पैरामीट्रिक व्युत्पन्न समीकरण. अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

एक समतल पर एक रेखा को परिभाषित करने पर विचार करें जिसमें चर x, y तीसरे चर t (जिसे पैरामीटर कहा जाता है) के कार्य हैं:

प्रत्येक मान के लिए टीएक निश्चित अंतराल से कुछ मान मेल खाते हैं एक्सऔर वाई, ए, इसलिए, समतल का एक निश्चित बिंदु M (x, y)। कब टीकिसी दिए गए अंतराल से सभी मानों के माध्यम से चलता है, फिर बिंदु एम (एक्स, वाई) कुछ पंक्ति का वर्णन करता है एल. समीकरण (2.2) को पैरामीट्रिक रेखा समीकरण कहा जाता है एल.

यदि फ़ंक्शन x = φ(t) का व्युत्क्रम t = Ф(x) है, तो इस अभिव्यक्ति को समीकरण y = g(t) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें y = g(Ф(x)) प्राप्त होता है, जो निर्दिष्ट करता है यके एक समारोह के रूप में एक्स. इस मामले में, हम कहते हैं कि समीकरण (2.2) फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं यप्राचलिक रूप से।

उदाहरण 1.होने देना एम(एक्स,वाई)- त्रिज्या के एक वृत्त पर मनमाना बिंदु आरऔर मूल पर केन्द्रित है। होने देना टी– अक्ष के बीच का कोण बैलऔर त्रिज्या ओम(चित्र 2.3 देखें)। तब एक्स, वाईके माध्यम से व्यक्त किये जाते हैं टी:

समीकरण (2.3) एक वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। आइए समीकरण (2.3) से पैरामीटर t को हटा दें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण का वर्ग करते हैं और उसे जोड़ते हैं, हमें मिलता है: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + syn 2 t) या x 2 + y 2 = R 2 - कार्टेशियन में एक वृत्त का समीकरण निर्देशांक तरीका। यह दो कार्यों को परिभाषित करता है: इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन पैरामीट्रिक समीकरण (2.3) द्वारा दिया गया है, लेकिन पहले फ़ंक्शन के लिए, और दूसरे के लिए।

उदाहरण 2. पैरामीट्रिक समीकरण

अर्ध-अक्षों के साथ एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करें ए, बी(चित्र 2.4)। समीकरणों से पैरामीटर को बाहर करना टी, हम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3. चक्रज एक वृत्त पर स्थित एक बिंदु द्वारा वर्णित एक रेखा है यदि यह वृत्त एक सीधी रेखा में बिना खिसके घूमता है (चित्र 2.5)। आइए हम चक्रवात के पैरामीट्रिक समीकरणों का परिचय दें। माना कि घूमते हुए वृत्त की त्रिज्या है ए, बिंदु एम, साइक्लोइड का वर्णन करते हुए, आंदोलन की शुरुआत में निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है।

आइए निर्देशांक निर्धारित करें एक्स, y अंक एमवृत्त के एक कोण से घूमने के बाद टी
(चित्र 2.5), टी = ÐMCB. वक्राकार लंबाई एम.बी.खंड की लंबाई के बराबर ओ.बी.चूँकि वृत्त बिना फिसले घूमता है, इसलिए

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB - AB = at - asint = a(t - synt),

y = AM = CB - CD = a - लागत = a(1 - लागत)।

तो, साइक्लॉयड के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होते हैं:

पैरामीटर बदलते समय टी 0 से. तक 2πवृत्त एक चक्कर में घूमता है, और बिंदु एमएक चक्रवात के एक चाप का वर्णन करता है। समीकरण (2.5) देते हैं यके एक समारोह के रूप में एक्स. यद्यपि समारोह एक्स = ए(टी-सिंट)इसका एक व्युत्क्रम फलन है, लेकिन इसे प्राथमिक फलन के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है, इसलिए फलन वाई = एफ(एक्स)प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है।

