به چه عواملی تجزیه می شود؟ موارد پیچیده فاکتورگیری چند جمله ای ها

مفاهیم "چند جمله ای" و "فاکتورسازی یک چند جمله ای" در جبر بسیار زیاد است، زیرا برای انجام محاسبات با اعداد چند رقمی بزرگ باید آنها را بدانید. این مقاله چندین روش تجزیه را شرح می دهد. استفاده از همه آنها بسیار ساده است.

مفهوم چند جمله ای

چند جمله ای مجموع تک جمله هاست، یعنی عباراتی که فقط شامل عملیات ضرب هستند.

به عنوان مثال، 2 * x * y یک تک جمله است، اما 2 * x * y + 25 چند جمله ای است که از 2 تک جمله ای تشکیل شده است: 2 * x * y و 25. این چند جمله ای ها را دو جمله ای می نامند.

گاهی اوقات، برای راحتی حل مثال هایی با مقادیر چند ارزشی، یک عبارت باید تبدیل شود، به عنوان مثال، به تعداد معینی از عوامل، یعنی اعداد یا عباراتی که بین آنها عمل ضرب انجام می شود، تجزیه شود. روش‌های مختلفی برای فاکتورسازی چند جمله‌ای وجود دارد. ارزش در نظر گرفتن آنها را دارد و از ابتدایی ترین آنها شروع می شود که در مدرسه ابتدایی استفاده می شود.

گروه بندی (ثبت به شکل کلی)

فرمول فاکتورگیری چند جمله ای با استفاده از روش گروه بندی به طور کلی به صورت زیر است:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

لازم است تک جمله ها را طوری گروه بندی کرد که هر گروه یک عامل مشترک داشته باشد. در براکت اول این ضریب c و در دومی - d است. این باید انجام شود تا سپس آن را از براکت خارج کنید و در نتیجه محاسبات را ساده کنید.

الگوریتم تجزیه با استفاده از یک مثال خاص

ساده ترین مثال فاکتورگیری چند جمله ای با استفاده از روش گروه بندی در زیر آورده شده است:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

در براکت اول باید شرایط را با فاکتور a که رایج خواهد بود و در دومی - با عامل b استفاده کنید. به علامت های + و - در عبارت تمام شده توجه کنید. جلوی مونومیال علامتی را که در عبارت اولیه بود قرار دادیم. یعنی باید نه با عبارت 25a بلکه با عبارت -25 کار کنید. به نظر می رسد علامت منفی به عبارت پشت آن چسبیده است و همیشه هنگام محاسبه در نظر گرفته می شود.

در مرحله بعد باید ضریب را که رایج است از پرانتز خارج کنید. این دقیقاً همان چیزی است که گروه بندی برای آن است. قرار دادن خارج از پرانتز به معنای نوشتن قبل از براکت (با حذف علامت ضرب) تمام عواملی است که دقیقاً در تمام عبارات داخل پرانتز تکرار می شوند. اگر در یک براکت 2، بلکه 3 یا بیشتر وجود داشته باشد، فاکتور مشترک باید در هر یک از آنها وجود داشته باشد، در غیر این صورت نمی توان آن را از براکت خارج کرد.

در مورد ما، فقط 2 عبارت در پرانتز وجود دارد. ضریب کلی بلافاصله قابل مشاهده است. در براکت اول a است، در دومی b است. در اینجا باید به ضرایب دیجیتال توجه کنید. در براکت اول، هر دو ضریب (10 و 25) مضرب 5 هستند. این بدان معنی است که نه تنها a، بلکه 5a نیز می تواند از براکت خارج شود. قبل از پرانتز، 5a بنویسید و سپس هر یک از عبارت های داخل پرانتز را بر ضریب مشترکی که خارج شده است، تقسیم کنید، و همچنین ضریب را در پرانتز بنویسید، بدون اینکه علامت + و - را فراموش کنید. 7b و همچنین 14 و 35 مضرب 7 را خارج کنید.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

