अंश $\frac63$ पर विचार करें। इसका मान 2 है, क्योंकि $\frac63 =6:3 = 2$. यदि अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए तो क्या होगा? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. जाहिर है, भिन्न का मान नहीं बदला है, इसलिए $\frac(12)(6)$ क्योंकि y भी 2 के बराबर है। आप यह कर सकते हैं अंश और हर को गुणा करें 3 से और $\frac(18)(9)$ प्राप्त करें, या 27 से और $\frac(162)(81)$ प्राप्त करें, या 101 से और $\frac(606)(303)$ प्राप्त करें। इनमें से प्रत्येक मामले में, अंश को हर से विभाजित करने पर हमें जो भिन्न का मान मिलता है वह 2 है। इसका मतलब है कि यह नहीं बदला है।

अन्य भिन्नों के मामले में भी यही पैटर्न देखा जाता है। यदि भिन्न $\frac(120)(60)$ (2 के बराबर) के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जाता है (परिणाम $\frac(60)(30)$ होता है), या 3 से (परिणाम होता है) $\frac(40)(20) $), या 4 से (परिणाम $\frac(30)(15)$) और इसी तरह, तो प्रत्येक मामले में भिन्न का मान अपरिवर्तित रहता है और 2 के बराबर होता है।

यह नियम उन भिन्नों पर भी लागू होता है जो समान नहीं हैं पूरा नंबर.

यदि भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 2 से गुणा किया जाता है, तो हमें $\frac(2)(6)$ मिलता है, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदला है। और वास्तव में, यदि आप पाई को 3 भागों में विभाजित करते हैं और उनमें से एक लेते हैं, या इसे 6 भागों में विभाजित करते हैं और 2 भाग लेते हैं, तो आपको दोनों मामलों में पाई की समान मात्रा मिलेगी। इसलिए, संख्याएं $\frac(1)(3)$ और $\frac(2)(6)$ समान हैं। आइए एक सामान्य नियम बनाएं।

किसी भी भिन्न के अंश और हर को भिन्न का मान बदले बिना उसी संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है।

यह नियम बहुत उपयोगी साबित होता है. उदाहरण के लिए, यह कुछ मामलों में, लेकिन हमेशा नहीं, बड़ी संख्या वाले संचालन से बचने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न $\frac(126)(189)$ के अंश और हर को 63 से विभाजित कर सकते हैं और भिन्न $\frac(2)(3)$ प्राप्त कर सकते हैं, जिसकी गणना करना बहुत आसान है। एक और उदाहरण. हम भिन्न $\frac(155)(31)$ के अंश और हर को 31 से विभाजित कर सकते हैं और भिन्न $\frac(5)(1)$ या 5 प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि 5:1=5।

इस उदाहरण में, हमारा पहली बार सामना हुआ एक भिन्न जिसका हर 1 है. ऐसे भिन्न भिन्न गणना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यह याद रखना चाहिए कि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित किया जा सकता है और उसका मान नहीं बदलेगा। अर्थात्, $\frac(273)(1)$ 273 के बराबर है; $\frac(509993)(1)$ 509993 के बराबर है इत्यादि। इसलिए, हमें संख्याओं को से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ऐसे भिन्नों के साथ, जिनका हर 1 है, आप अन्य सभी भिन्नों के समान ही अंकगणितीय परिचालन कर सकते हैं: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

आप पूछ सकते हैं कि यदि हम एक पूर्णांक को रेखा के नीचे एक इकाई के साथ भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं तो इसमें क्या फायदा है, क्योंकि पूर्णांक के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है। लेकिन मुद्दा यह है कि एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने से हमें विभिन्न कार्यों को अधिक कुशलता से करने का अवसर मिलता है जब हम एक ही समय में पूर्णांक और भिन्न दोनों के साथ काम कर रहे होते हैं। उदाहरण के लिए, सीखना विभिन्न हरों वाली भिन्नों को जोड़ें. मान लीजिए हमें $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(5)$ जोड़ने की जरूरत है।

हम जानते हैं कि हम केवल उन्हीं भिन्नों को जोड़ सकते हैं जिनके हर बराबर हों। इसका मतलब यह है कि हमें यह सीखने की ज़रूरत है कि भिन्नों को ऐसे रूप में कैसे घटाया जाए जहां उनके हर बराबर हों। इस मामले में, हमें फिर से इस तथ्य की आवश्यकता होगी कि हम भिन्न का मान बदले बिना उसके अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा कर सकें।

सबसे पहले, भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 5 से गुणा करें। हमें $\frac(5)(15)$ मिलता है, भिन्न का मान नहीं बदला है। फिर हम भिन्न $\frac(1)(5)$ के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(3)(15)$ मिलता है, फिर भी भिन्न का मान नहीं बदला है। इसलिए, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

आइए अब इस प्रणाली को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों वाली संख्याओं को जोड़ने के लिए लागू करने का प्रयास करें।

हमें $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ जोड़ने की जरूरत है। सबसे पहले, आइए सभी पदों को भिन्नों में बदलें और प्राप्त करें: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. अब हमें सभी भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने की आवश्यकता है, इसके लिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 12 से गुणा करते हैं, दूसरे को 4 से और तीसरे को 3 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें $\frac(36) मिलता है )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, जो $\frac(55)(12)$ के बराबर है। अगर आप छुटकारा पाना चाहते हैं अनुचित अंश, इसे एक पूर्णांक और एक भिन्न से युक्त संख्या में बदला जा सकता है: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ या $4\frac(7) )(12)$.

सभी नियम जो अनुमति देते हैं भिन्नों के साथ संचालन, जिसका हमने अभी अध्ययन किया, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में भी मान्य हैं। तो, -1: 3 को $\frac(-1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और 1: (-3) को $\frac(1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

चूँकि एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से विभाजित करने और एक धनात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर परिणाम ऋणात्मक होता है, दोनों ही मामलों में उत्तर एक ऋणात्मक संख्या होगी। वह है

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ या $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. इस प्रकार लिखे जाने पर ऋण चिह्न संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि अंश या हर को अलग से।

दूसरी ओर, (-1) : (-3) को $\frac(-1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और चूँकि एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, तो $\frac (-1 )(-3)$ को $+\frac(1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी योजना के अनुसार किया जाता है जिस प्रकार धनात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है। उदाहरण के लिए, $1- 1\frac13$ क्या है? आइए दोनों संख्याओं को भिन्न के रूप में निरूपित करें और $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं और $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें, यानी, $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, या $-\frac(1)(3)$.

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
संख्यात्मक भिन्नों के साथ एक व्यंजक का मूल्यांकन करें।
विभिन्न हर वाले भिन्नों को गुणा करना, घटाना, विभाजित करना, जोड़ना और घटाना।

इस ऑनलाइन कैलकुलेटर से आप यह कर सकते हैं विभिन्न हर वाले भिन्नों को गुणा करना, घटाना, विभाजित करना, जोड़ना और घटाना।

कार्यक्रम नियमित, अनुचित और मिश्रित संख्या भिन्नों के साथ काम करता है।

यह प्रोग्राम (ऑनलाइन कैलकुलेटर) यह कर सकता है:
- विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का योग करना
- विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का घटाव करें
- मिश्रित भिन्नों को विभिन्न हरों से विभाजित करें
- मिश्रित भिन्नों को विभिन्न हरों से गुणा करें
- भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ
- मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें
- भिन्नों को कम करें

आप भिन्नों वाला कोई व्यंजक नहीं, बल्कि एक एकल भिन्न भी दर्ज कर सकते हैं।
इस स्थिति में, अंश कम हो जाएगा और पूरा भाग परिणाम से अलग हो जाएगा।

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों की गणना के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर केवल समस्या का उत्तर नहीं देता है, यह स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान प्रदान करता है, अर्थात। समाधान खोजने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम सामान्य शिक्षा स्कूलों में हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी करते समय, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय और माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों को दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों को दर्ज करने के नियम

केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
इनपुट: -2/3 + 7/5
परिणाम: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

संपूर्ण भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: -1&2/3 * 5&8/3
परिणाम: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

भिन्नों का विभाजन बृहदान्त्र चिह्न द्वारा प्रस्तुत किया जाता है: :
इनपुट:-9&37/12:-3&5/14
परिणाम: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
याद रखें कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते!

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं।
इनपुट: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
परिणाम: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

साधारण भिन्न. शेषफल सहित विभाजन

यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय हम देखेंगे कि 497, 4 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, अर्थात। विभाजन का शेष भाग शेष है। ऐसे में कहा जाता है कि यह पूरा हो गया है शेषफल के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को शेषफल के बिना विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - डिवाइडर. जब शेषफल से विभाजित किया जाता है तो विभाजन का परिणाम कहलाता है अपूर्ण निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. ऐसे मामलों में जहां कोई शेष नहीं बचता, एक संख्या को दूसरे से विभाजित कहा जाता है बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेषफल 1 है।

शेषफल सदैव भाजक से कम होता है।

भाग को गुणा द्वारा जांचा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जाँच इस प्रकार की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेषफल के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए = बी * एन + आर,
जहाँ a लाभांश है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य है, और हर भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य है और हर भाजक है, विश्वास है कि भिन्न की रेखा का अर्थ विभाजन की क्रिया है. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना विभाजन को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृतिक संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न \(\frac(m)(n)\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m लाभांश है, और हर n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

निम्नलिखित नियम सत्य हैं:

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको इकाई को n बराबर भागों (शेयरों) में विभाजित करना होगा और m ऐसे भाग लेने होंगे।

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

पूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको पूर्ण के अनुरूप संख्या को हर से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

इसके भाग से पूर्णांक ज्ञात करने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
इस संपत्ति को कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं एक अंश को कम करना.

यदि भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता हो, तो इस क्रिया को कहा जाता है भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना.

उचित और अनुचित भिन्न. मिश्रित संख्याएँ

आप पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक को समान भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भाग लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4)\) का अर्थ एक का तीन-चौथाई है। पिछले पैराग्राफ की कई समस्याओं में, भिन्नों का उपयोग संपूर्ण के कुछ हिस्सों को दर्शाने के लिए किया गया था। सामान्य ज्ञान यह निर्देश देता है कि भाग हमेशा पूर्ण से कम होना चाहिए, लेकिन \(\frac(5)(5)\) या \(\frac(8)(5)\) जैसे भिन्नों के बारे में क्या? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है. संभवतः इसीलिए वे भिन्न कहलाते हैं जिनका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है अनुचित भिन्न. शेष भिन्न, अर्थात् वे भिन्न जिनका अंश हर से छोटा होता है, कहलाती हैं सही भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी सामान्य भिन्न, दोनों उचित और अनुचित, को अंश को हर से विभाजित करने के परिणाम के रूप में सोचा जा सकता है। इसलिए, गणित में, सामान्य भाषा के विपरीत, "अनुचित भिन्न" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, बल्कि केवल यह है कि इस भिन्न का अंश, हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न शामिल है, तो ऐसा भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 पूर्णांक भाग है, और \(\frac(2)(3) \) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b)\) एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b)\) प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम भी तब सत्य है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ। भिन्नों को जोड़ना.

आप भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित कर सकते हैं। आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर नजर डालें। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना आसान है। आइए, उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7)\) और \(\frac(3)(7)\) का योग ज्ञात करें। यह समझना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आपको भिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो पहले उन्हें एक सामान्य हर में घटाना होगा। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित भिन्नों को जोड़ना

\(2\frac(2)(3)\) जैसे नोटेशन कहलाते हैं मिश्रित अंश. इस स्थिति में, संख्या 2 को कहा जाता है संपूर्ण भागमिश्रित भिन्न, और संख्या \(\frac(2)(3)\) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3)\) को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई।"

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: \(\frac(8)(3)\) और \(2\frac(2)(3)\). वे समान भिन्नात्मक संख्या व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3)\) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3)\) के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे मामलों में वे कहते हैं कि अनुचित भिन्न से पूरे भाग पर प्रकाश डाला.

भिन्नों को घटाना (आंशिक संख्याएँ)

भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ की क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या से दूसरे को घटाने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जो दूसरे में जोड़ने पर पहली संख्या देती है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) चूँकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

समान हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम ऐसी भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश में से दूसरे के अंश को घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

भिन्नों को गुणा करना

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तैयार नियम का उपयोग करके, आप किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से, मिश्रित भिन्न से गुणा कर सकते हैं, और मिश्रित भिन्न को भी गुणा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृतिक संख्या को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में, एक मिश्रित भिन्न को - एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

भिन्न को कम करके और अनुचित भिन्न के पूरे भाग को अलग करके गुणन के परिणाम को सरल बनाया जाना चाहिए (यदि संभव हो तो)।

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, गुणन के क्रमविनिमेय और संयोजन गुण, साथ ही जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति मान्य हैं।

भिन्नों का विभाजन

आइए भिन्न \(\frac(2)(3)\) लें और अंश और हर की अदला-बदली करते हुए इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2)\) मिलता है। इस अंश को कहा जाता है रिवर्सभिन्न \(\frac(2)(3)\).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2)\) को "उलटा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3)\) प्राप्त होगा। इसलिए, \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7)\).

अक्षरों का उपयोग करके, व्युत्क्रम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, आप भिन्नों के विभाजन को गुणा तक कम कर सकते हैं।

भिन्न को भिन्न से विभाजित करने का नियम है:
एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

भिन्न कैलकुलेटरभिन्नों के साथ त्वरित गणना संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया, यह आपको भिन्नों को आसानी से जोड़ने, गुणा करने, विभाजित करने या घटाने में मदद करेगा।

आधुनिक स्कूली बच्चे 5वीं कक्षा से ही भिन्नों का अध्ययन शुरू कर देते हैं, और उनके साथ अभ्यास हर साल अधिक जटिल होता जाता है। गणितीय नियम और मात्राएँ जो हम स्कूल में सीखते हैं, वयस्क जीवन में शायद ही कभी हमारे लिए उपयोगी हों। हालाँकि, लघुगणक और घातों के विपरीत भिन्न, रोजमर्रा की जिंदगी (दूरियां मापना, सामान तौलना आदि) में अक्सर पाए जाते हैं। हमारा कैलकुलेटर भिन्नों के साथ त्वरित संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि भिन्न क्या हैं और वे क्या हैं। भिन्न एक संख्या से दूसरी संख्या का अनुपात है; यह एक इकाई के भिन्नों की पूर्णांक संख्या से बनी संख्या है।

भिन्नों के प्रकार:

• साधारण
• दशमलव
• मिश्रित

उदाहरण साधारण भिन्न:

शीर्ष मान अंश है, निचला मान हर है। डैश हमें दिखाता है कि शीर्ष संख्या नीचे से विभाज्य है। इस लेखन प्रारूप के बजाय, जब डैश क्षैतिज होता है, तो आप अलग तरीके से लिख सकते हैं। आप एक झुकी हुई रेखा लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

दशमलवभिन्नों के सबसे लोकप्रिय प्रकार हैं। उनमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, जो अल्पविराम से अलग होता है।

दशमलव भिन्नों का उदाहरण:

0.2 या 6.71 या 0.125

एक पूर्ण संख्या और एक भिन्नात्मक भाग से मिलकर बनता है। इस भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए आपको पूर्ण संख्या और भिन्न को जोड़ना होगा।

मिश्रित भिन्नों का उदाहरण:

हमारी वेबसाइट पर भिन्न कैलकुलेटर ऑनलाइन भिन्नों के साथ किसी भी गणितीय कार्य को शीघ्रता से करने में सक्षम है:

• जोड़ना
• घटाव
• गुणा
• विभाजन

गणना करने के लिए, आपको फ़ील्ड में संख्याएँ दर्ज करनी होंगी और एक क्रिया का चयन करना होगा। भिन्नों के लिए, आपको अंश और हर भरना होगा; पूरी संख्या नहीं लिखी जा सकती (यदि भिन्न साधारण है)। "बराबर" बटन पर क्लिक करना न भूलें।

यह सुविधाजनक है कि कैलकुलेटर तुरंत भिन्नों के साथ एक उदाहरण को हल करने की प्रक्रिया प्रदान करता है, न कि केवल एक तैयार उत्तर। यह विस्तृत समाधान के लिए धन्यवाद है कि आप इस सामग्री का उपयोग स्कूल की समस्याओं को हल करने और कवर की गई सामग्री को बेहतर ढंग से सीखने के लिए कर सकते हैं।

आपको उदाहरण गणना करने की आवश्यकता है:

प्रपत्र फ़ील्ड में संकेतक दर्ज करने के बाद, हमें यह मिलता है:

अपनी स्वयं की गणना करने के लिए, फॉर्म में डेटा दर्ज करें।

भिन्न कैलकुलेटर

संबंधित अनुभाग.

आप भिन्नों के साथ विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ना। भिन्नों के योग को कई प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। भिन्नों के प्रत्येक प्रकार के जोड़ के अपने नियम और क्रियाओं का एल्गोरिदम होता है। आइए प्रत्येक प्रकार के जोड़ को विस्तार से देखें।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना।

आइए एक उदाहरण देखें कि एक सामान्य हर के साथ भिन्नों को कैसे जोड़ा जाए।

पर्यटक बिंदु A से बिंदु E तक पदयात्रा पर गए। पहले दिन वे बिंदु A से B तक या पूरे रास्ते \(\frac(1)(5)\) तक पैदल चले। दूसरे दिन वे बिंदु B से D या \(\frac(2)(5)\) तक पूरे रास्ते चले। यात्रा की शुरुआत से बिंदु D तक उन्होंने कितनी दूरी तय की?

बिंदु A से बिंदु D तक की दूरी ज्ञात करने के लिए, आपको भिन्नों \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) को जोड़ना होगा।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का मतलब है कि आपको इन भिन्नों के अंशों को जोड़ना होगा, लेकिन हर वही रहेगा।

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

शाब्दिक रूप में, समान हर वाले भिन्नों का योग इस प्रकार दिखेगा:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

उत्तर: पर्यटक पूरे रास्ते \(\frac(3)(5)\) तक चले।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना।

आइए एक उदाहरण देखें:

आपको दो भिन्नों \(\frac(3)(4)\) और \(\frac(2)(7)\) को जोड़ना होगा।

विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले खोजना होगा, और फिर समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए नियम का उपयोग करें।

हर 4 और 7 के लिए, उभयनिष्ठ हर संख्या 28 होगी। पहली भिन्न \(\frac(3)(4)\) को 7 से गुणा किया जाना चाहिए। दूसरी भिन्न \(\frac(2)(7)\ ) को 4 से गुणा करना होगा.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ गुना \रंग(लाल) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

शाब्दिक रूप में हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

मिश्रित संख्याओं या मिश्रित भिन्नों को जोड़ना।

जोड़ जोड़ के नियम के अनुसार होता है।

मिश्रित भिन्नों के लिए, हम पूर्ण भागों को पूर्ण भागों के साथ और भिन्न भागों को भिन्नों के साथ जोड़ते हैं।

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में हर समान हों, तो हम अंश जोड़ते हैं, लेकिन हर वही रहता है।

आइए मिश्रित संख्याओं \(3\frac(6)(11)\) और \(1\frac(3)(11)\) को जोड़ें।

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\रंग(लाल) (3) + \रंग(नीला) (\frac(6)(11))) + ( \रंग(लाल) (1) + \रंग(नीला) (\frac(3)(11))) = (\रंग(लाल) (3) + \रंग(लाल) (1)) + (\रंग( नीला) (\frac(6)(11)) + \रंग(नीला) (\frac(3)(11))) = \रंग(लाल)(4) + (\रंग(नीला) (\frac(6) + 3)(11))) = \रंग(लाल)(4) + \रंग(नीला) (\frac(9)(11)) = \रंग(लाल)(4) \रंग(नीला) (\frac (9)(11))\)

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर हों, तो हम उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं।

आइए मिश्रित संख्याओं \(7\frac(1)(8)\) और \(2\frac(1)(6)\) का योग करें।

हर अलग है, इसलिए हमें उभयनिष्ठ हर खोजने की जरूरत है, यह 24 के बराबर है। पहले भिन्न \(7\frac(1)(8)\) को 3 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें, और दूसरे भिन्न \( 2\frac(1)(6)\) बटा 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\times \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)\)

संबंधित सवाल:
भिन्नों को कैसे जोड़ें?
उत्तर: सबसे पहले आपको यह तय करना होगा कि यह किस प्रकार का अभिव्यक्ति है: भिन्नों के हर समान होते हैं, अलग-अलग हर होते हैं या मिश्रित भिन्न होते हैं। अभिव्यक्ति के प्रकार के आधार पर, हम समाधान एल्गोरिदम पर आगे बढ़ते हैं।

विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: आपको उभयनिष्ठ हर ढूंढना होगा, और फिर समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के नियम का पालन करना होगा।

मिश्रित भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: हम पूर्णांक भागों को पूर्णांकों के साथ और भिन्नात्मक भागों को भिन्नों के साथ जोड़ते हैं।

उदाहरण 1:
क्या दो का योग उचित भिन्न में परिणित हो सकता है? अनुचित अंश? उदाहरण दो।

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

भिन्न \(\frac(5)(7)\) एक उचित भिन्न है, यह दो उचित भिन्नों \(\frac(2)(7)\) और \(\frac(3) के योग का परिणाम है (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

भिन्न \(\frac(58)(45)\) एक अनुचित भिन्न है, यह उचित भिन्न \(\frac(2)(5)\) और \(\frac(8) के योग का परिणाम है (9)\).

उत्तर: दोनों प्रश्नों का उत्तर हाँ है।

उदाहरण #2:
भिन्नों को जोड़ें: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

बी) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

उदाहरण #3:
मिश्रित भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या और उचित भिन्न के योग के रूप में लिखें: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

बी) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

उदाहरण #4:
योग की गणना करें: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

बी) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)\)

सी) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

कार्य 1:
दोपहर के भोजन में हमने केक से \(\frac(8)(11)\) खाया, और शाम को रात के खाने में हमने केक से \(\frac(3)(11)\) खाया। क्या आपको लगता है केक पूरा खाया गया या नहीं?

समाधान:
भिन्न का हर 11 है, यह दर्शाता है कि केक को कितने भागों में विभाजित किया गया था। दोपहर के भोजन में हमने 11 में से केक के 8 टुकड़े खाये। रात के खाने में हमने 11 में से केक के 3 टुकड़े खाये। आइए 8 + 3 = 11 जोड़ें, हमने 11 में से केक के टुकड़े खाये, यानी पूरा केक।

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

उत्तर: पूरा केक खाया गया.