प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिक संबंध। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता

आनुपातिकता दो मात्राओं के बीच एक संबंध है, जिसमें उनमें से एक में परिवर्तन से दूसरे में उसी मात्रा में परिवर्तन होता है।

आनुपातिकता प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम हो सकती है। इस पाठ में हम उनमें से प्रत्येक पर गौर करेंगे।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

मान लीजिए कि कार 50 किमी/घंटा की गति से चल रही है। हमें याद है कि गति प्रति इकाई समय (1 घंटा, 1 मिनट या 1 सेकंड) तय की गई दूरी है। हमारे उदाहरण में, कार 50 किमी/घंटा की गति से चल रही है, यानी एक घंटे में वह पचास किलोमीटर की दूरी तय करेगी।

आइए चित्र में कार द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी को दर्शाएं।

कार को पचास किलोमीटर प्रति घंटे की समान गति से एक और घंटे तक चलने दें। फिर पता चलता है कि कार 100 किलोमीटर चलेगी

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, समय दोगुना करने से तय की गई दूरी में उतनी ही वृद्धि हुई, यानी दोगुनी।

समय और दूरी जैसी मात्राएँ सीधे आनुपातिक कहलाती हैं। और ऐसी मात्राओं के बीच का संबंध कहलाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता दो मात्राओं के बीच का संबंध है जिसमें उनमें से एक में वृद्धि से दूसरे में समान मात्रा में वृद्धि होती है।

और इसके विपरीत, यदि एक मात्रा एक निश्चित संख्या से घटती है, तो दूसरी मात्रा उतनी ही बार घटती है।

आइए मान लें कि मूल योजना 2 घंटे में 100 किमी कार चलाने की थी, लेकिन 50 किमी चलने के बाद ड्राइवर ने आराम करने का फैसला किया। फिर पता चलता है कि दूरी आधी कम करने से समय भी उतना ही कम हो जाएगा। दूसरे शब्दों में, तय की गई दूरी कम करने से समय में उतनी ही कमी आएगी।

सीधे आनुपातिक मात्राओं की एक दिलचस्प विशेषता यह है कि उनका अनुपात हमेशा स्थिर रहता है। अर्थात् जब सीधे आनुपातिक मात्राओं का मान बदलता है तो उनका अनुपात अपरिवर्तित रहता है।

विचारित उदाहरण में, शुरुआत में दूरी 50 किमी थी और समय एक घंटा था। दूरी और समय का अनुपात 50 है।

लेकिन हमने यात्रा का समय दोगुना कर दिया, इसे दो घंटे कर दिया। परिणामस्वरूप, तय की गई दूरी उतनी ही बढ़ गई, यानी 100 किमी के बराबर हो गई। एक सौ किलोमीटर और दो घंटे का अनुपात फिर से 50 की संख्या है

50 नंबर कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक. इससे पता चलता है कि प्रति घंटे की आवाजाही में कितनी दूरी है। इस मामले में, गुणांक गति की भूमिका निभाता है, क्योंकि गति तय की गई दूरी और समय का अनुपात है।

अनुपात सीधे आनुपातिक मात्राओं से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुपात अनुपात बनाते हैं:

पचास किलोमीटर का मतलब एक घंटा है और सौ किलोमीटर का मतलब दो घंटे है।

उदाहरण 2. खरीदे गए सामान की लागत और मात्रा सीधे आनुपातिक होती है। यदि 1 किलो मिठाई की कीमत 30 रूबल है, तो उसी मिठाई के 2 किलो की कीमत 60 रूबल, 3 किलो 90 रूबल होगी। जैसे-जैसे खरीदे गए उत्पाद की कीमत बढ़ती है, उसकी मात्रा भी उतनी ही बढ़ जाती है।

चूँकि किसी उत्पाद की लागत और उसकी मात्रा सीधे आनुपातिक मात्राएँ हैं, उनका अनुपात हमेशा स्थिर रहता है।

आइए लिखें कि तीस रूबल और एक किलोग्राम का अनुपात क्या है

अब आइए लिखें कि साठ रूबल और दो किलोग्राम का अनुपात क्या है। यह अनुपात पुनः तीस के बराबर होगा:

यहां प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक संख्या 30 है। यह गुणांक दर्शाता है कि प्रति किलोग्राम मिठाई में कितने रूबल हैं। इस उदाहरण में, गुणांक एक किलोग्राम माल की कीमत की भूमिका निभाता है, क्योंकि कीमत माल की लागत और उसकी मात्रा का अनुपात है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. दोनों शहरों के बीच की दूरी 80 किमी है. मोटरसाइकिल चालक पहले शहर से निकला और 20 किमी/घंटा की गति से 4 घंटे में दूसरे शहर तक पहुंच गया।

यदि किसी मोटरसाइकिल चालक की गति 20 किमी/घंटा थी, तो इसका मतलब है कि उसने हर घंटे बीस किलोमीटर की दूरी तय की। आइए चित्र में मोटरसाइकिल चालक द्वारा तय की गई दूरी और उसके चलने के समय को दर्शाएं:

वापस जाते समय, मोटरसाइकिल चालक की गति 40 किमी/घंटा थी, और उसने उसी यात्रा में 2 घंटे बिताए।

यह नोटिस करना आसान है कि जब गति बदलती है, तो गति का समय भी उसी मात्रा में बदलता है। इसके अलावा, यह विपरीत दिशा में बदल गया - यानी, गति बढ़ गई, लेकिन इसके विपरीत, समय कम हो गया।

गति और समय जैसी मात्राओं को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है। और ऐसी मात्राओं के बीच का संबंध कहलाता है व्युत्क्रम आनुपातिकता.

व्युत्क्रम आनुपातिकता दो मात्राओं के बीच का संबंध है जिसमें उनमें से एक में वृद्धि दूसरे में उसी मात्रा में कमी लाती है।

और इसके विपरीत, यदि एक मात्रा एक निश्चित संख्या से घटती है, तो दूसरी उतनी ही बार बढ़ती है।

उदाहरण के लिए, यदि वापस लौटते समय मोटरसाइकिल चालक की गति 10 किमी/घंटा थी, तो वह वही 80 किमी की दूरी 8 घंटे में तय करेगा:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, गति में कमी के कारण गति के समय में उतनी ही वृद्धि हुई।

व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं की विशेषता यह है कि उनका उत्पाद सदैव स्थिर रहता है। अर्थात्, जब व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं का मान बदलता है, तो उनका उत्पाद अपरिवर्तित रहता है।

विचारित उदाहरण में, शहरों के बीच की दूरी 80 किमी थी। जब मोटरसाइकिल चालक की गति और चलने का समय बदल गया, तो यह दूरी हमेशा अपरिवर्तित रही

एक मोटरसाइकिल चालक इस दूरी को 20 किमी/घंटा की गति से 4 घंटे में, 40 किमी/घंटा की गति से 2 घंटे में और 10 किमी/घंटा की गति से 8 घंटे में तय कर सकता है। सभी मामलों में, गति और समय का गुणनफल 80 किमी के बराबर था

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दो मात्राएँ कहलाती हैं सीधे आनुपातिक, यदि जब उनमें से एक कई गुना बढ़ जाता है, तो दूसरा भी उसी मात्रा से बढ़ जाता है। तदनुसार, जब उनमें से एक कई बार घटता है, तो दूसरा उसी मात्रा से घटता है।

ऐसी मात्राओं के बीच का संबंध प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंध है। प्रत्यक्ष आनुपातिक निर्भरता के उदाहरण:

1) स्थिर गति से, तय की गई दूरी समय के समानुपाती होती है;

2) एक वर्ग की परिधि और उसकी भुजा सीधे आनुपातिक मात्राएँ हैं;

3) एक कीमत पर खरीदे गए उत्पाद की लागत उसकी मात्रा से सीधे आनुपातिक होती है।

सीधे आनुपातिक संबंध को व्युत्क्रम संबंध से अलग करने के लिए, आप कहावत का उपयोग कर सकते हैं: "जंगल में जितना आगे, उतनी अधिक जलाऊ लकड़ी।"

अनुपात का उपयोग करके सीधे आनुपातिक मात्राओं से जुड़ी समस्याओं को हल करना सुविधाजनक है।

1) 10 हिस्से बनाने के लिए आपको 3.5 किलो धातु की आवश्यकता होगी। इनमें से 12 भागों को बनाने में कितनी धातु लगेगी?

(हम इस प्रकार तर्क करते हैं:

1. भरे हुए कॉलम में सबसे बड़ी संख्या से सबसे छोटी संख्या की दिशा में एक तीर लगाएं।

2. जितने अधिक हिस्से, उन्हें बनाने के लिए उतनी ही अधिक धातु की आवश्यकता होगी। इसका मतलब यह है कि यह सीधा आनुपातिक संबंध है।

मान लीजिए कि 12 भागों को बनाने के लिए x किग्रा धातु की आवश्यकता है। हम अनुपात बनाते हैं (तीर की शुरुआत से उसके अंत तक की दिशा में):

12:10=x:3.5

खोजने के लिए, आपको चरम पदों के गुणनफल को ज्ञात मध्य पद से विभाजित करना होगा:

इसका मतलब है कि 4.2 किलोग्राम धातु की आवश्यकता होगी।

उत्तर: 4.2 किग्रा.

2) 15 मीटर कपड़े के लिए उन्होंने 1680 रूबल का भुगतान किया। ऐसे 12 मीटर कपड़े की कीमत कितनी है?

(1. भरे हुए कॉलम में सबसे बड़ी संख्या से सबसे छोटी संख्या की दिशा में एक तीर लगाएं।

2. आप जितना कम कपड़ा खरीदेंगे, आपको उसके लिए उतना ही कम भुगतान करना होगा। इसका मतलब यह है कि यह सीधा आनुपातिक संबंध है।

3. इसलिए, दूसरा तीर पहले की तरह ही दिशा में है)।

माना x रूबल की कीमत 12 मीटर कपड़ा है। हम एक अनुपात बनाते हैं (तीर की शुरुआत से उसके अंत तक):

15:12=1680:x

अनुपात का अज्ञात चरम पद ज्ञात करने के लिए, मध्य पदों के गुणनफल को अनुपात के ज्ञात चरम पद से विभाजित करें:

इसका मतलब है कि 12 मीटर की लागत 1344 रूबल है।

उत्तर: 1344 रूबल।

उदाहरण

4/5 = 0.8;

5.6/7 = 0.8, आदि। आनुपातिकता कारकआनुपातिक मात्राओं का स्थिर संबंध कहलाता है

आनुपातिकता कारक

आनुपातिकता कारक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरे की प्रति इकाई हैं। प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें एक निश्चित मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते रहते हैं

आनुपातिक

, समान शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदलता है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।(गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:) = एफगणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:,एफ = एक्सएसीहेएन

व्युत्क्रम आनुपातिकता

एसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि से आश्रित मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी होती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

फ़ंक्शन गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन.

2010.

निर्भरता के प्रकार

आइए बैटरी चार्ज करने पर नजर डालें। पहली मात्रा के रूप में, आइए चार्ज होने में लगने वाले समय को लें। दूसरा मान वह समय है जो चार्ज करने के बाद काम करेगा। आप बैटरी को जितनी देर तक चार्ज करेंगे, वह उतनी ही देर तक चलेगी। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक बैटरी पूरी तरह चार्ज न हो जाए। बैटरी के परिचालन समय की निर्भरता उसके चार्ज होने के समय पर होती है:

नोट 1

इस निर्भरता को कहा जाता है

प्रत्यक्ष

जैसे ही एक मान बढ़ता है, वैसे ही दूसरा भी बढ़ता है। जैसे ही एक मान घटता है, दूसरा मान भी घट जाता है।

आइए बैटरी चार्ज करने पर नजर डालें। पहली मात्रा के रूप में, आइए चार्ज होने में लगने वाले समय को लें। दूसरा मान वह समय है जो चार्ज करने के बाद काम करेगा। आप बैटरी को जितनी देर तक चार्ज करेंगे, वह उतनी ही देर तक चलेगी। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक बैटरी पूरी तरह चार्ज न हो जाए। आइए एक और उदाहरण देखें.:

एक छात्र जितनी अधिक किताबें पढ़ेगा, श्रुतलेख में वह उतनी ही कम गलतियाँ करेगा। या फिर आप पहाड़ों में जितना ऊँचा उठेंगे, वायुमंडलीय दबाव उतना ही कम होगा।

नोट 2 रिवर्सजैसे ही एक मान बढ़ता है, दूसरा घट जाता है। जैसे ही एक मान घटता है, दूसरा मान बढ़ता है। विपरीत रिश्ते– विपरीत (एक बढ़ता है और दूसरा घटता है, या इसके विपरीत)।

मात्राओं के बीच निर्भरता का निर्धारण

उदाहरण 1

किसी मित्र से मिलने में लगने वाला समय $20$ मिनट है। यदि गति (पहला मान) $2$ गुना बढ़ जाती है, तो हम पाएंगे कि किसी मित्र के रास्ते में खर्च होने वाला समय (दूसरा मान) कैसे बदल जाएगा।

जाहिर है, समय $2$ गुना कम हो जाएगा।

नोट 3

इस निर्भरता को कहा जाता है आनुपातिक:

एक मात्रा जितनी बार बदलती है, उतनी ही बार दूसरी मात्रा बदलती है।

उदाहरण 2

स्टोर में $2$ की रोटियों के लिए आपको 80 रूबल का भुगतान करना होगा। यदि आपको $4$ की रोटियाँ खरीदनी हैं (रोटी की मात्रा $2$ गुना बढ़ जाती है), तो आपको कितनी गुना अधिक भुगतान करना होगा?

जाहिर है, लागत भी $2$ गुना बढ़ जाएगी. हमारे पास आनुपातिक निर्भरता का एक उदाहरण है।

दोनों उदाहरणों में, आनुपातिक निर्भरता पर विचार किया गया। लेकिन रोटियों के उदाहरण में, मात्राएँ एक दिशा में बदलती हैं, इसलिए, निर्भरता है बैटरी के परिचालन समय की निर्भरता उसके चार्ज होने के समय पर होती है. और किसी मित्र के घर जाने के उदाहरण में, गति और समय के बीच संबंध है रिवर्स. इस प्रकार वहाँ है सीधे आनुपातिक संबंधऔर व्युत्क्रमानुपाती संबंध.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

आइए $2$ की आनुपातिक मात्रा पर विचार करें: रोटियों की संख्या और उनकी लागत। माना $2$ की रोटी की कीमत $80$ रूबल है। यदि बन्स की संख्या $4$ गुना ($8$ बन्स) बढ़ जाती है, तो उनकी कुल लागत $320$ रूबल होगी।

बन्स की संख्या का अनुपात: $\frac(8)(2)=4$.

बन लागत अनुपात: $\frac(320)(80)=$4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये संबंध एक दूसरे के बराबर हैं:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

परिभाषा 1

दो अनुपातों की समानता कहलाती है अनुपात.

सीधे आनुपातिक निर्भरता के साथ, एक संबंध तब प्राप्त होता है जब पहली और दूसरी मात्रा में परिवर्तन मेल खाता है:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

परिभाषा 2

दो मात्राएँ कहलाती हैं सीधे आनुपातिक, यदि जब उनमें से एक बदलता है (बढ़ता या घटता है), तो दूसरा मूल्य भी उसी मात्रा में बदलता है (क्रमशः बढ़ता या घटता है)।

उदाहरण 3

कार ने $2$ घंटे में $180$ किमी की यात्रा की। वह समय ज्ञात कीजिए जिसके दौरान वह समान गति से $2$ गुना दूरी तय करेगा।

समाधान.

समय सीधे दूरी के समानुपाती होता है:

$t=\frac(S)(v)$.

स्थिर गति से दूरी कितनी गुना बढ़ जाएगी, उसी गति से समय बढ़ जाएगा:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

कार ने $2$ घंटे में $180$ किमी की यात्रा की

कार $180 \cdot 2=360$ किमी - $x$ घंटों में तय करेगी

कार जितनी दूर तक यात्रा करेगी, उसे उतना ही अधिक समय लगेगा। नतीजतन, मात्राओं के बीच संबंध सीधे आनुपातिक है।

आइए एक अनुपात बनाएं:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

उत्तर: कार को $4$ घंटे की आवश्यकता होगी।

व्युत्क्रम आनुपातिकता

परिभाषा 3

समाधान.

समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

$t=\frac(S)(v)$.

एक ही पथ पर गति कितनी गुना बढ़ जाती है, समय भी उसी मात्रा में घट जाता है:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

आइए समस्या की स्थिति को एक तालिका के रूप में लिखें:

कार ने $60$ किमी की यात्रा $6$ घंटों में की

कार $120$ किमी की यात्रा करेगी - $x$ घंटों में

कार की गति जितनी तेज़ होगी, समय उतना ही कम लगेगा। परिणामस्वरूप, मात्राओं के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है।

चलिए एक अनुपात बनाते हैं.

क्योंकि आनुपातिकता व्युत्क्रम है, अनुपात में दूसरा संबंध उलटा है:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

उत्तर: कार को $3$ घंटे की आवश्यकता होगी।

उदाहरण

4/5 = 0.8;

5.6/7 = 0.8, आदि। आनुपातिकता कारकआनुपातिक मात्राओं का स्थिर संबंध कहलाता है

आनुपातिकता कारक

आनुपातिकता कारक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरे की प्रति इकाई हैं। प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें एक निश्चित मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते रहते हैं

आनुपातिक

, समान शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदलता है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।(गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:) = एफगणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:,एफ = एक्सएसीहेएन

व्युत्क्रम आनुपातिकता

एसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि से आश्रित मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी होती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

फ़ंक्शन गुण:

• न्यूटन का दूसरा नियम
• कूलम्ब बाधा

देखें अन्य शब्दकोशों में "प्रत्यक्ष आनुपातिकता" क्या है:

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- - [ए.एस. गोल्डबर्ग। अंग्रेजी-रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] सामान्य रूप से ऊर्जा विषय एन प्रत्यक्ष अनुपात... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- टिज़ियोगिनिस प्रोपोरसिंगुमास स्टेटसस टी स्रिटिस फ़िज़िका एटिटिकमेनिस: अंग्रेजी। प्रत्यक्ष आनुपातिकता वोक। प्रत्यक्ष आनुपातिकता, एफ रूस। प्रत्यक्ष आनुपातिकता, एफ प्रैंक। आनुपातिकता निर्देश, एफ … फ़िज़िकोस टर्मिनस ज़ोडनास

समानता- (लैटिन आनुपातिक से आनुपातिक, आनुपातिक)। आनुपातिकता. रूसी भाषा में शामिल विदेशी शब्दों का शब्दकोश। चुडिनोव ए.एन., 1910. आनुपातिकता लैट। आनुपातिक, आनुपातिक। आनुपातिकता. स्पष्टीकरण 25000... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

समानता- आनुपातिकता, आनुपातिकता, बहुवचन। नहीं, महिला (किताब)। 1. सार संज्ञा आनुपातिक करने के लिए. भागों की आनुपातिकता. शारीरिक आनुपातिकता. 2. मात्राओं के बीच ऐसा संबंध जब वे आनुपातिक हों (आनुपातिक देखें... उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

समानता- दो परस्पर निर्भर मात्राएँ आनुपातिक कहलाती हैं यदि उनके मानों का अनुपात अपरिवर्तित रहता है। सामग्री 1 उदाहरण 2 आनुपातिकता गुणांक... विकिपीडिया

समानता- आनुपातिकता, और, महिला. 1. आनुपातिक देखें. 2. गणित में: मात्राओं के बीच ऐसा संबंध जिसमें उनमें से एक में वृद्धि से दूसरे में उसी मात्रा में परिवर्तन होता है। सीधी रेखा (एक मूल्य में वृद्धि के साथ कटौती के साथ...) ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

समानता- और; और। 1. आनुपातिक (1 अंक); आनुपातिकता. पी. भागों. पी. काया. पी. संसद में प्रतिनिधित्व. 2. गणित. आनुपातिक रूप से बदलती मात्राओं के बीच निर्भरता। आनुपातिकता कारक. सीधी रेखा (जिसमें... के साथ) विश्वकोश शब्दकोश