ما 2 عبارت دریافت کردیم: 5a (2c - 5) و 7b (2c - 5). هر یک از آنها حاوی یک عامل مشترک است (کل عبارت در پرانتز در اینجا یکسان است، یعنی یک عامل مشترک است): 2c - 5. همچنین باید از براکت خارج شود، یعنی عبارت های 5a و 7b باقی می مانند. در پرانتز دوم:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

بنابراین بیان کامل این است:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

بنابراین، چند جمله ای 10ac + 14bc - 25a - 35b به 2 عامل تجزیه می شود: (2c - 5) و (5a + 7b). علامت ضرب بین آنها را می توان هنگام نوشتن حذف کرد

گاهی اوقات عباراتی از این نوع وجود دارد: 5a 2 + 50a 3، در اینجا می توانید نه تنها a یا 5a، بلکه حتی 5a 2 را خارج از براکت قرار دهید. همیشه باید سعی کنید بزرگترین عامل مشترک را خارج از براکت قرار دهید. در مورد ما، اگر هر عبارت را بر یک عامل مشترک تقسیم کنیم، به دست می آید:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(هنگام محاسبه ضریب چند توان با پایه های مساوی، پایه حفظ می شود و توان از آن کم می شود). بنابراین، واحد در براکت باقی می‌ماند (اگر یکی از عبارت‌ها را از براکت خارج کنید، در هیچ موردی فراموش نکنید که یکی بنویسید) و ضریب تقسیم: 10a. معلوم می شود که:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

فرمول های مربعی

برای سهولت محاسبه، چندین فرمول استخراج شد. این فرمول های ضرب اختصاری نامیده می شوند و اغلب استفاده می شوند. این فرمول ها به عوامل چند جمله ای حاوی درجه کمک می کنند. این یکی دیگر از راه های موثر برای فاکتورسازی است. بنابراین در اینجا آنها هستند:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -فرمولی به نام "مربع مجموع"، زیرا در نتیجه تجزیه به یک مربع، مجموع اعداد محصور در پرانتز گرفته می شود، یعنی مقدار این مجموع در خودش 2 برابر می شود و بنابراین یک عدد است. چند برابر کننده
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - فرمول مربع اختلاف، مشابه فرمول قبلی است. نتیجه این تفاوت است که در پرانتز محصور شده است و در توان مربع موجود است.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- این فرمولی برای تفاوت مربع ها است، زیرا در ابتدا چند جمله ای از 2 مربع اعداد یا عبارت تشکیل شده است که بین آنها تفریق انجام می شود. شاید از سه مورد ذکر شده بیشتر مورد استفاده قرار گیرد.

مثال هایی برای محاسبات با استفاده از فرمول های مربعی

محاسبات برای آنها بسیار ساده است. مثلا:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - از فرمول "مربع مجموع" استفاده کنید.
2. 25x2 مربع 5x است. 20xy حاصل ضرب دوگانه 2*(5x*2y) و 4y 2 مربع 2y است.
3. بنابراین، 25x2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).این چند جمله ای به 2 عامل تجزیه می شود (عوامل یکسان هستند، بنابراین به صورت یک عبارت با توان مربع نوشته می شود).

اقدامات با استفاده از فرمول اختلاف مجذور به طور مشابه انجام می شود. فرمول باقی مانده اختلاف مربع ها است. تعریف و یافتن نمونه هایی از این فرمول در میان عبارات دیگر بسیار آسان است. مثلا:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). از آنجایی که 25a 2 = (5a) 2، و 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). از آنجایی که 36x 2 = (6x) 2، و 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). از آنجایی که 169b 2 = (13b) 2

مهم است که هر یک از اصطلاحات مربعی از برخی عبارت ها باشد. سپس این چند جمله ای باید با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها فاکتورسازی شود. برای این کار لازم نیست درجه دوم بالاتر از عدد باشد. چند جمله‌ای‌هایی وجود دارند که دارای درجات بزرگ هستند، اما همچنان با این فرمول‌ها مطابقت دارند.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

