ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न अंग ढूँढना। आयतों और समलम्ब चतुर्भुजों के सूत्रों का उपयोग करके अभिन्नों की गणना

Ekaterinburg

निश्चित समाकलन की गणना

परिचय

कार्यों के संख्यात्मक एकीकरण की समस्या एक निश्चित अभिन्न के अनुमानित मूल्य की गणना करना है:

, (1)

इंटीग्रैंड के मानों की एक श्रृंखला के आधार पर।( f(x) |x=x k = f(x k) = y k )।

एकल समाकलन की संख्यात्मक गणना के सूत्रों को चतुर्भुज सूत्र कहा जाता है, दोहरे और अधिक गुणकों को घनसूत्र सूत्र कहा जाता है।

चतुर्भुज सूत्रों के निर्माण की सामान्य तकनीक एक खंड पर इंटीग्रैंड फ़ंक्शन एफ (एक्स) को अपेक्षाकृत सरल रूप के इंटरपोलिंग या अनुमानित फ़ंक्शन जी (एक्स) के साथ प्रतिस्थापित करना है, उदाहरण के लिए, एक बहुपद, जिसके बाद विश्लेषणात्मक एकीकरण होता है। इससे दृश्य सामने आता है

शेष पद R[f] की उपेक्षा करने पर हमें अनुमानित सूत्र प्राप्त होता है

.

आइए हम विभिन्न बिंदुओं पर इंटीग्रैंड फ़ंक्शन के मान को y i = f(x i) से निरूपित करें

पर । चतुर्भुज सूत्र बंद प्रकार के सूत्र हैं यदि x 0 =a, x n =b.

एक अनुमानित फलन g(x) के रूप में, हम एक प्रक्षेप बहुपद पर विचार करते हैं

लैग्रेंज बहुपद के रूप में: , , जबकि , लैग्रेंज इंटरपोलेशन सूत्र का शेष पद कहां है।

सूत्र (1) देता है

, (2) . (3)

सूत्र (2) में मात्राएँ (

) को नोड कहा जाता है, () को भार कहा जाता है, और चतुर्भुज सूत्र की त्रुटि कहा जाता है। यदि किसी चतुर्भुज सूत्र के भार () की गणना सूत्र (3) का उपयोग करके की जाती है, तो संबंधित चतुर्भुज सूत्र को प्रक्षेप प्रकार का चतुर्भुज सूत्र कहा जाता है।

आइए संक्षेप करें.

) नोड्स के दिए गए स्थान के लिए चतुर्भुज सूत्र (2) इंटीग्रैंड के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है।

2. प्रक्षेप-प्रकार के चतुर्भुज सूत्रों में, शेष पद R n [f] को फ़ंक्शन f(x) पर एक विशिष्ट अंतर ऑपरेटर के मान के रूप में दर्शाया जा सकता है। के लिए

.

3. क्रम n समावेशी तक के बहुपदों के लिए, चतुर्भुज सूत्र (2) सटीक है, अर्थात।

. किसी बहुपद की उच्चतम घात जिसके लिए चतुर्भुज सूत्र सटीक होता है, चतुर्भुज सूत्र की घात कहलाती है।

आइए सूत्र (2) और (3) के विशेष मामलों पर विचार करें: आयतों, समलंब, परवलय की विधि (सिम्पसन की विधि)। इन विधियों के नाम संबंधित सूत्रों की ज्यामितीय व्याख्या के कारण हैं।

आयत विधि

फ़ंक्शन f(x) का निश्चित अभिन्न अंग:

संख्यात्मक रूप से वक्रों y=0, x=a, x=b, y=f(x) से घिरे एक वक्रीय समलंब के क्षेत्रफल के बराबर (चित्र 1)।
चावल। 1 वक्र y=f(x) के नीचे का क्षेत्र इस क्षेत्र की गणना करने के लिए, संपूर्ण एकीकरण अंतराल को n लंबाई h=(b-a)/n के बराबर उपअंतराल में विभाजित किया गया है। इंटीग्रैंड के अंतर्गत क्षेत्रफल को लगभग आयतों के क्षेत्रफलों के योग से बदल दिया जाता है, जैसा चित्र (2) में दिखाया गया है।
चावल। 2 वक्र y=f(x) के नीचे का क्षेत्रफल आयतों के क्षेत्रफलों के योग द्वारा अनुमानित है
सभी आयतों के क्षेत्रफलों के योग की गणना सूत्र (4) द्वारा की जाती है

सूत्र (4) द्वारा निरूपित विधि को बायां आयत विधि कहा जाता है, और सूत्र (5) द्वारा निरूपित विधि को दायां आयत विधि कहा जाता है:

(5) इंटीग्रल की गणना में त्रुटि एकीकरण चरण एच के मूल्य से निर्धारित होती है। एकीकरण चरण जितना छोटा होगा, इंटीग्रल योग एस उतना ही सटीक रूप से इंटीग्रल I के मान का अनुमान लगाता है। इसके आधार पर, दी गई सटीकता के साथ इंटीग्रल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म का निर्माण किया जाता है। ऐसा माना जाता है कि अभिन्न योग एस ईपीएस की सटीकता के साथ अभिन्न I के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है यदि अभिन्न योग के बीच पूर्ण मूल्य में अंतर और क्रमशः चरण एच और एच/2 के साथ गणना, ईपीएस से अधिक नहीं है।

औसत आयतों की विधि द्वारा एक निश्चित अभिन्न अंग खोजने के लिए, सीधी रेखाओं a और b से घिरे क्षेत्र को समान आधार h वाले n आयतों में विभाजित किया गया है, आयतों की ऊँचाई फ़ंक्शन f(x) के प्रतिच्छेदन बिंदु होगी आयतों के मध्यबिंदु (h/2)। समाकलन संख्यात्मक रूप से n आयतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा (चित्र 3)।

चावल। 3 वक्र y=f(x) के नीचे का क्षेत्रफल आयतों के क्षेत्रफलों के योग से अनुमानित होता है ,

n – खंड के विभाजनों की संख्या.

समलम्बाकार विधि

समलम्बाकार विधि द्वारा निश्चित समाकलन ज्ञात करने के लिए, एक वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को n आयताकार समलंबों में विभाजित किया जाता है जिनकी ऊँचाई h और आधार 1, y 2, y 3,..y n हैं, जहाँ n आयताकार की संख्या है समलम्बाकार। समाकलन संख्यात्मक रूप से आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा (चित्र 4)।

चावल। 4 वक्र y=f(x) के नीचे का क्षेत्रफल आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों के योग से अनुमानित होता है।

n – विभाजनों की संख्या

(6)

समलम्बाकार सूत्र की त्रुटि का अनुमान संख्या से लगाया जाता है

वृद्धि के साथ समलम्बाकार सूत्र की त्रुटि

आयत सूत्र की त्रुटि की तुलना में तेज़ी से घटती है। इसलिए, समलम्बाकार सूत्र आयत विधि की तुलना में अधिक सटीकता की अनुमति देता है।

सिम्पसन का सूत्र

यदि खंडों की प्रत्येक जोड़ी के लिए

दूसरी डिग्री का एक बहुपद बनाएं, फिर इसे एक खंड पर एकीकृत करें और अभिन्न की योगात्मकता की संपत्ति का उपयोग करें, फिर हमें सिम्पसन का सूत्र प्राप्त होता है। सिम्पसन की विधि में, एक निश्चित अभिन्न की गणना करने के लिए, संपूर्ण एकीकरण अंतराल को समान लंबाई h=(b-a)/n के उपअंतराल में विभाजित किया जाता है। विभाजन के खंडों की संख्या एक सम संख्या है। फिर, आसन्न उपअंतराल के प्रत्येक जोड़े पर, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन f(x) को दूसरी डिग्री के लैग्रेंज बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (चित्र 5)। चावल। 5 खंड पर फ़ंक्शन y=f(x) को दूसरे क्रम के बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। खंड पर समाकलन पर विचार करें। आइए इस इंटीग्रैंड को दूसरी डिग्री के लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद से बदलें, जो बिंदुओं पर y= के साथ मेल खाता है:

समलम्बाकार विधिसंख्यात्मक एकीकरण के तरीकों में से एक है। यह आपको सटीकता की पूर्व निर्धारित डिग्री के साथ निश्चित इंटीग्रल की गणना करने की अनुमति देता है।

सबसे पहले, हम समलम्बाकार विधि के सार का वर्णन करते हैं और समलम्बाकार सूत्र प्राप्त करते हैं। इसके बाद, हम विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान लिखेंगे और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे। अंत में, आइए ट्रैपेज़ॉइड विधि की तुलना आयत विधि से करें।

पेज नेविगेशन.

समलम्बाकार विधि का सार.

आइए हम अपने लिए निम्नलिखित कार्य निर्धारित करें: आइए हमें लगभग एक निश्चित अभिन्न अंग की गणना करने की आवश्यकता है, जहां इंटीग्रैंड फ़ंक्शन y=f(x) खंड पर निरंतर है।

आइए खंड को बिंदुओं के साथ n लंबाई h के बराबर अंतराल में विभाजित करें। इस मामले में, हम विभाजन चरण ढूंढते हैं और साथ ही समानता से नोड्स निर्धारित करते हैं।

आइए प्राथमिक खंडों पर इंटीग्रैंड पर विचार करें .

चार संभावित मामले हैं (आंकड़ा उनमें से सबसे सरल दिखाता है, जिसमें n के असीम रूप से बढ़ने पर सब कुछ नीचे आ जाता है):

हर खंड पर आइए फ़ंक्शन y=f(x) को निर्देशांक और वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खंड से बदलें। आइए उन्हें नीली रेखाओं वाले चित्र में चित्रित करें:

अभिन्न के अनुमानित मूल्य के रूप में, हम अभिव्यक्ति लेते हैं , अर्थात मान लेते हैं .

आइए जानें कि ज्यामितीय अर्थ में लिखित अनुमानित समानता का क्या अर्थ है। इससे यह समझना संभव हो जाएगा कि विचाराधीन संख्यात्मक एकीकरण विधि को ट्रैपेज़ॉइडल विधि क्यों कहा जाता है।

हम जानते हैं कि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों और ऊँचाई के आधे योग का गुणनफल है। नतीजतन, पहले मामले में, एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र लगभग आधारों के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है और ऊंचाई एच, बाद वाले मामले में निश्चित अभिन्न अंग आधारों के साथ ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लगभग बराबर है और ऊँचाई h, ऋण चिह्न के साथ ली गई है। दूसरे और तीसरे मामले में, निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए लाल और नीले क्षेत्रों के क्षेत्रों में अंतर के बराबर है।

इस प्रकार हम आते हैं समलम्बाकार विधि का सार, जिसमें प्रत्येक प्रारंभिक खंड पर प्रपत्र के अभिन्नों के योग के रूप में और बाद के अनुमानित प्रतिस्थापन में एक निश्चित अभिन्न का प्रतिनिधित्व करना शामिल है .

