स्थिर बिंदुओं की उपस्थिति के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच करने और उन्हें खोजने की प्रक्रिया किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय महत्वपूर्ण तत्वों में से एक है। यदि आपके पास गणितीय ज्ञान का एक निश्चित सेट है तो आप किसी फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु पा सकते हैं।

आपको चाहिये होगा

• - फ़ंक्शन जिसे स्थिर बिंदुओं की उपस्थिति के लिए जांचने की आवश्यकता है;
• - स्थिर बिंदुओं की परिभाषा: किसी फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु वे बिंदु (तर्क मान) होते हैं जिन पर पहले क्रम के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

निर्देश

• कार्यों को विभेदित करने के लिए व्युत्पन्नों और सूत्रों की तालिका का उपयोग करके, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करना आवश्यक है। कार्य के दौरान यह कदम सबसे कठिन और जिम्मेदारी भरा होता है। यदि आप इस स्तर पर कोई गलती करते हैं, तो आगे की गणना का कोई मतलब नहीं होगा।
• जांचें कि क्या किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उसके तर्क पर निर्भर करता है। यदि पाया गया व्युत्पन्न तर्क पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, यह एक संख्या है (उदाहरण के लिए, f"(x) = 5), तो इस मामले में फ़ंक्शन में स्थिर बिंदु नहीं हैं। ऐसा समाधान तभी संभव है जब अध्ययनाधीन फ़ंक्शन पहले क्रम का एक रैखिक फ़ंक्शन है (उदाहरण के लिए, f(x) = 5x+1 यदि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क पर निर्भर करता है, तो अंतिम चरण पर आगे बढ़ें।
• समीकरण f"(x) = 0 लिखें और इसे हल करें। समीकरण का कोई समाधान नहीं हो सकता है - इस मामले में, फ़ंक्शन में स्थिर बिंदु नहीं हैं। यदि समीकरण में समाधान हैं, तो तर्क के ये विशेष मान होंगे इस बिंदु पर फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु, समीकरण के समाधान को तर्क प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए।

महत्वपूर्ण बिंदु- ये वे बिंदु हैं जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है। यदि व्युत्पन्न 0 के बराबर है तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन लेता है स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम. ऐसे बिंदुओं पर ग्राफ़ पर फ़ंक्शन में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है, अर्थात, स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है अचल. यदि आप किसी सतत फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर "कूबड़" या "छेद" देखते हैं, तो याद रखें कि अधिकतम या न्यूनतम एक महत्वपूर्ण बिंदु पर पहुंच गया है। आइए निम्नलिखित कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण 1। फ़ंक्शन y=2x^3-3x^2+5 के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
समाधान। महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है:

तो फ़ंक्शन के दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

इसके बाद, यदि आपको किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने की आवश्यकता है, तो हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं और दाईं ओर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं। यदि महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न "-" से "+" में बदल जाता है, तो फ़ंक्शन लेता है स्थानीय न्यूनतम. यदि "+" से "-" होना चाहिए स्थानीय अधिकतम.

दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुये भिन्नात्मक और अपरिमेय कार्यों के हर के शून्य हैं

लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य जो इन बिंदुओं पर परिभाषित नहीं हैं


तीसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुटुकड़े-टुकड़े निरंतर कार्य और मॉड्यूल हैं।
उदाहरण के लिए, किसी भी मॉड्यूल-फ़ंक्शन में ब्रेक पॉइंट पर न्यूनतम या अधिकतम होता है।

उदाहरण के लिए मॉड्यूल y = | एक्स -5 | बिंदु x = 5 पर न्यूनतम (महत्वपूर्ण बिंदु) है।
इसमें व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन दाएं और बाएं पर क्रमशः 1 और -1 मान लेते हैं।

कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदुओं को निर्धारित करने का प्रयास करें

1)
2)
3)
4)
5)

यदि उत्तर y है तो आपको मूल्य मिलेगा
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) एक्स=1.
तो आप पहले से ही जानते हैं महत्वपूर्ण बिंदु कैसे खोजेंऔर एक साधारण परीक्षा या परीक्षणों का सामना करने में सक्षम हो।

परिभाषाएँ:

चरमकिसी दिए गए सेट पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम मान को कॉल करें।

चरम बिंदुवह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान पहुँच जाता है।

अधिकतम बिंदुवह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान पहुँच जाता है।

न्यूनतम बिंदुवह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान पहुँच जाता है।

स्पष्टीकरण।

चित्र में, बिंदु x = 3 के आसपास, फ़ंक्शन अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है (अर्थात, इस विशेष बिंदु के आसपास कोई बिंदु अधिक नहीं है)। x = 8 के पड़ोस में, इसका फिर से अधिकतम मूल्य होता है (आइए हम फिर से स्पष्ट करें: इस पड़ोस में इससे अधिक कोई बिंदु नहीं है)। इन बिंदुओं पर, वृद्धि कमी का मार्ग प्रशस्त करती है। वे अधिकतम अंक हैं:

x अधिकतम = 3, x अधिकतम = 8.

बिंदु x = 5 के आसपास, फ़ंक्शन का न्यूनतम मान पहुँच जाता है (अर्थात, x = 5 के आसपास कोई बिंदु नहीं है)। इस बिंदु पर कमी वृद्धि का मार्ग प्रशस्त करती है। यह न्यूनतम बिंदु है:

अधिकतम और न्यूनतम अंक हैं फ़ंक्शन के चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं चरम.

फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण और स्थिर बिंदु:

चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्त:

चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति:

एक खंड पर फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) या तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के अंत में अपने न्यूनतम या अधिकतम मूल्य तक पहुंच सकता है।

एक सतत फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदमय = एफ(एक्स) एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए:

§ 3 स्थिर बिंदु और विभेदक कलन 369

यह स्पष्ट है कि, आम तौर पर, विचाराधीन परिवार के दो वृत्त हैं, सीधी रेखा एल के स्पर्शरेखा: उनके केंद्र खंड पी क्यू के विपरीत किनारों पर स्थित हैं। स्पर्शरेखा के बिंदुओं में से एक पूर्ण अधिकतम देता है मान j, जबकि दूसरा केवल "सापेक्ष" अधिकतम देता है: इसका मतलब है कि इस बिंदु पर j का मान प्रश्न में बिंदु के कुछ पड़ोस के मानों से अधिक है। दो मैक्सिमा में से बड़ा - पूर्ण अधिकतम - स्पर्शरेखा के बिंदु द्वारा दिया जाता है, जो सीधी रेखा एल और खंड पी क्यू की निरंतरता से बने तीव्र कोण में स्थित है, और छोटा - स्पर्शरेखा के बिंदु द्वारा दिया जाता है, जो इन सीधी रेखाओं से बने अधिक कोण में स्थित होता है। (खंड P Q की निरंतरता के साथ सीधी रेखा l का प्रतिच्छेदन बिंदु कोण j का न्यूनतम मान देता है, अर्थात् j = 0.)

चावल। 190. किस बिंदु l से खंड P Q सबसे बड़े कोण पर दिखाई देता है?

विचार की गई समस्या को सामान्य करते हुए, हम सीधी रेखा l को कुछ वक्र C से बदल सकते हैं और वक्र C पर बिंदु R की तलाश कर सकते हैं, जहाँ से दिया गया खंड P Q, C को प्रतिच्छेद नहीं करते हुए, सबसे बड़े या सबसे छोटे कोण पर दिखाई देता है। इस समस्या में, पिछली समस्या की तरह, P, Q और R से गुजरने वाले वृत्त को बिंदु R पर वक्र C को अवश्य छूना चाहिए।

§ 3. स्थिर बिंदु और अंतर कलन

1. चरम और स्थिर बिंदु. पिछली चर्चाओं में हमने डिफरेंशियल कैलकुलस की तकनीकी विधियों का बिल्कुल भी उपयोग नहीं किया था।

यह स्वीकार करना मुश्किल नहीं है कि हमारी प्रारंभिक विधियाँ विश्लेषण की विधियों की तुलना में अधिक सरल और अधिक प्रत्यक्ष हैं। सामान्य तौर पर, किसी विशेष वैज्ञानिक समस्या से निपटते समय, उसके व्यक्तिगत स्तर से आगे बढ़ना बेहतर होता है

केवल सामान्य तरीकों पर भरोसा करने की अपेक्षा, हालाँकि, दूसरी ओर, सामान्य सिद्धांत जो लागू की गई विशेष प्रक्रियाओं के अर्थ को स्पष्ट करता है, निश्चित रूप से, हमेशा एक मार्गदर्शक भूमिका निभानी चाहिए। चरम समस्याओं पर विचार करते समय विभेदक कैलकुलस के तरीकों का यही महत्व है। आधुनिक विज्ञान में देखी गई व्यापकता की इच्छा मामले के केवल एक पक्ष का प्रतिनिधित्व करती है, क्योंकि गणित में जो वास्तव में महत्वपूर्ण है, वह बिना किसी संदेह के, विचार की गई समस्याओं और उपयोग की जाने वाली विधियों की व्यक्तिगत विशेषताओं द्वारा निर्धारित होता है।

अपने ऐतिहासिक विकास में, अंतर कैलकुलस मात्राओं के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने से जुड़ी व्यक्तिगत समस्याओं से बहुत महत्वपूर्ण हद तक प्रभावित था। चरम समस्याओं और विभेदक कैलकुलस के बीच संबंध को इस प्रकार समझा जा सकता है। अध्याय VIII में हम फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न f0 (x) और इसके ज्यामितीय अर्थ का विस्तृत अध्ययन करेंगे। वहां हम देखेंगे कि, संक्षेप में कहें तो, व्युत्पन्न f0 (x) बिंदु (x, y) पर वक्र y = f(x) की स्पर्श रेखा का ढलान है। यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि एक चिकने वक्र y = f(x) के अधिकतम या न्यूनतम बिंदुओं पर, वक्र की स्पर्श रेखा आवश्यक रूप से क्षैतिज होनी चाहिए, अर्थात ढलान शून्य होना चाहिए। इस प्रकार, हम चरम बिंदुओं के लिए स्थिति f0 (x) = 0 प्राप्त करते हैं।

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि व्युत्पन्न f0 (x) के गायब होने का क्या मतलब है, चित्र 191 में दिखाए गए वक्र पर विचार करें। हम यहां पांच बिंदु A, B, C, D, E देखते हैं, जिन पर वक्र की स्पर्शरेखा क्षैतिज है; आइए इन बिंदुओं पर f(x) के संगत मानों को a, b, c, d, e द्वारा निरूपित करें। एफ(एक्स) का सबसे बड़ा मान (चित्र में दिखाए गए क्षेत्र के भीतर) बिंदु डी पर प्राप्त किया जाता है, सबसे छोटा - बिंदु ए पर। बिंदु बी पर अधिकतम है - इस अर्थ में कि एक निश्चित पड़ोस में सभी बिंदुओं पर बिंदु B पर f(x) का मान b से कम है, हालाँकि D के निकट बिंदु पर f(x) का मान अभी भी b से अधिक है। इस कारण से, यह कहने की प्रथा है कि बिंदु B पर फ़ंक्शन f(x) का एक सापेक्ष अधिकतम है, जबकि बिंदु D पर एक पूर्ण अधिकतम है। इसी प्रकार, बिंदु C पर एक सापेक्ष न्यूनतम है, और बिंदु A पर एक पूर्ण न्यूनतम है। अंत में, जहाँ तक बिंदु E की बात है, इस पर न तो कोई अधिकतम है और न ही न्यूनतम, हालाँकि समानता f0 (x) = 0 अभी भी सत्य है, इससे पता चलता है कि व्युत्पन्न f0 (x) का लुप्त होना आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है एक सुचारु फलन f(x) के चरम की उपस्थिति के लिए स्थिति; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु पर जहां एक चरम (पूर्ण या सापेक्ष) है, समानता f0 (x) = 0 निश्चित रूप से कायम है, लेकिन हर उस बिंदु पर नहीं जहां f0 (x) = 0 है, वहां एक चरम होना चाहिए। वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न f0 (x) लुप्त हो जाता है, चाहे उन पर कोई चरम सीमा हो, स्थिर कहलाते हैं। आगे के विश्लेषण से कमोबेश यही निष्कर्ष निकलता है

§ 3 स्थिर बिंदु और विभेदक कलन 371

फ़ंक्शन f(x) के उच्च डेरिवेटिव से संबंधित जटिल स्थितियां और मैक्सिमा, मिनिमा और अन्य स्थिर बिंदुओं को पूरी तरह से चिह्नित करना।

चावल। 191. किसी फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु

2. कई चरों के कार्यों की अधिकतमा और न्यूनतमता। काठी बिंदु. ऐसी चरम समस्याएं हैं जिन्हें एक चर के फ़ंक्शन f(x) की अवधारणा का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यहां प्रासंगिक सबसे सरल उदाहरण दो स्वतंत्र चरों के फलन z = f(x, y) का चरम ज्ञात करने की समस्या है।

हम हमेशा फ़ंक्शन f(x, y) की कल्पना x, y समतल के ऊपर की सतह की ऊंचाई z के रूप में कर सकते हैं, और हम इस चित्र की व्याख्या एक पहाड़ी परिदृश्य के रूप में करेंगे। फ़ंक्शन का अधिकतम f(x, y) एक पर्वत शिखर से मेल खाता है, न्यूनतम एक छेद या झील के तल से मेल खाता है। दोनों मामलों में, जब तक सतह चिकनी न हो, सतह पर स्पर्शरेखा तल आवश्यक रूप से क्षैतिज होता है। लेकिन, पहाड़ों की चोटियों और गड्ढों में सबसे निचले बिंदुओं के अलावा, ऐसे अन्य बिंदु भी हो सकते हैं जिन पर स्पर्शरेखा तल क्षैतिज है: ये पहाड़ी दर्रों के अनुरूप "काठी" बिंदु हैं। आइए उनकी अधिक ध्यानपूर्वक जांच करें। मान लीजिए (चित्र 192) कि एक पर्वत श्रृंखला में दो चोटियाँ ए और बी हैं और पर्वत श्रृंखला के विभिन्न ढलानों पर दो बिंदु सी और डी हैं; आइए मान लें कि C से हमें D की ओर जाना है। आइए पहले C से D की ओर जाने वाले उन रास्तों पर विचार करें जो C और D से गुजरने वाले विमानों के साथ सतह को काटने से प्राप्त होते हैं। ऐसे प्रत्येक पथ का एक उच्चतम बिंदु होता है। जब काटने वाले तल की स्थिति बदलती है, तो पथ भी बदल जाता है, और ऐसा पथ खोजना संभव होगा जिसके लिए उच्चतम बिंदु होगा

न्यूनतम संभव स्थिति. इस मार्ग का उच्चतम बिंदु E हमारे परिदृश्य में एक पहाड़ी दर्रे का बिंदु है; इसे सैडल प्वाइंट भी कहा जा सकता है. यह स्पष्ट है कि बिंदु E पर न तो कोई अधिकतम है और न ही न्यूनतम, क्योंकि E के कितने भी करीब क्यों न हो, सतह पर ऐसे बिंदु हैं जो E से ऊपर हैं और जो E से नीचे हैं। पिछले तर्क में, कोई खुद को सीमित नहीं कर सकता था केवल उन रास्तों पर विचार करने के लिए, जो तब उत्पन्न होते हैं जब विमान एक सतह को काटते हैं, और सी और डी को जोड़ने वाले किसी भी पथ पर विचार करते हैं। हमने बिंदु ई को जो विशेषता दी है, वह इससे नहीं बदलेगी।

उसी तरह, यदि हम शिखर ए से शिखर बी तक जाना चाहते हैं, तो हम जो भी रास्ता चुन सकते हैं उसका एक निम्नतम बिंदु होगा; यहां तक ​​कि केवल समतल खंडों पर विचार करते हुए भी, हमें एक पथ AB मिलेगा जिसके लिए सबसे छोटा बिंदु उच्चतम स्थित होगा, और फिर से हमें वही बिंदु E मिलेगा। इस प्रकार, इस सैडल बिंदु E में उच्चतम न्यूनतम या निम्नतम अधिकतम प्रदान करने का गुण है : यहाँ एक "अधिकतम" या "न्यूनतम" है - संक्षेप में न्यूनतम। बिंदु E पर स्पर्श रेखा क्षैतिज है; वास्तव में, चूँकि E पथ AB का निम्नतम बिंदु है, तो E में AB की स्पर्शरेखा क्षैतिज है, और इसी प्रकार, चूँकि E पथ CD का उच्चतम बिंदु है, तो E में CD की स्पर्शरेखा क्षैतिज है। इसलिए, इन दो स्पर्शरेखा रेखाओं से गुजरने वाला स्पर्शरेखा तल आवश्यक रूप से क्षैतिज होता है। इसलिए हमें क्षैतिज स्पर्शरेखा तलों के साथ तीन अलग-अलग प्रकार के बिंदु मिलते हैं: अधिकतम बिंदु, न्यूनतम बिंदु और अंत में सैडल बिंदु; तदनुसार, स्थिर फ़ंक्शन मान तीन अलग-अलग प्रकार के होते हैं।

फ़ंक्शन f(x, y) को ज्यामितीय रूप से दर्शाने का दूसरा तरीका समतल रेखाएं खींचना है - वही रेखाएं जिनका उपयोग मानचित्रण में जमीन पर ऊंचाई इंगित करने के लिए किया जाता है (पृष्ठ 308 देखें)। एक स्तर रेखा x, y तल में एक वक्र है जिसके अनुदिश फलन f(x, y) का मान समान होता है; दूसरे शब्दों में, स्तर रेखाएँ परिवार f(x, y) = c के वक्रों के समान हैं। सामान्य के माध्यम से

चावल। 194. स्टेसी दोहरे रूप से जुड़े क्षेत्र में यूनरी पॉइंट

§ 3 स्थिर बिंदु और विभेदक कलन 373

बिल्कुल एक समतल रेखा समतल पर एक बिंदु से गुजरती है; अधिकतम और न्यूनतम बिंदु बंद स्तर रेखाओं से घिरे होते हैं, दो (या अधिक) स्तर रेखाएं काठी बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं; चित्र में. चित्र में दिखाए गए परिदृश्य के अनुरूप 193 स्तरीय रेखाएँ खींची गई हैं। 192.

इस मामले में, सैडल पॉइंट E की उल्लेखनीय संपत्ति विशेष रूप से स्पष्ट हो जाती है: A और B को जोड़ने वाला और E से नहीं गुजरने वाला प्रत्येक पथ आंशिक रूप से उस क्षेत्र में स्थित है जहां f(x, y)< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. मिनिमैक्स अंक और टोपोलॉजी। स्थिर बिंदुओं के सामान्य सिद्धांत और टोपोलॉजिकल विचारों के बीच गहरा संबंध है। इस संबंध में, हम यहां केवल एक संक्षिप्त संकेत दे सकते हैं और खुद को एक उदाहरण पर विचार करने तक सीमित रख सकते हैं।

दो तटीय आकृति C और C0 के साथ एक वलयाकार द्वीप B पर एक पहाड़ी परिदृश्य पर विचार करें; यदि हम, पहले की तरह, समुद्र तल से ऊपर की ऊंचाई को u = f(x, y) से निरूपित करते हैं, और मान लेते हैं कि आकृति C और C0 और f(x, y) > 0 पर f(x, y) = 0 है

अंदर, तो द्वीप पर कम से कम एक पहाड़ी दर्रा होना चाहिए: चित्र में। 194 ऐसा दर्रा उस बिंदु पर स्थित होता है जहां दो स्तर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। कहे गए कथन की वैधता तब स्पष्ट हो जाती है

क्या हमें ऐसा रास्ता खोजने का, जोड़ने का काम अपने आप को तय करना चाहिए

सामान्य C और C0, जो अधिक ऊंचाई तक नहीं बढ़ेंगे की तुलना में यह अपरिहार्य है. प्रत्येक C से C0 तक का पथ उच्चतम है

उच्चतम बिंदु, और यदि हम ऐसा पथ चुनते हैं जिसके लिए उच्चतम बिंदु निम्नतम है, तो इस प्रकार प्राप्त उच्चतम बिंदु फ़ंक्शन u = f(x, y) का सैडल बिंदु होगा। (यह एक तुच्छ मामले का उल्लेख करने लायक है, जो एक अपवाद का प्रतिनिधित्व करता है, जब कुछ क्षैतिज विमान एक बंद वक्र के साथ एक अंगूठी के आकार की पर्वत श्रृंखला को छूता है।) पी बंद वक्रों से घिरे क्षेत्र के मामले में, सामान्य तौर पर कम से कम अस्तित्व में होना चाहिए पी - 1 न्यूनतम अंक। मार्स्टन मोर्स द्वारा स्थापित समान संबंध, बहुआयामी क्षेत्रों के लिए भी होते हैं,

लेकिन इस मामले में टोपोलॉजिकल संभावनाओं और स्थिर बिंदुओं के प्रकारों की विविधता बहुत अधिक है। ये संबंध स्थिर बिंदुओं के आधुनिक सिद्धांत का आधार बनते हैं।

4. सतह से एक बिंदु की दूरी. बिंदु P दूरियों के लिए

एक बंद वक्र के विभिन्न बिंदुओं से (कम से कम) दो स्थिर मान होते हैं: न्यूनतम और अधिकतम। तीन आयामों की ओर बढ़ते समय, यदि हम खुद को एक सतह सी पर विचार करने तक सीमित रखते हैं जो स्थलीय रूप से एक गोले (जैसे कि एक दीर्घवृत्त) के बराबर है, तो कोई नए तथ्य सामने नहीं आते हैं। लेकिन यदि सतह जीनस 1 या उच्चतर की है, तो स्थिति अलग है। आइए टोरस सी की सतह पर विचार करें। बिंदु पी जो भी हो, निश्चित रूप से, टोरस सी पर हमेशा ऐसे बिंदु होते हैं जो पी से सबसे बड़ी और सबसे छोटी दूरी देते हैं, और संबंधित खंड सतह के लंबवत होते हैं। लेकिन अब हम यह स्थापित करेंगे कि इस मामले में न्यूनतम बिंदु भी हैं। आइए हम टोरस पर "मेरिडियन" वृत्त L में से एक की कल्पना करें (चित्र 195) और इस वृत्त L पर हम बिंदु Q को P के निकटतम पाएंगे। फिर, वृत्त L को टोरस के अनुदिश घुमाते हुए, हम इसकी स्थिति इस प्रकार पाते हैं कि दूरी P Q हो जाती है: a) न्यूनतम - तब हमें C पर P के निकटतम एक बिंदु मिलता है; बी) अधिकतम - तब आपको एक स्थिर न्यूनतम बिंदु मिलता है। उसी तरह, हम L पर वह बिंदु ढूंढ सकते हैं जो P से सबसे दूर है, और फिर L की स्थिति देखें जिस पर पाई गई सबसे बड़ी दूरी होगी: c) अधिकतम (हमें C पर P से सबसे दूर बिंदु मिलता है) , डी) न्यूनतम। तो हमें बिंदु P से टोरस बिंदु C की दूरी के लिए चार अलग-अलग स्थिर मान मिलते हैं।

चावल। 195-196. बिंदु से सतह तक की दूरी

व्यायाम। C पर एक बंद वक्र के अन्य प्रकार L0 के लिए भी यही तर्क दोहराएं, जिसे भी एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है (चित्र 196)।

पिछली चर्चाओं में हमने डिफरेंशियल कैलकुलस की तकनीकी विधियों का बिल्कुल भी उपयोग नहीं किया था।

यह स्वीकार करना कठिन नहीं है कि हमारी प्रारंभिक विधियाँ विश्लेषण विधियों की तुलना में अधिक सरल और अधिक प्रत्यक्ष हैं। सामान्य तौर पर, किसी विशेष वैज्ञानिक समस्या से निपटते समय, केवल सामान्य तरीकों पर भरोसा करने की तुलना में इसकी व्यक्तिगत विशेषताओं से आगे बढ़ना बेहतर होता है, हालांकि, दूसरी ओर, सामान्य सिद्धांत जो उपयोग की जाने वाली विशेष प्रक्रियाओं के अर्थ को स्पष्ट करता है, निश्चित रूप से , को सदैव मार्गदर्शक की भूमिका निभानी चाहिए। चरम समस्याओं पर विचार करते समय विभेदक कैलकुलस के तरीकों का यही महत्व है। आधुनिक विज्ञान में देखी गई व्यापकता की इच्छा मामले के केवल एक पक्ष का प्रतिनिधित्व करती है, क्योंकि गणित में जो वास्तव में महत्वपूर्ण है, वह बिना किसी संदेह के, विचार की गई समस्याओं और उपयोग की जाने वाली विधियों की व्यक्तिगत विशेषताओं द्वारा निर्धारित होता है।

अपने ऐतिहासिक विकास में, अंतर कैलकुलस मात्राओं के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने से जुड़ी व्यक्तिगत समस्याओं से बहुत महत्वपूर्ण हद तक प्रभावित था। चरम समस्याओं और विभेदक कैलकुलस के बीच संबंध को इस प्रकार समझा जा सकता है। अध्याय VIII में हम फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न f"(x) और इसके ज्यामितीय अर्थ का विस्तृत अध्ययन करेंगे। वहां हम देखेंगे कि, संक्षेप में बोलते हुए, व्युत्पन्न f"(x) का ढलान है वक्र की स्पर्शरेखा वाई = एफ(एक्स)बिंदु (x, y) पर। यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि एक चिकने वक्र के अधिकतम या न्यूनतम बिंदुओं पर वाई = एफ(एक्स)वक्र की स्पर्शरेखा निश्चित रूप से क्षैतिज होनी चाहिए, अर्थात ढलान शून्य होना चाहिए। इस प्रकार, हम चरम बिंदुओं के लिए शर्त प्राप्त करते हैं एफ"(एक्स) = 0.

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि व्युत्पन्न f"(x) के गायब होने का क्या मतलब है, चित्र 191 में दिखाए गए वक्र पर विचार करें। हम यहां पांच बिंदु A, B, C, D, ? देखते हैं, जिन पर वक्र की स्पर्श रेखा क्षैतिज है। ;आइए हम इन बिंदुओं पर f(x) के संगत मानों को निरूपित करें ए, बी, सी, डी, ई।एफ(एक्स) का सबसे बड़ा मान (चित्र में दिखाए गए क्षेत्र के भीतर) बिंदु डी पर प्राप्त किया जाता है, बिंदु ए पर सबसे छोटा। बिंदु बी पर अधिकतम है - इस अर्थ में कि सभी बिंदुओं पर कुछ पड़ोसबिंदु B पर, f(x) का मान b से कम है, हालाँकि D के निकट बिंदुओं पर, f(x) का मान अभी भी b से अधिक है। इस कारण से, यह कहने की प्रथा है कि बिंदु B पर है फ़ंक्शन की सापेक्ष अधिकतमता f(x), जबकि बिंदु D पर - पूर्ण अधिकतम.इसी तरह बिंदु C पर भी है सापेक्ष न्यूनतम,और बिंदु A पर - पूर्णतः न्यूनतम.अंत में, जहाँ तक बिंदु E की बात है, इसमें न तो कोई अधिकतम है और न ही न्यूनतम, हालाँकि इसमें अभी भी समानता का एहसास होता है एफ"(एक्स) = क्यू, यह इस प्रकार है कि व्युत्पन्न f"(x) का लुप्त होना है ज़रूरी, लेकिन बिलकुल नहीं पर्याप्तएक सुचारु फलन f(x) के चरम की उपस्थिति के लिए स्थिति; दूसरे शब्दों में, किसी भी बिंदु पर जहां चरम (पूर्ण या सापेक्ष) होता है, समानता निश्चित रूप से होती है एफ"(एक्स) = 0, लेकिन हर बिंदु पर नहीं एफ"(एक्स) = 0, चरम सीमा होनी चाहिए। वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न f"(x) लुप्त हो जाता है, चाहे उन पर कोई चरम सीमा हो, कहलाते हैं अचल।आगे के विश्लेषण से फ़ंक्शन f(x) के उच्च डेरिवेटिव और मैक्सिमा, मिनिमा और अन्य स्थिर बिंदुओं को पूरी तरह से चिह्नित करने से संबंधित कम या ज्यादा जटिल स्थितियां सामने आती हैं।