समाधान के साथ ऑनलाइन तीन संख्याओं की संख्या ज्ञात करें। संख्याओं का नोड और नोड - कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक

आइए लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के तीन तरीकों पर गौर करें।

गुणनखंडन द्वारा ज्ञात करना

पहली विधि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, आइए इनमें से प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाजित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को अधिकतम संभव घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

इस प्रकार, एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आप उन्हें उनके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को उसके सबसे बड़े घातांक के साथ लें, और उन गुणनखंडों को एक साथ गुणा करें।

चूँकि अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरी विधि चयन द्वारा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को किसी अन्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो इन संख्याओं का एलसीएम उनमें से सबसे बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6। उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एलसीएम(60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम उन संख्याओं को ढूंढते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे बढ़ते क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करके और जांचते हैं कि परिणामी उत्पाद शेष दी गई संख्याओं से विभाज्य है या नहीं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। हम उनमें से सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करते हैं - यह संख्या 24 है। इसके बाद, हम वे संख्याएँ पाते हैं जो 24 के गुणज हैं, यह जाँचते हुए कि क्या उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है:

24 · 1 = 24 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 2 = 48 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 3 = 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

इस प्रकार, एलसीएम (24, 3, 18) = 72.

क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके ज्ञात करना

तीसरी विधि क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

दो दी गई संख्याओं का एलसीएम इन संख्याओं के गुणनफल को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने के बराबर होता है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8) = 24।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करें:

1. सबसे पहले, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का LCM ज्ञात करें।
2. फिर, पाए गए लघुत्तम समापवर्त्य का LCM और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी लघुत्तम समापवर्त्य और चौथी संख्या का एलसीएम, आदि।
4. इस प्रकार, LCM की खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएँ मौजूद हैं।

उदाहरण 2. आइए दी गई तीन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12, 8 और 9. हमने पिछले उदाहरण में संख्या 12 और 8 का एलसीएम पहले ही पा लिया है (यह संख्या 24 है)। संख्या 24 और दी गई तीसरी संख्या - 9 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना बाकी है। उनका सबसे बड़ा समापवर्तक ज्ञात कीजिए: जीसीडी (24, 9) = 3। एलसीएम को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8, 9) = 72.

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएँ हैं जो भिन्नों के साथ काम करना आसान बनाती हैं। एलसीएम और का उपयोग अक्सर कई भिन्नों के सामान्य हर को खोजने के लिए किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं

एक पूर्णांक X का विभाजक एक अन्य पूर्णांक Y होता है जिससे X को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 का भाजक 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का गुणज एक संख्या Y है जो बिना किसी शेषफल के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3, 15 का गुणज है और 6, 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी जोड़े के लिए हम उनके सामान्य भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणज 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़ियों में कई भाजक और गुणज हो सकते हैं, इसलिए गणना सबसे बड़े भाजक जीसीडी और सबसे छोटे गुणज एलसीएम का उपयोग करती है।

सबसे छोटा भाजक अर्थहीन है, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक ही होता है। सबसे बड़ा गुणज भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणजों का क्रम अनंत तक जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• विभाजकों की क्रमिक गणना, एक जोड़ी के लिए सामान्य विभाजकों का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• संख्याओं का अविभाज्य कारकों में अपघटन;
• यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिदम.

आज शैक्षणिक संस्थानों में सबसे लोकप्रिय तरीके अभाज्य कारकों में अपघटन और यूक्लिडियन एल्गोरिदम हैं। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करते समय उपयोग किया जाता है: पूर्णांकों में संकल्प की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने के लिए जीसीडी की खोज करना आवश्यक है।

एनओसी ढूंढी जा रही है

लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण अनुक्रमिक गणना या अविभाज्य कारकों में गुणनखंडन द्वारा भी किया जाता है। इसके अलावा, यदि सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है तो एलसीएम खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीडी(एक्स,वाई) = एक्स × वाई / जीसीडी(एक्स,वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि जीसीएम(15,18) = 3, तो एलसीएम(15,18) = 15 × 18/3 = 90। एलसीएम का उपयोग करने का सबसे स्पष्ट उदाहरण सामान्य हर को ढूंढना है, जो कि सबसे छोटा सामान्य गुणक है। दिए गए भिन्न.

सहअभाज्य संख्याएँ

यदि संख्याओं के किसी युग्म में कोई उभयनिष्ठ भाजक न हो तो ऐसे युग्म को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए gcd हमेशा एक के बराबर होता है, और विभाजक और गुणकों के बीच संबंध के आधार पर, सहअभाज्य युग्मों के लिए gcd उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 25 और 28 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, क्योंकि उनमें कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, और एलसीएम(25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाता है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ हमेशा अपेक्षाकृत अभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करके आप मनमाने ढंग से चुनने योग्य संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना करने के कार्य 5वीं और 6वीं कक्षा के अंकगणित में पाए जाते हैं, लेकिन जीसीडी और एलसीएम गणित में प्रमुख अवधारणाएं हैं और संख्या सिद्धांत, प्लैनिमेट्री और संचारी बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य हर

कई भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते समय लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि एक अंकगणितीय समस्या में आपको 5 भिन्नों का योग करना है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जिससे एलसीएम खोजने की समस्या कम हो जाती है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 संख्याओं का चयन करें और उचित कक्षों में हर के मान दर्ज करें। प्रोग्राम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम और हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेंगे:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

इसके बाद, हम सभी भिन्नों को संबंधित अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों का योग आसानी से कर सकते हैं और परिणाम 159/360 प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप की अभिव्यक्ति हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। आइए यह देखने के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें कि क्या उनके पास पूर्णांक समाधान है। सबसे पहले, आइए समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम GCD (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 से विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण में पूर्णांक मूल नहीं हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जांच करें। जीसीडी (1320, 1760) = 440 खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांक में हल करने योग्य है .

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाओं का गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। किसी भी संख्या के सबसे बड़े भाजक और सबसे छोटे गुणज की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह की प्रत्येक संख्या से बिना कोई शेष बचे विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। एलसीएम की गणना कई अन्य तरीकों का उपयोग करके भी की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की शृंखला

इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से कम होती है। यदि बड़ी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

1. गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन सारणी में गुणज पाए जा सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 5 के गुणज हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं के दो सेटों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणजों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, और 64।

3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद हो।कुल संख्या ज्ञात करने के लिए आपको गुणजों की लंबी श्रृंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद सबसे छोटी संख्या सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणजों की श्रृंखला में आने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से बड़ी होती है। यदि छोटी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

   2. पहली संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें.अर्थात्, आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर एक निश्चित संख्या प्राप्त होगी। एक बार जब आपको मुख्य कारक मिल जाएं, तो उन्हें समानता के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें.इसे उसी तरह से करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें जिन्हें गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त हो।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   4. दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखिए।ऐसे कारकों को गुणन संक्रिया के रूप में लिखिए। जैसे ही आप प्रत्येक गुणनखंड लिखते हैं, उसे दोनों अभिव्यक्तियों में काट दें (ऐसी अभिव्यक्तियाँ जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन का वर्णन करती हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखें 2 × (\प्रदर्शन शैली 2\बार)और दोनों भावों में से 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं में जो समानता है वह 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखें 2 × 2 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2)और दोनों भावों में दूसरे 2 को काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंड जोड़ें।ये ऐसे कारक हैं जिन्हें दोनों अभिव्यक्तियों में नहीं काटा गया है, यानी वे कारक जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 20=2\गुना 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों दो (2) भी काट दिए गए हैं। गुणनखंड 7 और 3 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\गुना 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य कारक ढूँढना

   1. टिक-टैक-टो के खेल की तरह एक ग्रिड बनाएं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएं होती हैं जो अन्य दो समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इससे आपको तीन पंक्तियाँ और तीन कॉलम मिलेंगे (ग्रिड काफी हद तक # आइकन जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहला नंबर लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरा नंबर लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में संख्या 18 लिखें, और पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में संख्या 30 लिखें।

   2. दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें। अभाज्य कारकों की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई आवश्यकता नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका सार्व गुणनखंड 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को प्रथम भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को उचित संख्या के अंतर्गत लिखें। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 18 के अंतर्गत 9 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), इसलिए 15 को 30 के नीचे लिखें।

   4. दोनों भागफलों में उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, विभाजक को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को उसके दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संगत भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 को 9 के नीचे लिखें।
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), इसलिए 15 के अंतर्गत 5 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, तो ग्रिड में अतिरिक्त सेल जोड़ें।वर्णित चरणों को तब तक दोहराएँ जब तक कि भागफल में एक उभयनिष्ठ भाजक न आ जाए।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं पर गोला बनाएं।फिर चयनित संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिदम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे विभाजित किया जा रहा है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेषफल वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बचती है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ओस्ट. 3:
        15 लाभांश है
        6 एक भाजक है
        2 भागफल है
        3 शेषफल है.

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक तुरंत खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एलसीएम खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एलओसी खोजें

जीसीडी और एलओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट फ़ील्ड में नंबर दर्ज करें
• यदि आप गलत वर्ण दर्ज करते हैं, तो इनपुट फ़ील्ड लाल रंग में हाइलाइट हो जाएगी
• "जीसीडी और एलओसी ढूंढें" बटन पर क्लिक करें

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, अवधि या अल्पविराम से अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का GCD और LCM ज्ञात करना कठिन नहीं है

जीसीडी और एनओसी क्या हैं?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याएँ सबसे बड़ा प्राकृतिक पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़े सामान्य भाजक को संक्षिप्त रूप में कहा जाता है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तकअनेक संख्याएँ वह सबसे छोटी संख्या होती है जो बिना किसी शेषफल के प्रत्येक मूल संख्या से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य को इस प्रकार संक्षिप्त किया जाता है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

यह कैसे जांचें कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें संयोजित करके, आप उनमें से कुछ की विभाज्यता और उनके संयोजन की जांच कर सकते हैं।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या के लिए 2 से विभाज्यता परीक्षण
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखना पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 2 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम अंतिम अंक देखते हैं: 8 - इसका मतलब है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या का 3 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग तीन से विभाज्य हो। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा हो, आप उसी प्रक्रिया को दोबारा दोहरा सकते हैं।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 3 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या के लिए 5 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच हो।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 5 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पाँच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या का 9 से विभाज्यता परीक्षण
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 9 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो नंबरों की जीसीडी कैसे पता करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे आसान तरीका उन संख्याओं के सभी संभावित भाजक ढूंढना और सबसे बड़ा भाजक चुनना है।

आइए जीसीडी(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. हम सामान्य गुणनखंड ढूंढते हैं, अर्थात्, वे जो दोनों संख्याओं में हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 = 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का लघुत्तम गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहली विधि यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणजों को लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की gcd ज्ञात करना है। आइये इस पर ही विचार करें.

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के उत्पाद की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले पाए गए जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28·36 = 1008
2. जीसीडी(28, 36), जैसा कि पहले से ज्ञात है, 4 के बराबर है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

कई संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक केवल दो नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाया जाता है। आप कई संख्याओं की gcd ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का भी उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी(ए, बी, सी) = जीसीडी(जीसीडी(ए, बी), सी).

एक समान संबंध लघुत्तम समापवर्त्य पर लागू होता है: एलसीएम(ए, बी, सी) = एलसीएम(एलसीएम(ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद GCD देगा: 1·2·2 = 4
4. आइए अब एलसीएम ढूंढें: ऐसा करने के लिए, आइए पहले एलसीएम(12, 32): 12·32 / 4 = 96 ढूंढें।
5. तीनों संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको GCD(96, 36) ज्ञात करना होगा: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

दूसरा नंबर: बी=

हजार विभाजकअंतरिक्ष विभाजक के बिना "´

परिणाम:

सबसे बड़ा सामान्य भाजक GCD( ए,बी)=6

एलसीएम का लघुत्तम समापवर्त्य ( ए,बी)=468

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिसे बिना किसी शेषफल के संख्याओं a और b से विभाजित किया जा सकता है, कहलाती है महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों की। जीसीडी(ए,बी), (ए,बी), जीसीडी(ए,बी) या एचसीएफ(ए,बी) द्वारा दर्शाया गया।

न्यूनतम समापवर्तकदो पूर्णांक a और b का LCM सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के a और b से विभाज्य है। निरूपित एलसीएम(ए,बी), या एलसीएम(ए,बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं परस्पर प्रधान, यदि उनके पास +1 और −1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

मान लीजिए कि दो सकारात्मक संख्याएँ दी गई हैं ए 1 और ए 2 1). इन संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। ऐसी संख्या खोजें λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है ए 1 और एएक ही समय में 2. आइए एल्गोरिदम का वर्णन करें.