در این مثال، 8 را می توان به صورت (a 4) 2 نشان داد، یعنی مربع یک عبارت خاص. 25 برابر 5 2 و 10a برابر با 4 است - این حاصل ضرب دو برابر عبارت های 2 * a 4 * 5 است. یعنی این عبارت علیرغم وجود درجه هایی با توان های بزرگ می تواند به 2 عامل تجزیه شود تا متعاقباً با آنها کار شود.

فرمول های مکعبی

همین فرمول ها برای فاکتورگیری چند جمله ای های حاوی مکعب وجود دارد. آنها کمی پیچیده تر از آنهایی هستند که مربع دارند:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- این فرمول را مجموع مکعب ها می نامند، زیرا در شکل اولیه آن چند جمله ای مجموع دو عبارت یا عدد محصور در یک مکعب است.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -فرمولی مشابه فرمول قبلی به عنوان تفاوت مکعب ها تعیین می شود.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - مکعب یک جمع، در نتیجه محاسبات، مجموع اعداد یا عبارات در داخل پرانتز قرار می گیرد و در خودش 3 برابر می شود، یعنی در یک مکعب قرار می گیرد.
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -فرمولی که بر اساس قیاس با فرمول قبلی تهیه شده است و فقط برخی از علائم عملیات ریاضی را تغییر می دهد (به علاوه و منفی) "مکعب تفاوت" نامیده می شود.

دو فرمول آخر عملاً برای فاکتورگیری یک چند جمله ای استفاده نمی شوند، زیرا آنها پیچیده هستند، و به ندرت می توان چند جمله ای را پیدا کرد که کاملاً دقیقاً با این ساختار مطابقت داشته باشد تا بتوان آنها را با استفاده از این فرمول ها فاکتور گرفت. اما شما هنوز هم باید آنها را بشناسید، زیرا هنگام کار در جهت مخالف - هنگام باز کردن پرانتز - مورد نیاز خواهند بود.

مثال هایی در فرمول های مکعبی

بیایید به یک مثال نگاه کنیم: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a-2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

اعداد بسیار ساده در اینجا گرفته شده اند، بنابراین بلافاصله می توانید ببینید که 64a 3 (4a) 3 است و 8b 3 (2b) 3 است. بنابراین، این چند جمله ای با توجه به تفاوت فرمول مکعب ها به 2 عامل منبسط می شود. اقدامات با استفاده از فرمول برای مجموع مکعب ها با قیاس انجام می شود.

درک این نکته مهم است که همه چند جمله ای ها را نمی توان حداقل به یک روش بسط داد. اما عباراتی وجود دارند که دارای قدرت های بیشتر از مربع یا مکعب هستند، اما می توان آنها را به شکل های ضرب اختصاری نیز گسترش داد. به عنوان مثال: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

این مثال به اندازه درجه 12 را شامل می شود. اما حتی می توان آن را با استفاده از فرمول مجموع مکعب ها فاکتور گرفت. برای انجام این کار، باید x 12 را به عنوان (x 4) 3 تصور کنید، یعنی به عنوان یک مکعب از یک عبارت. اکنون به جای a، باید آن را در فرمول جایگزین کنید. خوب، عبارت 125y 3 یک مکعب از 5y است. در مرحله بعد، باید محصول را با استفاده از فرمول بنویسید و محاسبات را انجام دهید.

در ابتدا یا در صورت شک، همیشه می توانید با ضرب معکوس بررسی کنید. شما فقط باید پرانتز را در عبارت حاصل باز کنید و اقداماتی را با عبارات مشابه انجام دهید. این روش برای همه روش‌های کاهش فهرست‌شده اعمال می‌شود: هم برای کار با یک عامل مشترک و گروه‌بندی، و هم برای کار با فرمول‌های مکعب‌ها و توان‌های درجه دوم.