आइए हम समीकरणों (2.2) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के विभेदन पर विचार करें। परिवर्तन t के एक निश्चित अंतराल पर फ़ंक्शन x = φ(t) का एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन होता है टी = एफ(एक्स), तब y = g(Ф(x)). होने देना एक्स = φ(टी), वाई = जी(टी)व्युत्पन्न हैं, और x"t≠0. जटिल कार्यों के विभेदन के नियम के अनुसार y"x=y"t×t"x.व्युत्क्रम फलन को विभेदित करने के नियम के आधार पर, इसलिए:

परिणामी सूत्र (2.6) किसी को पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण 4. कार्य करने दें य, इस पर निर्भर करते हुए एक्स, पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट है:

समाधान. .
उदाहरण 5.ढलान ज्ञात करें केपैरामीटर के मान के अनुरूप बिंदु M 0 पर साइक्लोइड की स्पर्श रेखा।
समाधान।साइक्लोइड समीकरणों से: y" t = asint, x" t = a(1 – लागत),इसीलिए

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा ढलान एम 0के मान के बराबर टी 0 = π/4:

विभेदक कार्य

कार्य को बिंदु पर रहने दें एक्स 0एक व्युत्पन्न है. परिभाषा से:
इसलिए, सीमा के गुणों के अनुसार (धारा 1.8), जहां ए-अतिसूक्ष्म पर Δx → 0. यहाँ से

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 के रूप में, समानता में दूसरा पद (2.7) उच्चतर क्रम का एक अतिसूक्ष्म है, इसकी तुलना में , इसलिए Δy और f " (x 0)×Δx समतुल्य, अतिसूक्ष्म हैं (f "(x 0) ≠ 0 के लिए)।

इस प्रकार, फ़ंक्शन Δy की वृद्धि में दो पद शामिल हैं, जिनमें से पहला f "(x 0)×Δx है मुख्य भाग वृद्धि Δy, Δx के संबंध में रैखिक (f "(x 0)≠ 0 के लिए)।

अंतरबिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) को फ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य भाग कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है: डीवाईया डीएफ(x0). इस तरह,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

उदाहरण 1.किसी फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करें डीवाईऔर फ़ंक्शन y = x 2 के लिए फ़ंक्शन Δy की वृद्धि:
1) मनमाना एक्सऔर Δ एक्स; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1।

समाधान

1) Δy = (x + Δx) 2 - x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx।

2) यदि x 0 = 20, Δx = 0.1, तो Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; डाई = 40×0.1= 4.

आइए समानता (2.7) को इस रूप में लिखें:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

वेतन वृद्धि Δy अंतर से भिन्न है डीवाईΔx की तुलना में, उच्चतर क्रम के एक असीम रूप से, इसलिए, अनुमानित गणना में, अनुमानित समानता Δy ≈ dy का उपयोग किया जाता है यदि Δx काफी छोटा है।

यह मानते हुए कि Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), हमें एक अनुमानित सूत्र प्राप्त होता है:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

उदाहरण 2. लगभग गणना करें.

समाधान।विचार करना:

सूत्र (2.10) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

तो, ≈ 2.025।

आइए अंतर के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें डीएफ(x 0)(चित्र 2.6)।

आइए बिंदु M 0 (x0, f(x 0)) पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचें, मान लीजिए कि स्पर्शरेखा KM0 और ऑक्स अक्ष के बीच का कोण है, तो f"( x 0) = tanφ ΔM0NP से:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0)। लेकिन PN स्पर्शरेखा कोटि में वृद्धि है क्योंकि x, x 0 से x 0 + Δx में बदलता है।

नतीजतन, बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) का अंतर स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर है।

आइए फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करें
वाई = एक्स. चूँकि (x)" = 1, तो dx = 1×Δx = Δx। हम मानेंगे कि स्वतंत्र चर x का अंतर इसकी वृद्धि के बराबर है, यानी dx = Δx।

यदि x एक मनमाना संख्या है, तो समानता (2.8) से हमें df(x) = f "(x)dx प्राप्त होता है, जहाँ से .
इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन y = f(x) का व्युत्पन्न इसके अंतर और तर्क के अंतर के अनुपात के बराबर है।

आइए किसी फ़ंक्शन के अंतर के गुणों पर विचार करें।

यदि u(x), v(x) अवकलनीय फलन हैं, तो निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

इन सूत्रों को सिद्ध करने के लिए किसी फ़ंक्शन के योग, उत्पाद और भागफल के लिए व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है। आइए, उदाहरण के लिए, सूत्र (2.12) सिद्ध करें:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

आइए एक जटिल फ़ंक्शन के अंतर पर विचार करें: y = f(x), x = φ(t), यानी। y = f(φ(t)).

