जर्मन गणितज्ञ और सैद्धांतिक खगोलशास्त्री अगस्त फर्डिनेंड मोबियस (1790-1868) - महान गॉस के छात्र, प्रसिद्ध जियोमीटर, लीपज़िग विश्वविद्यालय में प्रोफेसर, वेधशाला के निदेशक। शिक्षण के लंबे वर्ष, कार्य के लंबे वर्ष - एक प्रोफेसर का सामान्य जीवन।

एकतरफ़ा सतह की खोज के बारे में दो किंवदंतियाँ हैं।

गणितज्ञों द्वारा मोबियस स्ट्रिप (अन्यथा मोबियस स्ट्रिप या मोबियस लूप के रूप में जाना जाता है) का नाम क्या है?

गणित की भाषा में ये हैटोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट, सबसे सरल एक तरफा सतह साधारण त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक किनारे के साथ, जहां आप किनारों को पार किए बिना इस सतह के एक बिंदु से किसी अन्य तक पहुंच सकते हैं।

काफी जटिल परिभाषा!

इसलिए, मोबियस स्ट्रिप को करीब से देखना अधिक सुविधाजनक है। एक कागज़ की पट्टी लें, पट्टी को आधा मोड़ें (180 डिग्री) और सिरों को एक साथ चिपका दें।

दूसरी बार, "माँ ऐसे काम के लिए मेरा सिर नहीं थपथपाती"! लेकिन, इस बार आप सही हैं! यह एक मुड़ी हुई अंगूठी होनी चाहिए।

पट्टी पर कहीं-कहीं फेल्ट-टिप पेन से एक बिंदु लगाएं। अब हम अपने पूरे टेप पर एक रेखा खींचते हैं जब तक कि आप दोबारा अपनी बात पूरी न कर लें। आपको कहीं भी किनारे पर जाने की ज़रूरत नहीं है - इसे एकतरफ़ा सतह कहा जाता है।

देखिये, आपने जो रेखा खींची है वह कितनी दिलचस्प है: यह या तो रिंग के अंदर है या बाहर! अब इस रेखा की लंबाई मापें - एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक।
आश्चर्य हो रहा है?
यह कागज की मूल पट्टी से दोगुना लंबा निकला!

ऐसा ही होना चाहिए, क्योंकि आपके हाथ में मोबियस स्ट्रिप है! लेकिन मोबियस पट्टी का केवल एक ही पक्ष है, और हम फिर से कहेंगे - यह एक किनारे वाली एक तरफा सतह है।

1. मोएबियस पट्टी को केंद्र रेखा के साथ एक सर्कल में काटें। डरो मत, यह दो टुकड़ों में नहीं टूटेगा! रिबन एक लंबे बंद रिबन में खुल जाएगा, जो मूल से दोगुना मुड़ा हुआ होगा। मोबियस पट्टी इस तरह काटने पर अलग-अलग हिस्सों में क्यों नहीं टूटती?
कट ने टेप के किनारे को नहीं छुआ, इसलिए कट के बाद किनारा (और इसलिए कागज की पूरी पट्टी) एक पूरा टुकड़ा ही रहेगा।

2. पहले प्रयोग के बाद प्राप्त मोबियस पट्टी को उसकी केंद्र रेखा के साथ काटें (मूल से दोगुना यानी 360 डिग्री मुड़ी हुई)।

3. नई मोबियस स्ट्रिप बनाएं, लेकिन उसे चिपकाने से पहले उसे एक बार नहीं, बल्कि तीन बार (180 डिग्री नहीं, बल्कि 540 डिग्री) घुमाएं। फिर मध्य रेखा के साथ काटें।

अलेक्जेंडर पोस्लाव्स्की

आर्टेमी बेबी

यह ज्यामिति का अध्ययन करते समय होने वाले अल्पज्ञात आश्चर्यों के बारे में एक लघु निबंध है मोबियस स्ट्रिप्स.

साहित्य में कई नाम हैं: प्रक्षेप्य तल, एकतरफ़ा सतह, रिबनमोबियस, कुंडलीमोबियस, अँगूठीमोबियस. अपनी आदत के अनुसार भविष्य में मैं इसे अपने अध्ययन का विषय कहूँगा मोबियस रिंग.

प्रसिद्ध आश्चर्यों के बारे में संक्षेप में मोबियस बजता है . यह समझना आवश्यक है कि नीचे क्या चर्चा की जाएगी।

• यदि आप काटते हैं मोबियस अंगूठी मध्य रेखा के साथ, आप दोहरे अर्ध-मोड़ के साथ एक रिंग के साथ समाप्त होते हैं। ऐसी अंगूठी कहलाती है *अफगानिस्तान रिबन* और यह पहले से ही दो किनारों (किनारों) के साथ दो तरफा सतह है।
• यदि आप काटते हैं मोबियस अंगूठी किनारे के साथ, इसकी चौड़ाई का 1/3 पीछे हटते हुए, आपके पास अलग-अलग आकार के दो छल्ले होंगे: छोटा - मोबियस रिंग ( एक तरफा सतह ) और अधिक - *अफ़ग़ान रिबन * (दो तरफा सतह)। ये छल्ले एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।

और अब नए आश्चर्य के बारे में। वे आम जनता के बीच बहुत कम ज्ञात हैं। और सबसे ज्यादा जिज्ञासु पाठक नीचे वर्णित प्रयोगों को दोहरा सकते हैं। निबंध का लेखक कोई पेशेवर गणितज्ञ-टोपोलॉजिस्ट नहीं है; वह बाहरी मदद के बिना, अपने दम पर सब कुछ लेकर आया है। इसलिए, इस निबंध में व्यक्त प्रयोगात्मक परिणाम और विचार इसके लेखक के साथ चर्चा के लिए पेश किए गए हैं।

आश्चर्य #1

सबसे पहले मैंने गोंद लगाने की कोशिश की मोबियस अंगूठी एक से नहीं, बल्कि कागज की दो पट्टियों से, पहले उन्हें एक ढेर में रखकर (फोटो 1).यह असली चीज़ जैसा ही कुछ निकला मोबियस अंगूठी(फोटो2):

क्यों "कुछ समान"? क्योंकि जब मैंने इस अंगूठी को फैलाया, तो यह निकला कि चिपकाने के परिणामस्वरूप यह निकला " ” (फोटो 3).

और आश्चर्य क्या है? और तथ्य यह है कि जब मूल अंगूठी खींची गई थी, तो इसकी अखंडता का उल्लंघन नहीं हुआ था। इस का मतलब है कि “ इसे वापस मूल रिंग में मोड़ना काफी आसान है (छद्म अंगूठी) मोबियस(फोटो 4).

अब उसे याद करने का समय आ गया है "ए अफगानी रिबन" असली को काटकर प्राप्त किया गया मोबियस बजता है मध्य रेखा के साथ. इसलिए, काटने से प्राप्त होता है, साथ ही आसानी से मोड़ा जा सकता है छद्म-मोबियस अंगूठी . यानी काटने से मोबियस अंगूठी (आगे - किमी ) मध्य रेखा के साथ और प्राप्त करना "अफगानिस्तान टेप"(“ ए.एल .” ) , आप पहले ही प्राप्त कर सकते हैं “ ए.एल. ” इसमें एकत्र करें छद्म-मोबियस अंगूठी (आगे - आरएमबी ). आप बस गोंद लगा सकते हैं "ए.एल." और इसे मोड़ो आरएमबी. व्यवहार में परीक्षण किया गया।

आश्चर्य #2

यह आश्चर्य एक सिलसिला है आश्चर्य 1. मैंने पहले ही कागज की तीन पट्टियों को आकार में चिपका दिया है किमी , पहले उन्हें एक ढेर में रख दिया (फोटो 5 और 6)।

नतीजा निश्चित था "सैंडविच"प्रपत्र में किमी(फोटो 7). यदि आप इसे फैलाते हैं "सैंडविच", फिर यह दो छल्लों में विघटित हो जाएगा: छोटा वाला है किमी और भी बहुत कुछ है "ए.एल.", एक दूसरे से जुड़े हुए हैं (फोटो 8).

लेकिन काटने पर भी वही परिणाम प्राप्त होता है किमी द्वारा 1 / 3 इसकी चौड़ाई! पहले मामले की तरह, इन दोनों रिंगों को उनकी मूल स्थिति में जोड़ा जा सकता है "सैंडविच". सर्वप्रथम "ए.एल."में फिट बैठता है आरएमबी(फोटो 9)और तब किमी बीच में रखा गया आरएमबी(फोटो 10).व्यवहार में परीक्षण किया गया।

हैरानी की बात यह है कि पहले ही कट चुका है "सैंडविच"द्वारा 1 / 3 चौड़ाई, आप एक नया, अधिक जटिल संयोजन कर सकते हैं "सैंडविच". सैद्धांतिक रूप से ऐसा विभाजन "सैंडविच"और उन्हें एकत्रित करना जारी रखा जा सकता है... ठीक है, बहुत बार। परिणाम बहुस्तरीय होगा "सैंडविच"कई परतों से मिलकर बना है "अफ़ग़ान रिबन" और एक मोबियस बजता हैए, मध्य में स्थित है "सैंडविच".

बहुपरत (सैंडविच) संरचना के अधिक आलंकारिक प्रतिनिधित्व के लिए छद्म-मोबियस के छल्ले मैं "गणितज्ञ मजाक कर रहे हैं" श्रृंखला से दो चित्र प्रस्तुत करता हूँ:

उदाहरण का उपयोग करना "सैंडविच" (फोटो 7.10)एक तरफा सतह (प्रोजेक्टिव प्लेन) की एक और संपत्ति को आसानी से और स्पष्ट रूप से समझा जा सकता है: इसे बनाना असंभव है दो, समानांतर एक दूसरे से एकतरफ़ा सतहें (कम से कम हमारे त्रि-आयामी, यूक्लिडियन, अंतरिक्ष में)। उनमें से एक निश्चित रूप से काम करेगा दोहरा

यहां मैं एक छोटा सा विषयांतर करूंगा। इंटरनेट पर मुझे एक प्रयोग का विवरण मिला मोबियस रिंग . यह इस तरह दिखता था: एक बहुलक फिल्म के रूप में किमी धातु की परत लगाई गई। परिणामी नमूने पर विभिन्न क्रियाएं की गईं, यह देखते हुए कि प्रयोग किए जा रहे थे किमी . कड़ाई से बोलते हुए, उपरोक्त पर प्रयोग किए गए "सैंडविच", जहां काम करने वाली धातु की परत थी "अफगानिस्तान रिबन" , ए मोबियस रिंग वहाँ एक भार वहन करने वाली पॉलिमर फिल्म थी।

विषय पर लौटते हुए, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि मैं भी प्रयोग करना चाहता था किमी . लेकिन मैं अपूर्ण फॉर्म से खुश नहीं था किमी , आयताकार पट्टियों से प्राप्त किया गया। इस "आयताकार" संरचना में विरूपण के कम से कम तीन क्षेत्र हैं, जो चपटे होने पर स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं किमी. इसलिए मैंने ऐसा सोचा किमी, एस-आकार की पट्टियों के आधार पर इकट्ठे किए गए, संचालन में अधिक तकनीकी रूप से उन्नत (फोटो 11 और 12)।

पाने के किमी से एस-एक आकार की पट्टी के लिए, पट्टी के सिरों को जोड़ना और उन्हें एक साथ चिपकाना पर्याप्त है। इसके अलावा, आप पट्टी को किस दिशा में मोड़ते हैं, इसके आधार पर आपको बाएँ या दाएँ हाथ का संस्करण मिलेगा किमी . उपरोक्त उतना ही सरल है. "सैंडविच": एक ढेर बनाया जाता है 3 -एक्स एस-आकार की पट्टियाँ, उनके सिरों को एक साथ लाया जाता है और एक-एक करके चिपका दिया जाता है।

काटने के साथ प्रयोग मोबियस बजता है और संग्रह करना "सैंडविच"इस विकल्प के साथ वे अधिक दृश्यमान होते हैं और संयोजन बहुत आसान होता है।

"सैंडविच", तीन स्ट्रिप्स से प्राप्त फॉर्म में एक संधारित्र बनाने के लिए एक मॉडल के रूप में काम कर सकता है किमी . आपको बस यह समझने की जरूरत है कि पहले आपको सृजन करने की जरूरत है किमी धातु की पन्नी (आंतरिक प्लेट-इलेक्ट्रोड) से बना, और फिर उस पर ढांकता हुआ और धातु फिल्म (बाहरी प्लेट-इलेक्ट्रोड) की परतें लगाएं। हालाँकि यहाँ कोई विकल्प नहीं हैं साथ किमी , और साथ में आरएमबी और इसके लिए थोड़े अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होगी।

मुझे नहीं पता कि पारंपरिक कैपेसिटर की तुलना में इस कैपेसिटर डिज़ाइन के फायदे होंगे या नहीं, लेकिन मुझे लगता है कि यह उन लोगों के लिए दिलचस्प होगा जो मरोड़ क्षेत्रों के साथ काम करते हैं। क्यों? यह पहले से ही निबंध के लेखक के साथ चर्चा का विषय है।

आश्चर्य #3

आगे है। प्राप्त परिणाम के बावजूद, मैं अभी भी इस तरह से प्राप्त फॉर्म की अपूर्णता से असंतुष्ट था। किमी. इस समस्या के बारे में सोचते-सोचते मुझे वह बात याद आ गई किमी टोरस सतहों को संदर्भित करता है। चूँकि मेरी स्थानिक कल्पना तनावपूर्ण है और मुझे हर चीज़ को अपनी आँखों से देखने और अपने हाथों से छूने की ज़रूरत है, मैंने लिया मोबियस अंगूठी और उसे कागज के छल्लों से ढक दिया। परिणाम यह डिज़ाइन है (फोटो 13).

और वादा किया गया आश्चर्य कहाँ है? प्राप्त पर विचार करते हुए "टोरस", मैंने पाया (मैं अपने लिए जोर देता हूं; शायद ऊपर और नीचे वर्णित सब कुछ इस रचना के पाठकों को लंबे समय से ज्ञात है) कि मोबियस अंगूठी टोरस के आंतरिक आयतन को एक दूसरे से पृथक दो गुहाओं में विभाजित नहीं करता है। दूसरे शब्दों में: बिल्ट-इन के साथ टोरस के अंदर स्थित किसी भी बिंदु से किमी , आप विमान को पार किए बिना अंदर किसी अन्य बिंदु तक पहुंच सकते हैं किमी और टोरस की सतह.

स्पष्टता के लिए, आइए एक रबर बचाव चक्र के रूप में एक टोरस की कल्पना करें जिसके अंदर एक विभाजन होता है किमी . विभाजन के आकार वाले एक वृत्त के अंदर हवा का दबाव किमी पूरे आयतन में समान रूप से वितरित किया जाएगा, चाहे निपल कहीं भी स्थित हो। वैसे, फोटो 13एक अनुदैर्ध्य कुंडल के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के आकार को बहुत स्पष्ट रूप से मॉडल करता है मॉबियस.

सैद्धांतिक रूप से, एक आदर्श टोरस के निर्माण का सिद्धांत मोबी बजता हैमूंछेंटोरस मॉडल का काफी सरल, लेकिन व्यावहारिक कार्यान्वयन किमी कुछ तकनीकी कठिनाइयों से जुड़ा है।

टोरस के व्यावहारिक उत्पादन के लिए किमीयह प्रिंट करने के लिए सबसे उपयुक्त है 3-डी प्रिंटर.

तो आश्चर्य जारी है

अब ऐसे अद्भुत ज्यामितीय निकाय के बारे में बात करने का समय आ गया है शीर्ष।

एक खुला कैसे है शीर्ष? यह सही है, खुला शीर्षइस वृत्त के बाहर स्थित एक अक्ष के चारों ओर एक टोरस के आकार के वृत्त के घूमने से बनता है और इसका यह रूप होता है (फोटो14).

वे शिखर के बीच भी अंतर करते हैं शीर्ष. यह तब होता है जब घूर्णन की प्रमुख धुरी टोरस-गठन वृत्त के स्पर्शरेखा होती है। सरल शब्दों में - बिना छेद वाला बैगेल। और बंद भी (अक्षीय) शीर्ष, जब घूर्णन की धुरी टोरस बनाने वाले वृत्त को काटती है। एक अच्छा उदाहरण एक गोल सेब है.

प्राप्त करने के लिए किमी वी शीर्षई, आइए हम टोरस-गठन वृत्त (दो त्रिज्या वैक्टर) में व्यास को निरूपित करें। आइए अब टोरस बनाने वाले वृत्त को न केवल बाहरी अक्ष के चारों ओर घुमाएँ, बल्कि साथ ही आंतरिक अक्ष के चारों ओर भी घुमाएँ। शीर्षएक। बाहरी अक्ष के चारों ओर पूर्ण क्रांति के लिए, वृत्त को एक साथ आंतरिक अक्ष के चारों ओर आधा चक्कर लगाना चाहिए। फिर व्यास (दो त्रिज्या सदिश) के रूप में विमान का वर्णन करेंगे किमी(फोटो 15).

लेकिन इस किमी काल्पनिक अनुभव में प्राप्त किया गया। आप इसे स्टॉक में रखे बिना वास्तविक जीवन में कैसे प्राप्त कर सकते हैं? 3-डीमुद्रक? आप अपना तरीका अपना सकते हैं, मेरा तरीका अलग। मैंने निम्नलिखित कार्य किया. खुले की सतह पर शीर्षऔर (बच्चों के पिरामिड से) मैंने त्रिज्या सदिशों का प्रक्षेप पथ खींचा (फोटो 16). फिर उसने एक पीतल का तार लिया और सावधानी से उसे चारों ओर लपेट दिया शीर्षऔर इस प्रक्षेपवक्र के साथ मुझे किनारे के दो हिस्से (किनारे) मिले टोरस्र्स किमी(फोटो 17).

फिर मैंने उन्हें दो ट्यूबों का उपयोग करके जोड़ा, और परिणामी लूप की शाखाओं के बीच की जगह को बिजली के टेप के टुकड़ों से भर दिया (फोटो 18 और 19)।

मोबियस अंगूठी वी शीर्षइसे एकल त्रिज्या वेक्टर का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, इसे एक साथ बाहरी अक्ष के चारों ओर दो चक्कर लगाने होंगे और आंतरिक अक्ष के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने होंगे। और यहाँ दो बातें स्पष्ट हो जाती हैं: पहली - किमी समरूपता का एक अक्ष (या मध्य रेखा) है और दूसरा - क्यों, यदि आप काटते हैं किमीमध्य रेखा के साथ, आपको डबल हाफ-टर्न वाली एक रिंग मिलती है (*अफगानिस्तान उत्तर रिबन* ). जरा कल्पना करें कि एक इकाई त्रिज्या वेक्टर बाहरी अक्ष के चारों ओर पहली क्रांति के दौरान क्या खींचेगा, और दूसरे के दौरान क्या खींचेगा।

चौकस पाठक ग्लूइंग किमी और फिर इसे मध्य रेखा से काटते हुए, मैंने देखा कि कैंची ने एक चक्कर लगाया। यदि आप काटते हैं किमी द्वारा 1 / 3 चौड़ाई, फिर कैंची पहले से ही दो चक्कर लगाती है।

किमी आधे घुमावों की अधिक संख्या के साथ भी एक तरफा सतह के गुणों को बरकरार रखता है। मुख्य शर्त यह है कि आधे-मोड़ों की संख्या होनी चाहिए विषम।

ऐसा मोबियस स्ट्रिप या मोबियस अंगूठी , जैसा कि किसी को भी पसंद है, मैंने इसे दो-वेक्टर कहा। किस लिए? और फिर, ऐसी वलय का निर्माण दो त्रिज्या सदिशों द्वारा किया जाता है। तो क्या हुआ? और क्या...

आश्चर्य #4

एक टोरस में आप तीन-, चार-, ..., बना सकते हैं एन-वेक्टर मोबियस बजता है. पर एक नज़र डालें फोटो 20.यह तीन-वेक्टर मोबियस रिंग बनाने के सिद्धांत को दर्शाता है।

टोरस बनाने वाले वृत्त में तीन त्रिज्या सदिश दर्शाए गए हैं - ए, बी, सी. इस वृत्त को बाहरी अक्ष के चारों ओर घुमाएं और साथ ही इसे आंतरिक अक्ष के चारों ओर घुमाएं ताकि जब क्रांति पूरी हो जाए, तो वेक्टर ए वेक्टर के साथ डॉक किया गया में (क्रमशः वेक्टर में को साथ , ए साथ को ए ), त्रिज्या वैक्टर फॉर्म में एक तरफा सतह का वर्णन (बनाएंगे) करेंगे तीन-वेक्टर (तीन पंखुड़ियों वाला) मोबियस बजता है.

यह एन-वेक्टर एक तरफा सतहों को प्राप्त करने की एक सार्वभौमिक विधि है और उनमें नियमित सीएम के सभी गुण होंगे।

टोरस सीएम के निर्माण के इस दृष्टिकोण के साथ, मध्य रेखा (दूसरे शब्दों में, संयुग्मन रेखा) विशेष महत्व प्राप्त कर लेती है। इस मामले में, संयुग्मन रेखा टोरस की आंतरिक धुरी के साथ मेल खाती है। यदि, उदाहरण के लिए, 3-वेक्टर KM को संयुग्मन रेखा के साथ कढ़ाई किया जाता है, तो हमें ट्रिपल लूप में "अफगान रिबन" का एक संस्करण मिलता है:

तीन-वेक्टर किमी , इस योजना के अनुसार निर्मित, को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है 1 / 3 , जहां हर सदिशों की संख्या को इंगित करता है, और अंश स्वयं उस कोण को इंगित करता है जिस पर प्रत्येक सदिश पूर्ण घूर्णन के दौरान मुड़ता है।

मैंने इस अंश को बुलाया सूचकांक किमी . उदाहरण के तौर पर अगर मैं बात करूं किमी साथ सूचकांक किमी = 1 / 4, तो इसका मतलब है कि हम बात कर रहे हैं चार-वेक्टर किमी एक मोड़ के साथ 1 / 4 टर्नओवर (से गुणा करना) 360 0 , हमें परिणाम डिग्री में मिलता है) या में 90 0 . अनुक्रमणिकाकिमी, डिग्री में व्यक्त किया गया है आधार कोणमोड़। साथ ही हमें यह भी याद रखना चाहिए अनुक्रमणिकाकिमीकोई मूल्य नहीं ले सकता पूरा नंबर.

इसे ध्यान में रखते हुए किमी बाएँ या दाएँ पेंच का उपयोग करके कस दिया जा सकता है, मैंने बाएँ पेंच को एक चिन्ह से चिह्नित किया है ”-“ , और दायां पेंच संकेत है “+” . फिर पूरी प्रविष्टि सूचकांक किमी एक उदाहरण इस तरह दिखेगा: किमी सूचकांक = + 1 / 4 . तो हम बात करेंगे चार-वेक्टर किमी एक मोड़ के साथ 1 / 4 घुमाव (रोटेशन का मूल कोण - 90 0 ) और दायां पेंच।

सूचकांक किमी यह एक बहुत ही जानकारीपूर्ण संकेतक बन जाता है, जो मल्टी-वेक्टर के विशाल परिवार को तुरंत समझने में मदद करता है किमी और उनके विभिन्न संयोजन।

मैंने टोरस परिवार की संपूर्ण विविधता का वर्णन करने और व्यवस्थित करने का कार्य स्वयं को निर्धारित नहीं किया किमी और उनके संयोजन. मैं केवल कुछ विशेषताओं पर ध्यान केंद्रित करूंगा जिन्हें ज्यामिति वाले उपकरणों को डिजाइन करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए किमी .

1. यदि किमी सूचकांक अंश और हर के लिए एक सामान्य गुणज होता है, फिर कई प्रतिच्छेदी की प्रणाली को मॉडलिंग करते समय किमी (2 या अधिक से). आइए उदाहरण देखें 6 -टिवेक्टर निर्माण।

सूचकांक किमी =+ 2 / 6 , जहां किसी दिए गए भिन्न के लिए सामान्य गुणज है 2 . इसका मतलब यह है कि सिमुलेशन के परिणामस्वरूप एक प्रणाली तैयार होगी 2तीन-वेक्टर किमी के आधार मोड़ कोण के साथ 120 0 :

सूचकांक किमी =+ 3 / 6 , जहां सामान्य गुणज है 3 . मॉडलिंग करते समय, एक सिस्टम प्राप्त किया जाता है 3दो वेक्टर किमी आधार कोण के साथ 180 0 :

2. यदि किमी सूचकांककी तरह लगता है 1 / 4 , 1 / 6 , 1 / 8 … 1 / 2 एन या 3 / 4 , 5 / 4 , 5 / 6 , 7 / 6 … 2 एन±1/2एन (जहाँ N कोई प्राकृत संख्या है, जो संख्या से प्रारंभ होती है 2 ), फिर मॉडलिंग करते समय यह पता चलता है स्व-प्रतिच्छेदी मोबियस रिंग - एकल स्व-प्रतिच्छेदन से एकाधिक तक। साथ ही, इस तरह की एकतरफाता किमी किसी भी स्थिति में बचाया जाता है. इस कथन का समर्थन करने के लिए यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यहाँ वह है - अद्भुत मोबियस स्ट्रिप के लेखक!
जर्मन गणितज्ञ और सैद्धांतिक खगोलशास्त्री अगस्त फर्डिनेंड मोबियस(1790-1868) - महान गॉस के छात्र, प्रसिद्ध जियोमीटर, लीपज़िग विश्वविद्यालय में प्रोफेसर, वेधशाला के निदेशक। अध्यापन के लंबे वर्ष, कार्य के लंबे वर्ष - एक प्रोफेसर का सामान्य जीवन।

और वाह, यह मेरे जीवन के अंत में हुआ! एक अद्भुत विचार आया... यह उनके जीवन की सबसे महत्वपूर्ण घटना थी! दुर्भाग्य से, उनके पास अपने आविष्कार के महत्व की सराहना करने का समय नहीं था। प्रसिद्ध मोबियस पट्टी के बारे में एक लेख मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था।

गणितज्ञों द्वारा मोबियस स्ट्रिप (जिसे मोबियस स्ट्रिप या मोबियस लूप के रूप में भी जाना जाता है) का क्या नाम है?

गणित की भाषा में ये है टोपोलॉजिकल वस्तु, सबसे सरल एकतरफ़ा सतहसाधारण त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक किनारे के साथ, जहां आप किनारों को पार किए बिना इस सतह के एक बिंदु से किसी अन्य तक पहुंच सकते हैं।
काफी जटिल परिभाषा!

इसलिए, मोबियस स्ट्रिप को करीब से देखना अधिक सुविधाजनक है। एक कागज़ की पट्टी लें, पट्टी को आधा मोड़कर (180 डिग्री) मोड़ें और सिरों को एक साथ चिपका दें।

दूसरी बार, "माँ ऐसे काम के लिए मेरा सिर नहीं थपथपाती"! लेकिन, इस बार आप सही हैं! यह एक मुड़ी हुई अंगूठी होनी चाहिए।

पट्टी पर कहीं-कहीं फेल्ट-टिप पेन से एक बिंदु लगाएं। अब हम अपने पूरे टेप पर एक रेखा खींचते हैं जब तक कि आप दोबारा अपनी बात पूरी न कर लें। आपको कहीं भी किनारे पर जाने की ज़रूरत नहीं है - इसे ही एकतरफ़ा सतह कहा जाता है।

देखिये, आपने जो रेखा खींची है वह कितनी दिलचस्प है: यह या तो रिंग के अंदर है या बाहर! अब इस रेखा की लंबाई मापें - एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक।
आश्चर्य हो रहा है?
यह कागज की मूल पट्टी से दोगुना लंबा निकला!

ऐसा ही होना चाहिए, क्योंकि आपके हाथ में मोबियस स्ट्रिप है! लेकिन मोबियस पट्टी का केवल एक ही पक्ष है, और हम फिर से कहेंगे - यह एक किनारे वाली एक तरफा सतह है।

और यदि आप किसी चींटी को बिना पलटे इस लाइन पर रेंगने के लिए मजबूर करते हैं, तो आपको कलाकार मौरिस एस्चर की पेंटिंग की एक प्रति मिल जाएगी।
बेचारी चींटी एक अंतहीन सड़क पर

या आप दो अलग-अलग मोबियस स्ट्रिप्स बना सकते हैं: एक में, चिपकाने से पहले पट्टी को दक्षिणावर्त घुमाएँ, और दूसरे में, वामावर्त घुमाएँ। इस प्रकार दाएँ और बाएँ मोबियस पट्टियाँ भिन्न होती हैं।

और अब दिलचस्प आश्चर्यमोएबियस पट्टी के साथ:

1. मोएबियस पट्टी को केंद्र रेखा के साथ एक सर्कल में काटें। डरो मत, यह दो टुकड़ों में नहीं टूटेगा! रिबन एक लंबे बंद रिबन में खुल जाएगा, जो मूल से दोगुना मुड़ा हुआ होगा। मोबियस पट्टी इस तरह काटने पर अलग-अलग हिस्सों में क्यों नहीं टूटती?
कट ने टेप के किनारे को नहीं छुआ, इसलिए कट के बाद किनारा (और इसलिए कागज की पूरी पट्टी) एक पूरा टुकड़ा ही रहेगा।

2. पहले प्रयोग के बाद प्राप्त मोएबियस पट्टी को उसकी केंद्र रेखा के साथ काटें (मूल से दोगुना यानी 360 डिग्री मुड़ी हुई)।
क्या हो जाएगा?
अब आपके हाथों में दो समान, लेकिन आपस में जुड़ी हुई मोबियस पट्टियाँ होंगी।

3. नई मोबियस पट्टी बनाएं, लेकिन उसे चिपकाने से पहले उसे एक बार नहीं, बल्कि तीन बार (180 डिग्री नहीं, बल्कि 540 डिग्री) घुमाएं। फिर मध्य रेखा के साथ काटें।

क्या हुआ?
आपको एक बंद रिबन के साथ अंत में मुड़ा हुआ होना चाहिए तिपतिया गाँठ, यानी तीन आत्म-प्रतिच्छेदनों के साथ एक सरल गाँठ में।

4. यदि आप मोबियस पट्टी को चिपकाने से पहले और भी अधिक संख्या में आधे-मोड़ के साथ बनाते हैं, तो आपको अप्रत्याशित और आश्चर्यजनक आंकड़े मिलेंगे जिन्हें कहा जाता है पैराड्रोमिक वलय.

5. यदि आप मोबियस पट्टी को बीच में नहीं, बल्कि किनारे से उसकी चौड़ाई का लगभग एक तिहाई पीछे काटते हुए काटते हैं, तो आपको दो इंटरलॉकिंग पट्टियां मिलेंगी, एक छोटी मोबियस पट्टी, और दूसरी दो के साथ एक लंबी मोबियस पट्टी आधा मोड़.

देखें कि इसे व्यवहार में कैसे किया जा सकता है:

मोबियस पट्टी के करीब एक तरफा सतह है क्लेन बोतल.
दिलचस्प बात यह है कि किनारों पर दो मोएबियस स्ट्रिप्स को एक साथ चिपकाकर क्लेन बोतल बनाई जा सकती है। हालाँकि, सामान्य त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आत्म-प्रतिच्छेदन बनाए बिना ऐसा करना असंभव है।

मोबियस स्ट्रिप से जुड़ी एक और दिलचस्प वस्तु है। यह मोएबियस अवरोधक.

इतिहास में अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब एक विचार एक ही समय में कई अन्वेषकों के दिमाग में आता है। मोबियस स्ट्रिप के साथ यही हुआ. उसी 1858 में टेप का विचार एक अन्य वैज्ञानिक के मन में आया - जोहान लिस्टिंग. उन्होंने निरंतरता का अध्ययन करने वाले विज्ञान को नाम दिया - टोपोलॉजी. और टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट - रिबन - की खोज में चैंपियनशिप अगस्त मोबियस को मिली।

हम चुपचाप विभिन्न उपकरणों में मोबियस स्ट्रिप्स का सामना करते हैं: ये मैट्रिक्स प्रिंटर, बेल्ट ड्राइव, ग्राइंडिंग डिवाइस, बेल्ट कन्वेयर और कई अन्य में स्याही रिबन हैं। इस मामले में, उत्पाद का सेवा जीवन बढ़ जाता है, क्योंकि घिसाव कम हो जाता है. और निरंतर रिकॉर्डिंग सिस्टम में, मोबियस स्ट्रिप का उपयोग आपको एक टेप पर रिकॉर्डिंग समय को दोगुना करने की अनुमति देता है।

रहस्यमयी मोबियस पट्टी हमेशा लेखकों, कलाकारों और मूर्तिकारों के मन को उत्साहित करती रही है।
मोबियस स्ट्रिप पैटर्न का उपयोग ग्राफिक्स में किया जाता है, उदाहरण के लिए, लोकप्रिय विज्ञान पुस्तकों की प्रसिद्ध श्रृंखला "क्वांटम लाइब्रेरी" या रीसाइक्लिंग के अंतर्राष्ट्रीय प्रतीक को याद रखें।

वैज्ञानिक ज्ञान और घटनाएं हैं जो हमारे जीवन के रोजमर्रा के जीवन में रहस्य और रहस्यमयता लाती हैं।

मोबियस स्ट्रिप उन पर पूरी तरह से लागू होती है। आधुनिक गणित सूत्रों का उपयोग करके अपने सभी गुणों और विशेषताओं का अद्भुत वर्णन करता है। लेकिन सामान्य लोग, जिन्हें स्थलाकृति और अन्य ज्यामितीय ज्ञान की बहुत कम समझ है, लगभग हर दिन इसकी छवि और समानता में बनी वस्तुओं का सामना करते हैं, बिना इसे जाने भी।

यह क्या है?

मोबियस स्ट्रिप, जिसे लूप, सतह या शीट भी कहा जाता है, टोपोलॉजी के गणितीय अनुशासन में अध्ययन का एक उद्देश्य है, जो आंकड़ों के सामान्य गुणों का अध्ययन करता है जो कि घुमाव, खिंचाव, संपीड़न, झुकने और अन्य जैसे निरंतर परिवर्तनों के तहत संरक्षित होते हैं। अखंडता के उल्लंघन से संबंधित. ऐसे टेप की एक अद्भुत और अनूठी विशेषता यह है कि इसमें केवल एक तरफ और किनारा होता है और इसका अंतरिक्ष में इसके स्थान से कोई संबंध नहीं है। मोबियस स्ट्रिप टोपोलॉजिकल है, यानी, सामान्य यूक्लिडियन स्पेस (3-आयामी) में सीमा के साथ सबसे सरल एक तरफा सतह वाली एक सतत वस्तु, जहां ऐसी सतह के एक बिंदु से बिना पार किए किसी अन्य तक पहुंचना संभव है किनारों.

इसे किसने और कब खोला?

मोबियस स्ट्रिप जैसी जटिल वस्तु की खोज एक असामान्य तरीके से की गई थी। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि दो गणितज्ञों ने, जो अपने शोध में एक-दूसरे से पूरी तरह से असंबंधित थे, एक साथ इसकी खोज की - 1858 में। एक और दिलचस्प तथ्य यह है कि ये दोनों वैज्ञानिक अलग-अलग समय पर एक ही महान गणितज्ञ - जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस के छात्र थे। इसलिए, 1858 तक यह माना जाता था कि किसी भी सतह के दो पहलू होने चाहिए। हालाँकि, जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग और ऑगस्ट फर्डिनेंड मोबियस ने एक ज्यामितीय वस्तु की खोज की जिसका केवल एक पक्ष था और इसके गुणों का वर्णन किया। इस पट्टी का नाम मोबियस के नाम पर रखा गया था, लेकिन टोपोलॉजिस्ट लिस्टिंग और उनके काम "टोपोलॉजी में प्रारंभिक अध्ययन" को "रबर ज्यामिति" का संस्थापक जनक मानते हैं।

गुण

मोबियस स्ट्रिप में निम्नलिखित गुण होते हैं जो संपीड़ित होने, लंबाई में कटने या मुड़ने पर नहीं बदलते हैं:

1. एक पक्ष की उपस्थिति. ए. मोबियस ने अपने काम "ऑन द वॉल्यूम ऑफ़ पॉलीहेड्रा" में एक ज्यामितीय सतह का वर्णन किया है, जिसे बाद में उनके सम्मान में नाम दिया गया, जिसमें केवल एक तरफ था। इसे जांचना काफी सरल है: एक मोबियस पट्टी या पट्टी लें और अंदर को एक रंग से और बाहरी हिस्से को दूसरे रंग से रंगने का प्रयास करें। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रंग किस स्थान और दिशा से शुरू किया गया था, पूरी आकृति को एक ही रंग से रंगा जाएगा।

2. निरंतरता इस तथ्य में व्यक्त की जाती है कि इस ज्यामितीय आकृति का कोई भी बिंदु मोबियस सतह की सीमाओं को पार किए बिना किसी अन्य बिंदु से जुड़ा हो सकता है।

3. जुड़ाव, या द्वि-आयामीता, इस तथ्य में निहित है कि टेप को लंबाई में काटने पर उसमें से कई अलग-अलग आकृतियाँ नहीं निकलेंगी, और वह ठोस बनी रहेगी।

4. इसमें अभिविन्यास जैसी महत्वपूर्ण संपत्ति का अभाव है। इसका मतलब यह है कि इस आकृति का अनुसरण करने वाला व्यक्ति अपने पथ की शुरुआत में वापस आ जाएगा, लेकिन केवल स्वयं की दर्पण छवि में। इस प्रकार, एक अनंत मोबियस पट्टी एक अनंत यात्रा की ओर ले जा सकती है।

5. मोबियस सतह पर क्षेत्रों की अधिकतम संभव संख्या को दर्शाने वाली एक विशेष रंगीन संख्या जिसे बनाया जा सकता है ताकि उनमें से किसी की अन्य सभी के साथ एक समान सीमा हो। मोबियस पट्टी की वर्णिक संख्या 6 है, लेकिन कागज़ की अंगूठी की वर्णिक संख्या 5 है।

वैज्ञानिक प्रयोग

आज, मोबियस स्ट्रिप और इसके गुणों का विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जो नई परिकल्पनाओं और सिद्धांतों के निर्माण, अनुसंधान और प्रयोगों का संचालन करने और नए तंत्र और उपकरणों के निर्माण के आधार के रूप में कार्य करता है।

इस प्रकार, एक परिकल्पना है जिसके अनुसार ब्रह्मांड एक विशाल मोबियस लूप है। यह अप्रत्यक्ष रूप से आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत से प्रमाणित होता है, जिसके अनुसार सीधी उड़ान भरने वाला जहाज भी उसी समय और स्थान बिंदु पर वापस आ सकता है जहां से वह शुरू हुआ था।

एक अन्य सिद्धांत डीएनए को मोबियस सतह के हिस्से के रूप में देखता है, जो आनुवंशिक कोड को पढ़ने और समझने में कठिनाई की व्याख्या करता है। अन्य बातों के अलावा, ऐसी संरचना जैविक मृत्यु के लिए एक तार्किक व्याख्या प्रदान करती है - स्वयं पर बंद सर्पिल वस्तु के आत्म-विनाश की ओर ले जाता है।

भौतिकविदों के अनुसार, कई ऑप्टिकल नियम मोबियस स्ट्रिप के गुणों पर आधारित हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक दर्पण प्रतिबिंब समय में एक विशेष स्थानांतरण है और एक व्यक्ति अपने दर्पण को अपने सामने दोगुना देखता है।

व्यवहार में कार्यान्वयन

मोबियस स्ट्रिप का उपयोग लंबे समय से विभिन्न उद्योगों में किया जाता रहा है। सदी की शुरुआत में महान आविष्कारक निकोला टेस्ला ने मोबियस रेसिस्टर का आविष्कार किया, जिसमें 180° पर मुड़ी हुई दो प्रवाहकीय सतहें शामिल थीं, जो विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप पैदा किए बिना विद्युत प्रवाह के प्रवाह का विरोध कर सकती हैं।

मोबियस पट्टी की सतह और उसके गुणों के अध्ययन के आधार पर, कई उपकरण और उपकरण बनाए गए हैं। इसका आकार मुद्रण उपकरणों में कन्वेयर बेल्ट स्ट्रिप्स और स्याही रिबन, उपकरणों को तेज करने के लिए अपघर्षक बेल्ट और स्वचालित स्थानांतरण के निर्माण में दोहराया जाता है। यह आपको उनकी सेवा जीवन को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाने की अनुमति देता है, क्योंकि घिसाव अधिक समान रूप से होता है।

कुछ समय पहले, मोबियस स्ट्रिप की अद्भुत विशेषताओं ने एक स्प्रिंग बनाना संभव बना दिया था, जो विपरीत दिशा में फायर करने वाले पारंपरिक स्प्रिंग्स के विपरीत, ऑपरेशन की दिशा नहीं बदलता है। इसका उपयोग स्टीयरिंग व्हील ड्राइव के स्टेबलाइज़र में किया जाता है, जिससे स्टीयरिंग व्हील की मूल स्थिति में वापसी सुनिश्चित होती है।

इसके अलावा, मोबियस स्ट्रिप साइन का उपयोग विभिन्न ब्रांडों और लोगो में किया जाता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध रीसाइक्लिंग का अंतर्राष्ट्रीय प्रतीक है। इसे उन वस्तुओं की पैकेजिंग पर रखा जाता है जो या तो पुनर्चक्रण योग्य होती हैं या पुनर्चक्रित संसाधनों से बनाई जाती हैं।

रचनात्मक प्रेरणा का स्रोत

मोबियस पट्टी और इसकी संपत्तियों ने कई कलाकारों, लेखकों, मूर्तिकारों और फिल्म निर्माताओं के काम का आधार बनाया। सबसे प्रसिद्ध कलाकार जिन्होंने "मोबियस स्ट्रिप II (रेड एंट्स)", "राइडर्स" और "नॉट्स" जैसे कार्यों में टेप और इसकी विशेषताओं का उपयोग किया, वह मॉरिट्स कॉर्नेलिस एस्चर हैं।

मोबियस स्ट्रिप्स, या न्यूनतम ऊर्जा सतहें, जैसा कि उन्हें भी कहा जाता है, ब्रेंट कॉलिन्स और मैक्स बिल जैसे गणितीय कलाकारों और मूर्तिकारों के लिए प्रेरणा का स्रोत बन गई हैं। मोबियस स्ट्रिप का सबसे प्रसिद्ध स्मारक वाशिंगटन म्यूजियम ऑफ हिस्ट्री एंड टेक्नोलॉजी के प्रवेश द्वार पर स्थापित है।

रूसी कलाकार भी इस विषय से दूर नहीं रहे और अपनी रचनाएँ बनाईं। मोबियस स्ट्रिप की मूर्तियां मॉस्को और येकातेरिनबर्ग में स्थापित की गईं।

साहित्य और टोपोलॉजी

मोबियस सतहों के असामान्य गुणों ने कई लेखकों को शानदार और अवास्तविक रचनाएँ बनाने के लिए प्रेरित किया है। मोबियस लूप आर. ज़ेलज़नी के उपन्यास "डोर्स इन द सैंड" में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है और बी. लुमली के उपन्यास "नेक्रोस्कोप" के मुख्य पात्र के लिए अंतरिक्ष और समय के माध्यम से आंदोलन के साधन के रूप में कार्य करता है।

वह आर्थर सी. क्लार्क की "द वॉल ऑफ डार्कनेस", एम. क्लिफ्टन की "ऑन द मोबियस स्ट्रिप" और ए. जे. डिच की "द मोबियस स्ट्रिप" कहानियों में भी दिखाई देती हैं। बाद के आधार पर, निर्देशक गुस्तावो मोस्क्वेरा ने शानदार फिल्म "मोबियस" बनाई।

हम इसे स्वयं करते हैं, अपने हाथों से!

यदि आप मोबियस स्ट्रिप में रुचि रखते हैं, तो इसका एक मॉडल कैसे बनाया जाए, एक छोटा निर्देश आपको बताएगा:

1. इसका मॉडल बनाने के लिए आपको आवश्यकता होगी:

सादे कागज की एक शीट;

कैंची;

शासक।

2. कागज की एक शीट से एक पट्टी काट लें ताकि उसकी चौड़ाई उसकी लंबाई से 5-6 गुना कम हो।

3. परिणामी कागज़ की पट्टी को समतल सतह पर बिछाएँ। हम एक छोर को अपने हाथ से पकड़ते हैं, और दूसरे को 180 0 मोड़ते हैं ताकि पट्टी मुड़ जाए और गलत पक्ष सामने वाला भाग बन जाए।

4. चित्र में दिखाए अनुसार मुड़ी हुई पट्टी के सिरों को एक साथ चिपका दें।

मोबियस स्ट्रिप तैयार है.

5. एक पेन या मार्कर लें और टेप के बीच में एक रास्ता बनाना शुरू करें। यदि आपने सब कुछ सही ढंग से किया, तो आप उसी बिंदु पर लौट आएंगे जहां आपने रेखा खींचना शुरू किया था।

दृश्य पुष्टि प्राप्त करने के लिए कि मोबियस पट्टी एक तरफा वस्तु है, इसके एक तरफ पेंसिल या पेन से पेंट करने का प्रयास करें। थोड़ी देर बाद आप देखेंगे कि आपने इसे पूरी तरह से रंग दिया है।

हमने देखा कि हमारे ब्लॉग में रीसाइक्लिंग की संभावना के बारे में जानकारी देने के संदर्भ में पैकेजिंग लेबलिंग के विषय पर पर्याप्त संख्या में प्रश्न समर्पित हैं। सीमा शुल्क संघ के तकनीकी नियम "पैकेजिंग सुरक्षा पर" इन उद्देश्यों के लिए मोबियस लूप का उपयोग करते हैं। हालाँकि, दस्तावेज़ स्वयं इस बारे में विस्तृत निर्देश नहीं देता है कि ऐसा प्रतीक क्या दर्शाता है। इसीलिए हमने मोबियस लूप पर करीब से नज़र डालने का फैसला किया।

मोबियस लूप के सार को समझने के लिए, आइए हम व्याख्या के लिए विश्व अभ्यास की ओर मुड़ें।

अंतर्राष्ट्रीय मानकों के अनुसार, मोएबियस लूप (स्ट्रिप) प्रतीक का उपयोग केवल पर्यावरणीय आवश्यकताओं के अनुपालन की पुष्टि के मामलों में किया जाता है। यह चिन्ह पर्यावरण लेबल को संदर्भित करता है। संकेत का उपयोग केवल यह सूचित करने के लिए किया जा सकता है कि उत्पाद की सामग्री (या उसका हिस्सा) पुनर्नवीनीकरण किया गया है या, इसके विपरीत, उपयोग की गई सामग्री को निपटान के बाद पुन: उपयोग किया जा सकता है। उचित साक्ष्य के बिना मोबियस लूप बनाना अंतरराष्ट्रीय मानकों के अनुसार अस्वीकार्य है।

संदर्भ के लिए:मोबियस लूप एक प्रकार II इको-लेबल प्रतीक है। इस प्रकार के लिए निर्दिष्ट सुरक्षा मानकों के अनुपालन पर अलग-अलग दस्तावेज़ प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं होती है; आवश्यकताओं के अनुपालन की जिम्मेदारी स्वयं निर्माता पर आती है।

मोबियस लूप की आम तौर पर स्वीकृत छवि प्रतीक का "विस्तृत" संस्करण है, जिसे साइन नंबर 1135 आईएसओ 7000 के रूप में नियंत्रित किया जाता है। यह वह डिज़ाइन है जिसका उपयोग उत्पादों के प्रसंस्करण के बारे में सूचित करने के लिए किया जाता है।

इसके अलावा, मोबियस लूप की प्रतीकात्मक छवि व्यापक हो गई है और इसका उपयोग पॉलिमर के प्रकार को इंगित करने के लिए किया जाता है। इसी समय, मोबियस लूप में प्लास्टिक का एक डिजिटल और वर्णमाला पदनाम रखा गया है, जिसमें छह मुख्य किस्में हैं:

शायद भविष्य में, बहुलक सामग्री को चिह्नित करते समय मोबियस लूप के रूप में संकीर्ण तीरों को एक समबाहु त्रिभुज द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह पहल अमेरिकन सोसाइटी फॉर टेस्टिंग एंड मैटेरियल्स (एएसटीएम) की पॉलिमर पर अंतर्राष्ट्रीय समिति द्वारा की गई थी। प्रस्ताव इस तथ्य पर आधारित है कि मोबियस स्ट्रिप के रूप में तीरों का उपयोग मुख्य रूप से रीसाइक्लिंग के संदर्भ में किया जाता है, और इस लेबलिंग प्रणाली के मुख्य उद्देश्य को पृष्ठभूमि में रखता है - उत्पाद की संरचना को प्रदर्शित करना।

आइए हम मोएबियस लूप्स के साथ लेबलिंग की आवश्यकताओं पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान दें: आइए हम रूसी मानक GOST R ISO 14021-2000 "पर्यावरण लेबल और घोषणाओं" के पाठ की ओर मुड़ें। स्व-घोषित पर्यावरणीय दावे (टाइप II इको-लेबल)।

विशेष संकेतों पर उपखंड 5.10.1 में मोबियस लूप के बारे में मुख्य प्रावधान शामिल हैं। मानक के पाठ के आधार पर, यह निष्कर्ष निकलता है कि ऐसे प्रतीक का उपयोग केवल पुनर्नवीनीकरण या पुनर्चक्रण योग्य सामग्री के दावों के लिए किया जाना चाहिए।

संदर्भ के लिए:पुनर्नवीनीकरण सामग्री के मामले में, हम उत्पाद में पहले से ही पुनर्नवीनीकरण सामग्री की हिस्सेदारी के बारे में बात कर रहे हैं; पुनर्चक्रण योग्य सामग्री आगे की प्रक्रिया की संभावना को इंगित करती है। पहले मामले में, पुनर्नवीनीकरण की गई सामग्री के द्रव्यमान अंश को इंगित किया जाना चाहिए। पुन: प्रयोज्य सामग्री के लिए, अतिरिक्त डिजिटल छवियों के बिना मोबियस लूप लागू किया जाता है।

अंत में, मैं मोबियस लूप लगाने के व्यावहारिक अनुभव पर ध्यान देना चाहूंगा: रूसी प्रणाली में, निर्माताओं/विक्रेताओं के पास रीसाइक्लिंग चिह्न के साथ लेबलिंग के लिए एक समान दृष्टिकोण नहीं है। मोबियस लूप की विभिन्न व्याख्याओं वाले उत्पाद प्रचलन में आ रहे हैं। यह विविधता इस तथ्य के कारण है कि हमारे कानून में एक भी दस्तावेज़ नहीं है जो मोबियस लूप का उपयोग करने के नियमों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करेगा।