दोलन. हार्मोनिक कंपन

दोलनोंवे गतियाँ या प्रक्रियाएँ कहलाती हैं जिनकी विशेषता समय के साथ एक निश्चित पुनरावृत्ति होती है। दोलन प्रक्रियाएं प्रकृति और प्रौद्योगिकी में व्यापक हैं, उदाहरण के लिए, घड़ी के पेंडुलम का झूलना, प्रत्यावर्ती विद्युत धारा, आदि। जब पेंडुलम दोलन करता है, तो प्रत्यावर्ती धारा, वोल्टेज और धारा के मामले में इसके द्रव्यमान के केंद्र का समन्वय बदल जाता है; सर्किट में उतार-चढ़ाव होता है। कंपन की भौतिक प्रकृति भिन्न हो सकती है, इसलिए, यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय आदि कंपन होते हैं, हालांकि, विभिन्न दोलन प्रक्रियाओं का वर्णन समान विशेषताओं और समान समीकरणों द्वारा किया जाता है। इसलिए समीचीनता सामान्य दृष्टिकोणकंपन के अध्ययन के लिए विभिन्न भौतिक प्रकृति के.

दोलन कहलाते हैं मुक्त, यदि वे केवल सिस्टम के तत्वों के बीच कार्य करने वाली आंतरिक शक्तियों के प्रभाव में होते हैं, जब सिस्टम को बाहरी ताकतों द्वारा संतुलन से बाहर निकाला जाता है और अपने आप पर छोड़ दिया जाता है। मुक्त कंपन सदैव नम दोलन , क्योंकि वास्तविक प्रणालियों में ऊर्जा हानि अपरिहार्य है। ऊर्जा हानि के बिना किसी प्रणाली के आदर्शीकृत मामले में, मुक्त दोलन (जब तक वांछित हो तब तक जारी) कहलाते हैं अपना.

मुक्त अवमंदित दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक कंपन -दोलन जिसमें दोलन की मात्रा साइन (कोसाइन) के नियम के अनुसार समय के साथ बदलती है। प्रकृति और प्रौद्योगिकी में पाए जाने वाले कंपनों का चरित्र अक्सर हार्मोनिक के करीब होता है।

हार्मोनिक दोलनों का वर्णन हार्मोनिक दोलन समीकरण नामक समीकरण द्वारा किया जाता है:

कहाँ ए- दोलनों का आयाम, दोलन मात्रा का अधिकतम मान एक्स; - प्राकृतिक दोलनों की गोलाकार (चक्रीय) आवृत्ति; - समय के क्षण में दोलन का प्रारंभिक चरण टी= 0; - समय के क्षण में दोलन का चरण टी।दोलन चरण एक निश्चित समय पर दोलन मात्रा का मूल्य निर्धारित करता है। चूँकि कोज्या +1 से -1 तक भिन्न होती है एक्स+ से मान ले सकते हैं एको - ए.

समय टीजिसके दौरान सिस्टम एक पूर्ण दोलन पूरा करता है उसे कहा जाता है दोलन की अवधि. समय के दौरान टीदोलन चरण 2 से बढ़ जाता है π , यानी

कहाँ । (14.2)

दोलन काल का व्युत्क्रम

यानी, प्रति इकाई समय में किए गए पूर्ण दोलनों की संख्या को दोलन आवृत्ति कहा जाता है। (14.2) और (14.3) की तुलना करने पर हमें मिलता है

आवृत्ति की इकाई हर्ट्ज़ (हर्ट्ज) है: 1 हर्ट्ज वह आवृत्ति है जिस पर 1 एस में एक पूर्ण दोलन होता है।

वे प्रणालियाँ जिनमें मुक्त कंपन हो सकता है, कहलाती हैं दोलक . किसी सिस्टम में मुक्त कंपन उत्पन्न होने के लिए उसमें कौन से गुण होने चाहिए? यांत्रिक प्रणाली होनी चाहिए स्थिर संतुलन स्थिति, बाहर निकलने पर जो प्रकट होता है संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित पुनर्स्थापन बल. यह स्थिति, जैसा कि ज्ञात है, सिस्टम की न्यूनतम संभावित ऊर्जा से मेल खाती है। आइए कई दोलन प्रणालियों पर विचार करें जो सूचीबद्ध गुणों को संतुष्ट करती हैं।

किसी भी मात्रा में परिवर्तन को साइन या कोसाइन के नियमों का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, तो ऐसे दोलनों को हार्मोनिक कहा जाता है। आइए एक सर्किट पर विचार करें जिसमें एक कैपेसिटर (जिसे सर्किट में शामिल होने से पहले चार्ज किया गया था) और एक प्रारंभ करनेवाला (चित्र 1) शामिल है।

चित्र 1.

हार्मोनिक कंपन समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

जहां $t$ समय है; $q$ चार्ज, $q_0$-- परिवर्तन के दौरान चार्ज का उसके औसत (शून्य) मान से अधिकतम विचलन; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- दोलन चरण; $(\alpha )_0$- प्रारंभिक चरण; $(\omega )_0$ - चक्रीय आवृत्ति। अवधि के दौरान, चरण में $2\pi $ का परिवर्तन होता है।

फॉर्म का समीकरण:

एक ऑसिलेटरी सर्किट के लिए विभेदक रूप में हार्मोनिक दोलनों का समीकरण जिसमें सक्रिय प्रतिरोध नहीं होगा।

किसी भी प्रकार के आवधिक दोलनों को तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला, हार्मोनिक दोलनों के योग के रूप में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है।

एक कुंडल और एक संधारित्र वाले सर्किट की दोलन अवधि के लिए, हमें थॉमसन का सूत्र प्राप्त होता है:

यदि हम समय के संबंध में अभिव्यक्ति (1) को अलग करते हैं, तो हम फ़ंक्शन $I(t)$ के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

संधारित्र पर वोल्टेज इस प्रकार पाया जा सकता है:

सूत्र (5) और (6) से यह पता चलता है कि वर्तमान ताकत संधारित्र पर वोल्टेज से $\frac(\pi )(2).$ से आगे है।

हार्मोनिक दोलनों को समीकरणों, कार्यों और वेक्टर आरेखों दोनों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समीकरण (1) मुक्त अवमंदित दोलनों का प्रतिनिधित्व करता है।

नम दोलन समीकरण

प्रतिरोध (छवि 2) को ध्यान में रखते हुए, सर्किट में संधारित्र प्लेटों पर चार्ज ($q$) में परिवर्तन को फॉर्म के एक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाएगा:

चित्र 2.

यदि प्रतिरोध जो सर्किट का हिस्सा है $R\

जहां $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ चक्रीय दोलन आवृत्ति है। $\beta =\frac(R)(2L)-$अवमंदन गुणांक। नम दोलनों का आयाम इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

यदि $t=0$ पर संधारित्र पर चार्ज $q=q_0$ के बराबर है और सर्किट में कोई करंट नहीं है, तो $A_0$ के लिए हम लिख सकते हैं:

समय के प्रारंभिक क्षण में दोलनों का चरण ($(\alpha )_0$) बराबर है:

जब $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ चार्ज परिवर्तन एक दोलन नहीं है, तो संधारित्र के डिस्चार्ज को एपेरियोडिक कहा जाता है।

उदाहरण 1

व्यायाम:अधिकतम शुल्क मान $q_0=10\ C$ है। यह $T= 5 s$ की अवधि के साथ सामंजस्यपूर्ण रूप से बदलता रहता है। अधिकतम संभव धारा निर्धारित करें.

समाधान:

समस्या को हल करने के आधार के रूप में हम इसका उपयोग करते हैं:

वर्तमान ताकत को खोजने के लिए, अभिव्यक्ति (1.1) को समय के संबंध में विभेदित किया जाना चाहिए:

जहां वर्तमान शक्ति का अधिकतम (आयाम मान) अभिव्यक्ति है:

समस्या की स्थितियों से हमें चार्ज का आयाम मान ($q_0=10\ C$) पता चलता है। आपको दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति ज्ञात करनी चाहिए। आइए इसे इस प्रकार व्यक्त करें:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

इस मामले में, वांछित मान समीकरण (1.3) और (1.2) का उपयोग करके पाया जाएगा:

चूँकि समस्या स्थितियों में सभी मात्राएँ SI प्रणाली में प्रस्तुत की जाती हैं, हम गणनाएँ करेंगे:

उत्तर:$I_0=12.56\ A.$

उदाहरण 2

व्यायाम:एक सर्किट में दोलन की अवधि क्या है जिसमें एक प्रारंभ करनेवाला $L=1$H और एक संधारित्र होता है, यदि सर्किट में वर्तमान ताकत कानून के अनुसार बदलती है: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ संधारित्र की धारिता क्या है?

समाधान:

वर्तमान उतार-चढ़ाव के समीकरण से, जो समस्या की स्थितियों में दिया गया है:

हम देखते हैं कि $(\omega )_0=20\pi $, इसलिए, हम सूत्र का उपयोग करके दोलन अवधि की गणना कर सकते हैं:

\ \

एक सर्किट के लिए थॉमसन के सूत्र के अनुसार जिसमें एक प्रारंभ करनेवाला और एक संधारित्र होता है, हमारे पास है:

आइए क्षमता की गणना करें:

उत्तर:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

साइनसोइडल नियम के अनुसार समय के साथ बदलता रहता है:

कहाँ एक्स- समय के क्षण में उतार-चढ़ाव वाली मात्रा का मूल्य टी, ए- आयाम, ω - वृत्ताकार आवृत्ति, φ — दोलन का प्रारंभिक चरण, ( φt + φ ) - दोलनों का पूरा चरण। साथ ही, मूल्यों ए, ω और φ - स्थायी।

उतार-चढ़ाव वाले परिमाण के यांत्रिक कंपन के लिए एक्सविशेष रूप से, विद्युत कंपन के लिए विस्थापन और गति - वोल्टेज और करंट हैं।

हार्मोनिक दोलन सभी प्रकार के दोलनों के बीच एक विशेष स्थान रखते हैं, क्योंकि यह एकमात्र प्रकार का दोलन है जिसका आकार किसी भी सजातीय माध्यम से गुजरने पर विकृत नहीं होता है, अर्थात, हार्मोनिक दोलनों के स्रोत से फैलने वाली तरंगें भी हार्मोनिक होंगी। किसी भी गैर-हार्मोनिक दोलन को विभिन्न हार्मोनिक दोलनों के योग (अभिन्न) के रूप में दर्शाया जा सकता है (हार्मोनिक दोलनों के एक स्पेक्ट्रम के रूप में)।

हार्मोनिक कंपन के दौरान ऊर्जा परिवर्तन।

दोलन प्रक्रिया के दौरान, संभावित ऊर्जा हस्तांतरण होता है Wpगतिज को सप्तऔर इसके विपरीत। संतुलन स्थिति से अधिकतम विचलन की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है, गतिज ऊर्जा शून्य होती है। जैसे-जैसे यह संतुलन स्थिति में लौटता है, दोलन करने वाले पिंड की गति बढ़ जाती है, और इसके साथ गतिज ऊर्जा भी बढ़ जाती है, जो संतुलन स्थिति में अधिकतम तक पहुंच जाती है। स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। आगे की गति गति में कमी के साथ होती है, जो विक्षेपण के दूसरे अधिकतम तक पहुंचने पर शून्य हो जाती है। यहां स्थितिज ऊर्जा अपने प्रारंभिक (अधिकतम) मान (घर्षण की अनुपस्थिति में) तक बढ़ जाती है। इस प्रकार, गतिज और संभावित ऊर्जाओं के दोलन दोगुनी आवृत्ति के साथ होते हैं (पेंडुलम के दोलनों की तुलना में) और एंटीफ़ेज़ में होते हैं (यानी, उनके बीच एक चरण बदलाव होता है) π ). कुल कंपन ऊर्जा डब्ल्यूअपरिवर्तित। एक लोचदार बल की कार्रवाई के तहत दोलन करने वाले शरीर के लिए, यह बराबर है:

कहाँ वी एम- शरीर की अधिकतम गति (संतुलन स्थिति में), एक्स एम = ए- आयाम.

माध्यम के घर्षण और प्रतिरोध की उपस्थिति के कारण, मुक्त कंपन क्षीण हो जाते हैं: समय के साथ उनकी ऊर्जा और आयाम कम हो जाते हैं। इसलिए, व्यवहार में, मजबूर दोलनों का उपयोग मुक्त दोलनों की तुलना में अधिक बार किया जाता है।

हार्मोनिक कंपन का समीकरण

हार्मोनिक दोलन का समीकरण समय पर शरीर के निर्देशांक की निर्भरता स्थापित करता है

प्रारंभिक क्षण में कोसाइन ग्राफ का अधिकतम मान होता है, और प्रारंभिक क्षण में साइन ग्राफ का शून्य मान होता है। यदि हम संतुलन स्थिति से दोलन की जांच करना शुरू करते हैं, तो दोलन एक साइनसॉइड को दोहराएगा। यदि हम अधिकतम विचलन की स्थिति से दोलन पर विचार करना शुरू करें, तो दोलन को कोसाइन द्वारा वर्णित किया जाएगा। या ऐसे दोलन को प्रारंभिक चरण के साथ साइन सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

हार्मोनिक दोलन के दौरान गति और त्वरण में परिवर्तन

न केवल शरीर का समन्वय समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता है। लेकिन बल, गति और त्वरण जैसी मात्राएँ भी समान रूप से बदलती हैं। बल और त्वरण तब अधिकतम होते हैं जब दोलन करने वाला शरीर चरम स्थिति पर होता है जहां विस्थापन अधिकतम होता है, और जब शरीर संतुलन स्थिति से गुजरता है तो शून्य होता है। इसके विपरीत, चरम स्थिति में गति शून्य होती है, और जब शरीर संतुलन स्थिति से गुजरता है, तो यह अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है।

यदि दोलन को कोसाइन के नियम द्वारा वर्णित किया गया है

यदि दोलन का वर्णन साइन नियम के अनुसार किया जाता है

अधिकतम गति और त्वरण मान

निर्भरता v(t) और a(t) के समीकरणों का विश्लेषण करने के बाद, हम अनुमान लगा सकते हैं कि गति और त्वरण उस स्थिति में अधिकतम मान लेते हैं जब त्रिकोणमितीय कारक 1 या -1 के बराबर होता है। सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

यांत्रिक हार्मोनिक दोलन- यह एक सीधीरेखीय असमान गति है जिसमें एक दोलनशील पिंड (भौतिक बिंदु) के निर्देशांक समय के आधार पर कोसाइन या साइन के नियम के अनुसार बदलते हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, समय के आधार पर निर्देशांक में परिवर्तन का नियम इस प्रकार है:

जहां wt कोज्या या ज्या चिह्न के नीचे की मात्रा है; डब्ल्यू- गुणांक, जिसका भौतिक अर्थ नीचे बताया जाएगा; ए यांत्रिक हार्मोनिक कंपन का आयाम है।

समीकरण (4.1) यांत्रिक हार्मोनिक कंपन के मूल गतिज समीकरण हैं।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. आइए ऑक्स अक्ष लें (चित्र 64)। बिंदु 0 से हम त्रिज्या R = A के साथ एक वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए कि बिंदु M स्थिति 1 से वृत्त के चारों ओर स्थिर गति से घूमना शुरू करता है वी(या निरंतर कोणीय वेग के साथ डब्ल्यू, वी = डब्ल्यूА). कुछ समय बाद त्रिज्या t एक कोण से घूम जायेगी एफ: एफ=डब्ल्यूटी.

बिंदु M की ऐसी गोलाकार गति के साथ, x अक्ष M x पर इसका प्रक्षेपण x अक्ष के अनुदिश गति करेगा, जिसका x निर्देशांक x = A cos के बराबर होगा एफ = = एओल wt. इस प्रकार, यदि कोई भौतिक बिंदु त्रिज्या A के एक वृत्त के साथ चलता है, जिसका केंद्र निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, तो x-अक्ष (और y-अक्ष पर) पर इस बिंदु का प्रक्षेपण हार्मोनिक यांत्रिक कंपन करेगा।

यदि मान wt, जो कोज्या चिह्न के अंतर्गत है, और आयाम A ज्ञात है, तो x को समीकरण (4.1) में भी निर्धारित किया जा सकता है।

कोसाइन (या साइन) चिह्न के नीचे खड़ी मात्रा wt, जो किसी दिए गए आयाम पर दोलन बिंदु के समन्वय को विशिष्ट रूप से निर्धारित करती है, कहलाती है दोलन चरण. एक वृत्त में घूम रहे बिंदु M के लिए, मान w का अर्थ उसके कोणीय वेग से है। यांत्रिक हार्मोनिक दोलन करने वाले बिंदु M x के लिए मान w का भौतिक अर्थ क्या है? दोलन बिंदु M x के निर्देशांक समय t और (T +1) (अवधि T की परिभाषा से) के किसी बिंदु पर समान हैं, अर्थात A cos wt = A cos w (t + T), जिसका अर्थ है कि डब्ल्यू(टी + टी) - डब्ल्यूटी = 2 अनुकरणीय(कोसाइन फ़ंक्शन की आवधिकता संपत्ति से)। यह उसी का अनुसरण करता है

नतीजतन, हार्मोनिक यांत्रिक दोलनों का प्रदर्शन करने वाले एक भौतिक बिंदु के लिए, डब्ल्यू के मूल्य को एक निश्चित के लिए दोलनों की संख्या के रूप में व्याख्या किया जा सकता है चक्रसमय बराबर 2एल. इसलिए मूल्य डब्ल्यूनाम चक्रीय(या गोलाकार) आवृत्ति.

यदि बिंदु M अपनी गति बिंदु 1 से नहीं बल्कि बिंदु 2 से शुरू करता है, तो समीकरण (4.1) इस प्रकार होगा:

आकार च 0बुलाया प्रारंभिक चरण.

हम समय के संबंध में निर्देशांक के व्युत्पन्न के रूप में बिंदु M x की गति पाते हैं:

हम हार्मोनिक नियम के अनुसार दोलन करने वाले एक बिंदु के त्वरण को गति के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित करते हैं:

सूत्र (4.4) से यह स्पष्ट है कि हार्मोनिक दोलन करने वाले बिंदु की गति भी कोसाइन नियम के अनुसार बदलती है। लेकिन चरण गति समन्वय से आगे हैपीआई/2 .एक हार्मोनिक दोलन के दौरान त्वरण कोसाइन कानून के अनुसार भिन्न होता है, लेकिन चरण में समन्वय से आगे होता है

एन

.

समीकरण (4.5) को x निर्देशांक के संदर्भ में लिखा जा सकता है:

हार्मोनिक कंपन के दौरान त्वरण विपरीत चिह्न के साथ विस्थापन के समानुपाती होता है। आइए हम समीकरण (4.5) के दाएं और बाएं पक्षों को दोलनशील सामग्री बिंदु m के द्रव्यमान से गुणा करें, हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं: न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, अभिव्यक्ति के दाईं ओर का भौतिक अर्थ (4.6) बल एफ एक्स का प्रक्षेपण है, जो हार्मोनिक यांत्रिक गति प्रदान करता है:.

F x का मान विस्थापन x के समानुपाती होता है और इसके विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। ऐसे बल का एक उदाहरण लोचदार बल है, जिसका परिमाण विरूपण के समानुपाती होता है और इसके विपरीत दिशा में निर्देशित होता है (हुक का नियम)।

विस्थापन पर त्वरण की निर्भरता का पैटर्न, जो समीकरण (4.6) से अनुसरण करता है, जिसे हमने यांत्रिक हार्मोनिक दोलनों के लिए माना था, को सामान्यीकृत किया जा सकता है और एक अलग भौतिक प्रकृति के दोलनों पर विचार करते समय लागू किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, एक दोलन में वर्तमान में परिवर्तन) सर्किट, चार्ज में बदलाव, वोल्टेज, चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण, आदि)। अतः समीकरण (4.8) को मुख्य समीकरण कहा जाता है

हार्मोनिक गतिशीलता

आइए एक स्प्रिंग और गणितीय लोलक की गति पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक स्प्रिंग (चित्र 63), जो क्षैतिज रूप से स्थित है और बिंदु 0 पर स्थिर है, द्रव्यमान m के एक पिंड के एक छोर पर जुड़ा हुआ है, जो बिना घर्षण के x अक्ष के साथ घूम सकता है।

एक गणितीय लोलक m द्रव्यमान का एक पिंड है जो नगण्य द्रव्यमान के एक लंबे अवितानीय धागे पर लटका हुआ है। संतुलन की स्थिति में, इस शरीर पर गुरुत्वाकर्षण बल और धागे की लोचदार शक्ति द्वारा कार्य किया जाएगा। ये ताकतें एक दूसरे को संतुलित करेंगी.

यदि धागा एक कोण पर झुका हुआ है एसंतुलन की स्थिति से, फिर वही बल शरीर पर कार्य करते हैं, लेकिन वे अब एक-दूसरे को संतुलित नहीं करते हैं, और चाप के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित गुरुत्वाकर्षण घटक के प्रभाव में शरीर एक चाप के साथ चलना शुरू कर देता है और एमजी पाप के बराबर होता है ए.

पेंडुलम की गति का समीकरण इस प्रकार है:

दाहिनी ओर ऋण चिह्न का अर्थ है कि बल F x = mg syn a विस्थापन के विरुद्ध निर्देशित है। हार्मोनिक दोलन छोटे विक्षेपण कोणों पर होगा, अर्थात, बशर्ते एक 2*पाप ए.

आइए पाप को प्रतिस्थापित करें और मेंसमीकरण (4.12), हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है।