द्रव्यमान का केंद्र: अवधारणा, गणना और बुनियादी सिद्धांत। भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के लिए द्रव्यमान के केंद्र का निर्धारण सूत्र

सिस्टम गति के विभेदक समीकरण

आइए $n$ सामग्री बिंदुओं से युक्त एक प्रणाली पर विचार करें। आइए $m_(k) द्रव्यमान वाले सिस्टम के कुछ बिंदु का चयन करें। $ हम बिंदु पर लागू सभी बाहरी बलों (सक्रिय और बाधा प्रतिक्रियाओं दोनों) के परिणाम को $\overline(F)_(k)^(e) द्वारा निरूपित करते हैं। ) $, और परिणामी सभी आंतरिक बल - $\overline(F)_(k)^(l) $ के माध्यम से। यदि बिंदु में त्वरण $\overline(a_(k) )$ है, तो गतिशीलता के मूल नियम के अनुसार:

हमें किसी भी बिंदु के लिए समान परिणाम मिलता है। इसलिए, संपूर्ण सिस्टम के लिए यह होगा:

समीकरण (1) सदिश रूप में प्रणाली की गति के विभेदक समीकरण हैं।

समन्वय अक्षों पर समानताएं (1) प्रक्षेपित करते हुए, हम इन अक्षों पर प्रक्षेपणों में अंतर रूप में प्रणाली की गति के समीकरण प्राप्त करते हैं।

हालाँकि, कई विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, सिस्टम के प्रत्येक बिंदु की गति के नियम को खोजने की आवश्यकता उत्पन्न नहीं होती है, लेकिन कभी-कभी यह उन विशेषताओं को खोजने के लिए पर्याप्त होता है जो संपूर्ण सिस्टम की गति को निर्धारित करते हैं।

निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय

किसी निकाय की गति की प्रकृति निर्धारित करने के लिए उसके द्रव्यमान केंद्र की गति के नियम को जानना आवश्यक है। किसी निकाय का द्रव्यमान केंद्र या जड़त्व केंद्र एक ऐसा काल्पनिक बिंदु है, जिसकी त्रिज्या सदिश $R$ को भौतिक बिंदुओं के त्रिज्या सदिश $r_(1) ,r_(2) ,...$के माध्यम से व्यक्त किया जाता है सूत्र के लिए:

$R=\frac(m_(1) r_(1) +m_(2) r_(2) +...+m_(n) r_(n) )(m) $, (2)

जहां $m=m_(1) +m_(2) +...+m_(n) $ पूरे सिस्टम का कुल द्रव्यमान है।

इस नियम को खोजने के लिए, आइए हम सिस्टम (1) की गति के समीकरणों की ओर मुड़ें और उनके बाएँ और दाएँ पक्षों को पद दर पद जोड़ें। तब हमें मिलता है:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =\sum \overline(F)_(k)^(e) +\sum \overline(F)_(k)^(l) $. (3)

सूत्र (2) से हमारे पास है:

समय के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न लेने पर, हमें मिलता है:

$\sum m_(k) \overline(a)_(k) =M\overline(a)_(c) $, (4)

जहां $\overline(a)_(c) $ सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है।

चूंकि, सिस्टम में आंतरिक बलों की संपत्ति से, $\sum \overline(F)_(k)^(l) =0$, हम अंततः (4) को ध्यान में रखते हुए, समानता (3) से प्राप्त करते हैं:

$M\overline(a)_(c) =\sum \overline(F)_(k)^(e) $. (5)

समीकरण (5) प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय व्यक्त करता है: प्रणाली के द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र के त्वरण का गुणनफल प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है, या सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु की तरह चलता है, जिसका द्रव्यमान पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है और जिस पर सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बल लागू होते हैं।

समता (5) के दोनों पक्षों को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$M\ddot(x)_(c) =\sum \overline(F)_(kx)^(e) $, $M\ddot(y)_(c) =\sum \overline(F)_( ky)^(e) $, $M\ddot(z)_(c) =\sum \overline(F)_(kz)^(e) $. (6)

ये समीकरण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों पर प्रक्षेपणों में द्रव्यमान के केंद्र की गति के विभेदक समीकरण हैं।

प्रमेय का अर्थ इस प्रकार है:

प्रमेय

• एक आगे बढ़ने वाले पिंड को हमेशा शरीर के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान वाला एक भौतिक बिंदु माना जा सकता है। अन्य मामलों में, शरीर को एक भौतिक बिंदु के रूप में तभी माना जा सकता है, जब व्यवहार में, शरीर की स्थिति निर्धारित करने के लिए, उसके द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति जानना पर्याप्त हो और यह शर्तों के अनुसार स्वीकार्य हो। समस्या, शरीर की गति के घूर्णी भाग को ध्यान में न रखना;
• प्रमेय हमें पहले की सभी अज्ञात आंतरिक शक्तियों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है। यही इसका व्यावहारिक मूल्य है.

