गॉसियन विधि का उपयोग करके सामान्य समाधान खोजें। गेम थ्योरी में गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

1. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली

1.1 रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की अवधारणा

समीकरणों की एक प्रणाली एक ऐसी स्थिति है जिसमें कई चर के संबंध में कई समीकरणों का एक साथ निष्पादन होता है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (इसके बाद SLAE के रूप में संदर्भित) की एक प्रणाली जिसमें m समीकरण और n अज्ञात होते हैं, को इस प्रकार की प्रणाली कहा जाता है:

जहाँ संख्या a ij को सिस्टम गुणांक कहा जाता है, संख्या b i को मुक्त पद कहा जाता है, एक आई.जेऔर बी मैं(i=1,…, m; b=1,…, n) कुछ ज्ञात संख्याओं और x का प्रतिनिधित्व करते हैं 1 ,…, एक्स एन- अज्ञात। गुणांकों के पदनाम में एक आई.जेपहला सूचकांक i समीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा j अज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है। संख्याएँ x n अवश्य मिलनी चाहिए। ऐसी प्रणाली को कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स रूप में लिखना सुविधाजनक है: एएक्स=बी.यहां ए सिस्टम गुणांक का मैट्रिक्स है, जिसे मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है;

- अज्ञात का कॉलम वेक्टर xj।
मुक्त पदों द्वि का एक स्तंभ वेक्टर है।

मैट्रिक्स A*X का उत्पाद परिभाषित किया गया है, क्योंकि मैट्रिक्स A में उतने ही कॉलम हैं जितनी मैट्रिक्स X (n टुकड़े) में पंक्तियाँ हैं।

किसी सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम का मैट्रिक्स ए है, जो मुक्त शब्दों के एक कॉलम द्वारा पूरक है

1.2 रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

समीकरणों की प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक क्रमबद्ध सेट (चर के मान) है, जब उन्हें चर के बजाय प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सिस्टम का प्रत्येक समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है।

किसी सिस्टम का समाधान अज्ञात x1=c1, x2=c2,…, xn=cn का n मान है, जिसके प्रतिस्थापन पर सिस्टम के सभी समीकरण वास्तविक समानता बन जाते हैं। सिस्टम के किसी भी समाधान को कॉलम मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है

समीकरणों की एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक समाधान हो, और असंगत कहा जाता है यदि इसका कोई समाधान नहीं है।

एक सुसंगत प्रणाली को नियति कहा जाता है यदि इसका एक ही समाधान हो, और अनिश्चितकालीन कहा जाता है यदि इसका एक से अधिक समाधान हो। बाद के मामले में, इसके प्रत्येक समाधान को सिस्टम का एक विशेष समाधान कहा जाता है। सभी विशिष्ट समाधानों के समुच्चय को सामान्य समाधान कहा जाता है।

किसी सिस्टम को हल करने का मतलब यह पता लगाना है कि यह संगत है या असंगत। यदि सिस्टम सुसंगत है, तो इसका सामान्य समाधान खोजें।

दो प्रणालियों को समतुल्य (समतुल्य) कहा जाता है यदि उनका सामान्य समाधान समान हो। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत।

एक परिवर्तन, जिसके अनुप्रयोग से एक प्रणाली मूल प्रणाली के समकक्ष एक नई प्रणाली में बदल जाती है, समतुल्य या समतुल्य परिवर्तन कहलाती है। समकक्ष परिवर्तनों के उदाहरणों में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं: किसी सिस्टम के दो समीकरणों को आपस में बदलना, सभी समीकरणों के गुणांकों के साथ दो अज्ञात को आपस में बदलना, किसी सिस्टम के किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है यदि सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों:

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि x1=x2=x3=…=xn=0 प्रणाली का एक समाधान है। इस समाधान को शून्य या तुच्छ कहा जाता है।

2. गाऊसी उन्मूलन विधि

2.1 गाऊसी उन्मूलन विधि का सार

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की शास्त्रीय विधि अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है - गाऊसी विधि(इसे गाऊसी उन्मूलन विधि भी कहा जाता है)। यह चरों के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरण (या त्रिकोणीय) रूप की समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, अंतिम से शुरू करते हुए (द्वारा) संख्या) चर।

गॉसियन विधि का उपयोग करके समाधान प्रक्रिया में दो चरण होते हैं: आगे और पीछे की चाल।

1. सीधा आघात।

पहले चरण में, तथाकथित प्रत्यक्ष चाल को अंजाम दिया जाता है, जब, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, सिस्टम को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय आकार में लाया जाता है, या यह स्थापित किया जाता है कि सिस्टम असंगत है। अर्थात्, मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों में से, एक गैर-शून्य तत्व का चयन करें, इसे पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके सबसे ऊपर की स्थिति में ले जाएं, और पुनर्व्यवस्था के बाद शेष पंक्तियों से परिणामी पहली पंक्ति को घटाएं, इसे एक मान से गुणा करें इनमें से प्रत्येक पंक्ति के पहले तत्व और पहली पंक्ति के पहले तत्व के अनुपात के बराबर, इस प्रकार उसके नीचे के कॉलम को शून्य कर दिया जाता है।

संकेतित परिवर्तनों के पूरा होने के बाद, पहली पंक्ति और पहले कॉलम को मानसिक रूप से काट दिया जाता है और तब तक जारी रखा जाता है जब तक कि शून्य आकार का मैट्रिक्स न रह जाए। यदि किसी भी पुनरावृत्ति पर पहले कॉलम के तत्वों के बीच कोई गैर-शून्य तत्व नहीं है, तो अगले कॉलम पर जाएं और एक समान ऑपरेशन करें।

पहले चरण (प्रत्यक्ष स्ट्रोक) में, सिस्टम को चरणबद्ध (विशेष रूप से, त्रिकोणीय) रूप में घटा दिया जाता है।

नीचे दी गई प्रणाली का चरणबद्ध रूप है:

,

गुणांक aii को सिस्टम के मुख्य (अग्रणी) तत्व कहा जाता है।

(यदि a11=0, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि ए 11 0 के बराबर नहीं था। यह हमेशा संभव है, क्योंकि अन्यथा मैट्रिक्स में शून्य कॉलम होता है, इसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है और सिस्टम असंगत होता है)।

आइए पहले (सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके) को छोड़कर सभी समीकरणों में अज्ञात x1 को हटाकर सिस्टम को बदल दें। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें

और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ पद दर पद जोड़ें (या दूसरे समीकरण से पद दर पद घटाएं, पहले से गुणा करें)। फिर हम पहले समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करते हैं और उन्हें सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ते हैं (या तीसरे से हम पहले वाले को गुणा से घटाते हैं)। इस प्रकार, हम क्रमिक रूप से पहली पंक्ति को एक संख्या से गुणा करते हैं और जोड़ते हैं मैंवें पंक्ति, के लिए मैं= 2, 3, …,एन।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है:

- सिस्टम के अंतिम एम-1 समीकरणों में अज्ञात और मुक्त पदों के लिए गुणांक के नए मान, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

इस प्रकार, पहले चरण में, पहले अग्रणी तत्व 11 के अंतर्गत आने वाले सभी गुणांक नष्ट हो जाते हैं

0, दूसरे चरण में दूसरे प्रमुख तत्व ए 22 (1) के नीचे पड़े तत्व नष्ट हो जाते हैं (यदि ए 22 (1) 0), आदि। इस प्रक्रिया को आगे जारी रखते हुए, हम अंततः, (m-1) चरण पर, मूल प्रणाली को एक त्रिकोणीय प्रणाली में बदल देते हैं।

यदि, सिस्टम को चरणबद्ध रूप में कम करने की प्रक्रिया में, शून्य समीकरण दिखाई देते हैं, अर्थात। फॉर्म 0=0 की समानताएं, उन्हें खारिज कर दिया जाता है। यदि प्रपत्र का एक समीकरण प्रकट होता है

तो यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है।

यहीं पर गॉस की पद्धति की सीधी प्रगति समाप्त होती है।

2. रिवर्स स्ट्रोक.

दूसरे चरण में, तथाकथित रिवर्स चाल को अंजाम दिया जाता है, जिसका सार सभी परिणामी बुनियादी चर को गैर-बुनियादी चर के रूप में व्यक्त करना और समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करना है, या, यदि सभी चर बुनियादी हैं , फिर रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एकमात्र समाधान संख्यात्मक रूप से व्यक्त करें।

यह प्रक्रिया अंतिम समीकरण से शुरू होती है, जिसमें से संबंधित मूल चर को व्यक्त किया जाता है (इसमें केवल एक ही है) और पिछले समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और इसी तरह, "चरणों" तक बढ़ते हुए।

प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल एक आधार चर से मेल खाती है, इसलिए अंतिम (शीर्षतम) को छोड़कर प्रत्येक चरण पर, स्थिति बिल्कुल अंतिम पंक्ति के मामले को दोहराती है।

ध्यान दें: व्यवहार में, सिस्टम के साथ नहीं, बल्कि इसके विस्तारित मैट्रिक्स के साथ, इसकी पंक्तियों पर सभी प्राथमिक परिवर्तन करते हुए काम करना अधिक सुविधाजनक है। गुणांक a11 का 1 के बराबर होना सुविधाजनक है (समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें, या समीकरण के दोनों पक्षों को a11 से विभाजित करें)।

2.2 गॉसियन विधि का उपयोग करके SLAE को हल करने के उदाहरण

इस अनुभाग में, तीन अलग-अलग उदाहरणों का उपयोग करके, हम दिखाएंगे कि गाऊसी विधि SLAE को कैसे हल कर सकती है।

उदाहरण 1. तीसरे क्रम का SLAE हल करें।

आइए गुणांकों को यहां रीसेट करें

दूसरी और तीसरी पंक्ति में. ऐसा करने के लिए, उन्हें क्रमशः 2/3 और 1 से गुणा करें, और उन्हें पहली पंक्ति में जोड़ें:

मान लीजिए कि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है जिसे हल करने की आवश्यकता है (अज्ञात xi के ऐसे मान खोजें जो प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (होना गैर संयुक्त).
2) अनंत रूप से अनेक समाधान हों।
3) एक ही समाधान रखें.

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में उपयुक्त नहीं है जहां सिस्टम में असीमित कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली का समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, कौन हर मामले मेंहमें उत्तर तक ले जाएगा! विधि एल्गोरिथ्म स्वयं तीनों मामलों में समान कार्य करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस विधि को लागू करने के लिए आपको केवल अंकगणितीय संचालन के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

संवर्धित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह सिस्टम का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांकों से बना है, साथ ही मुक्त शब्दों का एक कॉलम है)गॉस विधि में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ:

1) साथ ट्रॉकीमैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितकुछ स्थानों पर.

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ दिखाई देती हैं (या मौजूद हैं), तो आपको ऐसा करना चाहिए मिटानामैट्रिक्स से एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ।

3) यदि परिवर्तनों के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी होनी चाहिए मिटाना.

4) मैट्रिक्स की एक पंक्ति हो सकती है गुणा करना (विभाजित करना)शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के लिए.

5) मैट्रिक्स की एक पंक्ति में आप कर सकते हैं किसी संख्या से गुणा करके एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरण के रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य (ऊपर से नीचे की चाल) के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित चरण निष्पादित करें:

1) आइए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 का गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को इस प्रकार बदलते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में है, और K से गुणा करते हैं। इसके बाद, हम पहले को दूसरे से घटाते हैं समीकरण (अज्ञात और मुक्त पदों के लिए गुणांक)। दूसरे समीकरण में x 1 के लिए हमें गुणांक 0 प्राप्त होता है। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को तब तक घटाते हैं जब तक कि अज्ञात x 1 के लिए पहले को छोड़कर सभी समीकरणों का गुणांक 0 न हो जाए।

2) अगले समीकरण पर आगे बढ़ें। मान लीजिए कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 का गुणांक M के बराबर है। हम ऊपर वर्णित सभी "निचले" समीकरणों के साथ आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, अज्ञात x 2 के "अंडर" सभी समीकरणों में शून्य होंगे।

3) अगले समीकरण पर आगे बढ़ें और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त पद शेष न रह जाए।

1. गॉस विधि की "रिवर्स चाल" रैखिक बीजगणितीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है।

अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

उदाहरण।

आइए गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें, जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं:

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:
हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। हमारे पास वहां एक होना चाहिए. समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई इकाइयाँ ही नहीं हैं, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ भी हल नहीं होगा। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आओ इसे करें: . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यानी, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमारे लिए काफी उपयुक्त है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त कार्रवाई कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (उसका चिह्न बदलें)।

चरण दो . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

चरण 3 . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और इसे दूसरे स्थान पर ले जाया गया, ताकि दूसरे "चरण" पर हमारे पास आवश्यक इकाई हो।

चरण 4 . तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

चरण 5 . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि दर्शाता है (अधिक दुर्लभ रूप से, एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। अर्थात्, यदि हमें नीचे (0 0 11 |23) जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्रारंभिक के दौरान एक त्रुटि हुई थी परिवर्तन.

आइए इसके विपरीत करें; उदाहरणों के डिज़ाइन में, सिस्टम को अक्सर दोबारा नहीं लिखा जाता है, लेकिन समीकरण "सीधे दिए गए मैट्रिक्स से लिए जाते हैं।" मैं आपको याद दिला दूं कि उल्टी चाल नीचे से ऊपर की ओर काम करती है। इस उदाहरण में, परिणाम एक उपहार था:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, इसलिए x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

उत्तर:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिथम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से विभाजित करें। हमें मिलता है:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हमें मिलता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाने पर, हमें मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे को घटाने पर, हमें एक "स्टेप्ड" विस्तारित मैट्रिक्स प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना के दौरान जमा हुई त्रुटि के बाद से, हमें x 3 = 0.96 या लगभग 1 प्राप्त होता है।

x 2 = 3 और x 1 = -1.

इस प्रकार हल करने से आप कभी भी गणना में भ्रमित नहीं होंगे और गणना में त्रुटि होने पर भी आपको परिणाम प्राप्त होगा।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि प्रोग्राम करना आसान है और अज्ञात के लिए गुणांक की विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखती है, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं! कक्षा में मिलते हैं! ट्यूटर दिमित्री एस्ट्राखानोव।

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गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।मान लीजिए हमें सिस्टम का कोई समाधान ढूंढना है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर
जिसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

गॉस विधि का सारइसमें अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से हटाना शामिल है: पहले हटाना एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके, आगे भी बाहर रखा गया है एक्स 2सभी समीकरणों से, तीसरे से शुरू करके, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर न रह जाए एक्स एन. अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने के लिए सिस्टम समीकरणों को बदलने की इस प्रक्रिया को कहा जाता है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. गॉसियन विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के बाद, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके हम गणना करते हैं xn-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से हम पाते हैं एक्स 1. सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

आइए हम अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन करें।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को आपस में बदलकर इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, n वेंसमीकरण में हम पहले वाले को, से गुणा करके जोड़ते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां .

यदि हमने व्यक्त किया तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया था। तो परिवर्तनशील एक्स 1दूसरे से शुरू करके, सभी समीकरणों से बाहर रखा गया।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, चौथे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, n वेंसमीकरण में हम दूसरा जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां . तो परिवर्तनशील एक्स 2तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया।

आगे हम अज्ञात को ख़त्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3, इस मामले में हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के भाग के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गॉसियन विधि का उलटा प्रारंभ करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनप्राप्त मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से एक्स एनहम देखतें है xn-1अंतिम समीकरण से, इत्यादि, हम पाते हैं एक्स 1पहले समीकरण से.

अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गॉस विधि.

शैक्षणिक संस्थान "बेलारूसी राज्य

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

दिशा-निर्देश

"रेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि" विषय का अध्ययन करने के लिए

पत्राचार शिक्षा के लेखांकन संकाय (एनआईएसपीओ) के छात्रों द्वारा समीकरण"

गोर्की, 2013

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि

समीकरणों की समतुल्य प्रणालियाँ

रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान हो। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की प्रक्रिया में तथाकथित का उपयोग करके क्रमिक रूप से इसे एक समकक्ष प्रणाली में बदलना शामिल है प्राथमिक परिवर्तन , जो हैं:

1) सिस्टम के किन्हीं दो समीकरणों की पुनर्व्यवस्था;

2) सिस्टम के किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) किसी भी समीकरण में किसी अन्य समीकरण को जोड़कर किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है;

4) शून्य वाले समीकरण को काटना, अर्थात्। प्रपत्र के समीकरण

गाउस विलोपन

सिस्टम पर विचार करें एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात:

गॉसियन विधि या अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की विधि का सार इस प्रकार है।

सबसे पहले, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, पहले को छोड़कर सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात को हटा दिया जाता है। ऐसे सिस्टम परिवर्तन कहलाते हैं गाऊसी उन्मूलन कदम . अज्ञात को कहा जाता है चर को सक्षम करना परिवर्तन के पहले चरण में. गुणांक कहा जाता है संकल्प कारक , पहला समीकरण कहा जाता है समीकरण हल करना , और गुणांकों का स्तंभ अनुमति स्तंभ .

गाऊसी उन्मूलन का एक चरण निष्पादित करते समय, आपको निम्नलिखित नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है:

1) हल करने वाले समीकरण के गुणांक और मुक्त पद अपरिवर्तित रहते हैं;

2) रिज़ॉल्यूशन गुणांक के नीचे स्थित रिज़ॉल्यूशन कॉलम के गुणांक शून्य हो जाते हैं;

3) पहला चरण निष्पादित करते समय अन्य सभी गुणांक और मुक्त पदों की गणना आयत नियम के अनुसार की जाती है:

, कहाँ मैं=2,3,…,एम; जे=2,3,…,एन.

हम सिस्टम के दूसरे समीकरण पर समान परिवर्तन करेंगे। इससे एक ऐसी प्रणाली बनेगी जिसमें पहले दो को छोड़कर सभी समीकरणों में अज्ञात को समाप्त कर दिया जाएगा। सिस्टम के प्रत्येक समीकरण (गॉस विधि की प्रत्यक्ष प्रगति) पर ऐसे परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, मूल सिस्टम निम्न प्रकारों में से एक के समकक्ष चरण प्रणाली में कम हो जाता है।

रिवर्स गॉसियन विधि

चरण प्रणाली

इसका स्वरूप त्रिकोणीय है और बस इतना ही (मैं=1,2,…,एन). ऐसी प्रणाली का एक अनोखा समाधान होता है। अज्ञात का निर्धारण अंतिम समीकरण (गॉसियन विधि के विपरीत) से शुरू करके किया जाता है।

चरण प्रणाली का स्वरूप है

कहाँ, यानी सिस्टम के समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम या उसके बराबर है। इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि अंतिम समीकरण चर के किसी भी मान के लिए संतुष्ट नहीं होगा।

चरण प्रकार प्रणाली

अनगिनत समाधान हैं. अंतिम समीकरण से, अज्ञात को अज्ञात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है . फिर अंतिम समीकरण में अज्ञात के स्थान पर अज्ञात के माध्यम से उसकी अभिव्यक्ति प्रतिस्थापित कर दी जाती है . गॉसियन विधि के विपरीत जारी रखते हुए, अज्ञात अज्ञात के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है . इस मामले में अज्ञात कहा जाता है मुक्त और कोई भी मान ले सकता है, और अज्ञात बुनियादी।

व्यवहार में सिस्टम को हल करते समय, सभी परिवर्तनों को समीकरणों की प्रणाली के साथ नहीं, बल्कि सिस्टम के एक विस्तारित मैट्रिक्स के साथ करना सुविधाजनक होता है, जिसमें अज्ञात के लिए गुणांक और मुक्त शर्तों का एक कॉलम शामिल होता है।

उदाहरण 1. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान. आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं और प्रारंभिक परिवर्तन करें:

.

