आइए समस्या में विभाजन की अवधारणा पर विचार करें:
टोकरी में 12 सेब थे। छह बच्चों ने सेब छांटे। प्रत्येक बच्चे को समान संख्या में सेब मिले। प्रत्येक बच्चे के पास कितने सेब हैं?

समाधान:
हमें छह बच्चों में बांटने के लिए 12 सेब चाहिए। आइए समस्या 12:6 को गणितीय रूप से लिखें।
या आप इसे अलग तरह से कह सकते हैं. संख्या 12 प्राप्त करने के लिए संख्या 6 को किस संख्या से गुणा करना होगा? आइए समस्या को समीकरण के रूप में लिखें। हम सेबों की संख्या नहीं जानते हैं, तो आइए उन्हें वेरिएबल x के रूप में निरूपित करें।

अज्ञात x को खोजने के लिए हमें 12:6=2 की आवश्यकता है
उत्तर: प्रत्येक बच्चे के लिए 2 सेब।

आइए उदाहरण 12:6=2 पर करीब से नज़र डालें:

12 नंबर कहा जाता है भाज्य. यह वह संख्या है जिसका विभाजन किया जा रहा है.
संख्या 6 कहलाती है डिवाइडर. यह वह संख्या है जिससे विभाजित किया जाता है.
और संख्या को विभाजित करने का परिणाम 2 कहलाता है निजी. भागफल दर्शाता है कि लाभांश, भाजक से कितनी गुना अधिक है।

वस्तुतः, विभाजन इस प्रकार दिखता है:
ए:बी=सी
ए– विभाज्य,
बी-विभाजक,
सी- निजी।

तो विभाजन क्या है?

विभाजन- यह एक कारक की व्युत्क्रम क्रिया है, हम दूसरा कारक ढूंढ सकते हैं।

भाग की जाँच गुणन द्वारा की जाती है, अर्थात:
ए: बी= सी, साथ जांचें⋅बी= ए
18:9=2, 2⋅9=18 जांचें

अज्ञात गुणक.

आइए समस्या पर विचार करें:
प्रत्येक पैकेज में क्रिसमस गेंदों के 3 टुकड़े होते हैं। क्रिसमस ट्री को सजाने के लिए हमें 30 गेंदों की आवश्यकता होगी। हमें क्रिसमस गेंदों के कितने पैकेज चाहिए?

समाधान:
x - गेंदों के पैकेजों की अज्ञात संख्या।
गुब्बारे के एक पैकेज में 3 टुकड़े।
30 - कुल गेंदें।

x⋅3=30 हमें कुल 30 प्राप्त करने के लिए 3 को कई बार लेने की आवश्यकता है। x एक अज्ञात कारक है। वह है, अज्ञात को खोजने के लिए आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा।
x=30:3
एक्स=10.

उत्तर: गुब्बारों के 10 पैक।

अज्ञात लाभांश.

आइए समस्या पर विचार करें:
प्रत्येक पैकेज में 6 रंगीन पेंसिलें हैं। कुल 3 पैक हैं. पैकेजों में रखे जाने से पहले कुल कितनी पेंसिलें थीं?

समाधान:
x – कुल पेंसिलें,
प्रत्येक पैकेज में 6 पेंसिलें,
3 - पेंसिल के पैक.

आइए समस्या के समीकरण को विभाजन रूप में लिखें।
एक्स:6=3
x अज्ञात लाभांश है। अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।
x=3⋅6
एक्स=18

उत्तर: 18 पेंसिलें।

अज्ञात भाजक.

आइए समस्या पर नजर डालें:
दुकान में 15 गेंदें थीं। दिन के दौरान, 5 ग्राहक स्टोर पर आए। खरीददारों ने बराबर संख्या में गेंदें खरीदीं। प्रत्येक ग्राहक ने कितने गुब्बारे खरीदे?

समाधान:
x - एक खरीदार द्वारा खरीदी गई गेंदों की संख्या,
5 – खरीददारों की संख्या,
15 - गेंदों की संख्या.
आइए समस्या के समीकरण को विभाजन रूप में लिखें:
15:x=5
x - इस समीकरण में एक अज्ञात भाजक है। अज्ञात भाजक ज्ञात करने के लिए, हम लाभांश को भागफल से विभाजित करते हैं।
x=15:5
एक्स=3

उत्तर: प्रत्येक खरीदार के लिए 3 गेंदें।

किसी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने के गुण।

विभाजन नियम:
किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने पर वही संख्या प्राप्त होती है।

7:1=7
ए:1= ए

किसी प्राकृत संख्या को शून्य से विभाजित करने के गुण।

आइए एक उदाहरण देखें: 6:2=3, आप 2⋅3=6 को गुणा करके जांच सकते हैं कि हमने सही ढंग से विभाजित किया है या नहीं।
यदि हम 3:0 हैं, तो हम जाँच नहीं कर पाएंगे, क्योंकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य ही आएगा। इसलिए, 3:0 रिकॉर्ड करने का कोई मतलब नहीं है।
विभाजन नियम:
आप शून्य से भाग नहीं दे सकते.

शून्य को किसी प्राकृत संख्या से विभाजित करने के गुण।

0:3=0 यह प्रविष्टि समझ में आती है। यदि हम किसी भी चीज़ को तीन भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें कुछ भी नहीं मिलता है।
0: ए=0
विभाजन नियम:
0 को किसी भी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने पर जो शून्य के बराबर नहीं है, परिणाम हमेशा 0 होगा।

समान संख्याओं को विभाजित करने का गुण.

3:3=1
ए: ए=1
विभाजन नियम:
किसी भी संख्या को, जो शून्य के बराबर नहीं है, विभाजित करने पर परिणाम 1 होगा।

"डिवीजन" विषय पर प्रश्न:

प्रविष्टि a:b=c में, यहाँ भागफल क्या है?
उत्तर: ए:बी और सी।

निजी क्या है?
उत्तर: भागफल दर्शाता है कि लाभांश भाजक से कितनी गुना अधिक है।

m के किस मान पर प्रविष्टि 0⋅m=5 है?
उत्तर: जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो उत्तर हमेशा 0 होगा। प्रविष्टि का कोई मतलब नहीं है।

क्या ऐसा कोई n है कि 0⋅n=0?
उत्तर: हाँ, प्रविष्टि समझ में आती है। जब किसी संख्या को 0 से गुणा किया जाता है, तो वह 0 होगी, इसलिए n कोई संख्या है।

उदाहरण #1:
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
उत्तर: ए) 0:41=0 बी) 41:41=1 सी) 41:1=41

उदाहरण #2:
चर के किन मानों के लिए समानता सत्य है: a) x:6=8 b) 54:x=9

a) x - इस उदाहरण में विभाज्य है। लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।
एक्स - अज्ञात लाभांश,
6 - भाजक,
8 - भागफल.
x=8⋅6
एक्स=48

बी) 54 - लाभांश,
x एक भाजक है,
9 - भागफल.
अज्ञात भाजक खोजने के लिए, आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा।
x=54:9
एक्स=6

कार्य #1:
साशा के 15 अंक हैं और मिशा के 45 अंक हैं। मीशा के पास साशा से कितने गुना अधिक टिकटें हैं?
समाधान:
समस्या को दो तरीकों से हल किया जा सकता है। पहला तरीका:
15+15+15=45
45 प्राप्त करने के लिए 3 अंक 15 लगते हैं, इसलिए, मिशा के पास साशा से 3 गुना अधिक अंक हैं।
दूसरा तरीका:
45:15=3

उत्तर: मीशा के पास साशा से 3 गुना अधिक टिकटें हैं।

"बहु-अंकीय संख्याओं को एक-अंकीय संख्याओं में विभाजित करना" - लाभांश इस प्रकार पाया जाता है: बी) जिस संख्या से विभाजित किया जा रहा है उसे भाजक कहा जाता है; a) जो संख्या विभाजित होती है उसे भाजक कहा जाता है; ए) भागफल में एक भाजक जोड़ें; यदि अपूर्ण लाभांश का अंक भाजक से कम है, तो भागफल 0 है। क्रियाओं का एल्गोरिदम। कौन सा कथन सत्य है? ग) विभाजन से प्राप्त संख्या भाजक कहलाती है।

"घटाने योग्य घटाव योग्य अंतर" - परीक्षण अभी शुरू हो रहे हैं... असाइनमेंट: उन्हें आरोही क्रम में रखें। + = अंतर - =. जोड़। आइए चालाक लोमड़ी से इवान त्सारेविच को संदूक ढूंढने में मदद करने के लिए कहें। कौन तैयार है संदूक खोलने को? Minuend. अंतर। इवान का सच्चा दोस्त कौन बना? जोड़ जोड़ योग अंतर मिनट घटाव। पहली कक्षा के गणित पाठ के लिए प्रस्तुति।

"विभाजन की समस्याएँ" - एक समस्या बनाएँ और उसका समाधान करें। पहेलियाँ समझें: 10: 5 = 2 (z.)। इसमें कौन से आंकड़े शामिल हैं? 9:3 = 3 (टी.). ट्रिब्यून. बंदूक. अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्नों को व्यवस्थित करें: 12:4 = 3 (डब्ल्यू)। सात सौ. विभाग क्रिया का विशिष्ट अर्थ | समस्या का समाधान करो। खाली सेल भरें. कुछ मछलियाँ पकड़ो. दोबारा। गणित वर्ग मोरो एम.आई.

"घनों का योग और अंतर" - वर्ग बनाना। (2x – 1)2 (9 – एन)2 (-3ए + 5)2. कारक: घन के रूप में प्रस्तुत करें: 8x3 64c6 b12। घन के रूप में प्रस्तुत करें: 125у3 x3 а9b6 8n6y15. घनों के योग और अंतर का गुणनखंडन।

"संख्याओं का गुणन और भाग" - 3. वह संख्या बताएं जो 709 को 61 गुना बढ़ाने पर प्राप्त होगी। गणित में परीक्षण की तैयारी. 1. उत्पाद का मूल्य इंगित करें यदि पहला कारक 6248 है, और दूसरा 9 है। 6. वह संख्या इंगित करें जिसे "विंडो" में डाला जाना चाहिए ताकि समानता: 24 = 2003 सत्य हो जाए। 9. एक सही ढंग से हल किया गया उदाहरण प्रदान करें। 5. संख्या 4379 और 8 के गुणनफल का मान बताइए।

"दो अंकों की संख्या से विभाजन" - अगर हमें कुंजी मिल जाए तो हम तुरंत एक परी कथा में पहुंच जाएंगे। ज्यामितीय सामग्री. जो सीखा गया है उसका समेकन। विभाजन। शारीरिक शिक्षा मिनट. दो अंकों की संख्याओं द्वारा लिखित विभाजन करने की क्षमता विकसित करने पर काम करना जारी रखें। समस्या को सुलझाना। लक्ष्य। 24x5. 149376:64. 38232:72. हुर्रे. दोहरे अंक तक. 36x4. ललाट कार्य.

01/20/2016. विषय: किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करना.

लक्ष्य: विभाजन की एक नई संपत्ति का परिचय दें।

कार्य

विषय:

गुणा और भाग के गुणों की समीक्षा करें और उन्हें समेकित करें

कंप्यूटिंग कौशल में सुधार;

समस्याओं, उदाहरणों, समीकरणों को हल करने, अभिव्यक्ति पढ़ने की क्षमता को मजबूत करें

सिस्टम-गतिविधि

गुणा और भाग के गुणों को लागू करने में सक्षम हो।

निजी :

मातृभूमि के प्रति प्रेम, देशभक्ति और संज्ञानात्मक गतिविधि को विकसित करना।

पाठ का प्रकार: नया ज्ञान सीखना

संसाधन सामग्री: पाठ्यपुस्तक गणित तीसरी कक्षा अल्माटिकі 2014 टैप करें ,उदाहरण, कार्य, नियम, प्रस्तुति, इमोटिकॉन्स, स्टिकर वाले कार्ड।.

पाठ की प्रगति:

1 . संगठन. पल

आइए आंखों से नमस्ते कहें,

आइए अपने हाथों से नमस्ते कहें,

चलो अपने मुँह से नमस्ते कहें,

चारों ओर खुशी होगी.

हम अपना पाठ शुरू करते हैं,

मैत्रीपूर्ण, हम तुरंत प्रतिक्रिया देते हैं

और हम आपके मार्ग पर चलने की कामना करते हैं

सभी बाधाओं को पार करें

2. मौखिक गिनती

आज हमारे पास कोई साधारण पाठ नहीं, बल्कि एक यात्रा पाठ है। हम कजाकिस्तान के एक शहर की यात्रा पर जाएंगे। और जब आप भावों का अर्थ खोज लेंगे तो आपको पता चल जाएगा कि यह किस प्रकार का शहर है।

6*3*2=36 15:3*2=10 20*2:8=5

90:3=30 4(5-2)=12 12*2:3=8

प्रत्येक संख्या एक अक्षर से मेल खाती है, उन्हें सही क्रम में रखें और आप उस शहर का नाम पढ़ेंगे जहां हम भ्रमण पर जा रहे हैं

तो हम अपनी मातृभूमि की राजधानी अस्ताना जा रहे हैं।

बैतेरेक हमारे राज्य का प्रतीक है। यह टॉवर 500 स्तंभों पर स्थापित है, शीर्ष पर एक गेंद है - पृथ्वी के गोले का एक मॉडल जिसका वजन 300 टन है। दुनिया के किसी भी देश में यह इमारत नहीं है।

बैतेरेक की ऊंचाई 150 मीटर है। 97 मीटर की ऊंचाई पर एक अवलोकन डेक है जो आपको शहर को विहंगम दृष्टि से देखने की अनुमति देता है। 97 नंबर को संयोग से नहीं चुना गया था। यह उस वर्ष का प्रतीक है जब अस्ताना को राजधानी का दर्जा दिया गया था।

आज हमारे पास कोई साधारण मौखिक गणना नहीं है, इसमें प्रत्येक संख्या अस्ताना शहर के एक दिलचस्प तथ्य के बारे में बताएगी।

3 और 5 के गुणनफल में 4=19 जोड़ें।

19 साल का इस वर्ष कजाकिस्तान गणराज्य की राजधानी अस्ताना में मनाया जाता है। इतने कम समय में अस्ताना पूरी दुनिया में पहचान बनाने में कामयाब हो गया है।

2. 50 में 3 गुना वृद्धि==150

खान शतीर शॉपिंग और मनोरंजन केंद्र भी गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में प्रवेश करने में कामयाब रहा - यह दुनिया की सबसे बड़ी तम्बू के आकार की इमारत है। शिखर सहित इस वास्तुशिल्प चमत्कार की ऊंचाई 150 मीटर है

3. 8 और 2 का भागफल ज्ञात कीजिए। 100 गुना वृद्धि == 400

अस्ताना के 3,400 छात्रों ने नृत्य "कारा ज़ोरगा" के सबसे विशाल प्रदर्शन में भाग लिया, जिसे गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में शामिल किया गया था।

4. 60 को 2 गुना बढ़ाएँ == 120

. काले चिनार के 120 वर्ष। यहअस्ताना का सबसे पुराना पेड़। चिनार राजधानी के पार्क में "रहता है"।