ट्रेपेज़ॉइड विधि सूत्र।

निश्चित अभिन्न के पांचवें गुण के आधार पर .

यदि हम अभिन्नों के स्थान पर उनके अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करें, तो हमें प्राप्त होता है:

ट्रैपेज़ॉइडल विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान।

समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटिके रूप में अनुमान लगाया गया है
.

समलम्बाकार विधि का ग्राफिक चित्रण।

आइए देते हैं ट्रेपेज़ॉइड विधि का ग्राफिक चित्रण:

ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके निश्चित अभिन्नों की अनुमानित गणना के उदाहरण।

आइए हम निश्चित अभिन्नों की अनुमानित गणना में समलम्बाकार विधि के उपयोग के उदाहरण देखें।

कार्य मुख्यतः दो प्रकार के होते हैं:

• या खंड n के विभाजनों की दी गई संख्या के लिए समलम्बाकार विधि का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न अंग की गणना करें,
• या आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न अंग का अनुमानित मूल्य ज्ञात करें।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी दिए गए n के लिए, मध्यवर्ती गणना पर्याप्त सटीकता के साथ की जानी चाहिए, और n जितना बड़ा होगा, गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होनी चाहिए।

यदि आपको दी गई सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न अंग की गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, 0.01 तक, तो हम परिमाण के दो से तीन आदेशों को अधिक सटीक रूप से, यानी 0.0001 - 0.00001 तक मध्यवर्ती गणना करने की सलाह देते हैं। यदि निर्दिष्ट सटीकता बड़े n पर प्राप्त की जाती है, तो मध्यवर्ती गणना और भी अधिक सटीकता के साथ की जानी चाहिए।

उदाहरण के लिए, आइए एक निश्चित अभिन्न अंग लें, जिसके मूल्य की गणना हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके कर सकते हैं, ताकि हम इस परिणाम की तुलना ट्रेपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके प्राप्त अनुमानित मूल्य से कर सकें।

इसलिए, .

उदाहरण।

n = 10 के लिए समलम्बाकार विधि का उपयोग करके निश्चित समाकलन की गणना करें।

समाधान।

ट्रैपेज़ॉइडल विधि के सूत्र का रूप है . अर्थात्, इसका उपयोग करने के लिए, हमें केवल सूत्र का उपयोग करके चरण h की गणना करने, नोड्स निर्धारित करने और इंटीग्रैंड के संबंधित मानों की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए विभाजन चरण की गणना करें: .

हम नोड्स को परिभाषित करते हैं और उन पर इंटीग्रैंड के मूल्यों की गणना करते हैं (हम चार दशमलव स्थान लेंगे):

सुविधा के लिए, गणना परिणाम एक तालिका के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं:

हम उन्हें समलम्बाकार विधि के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

परिणामी मान न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए मान के सौवें हिस्से से मेल खाता है।

उदाहरण।

निश्चित अभिन्न की गणना करें 0.01 की सटीकता के साथ ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करना।

समाधान।

इस शर्त से हमें क्या मिलता है: a = 1; बी = 2 ; .

इस मामले में, पहली चीज़ जो हम करते हैं वह एकीकरण खंड के विभाजन के बिंदुओं की संख्या, यानी n ज्ञात करना है। हम पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं . इस प्रकार, यदि हम n पाते हैं जिसके लिए असमानता कायम रहेगी , तो दिए गए n के लिए समलम्बाकार सूत्र हमें आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न अंग का अनुमानित मूल्य देगा।

आइए पहले अंतराल पर फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के मापांक का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक द्विघात परवलय है, हम इसके गुणों से जानते हैं कि यह सकारात्मक है और अंतराल पर बढ़ रहा है, इसलिए . जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे उदाहरण में खोजने की प्रक्रिया काफी सरल है। अधिक जटिल मामलों में, अनुभाग देखें। यदि इसे ढूंढना बहुत कठिन है, तो इस उदाहरण के बाद हम कार्रवाई का एक वैकल्पिक तरीका देंगे।

आइए अपनी असमानता की ओर लौटें और परिणामी मान को इसमें प्रतिस्थापित करें:

क्योंकि n एक प्राकृतिक संख्या है (n प्राथमिक अंतरालों की संख्या है जिसमें एकीकरण खंड विभाजित है), तो हम n = 6, 7, 8, ले सकते हैं ... आइए n = 6 लें। यह हमें न्यूनतम गणना के साथ ट्रैपेज़ॉइडल विधि की आवश्यक सटीकता प्राप्त करने की अनुमति देगा (हालांकि हमारे मामले में n = 10 के साथ मैन्युअल रूप से गणना करना अधिक सुविधाजनक है)।

इसलिए, n पाया गया है, अब हम पिछले उदाहरण की तरह आगे बढ़ते हैं।

चरण की गणना करें: .

हम ग्रिड नोड्स और उनमें इंटीग्रैंड के मान पाते हैं:

आइए गणना परिणामों को तालिका में दर्ज करें:

हम प्राप्त परिणामों को समलम्बाकार सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

आइए मानों की तुलना करने के लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके मूल अभिन्न की गणना करें:

इसलिए, आवश्यक सटीकता हासिल कर ली गई है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता से संख्या n ज्ञात करना बहुत सरल प्रक्रिया नहीं है, विशेष रूप से जटिल रूप के समाकलनों के लिए। इसलिए, निम्नलिखित विधि का सहारा लेना तर्कसंगत है।

एन नोड्स के लिए ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके प्राप्त निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य द्वारा दर्शाया जाएगा।

हम एक मनमाना संख्या n चुनते हैं, उदाहरण के लिए n = 10. ट्रैपेज़ॉइडल विधि के सूत्र का उपयोग करके, हम n = 10 के लिए मूल अभिन्न अंग की गणना करते हैं और नोड्स की संख्या से दोगुनी संख्या के लिए, यानी n = 20 के लिए। हम दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य पाते हैं। यदि यह आवश्यक सटीकता से कम है , फिर हम गणना बंद कर देते हैं और मान को निश्चित अभिन्न के अनुमानित मान के रूप में लेते हैं, पहले इसे सटीकता के आवश्यक क्रम में पूर्णांकित करते हैं। अन्यथा, हम नोड्स की संख्या दोगुनी कर देते हैं (n = 40 लेते हैं) और चरणों को दोहराते हैं।

5.3 ट्रेपेज़ॉइड विधि

आइए हम समलम्ब चतुर्भुज का सूत्र उसी प्रकार प्राप्त करें जैसे आयतों का सूत्र, ज्यामितीय विचारों से प्राप्त करते हैं। आइए फ़ंक्शन y = f(x) (चित्र 5.1) के ग्राफ़ को एक टूटी हुई रेखा (चित्र 5.7) से बदलें, जो निम्नानुसार प्राप्त होती है। बिंदुओं a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n = b से हम तब तक निर्देशांक बनाते हैं जब तक कि वे वक्र y = f(x) के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। निर्देशांकों के सिरे सीधे खंडों से जुड़े होंगे।

तब एक वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग समलम्ब चतुर्भुज से बनी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर माना जा सकता है। चूँकि h = लंबाई के एक खंड पर बने समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल h के बराबर है , फिर, i = 0, 2, …, n - 1 के लिए इस सूत्र का उपयोग करके, हम समलम्बाकार चतुर्भुज सूत्र प्राप्त करते हैं:

मैं=»मैं tr =h= (5.7)

त्रुटि का अनुमान. समलम्बाकार सूत्र की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करते हैं।

प्रमेय 5.2. मान लीजिए कि फलन f अंतराल पर दो बार लगातार अवकलनीय है। फिर निम्नलिखित त्रुटि अनुमान समलम्बाकार सूत्र के लिए मान्य है:

| मैं - मैं tr | £ घंटा 2 , (5.8)

जहाँ M 2 = |f "(x)|.

उदाहरण 5.2.

आइए समलम्बाकार सूत्र (5.7) का उपयोग करके अभिन्न के मूल्य की गणना करें और प्राप्त परिणाम की तुलना उदाहरण 5.1 के परिणाम से करें।

उदाहरण 5.1 से फ़ंक्शन मान ई की तालिका का उपयोग करके और ट्रैपेज़ॉइडल फॉर्मूला (5.7) का उपयोग करके गणना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: I tr = 0.74621079।

आइए प्राप्त मूल्य की त्रुटि का अनुमान लगाएं। उदाहरण (5.1) में हमें अनुमान प्राप्त हुआ: | f "(x)| £ M 2 = 2। इसलिए, सूत्र (5.8) के अनुसार

मैं - मैं tr | £ (0.1) 2 » 1.7× 10 -3 .

उदाहरण 5.1 और 5.2 के परिणामों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि औसत आयत विधि में एक छोटी त्रुटि है, अर्थात। यह अधिक सटीक है.

5.4 सिम्पसन विधि (परवलय विधि)

आइए खंड , i = 0, 2, … , n - 1 पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ को बिंदु (x i , f(x i)), (x,f) के माध्यम से खींचे गए परवलय से बदलें। (x)), (x i+ 1, f(x i+ 1)), जहां x खंड का मध्यबिंदु है। यह परवलय नोड्स x i, x, x i+ 1 के साथ दूसरी डिग्री L 2 (x) का एक प्रक्षेप बहुपद है। यह देखना आसान है कि इस परवलय के समीकरण का रूप इस प्रकार है:

एफ(एक्स) + (एक्स - एक्स) + (एक्स - एक्स) 2 , (5.9)

अंतराल पर फ़ंक्शन (5.9) को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

I i = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

अभिव्यक्ति (5.10) को i = 0, 1, 2, …, n - 1 पर सारांशित करने पर, हमें सिम्पसन का चतुर्भुज सूत्र (या परवलय सूत्र) प्राप्त होता है:

I =» I C = (f(x 0) + f(x n) + 4 + 2). (5.11)

त्रुटि का अनुमान. सिम्पसन सूत्र की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करते हैं।

प्रमेय 5.2. मान लें कि फ़ंक्शन f में अंतराल पर निरंतर चौथे क्रम का व्युत्पन्न f (4) (x) है। फिर निम्नलिखित त्रुटि अनुमान सिम्पसन के सूत्र (5.9) के लिए मान्य है:

| मैं – मैं सी | £ घंटे 4 , (5.12)

जहाँ एम 4 = | एफ (4) (एक्स)|

टिप्पणी। यदि प्रारंभिक खंडों की संख्या जिसमें खंड विभाजित है, सम है, अर्थात। n = 2m, तो परवलय को पूर्णांक सूचकांकों के साथ नोड्स के माध्यम से खींचा जा सकता है, और लंबाई h के एक प्राथमिक खंड के बजाय, लंबाई 2h के एक खंड पर विचार करें। तब सिम्पसन का सूत्र रूप लेगा:

मैं » (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

और अनुमान (5.10) के बजाय, निम्नलिखित त्रुटि अनुमान मान्य होगा:

| मैं – मैं सी | £ घंटा 4 , (5.14)

उदाहरण 5.3.

आइए सिम्पसन के सूत्र (5.11) का उपयोग करके अभिन्न के मूल्य की गणना करें और प्राप्त परिणाम की तुलना उदाहरण 5.1 और 5.2 के परिणामों से करें।

उदाहरण 5.1 से फ़ंक्शन मानों की तालिका का उपयोग करना और सिम्पसन के सूत्र (5.11) का उपयोग करके गणना करना, हम प्राप्त करते हैं:

आई सी = 0.74682418।

आइए प्राप्त मूल्य की त्रुटि का अनुमान लगाएं। आइए चौथे व्युत्पन्न f (4) (x) की गणना करें।

एफ (4) (एक्स) = (16x 4 – 48x 2 + 12) ई, | एफ (4) (एक्स)| £12.

| मैं – मैं सी | £ (0.1) 4 » 0.42 × 10 -6।

उदाहरण 5.1, 5.2 और 5.3 के परिणामों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि सिम्पसन विधि में औसत आयत विधि और ट्रेपेज़ॉइड विधि की तुलना में कम त्रुटि है।

आयतों, समलम्बाकार सूत्रों और सिम्पसन के सूत्र का उपयोग करके अभिन्नों की गणना। त्रुटि अनुमान.

विषय 4.1 के लिए दिशानिर्देश:

आयत सूत्रों का उपयोग करके अभिन्नों की गणना। त्रुटि अनुमान:

कई तकनीकी समस्याओं का समाधान कुछ अभिन्नों की गणना करने के लिए आता है, जिनकी सटीक अभिव्यक्ति जटिल है, लंबी गणना की आवश्यकता होती है और व्यवहार में हमेशा उचित नहीं होती है। यहां उनका अनुमानित मूल्य काफी पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, उस रेखा से घिरे क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है जिसका समीकरण अज्ञात है, अक्ष एक्सऔर दो निर्देशांक. इस मामले में, आप इस रेखा को एक सरल रेखा से बदल सकते हैं जिसके लिए समीकरण ज्ञात है। इस प्रकार प्राप्त वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल वांछित अभिन्न के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है। ज्यामितीय रूप से, आयत सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न की गणना करने की विधि का विचार यह है कि एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र ए 1 एबीसी 1एक समान आयत के क्षेत्रफल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ए 1 ए 2 बी 1 बी 2, जो माध्य मान प्रमेय के बराबर है

कहाँ एफ(सी)---आयत ऊंचाई ए 1 ए 2 बी 1 बी 2,किसी मध्यवर्ती बिंदु पर इंटीग्रैंड के मूल्य का प्रतिनिधित्व करना सी(ए< c

ऐसा मान ज्ञात करना लगभग कठिन है साथ, जिस पर (बी-ए) एफ (सी)बिल्कुल बराबर होगा. अधिक सटीक मान प्राप्त करने के लिए, एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को विभाजित किया गया है एनआयत जिनकी ऊँचाई बराबर हो आप 0 , आप 1 , आप 2 , …, आप एन -1और मैदान.

यदि हम उन आयतों के क्षेत्रों का योग करते हैं जो एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र को एक नुकसान के साथ कवर करते हैं, तो फ़ंक्शन गैर-घटता नहीं है, तो सूत्र के बजाय हम सूत्र का उपयोग करते हैं

यदि अधिक मात्रा में हो तो

मूल्य समानता से मिलते हैं। इन सूत्रों को कहा जाता है आयत सूत्रऔर एक अनुमानित परिणाम दें. वृद्धि के साथ एनपरिणाम अधिक सटीक हो जाता है.

उदाहरण 1 . आयत सूत्र का उपयोग करके गणना करें

आइए एकीकरण अंतराल को 5 भागों में विभाजित करें। तब । कैलकुलेटर या तालिका का उपयोग करके, हम इंटीग्रैंड के मान पाएंगे (4 दशमलव स्थानों तक सटीक):

आयतों के सूत्र के अनुसार (नुकसान के साथ)

दूसरी ओर, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार

आइए आयत सूत्र का उपयोग करके सापेक्ष गणना त्रुटि ज्ञात करें:

ट्रैपेज़ॉइडल सूत्रों का उपयोग करके अभिन्नों की गणना। त्रुटि अनुमान:

इंटीग्रल्स की अनुमानित गणना की निम्नलिखित विधि का ज्यामितीय अर्थ लगभग समान आकार के "रेक्टिलिनियर" ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है ए 1 एएमबीबी 1वक्ररेखीय समलंब, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया।

आइए चाप को बदलें अम्बतार अबऔर एक वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के बजाय ए 1 एएमबीबी 1समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें ए 1 एबीबी 1: , कहाँ एए 1और बी बी 1 - ट्रेपेज़ॉइड के आधार, और ए 1 बी 1- इसकी ऊंचाई.

चलो निरूपित करें f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.समलम्बाकार ऊंचाई ए 1 बी 1 =बी-ए,वर्ग . इस तरह, या

यह तथाकथित है छोटा समलम्बाकार सूत्र.

आज हम संख्यात्मक एकीकरण की एक और विधि, ट्रैपेज़ॉइडल विधि के बारे में जानेंगे। इसकी सहायता से, हम सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ निश्चित अभिन्नों की गणना करेंगे। लेख में हम ट्रेपेज़ॉइड विधि के सार का वर्णन करेंगे, विश्लेषण करेंगे कि सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है, आयत विधि के साथ ट्रेपेज़ॉइड विधि की तुलना करें, और विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान लिखें। सामग्री की गहरी समझ के लिए हम प्रत्येक अनुभाग को उदाहरणों के साथ चित्रित करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

मान लीजिए कि हमें लगभग निश्चित समाकलन ∫ a b f (x) d x की गणना करने की आवश्यकता है, जिसका समाकलन y = f (x) अंतराल [ a ; बी ] । ऐसा करने के लिए, खंड को विभाजित करें [ए; b ] बिंदुओं a = x 0 के साथ लंबाई h के कई समान अंतरालों में< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

आइए विभाजन चरण खोजें: h = b - a n। आइए हम समानता x i = a + i · h, i = 0, 1, से नोड्स को परिभाषित करें। . . , एन।

प्रारंभिक खंडों पर हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन x i - 1 पर विचार करते हैं; एक्स मैं, मैं = 1, 2, . . , एन।

जैसे-जैसे n असीम रूप से बढ़ता है, हम सभी मामलों को चार सरलतम विकल्पों में घटा देते हैं:

आइए खंडों का चयन करें x i - 1 ; एक्स मैं, मैं = 1, 2, . . . , एन। आइए प्रत्येक ग्राफ़ पर फ़ंक्शन y = f (x) को एक सीधी रेखा खंड से बदलें जो निर्देशांक x i - 1 वाले बिंदुओं से होकर गुजरता है; एफ एक्स आई - 1 और एक्स आई ; एफ एक्स मैं . आइए चित्रों में उन्हें नीले रंग से चिह्नित करें।

आइए अभिव्यक्ति f (x i - 1) + f (x i) 2 · h को अभिन्न ∫ x i - 1 x i f (x) d x के अनुमानित मान के रूप में लें। वे। आइए ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h लें।

आइए देखें कि जिस संख्यात्मक एकीकरण विधि का हम अध्ययन कर रहे हैं उसे ट्रैपेज़ॉइडल विधि क्यों कहा जाता है। ऐसा करने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि ज्यामितीय दृष्टिकोण से लिखित अनुमानित समानता का क्या अर्थ है।

किसी समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, उसके आधारों के आधे योग को उसकी ऊँचाई से गुणा करना आवश्यक है। पहले मामले में, एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल लगभग f (x i - 1), f (x i) ऊँचाई h वाले ट्रेपेज़ॉइड के बराबर है। जिस चौथे मामले पर हम विचार कर रहे हैं, उसमें दिया गया अभिन्न अंग ∫ x i - 1 x f (x) d x लगभग आधारों वाले समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर है - f (x i - 1), - f (x i) और ऊँचाई h, जिसे "-" चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए। विचाराधीन मामलों के दूसरे और तीसरे में निश्चित अभिन्न ∫ x i - 1 x i f (x) d x के अनुमानित मूल्य की गणना करने के लिए, हमें लाल और नीले क्षेत्रों के क्षेत्रों में अंतर ढूंढना होगा, जिन्हें हमने चिह्नित किया है नीचे दिए गए चित्र में हैचिंग।

आइए संक्षेप करें. ट्रैपेज़ॉइडल विधि का सार इस प्रकार है: हम प्रत्येक प्रारंभिक खंड पर और बाद के अनुमानित प्रतिस्थापन में फॉर्म ∫ x i - 1 x i f (x) d x के अभिन्न अंग के योग के रूप में एक निश्चित अभिन्न अंग ∫ a b f (x) d x का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

ट्रेपेज़ॉइड विधि सूत्र

आइए हम निश्चित समाकलन के पांचवें गुण को याद करें: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x। समलम्बाकार विधि का सूत्र प्राप्त करने के लिए, अभिन्नों के स्थान पर उनके अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + एफ (एक्स 2) + एफ (एक्स 2) + एफ (एक्स 3) + . + एफ (एक्स एन)) = = एच 2 एफ (एक्स 0) + 2 ∑ आई = 1 एन - 1 एफ (एक्स आई) + एफ ( x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

परिभाषा 1

ट्रैपेज़ॉइडल विधि सूत्र:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

ट्रैपेज़ॉइडल विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान

आइए हम समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान इस प्रकार लगाएं:

परिभाषा 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; बी ] एफ "" (एक्स) · एन · एच 3 12 = एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी ] एफ "" (एक्स) बी - ए 3 12 एन 2

ट्रैपेज़ॉइडल विधि का एक ग्राफिक चित्रण चित्र में दिखाया गया है:

गणना उदाहरण

आइए निश्चित अभिन्नों की अनुमानित गणना के लिए समलम्बाकार विधि का उपयोग करने के उदाहरण देखें। हम दो प्रकार के कार्यों पर विशेष ध्यान देंगे:

• किसी खंड n की दी गई विभाजन संख्या के लिए ट्रैपेज़ॉइडल विधि द्वारा एक निश्चित अभिन्न अंग की गणना;
• एक निर्दिष्ट सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न अंग का अनुमानित मूल्य ज्ञात करना।

किसी दिए गए n के लिए, सभी मध्यवर्ती गणनाएँ पर्याप्त उच्च स्तर की सटीकता के साथ की जानी चाहिए। गणना की सटीकता जितनी अधिक होगी, एन उतना ही बड़ा होगा।

यदि हमारे पास एक निश्चित अभिन्न गणना में दी गई सटीकता है, तो सभी मध्यवर्ती गणनाओं को परिमाण के दो या दो से अधिक आदेशों को अधिक सटीक रूप से पूरा करना होगा। उदाहरण के लिए, यदि सटीकता 0.01 पर सेट है, तो हम 0.0001 या 0.00001 की सटीकता के साथ मध्यवर्ती गणना करते हैं। बड़े n के लिए, मध्यवर्ती गणनाएँ और भी अधिक सटीकता के साथ की जानी चाहिए।

आइए उपरोक्त नियम को एक उदाहरण से देखें। ऐसा करने के लिए, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके गणना की गई निश्चित अभिन्न के मूल्यों की तुलना करें और ट्रेपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके प्राप्त करें।

तो, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805।

उदाहरण 1

ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके, हम 10 के बराबर n के लिए निश्चित अभिन्न ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x की गणना करते हैं।

समाधान

समलम्बाकार विधि का सूत्र है ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

सूत्र को लागू करने के लिए, हमें सूत्र h = b - a n का उपयोग करके चरण h की गणना करने की आवश्यकता है, नोड्स x i = a + i · h, i = 0, 1, निर्धारित करें। . . , n, इंटीग्रैंड फ़ंक्शन f (x) = 7 x 2 + 1 के मानों की गणना करें।

विभाजन चरण की गणना इस प्रकार की जाती है: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0। 5. नोड्स x i = a + i · h, i = 0, 1, पर इंटीग्रैंड की गणना करने के लिए। . . , n हम चार दशमलव स्थान लेंगे:

मैं = 0: x 0 = 0 + 0 0। 5 = 0 ⇒ एफ (एक्स 0) = एफ (0) = 7 0 2 + 1 = 7 आई = 1: एक्स 1 = 0 + 1 0। 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . मैं = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ एफ (एक्स 10) = एफ (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

आइए गणना परिणामों को तालिका में दर्ज करें:

मैं	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
एक्स मैं	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
एफ (एक्स आई)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

आइए प्राप्त मानों को समलम्बाकार विधि के सूत्र में प्रतिस्थापित करें: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117

आइए अपने परिणामों की तुलना न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए परिणामों से करें। प्राप्त मान सौवें से मेल खाते हैं।

उत्तर:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9, 6117

उदाहरण 2

ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके, हम 0.01 की सटीकता के साथ निश्चित अभिन्न अंग ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x के मान की गणना करते हैं।

समाधान

समस्या की स्थिति के अनुसार a = 1; बी = 2 , एफ (एक्स) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0.01.

आइए पूर्ण त्रुटि δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; बी ] एफ "" (एक्स) · (बी - ए) 3 12 एन 2। हम इसे इस प्रकार करेंगे: हम n के मान ज्ञात करेंगे जिसके लिए असमानता m a x x ∈ [ a ; बी ] एफ "" (एक्स) · (बी - ए) 3 12 एन 2 ≤ 0.01। n दिया गया है, ट्रैपेज़ॉइडल सूत्र हमें दी गई सटीकता के साथ निश्चित अभिन्न अंग का अनुमानित मूल्य देगा।

सबसे पहले, आइए अंतराल पर फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के मापांक का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

दूसरा व्युत्पन्न फलन एक द्विघात परवलय f "" (x) = x 2 है। इसके गुणों से हम जानते हैं कि यह सकारात्मक है और अंतराल पर बढ़ता है [1; 2]. इस संबंध में, m a x x ∈ [ a ; बी ] एफ "" (एक्स) = एफ "" (2) = 2 2 = 4।

दिए गए उदाहरण में, m a x x ∈ [ a ; खोजने की प्रक्रिया; बी ] एफ "" (एक्स) काफी सरल निकला। जटिल मामलों में, आप गणना करने के लिए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान का उपयोग कर सकते हैं। इस उदाहरण पर विचार करने के बाद, हम m a x x ∈ [ a ; बी ] एफ "" (एक्स)।

आइए हम परिणामी मान को असमानता m a x x ∈ [ a ; बी ] एफ "" (एक्स) · (बी - ए) 3 12 एन 2 ≤ 0.01

4 (2 - 1) 3 12 एन 2 ≤ 0.01 ⇒ एन 2 ≥ 100 3 ⇒ एन ≥ 5.7735

प्रारंभिक अंतरालों की संख्या जिसमें एकीकरण खंड n को विभाजित किया गया है, एक प्राकृतिक संख्या है। गणना व्यवहार के लिए, हम n को छह के बराबर लेते हैं। एन का यह मान हमें न्यूनतम गणना के साथ ट्रैपेज़ॉइडल विधि की निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करने की अनुमति देगा।

आइए चरण की गणना करें: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6।

आइए नोड्स x i = a + i · h, i = 1, 0, ढूंढें। . . , n , हम इन नोड्स पर इंटीग्रैंड के मान निर्धारित करते हैं:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ एफ (एक्स 1) = एफ 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0.5266। . . मैं = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ एफ (एक्स 6) = एफ (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1.9833

हम गणना परिणामों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:

मैं	0	1	2	3	4	5	6
एक्स मैं	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
एफ एक्स मैं	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

आइए प्राप्त परिणामों को समलम्बाकार सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 ≈ 1.0054

तुलना करने के लिए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके मूल अभिन्न अंग की गणना करते हैं:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 dx = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमने प्राप्त गणना सटीकता हासिल कर ली है।

उत्तर: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1.0054

जटिल रूप के समाकलनों के लिए, पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता से संख्या n ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। इस मामले में, निम्नलिखित विधि उपयुक्त होगी.

आइए हम निश्चित इंटीग्रल के अनुमानित मान को निरूपित करें, जो कि n नोड्स के लिए ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके प्राप्त किया गया था, जैसे कि I n। आइए एक मनमाना संख्या n चुनें। ट्रैपेज़ॉइडल विधि के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम एकल (एन = 10) और दोहरे (एन = 20) नोड्स की संख्या के लिए प्रारंभिक अभिन्न अंग की गणना करते हैं और दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों I 20 के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य पाते हैं - मैं 10.

यदि दो प्राप्त अनुमानित मानों के बीच अंतर का पूर्ण मान आवश्यक सटीकता I 20 - I 10 से कम है< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

यदि दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य आवश्यक सटीकता से अधिक है, तो नोड्स की दोगुनी संख्या (एन = 40) के साथ चरणों को दोहराना आवश्यक है।

इस पद्धति के लिए बड़ी मात्रा में गणनाओं की आवश्यकता होती है, इसलिए समय बचाने के लिए कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करना बुद्धिमानी है।

आइए उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग करके समस्या का समाधान करें। समय बचाने के लिए, हम ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके मध्यवर्ती गणनाओं को छोड़ देंगे।

उदाहरण 3

0.001 की सटीकता के साथ ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग करके निश्चित अभिन्न ∫ 0 2 x e x d x की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए n को 10 और 20 के बराबर लें। ट्रैपेज़ॉइडल सूत्र का उपयोग करके, हम I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906 प्राप्त करते हैं।

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, जिसके लिए आगे की गणना की आवश्यकता है।

आइए n को 40 के बराबर लें: I 40 = 8, 3934656।

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, जिसके लिए निरंतर गणना की भी आवश्यकता होती है।

आइए n को 80 के बराबर लें: I 80 = 8, 3901585।

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, जिसके लिए नोड्स की संख्या को दोगुना करने की आवश्यकता है।

आइए n को 160 के बराबर लें: I 160 = 8, 3893317।

मैं 160 - मैं 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001

मूल समाकलन का अनुमानित मान I 160 = 8, 3893317 को हजारवें भाग तक पूर्णांकित करके प्राप्त किया जा सकता है: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389।

तुलना के लिए, आइए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके मूल निश्चित अभिन्न अंग की गणना करें: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561। आवश्यक सटीकता हासिल कर ली गई है.

उत्तर: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

त्रुटियाँ

एक निश्चित अभिन्न का मान निर्धारित करने के लिए मध्यवर्ती गणनाएँ अधिकतर लगभग की जाती हैं। इसका मतलब यह है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, कम्प्यूटेशनल त्रुटि जमा होने लगती है।

आइए हम समलम्बाकार विधि और औसत आयत विधि की पूर्ण त्रुटियों के अनुमानों की तुलना करें:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; बी ] एफ "" (एक्स) एन · एच 3 12 = एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी ] एफ "" (एक्स) · बी - ए 3 12 एन 2 δ एन ≤ एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी ] एफ "" (एक्स) एन · एच 3 24 = एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी ] एफ "" (एक्स) · बी - ए 3 24 एन 2।

किसी दिए गए n के लिए समान मात्रा में कम्प्यूटेशनल कार्य के साथ आयत विधि आधी त्रुटि देती है। यह उन मामलों में विधि को अधिक बेहतर बनाता है जहां प्राथमिक खंडों के मध्य खंडों में फ़ंक्शन के मान ज्ञात होते हैं।

ऐसे मामलों में जहां एकीकृत किए जाने वाले कार्यों को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन नोड्स पर मूल्यों के एक सेट के रूप में, हम ट्रैपेज़ॉइडल विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि हम ट्रेपेज़ॉइड विधि और दाएं और बाएं आयत विधि की सटीकता की तुलना करते हैं, तो परिणाम की सटीकता में पहली विधि दूसरे से बेहतर है।

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