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, संख्या 3 (इसे हाइलाइट किया गया है) रिज़ॉल्यूशन गुणांक है, पहली पंक्ति रिज़ॉल्यूशन पंक्ति है, और पहला कॉलम रिज़ॉल्यूशन कॉलम है। अगले मैट्रिक्स पर जाने पर, रिज़ॉल्यूशन पंक्ति नहीं बदलती है; रिज़ॉल्यूशन तत्व के नीचे रिज़ॉल्यूशन कॉलम के सभी तत्वों को शून्य से बदल दिया जाता है। और मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्वों की पुनर्गणना चतुर्भुज नियम के अनुसार की जाती है। दूसरी पंक्ति में तत्व 4 के स्थान पर हम लिखते हैं , दूसरी पंक्ति में तत्व के स्थान पर -3 लिखा होगा वगैरह। इस प्रकार, दूसरा मैट्रिक्स प्राप्त किया जाएगा। इस मैट्रिक्स का रिज़ॉल्यूशन तत्व दूसरी पंक्ति में संख्या 18 होगा। अगला (तीसरा मैट्रिक्स) बनाने के लिए, दूसरी पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ दें, समाधान करने वाले तत्व के नीचे कॉलम में शून्य लिखें और शेष दो तत्वों की पुनर्गणना करें: संख्या 1 के बजाय, लिखें , और संख्या 16 के स्थान पर हम लिखते हैं।

परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली को घटाकर एक समतुल्य प्रणाली में बदल दिया गया

तीसरे समीकरण से हम पाते हैं . आइए इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: य=3. आइए पाए गए मानों को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें यऔर जेड: , एक्स=2.

इस प्रकार, समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान है एक्स=2, य=3, .

उदाहरण 2. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान. आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स पर प्रारंभिक परिवर्तन करें:

दूसरे मैट्रिक्स में, तीसरी पंक्ति के प्रत्येक तत्व को 2 से विभाजित किया गया है।

चौथे मैट्रिक्स में, तीसरी और चौथी पंक्ति के प्रत्येक तत्व को 11 से विभाजित किया गया था।

. परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाता है

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं , , .

उदाहरण 3. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान. आइए सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखें और प्रारंभिक परिवर्तन करें:

.

दूसरे मैट्रिक्स में, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्ति के प्रत्येक तत्व को 7 से विभाजित किया गया था।

परिणामस्वरूप, समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई

मूल के समतुल्य.

चूँकि अज्ञात से दो कम समीकरण हैं, तो दूसरे समीकरण से . आइए अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें: , .

इस प्रकार, सूत्र समीकरणों की इस प्रणाली का एक सामान्य समाधान दीजिए। अज्ञात स्वतंत्र हैं और कोई भी मूल्य ले सकते हैं।

उदाहरण के लिए, चलो तब और . समाधान सिस्टम के विशेष समाधानों में से एक है, जो अनगिनत हैं।

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1) रैखिक प्रणालियों के किन परिवर्तनों को प्राथमिक कहा जाता है?

2) सिस्टम के किन परिवर्तनों को गाऊसी उन्मूलन चरण कहा जाता है?

3) रिज़ॉल्विंग वेरिएबल, रिज़ॉल्विंग गुणांक, रिज़ॉल्विंग कॉलम क्या है?

4) गाऊसी उन्मूलन का एक चरण निष्पादित करते समय किन नियमों का उपयोग किया जाना चाहिए?

16वीं-18वीं शताब्दी की शुरुआत से, गणितज्ञों ने गहनता से कार्यों का अध्ययन करना शुरू कर दिया है, जिसकी बदौलत हमारे जीवन में बहुत कुछ बदल गया है। इस ज्ञान के बिना कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का अस्तित्व ही नहीं होता। जटिल समस्याओं, रैखिक समीकरणों और कार्यों को हल करने के लिए विभिन्न अवधारणाएँ, प्रमेय और समाधान तकनीकें बनाई गई हैं। रैखिक समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए ऐसी सार्वभौमिक और तर्कसंगत विधियों और तकनीकों में से एक गॉस विधि थी। मैट्रिक्स, उनकी रैंक, निर्धारक - सब कुछ जटिल संचालन का उपयोग किए बिना गणना की जा सकती है।

एसएलएयू क्या है?

गणित में, SLAE की अवधारणा है - रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली। वह किसके जैसी है? यह आवश्यक n अज्ञात मात्राओं के साथ m समीकरणों का एक सेट है, जिसे आमतौर पर x, y, z, या x 1, x 2 ... x n, या अन्य प्रतीकों के रूप में दर्शाया जाता है। गॉसियन विधि का उपयोग करके किसी दिए गए सिस्टम को हल करने का अर्थ है सभी अज्ञात अज्ञात को ढूंढना। यदि किसी प्रणाली में अज्ञातों और समीकरणों की संख्या समान है, तो इसे nवें क्रम प्रणाली कहा जाता है।

SLAE को हल करने के लिए सबसे लोकप्रिय तरीके

माध्यमिक शिक्षा के शिक्षण संस्थानों में ऐसी प्रणालियों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन किया जाता है। अक्सर ये सरल समीकरण होते हैं जिनमें दो अज्ञात होते हैं, इसलिए इनका उत्तर खोजने के लिए किसी भी मौजूदा विधि में अधिक समय नहीं लगेगा। यह एक प्रतिस्थापन विधि की तरह हो सकता है, जब एक समीकरण से दूसरा प्राप्त किया जाता है और मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है। या पद-दर-पद घटाने और जोड़ने की विधि। लेकिन गॉस विधि को सबसे आसान और सबसे सार्वभौमिक माना जाता है। यह किसी भी संख्या में अज्ञात वाले समीकरणों को हल करना संभव बनाता है। इस विशेष तकनीक को तर्कसंगत क्यों माना जाता है? यह सरल है. मैट्रिक्स विधि के बारे में अच्छी बात यह है कि इसमें अनावश्यक प्रतीकों को कई बार अज्ञात के रूप में लिखने की आवश्यकता नहीं होती है, यह गुणांक पर अंकगणितीय संचालन करने के लिए पर्याप्त है - और आपको एक विश्वसनीय परिणाम मिलेगा।

व्यवहार में SLAE का उपयोग कहाँ किया जाता है?

SLAE का समाधान फ़ंक्शंस के ग्राफ़ पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। हमारे हाई-टेक कंप्यूटर युग में, जो लोग गेम और अन्य कार्यक्रमों के विकास से निकटता से जुड़े हुए हैं, उन्हें यह जानना आवश्यक है कि ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, वे क्या प्रतिनिधित्व करते हैं और परिणामी परिणाम की शुद्धता की जांच कैसे करें। अक्सर, प्रोग्रामर विशेष रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर प्रोग्राम विकसित करते हैं, जिसमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली भी शामिल होती है। गॉस विधि आपको सभी मौजूदा समाधानों की गणना करने की अनुमति देती है। अन्य सरलीकृत सूत्रों और तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है।

एसएलएयू अनुकूलता मानदंड

ऐसी प्रणाली को केवल तभी हल किया जा सकता है जब यह संगत हो। स्पष्टता के लिए, आइए SLAE को Ax=b के रूप में प्रस्तुत करें। यदि रंग (ए) रंग (ए, बी) के बराबर है तो इसका एक समाधान है। इस मामले में, (ए,बी) एक विस्तारित रूप मैट्रिक्स है जिसे मैट्रिक्स ए से मुक्त शब्दों के साथ फिर से लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। यह पता चला है कि गाऊसी विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करना काफी आसान है।

शायद कुछ प्रतीक पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए हर चीज़ पर एक उदाहरण के साथ विचार करना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक प्रणाली है: x+y=1; 2x-3y=6. इसमें केवल दो समीकरण हैं, जिनमें 2 अज्ञात हैं। सिस्टम का समाधान तभी होगा जब उसके मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो। रैंक क्या है? यह सिस्टम की स्वतंत्र लाइनों की संख्या है। हमारे मामले में, मैट्रिक्स की रैंक 2 है। मैट्रिक्स ए में अज्ञात के पास स्थित गुणांक शामिल होंगे, और "=" चिह्न के पीछे स्थित गुणांक भी विस्तारित मैट्रिक्स में फिट होंगे।

SLAE को मैट्रिक्स रूप में क्यों दर्शाया जा सकता है?

सिद्ध क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार संगतता मानदंड के आधार पर, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है। गॉसियन कैस्केड विधि का उपयोग करके, आप मैट्रिक्स को हल कर सकते हैं और पूरे सिस्टम के लिए एक विश्वसनीय उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि किसी साधारण मैट्रिक्स की रैंक उसके विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, लेकिन अज्ञात की संख्या से कम है, तो सिस्टम के पास अनंत संख्या में उत्तर हैं।

मैट्रिक्स परिवर्तन

मैट्रिक्स को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, आपको यह जानना होगा कि उनके तत्वों पर क्या क्रियाएं की जा सकती हैं। कई प्राथमिक परिवर्तन हैं:

• सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखकर और इसे हल करके, आप श्रृंखला के सभी तत्वों को एक ही गुणांक से गुणा कर सकते हैं।
• मैट्रिक्स को विहित रूप में बदलने के लिए, आप दो समानांतर पंक्तियों को स्वैप कर सकते हैं। विहित रूप का तात्पर्य है कि मुख्य विकर्ण के साथ स्थित सभी मैट्रिक्स तत्व एक हो जाते हैं, और शेष शून्य हो जाते हैं।
• मैट्रिक्स की समानांतर पंक्तियों के संगत तत्वों को एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है।

जॉर्डन-गॉस विधि

गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक सजातीय और अमानवीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने का सार अज्ञात को धीरे-धीरे समाप्त करना है। मान लीजिए कि हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें दो अज्ञात हैं। उन्हें ढूंढने के लिए, आपको संगतता के लिए सिस्टम की जांच करनी होगी। गॉस विधि द्वारा समीकरण को बहुत ही सरलता से हल किया जाता है। प्रत्येक अज्ञात के निकट स्थित गुणांकों को मैट्रिक्स रूप में लिखना आवश्यक है। सिस्टम को हल करने के लिए, आपको विस्तारित मैट्रिक्स को लिखना होगा। यदि समीकरणों में से किसी एक में अज्ञात की संख्या कम है, तो लुप्त तत्व के स्थान पर "0" डाला जाना चाहिए। सभी ज्ञात परिवर्तन विधियाँ मैट्रिक्स पर लागू होती हैं: गुणा, किसी संख्या से भाग, श्रृंखला के संबंधित तत्वों को एक दूसरे से जोड़ना, और अन्य। यह पता चला है कि प्रत्येक पंक्ति में "1" मान के साथ एक चर छोड़ना आवश्यक है, बाकी को घटाकर शून्य कर दिया जाना चाहिए। अधिक सटीक समझ के लिए, उदाहरणों के साथ गॉस विधि पर विचार करना आवश्यक है।

2x2 प्रणाली को हल करने का एक सरल उदाहरण

आरंभ करने के लिए, आइए बीजगणितीय समीकरणों की एक सरल प्रणाली लें, जिसमें 2 अज्ञात होंगे।

आइए इसे एक विस्तारित मैट्रिक्स में फिर से लिखें।

रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए केवल दो संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। हमें मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने की आवश्यकता है ताकि मुख्य विकर्ण के साथ मैट्रिक्स हों। इसलिए, मैट्रिक्स फॉर्म से वापस सिस्टम में स्थानांतरित करने पर, हमें समीकरण मिलते हैं: 1x+0y=b1 और 0x+1y=b2, जहां b1 और b2 समाधान प्रक्रिया में परिणामी उत्तर हैं।

1. विस्तारित मैट्रिक्स को हल करते समय पहली क्रिया यह होगी: दूसरे समीकरण में एक अज्ञात से छुटकारा पाने के लिए पहली पंक्ति को -7 से गुणा किया जाना चाहिए और दूसरी पंक्ति में संबंधित तत्वों को जोड़ना होगा।
2. चूंकि गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने में मैट्रिक्स को विहित रूप में कम करना शामिल है, इसलिए पहले समीकरण के साथ समान संचालन करना और दूसरे चर को हटाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाते हैं और आवश्यक उत्तर प्राप्त करते हैं - SLAE का समाधान। या, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम दूसरी पंक्ति को -1 के कारक से गुणा करते हैं और दूसरी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ते हैं। यह वही बात है.

जैसा कि हम देख सकते हैं, हमारा सिस्टम जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा हल किया गया था। हम इसे आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं: x=-5, y=7.

3x3 SLAE समाधान का एक उदाहरण

मान लीजिए कि हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक अधिक जटिल प्रणाली है। गॉस विधि सबसे भ्रमित करने वाली प्रणाली के लिए भी उत्तर की गणना करना संभव बनाती है। इसलिए, गणना पद्धति में गहराई से जाने के लिए, आप तीन अज्ञात के साथ अधिक जटिल उदाहरण पर आगे बढ़ सकते हैं।

पिछले उदाहरण की तरह, हम सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में फिर से लिखते हैं और इसे इसके विहित रूप में लाना शुरू करते हैं।

इस प्रणाली को हल करने के लिए, आपको पिछले उदाहरण की तुलना में बहुत अधिक कार्य करने की आवश्यकता होगी।

1. सबसे पहले आपको पहले कॉलम को एक इकाई तत्व और बाकी को शून्य बनाना होगा। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को -1 से गुणा करें और उसमें दूसरा समीकरण जोड़ें। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हम पहली पंक्ति को उसके मूल रूप में और दूसरी को संशोधित रूप में फिर से लिखते हैं।
2. इसके बाद, हम तीसरे समीकरण से इसी पहले अज्ञात को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति के तत्वों को -2 से गुणा करें और उन्हें तीसरी पंक्ति में जोड़ें। अब पहली और दूसरी पंक्तियों को उनके मूल रूप में फिर से लिखा गया है, और तीसरी - परिवर्तनों के साथ। जैसा कि आप परिणाम से देख सकते हैं, हमें मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की शुरुआत में पहला और शेष शून्य मिला। कुछ और कदम, और गाऊसी विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को विश्वसनीय रूप से हल किया जाएगा।
3. अब आपको पंक्तियों के अन्य तत्वों पर संचालन करने की आवश्यकता है। तीसरी और चौथी क्रिया को एक में जोड़ा जा सकता है। विकर्ण पर ऋणात्मक रेखाओं से छुटकारा पाने के लिए हमें दूसरी और तीसरी पंक्तियों को -1 से विभाजित करना होगा। हम तीसरी पंक्ति को पहले ही आवश्यक रूप में ला चुके हैं।
4. आगे हम दूसरी पंक्ति को विहित रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को -3 से गुणा करते हैं और उन्हें मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ते हैं। परिणाम से यह स्पष्ट है कि दूसरी पंक्ति भी उस रूप में सिमट गई है जिसकी हमें आवश्यकता है। यह कुछ और ऑपरेशन करने और पहली पंक्ति से अज्ञात के गुणांक को हटाने के लिए बना हुआ है।
5. किसी पंक्ति के दूसरे तत्व से 0 बनाने के लिए, आपको तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करना होगा और इसे पहली पंक्ति में जोड़ना होगा।
6. अगला निर्णायक कदम दूसरी पंक्ति के आवश्यक तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ना होगा। इस तरह हमें मैट्रिक्स का विहित रूप मिलता है, और, तदनुसार, उत्तर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना काफी सरल है।

समीकरणों की 4x4 प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

समीकरणों की कुछ और जटिल प्रणालियों को कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके गाऊसी पद्धति का उपयोग करके हल किया जा सकता है। मौजूदा खाली कोशिकाओं में अज्ञात के लिए गुणांक दर्ज करना आवश्यक है, और प्रोग्राम स्वयं चरण दर चरण प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन करते हुए आवश्यक परिणाम की गणना करेगा।

ऐसे उदाहरण को हल करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश नीचे वर्णित हैं।

पहले चरण में, अज्ञात के लिए मुक्त गुणांक और संख्याएँ खाली कोशिकाओं में दर्ज की जाती हैं। इस प्रकार, हमें वही विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है जिसे हम मैन्युअल रूप से लिखते हैं।

और विस्तारित मैट्रिक्स को उसके विहित रूप में लाने के लिए सभी आवश्यक अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं। यह समझना आवश्यक है कि समीकरणों की प्रणाली का उत्तर हमेशा पूर्णांक नहीं होता है। कभी-कभी समाधान भिन्नात्मक संख्याओं से हो सकता है।

समाधान की शुद्धता की जाँच करना

जॉर्डन-गॉस विधि परिणाम की शुद्धता की जांच करने का प्रावधान करती है। यह पता लगाने के लिए कि गुणांकों की गणना सही ढंग से की गई है या नहीं, आपको बस परिणाम को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करना होगा। समीकरण के बाएँ पक्ष को समान चिह्न के पीछे दाएँ पक्ष से मेल खाना चाहिए। यदि उत्तर मेल नहीं खाते हैं, तो आपको सिस्टम की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है या उस पर SLAE को हल करने का कोई अन्य तरीका लागू करने का प्रयास करें, जैसे कि प्रतिस्थापन या टर्म-दर-टर्म घटाव और जोड़। आख़िरकार, गणित एक विज्ञान है जिसमें बड़ी संख्या में विभिन्न समाधान विधियाँ हैं। लेकिन याद रखें: परिणाम हमेशा एक जैसा होना चाहिए, चाहे आपने कोई भी समाधान विधि इस्तेमाल की हो।

गॉस विधि: SLAEs को हल करते समय सबसे आम त्रुटियाँ

समीकरणों की रैखिक प्रणालियों को हल करते समय, त्रुटियां अक्सर होती हैं जैसे गुणांकों का मैट्रिक्स रूप में गलत स्थानांतरण। ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी एक समीकरण से कुछ अज्ञात गायब हैं, फिर, डेटा को एक विस्तारित मैट्रिक्स में स्थानांतरित करते समय, वे खो सकते हैं; परिणामस्वरूप, इस प्रणाली को हल करते समय, परिणाम वास्तविक के अनुरूप नहीं हो सकता है।

एक और बड़ी गलती अंतिम परिणाम को गलत तरीके से लिखना हो सकता है। यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि पहला गुणांक सिस्टम से पहले अज्ञात के अनुरूप होगा, दूसरा - दूसरे के अनुरूप होगा, और इसी तरह।

गॉस विधि रैखिक समीकरणों के समाधान का विस्तार से वर्णन करती है। इसके लिए धन्यवाद, आवश्यक ऑपरेशन करना और सही परिणाम ढूंढना आसान है। इसके अलावा, यह किसी भी जटिलता के समीकरणों का विश्वसनीय उत्तर खोजने के लिए एक सार्वभौमिक उपकरण है। शायद इसीलिए SLAEs को हल करते समय इसका अक्सर उपयोग किया जाता है।