उदाहरण

एक केन्द्रापसारक मशीन की धुरी पर एक धागे पर लटकी हुई एक धातु की अंगूठी कोणीय वेग $\omega $ के साथ समान रूप से घूमती है। धागा अक्ष के साथ $\alpha $ का कोण बनाता है। वलय के केंद्र से घूर्णन अक्ष तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

\[\ओमेगा \] \[\अल्फा \]

हमारा सिस्टम गुरुत्वाकर्षण बल $\overline(N)$ $\overline(N)$ $\alpha \alpha$, धागे के तनाव बल और सेंट्रिपेटल त्वरण से प्रभावित होता है।

आइए हमारे सिस्टम के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखें:

आइए दोनों भागों को x और y अक्षों पर प्रक्षेपित करें:

\[\left\( \begin(array)(c) N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end(array) \right.(4)\]

एक समीकरण को दूसरे से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

चूँकि $a=\frac(v^(2) )(R) ;$$v=\omega R$, हम आवश्यक दूरी ज्ञात करते हैं:

उत्तर: $R=\frac(gtg\alpha )(\omega ^(2) ) $

सिस्टम का एक आरेख बनाएं और उस पर गुरुत्वाकर्षण का केंद्र चिह्नित करें।यदि गुरुत्वाकर्षण का पाया गया केंद्र वस्तु प्रणाली के बाहर है, तो आपको गलत उत्तर प्राप्त हुआ है। आपने विभिन्न संदर्भ बिंदुओं से दूरियाँ मापी होंगी। माप दोहराएँ.

• उदाहरण के लिए, यदि बच्चे झूले पर बैठे हैं, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र बच्चों के बीच कहीं होगा, न कि झूले के दायीं या बायीं ओर। साथ ही, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उस बिंदु से कभी मेल नहीं खाएगा जहां बच्चा बैठा है।
• ये तर्क द्वि-आयामी स्थान में मान्य हैं। एक वर्ग बनाएं जिसमें सिस्टम की सभी वस्तुएं शामिल होंगी। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस वर्ग के अंदर होना चाहिए।

यदि आपको छोटा परिणाम मिलता है तो अपनी गणित गणना की जाँच करें।यदि संदर्भ बिंदु सिस्टम के एक छोर पर है, तो एक छोटा परिणाम गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को सिस्टम के अंत के पास रखता है। यह सही उत्तर हो सकता है, लेकिन अधिकांश मामलों में यह परिणाम त्रुटि का संकेत देता है। जब आपने क्षणों की गणना की, तो क्या आपने संबंधित भार और दूरियों को गुणा किया? यदि आप गुणा करने के बजाय वज़न और दूरियाँ जोड़ते हैं, तो आपको बहुत छोटा परिणाम मिलेगा।

यदि आपको गुरुत्वाकर्षण के अनेक केंद्र मिलते हैं तो त्रुटि सुधारें।प्रत्येक प्रणाली में गुरुत्वाकर्षण का केवल एक केंद्र होता है। यदि आपको गुरुत्वाकर्षण के कई केंद्र मिले हैं, तो संभवतः आपने सभी क्षणों को नहीं जोड़ा है। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र "कुल" क्षण और "कुल" वजन के अनुपात के बराबर है। "प्रत्येक" क्षण को "प्रत्येक" भार से विभाजित करने की कोई आवश्यकता नहीं है: इस तरह से आपको प्रत्येक वस्तु की स्थिति मिल जाएगी।

परिभाषा

शास्त्रीय यांत्रिकी में भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र (जड़ता केंद्र) की स्थिति निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

सतत जन वितरण के मामले के लिए:

इस प्रकार द्रव्यमान का केंद्र किसी पिंड या कणों की प्रणाली पर द्रव्यमान के वितरण को दर्शाता है।

सजातीय आकृतियों के द्रव्यमान के केंद्र

• खंड में एक मध्य है.
• बहुभुजों के लिए (ठोस सपाट आकृतियाँ और फ़्रेम दोनों):
  • एक त्रिभुज में माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है ( केन्द्रक).
• एक नियमित बहुभुज में घूर्णी समरूपता का एक केंद्र होता है।

यांत्रिकी में

द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा का भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

किसी कठोर पिंड की गति को उसके द्रव्यमान केंद्र की गति और उसके द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर पिंड की घूर्णी गति के सुपरपोजिशन के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में, द्रव्यमान का केंद्र उसी तरह गति करता है जैसे समान द्रव्यमान, लेकिन अनंत रूप से छोटे आयाम (भौतिक बिंदु) वाला कोई पिंड गति करता है। उत्तरार्द्ध का अर्थ, विशेष रूप से, यह है कि न्यूटन के सभी नियम इस आंदोलन का वर्णन करने के लिए लागू होते हैं। कई मामलों में, आप किसी पिंड के आकार और आकृति को पूरी तरह से अनदेखा कर सकते हैं और केवल उसके द्रव्यमान के केंद्र की गति पर विचार कर सकते हैं।

द्रव्यमान के केंद्र से जुड़े संदर्भ प्रणाली में बंद प्रणाली की गति पर विचार करना अक्सर सुविधाजनक होता है। ऐसी संदर्भ प्रणाली को द्रव्यमान प्रणाली का केंद्र (सी-सिस्टम), या जड़ता प्रणाली का केंद्र कहा जाता है। इसमें किसी बंद प्रणाली का कुल संवेग सदैव शून्य के बराबर रहता है, जिससे इसकी गति के समीकरणों को सरल बनाना संभव हो जाता है।

सापेक्षतावादी यांत्रिकी में द्रव्यमान का केंद्र

उच्च गति के मामले में (प्रकाश की गति के क्रम पर) (उदाहरण के लिए, कण भौतिकी में), एसआरटी उपकरण का उपयोग सिस्टम की गतिशीलता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। सापेक्षतावादी यांत्रिकी (एसआरटी) में, अवधारणाएँ सेंटर ऑफ मासऔर जन प्रणालियों का केंद्रये भी सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, हालाँकि, अवधारणा की परिभाषा बदल जाती है:

गलतियों से बचने के लिए, यह समझा जाना चाहिए कि एसटीआर में द्रव्यमान का केंद्र द्रव्यमान के वितरण से नहीं, बल्कि ऊर्जा के वितरण से पहचाना जाता है। लैंडौ और लिवशिट्स द्वारा सैद्धांतिक भौतिकी के पाठ्यक्रम में, "जड़ता के केंद्र" शब्द को प्राथमिकता दी गई है। प्राथमिक कणों पर पश्चिमी साहित्य में, "द्रव्यमान का केंद्र" शब्द का प्रयोग किया जाता है। दोनों पद समतुल्य हैं.

सापेक्ष यांत्रिकी में द्रव्यमान के केंद्र की गति सूत्र द्वारा पाई जा सकती है:

ग्रैविटी केंद्र

पिंड के द्रव्यमान के केंद्र को गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए!

शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्रवह बिंदु है जिसके सापेक्ष सिस्टम पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण का कुल क्षण शून्य के बराबर है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी प्रणाली में जिसमें दो समान द्रव्यमान एक अनम्य छड़ से जुड़े होते हैं और एक गैर-समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (उदाहरण के लिए, एक ग्रह) में रखे जाते हैं, द्रव्यमान का केंद्र छड़ के बीच में होगा, जबकि का केंद्र प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण छड़ के उस सिरे पर स्थानांतरित हो जाएगा जो ग्रह के करीब है (क्योंकि द्रव्यमान का भार पी = एम जीगुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पैरामीटर पर निर्भर करता है जी), और, सामान्यतया, रॉड के बाहर भी स्थित है।

एक स्थिर समानांतर (समान) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र हमेशा द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है। इसलिए, व्यवहार में, ये दोनों केंद्र लगभग मेल खाते हैं (चूंकि गैर-अंतरिक्ष समस्याओं में बाहरी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को शरीर के आयतन के भीतर स्थिर माना जा सकता है)।

इसी कारण से, अवधारणा सेंटर ऑफ मासऔर ग्रैविटी केंद्रसंयोग तब होता है जब इन शब्दों का उपयोग ज्यामिति, स्थैतिकी और इसी तरह के क्षेत्रों में किया जाता है, जहां भौतिकी की तुलना में इसके उपयोग को रूपक कहा जा सकता है और जहां उनकी तुल्यता की स्थिति परोक्ष रूप से मानी जाती है (क्योंकि कोई वास्तविक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र नहीं है और इसकी अमानवीयता को ध्यान में रखते हुए) कोई मतलब नहीं) इन अनुप्रयोगों में, परंपरागत रूप से दोनों शब्द पर्यायवाची हैं, और अक्सर दूसरे को केवल इसलिए प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि वह पुराना है।

यह भी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन.

• 2010.
• प्लाज्मा

शिट्टे, लुडविग

सेंटर ऑफ मासदेखें अन्य शब्दकोशों में "द्रव्यमान का केंद्र" क्या है: - (जड़ता का केंद्र) किसी पिंड (भौतिक बिंदुओं की प्रणाली) का, एक बिंदु जिसकी स्थिति किसी पिंड या यांत्रिक प्रणाली में द्रव्यमान के वितरण की विशेषता बताती है। जब कोई पिंड गति करता है, तो उसका द्रव्यमान केंद्र संपूर्ण पिंड के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान वाले एक भौतिक बिंदु के रूप में गति करता है... ...

विश्वकोश शब्दकोशसेंटर ऑफ मास - किसी पिंड का (जड़त्व केंद्र) (भौतिक बिंदुओं की प्रणाली) किसी पिंड या यांत्रिक प्रणाली में द्रव्यमान के वितरण को दर्शाने वाला एक बिंदु। जब कोई पिंड गति करता है, तो उसका द्रव्यमान केंद्र एक भौतिक बिंदु के रूप में गति करता है जिसका द्रव्यमान संपूर्ण पिंड के द्रव्यमान के बराबर होता है... ...

सेंटर ऑफ मासबड़ा विश्वकोश शब्दकोश - यांत्रिक प्रणाली; सेंटर ऑफ मास; उद्योग जड़त्व केंद्र एक ज्यामितीय बिंदु जिसके लिए एक यांत्रिक प्रणाली बनाने वाले सभी भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान और इस बिंदु से खींचे गए उनके त्रिज्या वैक्टर के उत्पादों का योग शून्य के बराबर होता है...

विश्वकोश शब्दकोशपॉलिटेक्निक शब्दावली व्याख्यात्मक शब्दकोश - जड़ता के केंद्र के समान। भौतिक विश्वकोश शब्दकोश। एम.: सोवियत विश्वकोश। प्रधान संपादक ए. एम. प्रोखोरोव। 1983. जनसमूह का केंद्र...

सेंटर ऑफ मास- 3.1 द्रव्यमान का केंद्र: एक भौतिक शरीर से जुड़ा एक बिंदु और ऐसी संपत्ति है कि इस भौतिक शरीर के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान वाली एक काल्पनिक बिंदु वस्तु, यदि इस बिंदु पर रखी जाती है, तो उसके सापेक्ष जड़ता का क्षण समान होगा एक मनमाना... ... मानक और तकनीकी दस्तावेज़ीकरण की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

सेंटर ऑफ मास- जड़ता का केंद्र, एक ज्यामितीय बिंदु, जिसकी स्थिति किसी शरीर या यांत्रिक प्रणाली में द्रव्यमान के वितरण को दर्शाती है। केंद्रीय द्रव्यमान के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, या द्रव्यमान के निरंतर वितरण वाले शरीर के लिए ... ... महान सोवियत विश्वकोश

विश्वकोश शब्दकोश- जड़ता का केंद्र, बिंदु सी, यांत्रिक में द्रव्यमान के वितरण की विशेषता। प्रणाली। भौतिक बिंदुओं से युक्त प्रणाली के केंद्रीय द्रव्यमान का त्रिज्या वेक्टर, जहां mi और ri iवें बिंदु का द्रव्यमान और त्रिज्या वेक्टर हैं, और M पूरे सिस्टम का द्रव्यमान है। जब सिस्टम चलता है, तो केंद्रबिंदु चलता है... बिग इनसाइक्लोपीडिक पॉलिटेक्निक डिक्शनरी

विश्वकोश शब्दकोश- (जड़ता का केंद्र) एक शरीर (भौतिक बिंदुओं की प्रणाली), बिंदु, झुंड की स्थिति शरीर या यांत्रिक में द्रव्यमान के वितरण की विशेषता है। प्रणाली। जब कोई पिंड गति करता है, तो उसका केंद्रीय द्रव्यमान एक भौतिक बिंदु की तरह पूरे शरीर के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान के साथ एक झुंड की ओर बढ़ता है... ... प्राकृतिक विज्ञान. विश्वकोश शब्दकोश

द्रव्यमान का केंद्र किसी पिंड के अंदर स्थित एक ज्यामितीय बिंदु है जो इस पिंड के द्रव्यमान के वितरण को निर्धारित करता है। किसी भी निकाय को एक निश्चित संख्या में भौतिक बिंदुओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस मामले में, द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति त्रिज्या वेक्टर निर्धारित करती है।

सूत्र 1 - द्रव्यमान सदिश के केंद्र की त्रिज्या।

mi इस बिंदु का द्रव्यमान है।

री बिंदु का त्रिज्या सदिश है।

यदि आप सभी भौतिक बिंदुओं का द्रव्यमान जोड़ते हैं, तो आपको पूरे शरीर का द्रव्यमान मिलता है। द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति पिंड के आयतन पर द्रव्यमान वितरण की एकरूपता से प्रभावित होती है। द्रव्यमान का केंद्र शरीर के अंदर और बाहर दोनों जगह स्थित हो सकता है। मान लीजिए कि एक वलय के लिए, द्रव्यमान का केंद्र वृत्त के केंद्र में है। जहां कोई सार नहीं है. सामान्य तौर पर, द्रव्यमान के एक समान वितरण वाले सममित निकायों के लिए, द्रव्यमान का केंद्र हमेशा समरूपता के केंद्र या उसकी धुरी पर स्थित होता है।

चित्र 1 - सममित पिंडों के द्रव्यमान के केंद्र।

यदि शरीर पर कुछ बल लगाया जाए तो वह हिलना शुरू कर देगा। एक मेज की सतह पर पड़ी एक अंगूठी की कल्पना करें। यदि आप उस पर बल लगाते हैं, और बस धक्का देना शुरू कर देते हैं, तो वह मेज की सतह पर सरक जाएगा। लेकिन गति की दिशा उस स्थान पर निर्भर करेगी जहां बल लगाया गया है।

यदि बल को बाहरी किनारे से केंद्र की ओर, बाहरी सतह के लंबवत निर्देशित किया जाता है, तो बल लगाने की दिशा में वलय मेज की सतह के साथ सीधी रेखा में चलना शुरू कर देगा। यदि वलय की बाहरी त्रिज्या पर स्पर्शरेखीय बल लगाया जाए, तो यह अपने द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष घूमना शुरू कर देगा। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी पिंड की गति में द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष अनुवादात्मक और घूर्णी गति का योग होता है। अर्थात्, किसी भी पिंड की गति को द्रव्यमान के केंद्र में स्थित और पूरे शरीर का द्रव्यमान रखने वाले एक भौतिक बिंदु की गति से वर्णित किया जा सकता है।

चित्र 2 - रिंग की ट्रांसलेशनल और घूर्णी गति।

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की अवधारणा भी है। सामान्य तौर पर, यह द्रव्यमान के केंद्र के समान नहीं है। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वह बिंदु है जिसके सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का कुल क्षण शून्य होता है। यदि हम एक छड़ की कल्पना करें, मान लीजिए 1 मीटर लंबी, 1 सेमी व्यास वाली और अनुप्रस्थ काट में एकसमान। समान द्रव्यमान की धातु की गेंदें छड़ के सिरों से जुड़ी होती हैं। तब इस छड़ का द्रव्यमान केन्द्र मध्य में होगा। यदि इस छड़ को गैर-समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में रखा जाए, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र अधिक क्षेत्र शक्ति की ओर स्थानांतरित हो जाएगा।

चित्र 3 - एक गैर-समान और समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में शरीर।

पृथ्वी की सतह पर, जहाँ गुरुत्वाकर्षण बल एक समान है, द्रव्यमान का केंद्र व्यावहारिक रूप से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से मेल खाता है। किसी भी स्थिर समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र हमेशा द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाएगा।