظر می رسند. این بدان معنی است که سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. در این صورت می توان پاسخ را در قالب یک راه حل کلی داد. چگونه انجامش بدهیم؟

تمامی متغیرهای ماتریس به دو دسته اصلی و آزاد تقسیم می شوند. موارد اساسی آنهایی هستند که "در لبه" ردیف ها در ماتریس گام قرار دارند. بقیه رایگان هستند. در حل کلی، متغیرهای پایه از طریق متغیرهای آزاد نوشته می شوند.

برای راحتی، ماتریس ابتدا در یک سیستم معادلات بازنویسی می شود. سپس در آخرین آنها، جایی که دقیقاً فقط یک متغیر اساسی باقی مانده است، در یک طرف باقی می ماند و بقیه چیزها به طرف دیگر منتقل می شود. این برای هر معادله با یک متغیر اساسی انجام می شود. سپس در معادلات باقی مانده، در صورت امکان، عبارت به دست آمده برای آن به جای متغیر پایه جایگزین می شود. اگر نتیجه مجدداً عبارتی باشد که فقط یک متغیر اساسی داشته باشد، دوباره از آنجا بیان می شود و به همین ترتیب تا زمانی که هر متغیر پایه به صورت عبارتی با متغیرهای آزاد نوشته شود. این راه حل کلی SLAE است.

شما همچنین می توانید راه حل اساسی سیستم را پیدا کنید - به متغیرهای رایگان هر مقداری بدهید و سپس برای این مورد خاص مقادیر متغیرهای اساسی را محاسبه کنید. تعداد بی نهایت راه حل خاصی وجود دارد که می توان ارائه داد.

راه حل با مثال های خاص

در اینجا یک سیستم معادلات است.

برای راحتی، بهتر است بلافاصله ماتریس آن را ایجاد کنید

مشخص است که هنگام حل با روش گاوسی، معادله مربوط به ردیف اول در پایان تبدیل ها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اگر عنصر سمت چپ بالای ماتریس کوچکترین باشد، سود بیشتری خواهد داشت - سپس اولین عناصر ردیف های باقی مانده پس از عملیات به صفر تبدیل می شوند. این بدان معنی است که در ماتریس کامپایل شده، قرار دادن ردیف دوم به جای ردیف اول سودمند خواهد بود.

خط دوم: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

خط سوم: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

حال، برای اینکه گیج نشوید، باید یک ماتریس با نتایج میانی تبدیل ها بنویسید.

بدیهی است که چنین ماتریسی را می توان با استفاده از عملیات خاص برای درک راحت تر کرد. به عنوان مثال، می توانید با ضرب هر عنصر در "-1" تمام "منهای" را از خط دوم حذف کنید.

همچنین شایان ذکر است که در خط سوم همه عناصر مضرب سه هستند. سپس می توانید رشته را با این عدد کوتاه کنید و هر عنصر را در "-1/3" ضرب کنید (منهای - در همان زمان، برای حذف مقادیر منفی).

خیلی قشنگتر به نظر میرسه حالا باید خط اول را به حال خود رها کنیم و با خط دوم و سوم کار کنیم. وظیفه این است که خط دوم را به خط سوم اضافه کنیم، در چنین ضریبی ضرب کنیم که عنصر a 32 برابر با صفر شود.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (اگر در طول برخی از تبدیل ها پاسخ یک عدد صحیح نشد، توصیه می شود دقت محاسبات را حفظ کنید تا ترک کنید. آن را "همانطور که هست" به شکل یک کسر معمولی، و تنها پس از دریافت پاسخ، تصمیم بگیرید که آیا گرد کنید و به شکل دیگری از ضبط تبدیل کنید)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

ماتریس دوباره با مقادیر جدید نوشته می شود.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

همانطور که می بینید، ماتریس حاصل از قبل یک فرم پلکانی دارد. بنابراین، تغییرات بیشتر سیستم با استفاده از روش گاوسی مورد نیاز نیست. کاری که در اینجا می توانید انجام دهید این است که ضریب کلی "-1/7" را از خط سوم حذف کنید.

حالا همه چیز زیباست. تنها کاری که باید انجام دهید این است که دوباره ماتریس را به شکل یک سیستم معادلات بنویسید و ریشه ها را محاسبه کنید.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

الگوریتمی که اکنون ریشه ها توسط آن پیدا می شوند، در روش گاوسی حرکت معکوس نامیده می شود. معادله (3) حاوی مقدار z است:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

و معادله اول به ما امکان می دهد x را پیدا کنیم:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

ما حق داریم چنین سیستمی را مشترک و حتی قطعی بنامیم، یعنی داشتن راه حل منحصر به فرد. پاسخ به شکل زیر نوشته شده است:

x 1 = -2/3، y = -65/9، z = 61/9.

نمونه ای از یک سیستم نامطمئن

نوع حل یک سیستم خاص با استفاده از روش گاوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

ظاهر سیستم قبلاً هشدار دهنده است ، زیرا تعداد مجهولات n = 5 است و رتبه ماتریس سیستم قبلاً دقیقاً کمتر از این عدد است ، زیرا تعداد ردیف ها m = 4 است ، یعنی بزرگترین ترتیب مربع تعیین کننده 4 است. این به این معنی است که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد و شما باید به دنبال ظاهر کلی آن باشید. روش گاوس برای معادلات خطی این امکان را به شما می دهد.

ابتدا، طبق معمول، یک ماتریس توسعه یافته کامپایل می شود.

خط دوم: ضریب k = (-a 21 /a 11) = -3. در خط سوم، اولین عنصر قبل از تبدیل است، بنابراین نیازی نیست چیزی را لمس کنید، باید آن را همانطور که هست رها کنید. خط چهارم: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

با ضرب عناصر ردیف اول در هر یک از ضرایب آنها و جمع آنها به ردیف های مورد نیاز، ماتریسی به شکل زیر به دست می آید:

همانطور که می بینید، ردیف های دوم، سوم و چهارم از عناصر متناسب با یکدیگر تشکیل شده اند. دوم و چهارم به طور کلی یکسان هستند، بنابراین یکی از آنها را می توان بلافاصله حذف کرد، و باقی مانده را می توان در ضریب "-1" ضرب کرد و خط شماره 3 را به دست آورد. و دوباره، از دو خط یکسان، یکی را رها کنید.

نتیجه ماتریسی مانند این است. در حالی که سیستم هنوز نوشته نشده است، لازم است متغیرهای اساسی را در اینجا تعیین کنید - آنهایی که در ضرایب 11 = 1 و 22 = 1 ایستاده اند، و متغیرهای آزاد - بقیه.

در معادله دوم فقط یک متغیر اساسی وجود دارد - x 2. به این معنی که می توان آن را از آنجا با نوشتن آن از طریق متغیرهای x 3 , x 4 , x 5 که آزاد هستند بیان کرد.

عبارت به دست آمده را در معادله اول جایگزین می کنیم.

نتیجه معادله ای است که در آن تنها متغیر اصلی x 1 است. بیایید همان کار را با x 2 انجام دهیم.

همه متغیرهای اساسی که دو تا از آنها وجود دارد، بر حسب سه متغیر آزاد بیان شده اند.

همچنین می توانید یکی از راه حل های خاص سیستم را مشخص کنید. برای چنین مواردی معمولاً صفرها به عنوان مقادیر متغیرهای آزاد انتخاب می شوند. سپس پاسخ این خواهد بود:

16, 23, 0, 0, 0.

نمونه ای از سیستم غیر تعاونی

حل سیستم های معادلات ناسازگار با استفاده از روش گاوس سریع ترین است. به محض اینکه در یکی از مراحل معادله ای به دست می آید که جواب ندارد، بلافاصله پایان می یابد. یعنی مرحله محاسبه ریشه که کاملا طولانی و خسته کننده است حذف می شود. سیستم زیر در نظر گرفته شده است:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

طبق معمول، ماتریس کامپایل می شود:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

و به شکل گام به گام کاهش می یابد:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

پس از اولین تبدیل، خط سوم شامل یک معادله از فرم است

بدون راه حل در نتیجه، سیستم ناسازگار است و پاسخ مجموعه خالی خواهد بود.