5. 25 और 5 के भागफल को 9 से गुणा करें।

अस्ताना में 45 ऐतिहासिक और सांस्कृतिक स्मारक स्थित हैं।

3. नोटबुक में नंबर, क्लास वर्क लिखना

4. कलमकारी का एक मिनट (स्लाइड 10)

आइए याद रखें कि संख्याओं को सही तरीके से कैसे लिखा जाए।

5. पाठ के विषय पर काम करें

कज़ाख भाषा में अस्ताना का अर्थ "राजधानी" होता है। दुनिया में एक और शहर है जिसका ऐसा अनुवाद है - सियोल। कोरियाई से "आत्मा" का अनुवाद "पूंजी" के रूप में किया जाता है

अस्ताना एक बेहद खूबसूरत शहर है.

चील की उड़ान की ऊंचाई से

मेरा देश साफ़ दिखता है.

यह स्टेपी विस्तार पर चमक गया

कीमती पत्थर अस्ताना

स्लाइड 11

अभिव्यक्तियों का अर्थ खोजें और आप हमारी राजधानी के बारे में एक और दिलचस्प तथ्य सीखेंगे।

27:(24-15)*10=30

56:7+4*3+ 6*5=42

9*9-7*9=18

12:4+7= 10

इस कार्य को सभी उदाहरणों को हल करके 5 से, 4-3 भावों से और 3 से अंतिम 2 भावों को हल करके पूरा किया जा सकता है।

हमने भावों को कैसे हल किया?

आपको कार्यों द्वारा निर्णय लेने की आवश्यकता क्यों है (उत्तर गलत होगा)

क्या कार्यों के आधार पर निर्णय लेना हमेशा सुविधाजनक होता है?

आप अलग-अलग तरीके से कैसे हल कर सकते हैं? (गुणन के गुणों का उपयोग करके)

स्लाइड12

2. गुणन के गुणों की पुनरावृत्ति।

अस्ताना में एक अद्भुत इमारत है जहां हमारी सरकार काम करती है।

हमारे राज्य का मुखिया कौन है? (अध्यक्ष)

राष्ट्रपति का नाम क्या है? (एन. ए. नज़रबायेव)

स्लाइड 13

सभी निर्णय राष्ट्रपति निवास "ए" में किए जाते हैंқ - भीड़»

यह देखने के लिए कि यह इमारत कैसी दिखती है, निम्नलिखित कार्य पूरा करें।

अब मैं आपको गुणा और भाग के उन सभी गुणों को याद करने के लिए आमंत्रित करता हूं जो हमने पाठ में सीखे थे (कार्ड बांटें)।

कार्डों पर गुणन या भाग के सूत्रों को उसके नाम से मिलाएँ।

а *в=в*а साहचर्य

बोर्ड पर जांच हो रही है.

हमें गुणन के गुणों को जानने की आवश्यकता क्यों है?

(फिसलना)

दोस्तों, देखो, उसके पास अभी भी एक अतिरिक्त कार्ड(ए*सी):सी है

सोचो यह कैसा फार्मूला है?

क्या कोई पाठ का विषय बता सकता है?

इस पाठ के लिए हम अपने लिए क्या लक्ष्य निर्धारित करेंगे?

प्रतियोगिता के लिए हमने पेन के 5 सेट खरीदे, प्रत्येक में 3। इन सेटों को 3 टीमों में विभाजित किया गया था। प्रत्येक टीम ने कितने पेन सींचे?

1 रास्ता स्लाइड16
(3*5):3= 15:3=5
विधि 2
(3*5):3=(3:3)*5=5

स्लाइड17

किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करना: (ए · बी) : सी = (ए: सी) · बी = ए · (बी: सी)।

इस नियम को एक कागज के टुकड़े पर पढ़ें और घर पर इसे याद कर लें।

खैर, अब देखते हैं कि क्या हम समझते हैं कि विभाजन के इस गुण को कैसे लागू किया जाए। यदि हम सब कुछ सही ढंग से करते हैं, तो मैं आपको अस्ताना का एक और दिलचस्प आकर्षण दिखाऊंगा।

समझ की प्रारंभिक जांच

.(8*6):2=(8:")*6=24

(6*6):3=(6:3)*6=12

(9*8):2=(8:2)*9=36

विभाजन के उस गुण का क्या नाम है जिसके बारे में हमने कक्षा में सीखा (किसी गुणनफल को किसी संख्या से विभाजित करना)

हमें इस संपत्ति को जानने की आवश्यकता क्यों है?

क्या हम हमेशा 2 तरीकों का उपयोग कर सकते हैं? क्यों? (संख्याएँ विभाज्य नहीं हैं)

हम किस राज्य में रहते हैं?(स्वतंत्र, स्वतंत्र, शांतिपूर्ण, समृद्ध)

अस्ताना में एक इमारत है जो कजाकिस्तान की भूमि पर सभी लोगों की दोस्ती, शांति की एकता का प्रतीक है।

इमारत का आकार पिरामिड जैसा है

देखना।

इस इमारत को शांति और सुलह का महल कहा जाता है, इसकी ऊंचाई 62 मीटर है, इसे 2006 में बनाया गया था

फ़िज़मिनुत्का

यह अच्छा है कि सूरज चमक रहा है! अच्छा!

यह अच्छा है कि हवा चल रही है! अच्छा!

नृत्य करना अच्छा है! अच्छा!

क्या कज़ाख होना अच्छा है? अच्छा!

4. समस्या का समाधान

खेल किसे पसंद है? आपको खेल खेलने की आवश्यकता क्यों है?(स्वस्थ और मजबूत रहने के लिए)

अस्ताना में एक बड़ा इनडोर स्टेडियम "अस्ताना एरिना" बनाया गया था। वहां "पहुंचने" के लिए हमें एक समस्या का समाधान करना होगा।

एथलेटिक्स प्रतियोगिताओं के लिए 30 लड़कियाँ और 40 लड़के अस्ताना गए। प्रत्येक गाड़ी में 10 लोग सवार हुए। बच्चों ने कितनी गाड़ियाँ लीं?

समस्या के बारे में क्या पता है?

आपको क्या खोजने की आवश्यकता है?

हम एक संक्षिप्त रिकॉर्ड कैसे लिखेंगे (तालिका में)

हम कौन सी तालिका बनाएंगे? (3.5 सेल)

हमें कॉलम 1, 2, 3 में क्या लिखना चाहिए? (1 कार में, मात्रा, कुल)

हम समस्या का समाधान कैसे करेंगे?

पहली क्रिया के रूप में हम क्या पाएंगे?

हमें क्रिया 2 से क्या मिलता है?

समस्या को अभिव्यक्ति के रूप में लिखें।

इस अभिव्यक्ति को हल करने के लिए किस गुण का उपयोग किया जा सकता है (योग को संख्या से विभाजित करना)

1) 30+40=70 (व्यक्ति) - कुल

2) 70:10=7(सी) - बच्चों ने लिया

(30+40):10=7

शाबाश, देखो यह स्टेडियम कैसा दिखता है। स्टेडियम की छत खुलती है. प्रतियोगिताओं के अलावा, प्रसिद्ध कलाकार यहां संगीत कार्यक्रम आयोजित करते हैं।

5. समीकरण हल करना. बोर्ड में काम करें.

अस्ताना में एक ऐसी इमारत भी है जिसका आकार असामान्य है। वहां आइस हॉकी और फिगर स्केटिंग प्रतियोगिताएं आयोजित की जाती हैं।

पाठ्यपुस्तक में 36 क्रमांक 6,(,3) वाले समीकरणों को हल करें

एक्स=368, एक्स=205

शाबाश, इमारत ऐसी दिखती है।

पाठ सारांश

हम किस विषय पर मिले?

विभाजन का नियम किसे याद है?

हमें गुणा और भाग के नियम जानने की आवश्यकता क्यों है?

प्रतिबिंब

क्या आपने यात्रा का आनंद लिया?

पाठ के प्रति अपना दृष्टिकोण दिखाएं (इमोटिकॉन के साथ स्टिकर संलग्न करें)

-आपने कौन सी नई और दिलचस्प बातें सीखीं? –

आप हमारे गणतंत्र के किस शहर के बारे में अधिक जानना चाहेंगे?

सीअवसरवादी

विनिमेय

विभाजित करनेवाला

विभाजन

प्रति संख्या योग

ए *बी=बी*ए

(ए*सी)*सी=(ए*सी)*सी

(ए+बी):सी=ए:सी+बी:सी

(ए+बी)*सी=ए*सी+बी*

(ए*सी):सी=

विभाजन

संख्या के अनुसार उत्पाद

. विभाजन

संख्या के अनुसार उत्पाद

( ए · बी ) : सी = ( ए : सी ) · बी

(ए · बी) : सी = ए · (बी: सी)।

а *в=в*а साहचर्य

(a*c)*c=(a*c)*c क्रमविनिमेय

(ए+बी):सी=ए:सी+बी:सी वितरण

(a+b)*c=a*c+b*c योग को एक संख्या से विभाजित करना

а *в=в*а साहचर्य

(a*c)*c=(a*c)*c क्रमविनिमेय

(ए+बी):सी=ए:सी+बी:सी वितरण

(a+b)*c=a*c+b*c योग को एक संख्या से विभाजित करना

а *в=в*а साहचर्य

(a*c)*c=(a*c)*c क्रमविनिमेय

(ए+बी):सी=ए:सी+बी:सी वितरण

(a+b)*c=a*c+b*c योग को एक संख्या से विभाजित करना

а *в=в*а साहचर्य

(a*c)*c=(a*c)*c क्रमविनिमेय

(ए+बी):सी=ए:सी+बी:सी वितरण

(a+b)*c=a*c+b*c योग को एक संख्या से विभाजित करना

किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करना .

दो कारकों के उत्पाद को एक संख्या से विभाजित करने के लिए, आप किसी भी कारक को उस संख्या से विभाजित कर सकते हैं (यदि विभाजन संभव है) और भागफल को दूसरे कारक से गुणा कर सकते हैं।

आइए हम एक उदाहरण दें जो दो प्राकृतिक संख्याओं के योग को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के गुण की वैधता की पुष्टि करता है। आइए हम दिखाते हैं कि समानता (18+36):6=18:6+36:6 सही है। सबसे पहले, आइए समानता के बाईं ओर से अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। चूँकि 18+36=54, तो (18+36):6=54:6. गुणन तालिका से हमें 54:6=9 मिलता है (गुणन तालिका का उपयोग करके विभाजन के सिद्धांत पर अनुभाग देखें)। आइए अभिव्यक्ति 18:6+36:6 के मान की गणना करने के लिए आगे बढ़ें। गुणन तालिका से हमारे पास 18:6=3 और 36:6=6 है, इसलिए 18:6+36:6=3+6=9। इसलिए, समानता (18+36):6=18:6+36:6 सही है।

आपको इस तथ्य पर भी ध्यान देना चाहिए कि यह गुण, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने का साहचर्य गुण, आपको तीन या अधिक प्राकृतिक संख्याओं के योग को किसी दिए गए प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, भागफल (14+8+4+2):2 निम्नलिखित भागफल 14:2+8:2+4:2+2:2 के योग के बराबर है।

दो प्राकृतिक संख्याओं के अंतर को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण।

पिछली संपत्ति के समान, दो प्राकृतिक संख्याओं के अंतर को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण तैयार किया गया है: दो संख्याओं के अंतर को किसी दी गई संख्या से विभाजित करना, मीनूएंड के भागफल और दी गई संख्या से घटाने के समान है उपशीर्षक का भागफल और दी गई संख्या।

अक्षरों का प्रयोग करके विभाजन के इस गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (ए-बी):सी=ए:सी-बी:सी, जहां ए, बी और सी प्राकृतिक संख्याएं हैं जैसे कि ए बी से बड़ा या बराबर है, और ए और बी दोनों को सी से विभाजित किया जा सकता है।

विचाराधीन विभाजन की संपत्ति की पुष्टि करने वाले एक उदाहरण के रूप में, हम समानता (45-25):5=45:5-25:5 की वैधता दिखाएंगे। चूँकि 45-25=20 (यदि आवश्यक हो, प्राकृतिक संख्याओं को घटाने पर लेख का अध्ययन करें), तो (45-25):5=20:5। गुणन तालिका का उपयोग करके, हम पाते हैं कि परिणामी भागफल 4 के बराबर है। अब आइए अभिव्यक्ति 45:5-25:5 के मान की गणना करें, जो समानता के दाईं ओर है। गुणन तालिका से हमारे पास 45:5=9 और 25:5=5 है, फिर 45:5-25:5=9-5=4 है। इसलिए, समानता (45-25):5=45:5-25:5 सत्य है।

दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण।

यदि आप देखें भाग और गुणन के बीच संबंध, तो दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को किसी एक गुणनखंड के बराबर दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण भी दिखाई देगा। इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का परिणाम, जो कि एक कारक के बराबर है, दूसरे कारक के बराबर होता है। यहाँ इस विभाजन संपत्ति का शाब्दिक रूप है: (ए·बी):ए=बीया (ए·बी):बी=ए, जहां ए और बी कुछ प्राकृतिक संख्याएं हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम संख्या 2 और 8 के गुणनफल को 2 से विभाजित करते हैं, तो हमें 8 मिलता है, और (3·7):7=3.

अब हम मान लेंगे कि भाजक लाभांश बनाने वाले किसी भी कारक के बराबर नहीं है। आइए हम इन मामलों के लिए दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण तैयार करें। इस मामले में, हम मान लेंगे कि कम से कम एक कारक को किसी दिए गए प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना, किसी एक गुणनखंड को इस संख्या से विभाजित करने और परिणाम को किसी अन्य गुणनखंड से गुणा करने के समान है।

स्पष्ट रूप से कहें तो बताई गई संपत्ति स्पष्ट नहीं है। लेकिन अगर हम याद रखें कि प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करना अनिवार्य रूप से समान पदों की एक निश्चित संख्या का योग है (इसके बारे में प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के अर्थ के सिद्धांत अनुभाग में लिखा गया है), तो प्रश्न में संपत्ति का पालन होता है।

आइए इस गुण को अक्षरों का उपयोग करके लिखें। मान लीजिए कि a, b और c प्राकृतिक संख्याएँ हैं। फिर, यदि a को c से विभाजित किया जा सकता है, तो समानता सत्य है (ए·बी):सी=(ए:सी)·बी; यदि b को c से विभाजित किया जा सकता है, तो समानता सत्य है (ए·बी):सी=ए·(बी:सी); और यदि ए और बी दोनों को सी से विभाजित किया जा सकता है, तो दोनों समानताएं एक साथ होती हैं, अर्थात, (ए·बी):सी=(ए:सी)·बी=ए·(बी:सी) .

उदाहरण के लिए, दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के विचारित गुण के कारण, समानताएँ (8 6): 2 = (8:2) 6 और (8 6): 2 = 8 (6:2) ) मान्य हैं, जिन्हें (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) रूप की दोहरी समानता के रूप में लिखा जा सकता है।

किसी प्राकृत संख्या को दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल से विभाजित करने का गुण।

आइए निम्नलिखित स्थिति पर नजर डालें। मान लीजिए कि हमें प्रत्येक टीम में बी टीमों के प्रतिभागियों, सी लोगों के बीच पुरस्कारों को समान रूप से विभाजित करने की आवश्यकता है (हम मान लेंगे कि प्राकृतिक संख्याएं ए, बी और सी ऐसी हैं कि निर्दिष्ट विभाजन किया जा सकता है)। यह कैसे किया जा सकता है? आइए दो मामलों पर विचार करें।

• सबसे पहले, आप प्रतिभागियों की कुल संख्या का पता लगा सकते हैं (ऐसा करने के लिए आपको उत्पाद b·c की गणना करने की आवश्यकता है), और फिर सभी पुरस्कारों को सभी b·c प्रतिभागियों से विभाजित करें। गणितीय रूप से, यह प्रक्रिया a:(b·c) से मेल खाती है।
• दूसरे, पुरस्कारों को बी टीमों में विभाजित किया जा सकता है, जिसके बाद प्रत्येक टीम में पुरस्कारों की परिणामी संख्या (यह भागफल ए:बी के बराबर होगी) को सी प्रतिभागियों में विभाजित किया जाता है। गणितीय रूप से, इस प्रक्रिया को अभिव्यक्ति (ए:बी):सी द्वारा वर्णित किया गया है।

यह स्पष्ट है कि प्रथम और द्वितीय श्रेणी दोनों विकल्पों में, प्रत्येक प्रतिभागी को समान संख्या में पुरस्कार प्राप्त होंगे। अर्थात् स्वरूप की समानता सत्य होगी a:(b·c)=(a:b):c, जो एक प्राकृतिक संख्या को दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल से विभाजित करने की संपत्ति का शाब्दिक प्रतिनिधित्व है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के क्रमविनिमेय गुण के कारण, परिणामी समानता को इस रूप में लिखा जा सकता है a:(b·c)=(a:c):b .

जो कुछ बचा है वह विचाराधीन विभाजन की संपत्ति तैयार करना है: किसी प्राकृतिक संख्या को किसी उत्पाद से विभाजित करना इस संख्या को किसी एक कारक से विभाजित करने के समान है, जिसके बाद परिणामी भागफल को किसी अन्य कारक से विभाजित किया जाता है।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए हम समानता 18:(2·3)=(18:2):3 की वैधता दिखाएं, जो एक प्राकृतिक संख्या को दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल से विभाजित करने की संपत्ति की पुष्टि करेगा। चूँकि 2·3=6, तो भागफल 18:(2·3) 18:6=3 के बराबर है। आइए अब व्यंजक (18:2):3 का मान परिकलित करें। गुणन सारणी से हमें पता चलता है कि 18:2=9, और 9:3=3, फिर (18:2):3=3। इसलिए, 18:(2·3)=(18:2):3.

शून्य को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण।

हमने इस परंपरा को स्वीकार कर लिया है कि संख्या शून्य (याद रखें कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है) का अर्थ है किसी चीज़ का अभाव। इस प्रकार, शून्य को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना "कुछ नहीं" को कई भागों में विभाजित करना है। जाहिर है, प्रत्येक परिणामी भाग में "कुछ भी नहीं" यानी शून्य भी होगा। इसलिए, 0:ए=0, जहां a कोई प्राकृत संख्या है।

परिणामी अभिव्यक्ति शून्य को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की संपत्ति का शाब्दिक प्रतिनिधित्व है, जिसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: शून्य को एक मनमाना प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने पर परिणाम शून्य होता है.

उदाहरण के लिए, 0:105=0, और शून्य का भागफल 300,553 से विभाजित करने पर भी शून्य होता है।

किसी प्राकृत संख्या को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता।

किसी प्राकृत संख्या को शून्य से विभाजित क्यों नहीं किया जा सकता? आइए इसका पता लगाएं।

मान लीजिए कि कुछ प्राकृतिक संख्या a को शून्य से विभाजित किया जा सकता है, और विभाजन का परिणाम एक अन्य प्राकृतिक संख्या b है, अर्थात समानता a:0=b सत्य है। यदि हम विभाजन और गुणन के बीच संबंध को याद रखें, तो लिखित समानता a:0=b का अर्थ समानता b·0=a की वैधता है। हालाँकि, एक प्राकृतिक संख्या और शून्य को गुणा करने का गुण बताता है कि b·0=0. अंतिम दो समानताओं की तुलना इंगित करती है कि a=0, जो नहीं हो सकता, क्योंकि हमने कहा था कि a कुछ प्राकृतिक संख्या है। इस प्रकार, किसी प्राकृतिक संख्या को शून्य से विभाजित करने की संभावना के बारे में हमारी धारणा विरोधाभास की ओर ले जाती है।

इसलिए, किसी प्राकृत संख्या को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता.

सन्दर्भ.

• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की पहली, दूसरी, तीसरी, चौथी कक्षा के लिए कोई भी पाठ्यपुस्तकें।
• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की 5वीं कक्षा के लिए कोई भी पाठ्यपुस्तक।

1. दो समान प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने का गुण:

यदि किसी प्राकृत संख्या को उसकी समान संख्या से विभाजित किया जाए तो परिणाम एक होता है।

अभी कुछ उदाहरण देना बाकी है. प्राकृत संख्या 405 को उसकी समान संख्या 405 से विभाजित करने पर भागफल 1 होता है; 73 को 73 से भाग देने पर परिणाम भी 1 ही आता है।

2. किसी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने का गुण:

किसी दी गई प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने पर जो परिणाम प्राप्त होता है वह प्राकृत संख्या होती है।

आइए विभाजन के सूत्रित गुण को शाब्दिक रूप में लिखें: ए: ​​1 = ए।

चलिए उदाहरण देते हैं. प्राकृत संख्या 23 को 1 से विभाजित करने पर भागफल संख्या 23 है, और प्राकृत संख्या 10,388 को एक से विभाजित करने पर प्राप्त परिणाम संख्या 10,388 है।

3. प्राकृत संख्याओं के विभाजन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता।

यदि लाभांश और भाजक समान प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो इस लेख के पहले पैराग्राफ में चर्चा की गई समान प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने की संपत्ति के कारण, हम उनकी अदला-बदली कर सकते हैं। इस स्थिति में, विभाजन का परिणाम वही प्राकृत संख्या 1 होगा।

दूसरे शब्दों में, यदि लाभांश और भाजक समान प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो इस स्थिति में विभाजन में क्रमविनिमेय गुण होता है। 5:5 = 1 और 5:5 = 1

अन्य मामलों में, जब लाभांश और भाजक समान प्राकृतिक संख्या नहीं होते हैं, तो विभाजन की क्रमविनिमेय संपत्ति लागू नहीं होती है।

इसलिए, सामान्य तौर पर, प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है.

अक्षरों का प्रयोग करते हुए अंतिम कथन को इस प्रकार लिखा जाता है ए: बी ≠ बी: ए, जहां ए और बी कुछ प्राकृतिक संख्याएं हैं, और ए ≠ बी.

4. दो प्राकृतिक संख्याओं के योग को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण:

दो प्राकृत संख्याओं के योग को किसी दी गई प्राकृत संख्या से विभाजित करना, प्रत्येक पद को दी गई प्राकृत संख्या से विभाजित करने के भागफल को जोड़ने के समान है।

आइए विभाजन के इस गुण को अक्षरों का उपयोग करके लिखें। मान लीजिए a, b और c प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि a को c से विभाजित किया जा सकता है और b को c से विभाजित किया जा सकता है (ए + बी) : सी = ए: सी + बी: सी।लिखित समानता के दाईं ओर, पहले विभाजन किया जाता है, उसके बाद जोड़ दिया जाता है।

आइए हम एक उदाहरण दें जो दो प्राकृतिक संख्याओं के योग को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के गुण की वैधता की पुष्टि करता है। आइए हम दिखाते हैं कि समानता (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 सही है। सबसे पहले, आइए समानता के बाईं ओर से अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। चूँकि 18 + 36 = 54, तो (18 + 36) : 6 = 54: 6। प्राकृतिक संख्याओं की गुणन तालिका से हमें 54: 6 = 9 मिलता है। हम अभिव्यक्ति 18:6+36 के मान की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं: 6. गुणन तालिका से हमारे पास 18: 6 = 3 और 36: 6 = 6 है, इसलिए 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9. इसलिए, समानता (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36 : 6 सही है.

5. दो प्राकृतिक संख्याओं के अंतर को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण:

दो संख्याओं के अंतर को किसी दी गई संख्या से विभाजित करना, मीनूएंड के भागफल और दी गई संख्या से उपअंक के भागफल और दी गई संख्या को घटाने के समान है।

अक्षरों का प्रयोग करके विभाजन के इस गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (ए - बी) : सी = ए: सी - बी: सी, जहां ए, बी और सी प्राकृतिक संख्याएं हैं जैसे कि ए बी से बड़ा या बराबर है, और ए और बी दोनों को सी से विभाजित किया जा सकता है।

विचाराधीन विभाजन की संपत्ति की पुष्टि करने वाले एक उदाहरण के रूप में, हम समानता की वैधता दिखाएंगे (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5। चूंकि 45 - 25 = 20 (यदि आवश्यक हो, तो सामग्री का अध्ययन करें) प्राकृतिक संख्याओं को घटाने वाला लेख), फिर (45 - 25) : 5 = 20: 5। गुणन तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि परिणामी भागफल 4 के बराबर है। अब आइए अभिव्यक्ति 45: 5 - 25: 5 के मान की गणना करें , जो समानता के दाईं ओर है। गुणन सारणी से हमारे पास 45: 5 = 9 और 25: 5 = 5, फिर 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4 है। इसलिए, समानता (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25 : 5 सत्य है.

6. दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण:

दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का परिणाम जो कि एक गुणनखंड के बराबर है, दूसरे गुणनखंड के बराबर होता है।

यहाँ इस विभाजन संपत्ति का शाब्दिक रूप है: (ए · बी) : ए = बी या (ए · बी) : बी = ए, जहां ए और बी कुछ प्राकृतिक संख्याएं हैं।