बीजगणितीय भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (एलसीडी), इसे ज्ञात करना। ऑनलाइन कैलकुलेटर। जीसीडी और एलसीएम ढूँढना (गणना करना)।

आइए लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के तीन तरीकों पर गौर करें।

गुणनखंडन द्वारा ज्ञात करना

पहली विधि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, आइए इनमें से प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाजित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को अधिकतम संभव घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

इस प्रकार, एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आप उन्हें उनके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को उसके सबसे बड़े घातांक के साथ लें, और उन गुणनखंडों को एक साथ गुणा करें।

चूँकि अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरी विधि चयन द्वारा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को किसी अन्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो इन संख्याओं का एलसीएम उनमें से सबसे बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6। उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एलसीएम(60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम वे संख्याएँ ज्ञात करते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे बढ़ते क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करते हैं और जाँचते हैं कि परिणामी उत्पाद शेष दी गई संख्याओं से विभाज्य है या नहीं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। हम उनमें से सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करते हैं - यह संख्या 24 है। इसके बाद, हम वे संख्याएँ पाते हैं जो 24 के गुणज हैं, यह जाँचते हुए कि क्या उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है:

24 · 1 = 24 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 2 = 48 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 3 = 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

इस प्रकार, एलसीएम (24, 3, 18) = 72.

क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके ज्ञात करना

तीसरी विधि क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

दो दी गई संख्याओं का एलसीएम इन संख्याओं के गुणनफल को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने के बराबर होता है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8) = 24।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करें:

1. सबसे पहले, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का LCM ज्ञात करें।
2. फिर, पाए गए लघुत्तम समापवर्त्य का LCM और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी लघुत्तम समापवर्त्य और चौथी संख्या का एलसीएम, आदि।
4. इस प्रकार, LCM की खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएँ मौजूद हैं।

उदाहरण 2. आइए दी गई तीन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12, 8 और 9. हमने पिछले उदाहरण में संख्या 12 और 8 का एलसीएम पहले ही पा लिया है (यह संख्या 24 है)। संख्या 24 और दी गई तीसरी संख्या - 9 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना बाकी है। उनका सबसे बड़ा समापवर्तक ज्ञात कीजिए: जीसीडी (24, 9) = 3। एलसीएम को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8, 9) = 72.

गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह की प्रत्येक संख्या से बिना कोई शेष बचे विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। एलसीएम की गणना कई अन्य तरीकों का उपयोग करके भी की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की शृंखला

इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से कम होती है। यदि बड़ी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

1. गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन सारणी में गुणज पाए जा सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 5 के गुणज हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं के दो सेटों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणजों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, और 64।

3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद हो।कुल संख्या ज्ञात करने के लिए आपको गुणजों की लंबी श्रृंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद सबसे छोटी संख्या सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणजों की श्रृंखला में आने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से बड़ी होती है। यदि छोटी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

   2. पहली संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें.यानी, आपको ऐसी अभाज्य संख्याएं ढूंढनी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर एक दी गई संख्या प्राप्त होगी। एक बार जब आपको मुख्य कारक मिल जाएं, तो उन्हें समानता के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें.इसे उसी तरह से करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें जिन्हें गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त हो।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   4. दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखिए।ऐसे कारकों को गुणन संक्रिया के रूप में लिखिए। जैसे ही आप प्रत्येक गुणनखंड लिखते हैं, उसे दोनों अभिव्यक्तियों में काट दें (ऐसी अभिव्यक्तियाँ जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन का वर्णन करती हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखें 2 × (\प्रदर्शन शैली 2\बार)और दोनों भावों में से 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं में जो समानता है वह 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखें 2 × 2 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2)और दोनों भावों में दूसरे 2 को काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंड जोड़ें।ये ऐसे कारक हैं जिन्हें दोनों अभिव्यक्तियों में नहीं काटा गया है, यानी वे कारक जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 20=2\गुना 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों दो (2) भी काट दिए गए हैं। गुणनखंड 7 और 3 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य कारक ढूँढना

   1. टिक-टैक-टो के खेल की तरह एक ग्रिड बनाएं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएं होती हैं जो अन्य दो समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इससे आपको तीन पंक्तियाँ और तीन कॉलम मिलेंगे (ग्रिड काफी हद तक # आइकन जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहला नंबर लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरा नंबर लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में संख्या 18 लिखें, और पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में संख्या 30 लिखें।