مزایا و معایب روش

اگر روشی را برای حل SLAE روی کاغذ با قلم انتخاب کنید، روشی که در این مقاله مورد بحث قرار گرفت جذاب ترین به نظر می رسد. گیج شدن در تبدیل های ابتدایی بسیار دشوارتر از این است که مجبور باشید به صورت دستی یک ماتریس معکوس تعیین کننده یا معکوس را جستجو کنید. با این حال، اگر از برنامه هایی برای کار با داده هایی از این نوع، به عنوان مثال، صفحات گسترده استفاده می کنید، معلوم می شود که چنین برنامه هایی قبلاً حاوی الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای اصلی ماتریس ها - تعیین کننده، جزئی، معکوس و غیره هستند. و اگر مطمئن هستید که ماشین خودش این مقادیر را محاسبه می کند و اشتباه نمی کند، بهتر است از روش ماتریس یا فرمول های کرامر استفاده کنید، زیرا کاربرد آنها با محاسبه تعیین کننده ها و ماتریس های معکوس شروع و پایان می یابد. .

کاربرد

از آنجایی که راه حل گاوسی یک الگوریتم است و ماتریس در واقع یک آرایه دو بعدی است، می توان از آن در برنامه نویسی استفاده کرد. اما از آنجایی که مقاله خود را به عنوان یک راهنمای "برای ساختگی ها" قرار می دهد، باید گفت که ساده ترین مکان برای قرار دادن روش در صفحات گسترده، به عنوان مثال، اکسل است. مجدداً، هر SLAE که به صورت ماتریس وارد جدول شود، توسط اکسل به عنوان یک آرایه دو بعدی در نظر گرفته می شود. و برای عملیات با آنها دستورات خوبی وجود دارد: جمع (شما فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید!)، ضرب در یک عدد، ضرب ماتریس ها (همچنین با محدودیت های خاص)، پیدا کردن ماتریس های معکوس و جابجا شده و از همه مهمتر ، محاسبه دترمینان. اگر این وظیفه وقت گیر با یک فرمان جایگزین شود، می توان رتبه ماتریس را با سرعت بیشتری تعیین کرد و بنابراین، سازگاری یا ناسازگاری آن را مشخص کرد.

روش گاوسی که روش حذف متوالی مجهولات نیز نامیده می شود به شرح زیر است. با استفاده از تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات خطی به شکلی در می آید که ماتریس ضرایب آن معلوم می شود ذوزنقه ای (همان مثلثی یا پلکانی) یا نزدیک به ذوزنقه (سکته مغزی مستقیم از روش گاوسی، از این پس - به سادگی سکته مغزی مستقیم). نمونه ای از چنین سیستمی و راه حل آن در شکل بالا آمده است.

در چنین سیستمی، آخرین معادله فقط شامل یک متغیر است و مقدار آن را می توان به طور واضح پیدا کرد. سپس مقدار این متغیر به معادله قبلی ( معکوس روش گاوسی ، سپس فقط برعکس)، که از آن متغیر قبلی پیدا می شود، و غیره.

همانطور که می بینیم در یک سیستم ذوزنقه ای (مثلثی)، معادله سوم دیگر دارای متغیر نیست. yو ایکس، و معادله دوم متغیر است ایکس .

پس از اینکه ماتریس سیستم به شکل ذوزنقه ای درآمد، دیگر درک موضوع سازگاری سیستم، تعیین تعداد راه حل ها و یافتن خود راه حل ها دشوار نیست.

مزایای روش:

1. هنگام حل سیستم های معادلات خطی با بیش از سه معادله و مجهولات، روش گاوس به اندازه روش کرامر دست و پا گیر نیست، زیرا حل با روش گاوس به محاسبات کمتری نیاز دارد.
2. روش گاوس می تواند سیستم های نامعین معادلات خطی را حل کند، یعنی یک جواب کلی داشته باشد (و در این درس آنها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد)، و با استفاده از روش کرامر، فقط می توانیم بیان کنیم که سیستم نامشخص است.
3. می توانید سیستم های معادلات خطی را حل کنید که در آنها تعداد مجهولات با تعداد معادلات برابر نیست (ما همچنین آنها را در این درس تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).
4. این روش مبتنی بر روش های ابتدایی (مدرسه) است - روش جایگزینی مجهولات و روش جمع کردن معادلات که در مقاله مربوطه به آنها اشاره کردیم.