فاکتورگیری یک چند جمله ای قسمت 1

فاکتورسازییک تکنیک جهانی است که به حل معادلات و نابرابری های پیچیده کمک می کند. اولین فکری که باید هنگام حل معادلات و نابرابری هایی که در سمت راست آنها صفر وجود دارد به ذهن خطور کند این است که سعی کنید سمت چپ را فاکتور بگیرید.

بیایید فهرست اصلی را فهرست کنیم روش های فاکتورگیری چند جمله ای:

• خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز
• با استفاده از فرمول ضرب اختصاری
• با استفاده از فرمول فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم
• روش گروه بندی
• تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای
• روش ضرایب نامشخص

در این مقاله به طور مفصل در مورد سه روش اول صحبت خواهیم کرد و بقیه را در مقالات بعدی در نظر خواهیم گرفت.

1. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز.

برای خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز، ابتدا باید آن را پیدا کنید. عامل ضرب کننده مشترکبرابر با بزرگترین مقسوم علیه مشترک همه ضرایب.

قسمت نامهضریب مشترک برابر است با حاصل ضرب عبارات موجود در هر جمله با کوچکترین توان.

طرح تخصیص یک ضریب مشترک به این صورت است:

توجه!
تعداد عبارات داخل پرانتز برابر با تعداد عبارت های عبارت اصلی است. اگر یکی از اصطلاحات با عامل مشترک منطبق باشد، هنگام تقسیم آن بر ضریب مشترک، یک را دریافت می کنیم.

مثال 1.

عامل چند جمله ای:

بیایید عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم. برای این کار ابتدا آن را پیدا می کنیم.

1. بزرگترین مقسوم علیه مشترک همه ضرایب چند جمله ای را پیدا کنید. اعداد 20 و 35 و 15 برابر است با 5.

2. ما مشخص می کنیم که متغیر در تمام عبارات موجود است و کوچکترین توان آن برابر با 2 است. متغیر در همه عبارات موجود است و کوچکترین توان آن 3 است.

متغیر فقط در عبارت دوم موجود است، بنابراین بخشی از عامل مشترک نیست.

بنابراین مجموع عامل است

3. با استفاده از نمودار بالا، ضریب را از پرانتز خارج می کنیم:

مثال 2.معادله را حل کنید:

راه حل. بیایید سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم. بیایید فاکتور را از پرانتز خارج کنیم:

بنابراین معادله را بدست می آوریم

بیایید هر عامل را با صفر برابر کنیم:

ما - ریشه معادله اول را دریافت می کنیم.

ریشه ها:

پاسخ: -1، 2، 4

2. فاکتورسازی با استفاده از فرمول ضرب اختصاری.

اگر تعداد عبارت‌های چند جمله‌ای که می‌خواهیم فاکتور بگیریم کمتر یا مساوی سه باشد، سعی می‌کنیم از فرمول‌های ضرب اختصاری استفاده کنیم.

1. اگر چند جمله ای باشدتفاوت دو اصطلاح، سپس سعی می کنیم اعمال کنیم فرمول اختلاف مربع:

یا تفاوت فرمول مکعب ها:

اینجا نامه هاست و یک عدد یا عبارت جبری را نشان می دهد.

2. اگر یک چند جمله ای مجموع دو جمله باشد، شاید بتوان آن را با استفاده از فاکتور گرفت مجموع فرمول های مکعب:

3. اگر یک چند جمله ای از سه جمله تشکیل شده باشد، سعی می کنیم اعمال کنیم فرمول مجموع مربع:

یا فرمول اختلاف مربع:

یا سعی می کنیم فاکتورسازی کنیم فرمول فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم:

در اینجا و ریشه های معادله درجه دوم هستند

مثال 3.بیان را فاکتور بگیرید:

راه حل. ما مجموع دو جمله را پیش روی خود داریم. بیایید سعی کنیم فرمول مجموع مکعب ها را اعمال کنیم. برای انجام این کار، ابتدا باید هر عبارت را به صورت مکعبی از یک عبارت نشان دهید و سپس فرمول مجموع مکعب ها را اعمال کنید:

مثال 4.بیان را فاکتور بگیرید:

تصمیم. در اینجا ما تفاوت مربع های دو عبارت را داریم. عبارت اول: , عبارت دوم:

بیایید فرمول اختلاف مربع ها را اعمال کنیم:

بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابهی را اضافه کنیم، دریافت می کنیم:

8 مثال از چند جمله ای های فاکتورگیری آورده شده است. آنها شامل نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم و دو درجه دوم، مثال هایی از چندجمله ای های متقابل و نمونه هایی از یافتن ریشه های اعداد صحیح چند جمله ای های درجه سوم و چهارم می باشند.

1. مثال هایی با حل معادله درجه دوم

مثال 1.1

ایکس 4 + x 3 - 6 x 2.

راه حل

x را بیرون می آوریم 2 خارج از پرانتز:
.
2 + x - 6 = 0:
.
ریشه های معادله:
, .

.

پاسخ

مثال 1.2

عامل چند جمله ای درجه سوم:
ایکس 3 + 6 x 2 + 9 x.

راه حل

بیایید x را از پرانتز خارج کنیم:
.
حل معادله درجه دوم x 2 + 6 x + 9 = 0:
ممیز آن: .
از آنجایی که ممیز صفر است، ریشه های معادله مضرب هستند: ;
.

از اینجا فاکتورسازی چند جمله ای را بدست می آوریم:
.

پاسخ

مثال 1.3

فاکتور چند جمله ای درجه پنجم:
ایکس 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

راه حل

x را بیرون می آوریم 3 خارج از پرانتز:
.
حل معادله درجه دوم x 2 - 2 x + 10 = 0.
ممیز آن: .
از آنجایی که تفکیک کننده کمتر از صفر است، ریشه های معادله مختلط هستند: ;
, .

فاکتورسازی چند جمله ای به شکل زیر است:
.

اگر علاقه مند به فاکتورسازی با ضرایب واقعی هستیم، پس:
.

پاسخ

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با استفاده از فرمول ها

مثال هایی با چند جمله ای های دو درجه ای

مثال 2.1

عامل چند جمله ای دو درجه ای:
ایکس 4 + × 2 - 20.

راه حل

بیایید فرمول ها را اعمال کنیم:
آ 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
آ 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

پاسخ

مثال 2.2

چند جمله ای را که به یک دو درجه ای تقلیل می دهد، فاکتور بگیرید:
ایکس 8 + × 4 + 1.

راه حل

بیایید فرمول ها را اعمال کنیم:
آ 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
آ 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

پاسخ

مثال 2.3 با چند جمله ای بازگشتی

عامل چند جمله ای متقابل:
.

راه حل

یک چند جمله ای متقابل درجه فرد دارد. بنابراین ریشه x = - دارد 1 . تقسیم چند جمله ای بر x - (-1) = x + 1. در نتیجه دریافت می کنیم:
.
بیایید یک جایگزین انجام دهیم:
, ;
;


;
.

پاسخ

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با ریشه های عدد صحیح

مثال 3.1

عامل چند جمله ای:
.

راه حل

بیایید فرض کنیم که معادله

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

بنابراین، ما سه ریشه پیدا کردیم:
ایکس 1 = 1 ، ایکس 2 = 2 ، ایکس 3 = 3 .
از آنجایی که چند جمله ای اصلی از درجه سوم است، بیش از سه ریشه ندارد. از آنجایی که ما سه ریشه را پیدا کردیم، آنها ساده هستند. سپس
.

پاسخ

مثال 3.2

عامل چند جمله ای:
.

راه حل

بیایید فرض کنیم که معادله

حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
-2, -1, 1, 2 .
این مقادیر را یکی یکی جایگزین می کنیم:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
اگر فرض کنیم که این معادله یک ریشه صحیح داشته باشد، مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x دیگر پیدا کرده ایم 2 = -1 . ممکن است، مانند مورد قبلی، چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، اما ما عبارت ها را گروه بندی می کنیم:
.

از آنجایی که معادله x 2 + 2 = 0 هیچ ریشه واقعی ندارد، پس فاکتورگیری چند جمله ای شکل دارد.

هر چند جمله ای جبری درجه n را می توان به عنوان حاصل ضرب n عامل خطی شکل و یک عدد ثابت نشان داد که ضرایب چند جمله ای در بالاترین درجه x است، یعنی.

جایی که - ریشه های چند جمله ای هستند.

ریشه یک چند جمله ای عددی است (واقعی یا مختلط) که باعث ناپدید شدن چند جمله ای می شود. ریشه های یک چند جمله ای می توانند ریشه های واقعی یا ریشه های مزدوج پیچیده باشند، سپس چند جمله ای را می توان به شکل زیر نشان داد:

بیایید روش‌هایی را برای تجزیه چندجمله‌ای درجه "n" به حاصل ضرب عوامل درجه اول و دوم در نظر بگیریم.

روش شماره 1.روش ضرایب نامشخص.

ضرایب چنین عبارت تبدیل شده با روش ضرایب نامحدود تعیین می شود. ماهیت روش این است که نوع عواملی که یک چند جمله ای معین به آن تجزیه می شود از قبل شناخته شده است. هنگام استفاده از روش ضرایب نامطمئن، عبارات زیر درست هستند:

P.1. دو چند جمله ای به طور یکسان برابر هستند اگر ضرایب آنها برای توان های یکسان x برابر باشد.

P.2. هر چند جمله ای درجه سوم به حاصل ضرب عوامل خطی و درجه دوم تجزیه می شود.

P.3. هر چند جمله ای درجه چهارم را می توان به حاصل ضرب دو چند جمله ای درجه دوم تجزیه کرد.

مثال 1.1.لازم است که عبارت مکعبی را فاکتورسازی کنیم:

P.1. مطابق با عبارات پذیرفته شده، برابری یکسان برای عبارت مکعبی برقرار است:

P.2. سمت راست عبارت را می توان به صورت عباراتی به صورت زیر نشان داد:

P.3. ما یک سیستم معادلات را از شرط برابری ضرایب در توان های متناظر عبارت مکعبی می سازیم.

این سیستم معادلات را می توان با انتخاب ضرایب حل کرد (اگر یک مسئله آکادمیک ساده باشد) یا از روش هایی برای حل سیستم های غیرخطی معادلات استفاده کرد. با حل این سیستم معادلات، متوجه می شویم که ضرایب نامشخص به صورت زیر تعیین می شوند:

بنابراین، عبارت اصلی به شکل زیر فاکتور می شود:

این روش را می توان هم در محاسبات تحلیلی و هم در برنامه نویسی کامپیوتری برای خودکار کردن فرآیند یافتن ریشه یک معادله استفاده کرد.

روش شماره 2.فرمول های ویتا

فرمول های ویتا فرمول هایی هستند که ضرایب معادلات جبری درجه n و ریشه های آن را به هم متصل می کنند. این فرمول ها به طور ضمنی در آثار ریاضیدان فرانسوی فرانسوا ویتا (1540 - 1603) ارائه شد. با توجه به این واقعیت که ویت فقط ریشه های واقعی مثبت را در نظر می گرفت، بنابراین فرصتی برای نوشتن این فرمول ها به صورت صریح کلی نداشت.

برای هر چند جمله ای جبری درجه n که دارای n ریشه واقعی است،

روابط زیر معتبر است که ریشه های یک چند جمله ای را با ضرایب آن مرتبط می کند:

فرمول های Vieta برای بررسی صحت یافتن ریشه های یک چند جمله ای و همچنین برای ساختن یک چند جمله ای از ریشه های داده شده مناسب هستند.

مثال 2.1.بیایید با استفاده از مثال یک معادله مکعب بررسی کنیم که چگونه ریشه های یک چند جمله ای با ضرایب آن مرتبط است.

مطابق با فرمول های ویتا، رابطه بین ریشه های یک چند جمله ای و ضرایب آن به شکل زیر است:

روابط مشابهی را می توان برای هر چند جمله ای درجه n ایجاد کرد.

روش شماره 3. فاکتورگیری معادله درجه دوم با ریشه های گویا

از آخرین فرمول ویتا چنین برمی‌آید که ریشه‌های یک چند جمله‌ای مقسوم‌کننده‌های جمله آزاد و ضریب پیشرو آن هستند. در این رابطه، اگر عبارت مسئله یک چند جمله ای درجه n با ضرایب صحیح را مشخص کند.

پس این چند جمله ای یک ریشه گویا (کسری غیرقابل تقلیل) دارد که p مقسوم علیه جمله آزاد و q مقسوم علیه ضریب پیشرو است. در این مورد، چند جمله ای درجه n را می توان به صورت (قضیه بزوت) نشان داد:

یک چند جمله ای که درجه آن 1 کمتر از درجه چند جمله ای اولیه است، با تقسیم یک چند جمله ای درجه n دو جمله ای، به عنوان مثال، با استفاده از طرح هورنر یا به ساده ترین روش - "ستون" تعیین می شود.

مثال 3.1.باید چند جمله ای را فاکتور گرفت

P.1. با توجه به اینکه ضریب بالاترین جمله برابر با یک است، ریشه های گویا این چند جمله ای مقسوم علیه جمله آزاد عبارت هستند، یعنی. می تواند اعداد صحیح باشد . هر یک از اعداد ارائه شده را با عبارت اصلی جایگزین می کنیم و در می یابیم که ریشه چند جمله ای ارائه شده برابر است.

بیایید چند جمله ای اصلی را بر یک دو جمله ای تقسیم کنیم:

بیایید از طرح هورنر استفاده کنیم

ضرایب چند جمله ای اصلی در خط بالایی تنظیم می شود، در حالی که خانه اول خط بالایی خالی می ماند.

در خانه اول سطر دوم ریشه یافت شده نوشته می شود (در مثال مورد بررسی عدد 2 نوشته شده است) و مقادیر زیر در خانه ها به روش خاصی محاسبه می شوند و ضرایب هستند. از چند جمله ای که از تقسیم چند جمله ای بر دو جمله ای به دست می آید. ضرایب مجهول به صورت زیر تعیین می شود:

مقدار از سلول مربوطه ردیف اول به سلول دوم ردیف دوم منتقل می شود (در مثال مورد بررسی عدد "1" نوشته شده است).

سلول سوم ردیف دوم حاوی مقدار حاصل ضرب سلول اول و سلول دوم ردیف دوم به اضافه مقدار سلول سوم ردیف اول است (در مثال مورد بررسی 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

سلول چهارم ردیف دوم حاوی مقدار حاصل ضرب سلول اول و سلول سوم ردیف دوم به اضافه مقدار سلول چهارم ردیف اول است (در مثال مورد بررسی، 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

بنابراین، چند جمله ای اصلی فاکتور می شود:

روش شماره 4.استفاده از فرمول های ضرب مختصر

از فرمول های ضرب اختصاری برای ساده کردن محاسبات و همچنین فاکتورگیری چند جمله ای ها استفاده می شود. فرمول های ضرب اختصاری به شما امکان می دهد تا حل مسائل فردی را ساده کنید.

فرمول های مورد استفاده برای فاکتورسازی