1) इस लेख में संख्या शब्द को पूर्णांक के रूप में समझा जायेगा।

होने देना ए 1 ≥ ए 2 और चलो

कहाँ एम 1 , ए 3 कुछ पूर्णांक हैं, ए 3 <ए 2 (विभाजन का शेष भाग) ए 1 प्रति ए 2 कम होना चाहिए ए 2).

चलिए मान लेते हैं λ विभाजित ए 1 और ए 2 तो λ विभाजित एम 1 ए 2 और λ विभाजित ए 1 −एम 1 ए 2 =ए 3 (लेख का कथन 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता परीक्षण")। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 सामान्य भाजक है ए 2 और ए 3. यदि विपरीत भी सत्य है λ सामान्य विभाजक ए 2 और एफिर 3 एम 1 ए 2 और ए 1 =एम 1 ए 2 +ए 3 से भी विभाज्य है λ . अतः उभयनिष्ठ भाजक ए 2 और ए 3 भी एक सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2. क्योंकि ए 3 <ए 2 ≤ए 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करने की समस्या का समाधान ए 1 और ए 2 को संख्याओं के सामान्य भाजक को खोजने की सरल समस्या तक सीमित कर दिया गया है ए 2 और ए 3 .

अगर ए 3 ≠0, तो हम विभाजित कर सकते हैं ए 2 पर ए 3. तब

,

कहाँ एम 1 और ए 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( एविभाजन से 4 शेष ए 2 पर ए 3 (ए 4 <ए 3)). इसी तरह के तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि संख्याओं के सामान्य भाजक ए 3 और ए 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के साथ मेल खाता है ए 2 और ए 3, और सामान्य भाजक के साथ भी ए 1 और ए 2. क्योंकि ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4, ... वे संख्याएँ हैं जो लगातार घट रही हैं, और चूँकि इनके बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है ए 2 और 0, फिर किसी चरण पर एन, विभाजन का शेष भाग एएन पर ए n+1 शून्य के बराबर होगा ( एएन+2 =0).

.

प्रत्येक सामान्य विभाजक λ नंबर ए 1 और ए 2 संख्याओं का भाजक भी है ए 2 और ए 3 , ए 3 और ए 4 , .... एएन और एएन+1 . इसका विपरीत भी सत्य है, संख्याओं के सामान्य भाजक एएन और ए n+1 भी संख्याओं के विभाजक हैं ए n−1 और एएन , .... , ए 2 और ए 3 , ए 1 और ए 2. लेकिन संख्याओं का सामान्य भाजक एएन और ए n+1 एक संख्या है ए n+1 , क्योंकि एएन और ए n+1 से विभाज्य हैं ए n+1 (याद रखें एएन+2 =0). इस तरह ए n+1 संख्याओं का भाजक भी है ए 1 और ए 2 .

ध्यान दें कि संख्या ए n+1 संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक है एएन और ए n+1 , सबसे बड़े भाजक के बाद से ए n+1 स्वयं है एएन+1 . अगर ए n+1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ संख्याओं के सामान्य विभाजक भी हैं ए 1 और ए 2. संख्या ए n+1 कहा जाता है महत्तम सामान्य भाजकनंबर ए 1 और ए 2 .

नंबर ए 1 और ए 2 या तो धनात्मक या ऋणात्मक संख्या हो सकती है। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक अपरिभाषित है।

उपरोक्त एल्गोरिथम कहा जाता है यूक्लिडियन एल्गोरिथ्मदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

• चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेषफल 196 है।
• चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेषफल 42 है।
• चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेषफल 28 है।
• चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेषफल 14 है।
• चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 में, विभाजन का शेषफल 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्या 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 के भाजक हैं।

सहअभाज्य संख्याएँ

परिभाषा 1. मान लीजिए संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2 एक के बराबर है. फिर इन नंबरों पर कॉल किया जाता है सहअभाज्य संख्याएँ, जिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

प्रमेय 1. अगर ए 1 और ए 2 सहअभाज्य संख्याएँ, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई सामान्य भाजक λa 1 और ए 2 भी संख्याओं का एक सामान्य भाजक है λ और ए 2 .

सबूत। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम पर विचार करें ए 1 और ए 2 (ऊपर देखें)।

.

प्रमेय की शर्तों से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 और इसलिए एएन और ए n+1 है 1. यानी एएन+1 =1.

आइए इन सभी समानताओं को इससे गुणा करें λ , तब

.

चलो सामान्य भाजक ए 1 λ और ए 2 हाँ δ . तब δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है ए 1 λ , एम 1 ए 2 λ और में ए 1 λ -एम 1 ए 2 λ =ए 3 λ (देखें "संख्याओं की विभाज्यता", कथन 2)। अगला δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है ए 2 λ और एम 2 ए 3 λ , और, इसलिए, एक कारक है ए 2 λ -एम 2 ए 3 λ =ए 4 λ .

इस प्रकार तर्क करते हुए, हम इस बात से आश्वस्त हैं δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है ए n-1 λ और एम n-1 एएन λ , और इसलिए में ए n-1 λ −एम n-1 एएन λ =एएन+1 λ . क्योंकि ए n+1 =1, फिर δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का सामान्य भाजक है λ और ए 2 .

आइए प्रमेय 1 के विशेष मामलों पर विचार करें।

परिणाम 1. होने देना एऔर सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद ए.सीके संबंध में एक अभाज्य संख्या है बी.

वास्तव में। प्रमेय 1 से ए.सीऔर बीके समान सामान्य भाजक हैं सीऔर बी. लेकिन संख्याएँ सीऔर बीअपेक्षाकृत सरल, यानी एक ही उभयनिष्ठ भाजक है 1. फिर ए.सीऔर बीइसका एक ही उभयनिष्ठ भाजक 1 भी है। इसलिए ए.सीऔर बीपरस्पर सरल.

परिणाम 2. होने देना एऔर बीसहअभाज्य संख्याएँ और चलो बीविभाजित एके. तब बीविभाजित करता है और के.

वास्तव में। अनुमोदन शर्त से एकेऔर बीएक सामान्य भाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य भाजक होना चाहिए बीऔर के. इस तरह बीविभाजित के.

परिणाम 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. चलो संख्याएँ ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए m संख्या के सापेक्ष अभाज्य हैं बी. तब ए 1 ए 2 , ए 1 ए 2 · ए 3 , ..., ए 1 ए 2 ए 3··· एमी, इन संख्याओं का गुणनफल संख्या के सापेक्ष अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

इस प्रकार कि पहली श्रृंखला की प्रत्येक संख्या दूसरी श्रृंखला की प्रत्येक संख्या के अनुपात में अभाज्य हो। फिर उत्पाद

आपको ऐसी संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि कोई संख्या विभाज्य है ए 1, तो इसका स्वरूप है एसए 1 कहाँ एसकुछ संख्या. अगर क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2, फिर

कहाँ एस 1 कोई पूर्णांक है. तब

है संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 और ए 2 .

ए 1 और ए 2 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज ए 1 और ए 2:

हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना होगा।

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्याओं का कोई भी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε और ए 3 और वापस. माना संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ε और ए 3 हाँ ε 1. अगला, संख्याओं का गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और ए 4. माना संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ε 1 और ए 4 हाँ ε 2. इस प्रकार, हमें पता चला कि संख्याओं के सभी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m एक निश्चित संख्या के गुणजों से मेल खाता है ε n, जिसे दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कहा जाता है।

विशेष मामले में जब संख्याएँ ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m अपेक्षाकृत अभाज्य है, तो संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज ए 1 , ए 2, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का रूप (3) है। अगला, तब से एसंख्याओं के संबंध में 3 अभाज्य ए 1 , ए 2 तो ए 3 अभाज्य संख्या ए 1 · ए 2 (परिणाम 1). अर्थात संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 ,ए 2 ,ए 3 एक संख्या है ए 1 · ए 2 · ए 3. इसी प्रकार तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित कथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी उनके उत्पाद के बराबर है ए 1 · ए 2 · ए 3··· एएम।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m उनके गुणनफल से भी विभाज्य है ए 1 · ए 2 · ए 3··· एएम।