به منظور درک سادگی حل سیستم های ذوزنقه ای (مثلثی، پله ای) معادلات خطی، ما راه حلی برای چنین سیستمی با استفاده از حرکت معکوس ارائه می دهیم. راه حل سریع این سیستم در تصویر ابتدای درس نشان داده شده است.

مثال 1.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از معکوس:

راه حل. در این سیستم ذوزنقه ای متغیر zمی توان به طور منحصر به فرد از معادله سوم پیدا کرد. مقدار آن را جایگزین معادله دوم می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم y:

اکنون مقادیر دو متغیر را می دانیم - zو y. آنها را در معادله اول جایگزین می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم ایکس:

از مراحل قبل جواب سیستم معادلات را می نویسیم:

برای به دست آوردن چنین سیستم ذوزنقه ای از معادلات خطی، که ما آن را بسیار ساده حل کردیم، لازم است از یک حرکت رو به جلو مرتبط با تبدیلات اولیه سیستم معادلات خطی استفاده کنیم. همچنین خیلی سخت نیست.

تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات خطی

با تکرار روش مکتبی جمع کردن معادلات یک سیستم به صورت جبری، متوجه شدیم که به یکی از معادلات سیستم می‌توان معادله دیگری از سیستم را اضافه کرد و هر یک از معادلات را می‌توان در تعدادی اعداد ضرب کرد. در نتیجه، ما یک سیستم معادلات خطی معادل این معادل را بدست می آوریم. در آن، یک معادله قبلاً فقط شامل یک متغیر بود که با جایگزینی مقدار آن با معادلات دیگر، به یک راه حل می رسیم. چنین افزودنی یکی از انواع دگرگونی ابتدایی سیستم است. هنگام استفاده از روش گاوسی، می توانیم از چندین نوع تبدیل استفاده کنیم.

انیمیشن بالا نشان می دهد که چگونه سیستم معادلات به تدریج به یک سیستم ذوزنقه ای تبدیل می شود. یعنی همان چیزی که در همان اولین انیمیشن دیدید و خود را متقاعد کردید که به راحتی می توان مقادیر همه ناشناخته ها را از آن پیدا کرد. نحوه انجام چنین تحولی و البته نمونه هایی در ادامه مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هنگام حل سیستم معادلات خطی با هر تعداد معادله و مجهولات در سیستم معادلات و در ماتریس توسعه یافته سیستم می توان:

1. تنظیم مجدد خطوط (این در همان ابتدای مقاله ذکر شد)؛
2. اگر تبدیل های دیگر منجر به ردیف های مساوی یا متناسب شود، می توان آنها را حذف کرد، به جز یک.
3. ردیف های "صفر" را که در آن همه ضرایب برابر با صفر هستند حذف کنید.
4. هر رشته را در یک عدد مشخص ضرب یا تقسیم کنید.
5. به هر خط یک خط دیگر اضافه کنید، ضرب در یک عدد معین.

در نتیجه تبدیل ها، سیستمی از معادلات خطی معادل این معادل را به دست می آوریم.

الگوریتم و مثال های حل سیستم معادلات خطی با ماتریس مربع سیستم به روش گاوس

اجازه دهید ابتدا حل سیستم های معادلات خطی را در نظر بگیریم که در آنها تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات است. ماتریس چنین سیستمی مربع است، یعنی تعداد سطرهای آن برابر با تعداد ستون هاست.

مثال 2.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

هنگام حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش مدرسه، یکی از معادلات را ترم به ترم در عدد معینی ضرب کردیم، به طوری که ضرایب متغیر اول در دو معادله اعداد متضاد بودند. هنگام اضافه کردن معادلات، این متغیر حذف می شود. روش گاوس نیز به همین صورت عمل می کند.

برای ساده کردن ظاهر محلول بیایید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ایجاد کنیم:

در این ماتریس ضرایب مجهولات در سمت چپ قبل از خط عمودی و عبارت های آزاد در سمت راست بعد از خط عمودی قرار می گیرند.

برای راحتی تقسیم ضرایب برای متغیرها (برای بدست آوردن تقسیم بر واحد) بیایید ردیف اول و دوم ماتریس سیستم را با هم عوض کنیم. ما یک سیستم معادل این سیستم بدست می آوریم، زیرا در یک سیستم معادلات خطی، معادلات را می توان با هم عوض کرد:

با استفاده از معادله اول جدید متغیر را حذف کنید ایکساز معادلات دوم و تمام معادلات بعدی. برای انجام این کار، به ردیف دوم ماتریس، ردیف اول را، ضرب در (در مورد ما، در)، به ردیف سوم اضافه می کنیم - ردیف اول، ضرب در (در مورد ما، در ).

این امکان پذیر است زیرا

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشت، باید خط اول را که در نسبت ضرایب مربوطه ضرب می شود، با علامت منفی به همه معادلات بعدی اضافه کنیم.

در نتیجه، ماتریسی معادل این سیستم از یک سیستم معادلات جدید به دست می‌آوریم که در آن همه معادلات، با شروع از دوم شامل متغیر نیست ایکس :

برای ساده کردن خط دوم سیستم حاصل، آن را در ضرب کنید و دوباره ماتریس یک سیستم معادلات معادل این سیستم را بدست آورید:

حال، بدون تغییر اولین معادله سیستم حاصل، با استفاده از معادله دوم متغیر را حذف می کنیم y از تمام معادلات بعدی برای انجام این کار، به ردیف سوم ماتریس سیستم، ردیف دوم را اضافه می کنیم، ضرب در (در مورد ما در).

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشت، باید یک خط دوم را به تمام معادلات بعدی اضافه کنیم که در نسبت ضرایب مربوطه با علامت منفی ضرب می شود.

در نتیجه، ما دوباره ماتریس یک سیستم معادل این سیستم معادلات خطی را بدست می آوریم:

ما یک سیستم ذوزنقه ای معادل از معادلات خطی به دست آورده ایم:

اگر تعداد معادلات و متغیرها بیشتر از مثال ما باشد، فرآیند حذف متوالی متغیرها تا زمانی که ماتریس سیستم ذوزنقه ای شود، مانند نمونه آزمایشی ما ادامه می یابد.

ما راه حل را "از پایان" پیدا خواهیم کرد - حرکت معکوس. برای این از آخرین معادله ای که تعیین می کنیم z:
.
با جایگزینی این مقدار به معادله قبلی، ما پیدا خواهیم کرد y:

از معادله اول ما پیدا خواهیم کرد ایکس:

جواب: راه حل این سیستم معادلات است .

: در این صورت اگر سیستم راه حل منحصر به فردی داشته باشد، همین پاسخ داده خواهد شد. اگر سیستم بی نهایت راه حل داشته باشد، این پاسخ خواهد بود و این موضوع قسمت پنجم این درس است.

خودتان یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوسی حل کنید و سپس به جواب نگاه کنید

در اینجا دوباره نمونه ای از یک سیستم ثابت و معین از معادلات خطی داریم که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است. تفاوت نمونه آزمایشی ما با الگوریتم این است که در حال حاضر چهار معادله و چهار مجهول وجود دارد.

مثال 4.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. بیایید کارهای مقدماتی را انجام دهیم. برای راحت تر کردن نسبت ضرایب، باید یکی را در ستون دوم ردیف دوم بدست آورید. برای این کار، خط سوم را از خط دوم کم کنید و خط دوم حاصل را در -1 ضرب کنید.

حال اجازه دهید حذف واقعی متغیر را از معادلات سوم و چهارم انجام دهیم. برای انجام این کار، خط دوم ضرب در، را به خط سوم، و دوم، ضرب در، به خط چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای این کار، خط سوم را به خط چهارم اضافه کنید. ما یک ماتریس ذوزنقه ای توسعه یافته به دست می آوریم.

ما سیستمی از معادلات به دست آوردیم که سیستم داده شده معادل آن است:

در نتیجه، سیستم های حاصل و داده شده سازگار و قطعی هستند. ما راه حل نهایی را "از پایان" پیدا می کنیم. از معادله چهارم می توانیم مستقیماً مقدار متغیر "x چهارم" را بیان کنیم:

این مقدار را جایگزین معادله سوم سیستم می کنیم و بدست می آوریم

,

,

در نهایت، جایگزینی ارزش

معادله اول می دهد

,

ابتدا "x" را از کجا پیدا می کنیم:

پاسخ: این سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد .

همچنین می توانید با استفاده از روش کرامر راه حل سیستم را روی ماشین حساب بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم راه حل منحصر به فردی داشته باشد، همان پاسخ داده می شود.

حل مسائل کاربردی با استفاده از روش گاوس با استفاده از مثال مسئله روی آلیاژها

سیستم های معادلات خطی برای مدل سازی اشیاء واقعی در دنیای فیزیکی استفاده می شود. بیایید یکی از این مشکلات را حل کنیم - آلیاژها. مشکلات مشابه مشکلات مخلوط، هزینه یا سهم کالاهای جداگانه در گروهی از کالاها و موارد مشابه است.

مثال 5.سه قطعه آلیاژ دارای جرم کلی 150 کیلوگرم است. آلیاژ اول حاوی 60٪ مس، دوم - 30٪، سوم - 10٪ است. علاوه بر این، در آلیاژهای دوم و سوم روی هم 28.4 کیلوگرم مس کمتر از آلیاژ اول و در آلیاژ سوم 6.2 کیلوگرم مس کمتر از آلیاژ دوم وجود دارد. جرم هر قطعه از آلیاژ را پیدا کنید.

راه حل. ما یک سیستم معادلات خطی می سازیم:

معادله دوم و سوم را در 10 ضرب می کنیم، یک سیستم معادل از معادلات خطی به دست می آوریم:

ما یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ایجاد می کنیم:

توجه، مستقیم به جلو. با جمع کردن (در مورد ما، تفریق) یک ردیف ضرب در یک عدد (آن را دو بار اعمال می کنیم)، تبدیل های زیر با ماتریس توسعه یافته سیستم رخ می دهد:

حرکت مستقیم تمام شده است. ما یک ماتریس ذوزنقه ای منبسط شده به دست آوردیم.

حرکت معکوس را اعمال می کنیم. راه حل را از آخر پیدا می کنیم. ما آن را می بینیم.

از معادله دوم پیدا می کنیم

از معادله سوم -

همچنین می توانید با استفاده از روش کرامر راه حل سیستم را روی ماشین حساب بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم راه حل منحصر به فردی داشته باشد، همان پاسخ داده می شود.

سادگی روش گاوس را این واقعیت نشان می دهد که کارل فردریش گاوس، ریاضیدان آلمانی تنها 15 دقیقه برای اختراع آن صرف کرده است. علاوه بر روشی که به نام او نامگذاری شده است، این جمله "ما نباید آنچه را که برای ما باورنکردنی و غیرطبیعی به نظر می رسد با غیرممکن کاملاً غیرممکن" اشتباه بگیریم" از آثار گاوس شناخته شده است - نوعی دستورالعمل مختصر برای انجام اکتشافات.

در بسیاری از مسائل کاربردی ممکن است محدودیت سوم، یعنی معادله سوم وجود نداشته باشد، سپس باید یک سیستم دو معادله را با سه مجهول با استفاده از روش گاوسی حل کنید، یا برعکس، مجهولات کمتری نسبت به معادلات وجود دارد. اکنون حل چنین سیستم‌هایی از معادلات را آغاز خواهیم کرد.

با استفاده از روش گاوسی، می توانید تعیین کنید که آیا هر سیستمی سازگار است یا ناسازگار است nمعادلات خطی با nمتغیرها

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی با تعداد بی نهایت جواب

مثال بعدی یک سیستم منسجم اما نامعین از معادلات خطی است، یعنی دارای تعداد بی نهایت راه حل.

پس از انجام تبدیل‌ها در ماتریس توسعه‌یافته سیستم (بازآرایی ردیف‌ها، ضرب و تقسیم ردیف‌ها بر یک عدد معین، افزودن ردیف دیگری به یک ردیف)، ردیف‌هایی از فرم ظاهر می‌شوند.

اگر در تمام معادلات دارای فرم

عبارات آزاد برابر با صفر هستند، این بدان معنی است که سیستم نامشخص است، یعنی تعداد بی نهایت جواب دارد و معادلات از این نوع "زائد" هستند و آنها را از سیستم حذف می کنیم.

مثال 6.

راه حل. بیایید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ایجاد کنیم. سپس با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای انجام این کار، خط اول را در سطر دوم، سوم و چهارم ضرب کنید:

حالا بیایید خط دوم را به خط سوم و چهارم اضافه کنیم.

در نتیجه به سیستم می رسیم

دو معادله آخر به معادلات فرم تبدیل شدند. این معادلات برای هر مقدار از مجهولات برآورده می شوند و می توان آنها را کنار گذاشت.

برای برآوردن معادله دوم، می‌توانیم مقادیر دلخواه را برای و انتخاب کنیم، سپس مقدار for به‌صورت منحصربه‌فرد تعیین می‌شود: . از معادله اول مقدار for نیز به صورت منحصر به فرد یافت می شود: .

هر دو سیستم داده شده و آخرین سیستم سازگار، اما نامشخص و فرمول ها هستند

برای دلخواه و به ما همه راه حل های یک سیستم داده شده است.

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی بدون جواب

مثال بعدی یک سیستم ناسازگار از معادلات خطی است، یعنی سیستمی که هیچ راه حلی ندارد. پاسخ به چنین مشکلاتی به این صورت تنظیم می شود: سیستم هیچ راه حلی ندارد.

همانطور که قبلاً در رابطه با مثال اول ذکر شد، پس از انجام تبدیل ها، ردیف هایی از فرم می توانند در ماتریس توسعه یافته سیستم ظاهر شوند.

مربوط به معادله ای از فرم است

اگر در بین آنها حداقل یک معادله با جمله آزاد غیر صفر (یعنی ) وجود داشته باشد، این سیستم معادلات ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد و حل آن کامل است.

مثال 7.حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

راه حل. ما یک ماتریس توسعه یافته از سیستم را می سازیم. با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای این کار، سطر اول ضرب در سطر دوم، سطر اول ضرب در سطر سوم و سطر اول ضرب در سطر چهارم را اضافه کنید.

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. برای بدست آوردن نسبت های صحیح ضرایب، ردیف دوم و سوم ماتریس توسعه یافته سیستم را با هم عوض می کنیم.

برای حذف معادلات سوم و چهارم، معادله دوم ضرب در , را به خط سوم و دومی ضرب در , را به خط چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای این کار، خط سوم را به خط چهارم اضافه کنید.

بنابراین سیستم داده شده معادل موارد زیر است:

سیستم حاصل ناسازگار است، زیرا آخرین معادله آن را نمی توان با هیچ مقدار مجهول ارضا کرد. بنابراین این سیستم هیچ راه حلی ندارد.

یکی از روش های جهانی و موثر برای حل سیستم های جبری خطی می باشد روش گاوسی ، شامل حذف متوالی مجهولات است.

به یاد بیاورید که این دو سیستم نامیده می شوند معادل (معادل) اگر مجموعه راه حل های آنها منطبق باشد. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس. سیستم های معادل زمانی بدست می آیند که تحولات ابتدایی معادلات سیستم:

ضرب دو طرف معادله در عددی غیر از صفر؛

اضافه کردن بخش های متناظر یک معادله دیگر، ضرب در عددی غیر از صفر به معادله ای.

تنظیم مجدد دو معادله

اجازه دهید یک سیستم معادلات داده شود

فرآیند حل این سیستم با استفاده از روش گاوسی شامل دو مرحله است. در مرحله اول (حرکت مستقیم)، سیستم با استفاده از تبدیلات اولیه به کاهش می یابد گام به گام , یا مثلثی شکل، و در مرحله دوم (معکوس) یک ترتیب، با شروع از آخرین عدد متغیر، تعیین مجهولات از سیستم گام به دست آمده وجود دارد.

فرض کنید ضریب این سیستم است
، در غیر این صورت در سیستم می توان ردیف اول را با هر ردیف دیگری تعویض کرد به طوری که ضریب با صفر متفاوت بود

بیایید سیستم را با حذف مجهولات متحول کنیم در تمام معادلات به جز معادلات اول برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید. سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و آن را به معادله سوم سیستم اضافه کنید. با ادامه این روند، سیستم معادل را بدست می آوریم

اینجا
- مقادیر جدید ضرایب و عبارات آزاد که پس از مرحله اول به دست می آیند.

به همین ترتیب، با توجه به عنصر اصلی
، ناشناخته را حذف کنید از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول و دوم. بیایید این روند را تا جایی که ممکن است ادامه دهیم و در نتیجه یک سیستم گام به گام به دست خواهیم آورد

,

جایی که ,
,…,- عناصر اصلی سیستم
.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات ظاهر شوند، یعنی برابری های شکل
، آنها دور انداخته می شوند زیرا با هر مجموعه ای از اعداد ارضا می شوند
. من چاقم
اگر معادله ای از فرم ظاهر شود که هیچ راه حلی نداشته باشد، این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

در طول حرکت معکوس، اولین مجهول از آخرین معادله سیستم گام تبدیل شده بیان می شود از طریق تمام مجهولات دیگر
که نامیده می شوند رایگان . سپس عبارت متغیر از آخرین معادله سیستم به معادله ماقبل آخر جایگزین شده و متغیر از آن بیان می شود.
. متغیرها به صورت متوالی به روشی مشابه تعریف می شوند
. متغیرها
، که از طریق متغیرهای آزاد بیان می شود، نامیده می شوند پایه ای (وابسته). نتیجه یک راه حل کلی برای سیستم معادلات خطی است.

برای پیدا کردن راه حل خصوصی سیستم های مجهول مجهول
در راه حل کلی مقادیر دلخواه تخصیص داده شده و مقادیر متغیرها محاسبه می شود
.

از نظر فنی راحت‌تر است که نه خود معادلات سیستم، بلکه ماتریس توسعه‌یافته سیستم را تحت تبدیل‌های اولیه قرار دهیم.

.

روش گاوس یک روش جهانی است که به شما امکان می دهد نه تنها سیستم های مربعی، بلکه مستطیلی را نیز حل کنید که در آن تعداد مجهولات وجود دارد.
با تعداد معادلات برابر نیست
.

مزیت این روش همچنین این است که در فرآیند حل، ما به طور همزمان سیستم را از نظر سازگاری بررسی می کنیم، زیرا با دادن ماتریس توسعه یافته
به شکل گام به گام، تعیین رتبه های ماتریس آسان است و ماتریس توسعه یافته
و اعمال کنید قضیه کرونکر-کاپلی .

مثال 2.1سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

راه حل. تعداد معادلات
و تعداد مجهولات
.

بیایید با اختصاص ضرایبی به سمت راست ماتریس، یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ایجاد کنیم. ستون اعضای رایگان .

بیایید ماتریس را ارائه کنیم به نمای مثلثی؛ برای انجام این کار، ما "0" را در زیر عناصر واقع در مورب اصلی با استفاده از تبدیل های ابتدایی بدست می آوریم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت دوم ستون اول، ردیف اول را در (-1) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید.

این تبدیل را به صورت عدد (-1) در مقابل خط اول می نویسیم و آن را با فلشی که از خط اول به خط دوم می رود نشان می دهیم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت سوم ستون اول، ردیف اول را در (-3) ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. بیایید این عمل را با استفاده از یک فلش از خط اول به سوم نشان دهیم.

.

در ماتریس به دست آمده که در زنجیره ماتریس ها دوم نوشته شده است، در ستون دوم در موقعیت سوم "0" دریافت می کنیم. برای این کار خط دوم را در (4-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه می کنیم. در ماتریس به دست آمده، ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید و ردیف سوم را بر (8-) تقسیم کنید. تمام عناصر این ماتریس که در زیر عناصر مورب قرار دارند، صفر هستند.

زیرا , سیستم مشارکتی و تعریف شده است.

سیستم معادلات مربوط به آخرین ماتریس شکل مثلثی دارد:

از آخرین (سومین) معادله
. معادله دوم را جایگزین کنید و دریافت کنید
.

جایگزین کنیم
و
در معادله اول می یابیم


.