   2. दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें। अभाज्य कारकों की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई आवश्यकता नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका सार्व गुणनखंड 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को प्रथम भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को उचित संख्या के अंतर्गत लिखें। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 18 के अंतर्गत 9 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), इसलिए 15 को 30 के नीचे लिखें।

   4. दोनों भागफलों में उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, विभाजक को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को उसके दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संगत भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 को 9 के नीचे लिखें।
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), इसलिए 15 के अंतर्गत 5 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, तो ग्रिड में अतिरिक्त सेल जोड़ें।वर्णित चरणों को तब तक दोहराएँ जब तक कि भागफल में एक उभयनिष्ठ भाजक न आ जाए।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं पर गोला बनाएं।फिर चयनित संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिदम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे विभाजित किया जा रहा है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेषफल वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बचती है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ओस्ट. 3:
        15 लाभांश है
        6 एक भाजक है
        2 भागफल है
        3 शेषफल है.

अंकगणितीय भिन्न a/b का हर संख्या b है, जो उस इकाई के भिन्नों का आकार दर्शाता है जिससे अंश बना है। बीजगणितीय भिन्न A/B का हर बीजीय व्यंजक B है। भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ करने के लिए, उन्हें न्यूनतम सामान्य हर तक घटाया जाना चाहिए।

आपको चाहिये होगा

• बीजगणितीय भिन्नों के साथ काम करने और सबसे कम सामान्य हर खोजने के लिए, आपको यह जानना होगा कि बहुपदों का गुणनखंड कैसे किया जाए।

निर्देश

आइए दो अंकगणितीय अंशों n/m और s/t को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने पर विचार करें, जहां n, m, s, t पूर्णांक हैं। यह स्पष्ट है कि इन दो भिन्नों को m और t से विभाज्य किसी भी हर में घटाया जा सकता है। लेकिन वे निम्नतम सामान्य भाजक तक ले जाने का प्रयास करते हैं। यह दिए गए भिन्नों के हर m और t के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है। किसी संख्या का सबसे छोटा गुणज (LMK) एक ही समय में सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटा होता है। वे। हमारे मामले में, हमें संख्याओं m और t का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना होगा। एलसीएम (एम, टी) के रूप में दर्शाया गया। इसके बाद, भिन्नों को संगत अंशों से गुणा किया जाता है: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t)।

आइए तीन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर ज्ञात करें: 4/5, 7/8, 11/14। सबसे पहले, आइए हरों का विस्तार करें 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. इसके बाद, गुणा करके एलसीएम (5, 8, 14) की गणना करें सभी संख्याएँ कम से कम एक विस्तार में शामिल हैं। एलसीएम (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280। ध्यान दें कि यदि एक कारक कई संख्याओं के विस्तार में होता है (हर 8 और 14 के विस्तार में कारक 2), तो हम कारक को लेते हैं एक बड़ी डिग्री (हमारे मामले में 2^3)।

तो, सामान्य प्राप्त होता है। यह 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20 के बराबर है। यहां हमें वे संख्याएं मिलती हैं जिनके द्वारा हमें भिन्नों को संबंधित हर के साथ गुणा करने की आवश्यकता होती है ताकि उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाया जा सके। हमें 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 मिलता है।

बीजीय भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक घटाना अंकगणितीय अंशों के अनुरूप किया जाता है। स्पष्टता के लिए, आइए एक उदाहरण का उपयोग करके समस्या को देखें। मान लीजिए कि दो भिन्न (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) और (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) दिए गए हैं। आइए दोनों हरों का गुणनखंड करें। ध्यान दें कि पहली भिन्न का हर एक पूर्ण वर्ग है: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. के लिए

लेकिन कई प्राकृतिक संख्याएँ अन्य प्राकृतिक संख्याओं से भी विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे कोई संख्या पूरी से विभाज्य हो (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) कहलाती हैं संख्याओं के विभाजक. किसी प्राकृत संख्या का भाजक ए- एक प्राकृतिक संख्या है जो किसी दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक का पता लगाए बिना। वह प्राकृत संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, कहलाती है कम्पोजिट .

कृपया ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य गुणनखंड हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एऔर बी- यह वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है एऔर बी.

सामान्य गुणजअनेक संख्याएँ एक ऐसी संख्या है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 का सार्व गुणज 180 है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सार्व गुणज हैं। सभी सामान्य गुणजों में हमेशा एक सबसे छोटा गुणज होता है इस मामले मेंयह 90 है। इस संख्या को कहा जाता है सबसे छोटासामान्य गुणक (सीएमएम).

एलसीएम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से अधिक होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)। गुण।

क्रमपरिवर्तनशीलता:

साहचर्य:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमऔर एनअन्य सभी सामान्य गुणजों का भाजक है एमऔर एन. इसके अलावा, उभयनिष्ठ गुणजों का समुच्चय एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है( एम, एन).

एसिम्प्टोटिक्स को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. और यह भी:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी(एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निष्कर्ष निकलता है?

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना।

एनओसी( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप एलसीएम के साथ इसके कनेक्शन का उपयोग कर सकते हैं:

2. दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात करें:

कहाँ पी 1 ,...,पी के- विभिन्न अभाज्य संख्याएँ, और डी 1 ,...,डी केऔर ई 1 ,...,ई के- गैर-नकारात्मक पूर्णांक (वे शून्य हो सकते हैं यदि संबंधित अभाज्य विस्तार में नहीं है)।

फिर एनओसी ( ए,बी) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम अपघटन में संख्याओं के कम से कम एक अपघटन में शामिल सभी अभाज्य कारक शामिल होते हैं ए, बी, और इस गुणक के दो घातांकों में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के एलसीएम की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;

- सबसे बड़े विस्तार (वांछित उत्पाद के कारकों का उत्पाद) को वांछित उत्पाद के कारकों में स्थानांतरित करें बड़ी संख्यादिए गए से), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से गुणनखंड जोड़ें जो पहली संख्या में प्रकट नहीं होते हैं या उसमें कम बार दिखाई देते हैं;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं का एलसीएम होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या विस्तार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया जाता है, परिणामी उत्पाद (84) सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के गुणनखंड 5 द्वारा पूरक किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा होता है और शेषफल के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है। यह सबसे छोटा संभावित गुणनफल है (150, 250, 300...) जो दी गई सभी संख्याओं का गुणज है।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं के एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

दूसरा विकल्प:

कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करें, उदाहरण के लिए:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) सभी अभाज्य कारकों की शक्तियां लिखें:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात करें: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातें लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एनओसी = 2 4 3 3 3 5 1 7 1 = 15120।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम नामक लेख के सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - लघुत्तम समापवर्तक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना, और हम उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान देंगे। सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि इन संख्याओं के जीसीडी का उपयोग करके दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करेंगे। इसके बाद हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर ध्यान देंगे और ऋणात्मक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर भी ध्यान देंगे।

पेज नेविगेशन.

जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक तरीका एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा कनेक्शन हमें ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की अनुमति देता है। तत्संबंधी सूत्र है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी) . आइए दिए गए सूत्र का उपयोग करके एलसीएम खोजने के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 . आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). यानी सबसे पहले हमें संख्या 70 और 126 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र का उपयोग करके इन संख्याओं के एलसीएम की गणना कर सकते हैं।

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(126, 70) खोजें: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, इसलिए, जीसीडी(126, 70)=14।

अब हम आवश्यक लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं: जीसीडी(126, 70)=126·70:जीसीडी(126, 70)= 126·70:14=630.

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

LCM(68, 34) किसके बराबर है?

समाधान।

क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है, तो GCD(68, 34)=34. अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: जीसीडी(68, 34)=68·34:जीसीडी(68, 34)= 68·34:34=68.

उत्तर:

एलसीएम(68, 34)=68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए एलसीएम खोजने के लिए निम्नलिखित नियम में फिट बैठता है: यदि संख्या ए बी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक ए है।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का दूसरा तरीका संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है। यदि आप दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों से एक उत्पाद बनाते हैं, और फिर इस उत्पाद से दी गई संख्याओं के अपघटन में मौजूद सभी सामान्य अभाज्य कारकों को बाहर कर देते हैं, तो परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर होगा। .

एलसीएम ज्ञात करने का बताया गया नियम समानता का अनुसरण करता है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). दरअसल, संख्या ए और बी का उत्पाद संख्या ए और बी के विस्तार में शामिल सभी कारकों के उत्पाद के बराबर है। बदले में, जीसीडी(ए, बी) संख्या ए और बी के विस्तार में एक साथ मौजूद सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है (जैसा कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के विस्तार का उपयोग करके जीसीडी खोजने के अनुभाग में वर्णित है)।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए जानते हैं 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7. आइए इन विस्तारों के सभी कारकों से उत्पाद बनाएं: 2·3·3·5·5·5·7. अब इस उत्पाद से हम संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार (ये कारक 3 और 5 हैं) दोनों में मौजूद सभी कारकों को बाहर कर देते हैं, तो उत्पाद 2·3·5·5·7 का रूप ले लेगा। . इस उत्पाद का मूल्य 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है, अर्थात, एनओसी(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

उदाहरण।

संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

समाधान।

आइए संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

हमें 441=3·3·7·7 और 700=2·2·5·5·7 मिलते हैं।

आइए अब इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का एक उत्पाद बनाएं: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. आइए इस उत्पाद से उन सभी कारकों को हटा दें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक ही कारक है - यह संख्या 7 है): 2·2·3·3·5·5·7·7. इस प्रकार, एलसीएम(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

उत्तर:

एनओसी(441,700)=44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के गुणनखंडन का उपयोग करके एलसीएम खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार से प्राप्त गुणनखंडों में जोड़ दिया जाए, तो परिणामी उत्पाद का मान संख्याओं a और b के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर होगा।.

उदाहरण के लिए, आइए समान संख्याएँ 75 और 210 लें, अभाज्य गुणनखंडों में उनका अपघटन इस प्रकार है: 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7। संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2·3·5·5·7 प्राप्त होता है, जिसका मान है एलसीएम(75,210) के बराबर।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम सबसे पहले संख्या 84 और 648 का अभाज्य गुणनखंडों में वियोजन प्राप्त करते हैं। वे 84=2·2·3·7 और 648=2·2·2·3·3·3·3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 प्राप्त होता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 का वांछित लघुत्तम समापवर्तक 4,536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84,648)=4,536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

दो संख्याओं का एलसीएम क्रमिक रूप से ज्ञात करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जा सकता है। आइए संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम खोजने का तरीका देता है।

प्रमेय.

मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ a 1 , a 2 , …, a k दी गई हैं, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक m k क्रमिक रूप से m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) की गणना करके ज्ञात किया जाता है। 3) , … , एम के = एलसीएम(एम के−1 , ए के) .

आइए चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140, 9, 54 और 250 का LCM ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में, ए 1 =140, ए 2 =9, ए 3 =54, ए 4 =250।

पहले हम ढूंढते हैं एम 2 = एलओसी(ए 1 , ए 2) = एलओसी(140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम GCD(140, 9) निर्धारित करते हैं, हमारे पास 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, इसलिए, GCD(140, 9)=1 , कहाँ से जीसीडी(140, 9)=140 9:जीसीडी(140, 9)= 140·9:1=1,260. अर्थात्, म 2 =1 260.

अब हम पाते हैं एम 3 = एलओसी (एम 2, ए 3) = एलओसी (1 260, 54). आइए इसकी गणना जीसीडी(1 260, 54) के माध्यम से करें, जिसे हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके भी निर्धारित करते हैं: 1 260=54·23+18, 54=18·3। फिर gcd(1,260, 54)=18, जिससे gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. अर्थात्, म 3 =3 780.

जो कुछ बचा है उसे ढूंढना है एम 4 = एलओसी(एम 3, ए 4) = एलओसी(3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(3,780, 250) पाते हैं: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3। इसलिए, GCM(3,780, 250)=10, जहां से GCM(3,780, 250)= 3 780 250: जीसीडी(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. अर्थात्, मी 4 =94,500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम(140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना सुविधाजनक होता है। ऐसे में आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार होती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी कारकों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है तीसरी संख्या को परिणामी कारकों में जोड़ा जाता है, इत्यादि।

आइए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 में से लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह संपाती है अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ) और 143=11·13।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में, आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के अपघटन में लुप्त कारक शामिल नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के अपघटन में 2 और 3 दोनों पहले से ही मौजूद हैं। इसके बाद, गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं, हमें गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 का एक सेट मिलता है। अगले चरण में इस सेट में गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि इसमें 7 पहले से ही समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2·2·2·2·3·7·11·13 प्राप्त होता है, जो 48,048 के बराबर है।