क्या प्राकृतिक लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है? लघुगणक सूत्र

मुख्य गुण.

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

समान आधार

लॉग6 4 + लॉग6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x >

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यह भी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

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प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सही मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1.
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.

3.

4. कहाँ .

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

उदाहरण 3. मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , यानी आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक सूत्र. लघुगणक उदाहरण समाधान.

हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह भी देखें:

आधार a के लिए b का लघुगणक अभिव्यक्ति को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है एक घात x() ज्ञात करना जिस पर समानता संतुष्ट होती है

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक से संबंधित लगभग सभी समस्याओं एवं उदाहरणों का समाधान इन्हीं के आधार पर किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय हेरफेर के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं

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लघुगणक (3.4) के योग और अंतर के सूत्र की गणना करते समय आपका सामना अक्सर होता है। बाकी कुछ हद तक जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में वे जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना करने के लिए अपरिहार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सबसे सामान्य लघुगणक वे हैं जिनमें आधार दस, घातांकीय या दो के बराबर होता है।
आधार दस के लघुगणक को आमतौर पर दशमलव लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) द्वारा दर्शाया जाता है।

रिकॉर्डिंग से साफ़ है कि रिकॉर्डिंग में मूल बातें नहीं लिखी गई हैं. उदाहरण के लिए

एक प्राकृतिक लघुगणक एक लघुगणक है जिसका आधार एक घातांक है (ln(x) द्वारा दर्शाया गया है)।

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सही मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

और आधार दो को एक और महत्वपूर्ण लघुगणक द्वारा दर्शाया गया है

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है

अभिन्न या प्रतिअवकलन लघुगणक संबंध द्वारा निर्धारित होता है

दी गई सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को समझने में आपकी मदद करने के लिए, मैं स्कूली पाठ्यक्रम और विश्वविद्यालयों से केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा।

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1.
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.
हमारे पास लघुगणक के अंतर के गुण के आधार पर

3.
गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ .

एक प्रतीत होने वाली जटिल अभिव्यक्ति को कई नियमों का उपयोग करके सरल बनाया जाता है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

समाधान। गणना के लिए, हम अंतिम पद 5 और 13 गुणों पर लागू होते हैं

हम इसे रिकॉर्ड पर रखते हैं और शोक मनाते हैं

चूँकि आधार बराबर हैं, हम व्यंजकों को बराबर करते हैं

लघुगणक. प्रवेश के स्तर पर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

समाधान: आइए चर के पदों के योग के माध्यम से लघुगणक लिखने के लिए चर का एक लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से हमारे परिचय की शुरुआत मात्र है। गणनाओं का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान को एक और समान रूप से महत्वपूर्ण विषय - लघुगणकीय असमानताओं तक विस्तारित करेंगे...

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , यानी आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

आज हम बात करेंगे लघुगणक सूत्रऔर हम संकेत देंगे समाधान उदाहरण.

वे स्वयं लघुगणक के मूल गुणों के अनुसार समाधान पैटर्न दर्शाते हैं। हल करने के लिए लघुगणक सूत्र लागू करने से पहले, आइए हम आपको सभी गुणों की याद दिलाएँ:

अब हम इन सूत्रों (गुणों) के आधार पर बताएंगे लघुगणक हल करने के उदाहरण.

सूत्रों के आधार पर लघुगणक को हल करने के उदाहरण।

लोगारित्मआधार a के लिए एक धनात्मक संख्या b (लॉग a b द्वारा निरूपित) एक घातांक है जिसमें b प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए, b > 0, a > 0, और 1 के साथ।

परिभाषा के अनुसार, लॉग ए बी = एक्स, जो ए एक्स = बी के बराबर है, इसलिए लॉग ए ए एक्स = एक्स।

लघुगणक, उदाहरण:

लॉग 2 8 = 3, क्योंकि 2 3 = 8

लॉग 7 49 = 2, क्योंकि 7 2 = 49

लॉग 5 1/5 = -1, क्योंकि 5 -1 = 1/5

दशमलव लघुगणक- यह एक साधारण लघुगणक है, जिसका आधार 10 है। इसे lg से दर्शाया जाता है।

लॉग 10 100 = 2, क्योंकि 10 2 = 100

प्राकृतिक- एक साधारण लघुगणक, एक लघुगणक, लेकिन आधार e (e = 2.71828... - एक अपरिमेय संख्या) के साथ। एलएन के रूप में दर्शाया गया।

लघुगणक के सूत्रों या गुणों को याद रखने की सलाह दी जाती है, क्योंकि बाद में लघुगणक, लघुगणक समीकरण और असमानताओं को हल करते समय हमें उनकी आवश्यकता होगी। आइए उदाहरणों के साथ प्रत्येक सूत्र पर फिर से काम करें।

• बुनियादी लघुगणकीय पहचान
  ए लॉग ए बी = बी

  8 2लॉग 8 3 = (8 2लॉग 8 3) 2 = 3 2 = 9

• उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है
  लॉग ए (बीसी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी

  लॉग 3 8.1 + लॉग 3 10 = लॉग 3 (8.1*10) = लॉग 3 81 = 4

• भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है
  लॉग ए (बी/सी) = लॉग ए बी - लॉग ए सी

  9 लॉग 5 50 /9 लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 50- लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 25 = 9 2 = 81

• लघुगणकीय संख्या की शक्ति और लघुगणक के आधार के गुण

  लघुगणकीय संख्या का घातांक log a b m = mlog a b

  लघुगणक log a n b =1/n*log a b के आधार का घातांक

  लॉग ए एन बी एम = एम/एन*लॉग ए बी,

  यदि m = n, तो हमें log a n b n = log a b प्राप्त होता है

  लॉग 4 9 = लॉग 2 2 3 2 = लॉग 2 3

• एक नई नींव में परिवर्तन
  लॉग ए बी = लॉग सी बी/लॉग सी ए,

  यदि c = b, तो हमें log b b = 1 प्राप्त होता है

  फिर लॉग ए बी = 1/लॉग बी ए

  लॉग 0.8 3*लॉग 3 1.25 = लॉग 0.8 3*लॉग 0.8 1.25/लॉग 0.8 3 = लॉग 0.8 1.25 = लॉग 4/5 5/4 = -1

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक के सूत्र उतने जटिल नहीं हैं जितने लगते हैं। अब, लघुगणक को हल करने के उदाहरणों को देखने के बाद, हम लघुगणक समीकरणों की ओर आगे बढ़ सकते हैं। हम लेख में अधिक विस्तार से लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण देखेंगे: ""। इसे मत गँवाओ!

यदि आपके पास अभी भी समाधान के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें लेख की टिप्पणियों में लिखें।

ध्यान दें: हमने एक विकल्प के रूप में एक अलग श्रेणी की शिक्षा प्राप्त करने और विदेश में अध्ययन करने का निर्णय लिया।

आधार ए के साथ लघुगणक y का एक फलन है (x) = x लॉग करें, आधार a: x के साथ घातीय फलन का व्युत्क्रम (वाई) = ए वाई.

दशमलव लघुगणककिसी संख्या के आधार का लघुगणक है 10 : लॉग x ≡ लॉग 10 x.

प्राकृतिकई के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स ≡ लॉग ई एक्स.

2,718281828459045... ;
.

लघुगणक का ग्राफ़ घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ से सीधी रेखा y = x के संबंध में प्रतिबिंबित करके प्राप्त किया जाता है। बाईं ओर फ़ंक्शन y के ग्राफ़ हैं(x) = x लॉग करें चार मानों के लिएलघुगणक आधार 2 : ए = 8 : ए = 1/2 , ए = 1/8 और एक = 1 . 0 < a < 1 ग्राफ दिखाता है कि जब एक >

लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है। जैसे-जैसे x बढ़ता है, विकास काफी धीमा हो जाता है। पर

लघुगणक नीरस रूप से घटता है।

लघुगणक के गुण

कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x =

नहीं निजी मूल्यआधार 10 का लघुगणक कहलाता है

दशमलव लघुगणक और इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:आधार का लघुगणक ई:

बुलाया

प्राकृतिक

लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से उत्पन्न लघुगणक के गुण:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणामआधार प्रतिस्थापन सूत्र

लोगारित्मलघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पादों को पदों के योग में बदल दिया जाता है।

पोटेंशिएशन

लघुगणक से संबंधित सूत्र घातांकीय फलनों के सूत्रों और व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

घातीय फ़ंक्शन की संपत्ति पर विचार करें
.
तब
.
आइए घातीय फ़ंक्शन की संपत्ति को लागू करें
:
.

आइए आधार प्रतिस्थापन सूत्र को सिद्ध करें।
;
.
सी = बी मानते हुए, हमारे पास है:

उलटा कार्य

आधार a के लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक a के साथ एक घातांकीय फलन है।

यदि , तो

यदि , तो

लघुगणक का व्युत्पन्न

मापांक x के लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

लघुगणक का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए, इसे आधार तक घटाया जाना चाहिए और इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:.
;
.

अभिन्न

लघुगणक के अभिन्न अंग की गणना भागों द्वारा एकीकृत करके की जाती है:।
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
.
आइए एक सम्मिश्र संख्या को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
फिर, लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या

हालाँकि, तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं. यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह अलग-अलग के लिए एक ही संख्या होगी एन.

इसलिए, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में लघुगणक, एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:

प्रयुक्त साहित्य:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं। यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

x का आधार लघुगणक वह शक्ति है जिस तक x प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए।

पदनाम: लॉग ए एक्स = बी, जहां ए आधार है, एक्स तर्क है, बी वह है जो लघुगणक वास्तव में बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ लघुगणक 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहा जाता है। तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। पहले तो कई लोग भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक एक शक्ति है, जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

हमने परिभाषा का पता लगा लिया है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात्। "लॉग" चिन्ह से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

1. तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है। इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं स्वीकार्य मूल्यों की सीमा(ओडीजेड)। यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लघुगणक 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं जहाँ लघुगणक का VA जानने की आवश्यकता नहीं है। समस्याओं के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

आइए अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना देखें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका न्यूनतम संभव आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। दशमलव भिन्नों के साथ भी ऐसा ही है: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य अंशों में बदल दें, तो बहुत कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. हमें उत्तर मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 4 64 = बी ⇒ (2 2) बी = 2 6 ⇒ 2 2बी = 2 6 ⇒ 2बी = 6 ⇒ बी = 3;
3. हमें उत्तर मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 ⇒ 2 4बी = 2 0 ⇒ 4बी = 0 ⇒ बी = 0 ;
3. हमें उत्तर मिला: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक घातें होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

x का दशमलव लघुगणक आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजी एक्स.

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें: यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। हम प्राकृतिक लघुगणक के बारे में बात कर रहे हैं।

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e का लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या e को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स .

कई लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है; इसका सटीक मान न तो पाया जा सकता है और न ही लिखा जा सकता है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459...

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1 ; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्यतः, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

आदिम स्तर के बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। यह नाम ग्रीक भाषा के शब्द "संख्या" या "शक्ति" से आया है और इसका अर्थ है वह शक्ति जिससे अंतिम संख्या खोजने के लिए आधार में संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए।

लघुगणक के प्रकार

• लॉग ए बी - संख्या बी का आधार ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0) का लघुगणक;
• लॉग बी - दशमलव लघुगणक (आधार 10 पर लघुगणक, ए = 10);
• एलएन बी - प्राकृतिक लघुगणक (आधार ई के लिए लघुगणक, ए = ई)।

लघुगणक कैसे हल करें?

आधार a पर b का लघुगणक एक घातांक है जिसके लिए b को आधार a पर बढ़ाने की आवश्यकता होती है। प्राप्त परिणाम को इस प्रकार उच्चारित किया जाता है: "बी से आधार ए का लघुगणक।" लघुगणकीय समस्याओं का समाधान यह है कि आपको निर्दिष्ट संख्याओं से संख्याओं में दी गई शक्ति निर्धारित करने की आवश्यकता है। लघुगणक को निर्धारित करने या हल करने के साथ-साथ नोटेशन को परिवर्तित करने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। उनका उपयोग करके, लॉगरिदमिक समीकरण हल किए जाते हैं, डेरिवेटिव पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं, और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूलतः, लघुगणक का समाधान ही इसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मूल सूत्र और गुण हैं:

किसी के लिए; ए > 0; a ≠ 1 और किसी भी x के लिए; आप > 0.

• ए लॉग ए बी = बी - बुनियादी लघुगणकीय पहचान
• लॉग ए 1 = 0
• लॉगा ए = 1
• लॉग ए (एक्स वाई) = लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई
• लॉग ए एक्स/ वाई = लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई
• लॉग ए 1/एक्स = -लॉग ए एक्स
• लॉग ए एक्स पी = पी लॉग ए एक्स
• k ≠ 0 के लिए log a k x = 1/k log a x
• लॉग ए एक्स = लॉग ए सी एक्स सी
• लॉग ए एक्स = लॉग बी एक्स/ लॉग बी ए - नए आधार पर जाने का सूत्र
• लॉग ए एक्स = 1/लॉग एक्स ए

लघुगणक कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश

• सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो प्रविष्टि को छोटा कर दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप दशमलव लघुगणक प्राप्त होता है। यदि कोई प्राकृतिक संख्या ई है, तो हम इसे प्राकृतिक लघुगणक में घटाकर लिख देते हैं। इसका मतलब यह है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिस तक संख्या बी प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को बढ़ाया जाता है।

सीधे तौर पर समाधान इस डिग्री की गणना में निहित है। किसी व्यंजक को लघुगणक से हल करने से पहले उसे नियम के अनुसार अर्थात् सूत्रों का प्रयोग करके सरल बनाना आवश्यक है। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो अलग-अलग संख्याओं लेकिन समान आधार वाले लघुगणक को जोड़ते और घटाते समय, क्रमशः संख्या बी और सी के गुणनफल या विभाजन के साथ एक लघुगणक से बदलें। इस मामले में, आप दूसरे आधार पर जाने के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हैं, तो विचार करने के लिए कुछ सीमाएँ हैं। और वह यह है: लघुगणक का आधार केवल एक धनात्मक संख्या है, लेकिन एक के बराबर नहीं है। संख्या b, a की तरह, शून्य से बड़ी होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं, जहां किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाकर, आप संख्यात्मक रूप से लघुगणक की गणना नहीं कर पाएंगे। ऐसा होता है कि ऐसी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई घात अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की शक्ति को लघुगणक के रूप में छोड़ दें।