भिन्नात्मक लघुगणकीय असमानताओं के उदाहरणों को हल करना। मनोव का काम "एकीकृत राज्य परीक्षा में लघुगणकीय असमानताएँ"

लघुगणकीय असमानताएँ

पिछले पाठों में, हम लघुगणकीय समीकरणों से परिचित हुए और अब हम जानते हैं कि वे क्या हैं और उन्हें कैसे हल किया जाए। आज का पाठ लघुगणकीय असमानताओं के अध्ययन के लिए समर्पित होगा। ये असमानताएँ क्या हैं और लघुगणकीय समीकरण और असमानता को हल करने के बीच क्या अंतर है?

लघुगणकीय असमानताएँ वे असमानताएँ हैं जिनमें लघुगणक चिह्न के नीचे या उसके आधार पर एक चर दिखाई देता है।

या, हम यह भी कह सकते हैं कि लघुगणक असमानता एक ऐसी असमानता है जिसमें इसका अज्ञात मान, लघुगणक समीकरण की तरह, लघुगणक के चिह्न के नीचे दिखाई देगा।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं के निम्नलिखित रूप हैं:

जहाँ f(x) और g(x) कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं जो x पर निर्भर करती हैं।

आइए इस उदाहरण का उपयोग करके इसे देखें: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

लघुगणकीय असमानताओं को हल करना

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने से पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि जब हल किया जाता है तो वे घातांकीय असमानताओं के समान होती हैं, अर्थात्:

सबसे पहले, लघुगणक से लघुगणक चिह्न के नीचे के भावों की ओर बढ़ते समय, हमें लघुगणक के आधार की एक से तुलना करने की भी आवश्यकता होती है;

दूसरे, चर के परिवर्तन का उपयोग करके लघुगणकीय असमानता को हल करते समय, हमें परिवर्तन के संबंध में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता होती है जब तक कि हमें सबसे सरल असमानता न मिल जाए।

लेकिन आपने और मैंने लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के समान पहलुओं पर विचार किया है। आइए अब एक महत्वपूर्ण अंतर पर ध्यान दें। आप और मैं जानते हैं कि लघुगणक फ़ंक्शन की परिभाषा का एक सीमित क्षेत्र होता है, इसलिए, लघुगणक से लघुगणक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्तियों की ओर बढ़ते समय, हमें अनुमेय मानों की सीमा (एडीवी) को ध्यान में रखना होगा।

अर्थात्, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि लघुगणक समीकरण को हल करते समय, आप और मैं पहले समीकरण की जड़ें ढूंढ सकते हैं, और फिर इस समाधान की जांच कर सकते हैं। लेकिन लघुगणकीय असमानता को हल करना इस तरह से काम नहीं करेगा, क्योंकि लघुगणक से लघुगणक चिह्न के नीचे के भावों की ओर बढ़ने पर, असमानता के ODZ को लिखना आवश्यक होगा।

इसके अलावा, यह याद रखने योग्य है कि असमानताओं के सिद्धांत में वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं, जो सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ हैं, साथ ही संख्या 0 भी है।

उदाहरण के लिए, जब संख्या "ए" सकारात्मक है, तो आपको निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करने की आवश्यकता है: ए >0. इस स्थिति में, इन संख्याओं का योग और गुणनफल दोनों ही सकारात्मक होंगे।

किसी असमानता को हल करने का मुख्य सिद्धांत इसे सरल असमानता से बदलना है, लेकिन मुख्य बात यह है कि यह दी गई असमानता के बराबर है। इसके अलावा, हमने एक असमानता भी प्राप्त की और इसे फिर से एक सरल रूप वाली असमानता से बदल दिया, आदि।

किसी चर के साथ असमानताओं को हल करते समय, आपको उसके सभी समाधान खोजने होंगे। यदि दो असमानताओं में एक ही चर x है, तो ऐसी असमानताएँ समतुल्य हैं, बशर्ते कि उनके समाधान मेल खाते हों।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के कार्य करते समय, आपको यह याद रखना चाहिए कि जब a > 1, तब लघुगणकीय फलन बढ़ता है, और जब 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ

आइए अब कुछ विधियों पर नजर डालें जो लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय अपनाई जाती हैं। बेहतर समझ और आत्मसात करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।

हम सभी जानते हैं कि सबसे सरल लघुगणकीय असमानता का निम्नलिखित रूप होता है:

इस असमानता में, V - निम्नलिखित असमानता संकेतों में से एक है:<,>, ≤ या ≥.

जब किसी दिए गए लघुगणक का आधार एक (a>1) से अधिक होता है, जो लघुगणक से लघुगणक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में संक्रमण करता है, तो इस संस्करण में असमानता चिह्न संरक्षित होता है, और असमानता का निम्नलिखित रूप होगा:

जो इस प्रणाली के समतुल्य है:

उस स्थिति में जब लघुगणक का आधार शून्य से अधिक और एक (0) से कम हो

यह इस प्रणाली के समतुल्य है:

आइए नीचे चित्र में दिखाई गई सरलतम लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के और उदाहरण देखें:

उदाहरण हल करना

व्यायाम।आइए इस असमानता को हल करने का प्रयास करें:

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को हल करना।

आइए अब इसके दाएँ पक्ष को इससे गुणा करने का प्रयास करें:

आइए देखें कि हम क्या कर सकते हैं:

अब, सबलॉगरिदमिक व्यंजकों को परिवर्तित करने की ओर बढ़ते हैं। इस तथ्य के कारण कि लघुगणक का आधार 0 है< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
एक्स > 8.

और इससे यह पता चलता है कि जो अंतराल हमें प्राप्त हुआ वह पूरी तरह से ODZ से संबंधित है और ऐसी असमानता का समाधान है।

हमें जो उत्तर मिला वह यह है:

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए क्या आवश्यक है?

आइए अब यह विश्लेषण करने का प्रयास करें कि लघुगणकीय असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

सबसे पहले, अपना सारा ध्यान केंद्रित करें और इस असमानता में दिए गए परिवर्तनों को निष्पादित करते समय गलतियाँ न करने का प्रयास करें। साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि ऐसी असमानताओं को हल करते समय, असमानताओं के विस्तार और संकुचन से बचना आवश्यक है, जिससे बाहरी समाधानों का नुकसान या अधिग्रहण हो सकता है।

दूसरे, लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय, आपको तार्किक रूप से सोचना सीखना होगा और असमानताओं की प्रणाली और असमानताओं के समूह जैसी अवधारणाओं के बीच अंतर को समझना होगा, ताकि आप इसके डीएल द्वारा निर्देशित होते हुए आसानी से असमानता के समाधान का चयन कर सकें।

तीसरा, ऐसी असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आप में से प्रत्येक को प्राथमिक कार्यों के सभी गुणों को पूरी तरह से जानना होगा और उनके अर्थ को स्पष्ट रूप से समझना होगा। ऐसे कार्यों में न केवल लघुगणक, बल्कि तर्कसंगत, शक्ति, त्रिकोणमितीय इत्यादि भी शामिल हैं, एक शब्द में, वे सभी जो आपने स्कूल बीजगणित के दौरान अध्ययन किए थे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणकीय असमानताओं के विषय का अध्ययन करने के बाद, इन असमानताओं को हल करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है, बशर्ते कि आप अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने में सावधान और दृढ़ रहें। असमानताओं को हल करने में किसी भी समस्या से बचने के लिए, आपको विभिन्न समस्याओं को हल करने में यथासंभव अभ्यास करने की आवश्यकता है और साथ ही ऐसी असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करने के बुनियादी तरीकों को याद रखना होगा। यदि आप लघुगणकीय असमानताओं को हल करने में विफल रहते हैं, तो आपको अपनी गलतियों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करना चाहिए ताकि भविष्य में दोबारा उनकी ओर न लौटें।

गृहकार्य

विषय को बेहतर ढंग से समझने और कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, निम्नलिखित असमानताओं को हल करें:

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उपयोग में लघुगणकीय असमानताएँ

सेचिन मिखाइल अलेक्जेंड्रोविच

कजाकिस्तान गणराज्य के छात्रों के लिए लघु विज्ञान अकादमी "इस्काटेल"

एमबीओयू "सोवत्सकाया सेकेंडरी स्कूल नंबर 1", 11वीं कक्षा, शहर। सोवेत्स्की सोवेत्स्की जिला

गुंको ल्यूडमिला दिमित्रिग्ना, नगरपालिका बजटीय शैक्षिक संस्थान "सोवत्सकाया माध्यमिक विद्यालय नंबर 1" के शिक्षक

सोवेत्स्की जिला

कार्य का उद्देश्य:गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके लघुगणकीय असमानताओं C3 को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन, लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों की पहचान करना।

शोध का विषय:

3) गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके विशिष्ट लघुगणकीय असमानताओं C3 को हल करना सीखें।

परिणाम:

सामग्री

परिचय…………………………………………………………………….4

अध्याय 1. मुद्दे का इतिहास………………………………………………5

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह ………………………… 7

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतरालों की सामान्यीकृत विधि………………7

2.2. युक्तिकरण विधि………………………………………………………… 15

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन……………………………………………… ............ ..... 22

2.4. जाल के साथ कार्य………………………………………………27

निष्कर्ष…………………………………………………………………… 30

साहित्य……………………………………………………………………। 31

परिचय

मैं 11वीं कक्षा में हूं और ऐसे विश्वविद्यालय में प्रवेश लेने की योजना बना रहा हूं जहां मुख्य विषय गणित है। इसीलिए मैं भाग सी में समस्याओं के साथ बहुत काम करता हूं। कार्य सी 3 में, मुझे एक गैर-मानक असमानता या असमानताओं की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर लघुगणक से संबंधित होती है। परीक्षा की तैयारी करते समय, मुझे C3 में प्रस्तावित परीक्षा लघुगणक असमानताओं को हल करने के तरीकों और तकनीकों की कमी की समस्या का सामना करना पड़ा। इस विषय पर स्कूली पाठ्यक्रम में जिन विधियों का अध्ययन किया जाता है, वे C3 कार्यों को हल करने के लिए कोई आधार प्रदान नहीं करते हैं। गणित शिक्षक ने सुझाव दिया कि मैं उनके मार्गदर्शन में स्वतंत्र रूप से C3 असाइनमेंट पर काम करूं। इसके अलावा, मुझे इस प्रश्न में दिलचस्पी थी: क्या हम अपने जीवन में लघुगणक का सामना करते हैं?

इसे ध्यान में रखते हुए, विषय चुना गया:

"एकीकृत राज्य परीक्षा में लघुगणकीय असमानताएँ"

कार्य का उद्देश्य:गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके C3 समस्याओं को हल करने के तंत्र का अध्ययन, लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों की पहचान करना।

शोध का विषय:

1) लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों के बारे में आवश्यक जानकारी प्राप्त करें।

2) लघुगणक के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त करें।

3) गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके विशिष्ट C3 समस्याओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

व्यावहारिक महत्व C3 समस्याओं को हल करने के लिए उपकरण के विस्तार में निहित है। इस सामग्री का उपयोग कुछ पाठों, क्लबों और गणित की वैकल्पिक कक्षाओं में किया जा सकता है।

परियोजना उत्पाद "समाधान के साथ C3 लघुगणकीय असमानताएँ" संग्रह होगा।

अध्याय 1. पृष्ठभूमि

16वीं शताब्दी के दौरान, अनुमानित गणनाओं की संख्या तेजी से बढ़ी, मुख्यतः खगोल विज्ञान में। उपकरणों में सुधार, ग्रहों की चाल का अध्ययन और अन्य कार्यों के लिए भारी, कभी-कभी बहु-वर्षीय, गणनाओं की आवश्यकता होती है। खगोल विज्ञान अधूरी गणनाओं में डूबने के वास्तविक खतरे में था। अन्य क्षेत्रों में कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं, उदाहरण के लिए, बीमा व्यवसाय में, विभिन्न ब्याज दरों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज तालिकाओं की आवश्यकता थी। मुख्य कठिनाई बहु-अंकीय संख्याओं, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय मात्राओं का गुणन और विभाजन थी।

लघुगणक की खोज प्रगति के गुणों पर आधारित थी जो 16वीं शताब्दी के अंत तक अच्छी तरह से ज्ञात थे। आर्किमिडीज़ ने भजन में ज्यामितीय प्रगति q, q2, q3, ... के पदों और उनके घातांक 1, 2, 3,... की अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंध के बारे में बात की। एक अन्य शर्त डिग्री की अवधारणा का नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक तक विस्तार था। कई लेखकों ने बताया है कि ज्यामितीय प्रगति में गुणन, विभाजन, घातांक और मूल निष्कर्षण अंकगणित में मेल खाते हैं - उसी क्रम में - जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन।

यहाँ एक घातांक के रूप में लघुगणक का विचार था।

लघुगणक के सिद्धांत के विकास के इतिहास में, कई चरण बीत चुके हैं।

प्रथम चरण

लघुगणक का आविष्कार 1594 के बाद स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश बैरन नेपियर (1550-1617) द्वारा और दस साल बाद स्विस मैकेनिक बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। दोनों अंकगणितीय गणना का एक नया, सुविधाजनक साधन प्रदान करना चाहते थे, हालाँकि उन्होंने इस समस्या को अलग-अलग तरीकों से देखा। नेपियर ने लघुगणकीय फ़ंक्शन को गतिक रूप से व्यक्त किया और इस प्रकार फ़ंक्शन सिद्धांत के एक नए क्षेत्र में प्रवेश किया। बर्गी असतत प्रगति पर विचार करने के आधार पर बने रहे। हालाँकि, दोनों के लिए लघुगणक की परिभाषा आधुनिक के समान नहीं है। शब्द "लघुगणक" (लघुगणक) नेपियर का है। यह ग्रीक शब्दों के संयोजन से उत्पन्न हुआ: लोगो - "संबंध" और अरीकमो - "संख्या", जिसका अर्थ था "संबंधों की संख्या"। प्रारंभ में, नेपियर ने एक अलग शब्द का उपयोग किया: संख्यात्मक कृत्रिमता - "कृत्रिम संख्या", संख्यात्मक प्राकृतिकता के विपरीत - "प्राकृतिक संख्या"।

1615 में, लंदन के ग्रेश कॉलेज में गणित के प्रोफेसर, हेनरी ब्रिग्स (1561-1631) के साथ बातचीत में, नेपियर ने शून्य को एक के लघुगणक के रूप में लेने का सुझाव दिया, और 100 को दस के लघुगणक के रूप में लिया, या, जो समान है बात, बस 1। इस प्रकार दशमलव लघुगणक और पहली लघुगणक तालिकाएँ मुद्रित की गईं। बाद में, ब्रिग्स की तालिकाओं को डच पुस्तक विक्रेता और गणित उत्साही एड्रियन फ्लैकस (1600-1667) द्वारा पूरक बनाया गया। नेपियर और ब्रिग्स, हालांकि अन्य सभी की तुलना में पहले लघुगणक में आए थे, उन्होंने अपनी तालिकाएँ दूसरों की तुलना में बाद में प्रकाशित कीं - 1620 में। साइन लॉग और लॉग को 1624 में आई. केप्लर द्वारा पेश किया गया था। शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" 1659 में मेंगोली द्वारा पेश किया गया था और उसके बाद 1668 में एन. मर्केटर द्वारा, और लंदन के शिक्षक जॉन स्पीडल ने "न्यू लॉगरिदम" नाम के तहत 1 से 1000 तक की संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रकाशित कीं।

पहली लघुगणक सारणी 1703 में रूसी भाषा में प्रकाशित हुई थी। लेकिन सभी लघुगणकीय तालिकाओं में गणना संबंधी त्रुटियाँ थीं। पहली त्रुटि रहित सारणी 1857 में बर्लिन में प्रकाशित हुई थी, जिसे जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) द्वारा संसाधित किया गया था।

चरण 2

लघुगणक के सिद्धांत का आगे का विकास विश्लेषणात्मक ज्यामिति और इनफिनिटसिमल कैलकुलस के व्यापक अनुप्रयोग से जुड़ा है। उस समय तक, एक समबाहु अतिपरवलय के चतुर्भुज और प्राकृतिक लघुगणक के बीच संबंध स्थापित हो चुका था। इस काल का लघुगणक सिद्धांत अनेक गणितज्ञों के नाम से जुड़ा हुआ है।

एक निबंध में जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और इंजीनियर निकोलस मर्केटर

"लॉगरिथमोटेक्निक्स" (1668) में ln(x+1) का विस्तार देते हुए एक श्रृंखला दी गई है

x की शक्तियाँ:

यह अभिव्यक्ति बिल्कुल उनके विचार के क्रम से मेल खाती है, हालांकि, निश्चित रूप से, उन्होंने संकेतों डी, ... का उपयोग नहीं किया, लेकिन अधिक बोझिल प्रतीकवाद का उपयोग किया। लघुगणक श्रृंखला की खोज के साथ, लघुगणक की गणना करने की तकनीक बदल गई: उन्हें अनंत श्रृंखला का उपयोग करके निर्धारित किया जाने लगा। 1907-1908 में दिए गए अपने व्याख्यान "उच्च दृष्टिकोण से प्राथमिक गणित" में, एफ. क्लेन ने लघुगणक के सिद्धांत के निर्माण के लिए प्रारंभिक बिंदु के रूप में सूत्र का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा।

चरण 3

व्युत्क्रम फलन के रूप में लघुगणकीय फलन की परिभाषा

किसी दिए गए आधार के घातांक के रूप में घातांक, लघुगणक

तुरंत तैयार नहीं किया गया था. लियोनहार्ड यूलर द्वारा निबंध (1707-1783)

"एन इंट्रोडक्शन टू द एनालिसिस ऑफ इनफिनिटीसिमल्स" (1748) ने आगे काम किया

लघुगणकीय कार्यों के सिद्धांत का विकास। इस प्रकार,

लघुगणक को पहली बार प्रस्तुत किए हुए 134 वर्ष बीत चुके हैं

(1614 से गिनती), गणितज्ञों के परिभाषा में आने से पहले

लघुगणक की अवधारणा, जो अब स्कूल पाठ्यक्रम का आधार है।

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि।

समतुल्य परिवर्तन

, यदि ए > 1

, यदि 0 < а < 1

सामान्यीकृत अंतराल विधि

यह विधि लगभग किसी भी प्रकार की असमानताओं को हल करने के लिए सबसे सार्वभौमिक है। समाधान आरेख इस प्रकार दिखता है:

1. असमानता को उस रूप में लाएँ जहाँ बाईं ओर का फ़ंक्शन है
, और दाईं ओर 0.

2. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें
.

3. फ़ंक्शन के शून्य ज्ञात करें
यानी समीकरण को हल करें
(और किसी समीकरण को हल करना आमतौर पर असमानता को हल करने से आसान होता है)।

4. संख्या रेखा पर फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन और शून्य बनाएं।

5. फ़ंक्शन के लक्षण निर्धारित करें
प्राप्त अंतराल पर.

6. उन अंतरालों का चयन करें जहां फ़ंक्शन आवश्यक मान लेता है और उत्तर लिखें।

उदाहरण 1.

समाधान:

आइए अंतराल विधि लागू करें

कहाँ

इन मानों के लिए, लघुगणक चिह्नों के अंतर्गत सभी अभिव्यक्तियाँ सकारात्मक हैं।

उत्तर:

उदाहरण 2.

समाधान:

1 रास्ता . एडीएल असमानता से निर्धारित होता है एक्स> 3. ऐसे के लिए लघुगणक लेना एक्सआधार 10 में, हमें मिलता है

अंतिम असमानता को विस्तार नियमों को लागू करके हल किया जा सकता है, अर्थात। कारकों की तुलना शून्य से करना। हालाँकि, इस मामले में फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल को निर्धारित करना आसान है

इसलिए, अंतराल विधि लागू की जा सकती है।

समारोह एफ(एक्स) = 2एक्स(एक्स- 3.5)एलजी एक्स- 3ǀ पर निरंतर है एक्स> 3 और बिंदुओं पर गायब हो जाता है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3,5, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 4. इस प्रकार, हम फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल निर्धारित करते हैं एफ(एक्स):

उत्तर:

दूसरी विधि . आइए हम अंतराल विधि के विचारों को मूल असमानता पर सीधे लागू करें।

ऐसा करने के लिए, उन भावों को याद रखें एबी- एसी और ( ए - 1)(बी- 1) एक चिन्ह हो। फिर हमारी असमानता एक्स> 3 असमानता के बराबर है

या

अंतिम असमानता को अंतराल विधि का उपयोग करके हल किया जाता है

उत्तर:

उदाहरण 3.

समाधान:

आइए अंतराल विधि लागू करें

उत्तर:

उदाहरण 4.

समाधान:

2 से एक्स 2 - 3एक्ससभी वास्तविक के लिए + 3 > 0 एक्स, वह

दूसरी असमानता को हल करने के लिए हम अंतराल विधि का उपयोग करते हैं

पहली असमानता में हम प्रतिस्थापन करते हैं

तब हम असमानता 2y 2 पर आते हैं - य - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те य, जो असमानता -0.5 को संतुष्ट करता है< य < 1.

कहाँ से, क्योंकि

हमें असमानता मिलती है

जो कब किया जाता है एक्स, जिसके लिए 2 एक्स 2 - 3एक्स - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

अब, सिस्टम की दूसरी असमानता के समाधान को ध्यान में रखते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं

उत्तर:

उदाहरण 5.

समाधान:

असमानता प्रणालियों के संग्रह के बराबर है

या

आइए अंतराल विधि का उपयोग करें या

उत्तर:

उदाहरण 6.

समाधान:

असमानता व्यवस्था के बराबर है

होने देना

तब य > 0,

और पहली असमानता

सिस्टम का रूप ले लेता है

या, खुलासा

द्विघात त्रिपद गुणनखंडित,

अंतिम असमानता पर अंतराल विधि लागू करना,

हम देखते हैं कि इसके समाधान स्थिति को संतुष्ट करते हैं य> 0 सब होगा य > 4.

इस प्रकार, मूल असमानता प्रणाली के बराबर है:

तो, असमानता के सभी समाधान हैं

2.2. युक्तिकरण विधि.

पहले, तर्कसंगतिकरण विधि का उपयोग करके असमानता को हल नहीं किया गया था, यह ज्ञात नहीं था। यह "घातांकीय और लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एक नई आधुनिक प्रभावी विधि है" (एस.आई. कोलेनिकोवा की पुस्तक से उद्धरण)
और यदि शिक्षक उसे जानता भी था, तो एक डर था - क्या एकीकृत राज्य परीक्षा विशेषज्ञ उसे जानता है, और वे उसे स्कूल में क्यों नहीं देते? ऐसी स्थितियाँ थीं जब शिक्षक ने छात्र से कहा: "तुम्हें यह कहाँ से मिला? बैठो - 2।"
अब इस पद्धति का सर्वत्र प्रचार हो रहा है। और विशेषज्ञों के लिए इस पद्धति से जुड़े दिशानिर्देश हैं, और समाधान C3 में "मानक विकल्पों के सबसे पूर्ण संस्करण..." में इस पद्धति का उपयोग किया जाता है।
अद्भुत विधि!

"जादुई मेज"

अन्य स्रोतों में

अगर a >1 और b >1, फिर a b >0 और (a -1)(b -1)>0 लॉग करें;

अगर ए >1 और 0

यदि 0<ए<1 и b >1, फिर लॉग ए बी<0 и (a -1)(b -1)<0;

यदि 0<ए<1 и 00 और (ए -1)(बी -1)>0।

किया गया तर्क सरल है, लेकिन लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को काफी सरल बनाता है।

उदाहरण 4.

लॉग एक्स (x 2 -3)<0

समाधान:

उदाहरण 5.

लॉग 2 एक्स (2x 2 -4x +6)≤लॉग 2 एक्स (एक्स 2 +एक्स )

समाधान:

उत्तर. (0; 0.5)यू.

उदाहरण 6.

इस असमानता को हल करने के लिए, हम हर के बजाय (x-1-1)(x-1) लिखते हैं, और अंश के बजाय, हम उत्पाद (x-1)(x-3-9 + x) लिखते हैं।

उत्तर : (3;6)

उदाहरण 7.

उदाहरण 8.

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन.

उदाहरण 1.

उदाहरण 2.

उदाहरण 3.

उदाहरण 4.

उदाहरण 5.

उदाहरण 6.

उदाहरण 7.

लॉग 4 (3 x -1) लॉग 0.25

आइए प्रतिस्थापन करें y=3 x -1; तब यह असमानता रूप ले लेगी

लॉग 4 लॉग 0.25
.

क्योंकि लॉग 0.25 = -लॉग 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , फिर हम अंतिम असमानता को 2log 4 y -log 4 2 y ≤ के रूप में फिर से लिखते हैं।

आइए प्रतिस्थापन t =log 4 y करें और असमानता t 2 -2t +≥0 प्राप्त करें, जिसका समाधान अंतराल है - .

इस प्रकार, y का मान ज्ञात करने के लिए हमारे पास दो सरल असमानताओं का एक सेट है
इस सेट का समाधान अंतराल 0 है<у≤2 и 8≤у<+.

इसलिए, मूल असमानता दो घातांकीय असमानताओं के समुच्चय के बराबर है,
अर्थात् समुच्चय

इस सेट की पहली असमानता का समाधान अंतराल 0 है<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. इस प्रकार, मूल असमानता अंतराल 0 से x के सभी मानों के लिए संतुष्ट है<х≤1 и 2≤х<+.

उदाहरण 8.

समाधान:

असमानता व्यवस्था के बराबर है

ओडीजेड को परिभाषित करने वाली दूसरी असमानता का समाधान उनमें से सेट होगा एक्स,

जिसके लिए एक्स > 0.

पहली असमानता को हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं

तब हमें असमानता प्राप्त होती है

या

अंतिम असमानता के समाधान का सेट विधि द्वारा पाया जाता है

अंतराल: -1< टी < 2. Откуда, возвращаясь к переменной एक्स, हम पाते हैं

या

उनमें से बहुत सारे एक्स, जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करता है

ODZ से संबंधित है ( एक्स> 0), इसलिए, सिस्टम का एक समाधान है,

और इसलिए मूल असमानता।

उत्तर:

2.4. जाल के साथ कार्य.

उदाहरण 1.

.

समाधान।असमानता का ODZ सभी x शर्त 0 को संतुष्ट करता है . इसलिए, सभी x अंतराल 0 से हैं

उदाहरण 2.

लॉग 2 (2 x +1-x 2)>लॉग 2 (2 x-1 +1-x)+1।. ? तथ्य यह है कि दूसरी संख्या स्पष्टतः इससे बड़ी है

निष्कर्ष

विभिन्न शैक्षिक स्रोतों की प्रचुरता से C3 समस्याओं को हल करने के लिए विशिष्ट तरीके खोजना आसान नहीं था। किए गए कार्य के दौरान, मैं जटिल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों का अध्ययन करने में सक्षम हुआ। ये हैं: समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि, युक्तिकरण की विधि , गैर मानक प्रतिस्थापन , ODZ पर जाल के साथ कार्य। ये विधियाँ स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं हैं।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करके, मैंने भाग सी, अर्थात् सी3 में एकीकृत राज्य परीक्षा में प्रस्तावित 27 असमानताओं को हल किया। तरीकों से समाधान के साथ इन असमानताओं ने "समाधान के साथ सी 3 लॉगरिदमिक असमानताएं" संग्रह का आधार बनाया, जो मेरी गतिविधि का एक परियोजना उत्पाद बन गया। परियोजना की शुरुआत में मैंने जो परिकल्पना प्रस्तुत की थी, उसकी पुष्टि हो गई: यदि आप इन तरीकों को जानते हैं तो C3 समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है।

इसके अलावा, मैंने लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्य खोजे। ऐसा करना मेरे लिए दिलचस्प था. मेरे प्रोजेक्ट उत्पाद छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए उपयोगी होंगे।

निष्कर्ष:

इस प्रकार, परियोजना का लक्ष्य हासिल कर लिया गया है और समस्या का समाधान हो गया है। और मुझे काम के सभी चरणों में परियोजना गतिविधियों का सबसे संपूर्ण और विविध अनुभव प्राप्त हुआ। परियोजना पर काम करते समय, मेरा मुख्य विकासात्मक प्रभाव मानसिक क्षमता, तार्किक मानसिक संचालन से संबंधित गतिविधियों, रचनात्मक क्षमता के विकास, व्यक्तिगत पहल, जिम्मेदारी, दृढ़ता और गतिविधि पर था।

एक शोध परियोजना बनाते समय सफलता की गारंटी मैंने प्राप्त किया: महत्वपूर्ण स्कूल अनुभव, विभिन्न स्रोतों से जानकारी प्राप्त करने, इसकी विश्वसनीयता की जांच करने और इसे महत्व के आधार पर रैंक करने की क्षमता।

गणित में प्रत्यक्ष विषय ज्ञान के अलावा, मैंने कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में अपने व्यावहारिक कौशल का विस्तार किया, मनोविज्ञान के क्षेत्र में नया ज्ञान और अनुभव प्राप्त किया, सहपाठियों के साथ संपर्क स्थापित किया और वयस्कों के साथ सहयोग करना सीखा। परियोजना गतिविधियों के दौरान, संगठनात्मक, बौद्धिक और संचार संबंधी सामान्य शैक्षिक कौशल विकसित किए गए।

साहित्य

1. कोर्यानोव ए.जी., प्रोकोफ़िएव ए.ए. एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली (मानक कार्य C3)।

2. माल्कोवा ए.जी. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी।

3. समरोवा एस.एस. लघुगणकीय असमानताओं को हल करना।

4. गणित. ए.एल. द्वारा संपादित प्रशिक्षण कार्यों का संग्रह सेमेनोव और आई.वी. यशचेंको। -एम.: एमटीएसएनएमओ, 2009. - 72 पी.-

लघुगणकीय असमानताओं की संपूर्ण विविधता के बीच, चर आधार वाली असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है:

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

"∨" चेकबॉक्स के बजाय, आप कोई भी असमानता चिह्न लगा सकते हैं: अधिक या कम। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इस तरह हम लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता तक कम कर देते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लघुगणक को त्यागने पर अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाना पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक का ODZ भूल गए हैं, तो मैं दृढ़तापूर्वक इसे दोहराने की सलाह देता हूं - "लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित हर चीज़ को अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ(एक्स) > 0; जी(एक्स) > 0; के(एक्स) > 0; के(एक्स) ≠ 1.

ये चार असमानताएँ एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा मिल गई है, तो जो कुछ बचा है उसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ जोड़ना है - और उत्तर तैयार है।

काम। असमानता का समाधान करें:

सबसे पहले, आइए लघुगणक का ODZ लिखें:

पहली दो असमानताएँ स्वतः संतुष्ट हो जाती हैं, लेकिन अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य होता है यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य हो, तो हमारे पास है:

एक्स 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
एक्स ≠ 0.

यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लघुगणकीय असमानता से तर्कसंगत असमानता में परिवर्तन करते हैं। मूल असमानता में "इससे कम" चिन्ह होता है, जिसका अर्थ है कि परिणामी असमानता में "इससे कम" चिन्ह भी होना चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) · (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 − एक्स 2) एक्स 2< 0;
(3 − एक्स) · (3 + एक्स) · एक्स 2< 0.

इस अभिव्यक्ति के शून्य हैं: x = 3; एक्स = −3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) मिलता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लघुगणकीय असमानताओं को परिवर्तित करना

अक्सर मूल असमानता उपरोक्त से भिन्न होती है। लघुगणक के साथ काम करने के मानक नियमों का उपयोग करके इसे आसानी से ठीक किया जा सकता है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को किसी दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एक लघुगणक से बदला जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहूंगा। चूँकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का VA ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का VA ज्ञात करें;
2. लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को एक मानक स्तर तक कम करें;
3. ऊपर दी गई योजना का उपयोग करके परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता का समाधान करें:

आइए पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (डीओ) खोजें:

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। अंश के शून्य ज्ञात करना:

3x − 2 = 0;
एक्स = 2/3.

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) मिलता है। दूसरे लघुगणक में समान VA होगा। यदि आपको मेरी बात पर विश्वास नहीं है तो आप इसकी जांच कर सकते हैं। अब हम दूसरे लघुगणक को बदलते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक के सामने तीन को कम कर दिया गया है। हमें एक ही आधार वाले दो लघुगणक मिले। आइए उन्हें जोड़ें:

लॉग 2 (x − 1) 2< 2;
लॉग 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की। हम सूत्र का उपयोग करके लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूंकि मूल असमानता में "इससे कम" चिह्न शामिल है, परिणामी तर्कसंगत अभिव्यक्ति भी शून्य से कम होनी चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 − 2एक्स − 3< 0;
(एक्स − 3)(एक्स + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

हमें दो सेट मिले:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उम्मीदवार का उत्तर: x ∈ (−1; 3).

इन समुच्चयों को प्रतिच्छेद करना बाकी है - हमें वास्तविक उत्तर मिलता है:

हम सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जो दोनों तीरों पर छायांकित हैं। हमें x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु छिद्रित हैं।

किसी असमानता को लघुगणकीय कहा जाता है यदि उसमें कोई लघुगणकीय फलन हो।

दो चीजों को छोड़कर, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ किसी से भिन्न नहीं हैं।

सबसे पहले, लघुगणकीय असमानता से उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता की ओर बढ़ते समय, किसी को ऐसा करना चाहिए परिणामी असमानता के संकेत का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है.

यदि लघुगणकीय फ़ंक्शन का आधार $1$ से अधिक है, तो लघुगणकीय असमानता से सबलॉगरिदमिक कार्यों की असमानता की ओर बढ़ने पर, असमानता का संकेत संरक्षित रहता है, लेकिन यदि यह $1$ से कम है, तो यह विपरीत में बदल जाता है .

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता को हल करने के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता होगी, और दूसरा लघुगणकीय असमानता में शामिल लघुगणकीय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का अंतराल होगा।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिह्न नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in )