معنی یک عبارت را با کسری حل کنید. تفریق و داشتن اجزای صحیح

اعمال با کسر.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

بنابراین، کسرها، انواع کسرها، تبدیلات چیست - ما به یاد آوردیم. بریم سر موضوع اصلی.

با کسرها چه کاری می توانید انجام دهید؟بله، همه چیز مانند اعداد معمولی است. جمع، تفریق، ضرب، تقسیم.

همه این اقدامات با اعشاریکار با کسرها با اعداد کامل تفاوتی ندارد. در واقع، این چیزی است که در مورد آنها خوب است، اعشاری. تنها نکته این است که باید کاما را به درستی قرار دهید.

اعداد مختلطهمانطور که قبلاً گفتم، برای اکثر اقدامات مفید نیستند. آنها هنوز باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند.

اما اقدامات با کسرهای معمولیآنها حیله گر تر خواهند بود. و خیلی مهمتر! بگذارید یادآوری کنم: تمام اعمال با عبارات کسری با حروف، سینوس، مجهولات، و غیره و غیره هیچ تفاوتی با اعمال با کسرهای معمولی ندارند.! عملیات با کسرهای معمولی اساس همه جبر است. به همین دلیل است که ما در اینجا تمام این محاسبات را با جزئیات زیاد تحلیل خواهیم کرد.

جمع و تفریق کسرها.

همه می توانند کسرهایی را با مخرج یکسان جمع کنند (کسر کنند (من واقعا امیدوارم!). خوب، بگذارید به کسانی که کاملاً فراموشکار هستند یادآوری کنم: هنگام جمع (تفریق) مخرج تغییر نمی کند. شمارنده ها جمع می شوند (کاهش می شوند) تا به نتیجه برسد. نوع:

به طور خلاصه، به طور کلی:

اگر مخرج ها متفاوت باشد چه؟ سپس با استفاده از ویژگی اصلی یک کسری (اینجا دوباره به کار می آید!)، مخرج ها را یکسان می کنیم! به عنوان مثال:

در اینجا باید از کسر 2/5 کسر را 4/10 کنیم. تنها به این منظور که مخرج ها یکسان شوند. اجازه دهید توجه داشته باشم، فقط در مورد، 2/5 و 4/10 هستند همان کسری! فقط 2/5 برای ما ناراحت کننده است و 4/10 واقعاً خوب است.

به هر حال، این جوهر حل هر مسئله ریاضی است. زمانی که ما از ناراحت کنندهما عبارات را انجام می دهیم همان چیزی است، اما برای حل راحت تر است.

مثال دیگر:

وضعیت مشابه است. در اینجا ما از 16 عدد 48 را بدست می آوریم. با ضرب ساده در 3. این همه واضح است. اما به چیزی شبیه این برخورد کردیم:

چگونه بودن؟! سخت است که از هفت تا 9 بسازی! اما ما باهوشیم، قوانین را می دانیم! بیایید متحول شویم هرکسری به طوری که مخرج یکسان باشد. به این "کاهش به مخرج مشترک" می گویند:

عجب! من از کجا با 63 آشنا شدم؟ خیلی ساده! 63 عددی است که همزمان بر 7 و 9 بخش پذیر است. چنین عددی همیشه با ضرب مخرج بدست می آید. اگر مثلاً عددی را در 7 ضرب کنیم، قطعاً حاصل بر 7 بخش پذیر خواهد بود!

در صورت نیاز به جمع (تفریق) چند کسر، نیازی به انجام آن به صورت جفت، مرحله به مرحله نیست. فقط باید مخرج مشترک همه کسرها را پیدا کنید و هر کسر را به همان مخرج کاهش دهید. به عنوان مثال:

و وجه مشترک چه خواهد بود؟ البته می توانید 2 و 4 و 8 و 16 را ضرب کنید. تخمین زدن اینکه عدد 16 کاملا بر 2، 4 و 8 بخش پذیر است آسان تر است. بنابراین، از این اعداد به راحتی می توان 16 را بدست آورد. این عدد مخرج مشترک خواهد بود. بیایید 1/2 را به 8/16، 3/4 را به 12/16 و غیره تبدیل کنیم.

به هر حال، اگر 1024 را به عنوان مخرج مشترک بگیرید، همه چیز درست می شود، در نهایت همه چیز کاهش می یابد. اما همه به این هدف نمی رسند، زیرا محاسبات ...

خودتان مثال را کامل کنید. نه نوعی لگاریتم... باید 29/16 باشد.

بنابراین، جمع (تفریق) کسرها مشخص است، امیدوارم؟ البته، کار در یک نسخه کوتاه شده، با چند برابر اضافی آسان تر است. اما این لذت نصیب کسانی می شود که در مقاطع پایین صادقانه کار کردند... و چیزی را فراموش نکردند.