फिर dy = y" t dt, लेकिन y" t = y" x ×x" t, इसलिए dy = y" x x" t dt। मानते हुए,

वह x" t = dx, हमें dy = y" x dx =f "(x)dx मिलता है।

इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन y = f(x) का अंतर, जहां x =φ(t), का रूप dy = f "(x)dx होता है, उस स्थिति के समान जब x एक स्वतंत्र चर है। यह गुण कहा जाता है अंतर के रूप की अपरिवर्तनीयता एक।

आइए तनाव न लें, इस पैराग्राफ में सब कुछ काफी सरल है। आप पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के लिए सामान्य सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं तुरंत एक विशिष्ट उदाहरण लिखूंगा। पैरामीट्रिक रूप में, फ़ंक्शन दो समीकरणों द्वारा दिया गया है:। अक्सर समीकरण घुंघराले कोष्ठक के नीचे नहीं, बल्कि क्रमिक रूप से लिखे जाते हैं: , .

वेरिएबल को एक पैरामीटर कहा जाता है और यह "माइनस इनफिनिटी" से "प्लस इनफिनिटी" तक मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, मान पर विचार करें और इसे दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करें: . या मानवीय शब्दों में: "यदि x चार के बराबर है, तो y एक के बराबर है।" आप समन्वय तल पर एक बिंदु चिह्नित कर सकते हैं, और यह बिंदु पैरामीटर के मान के अनुरूप होगा। इसी तरह, आप पैरामीटर "ते" के किसी भी मान के लिए एक बिंदु पा सकते हैं। जहां तक ​​"नियमित" फ़ंक्शन का सवाल है, पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के अमेरिकी भारतीयों के लिए, सभी अधिकारों का भी सम्मान किया जाता है: आप एक ग्राफ़ बना सकते हैं, डेरिवेटिव ढूंढ सकते हैं, आदि। वैसे, यदि आपको पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है, तो पृष्ठ पर मेरा ज्यामितीय प्रोग्राम डाउनलोड करें गणितीय सूत्र और तालिकाएँ.

सरलतम मामलों में, फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना संभव है। आइए हम पहले समीकरण से पैरामीटर व्यक्त करें: - और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: . परिणाम एक साधारण घन फलन है.

अधिक "गंभीर" मामलों में, यह तरकीब काम नहीं करती। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने का एक सूत्र है:

हम "परिवर्तनीय टी के संबंध में खेल" का व्युत्पन्न पाते हैं:

सभी विभेदीकरण नियम और व्युत्पन्न की तालिका, स्वाभाविक रूप से, पत्र के लिए मान्य हैं, इस प्रकार, डेरिवेटिव खोजने की प्रक्रिया में कोई नवीनता नहीं है. बस मानसिक रूप से तालिका के सभी "X" को "Te" अक्षर से बदल दें।

हम चर te के संबंध में x का व्युत्पन्न पाते हैं:

अब जो कुछ बचा है वह हमारे सूत्र में पाए गए डेरिवेटिव को प्रतिस्थापित करना है:

तैयार। फ़ंक्शन की तरह ही व्युत्पन्न भी पैरामीटर पर निर्भर करता है।

जहां तक ​​संकेतन की बात है, इसे सूत्र में लिखने के बजाय, कोई इसे सबस्क्रिप्ट के बिना ही लिख सकता है, क्योंकि यह "एक्स के संबंध में" एक "नियमित" व्युत्पन्न है। लेकिन साहित्य में हमेशा एक विकल्प होता है, इसलिए मैं मानक से नहीं हटूंगा।

उदाहरण 6

हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

इस प्रकार:

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की एक विशेष विशेषता यह तथ्य है प्रत्येक चरण में परिणाम को यथासंभव सरल बनाना लाभदायक होता है. इसलिए, विचार किए गए उदाहरण में, जब मुझे यह मिला, तो मैंने मूल के नीचे कोष्ठक खोल दिए (हालाँकि मैंने ऐसा नहीं किया होगा)। इस बात की अच्छी संभावना है कि सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर कई चीजें अच्छी तरह से कम हो जाएंगी। हालाँकि, निश्चित रूप से, अनाड़ी उत्तरों वाले उदाहरण भी हैं।

उदाहरण 7

पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

लेख में डेरिवेटिव के साथ सबसे सरल विशिष्ट समस्याएं हमने ऐसे उदाहरण देखे जिनमें हमें किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता थी। पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के लिए, आप दूसरा व्युत्पन्न भी पा सकते हैं, और इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको पहले पहला व्युत्पन्न खोजना होगा।

उदाहरण 8

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न खोजें

सबसे पहले, आइए पहला व्युत्पन्न खोजें।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

पाए गए व्युत्पन्नों को सूत्र में प्रतिस्थापित करता है। सरलीकरण उद्देश्यों के लिए, हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं:

मैंने देखा कि पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की समस्या में, सरलीकरण के उद्देश्य के लिए अक्सर इसका उपयोग करना आवश्यक होता है त्रिकोणमितीय सूत्र . उन्हें याद रखें या उन्हें संभाल कर रखें, और प्रत्येक मध्यवर्ती परिणाम और उत्तर को सरल बनाने का अवसर न चूकें। किस लिए? अब हमें का व्युत्पन्न लेना होगा, और यह स्पष्ट रूप से का व्युत्पन्न खोजने से बेहतर है।

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं: .

आइए हमारे सूत्र पर नजर डालें। हर पिछले चरण में पहले ही पाया जा चुका है। यह अंश को खोजने के लिए बना हुआ है - चर "ते" के संबंध में पहले व्युत्पन्न का व्युत्पन्न:

यह सूत्र का उपयोग करना बाकी है:

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, मैं आपके लिए स्वयं हल करने के लिए कुछ और उदाहरण प्रस्तुत करता हूँ।

उदाहरण 9

उदाहरण 10

पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन के लिए खोजें

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

मुझे आशा है कि यह पाठ उपयोगी था, और अब आप आसानी से अंतर्निहित रूप से और पैरामीट्रिक कार्यों से निर्दिष्ट कार्यों के व्युत्पन्न पा सकते हैं

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 3: समाधान:






इस प्रकार:

अब तक, हमने एक समतल पर रेखाओं के समीकरणों पर विचार किया है जो इन रेखाओं के बिंदुओं के वर्तमान निर्देशांक को सीधे जोड़ते हैं। हालाँकि, किसी रेखा को परिभाषित करने की एक अन्य विधि का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसमें वर्तमान निर्देशांक को तीसरे चर के कार्यों के रूप में माना जाता है।

मान लीजिए कि एक वेरिएबल के दो फ़ंक्शन दिए गए हैं

टी के समान मूल्यों के लिए विचार किया गया। फिर t का इनमें से कोई भी मान एक निश्चित मान और y के एक निश्चित मान से मेल खाता है, और इसलिए एक निश्चित बिंदु से मेल खाता है। जब चर t फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र (73) से सभी मानों के माध्यम से चलता है, तो बिंदु समतल में एक निश्चित रेखा C का वर्णन करता है, जिसे इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है, और चर कहा जाता है एक पैरामीटर.

आइए मान लें कि फ़ंक्शन का एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन को समीकरणों (73) के दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है

y को एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त करना

आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि यह फ़ंक्शन समीकरणों (73) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है। इन समीकरणों से समीकरण (74) में संक्रमण को पैरामीटर उन्मूलन कहा जाता है। पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों पर विचार करते समय, पैरामीटर को बाहर करना न केवल आवश्यक नहीं है, बल्कि हमेशा व्यावहारिक रूप से संभव भी नहीं है।

कई मामलों में, पैरामीटर के विभिन्न मानों को देखते हुए, सूत्रों (73) का उपयोग करके तर्क और फ़ंक्शन y के संबंधित मानों की गणना करना अधिक सुविधाजनक होता है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. मान लीजिए कि एक वृत्त पर एक मनमाना बिंदु है जिसका केंद्र मूल बिंदु और त्रिज्या R है। इस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक x और y को इसके ध्रुवीय त्रिज्या और ध्रुवीय कोण के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, जिसे हम यहां t द्वारा निरूपित करते हैं, इस प्रकार ( अध्याय I, § 3, पैराग्राफ 3 देखें):

समीकरण (75) को वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है। उनमें पैरामीटर ध्रुवीय कोण है, जो 0 से भिन्न होता है।

यदि समीकरण (75) को पद दर पद वर्गित किया जाता है और जोड़ा जाता है, तो पहचान के आधार पर पैरामीटर समाप्त हो जाता है और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक वृत्त का समीकरण प्राप्त होता है, जो दो प्राथमिक कार्यों को परिभाषित करता है:

इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन को समीकरण (75) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किया गया है, लेकिन इन फ़ंक्शन के लिए पैरामीटर रेंज अलग-अलग हैं। उनमें से पहले के लिए; इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपरी अर्धवृत्त है। दूसरे फ़ंक्शन के लिए, इसका ग्राफ़ निचला अर्धवृत्त है।

उदाहरण 2. एक साथ एक दीर्घवृत्त पर विचार करें

और एक वृत्त जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या a है (चित्र 138)।

दीर्घवृत्त के प्रत्येक बिंदु M से हम वृत्त के एक बिंदु N को जोड़ते हैं, जिसका भुज बिंदु M के समान है और यह इसके साथ ऑक्स अक्ष के एक ही तरफ स्थित है। बिंदु N की स्थिति, और इसलिए बिंदु M, पूरी तरह से बिंदु के ध्रुवीय कोण t द्वारा निर्धारित होती है, इस मामले में, उनके सामान्य भुज के लिए हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है: x = a। हम दीर्घवृत्त के समीकरण से बिंदु M पर कोटि ज्ञात करते हैं:

चिह्न इसलिए चुना गया क्योंकि बिंदु M की कोटि और बिंदु N की कोटि पर समान चिह्न होने चाहिए।

इस प्रकार, दीर्घवृत्त के लिए निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होते हैं:

यहां पैरामीटर t 0 से भिन्न होता है।

उदाहरण 3. एक वृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र बिंदु a) और त्रिज्या a है, जो स्पष्ट रूप से मूल बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है (चित्र 139)। आइए मान लें कि यह वृत्त x-अक्ष के अनुदिश बिना फिसले घूमता है। फिर वृत्त का बिंदु M, जो प्रारंभिक क्षण में निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, एक रेखा का वर्णन करता है जिसे साइक्लोइड कहा जाता है।

आइए साइक्लोइड के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करें, वृत्त के घूर्णन के कोण एमएसवी को पैरामीटर के रूप में लेते हुए जब इसके निश्चित बिंदु को स्थिति ओ से स्थिति एम तक ले जाया जाता है। फिर बिंदु एम के निर्देशांक और वाई के लिए हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

इस तथ्य के कारण कि वृत्त अक्ष के अनुदिश बिना फिसले घूमता है, खंड OB की लंबाई चाप BM की लंबाई के बराबर है। चूँकि चाप BM की लंबाई त्रिज्या a और केंद्रीय कोण t के गुणनफल के बराबर है, तो। इसीलिए । लेकिन इसलिए,

ये समीकरण साइक्लोइड के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। जब पैरामीटर t 0 से वृत्त में बदलता है तो एक पूर्ण क्रांति हो जाएगी। बिंदु M चक्रवात के एक चाप का वर्णन करेगा।

यहां पैरामीटर टी को बाहर करने से बोझिल अभिव्यक्तियां होती हैं और यह व्यावहारिक रूप से अव्यावहारिक है।

रेखाओं की पैरामीट्रिक परिभाषा विशेष रूप से अक्सर यांत्रिकी में उपयोग की जाती है, और पैरामीटर की भूमिका समय द्वारा निभाई जाती है।

उदाहरण 4. आइए हम क्षैतिज से कोण a पर प्रारंभिक गति से बंदूक से दागे गए प्रक्षेप्य का प्रक्षेप पथ निर्धारित करें। हम इसे एक भौतिक बिंदु मानते हुए वायु प्रतिरोध और प्रक्षेप्य के आयामों की उपेक्षा करते हैं।

आइए एक समन्वय प्रणाली चुनें। आइए हम थूथन से प्रक्षेप्य के प्रस्थान बिंदु को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लें। आइए ऑक्स अक्ष को क्षैतिज रूप से और ओए अक्ष को लंबवत रूप से निर्देशित करें, उन्हें बंदूक के थूथन के साथ एक ही विमान में रखें। यदि गुरुत्वाकर्षण बल नहीं होता, तो प्रक्षेप्य एक सीधी रेखा में चलता, ऑक्स अक्ष के साथ एक कोण बनाता, और समय t के अनुसार यह दूरी तय करता। समय t पर प्रक्षेप्य के निर्देशांक क्रमशः बराबर होते को: । गुरुत्वाकर्षण के कारण, प्रक्षेप्य को इस क्षण तक लंबवत रूप से एक राशि से नीचे उतरना चाहिए, इसलिए, वास्तव में, समय टी पर, प्रक्षेप्य के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

इन समीकरणों में स्थिर मात्राएँ होती हैं। जब t बदलता है, तो प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र बिंदु पर निर्देशांक भी बदल जाएंगे। समीकरण प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र के पैरामीट्रिक समीकरण हैं, जिसमें पैरामीटर समय है

पहले समीकरण से व्यक्त करना और उसमें प्रतिस्थापित करना

दूसरे समीकरण में, हम प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र के समीकरण को इस रूप में प्राप्त करते हैं यह एक परवलय का समीकरण है।

फ़ंक्शन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह उस नियम पर निर्भर करता है जिसका उपयोग इसे निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का स्पष्ट रूप y = f (x) है। कई बार इसका वर्णन असंभव या असुविधाजनक होता है। यदि कई जोड़े (x; y) हैं जिन्हें अंतराल (ए; बी) पर पैरामीटर टी के लिए गणना करने की आवश्यकता है। सिस्टम को हल करने के लिए x = 3 cos t y = 3 syn t 0 ≤ t के साथ< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन की परिभाषा

यहां से हमारे पास यह है कि x = φ (t), y = ψ (t) को एक मान t ∈ (a; b) के लिए परिभाषित किया गया है और x = φ (t) के लिए एक व्युत्क्रम फलन t = Θ (x) है, तो हम फॉर्म y = ψ (Θ (x)) के एक फ़ंक्शन के पैरामीट्रिक समीकरण को निर्दिष्ट करने के बारे में बात कर रहे हैं।

ऐसे मामले होते हैं, जब किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए, x के संबंध में व्युत्पन्न की खोज करना आवश्यक होता है। आइए फॉर्म y x " = ψ " (t) φ " (t) के पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र पर विचार करें, आइए दूसरे और nवें क्रम के व्युत्पन्न के बारे में बात करें।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

हमारे पास वह x = φ (t), y = ψ (t), t ∈ a के लिए परिभाषित और अवकलनीय है; b, जहाँ x t " = φ " (t) ≠ 0 और x = φ (t), तो t = Θ (x) के रूप का एक व्युत्क्रम फलन होता है।

आरंभ करने के लिए, आपको एक पैरामीट्रिक कार्य से स्पष्ट कार्य की ओर बढ़ना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको फॉर्म y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) का एक जटिल फ़ंक्शन प्राप्त करने की आवश्यकता है, जहां एक तर्क x है।

किसी जटिल फलन का अवकलज ज्ञात करने के नियम के आधार पर, हम पाते हैं कि y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x ।

इससे पता चलता है कि t = Θ (x) और x = φ (t) व्युत्क्रम फलन सूत्र Θ " (x) = 1 φ " (t) से व्युत्क्रम फलन हैं, तो y " x = ψ " Θ (x) Θ " (एक्स) = ψ " (टी) φ " (टी) .

आइए विभेदीकरण नियम के अनुसार डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करके कई उदाहरणों को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन x = t 2 + 1 y = t के लिए व्युत्पन्न खोजें।

समाधान

शर्त के अनुसार हमारे पास यह है कि φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, यहां से हमें वह प्राप्त होता है φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. आपको व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना चाहिए और उत्तर को इस रूप में लिखना चाहिए:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

उत्तर: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

किसी फ़ंक्शन h के व्युत्पन्न के साथ काम करते समय, पैरामीटर t समान पैरामीटर t के माध्यम से तर्क x की अभिव्यक्ति को निर्दिष्ट करता है, ताकि व्युत्पन्न के मान और तर्क के साथ पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के बीच संबंध न खोएं। ये मूल्य किससे मेल खाते हैं।

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए, आपको परिणामी फ़ंक्शन पर पहले-क्रम के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है, फिर हमें वह मिलता है

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (टी) = ψ "" (टी) · φ " (टी) - ψ " (टी) · φ "" (टी) φ " (टी) 3 .

उदाहरण 2

दिए गए फ़ंक्शन x = cos (2 t) y = t 2 के दूसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न खोजें।

समाधान

शर्त के अनुसार, हम पाते हैं कि φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2।

फिर परिवर्तन के बाद

φ " (टी) = कॉस (2 टी) " = - पाप (2 टी) 2 टी " = - 2 पाप (2 टी) ψ (टी) = टी 2 " = 2 टी

यह इस प्रकार है कि y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 पाप 2 t = - t पाप (2 t) ।

हम पाते हैं कि प्रथम कोटि अवकलज का रूप x = cos (2 t) y x " = - t syn (2 t) है।

हल करने के लिए, आपको दूसरे क्रम का व्युत्पन्न सूत्र लागू करना होगा। हमें स्वरूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है

वाई एक्स "" = - टी पाप (2 टी) φ " टी = - टी " पाप (2 टी) - टी (पाप (2 टी)) " पाप 2 (2 टी) - 2 पाप (2 टी) = = 1 पाप (2 टी) - टी कॉस (2 टी) (2 टी) "2 पाप 3 (2 टी) = पाप (2 टी) - 2 टी क्योंकि (2 टी) 2 पाप 3 (2 टी)

फिर एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन का उपयोग करके दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को निर्दिष्ट करना

x = cos (2 t) y x "" = पाप (2 t) - 2 t क्योंकि (2 t) 2 पाप 3 (2 t)

एक समान समाधान किसी अन्य विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। तब

φ " t = (cos (2 t)) " = - पाप (2 t) 2 t " = - 2 पाप (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 पाप (2 t) " = - 2 पाप (2 टी) " = - 2 कॉस (2 टी) · (2 ​​टी) " = - 4 कॉस (2 टी) ψ " (टी) = (टी 2) " = 2 टी ⇒ ψ "" (टी) = ( 2 टी) " = 2

यहीं से हमें वह मिलता है

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 पाप (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 टी) - 2 पाप 2 टी 3 = = पाप (2 टी) - 2 टी कॉस (2 टी) 2 एस आई एन 3 (2 टी)

उत्तर:वाई "" एक्स = पाप (2 टी) - 2 टी क्योंकि (2 टी) 2 एस आई एन 3 (2 टी)

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कार्यों के साथ उच्च क्रम डेरिवेटिव समान तरीके से पाए जाते हैं।

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मान लीजिए कि फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक तरीके से निर्दिष्ट किया गया है:
(1)
कुछ वेरिएबल को पैरामीटर कहा जाता है। और फ़ंक्शंस में चर के एक निश्चित मान पर डेरिवेटिव होने दें।
(2)

इसके अलावा, फ़ंक्शन का बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन भी होता है।
;
.

फिर फ़ंक्शन (1) में बिंदु पर एक व्युत्पन्न होता है, जो पैरामीट्रिक रूप में, सूत्रों द्वारा निर्धारित होता है:

यहां फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और चर (पैरामीटर) के संबंध में हैं।

इन्हें अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है:
.
तब सिस्टम (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
.
सबूत
.

शर्त के अनुसार, फलन का व्युत्क्रम फलन होता है। आइए इसे इस रूप में निरूपित करें

तब मूल फ़ंक्शन को एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

आइए जटिल और व्युत्क्रम कार्यों को अलग करने के नियमों का उपयोग करके इसका व्युत्पन्न खोजें:
.
नियम सिद्ध हो चुका है.
.
दूसरे प्रकार से प्रमाण करें
.

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर दूसरे तरीके से व्युत्पन्न खोजें:
आइए हम संकेतन का परिचय दें:
; ;
; .
तब पिछला सूत्र रूप लेता है:
.
आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शन का व्युत्क्रम फ़ंक्शन होता है।
.

शर्त के अनुसार, फलन का व्युत्क्रम फलन होता है। आइए इसे इस रूप में निरूपित करें

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

भिन्न के अंश और हर को इससे विभाजित करें:
(1)

सूत्र (2) का उपयोग करके हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं, जिसे पैरामीट्रिक रूप से भी निर्धारित किया जाता है:
(2)

आइए हम पहले अवकलज को चर द्वारा निरूपित करें:
.
फिर, चर के संबंध में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको चर के संबंध में फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है।
(3)
एक चर पर एक चर की निर्भरता भी पैरामीट्रिक तरीके से निर्दिष्ट की जाती है:

(3) की तुलना सूत्र (1) और (2) से करने पर, हम पाते हैं:
.
आइए अब परिणाम को फ़ंक्शंस और के माध्यम से व्यक्त करें।
.

ऐसा करने के लिए, आइए व्युत्पन्न भिन्न सूत्र को प्रतिस्थापित करें और लागू करें:

तब
.

यहां से हम चर के संबंध में फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

इसे पैरामीट्रिक रूप में भी दिया गया है। ध्यान दें कि पहली पंक्ति इस प्रकार भी लिखी जा सकती है:
;
.

प्रक्रिया को जारी रखते हुए, आप तीसरे और उच्चतर क्रम के चर से फ़ंक्शन के डेरिवेटिव प्राप्त कर सकते हैं।

ध्यान दें कि हमें व्युत्पन्न के लिए कोई अंकन प्रस्तुत करने की आवश्यकता नहीं है।

आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

उदाहरण 1
पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
;
.
समाधान

.
हम के संबंध में व्युत्पन्न पाते हैं।

.
हम के संबंध में व्युत्पन्न पाते हैं।

डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.

हम आवेदन करते हैं:

यहाँ ।

आवश्यक व्युत्पन्न:

आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

उत्तर
.

उदाहरण 2

.

पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

.

आइए पावर फ़ंक्शंस और जड़ों के सूत्रों का उपयोग करके कोष्ठक का विस्तार करें:
.

हम आवेदन करते हैं:

व्युत्पन्न ढूँढना:

व्युत्पन्न ढूँढना.

आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

ऐसा करने के लिए, हम एक चर का परिचय देते हैं और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं।

हम वांछित व्युत्पन्न पाते हैं:

उदाहरण 3

उदाहरण 1 में पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के दूसरे और तीसरे क्रम के व्युत्पन्न खोजें:
.
उदाहरण 1 में हमने प्रथम क्रम व्युत्पन्न पाया:
.
आइए पदनाम का परिचय दें।
.

फिर फ़ंक्शन के संबंध में व्युत्पन्न है।

इसे पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किया गया है:

के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, हमें के संबंध में पहला व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है।
.
आइए अंतर करें।
.

हमने उदाहरण 1 में इसका व्युत्पन्न पाया:
.

निम्नलिखित के संबंध में दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पहले क्रम के व्युत्पन्न के बराबर है:

इसलिए, हमने पैरामीट्रिक रूप के संबंध में दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पाया:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

हम आवेदन करते हैं:

अब हम तीसरा क्रम व्युत्पन्न पाते हैं। आइए पदनाम का परिचय दें।

फिर हमें फ़ंक्शन का प्रथम-क्रम व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जो पैरामीट्रिक तरीके से निर्दिष्ट है: