एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री होता है। एन निकितिन ज्यामिति

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं।

एक समांतर चतुर्भुज में चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं, लेकिन इसके अलावा इसकी अपनी विशिष्ट विशेषताएं भी होती हैं। इन्हें जानकर हम किसी समांतर चतुर्भुज की दोनों भुजाएँ और कोण आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुण

1. किसी भी चतुर्भुज की तरह, किसी भी समांतर चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है।
2. एक समांतर चतुर्भुज की मध्य रेखाएं और उसके विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा समद्विभाजित होते हैं। इस बिंदु को आमतौर पर समांतर चतुर्भुज की समरूपता का केंद्र कहा जाता है।
3. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ सदैव बराबर होती हैं।
4. साथ ही, इस आकृति में सदैव समान सम्मुख कोण होते हैं।
5. समांतर चतुर्भुज की किसी भी भुजा से सटे कोणों का योग सदैव 180° होता है।
6. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर होता है। इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), जहां d 1 और d 2 विकर्ण हैं, a और b आसन्न भुजाएँ हैं।
7. अधिक कोण की कोज्या सदैव शून्य से कम होती है।

व्यवहार में इन गुणों का उपयोग करके किसी दिए गए समांतर चतुर्भुज के कोण कैसे ज्ञात करें? और कौन से अन्य सूत्र इसमें हमारी सहायता कर सकते हैं? आइए उन विशिष्ट कार्यों को देखें जिनकी आवश्यकता है: समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात करें।

समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात करना

केस 1. एक अधिक कोण का माप ज्ञात है, हमें एक न्यून कोण खोजने की आवश्यकता है।

उदाहरण: समांतर चतुर्भुज ABCD में, कोण A 120° है। शेष कोणों का माप ज्ञात कीजिए।

समाधान: संपत्ति संख्या 5 का उपयोग करके, हम कार्य में दिए गए कोण के निकटवर्ती कोण बी का माप पा सकते हैं। यह इसके बराबर होगा:

• 180°-120°= 60°

और अब, संपत्ति संख्या 4 का उपयोग करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि शेष दो कोण सी और डी उन कोणों के विपरीत हैं जो हमने पहले ही पाए हैं। कोण C, कोण A के विपरीत है, कोण D, कोण B के विपरीत है। इसलिए, वे जोड़े में बराबर हैं।

• उत्तर: बी = 60°, सी = 120°, डी=60°

केस 2. भुजाओं और विकर्णों की लंबाई ज्ञात है

इस मामले में, हमें कोसाइन प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है।

हम पहले एक सूत्र का उपयोग करके आवश्यक कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं, और फिर एक विशेष तालिका का उपयोग करके यह पता लगा सकते हैं कि कोण स्वयं किसके बराबर है।

न्यून कोण के लिए सूत्र है:

• कोसा = (ए² + बी² - डी²) / (2 * ए * बी), कहां
• a वांछित न्यूनकोण है,
• A और B समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं,
• डी - छोटा विकर्ण

अधिक कोण के लिए, सूत्र थोड़ा बदल जाता है:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), जहां
• ß एक अधिक कोण है,
• A और B भुजाएँ हैं
• डी - बड़ा विकर्ण

उदाहरण: आपको एक समांतर चतुर्भुज का न्यून कोण ज्ञात करना होगा जिसकी भुजाएँ 6 सेमी और 3 सेमी हैं, और छोटा विकर्ण 5.2 सेमी है

न्यून कोण ज्ञात करने के लिए मानों को सूत्र में रखें:

• कोसा = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• कोसा = 1/2. तालिका से हमें पता चलता है कि वांछित कोण 60° है।

समस्या 1. समांतर चतुर्भुज का एक कोण 65° है। समांतर चतुर्भुज के शेष कोण ज्ञात कीजिए।

∠C =∠A = 65° एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।

∠A +∠B = 180° समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोण हैं।

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण के रूप में।

उत्तर: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

कार्य 2.एक समांतर चतुर्भुज के दो कोणों का योग 220° होता है। समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में 2 समान न्यून कोण और 2 समान अधिक कोण होते हैं, हमें दो अधिक कोणों का योग दिया जाता है, अर्थात। ∠B +∠D = 220°. तब ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180°, समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोण, इसलिए ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. तब ∠C =∠A = 70°.

उत्तर: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

कार्य 3.समांतर चतुर्भुज का एक कोण दूसरे से 3 गुना बड़ा है। समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

माना ∠A =x. तब ∠B = 3x. यह जानते हुए कि किसी समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° के बराबर होता है, हम एक समीकरण बनाएंगे।

एक्स = 180 : 4;

हमें मिलता है: ∠A = x = 45°, और ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

उत्तर: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

कार्य 4.सिद्ध कीजिए कि यदि किसी चतुर्भुज की दो समानांतर और समान भुजाएँ हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

सबूत।

आइए विकर्ण BD बनाएं और Δ ADB और Δ CBD पर विचार करें।

शर्त के अनुसार AD = BC. बीडी पक्ष आम है. ∠1 = ∠2 आंतरिक क्रॉसवाइज समानांतर (शर्त के अनुसार) रेखाओं AD और BC और छेदक BD के साथ स्थित है। इसलिए, Δ ADB = Δ CBD दो पक्षों पर और उनके बीच का कोण (त्रिकोणों की समानता का पहला संकेत)। सर्वांगसम त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है ∠3 =∠4. और ये कोण सीधी रेखाओं AB और CD और छेदक BD के साथ आड़े पड़े हुए आंतरिक कोण हैं। इसका तात्पर्य यह है कि रेखाएँ AB और CD समानांतर हैं। इस प्रकार, इस चतुर्भुज ABCD में, विपरीत भुजाएँ जोड़े में समानांतर हैं, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

कार्य 5.एक समांतर चतुर्भुज की दोनों भुजाओं का अनुपात 2 है : 5, और परिधि 3.5 मीटर है। समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

∙ (एबी + एडी)।

आइए एक भाग को x से निरूपित करें। तब AB = 2x, AD = 5x मीटर। यह जानते हुए कि समांतर चतुर्भुज की परिधि 3.5 मीटर है, हम समीकरण बनाते हैं:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x = 3.5;

एक्स = 3.5 : 14;

एक भाग 0.25 मीटर है तो AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 मीटर; एडी = 5 ∙ 0.25 = 1.25 मीटर.

इंतिहान।

समांतर चतुर्भुज P ABCD का परिमाप = 2 ∙ (एबी + एडी) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (एम).

चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, तो CD = AB = 0.25 m; बीसी = एडी = 1.25 मीटर।

उत्तर: सीडी = एबी = 0.25 मीटर; बीसी = एडी = 1.25 मीटर।

जिस तरह यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक बिंदु और एक सीधी रेखा विमानों के सिद्धांत के मुख्य तत्व हैं, उसी तरह एक समांतर चतुर्भुज उत्तल चतुर्भुज के प्रमुख आंकड़ों में से एक है। इसमें से, एक गेंद से धागे की तरह, "आयत", "वर्ग", "रोम्बस" और अन्य ज्यामितीय मात्राओं की अवधारणाएँ प्रवाहित होती हैं।

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समांतर चतुर्भुज की परिभाषा

उत्तल चतुर्भुज,रेखाखंडों से मिलकर बना, जिसका प्रत्येक जोड़ा समानांतर हो, ज्यामिति में समांतर चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है।

एक क्लासिक समांतर चतुर्भुज कैसा दिखता है, इसे एक चतुर्भुज ABCD द्वारा दर्शाया गया है। भुजाओं को आधार (AB, BC, CD और AD) कहा जाता है, किसी शीर्ष से इस शीर्ष के विपरीत भुजा पर खींचा गया लम्ब ऊँचाई (BE और BF) कहलाता है, रेखाएँ AC और BD विकर्ण कहलाती हैं।

ध्यान!वर्ग, समचतुर्भुज और आयत समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं।

पक्ष और कोण: रिश्ते की विशेषताएं

मुख्य गुण, कुल मिलाकर, पदनाम से ही पूर्वनिर्धारित, वे प्रमेय द्वारा सिद्ध होते हैं। ये विशेषताएँ इस प्रकार हैं:

1. जो भुजाएँ विपरीत हैं वे जोड़े में समान हैं।
2. एक दूसरे के विपरीत कोण जोड़े में बराबर होते हैं।

प्रमाण: ∆ABC और ∆ADC पर विचार करें, जो चतुर्भुज ABCD को सीधी रेखा AC से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं। ∠BCA=∠CAD और ∠BAC=∠ACD, क्योंकि AC उनके लिए उभयनिष्ठ है (क्रमशः BC||AD और AB||CD के लिए ऊर्ध्वाधर कोण)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है: ∆ABC = ∆ADC (त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिह्न)।

∆ABC में खंड AB और BC, ∆ADC में रेखाओं CD और AD के जोड़े में हैं, जिसका अर्थ है कि वे समान हैं: AB = CD, BC = AD। इस प्रकार, ∠B, ∠D से मेल खाता है और वे बराबर हैं। चूँकि ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, जो जोड़ीवार भी समान हैं, तो ∠A = ∠C. संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

किसी आकृति के विकर्णों की विशेषताएँ

मुख्य विशेषतासमांतर चतुर्भुज की इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें आधे में विभाजित करता है।

प्रमाण: मान लीजिए आकृति ABCD के विकर्ण AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। वे दो अनुरूप त्रिभुज बनाते हैं - ∆ABE और ∆CDE।

AB=CD क्योंकि वे विपरीत हैं। रेखाओं और छेदक के अनुसार, ∠ABE = ∠CDE और ∠BAE = ∠DCE।

समानता की दूसरी कसौटी के अनुसार, ∆ABE = ∆CDE. इसका मतलब है कि तत्व ∆ABE और ∆CDE: AE = CE, BE = DE और साथ ही वे AC और BD के आनुपातिक भाग हैं। संपत्ति सिद्ध हो चुकी है.

आसन्न कोनों की विशेषताएं

आसन्न भुजाओं के कोणों का योग 180° के बराबर होता है, क्योंकि वे समानांतर रेखाओं और एक तिर्यक रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं। चतुर्भुज ABCD के लिए:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

द्विभाजक के गुण:

1. , एक तरफ से नीचे, लंबवत हैं;
2. विपरीत शीर्षों में समानांतर समद्विभाजक होते हैं;
3. समद्विभाजक खींचने से प्राप्त त्रिभुज समद्विबाहु होगा।

प्रमेय का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज की विशिष्ट विशेषताओं का निर्धारण

इस आकृति की विशेषताएँ इसके मुख्य प्रमेय से अनुसरण करती हैं, जो निम्नलिखित बताती है: चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज माना जाता हैइस घटना में कि इसके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, और यह बिंदु उन्हें समान खंडों में विभाजित करता है।

प्रमाण: मान लीजिए कि चतुर्भुज ABCD की रेखाएँ AC और BD बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि ∠AED = ∠BEC, और AE+CE=AC BE+DE=BD, तो ∆AED = ∆BEC (त्रिकोणों की समानता के लिए पहले मानदंड के अनुसार)। अर्थात, ∠EAD = ∠ECB. वे रेखाओं AD और BC के लिए सेकेंट AC के आंतरिक क्रॉस कोण भी हैं। इस प्रकार, समांतरता की परिभाषा के अनुसार - AD || ईसा पूर्व रेखाओं BC और CD का समान गुण भी प्राप्त होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना

इस आकृति का क्षेत्रफल कई तरीकों से पाया गयासबसे सरल में से एक: ऊंचाई और जिस आधार पर इसे खींचा गया है उसे गुणा करना।

प्रमाण: शीर्ष B और C से लंब BE और CF खींचिए। ∆ABE और ∆DCF बराबर हैं, क्योंकि AB = CD और BE = CF है। एबीसीडी आकार में आयत ईबीसीएफ के बराबर है, क्योंकि उनमें आनुपातिक आंकड़े शामिल हैं: एस एबीई और एस ईबीसीडी, साथ ही एस डीसीएफ और एस ईबीसीडी। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल एक आयत के समान है:

एस एबीसीडी = एस ईबीसीएफ = बीई×बीसी=बीई×एडी।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र निर्धारित करने के लिए, आइए हम ऊँचाई को इस प्रकार निरूपित करें मॉडिफ़ाइड अमेरिकन प्लान, और पक्ष - बी. क्रमश:

क्षेत्रफल ज्ञात करने के अन्य तरीके

क्षेत्र की गणना समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और कोण के माध्यम से, जो वे बनाते हैं, दूसरी ज्ञात विधि है।

,

स्प्र-मा - क्षेत्र;

a और b इसकी भुजाएँ हैं

α खंड a और b के बीच का कोण है।

यह विधि व्यावहारिक रूप से पहले पर आधारित है, लेकिन मामले में यह अज्ञात है। हमेशा एक समकोण त्रिभुज को काटता है जिसके पैरामीटर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा पाए जाते हैं, अर्थात। रिश्ते को बदलने पर, हमें मिलता है। पहली विधि के समीकरण में, हम ऊंचाई को इस उत्पाद से प्रतिस्थापित करते हैं और इस सूत्र की वैधता का प्रमाण प्राप्त करते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और कोण के माध्यम से,जिसे वे प्रतिच्छेद करते समय बनाते हैं, आप क्षेत्र का भी पता लगा सकते हैं।

प्रमाण: AC और BD प्रतिच्छेद करके चार त्रिभुज बनाते हैं: ABE, BEC, CDE और AED। इनका योग इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

इनमें से प्रत्येक ∆ का क्षेत्रफल अभिव्यक्ति द्वारा पाया जा सकता है, जहां a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. चूंकि, गणना एकल साइन मान का उपयोग करती है। वह है । चूँकि AE+CE=AC= d 1 और BE+DE=BD= d 2, क्षेत्रफल सूत्र कम हो जाता है:

.

वेक्टर बीजगणित में अनुप्रयोग

इस चतुर्भुज के घटक भागों की विशेषताओं को वेक्टर बीजगणित में आवेदन मिला है, अर्थात् दो वैक्टरों का योग। समांतर चतुर्भुज नियम यह बताता है यदि सदिश दिए गए हैंऔरनहींसंरेख हैं, तो उनका योग इस आकृति के विकर्ण के बराबर होगा, जिसके आधार इन सदिशों के अनुरूप हैं।

प्रमाण: मनमाने ढंग से चुनी गई शुरुआत से - यानी। - वैक्टर का निर्माण करें और। इसके बाद, हम एक समांतर चतुर्भुज OASV बनाते हैं, जहाँ खंड OA और OB भुजाएँ हैं। इस प्रकार, ओएस वेक्टर या योग पर स्थित है।

समांतर चतुर्भुज के मापदंडों की गणना के लिए सूत्र

पहचान निम्नलिखित शर्तों के तहत दी गई हैं:

1. ए और बी, α - भुजाएँ और उनके बीच का कोण;
2. डी 1 और डी 2, γ - विकर्ण और उनके चौराहे के बिंदु पर;
3. एच ए और एच बी - पक्षों ए और बी से कम ऊँचाई;

पैरामीटर	FORMULA
पक्षों का पता लगाना
विकर्णों के अनुदिश और उनके बीच के कोण की कोज्या
विकर्णों और भुजाओं के अनुदिश
ऊँचाई और विपरीत शीर्ष से होकर
विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना
किनारों पर और उनके बीच शीर्ष का आकार

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं, अर्थात्। समानांतर रेखाओं पर लेटें

समांतर चतुर्भुज के गुण:
प्रमेय 22. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
सबूत। समांतर चतुर्भुज ABCD में हम एक विकर्ण AC बनाते हैं। त्रिभुज ACD और ACB सर्वांगसम हैं, क्योंकि इनकी एक भुजा AC और समान कोणों के दो जोड़े हैं। इसके समीप: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (समानांतर रेखाओं AD और BC के साथ क्रॉसस्वाइज़ कोण के रूप में)। इसका मतलब है कि AB = CD और BC = AD, समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं के रूप में, आदि। इन त्रिभुजों की समानता से यह भी पता चलता है कि त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं:
प्रमेय 23. समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर हैं: ∠ A=∠ C और ∠ B=∠ D.
पहली जोड़ी की समानता त्रिभुज ABD और CBD की समानता से आती है, और दूसरी - ABC और ACD की समानता से आती है।
प्रमेय 24. समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण, अर्थात् एक तरफ के निकटवर्ती कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि वे आंतरिक एक तरफा कोण हैं।
प्रमेय 25. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
सबूत। त्रिभुज BOC और AOD पर विचार करें। पहली संपत्ति के अनुसार AD=BC ∠ OAD=∠ OCB और ∠ ODA=∠OBC समानांतर रेखाओं AD और BC के लिए आड़े-तिरछे पड़े हैं। इसलिए, त्रिभुज BOC और AOD भुजा और आसन्न कोणों में बराबर हैं। इसका मतलब है BO=OD और AO=OS, जैसे समान त्रिभुजों की संगत भुजाएँ, आदि।

समांतर चतुर्भुज के लक्षण
प्रमेय 26. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़े में बराबर हों, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
सबूत। मान लीजिए चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ क्रमशः AD और BC, AB और CD बराबर हैं (चित्र 2)। आइए विकर्ण AC बनाएं। त्रिभुज ABC और ACD तीन भुजाओं पर बराबर हैं। तब कोण BAC और DCA बराबर हैं और इसलिए, AB, CD के समानांतर है। भुजाओं BC और AD की समानता कोण CAD और ACB की समानता से होती है।
प्रमेय 27. यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोण जोड़े में बराबर हों, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
माना ∠ A=∠ C और ∠ B=∠ D. क्योंकि ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, फिर ∠ A+∠ B=180 o और भुजाएँ AD और BC समानांतर हैं (सीधी रेखाओं की समानता के आधार पर)। हम भुजाओं AB और CD की समांतरता को भी सिद्ध करेंगे और निष्कर्ष निकालेंगे कि परिभाषा के अनुसार ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमेय 28. यदि चतुर्भुज के आसन्न कोने, अर्थात् एक भुजा से सटे कोणों का योग 180 डिग्री होता है, तो यह एक समांतर चतुर्भुज है।
यदि आंतरिक एकतरफ़ा कोणों का योग 180 डिग्री हो, तो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं। अतः AB, CD के समानांतर है और BC, AD के समानांतर है। परिभाषा के अनुसार एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 29. यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेद बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
सबूत। यदि AO = OC, BO = OD है, तो त्रिभुज AOD और BOC बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष O पर समान (ऊर्ध्वाधर) कोण हैं, जो समान भुजाओं के जोड़े के बीच घिरे हुए हैं। त्रिभुजों की समानता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि AD और BC बराबर हैं। भुजाएँ AB और CD भी बराबर हैं, और चतुर्भुज मानदंड 1 के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 30. यदि किसी चतुर्भुज में समान, समानांतर भुजाओं का एक जोड़ा है, तो वह एक समांतर चतुर्भुज है।
माना चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB और CD समानांतर और बराबर हैं। आइए विकर्ण AC और BD बनाएं। इन रेखाओं की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रॉसवाइज कोण ABO = CDO और BAO = OCD बराबर हैं। त्रिभुज ABO और CDO भुजा और आसन्न कोण में बराबर हैं। इसलिए AO=OS, VO=ОD, यानी। विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है और चतुर्भुज मानदंड 4 के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।

ज्यामिति में, समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों पर विचार किया जाता है।

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं, अर्थात् वे समांतर रेखाओं पर स्थित होती हैं (चित्र 1)।

प्रमेय 1. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और कोणों के गुणों पर।एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, सम्मुख कोण बराबर होते हैं और समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° होता है।

सबूत। इस समांतर चतुर्भुज ABCD में हम एक विकर्ण AC बनाते हैं और दो त्रिभुज ABC और ADC प्राप्त करते हैं (चित्र 2)।

ये त्रिभुज बराबर हैं, क्योंकि ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (समानांतर रेखाओं के लिए क्रॉसवाइज कोण), और भुजा AC उभयनिष्ठ है। समानता Δ ABC = Δ ADC से यह निष्कर्ष निकलता है कि AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. एक तरफ के निकटवर्ती कोणों का योग, उदाहरण के लिए कोण A और D, एक तरफा के रूप में 180° के बराबर है समानांतर रेखाओं के लिए. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी। समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की समानता का अर्थ है कि समांतर रेखाओं द्वारा काटे गए समांतर रेखाओं के खंड बराबर हैं।

उपफल 1. यदि दो रेखाएँ समान्तर हों तो एक रेखा के सभी बिंदु दूसरी रेखा से समान दूरी पर होते हैं।

सबूत। वास्तव में, चलो एक || बी (चित्र 3)।

आइए रेखा बी के कुछ दो बिंदुओं बी और सी से सीधी रेखा ए पर लंब बीए और सीडी खींचें। चूंकि एबी || CD, तो आकृति ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, और इसलिए AB = CD है।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर एक मनमाने बिंदु से दूसरी रेखा तक की दूरी है।

जो सिद्ध हो चुका है उसके अनुसार यह एक समानांतर रेखा के किसी बिंदु से दूसरी रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई के बराबर है।

उदाहरण 1।समांतर चतुर्भुज का परिमाप 122 सेमी है। इसकी एक भुजा दूसरी से 25 सेमी बड़ी है।

समाधान। प्रमेय 1 के अनुसार, समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। आइए समांतर चतुर्भुज की एक भुजा को x और दूसरी भुजा को y से निरूपित करें। फिर, शर्त के अनुसार $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x = 43, y = 18 प्राप्त होता है इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 18, 43, 18 और 43 सेमी हैं।

उदाहरण 2.

समाधान। मान लीजिए चित्र 4 समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

आइए हम AB को x से और BC को y से निरूपित करें। शर्त के अनुसार, समांतर चतुर्भुज का परिमाप 10 सेमी है, अर्थात 2(x + y) = 10, या x + y = 5. त्रिभुज ABD का परिमाप 8 सेमी है और चूँकि AB + AD = x + y = है 5 तो बीडी = 8 - 5 = 3. तो BD = 3 सेमी.

उदाहरण 3.समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनमें से एक दूसरे से 50° बड़ा है।

समाधान। मान लीजिए चित्र 5 समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

आइए हम कोण A के डिग्री माप को x से निरूपित करें। तब कोण D का डिग्री माप x + 50° है।

कोण BAD और ADC समानांतर रेखाओं AB और DC और छेदक AD के साथ एक तरफा आंतरिक कोण हैं। तब इन नामित कोणों का योग 180° होगा, अर्थात।
x + x + 50° = 180°, या x = 65°. इस प्रकार, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

उदाहरण 4.समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4.5 dm और 1.2 dm हैं। एक न्यून कोण के शीर्ष से एक समद्विभाजक खींचा जाता है। यह समांतर चतुर्भुज की बड़ी भुजा को किन भागों में विभाजित करता है?

समाधान। मान लीजिए चित्र 6 समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

AE एक समांतर चतुर्भुज के न्यून कोण का समद्विभाजक है। इसलिए, ∠ 1 = ∠ 2.