و اکنون همان اعمال را انجام خواهیم داد، اما نه با کسری، بلکه با عبارات کسری. راک جدید در اینجا آشکار خواهد شد، بله...

بنابراین، باید دو عبارت کسری اضافه کنیم:

ما باید مخرج ها را یکسان کنیم. و فقط با کمک ضرب! این همان چیزی است که خاصیت اصلی یک کسری حکم می کند. بنابراین، من نمی توانم یک به X در کسر اول در مخرج اضافه کنم. (خوب خواهد بود!). اما اگر مخرج ها را ضرب کنید، می بینید که همه چیز با هم رشد می کند! بنابراین خط کسری را یادداشت می کنیم، یک فضای خالی در بالا می گذاریم، سپس آن را اضافه می کنیم و حاصلضرب مخرج ها را در زیر می نویسیم تا فراموش نکنیم:

و البته، ما چیزی را در سمت راست ضرب نمی کنیم، پرانتز را باز نمی کنیم! و اکنون، با نگاه به مخرج مشترک سمت راست، متوجه می شویم: برای بدست آوردن مخرج x(x+1) در کسر اول، باید صورت و مخرج این کسر را در (x+1) ضرب کنید. . و در کسر دوم - به x. این چیزی است که شما دریافت می کنید:

توجه کن! اینجا پرانتز است! این همان چنگک است که بسیاری از افراد روی آن پا می گذارند. البته نه پرانتز، بلکه نبود آنها. پرانتز ظاهر می شود زیرا ما در حال ضرب هستیم همهشمارنده و همهمخرج! و نه تک تک آنها...

در صورت‌حساب سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، همه چیز مانند کسرهای عددی است، سپس پرانتزها را در صورت‌گر سمت راست باز می‌کنیم، یعنی. همه چیز را ضرب می کنیم و موارد مشابه را می دهیم. نیازی به باز کردن پرانتز در مخرج یا ضرب کردن چیزی نیست! به طور کلی، در مخرج (هر) محصول همیشه خوشایندتر است! دریافت می کنیم:

پس جواب گرفتیم. این روند طولانی و دشوار به نظر می رسد، اما به تمرین بستگی دارد. وقتی مثال ها را حل کنید، به آن عادت کنید، همه چیز ساده می شود. کسانی که به موقع بر کسرها مسلط شده اند، تمام این عملیات را با یک دست چپ، به طور خودکار انجام می دهند!

و یک نکته دیگر بسیاری هوشمندانه با کسری ها سر و کار دارند، اما در مثال هایی با آن گیر می کنند کلاعداد دوست دارم: 2 + 1/2 + 3/4 = ? دو تکه را کجا ببندیم؟ لازم نیست آن را در جایی ببندید، باید از دو کسری درست کنید. این آسان نیست، اما بسیار ساده است! 2=2/1. مثل این. هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نوشت. صورت خود عدد است، مخرج یک است. 7 برابر 7/1، 3 برابر 3/1 و غیره است. در مورد حروف هم همینطور است. (a+b) = (a+b)/1، x=x/1 و غیره. و سپس طبق تمام قوانین با این کسرها کار می کنیم.

خوب دانش جمع و تفریق کسرها تازه شد. تبدیل کسرها از یک نوع به نوع دیگر تکرار شد. شما همچنین می توانید بررسی شوید. کمی حلش کنیم؟)

محاسبه کنید:

پاسخ ها (به هم ریخته):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ضرب / تقسیم کسری - در درس بعدی. همچنین وظایفی برای همه عملیات با کسری وجود دارد.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

کسرها اعدادی معمولی هستند و قابل جمع و تفریق نیز هستند. اما از آنجایی که آنها مخرج دارند، به قوانین پیچیده تری نسبت به اعداد صحیح نیاز دارند.

بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که دو کسر با مخرج یکسان وجود دارد. سپس:

برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

برای تفریق کسری با مخرج یکسان، باید عدد دوم را از صورت کسر اول کم کنید و دوباره مخرج را بدون تغییر رها کنید.

در هر عبارت، مخرج کسری برابر است. با تعریف جمع و تفریق کسرها به دست می آید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست: ما فقط اعداد را اضافه یا کم می کنیم و تمام.

اما حتی در چنین اقدامات ساده ای، افراد موفق به اشتباه می شوند. آنچه اغلب فراموش می شود این است که مخرج تغییر نمی کند. به عنوان مثال، هنگام جمع کردن آنها، آنها نیز شروع به جمع کردن می کنند و این اساساً اشتباه است.

خلاص شدن از شر عادت بد اضافه کردن مخرج بسیار ساده است. هنگام تفریق همین کار را امتحان کنید. در نتیجه، مخرج صفر می شود و کسر (ناگهان!) معنای خود را از دست می دهد.

بنابراین، یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: هنگام جمع و تفریق، مخرج تغییر نمی کند!

بسیاری از افراد هنگام جمع کردن چند کسر منفی نیز اشتباه می کنند. با علائم سردرگمی وجود دارد: کجا یک منفی و کجا یک مثبت قرار دهیم.

حل این مشکل نیز بسیار آسان است. کافی است به یاد داشته باشید که منهای قبل از علامت کسری همیشه می تواند به شمارنده منتقل شود - و بالعکس. و البته، دو قانون ساده را فراموش نکنید:

1. به علاوه منهای منفی می دهد.
2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

بیایید همه اینها را با مثال های خاص بررسی کنیم:

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

در مورد اول، همه چیز ساده است، اما در مورد دوم، اجازه دهید منهای را به اعداد کسرها اضافه کنیم:

اگر مخرج ها متفاوت باشد چه باید کرد

شما نمی توانید کسری با مخرج های مختلف را مستقیماً اضافه کنید. حداقل این روش برای من ناشناخته است. با این حال، کسرهای اصلی همیشه می توانند بازنویسی شوند تا مخرج ها یکسان شوند.

روش های زیادی برای تبدیل کسرها وجود دارد. سه مورد از آنها در درس "کاهش کسرها به مخرج مشترک" مورد بحث قرار گرفته است، بنابراین ما در اینجا به آنها نمی پردازیم. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

در حالت اول، کسرها را با استفاده از روش متقاطع به یک مخرج مشترک کاهش می دهیم. در مرحله دوم ما به دنبال NOC خواهیم بود. توجه داشته باشید که 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. فاکتورهای آخر در این بسط ها مساوی هستند و اولین ها نسبتاً اول هستند. بنابراین، LCM(6، 9) = 2 3 3 = 18.

اگر کسری دارای یک جزء صحیح باشد چه باید کرد؟

من می توانم شما را خوشحال کنم: مخرج های مختلف در کسرها بزرگترین شر نیستند. هنگامی که کل قسمت در کسرهای اضافه برجسته می شود، خطاهای بسیار بیشتری رخ می دهد.

البته، الگوریتم‌های جمع و تفریق خاص برای چنین کسری وجود دارد، اما آنها کاملاً پیچیده هستند و نیاز به مطالعه طولانی دارند. بهتر است از نمودار ساده زیر استفاده کنید:

1. تمام کسرهای حاوی یک عدد صحیح را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. ما عبارات معمولی (حتی با مخرج های مختلف) را به دست می آوریم که طبق قوانین مورد بحث در بالا محاسبه می شوند.
2. در واقع، مجموع یا تفاوت کسرهای حاصل را محاسبه کنید. در نتیجه عملاً پاسخ را خواهیم یافت;
3. اگر این تمام چیزی است که در مسئله مورد نیاز بود، تبدیل معکوس را انجام می دهیم، یعنی. با برجسته کردن کل قسمت از شر کسر نامناسب خلاص می شویم.

قوانین حرکت به کسرهای نامناسب و برجسته کردن کل قسمت به طور مفصل در درس "کسری عددی چیست" توضیح داده شده است. اگر یادتان نیست حتما تکرار کنید. مثال ها:

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

اینجا همه چیز ساده است. مخرج داخل هر عبارت برابر است، بنابراین تنها چیزی که باقی می ماند تبدیل همه کسرها به کسرهای نامناسب و شمارش است. ما داریم:

برای ساده‌تر کردن محاسبات، چند مرحله واضح را در آخرین نمونه‌ها نادیده گرفتم.

یک یادداشت کوچک در مورد دو مثال آخر، که در آن کسری با قسمت صحیح برجسته شده کم می شود. منهای قبل از کسر دوم به این معنی است که کل کسر کم می شود و نه فقط کل قسمت آن.

این جمله را دوباره بخوانید، به مثال ها نگاه کنید - و در مورد آن فکر کنید. اینجاست که مبتدیان تعداد زیادی اشتباه مرتکب می شوند. آنها دوست دارند چنین مشکلاتی را در آزمایشات ارائه دهند. همچنین در تست های این درس که به زودی منتشر خواهد شد، چندین بار با آنها مواجه خواهید شد.

خلاصه: طرح محاسبه کلی

در پایان، من یک الگوریتم کلی ارائه می کنم که به شما کمک می کند مجموع یا تفاضل دو یا چند کسر را پیدا کنید:

1. اگر یک یا چند کسر دارای یک جزء صحیح هستند، این کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید.
2. همه کسری ها را به هر شکلی که برای شما مناسب است به یک مخرج مشترک بیاورید (مگر اینکه، البته، نویسندگان مسائل این کار را انجام داده باشند).
3. اعداد به دست آمده را طبق قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه جمع یا تفریق کنید.
4. در صورت امکان، نتیجه را کوتاه کنید. اگر کسر نادرست است، کل قسمت را انتخاب کنید.

به یاد داشته باشید که بهتر است تمام قسمت را در انتهای کار، بلافاصله قبل از نوشتن پاسخ برجسته کنید.

صورت، و آنچه بر آن تقسیم می شود، مخرج است.

برای نوشتن کسری ابتدا صورت را بنویسید سپس یک خط افقی زیر عدد بکشید و مخرج را زیر خط بنویسید. خط افقی که صورت و مخرج را از هم جدا می کند، خط کسری نامیده می شود. گاهی اوقات به صورت "/" یا "∕" مایل به تصویر کشیده می شود. در این حالت، صورت در سمت چپ خط و مخرج در سمت راست نوشته می شود. بنابراین، برای مثال، کسری "دو سوم" به عنوان 2/3 نوشته می شود. برای وضوح، صورت معمولاً در بالای خط نوشته می شود و مخرج در پایین، یعنی به جای 2/3 می توانید پیدا کنید: ⅔.

برای محاسبه حاصل ضرب کسرها ابتدا عدد یک را ضرب کنید کسرینسبت به شمارش متفاوت است. نتیجه را در صورت حساب جدید بنویسید کسری. پس از این، مخرج ها را ضرب کنید. مقدار کل را در جدید وارد کنید کسری. مثلا 1/3؟ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1؛ 3 × 5 = 15).

برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر ابتدا عدد اولی را در مخرج دوم ضرب کنید. همین کار را با کسر دوم (مقسوم کننده) انجام دهید. یا، قبل از انجام تمام اقدامات، اگر برای شما راحت تر است، ابتدا مقسوم علیه را "برگردانید": مخرج باید به جای صورتگر باشد. سپس مخرج تقسیم را در مخرج جدید مقسوم علیه ضرب کنید و اعداد را ضرب کنید. به عنوان مثال، 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

منابع:

• مسائل کسری اساسی

اعداد کسری به شما امکان می دهند مقدار دقیق یک کمیت را به اشکال مختلف بیان کنید. شما می توانید همان عملیات ریاضی را با کسری که می توانید با اعداد کامل انجام دهید: تفریق، جمع، ضرب و تقسیم. تا تصمیم گیری را یاد بگیریم کسری، باید برخی از ویژگی های آنها را به خاطر بسپاریم. آنها به نوع آنها بستگی دارد کسری، وجود یک جزء صحیح، یک مخرج مشترک. برخی از عملیات حسابی نیاز دارند که قسمت کسری نتیجه پس از اجرا کاهش یابد.

شما نیاز خواهید داشت

• - ماشین حساب

دستورالعمل ها

با دقت به اعداد نگاه کنید. اگر در بین کسری ها اعشاری و نامنظم وجود داشته باشد، گاهی اوقات راحت تر است که ابتدا عملیات را با اعشار انجام دهیم و سپس آنها را به شکل نامنظم تبدیل کنیم. میتونی ترجمه کنی کسریدر این شکل ابتدا مقدار را بعد از اعشار در صورت می نویسید و 10 را در مخرج قرار می دهید. در صورت لزوم، با تقسیم اعداد بالا و پایین بر یک مقسوم علیه کسر را کاهش دهید. کسری که در آنها کل جزء جدا شده است باید با ضرب آن در مخرج و جمع کردن صورت به نتیجه به شکل اشتباه تبدیل شوند. این مقدار تبدیل به شماره‌گر جدید می‌شود کسری. برای انتخاب یک قسمت کامل از یک قسمت اولیه نادرست کسری، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید. کل نتیجه را بنویسید کسری. و باقیمانده تقسیم تبدیل به صورت، مخرج جدید می شود کسریتغییر نمی کند. برای کسرهای دارای جزء صحیح، می توان اعمال را به طور جداگانه انجام داد، ابتدا برای عدد صحیح و سپس برای قطعات کسری. به عنوان مثال، مجموع 1 2/3 و 2 ¾ را می توان محاسبه کرد:
- تبدیل کسرها به شکل اشتباه:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- مجموع اجزای اعداد صحیح و کسری به صورت جداگانه:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

آنها را با استفاده از جداکننده ":" بازنویسی کنید و با تقسیم عادی ادامه دهید.

برای به دست آوردن نتیجه نهایی، کسر حاصل را با تقسیم صورت و مخرج بر یک عدد کامل که در این حالت بزرگ‌ترین عدد ممکن است، کاهش دهید. در این حالت باید اعداد صحیح در بالا و پایین خط وجود داشته باشد.

لطفا توجه داشته باشید

با کسری که مخرج آنها متفاوت است، حساب را انجام ندهید. عددی را طوری انتخاب کنید که وقتی صورت و مخرج هر کسر را در آن ضرب کردید، مخرج هر دو کسر برابر باشد.

توصیه مفید

هنگام نوشتن اعداد کسری، سود سهام در بالای خط نوشته می شود. این کمیت به عنوان شمارنده کسر تعیین می شود. مقسوم علیه یا مخرج کسر زیر خط نوشته می شود. به عنوان مثال، یک و نیم کیلوگرم برنج به صورت کسری به صورت زیر نوشته می شود: 1 ½ کیلوگرم برنج. اگر مخرج کسری 10 باشد، کسر را اعشار می نامند. در این حالت، در سمت راست تمام قسمت، که با کاما از هم جدا می شود، عدد (سود سهام) نوشته می شود: 1.5 کیلوگرم برنج. برای سهولت محاسبه، چنین کسری همیشه می تواند به شکل اشتباه نوشته شود: 1 2/10 کیلوگرم سیب زمینی. برای ساده‌تر کردن، می‌توانید با تقسیم کردن آن‌ها بر یک عدد صحیح، مقادیر صورت‌دهنده و مخرج را کاهش دهید. در این مثال می توانید بر 2 تقسیم کنید. نتیجه 1 1/5 کیلوگرم سیب زمینی خواهد بود. اطمینان حاصل کنید که اعدادی که قرار است با آنها محاسبات انجام دهید به همین شکل ارائه شوند.

کسری- عددی که از یک عدد صحیح از کسری یک واحد تشکیل شده و به شکل a/b نمایش داده می شود.

شمارنده کسر (a)- عددی که در بالای خط کسری قرار دارد و تعداد سهامی را که واحد به آنها تقسیم شده است نشان می دهد.

مخرج کسری (ب)- عددی که در زیر خط کسری قرار دارد و نشان می دهد که واحد به چند قسمت تقسیم شده است.

2. تقلیل کسرها به مخرج مشترک

3. عملیات حسابی روی کسرهای معمولی

3.1. جمع کسرهای معمولی

3.2. تفریق کسرها

3.3. ضرب کسرهای مشترک

3.4. تقسیم کسرها

4. اعداد متقابل

5. اعشاری

6. عملیات حسابی روی اعشار

6.1. اضافه کردن اعشار

6.2. تفریق اعشار

6.3. ضرب اعشار

6.4. تقسیم اعشاری

#1. خاصیت اصلی کسری

اگر صورت و مخرج کسری در عددی که برابر با صفر نیست ضرب یا تقسیم شود، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید.

3/7=3*3/7*3=9/21، یعنی 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - این چیزی است که ویژگی اصلی یک کسری به نظر می رسد.

به عبارت دیگر، با ضرب یا تقسیم صورت و مخرج کسر اصلی بر همان عدد طبیعی، کسری برابر با کسری به دست می‌آوریم.

اگر آگهی=پیش از میلاد، سپس دو کسر a/b =c /d برابر در نظر گرفته می شوند.

برای مثال، کسرهای 3/5 و 9/15 برابر خواهند بود، زیرا 3*15=5*9، یعنی 45=45

کاهش کسریفرآیند جایگزینی کسری است که در آن کسر جدید برابر با کسر اصلی است، اما با صورت و مخرج کوچکتر.

مرسوم است که کسرها را بر اساس ویژگی اصلی کسر کاهش می دهند.

به عنوان مثال، 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (صورت و مخرج بر عدد 3، بر 5 و بر 15 تقسیم می شوند).

کسر تقلیل ناپذیرکسری از فرم است 3/4 ​ ​ ، که در آن صورت و مخرج اعداد اول هستند. هدف اصلی از کاهش کسر این است که کسر را تقلیل ناپذیر کند.

2. تقلیل کسرها به مخرج مشترک

برای آوردن دو کسر به یک مخرج مشترک، باید:

1) مخرج هر کسری را به عوامل اول تبدیل کنید.

2) صورت و مخرج کسر اول را در کسرهای از دست رفته ضرب کنید

عوامل ناشی از بسط مخرج دوم؛

3) صورت و مخرج کسر دوم را در ضرایب گمشده از بسط اول ضرب کنید.

مثال: کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.

بیایید مخرج ها را به عوامل ساده تبدیل کنیم: 18=3∙3∙2، 15=3∙5

صورت و مخرج کسر را در ضریب گمشده 5 از بسط دوم ضرب کنید.

صورت و مخرج کسری به عوامل گمشده 3 و 2 از بسط اول.

= , 90 – مخرج مشترک کسرها.

3. عملیات حسابی روی کسرهای معمولی

3.1. جمع کسرهای معمولی

الف) اگر مخرج ها یکی باشند، صورت کسر اول به صورت کسر دوم اضافه می شود و مخرج همان باقی می ماند. همانطور که در مثال می بینید:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

ب) برای مخرج‌های مختلف، کسرها ابتدا به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند و بر اساس قانون الف، اعداد جمع می‌شوند:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. تفریق کسرها

الف) اگر مخرج ها یکسان هستند، صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت کنید:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

ب) اگر مخرج کسرها متفاوت باشد، ابتدا کسرها به مخرج مشترک آورده می شوند و سپس اعمال مانند نقطه الف تکرار می شوند.

3.3. ضرب کسرهای مشترک

ضرب کسرها از قانون زیر پیروی می کند:

a/b*c/d=a*c/b*d،

یعنی صورت و مخرج را جداگانه ضرب می کنند.

به عنوان مثال:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. تقسیم کسرها

کسری ها به روش زیر تقسیم می شوند:

a/b:c/d=a*d/b*c،

یعنی کسر a/b در کسر معکوس آن ضرب می شود، یعنی در d/c ضرب می شود.

مثال: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. اعداد متقابل

اگر a*b=1،سپس عدد b است شماره متقابلبرای عدد a

مثال: برای عدد 9 متقابل است 1/9 ​ ​ ، از 9*1/9 = 1 ، برای عدد 5 - عدد معکوس 1/5 ​ ​ ، زیرا 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. اعشار

اعشاریکسر مناسبی است که مخرج آن برابر است 10، 1000، 10 000، …، 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

به عنوان مثال: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

موارد نادرست با مخرج نیز به همین ترتیب نوشته می شوند 10^nیا اعداد مختلط

برای مثال: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

هر کسری معمولی با مخرجی که مقسوم علیه توان معین 10 باشد به صورت کسری اعشاری نشان داده می شود.

یک تغییر دهنده که مقسوم علیه توان معینی از عدد 10 است.

مثال: 5 مقسوم علیه 100 است، پس کسری است 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. عملیات حسابی روی اعشار

6.1. اضافه کردن اعشار

برای جمع کردن دو کسر اعشاری باید آنها را طوری مرتب کنید که اعداد یکسان زیر یکدیگر و یک کاما در زیر کاما وجود داشته باشد و سپس کسرها را مانند اعداد معمولی جمع کنید.

6.2. تفریق اعشار

به همان روش اضافه انجام می شود.

6.3. ضرب اعشار

هنگام ضرب اعداد اعشاری کافی است اعداد داده شده را ضرب کنید بدون توجه به کاما (مانند اعداد طبیعی) و در جواب حاصل، یک کاما در سمت راست به تعداد ارقام بعد از اعشار در هر دو عامل جدا می شود. در مجموع

بیایید 2.7 را در 1.3 ضرب کنیم. ما داریم 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . دو رقم سمت راست را با کاما از هم جدا می کنیم (اعداد اول و دوم یک رقم بعد از نقطه اعشار دارند. 1+1=2 1 + 1 = 2 ). در نتیجه بدست می آوریم 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

اگر نتیجه به دست آمده حاوی رقم های کمتری باشد که باید با کاما از هم جدا شوند، صفرهای از دست رفته در جلو نوشته می شوند، به عنوان مثال:

برای ضرب در 10، 100، 1000، باید اعشار 1، 2، 3 رقم را به سمت راست حرکت دهید (در صورت لزوم، تعداد معینی از صفر به سمت راست اختصاص داده می شود).

به عنوان مثال: 1.47\cdot 10000 = 14700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. تقسیم اعشاری

تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی مانند تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی انجام می شود. کاما در ضریب بعد از اتمام تقسیم کل قسمت قرار می گیرد.

اگر قسمت صحیح سود سهام از مقسوم علیه کوچکتر باشد، پاسخ صفر عدد صحیح است، به عنوان مثال:

بیایید تقسیم اعشار بر اعشار را بررسی کنیم. فرض کنید باید 2.576 را بر 1.12 تقسیم کنیم. اول از همه، بیایید تقسیم و مقسوم علیه کسری را در 100 ضرب کنیم، یعنی نقطه اعشار را در تقسیم به سمت راست و مقسوم علیه را به تعداد رقمی که در مقسوم علیه پس از اعشار وجود دارد، حرکت دهیم (در این مثال، دو). سپس باید کسری 257.6 را بر عدد طبیعی 112 تقسیم کنید، یعنی مشکل به حالتی که قبلاً در نظر گرفته شده کاهش می یابد:

این اتفاق می افتد که کسر اعشاری نهایی همیشه هنگام تقسیم یک عدد بر عدد دیگر بدست نمی آید. نتیجه یک کسر اعشاری نامتناهی است. در چنین مواردی به سراغ کسرهای معمولی می رویم.

به عنوان مثال، 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

من خودم با این واقعیت روبرو شدم که کسری برای فرزندانم موضوع نسبتاً دشواری بود.

یک بازی بسیار خوب Nikitin's Fractions وجود دارد که برای کودکان پیش دبستانی در نظر گرفته شده است، اما در مدرسه نیز به کودک کمک می کند تا بفهمد آنها چیست - کسری ها، رابطه آنها با یکدیگر ...، و همه به صورت قابل دسترس، بصری و فرم هیجان انگیز

از دوازده دایره چند رنگ تشکیل شده است. یک دایره کامل است و بقیه به قسمت های مساوی تقسیم می شوند - دو، سه ... (تا دوازده).

از کودک خواسته می شود کارهای ساده بازی را انجام دهد، به عنوان مثال:

اجزای دایره ها چه نامیده می شوند؟ یا

کدام قسمت بزرگتر است؟ (کوچکتر را روی بزرگتر قرار دهید.)

این تکنیک به من کمک کرد. به طور کلی، من واقعا متاسفم که همه این تحولات نیکیتین در زمانی که بچه ها هنوز نوزاد بودند توجه من را جلب نکرد.

می توانید بازی را خودتان بسازید یا یک بازی آماده بخرید و در مورد همه چیز بیشتر بدانید -.

حل کسری را می توان با استفاده از آجر لگو نیز توضیح داد. نه تنها تخیل، بلکه تفکر خلاق و منطقی را نیز توسعه می دهد، به این معنی که می توان از آن به عنوان یک کمک آموزشی نیز استفاده کرد.

آلیسیا زیمرمن ایده استفاده از بلوک های طراح معروف را برای آموزش اصول ریاضیات به کودکان مطرح کرد.

و در اینجا نحوه توضیح کسری با استفاده از لگو آمده است.





تمرین نشان می دهد که بیشترین مشکلات هنگام جمع کردن (تفریق) کسری با مخرج های مختلف و هنگام تقسیم کسری ایجاد می شود.

مشکلات به دلیل دستورالعمل های نادرست کتاب درسی مانند تقسیم کسری بر کسری ایجاد می شود.

برای تقسیم کسری بر کسری، صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم و صورت کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب می کنیم.

آیا کودک کلاس چهارم می تواند این را بفهمد و گیج نشود؟ نه!

و معلم آن را به صورت ابتدایی برای ما توضیح داد: باید کسر دوم را برگردانیم و سپس آن را ضرب کنیم!

همین مورد با اضافه کردن.

برای جمع کردن دو کسر باید صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید و صورت کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب کنید و اعداد به دست آمده را جمع کرده و در کسر بنویسید. و در مخرج باید حاصلضرب مخرج کسرها را بنویسید. پس از این، کسر حاصل را می توان (یا باید) کاهش داد.

و ساده تر است: کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید که برابر با LCM مخرج ها است و سپس اعداد را اضافه کنید.

آنها را با یک مثال واضح نشان دهید. مثلا یک سیب را 4 قسمت کنید، 8 قسمت کنید، 12 قسمت را به یک کل اضافه کنید، چند قسمت اضافه کنید، کم کنید. در عین حال روی کاغذ با استفاده از قوانین توضیح دهید. قوانین جمع و تفریق تقسیم کسرها، و همچنین نحوه جداسازی یک کل از یک کسر نامناسب - همه اینها را هنگام دستکاری با سیب یاد بگیرید. بچه ها را عجله نکنید، بگذارید آنها با کمک شما با دقت برش ها را مرتب کنند.

آموزش حل کسری به کودکان بسیار رایج است و مشکل زیادی ایجاد نخواهد کرد. ساده ترین کاری که می توانید انجام دهید این است که یک چیز کامل، مثلاً یک نارنگی یا هر میوه دیگری را بردارید، آن را به قطعات تقسیم کنید و از یک مثال برای نشان دادن عملیات تفریق، جمع و کارهای دیگر با تکه های این میوه استفاده کنید که کسری از این میوه خواهد بود. کل همه چیز نیاز به توضیح و نشان دادن دارد و فاکتور نهایی، توضیح و حل مسائل با هم با استفاده از مثال های ریاضی خواهد بود تا زمانی که کودک یاد بگیرد خودش این کارها را انجام دهد.

شکل به وضوح نشان می دهد که چه چیزی و چگونه کسری بر روی یک جسم واقعی به نظر می رسد، دقیقاً باید توضیح داده شود.



شما باید به طور کامل به این موضوع نزدیک شوید، زیرا حل کسری در زندگی مفید خواهد بود. لازم است در این موضوع به قول خودشان با بچه ها برابر بود و نظریه را به زبانی که می فهمند توضیح داد مثلاً به زبان کیک یا نارنگی. شما باید کیک را به do تقسیم کنید و به دوستان بدهید، پس از آن کودک شروع به درک ماهیت حل کسری خواهد کرد. با کسرهای سنگین شروع نکنید، با مفاهیم 1/2، 1/3، 1/10 شروع کنید. ابتدا تفریق و جمع کنید و سپس به سراغ مفاهیم پیچیده تری مانند ضرب و تقسیم بروید.

مسائل مربوط به کسرها انواع مختلفی دارند. یک کودک نمی تواند بفهمد که یک ثانیه و پنج دهم یک چیز هستند، دیگران با آوردن کسرهای مختلف به مخرج یکسان گیج می شوند و برخی دیگر با تقسیم کسرها گیج می شوند. بنابراین، هیچ قانون واحدی برای همه موارد وجود ندارد.

نکته اصلی در مسائل مربوط به کسرها این است که لحظه ای را از دست ندهید که آنچه قابل درک است از بین می رود. به اجاق گاز برگردید و همه چیز را دوباره تکرار کنید، حتی اگر بدوی به نظر برسد. به عنوان مثال، به عقب برگردید یک ثانیه چیست.

کودک باید درک کند که مفاهیم ریاضی انتزاعی هستند، که یک پدیده را می توان با کلمات مختلف توصیف کرد و با اعداد مختلف بیان کرد.

من جواب داده شده توسط Mefody66 را دوست دارم. من از چندین سال تمرین شخصی اضافه خواهم کرد: آموزش نحوه حل مسائل با کسری (و حل نکردن کسری؛ حل کسری غیرممکن است، همانطور که حل اعداد غیرممکن است) بسیار آسان است، فقط باید به کودک نزدیک باشید. وقتی برای اولین بار شروع به حل این گونه مسائل کرد و راه حل خود را به موقع تصحیح کرد تا اشتباهاتی که در هر یادگیری اجتناب ناپذیر است، فرصتی برای تسخیر در ذهن کودک نداشته باشد. یادگیری مجدد دشوارتر از یادگیری چیزهای جدید است. و این گونه مشکلات را تا حد امکان حل کنید. رساندن راه حل چنین وظایفی به حالت خودکار کار خوبی خواهد بود. توانایی حل مسائل با کسرهای معمولی در درس ریاضی مدرسه به اندازه دانش جدول ضرب مهم است. بنابراین باید برای تماشای چگونگی حل چنین مشکلاتی توسط فرزندتان وقت بگذارید.

و زیاد به کتاب درسی تکیه نکنید: معلمان مدارس دقیقاً همانطور که Mefody66 در پاسخ خود نوشته است توضیح می دهند. بهتر است با معلم صحبت کنید، ببینید معلم با چه کلماتی این موضوع را توضیح داده است. و در صورت امکان از همان کلمات و عبارات استفاده کنید (برای اینکه کودک را بیش از حد گیج نکنید)

همچنین: به شما توصیه می کنم فقط در مرحله اولیه توضیح از مثال های تصویری استفاده کنید، سپس به سرعت انتزاع کنید و به سراغ الگوریتم حل بروید. در غیر این صورت، وضوح ممکن است هنگام حل مشکلات پیچیده تر مضر باشد. به عنوان مثال، اگر نیاز به اضافه کردن کسری با مخرج 29 و 121 دارید، چه نوع کمک بصری کمک خواهد کرد؟ فقط گیج خواهد شد.

کسرها یکی از آن مباحث ریاضی پر برکت است که در آن انتزاعی وجود ندارد که در مورد مورد استفاده نباشد. محصولات باید استفاده شوند (روی کیک ها، مانند خوانیتا سولیس در خانه دارهای ناامید - روشی واقعا جالب برای توضیح). همه این صورت‌ها بعداً می‌آیند. سپس لازم است کودک بفهمد که تقسیم بر کسری دیگر اصلاً کاهش نیست و ضرب افزایش نیست. در اینجا بهتر است نحوه تقسیم بر کسری را به صورت ضرب در وارون نشان دهیم. اگر به یک عدد تقسیم می شوند، مخفف را به شکل بازیگوشی ارائه دهید، سپس تقسیم کنید، اگر علاقه مند هستید، تقریباً معلوم می شود که سودوکو است. نکته اصلی این است که به موقع متوجه سوء تفاهم شوید، زیرا در ادامه موضوعات جالب تری وجود خواهد داشت که درک آنها آسان نیست. بنابراین، تمرین بیشتری برای حل کسری داشته باشید و همه چیز به سرعت بهتر می شود. برای من، ناب ترین انسان گرا، به دور از کوچکترین درجه انتزاعی، کسری ها همیشه واضح تر از موضوعات دیگر بوده اند.