मध्यवर्ती स्तर

समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग (2019)

1. समांतर चतुर्भुज

यौगिक शब्द "समांतर चतुर्भुज"? और इसके पीछे एक बहुत ही साधारण सी आकृति छिपी हुई है.

खैर, यानी, हमने दो समानांतर रेखाएँ लीं:

दो और द्वारा पार किया गया:

और अंदर एक समांतर चतुर्भुज है!

समांतर चतुर्भुज में क्या गुण होते हैं?

समांतर चतुर्भुज के गुण.

अर्थात्, यदि समस्या को एक समांतर चतुर्भुज दिया जाए तो आप क्या उपयोग कर सकते हैं?

निम्नलिखित प्रमेय इस प्रश्न का उत्तर देता है:

आइए सब कुछ विस्तार से बताएं।

इसका मतलब क्या है प्रमेय का पहला बिंदु? और तथ्य यह है कि यदि आपके पास एक समांतर चतुर्भुज है, तो आपके पास निश्चित रूप से होगा

दूसरे बिंदु का अर्थ है कि यदि कोई समांतर चतुर्भुज है, तो, फिर, निश्चित रूप से:

खैर, और अंत में, तीसरे बिंदु का अर्थ है कि यदि आपके पास एक समांतर चतुर्भुज है, तो सुनिश्चित करें:

क्या आप देखते हैं कि वहाँ पसंद का कितना खजाना है? समस्या में क्या उपयोग करें? कार्य के प्रश्न पर ध्यान केंद्रित करने का प्रयास करें, या बस एक-एक करके सब कुछ करने का प्रयास करें - कुछ "कुंजी" काम करेगी।

आइए अब अपने आप से एक और प्रश्न पूछें: हम किसी समांतर चतुर्भुज को "दृष्टि से" कैसे पहचान सकते हैं? एक चतुर्भुज का क्या होना चाहिए ताकि हमें इसे समांतर चतुर्भुज का "शीर्षक" देने का अधिकार हो?

समांतर चतुर्भुज के कई चिह्न इस प्रश्न का उत्तर देते हैं।

समांतर चतुर्भुज के लक्षण.

ध्यान! चलो शुरू करें।

समांतर चतुर्भुज.

कृपया ध्यान दें: यदि आपको अपनी समस्या में कम से कम एक चिन्ह मिलता है, तो आपके पास निश्चित रूप से एक समांतर चतुर्भुज है, और आप समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

2. आयत

मुझे लगता है कि ये आपके लिए बिल्कुल भी खबर नहीं होगी

पहला प्रश्न: क्या आयत एक समांतर चतुर्भुज है?

बेशक यह है! आख़िरकार, उसके पास - याद है, हमारा चिन्ह 3?

और यहाँ से, निश्चित रूप से, यह पता चलता है कि एक आयत में, किसी भी समांतर चतुर्भुज की तरह, विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

लेकिन आयत का एक विशिष्ट गुण भी है।

आयताकार संपत्ति

यह संपत्ति विशिष्ट क्यों है? क्योंकि किसी अन्य समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण समान नहीं होते। आइए इसे और अधिक स्पष्ट रूप से तैयार करें।

कृपया ध्यान दें: एक आयत बनने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज बनना होगा, और फिर विकर्णों की समानता प्रदर्शित करनी होगी।

3. हीरा

और फिर प्रश्न: क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?

पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारी सुविधा 2 याद रखें)।

और फिर, चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज में, विपरीत कोण बराबर होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं।

एक समचतुर्भुज के गुण

तस्वीर पर देखो:

जैसा कि एक आयत के मामले में, ये गुण विशिष्ट हैं, अर्थात, इनमें से प्रत्येक गुण के लिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह केवल एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, बल्कि एक समचतुर्भुज है।

हीरे के लक्षण

और फिर, ध्यान दें: केवल एक चतुर्भुज नहीं होना चाहिए जिसके विकर्ण लंबवत हों, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज भी होना चाहिए। सुनिश्चित करें:

नहीं, निःसंदेह, यद्यपि इसके विकर्ण लंबवत हैं, और विकर्ण कोणों का समद्विभाजक है। लेकिन... विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित नहीं होते हैं, इसलिए - एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, और इसलिए एक समचतुर्भुज नहीं है।

अर्थात्, एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। चलो देखते हैं क्या होता हैं।

क्या यह स्पष्ट है क्यों? - समचतुर्भुज कोण A का समद्विभाजक है, जो बराबर है। इसका मतलब यह है कि यह दो कोणों में विभाजित (और भी) करता है।

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं; एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर, विकर्णों का एक समांतर चतुर्भुज प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होता है।

मध्य स्तर

चतुर्भुजों के गुण. चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज के गुण

ध्यान! शब्द " समांतर चतुर्भुज के गुण"मतलब कि अगर आपके काम में वहाँ हैसमांतर चतुर्भुज, तो निम्नलिखित सभी का उपयोग किया जा सकता है।

समांतर चतुर्भुज के गुणों पर प्रमेय.

किसी भी समांतर चतुर्भुज में:

आइए दूसरे शब्दों में समझें कि यह सब सच क्यों है हम साबित करेंगेप्रमेय.

तो 1) सत्य क्यों है?

यदि यह एक समांतर चतुर्भुज है, तो:

• आड़े-तिरछे लेटे हुए
• क्रॉस की तरह झूठ बोलना.

इसका मतलब है (मानदंड II के अनुसार: और - सामान्य।)

अच्छा, बस यही है, यही है! - सिद्ध।

लेकिन वैसे! हमने भी साबित कर दिया 2)!

क्यों? लेकिन (तस्वीर को देखो), इसका मतलब ठीक यही है।

केवल तीन छोड़ दिया)।

ऐसा करने के लिए, आपको अभी भी दूसरा विकर्ण बनाना होगा।

और अब हम देखते हैं कि - II विशेषता (कोण और उनके बीच का किनारा) के अनुसार।

गुण सिद्ध! आइए संकेतों पर चलते हैं।

समांतर चतुर्भुज के लक्षण

याद रखें कि समांतर चतुर्भुज चिन्ह इस प्रश्न का उत्तर देता है "आप कैसे जानते हैं?" कि एक आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

आइकनों में यह इस प्रकार है:

क्यों? यह समझना अच्छा होगा कि क्यों - यही काफी है। लेकिन देखो:

खैर, हमने यह पता लगा लिया कि संकेत 1 सत्य क्यों है।

खैर, यह और भी आसान है! आइए फिर से एक विकर्ण बनाएं।

मतलब:

औरयह आसान भी है. लेकिन...अलग!

मतलब, । बहुत खूब! लेकिन यह भी - एक सेकेंट के साथ आंतरिक एकतरफा!

इसलिए तथ्य यह है कि इसका मतलब है.

और यदि आप दूसरी तरफ से देखते हैं, तो - एक छेदक के साथ आंतरिक एकतरफा! और इसीलिए.

क्या आप देखते हैं यह कितना बढ़िया है?!

और फिर से सरल:

बिल्कुल वैसा ही, और.

कृपया ध्यान दें:अगर तुम्हें मिल गया कम से कमआपकी समस्या में समांतर चतुर्भुज का एक चिह्न, तो आपके पास है बिल्कुलसमांतर चतुर्भुज और आप उपयोग कर सकते हैं सब लोगसमांतर चतुर्भुज के गुण.

पूर्ण स्पष्टता के लिए, चित्र देखें:

चतुर्भुजों के गुण. आयत।

आयत गुण:

बिंदु 1) बिल्कुल स्पष्ट है - आखिरकार, संकेत 3 () बस पूरा हो गया है

और बिंदु 2)- बहुत ज़रूरी. तो, आइए इसे साबित करें

इसका मतलब दो तरफ (और - सामान्य) है।

खैर, चूँकि त्रिभुज बराबर हैं, तो उनके कर्ण भी बराबर हैं।

यह साबित कर दिया!

और कल्पना कीजिए, सभी समांतर चतुर्भुजों के बीच विकर्णों की समानता एक आयत का एक विशिष्ट गुण है। अर्थात् यह कथन सत्य है^

आइये समझते हैं क्यों?

इसका मतलब है (मतलब समांतर चतुर्भुज के कोण)। लेकिन हमें एक बार फिर याद रखना चाहिए कि यह एक समांतर चतुर्भुज है, और इसलिए।

मतलब, । खैर, निःसंदेह, यह इस प्रकार है कि उनमें से प्रत्येक! आख़िरकार, उन्हें पूरा योगदान देना होगा!

तो उन्होंने ये साबित कर दिया कि अगर चतुर्भुजअचानक (!) विकर्ण बराबर हो जाते हैं, तो यह बिल्कुल एक आयत.

लेकिन! ध्यान देना!हम बात कर रहे हैं समानांतर चतुर्भुज! सिर्फ किसी को नहींसमान विकर्णों वाला एक चतुर्भुज एक आयत है, और केवलसमांतर चतुर्भुज!

चतुर्भुजों के गुण. विषमकोण

और फिर प्रश्न: क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?

पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें (हमारी सुविधा 2 याद रखें)।

और फिर, चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज में, विपरीत कोण बराबर होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं।

लेकिन इसमें विशेष गुण भी हैं। आइए इसे तैयार करें।

एक समचतुर्भुज के गुण

क्यों? खैर, चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण आधे में विभाजित होते हैं।

क्यों? हाँ, इसीलिए!

दूसरे शब्दों में, विकर्ण समचतुर्भुज के कोनों के समद्विभाजक बन गए।

जैसे कि एक आयत के मामले में, ये गुण हैं विशेष, उनमें से प्रत्येक एक समचतुर्भुज का चिन्ह भी है।

हीरे के लक्षण.

ऐसा क्यों है? और देखो,

इसका मत दोनोंये त्रिभुज समद्विबाहु हैं।

एक समचतुर्भुज बनने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज "बनना" चाहिए, और फिर विशेषता 1 या विशेषता 2 प्रदर्शित करनी चाहिए।

चतुर्भुजों के गुण. वर्ग

अर्थात्, एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। चलो देखते हैं क्या होता हैं।

क्या यह स्पष्ट है क्यों? एक वर्ग - एक समचतुर्भुज - एक कोण का समद्विभाजक है जो इसके बराबर होता है। इसका मतलब यह है कि यह दो कोणों में विभाजित (और भी) करता है।

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं; एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर, विकर्णों का एक समांतर चतुर्भुज प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होता है।

क्यों? ठीक है, आइए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें...

सारांश और बुनियादी सूत्र

समांतर चतुर्भुज के गुण:

1. सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं: , .
2. सम्मुख कोण बराबर होते हैं: , .
3. एक तरफ के कोणों का योग होता है: , .
4. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है:।

आयत गुण:

1. आयत के विकर्ण बराबर हैं: .
2. एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है (एक आयत के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।

एक समचतुर्भुज के गुण:

1. एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं:।
2. एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं: ; ; ; .
3. एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (एक समचतुर्भुज के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।

एक वर्ग के गुण:

एक वर्ग एक ही समय में एक समचतुर्भुज और एक आयत है, इसलिए, एक वर्ग के लिए एक आयत और एक समचतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं। और भी.

क्वाडगोन्स।

§43. समांतर चतुर्भुज.

1. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा.

यदि हम समानांतर रेखाओं के एक जोड़े को समानांतर रेखाओं के दूसरे जोड़े के साथ काटते हैं, तो हमें एक चतुर्भुज मिलता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़े में समानांतर होती हैं।

चतुर्भुज ABC और EFNM में (चित्र 224) ВD || एसी और एबी || सीडी;
ईएफ || एमएन और ईएम || एफ.एन.

वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समान्तर हों, समांतर चतुर्भुज कहलाता है।

2. समांतर चतुर्भुज के गुण.

प्रमेय. एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

मान लीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज ABC है (चित्र 225), जिसमें AB || है सीडी और एसी || वी.डी.

आपको यह सिद्ध करना होगा कि विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

आइए समांतर चतुर्भुज ABC में विकर्ण CB बनाएं। आइए इसे साबित करें /\ सीएबी= /\ सी.डी.बी.

इन त्रिभुजों में भुजा NE उभयनिष्ठ है; / एबीसी = / बीसीडी, समानांतर एबी और सीडी और छेदक सीबी के साथ आंतरिक क्रॉसवाइज कोण के रूप में; / डीआईए = / СВD, समानांतर AC ​​और ВD और छेदक CB (§ 38) के साथ आंतरिक क्रॉसवाइज कोणों की तरह।

यहाँ से /\ सीएबी = /\ सी.डी.बी.

इसी प्रकार, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि विकर्ण AD समांतर चतुर्भुज को दो समान त्रिभुज ACD और ABD में विभाजित करेगा।

नतीजे। 1 . समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

/ ए = / डी, यह त्रिकोण सीएबी और सीडीबी की समानता से निम्नानुसार है।
वैसे ही / सी= / में।

2. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं।

AB = CD और AC = BD, चूँकि ये समान त्रिभुजों की भुजाएँ हैं और समान कोणों के विपरीत स्थित हैं।

प्रमेय 2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं।

मान लीजिए BC और AD समांतर चतुर्भुज ABC के विकर्ण हैं (चित्र 226)। आइए हम सिद्ध करें कि AO = OD और CO = OB है।

ऐसा करने के लिए, उदाहरण के लिए, विपरीत त्रिभुजों के कुछ युग्मों की तुलना करें /\ एओबी और /\ सीओडी.

इन त्रिभुजों में AB = CD, समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की तरह;
/ 1 = / 2, समानांतर एबी और सीडी और छेदक एडी के साथ क्रॉसवाइज स्थित आंतरिक कोण के रूप में;
/ 3 = / 4 उसी कारण से, चूँकि AB || सीडी और सीबी उनके सेकेंडेंट हैं (§ 38)।

यह उसी का अनुसरण करता है /\ एओबी = /\ सीओडी. और समान त्रिभुजों में, समान भुजाएँ समान कोणों के विपरीत होती हैं। इसलिए, AO = OD और CO = OB।

प्रमेय 3. एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा के निकटवर्ती कोणों का योग बराबर होता है 2 डी .

इसे स्वयं सिद्ध करें.

3. समांतर चतुर्भुज के लक्षण.

प्रमेय. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़े में बराबर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

माना चतुर्भुज ABC (खींचा 227) में AB = CD और AC = BD है। आइए हम सिद्ध करें कि इस शर्त के तहत AB || सीडी और एसी || ВD, अर्थात चतुर्भुज АВDC एक समांतर चतुर्भुज है।
आइए हम इस चतुर्भुज के किन्हीं दो विपरीत शीर्षों को एक खंड से जोड़ें, उदाहरण के लिए C और B। चतुर्भुज ABCD को दो समान त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: /\ सीएबी और /\ सी.डी.बी. वास्तव में, शर्त के अनुसार उनकी एक ही भुजा CB, AB = CD और AC = BD है। इस प्रकार, एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर होती हैं /\ सीएबी = /\ सी.डी.बी.

समान त्रिभुजों में, समान कोण समान भुजाओं के विपरीत होते हैं, इसलिए
/ 1 = / 2 और / 3 = / 4.

कोण 1 और 2 आंतरिक कोण हैं जो सीधी रेखा CB की सीधी रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेदन पर आड़े-तिरछे स्थित हैं। इसलिए, एबी || सीडी.

उसी प्रकार, कोण 3 और 4 आंतरिक कोण हैं जो रेखा सीबी की रेखाओं सीए और बीडी के प्रतिच्छेदन पर आड़े-तिरछे स्थित हैं, इसलिए, सीए || वीडी (§ 35)।

इस प्रकार, चतुर्भुज ABC की विपरीत भुजाएँ जोड़े में समानांतर हैं, इसलिए, यह एक समांतर चतुर्भुज है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

प्रमेय 2. यदि किसी चतुर्भुज की दो विपरीत भुजाएँ बराबर और समानांतर हों, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

माना AB = CD और AB || सीडी. आइए हम सिद्ध करें कि इन परिस्थितियों में चतुर्भुज ABC एक समांतर चतुर्भुज है (चित्र 228)।

आइए हम शीर्ष C और B को एक खंड CB से जोड़ते हैं। सीधी रेखाओं AB और CD की समानता के कारण, कोण 1 और 2, क्रॉसवाइज स्थित आंतरिक कोण के बराबर हैं (§ 38)।
तब त्रिभुज CAB, त्रिभुज CDB के बराबर है, क्योंकि उनकी एक भुजा CB उभयनिष्ठ है,
प्रमेय की शर्तों के अनुसार एबी = सीडी और / 1 = / 2 सिद्धानुसार । इन त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य कोण 3 और 4 की समानता से है, क्योंकि वे समान त्रिभुजों में समान भुजाओं के विपरीत स्थित हैं।

लेकिन कोण 3 और 4 आंतरिक क्रॉसवाइज कोण हैं जो सीधी रेखा सीबी की सीधी रेखाओं एसी और बीडी के प्रतिच्छेदन से बनते हैं, इसलिए, एसी || ВD (§ 35), यानी एक चतुर्भुज
एबीसी एक समांतर चतुर्भुज है.

व्यायाम.

1. सिद्ध करें कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्णों को उनके परस्पर प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधा-आधा विभाजित किया जाए, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

2. सिद्ध कीजिए कि एक चतुर्भुज जिसकी दो आसन्न भुजाओं से सटे आंतरिक कोणों का योग 2 के बराबर है डी, एक समांतर चतुर्भुज है.

3. दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें:

क) समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की समांतरता का उपयोग करना;
बी) समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की समानता का उपयोग करना।

4. दो आसन्न भुजाओं और एक विकर्ण का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें।

5. इसके दो विकर्णों और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें।

6. इसकी भुजा और दो विकर्णों का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना कीजिए।

समस्या 1. समांतर चतुर्भुज का एक कोण 65° है। समांतर चतुर्भुज के शेष कोण ज्ञात कीजिए।

∠C =∠A = 65° एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।

∠A +∠B = 180° समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोण हैं।

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण हैं।

उत्तर: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

कार्य 2.एक समांतर चतुर्भुज के दो कोणों का योग 220° होता है। समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में 2 समान न्यून कोण और 2 समान अधिक कोण होते हैं, हमें दो अधिक कोणों का योग दिया जाता है, अर्थात। ∠B +∠D = 220°. तब ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180°, समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोण, इसलिए ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. तब ∠C =∠A = 70°.

उत्तर: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

कार्य 3.समांतर चतुर्भुज का एक कोण दूसरे से 3 गुना बड़ा है। समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

माना ∠A =x. तब ∠B = 3x. यह जानते हुए कि किसी समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° के बराबर होता है, हम एक समीकरण बनाएंगे।

एक्स = 180 : 4;

हमें मिलता है: ∠A = x = 45°, और ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

उत्तर: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

कार्य 4.सिद्ध कीजिए कि यदि किसी चतुर्भुज की दो समानांतर और बराबर भुजाएँ हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

सबूत।

आइए विकर्ण BD बनाएं और Δ ADB और Δ CBD पर विचार करें।

शर्त के अनुसार AD = BC. बीडी पक्ष आम है. ∠1 = ∠2 आंतरिक क्रॉसवाइज समानांतर (शर्त के अनुसार) रेखाओं AD और BC और छेदक BD के साथ स्थित है। इसलिए, Δ ADB = Δ CBD दो पक्षों पर और उनके बीच का कोण (त्रिकोणों की समानता का पहला संकेत)। सर्वांगसम त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है ∠3 =∠4. और ये कोण सीधी रेखाओं AB और CD और छेदक BD के साथ आड़े पड़ने वाले आंतरिक कोण हैं। इसका तात्पर्य यह है कि रेखाएँ AB और CD समानांतर हैं। इस प्रकार, इस चतुर्भुज ABCD में, विपरीत भुजाएँ जोड़े में समानांतर हैं, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

कार्य 5.एक समांतर चतुर्भुज की दोनों भुजाओं का अनुपात 2 है : 5, और परिधि 3.5 मीटर है। समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

∙ (एबी + एडी)।

आइए एक भाग को x से निरूपित करें। तब AB = 2x, AD = 5x मीटर। यह जानते हुए कि समांतर चतुर्भुज की परिधि 3.5 मीटर है, हम समीकरण बनाते हैं:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x = 3.5;

एक्स = 3.5 : 14;

एक भाग 0.25 मीटर है तो AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 मीटर; एडी = 5 ∙ 0.25 = 1.25 मीटर.

परीक्षा.

समांतर चतुर्भुज P ABCD का परिमाप = 2 ∙ (एबी + एडी) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (एम).

चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, तो CD = AB = 0.25 m; बीसी = एडी = 1.25 मीटर।

उत्तर: सीडी = एबी = 0.25 मीटर; बीसी = एडी = 1.25 मीटर।

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं।

एक समांतर चतुर्भुज में चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं, लेकिन इसके अलावा इसकी अपनी विशिष्ट विशेषताएं भी होती हैं। इन्हें जानकर हम किसी समांतर चतुर्भुज की दोनों भुजाएँ और कोण आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुण

1. किसी भी चतुर्भुज की तरह, किसी भी समांतर चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है।
2. एक समांतर चतुर्भुज की मध्य रेखाएं और इसके विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा द्विभाजित होते हैं। इस बिंदु को आमतौर पर समांतर चतुर्भुज की समरूपता का केंद्र कहा जाता है।
3. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ सदैव बराबर होती हैं।
4. साथ ही, इस आकृति में सदैव समान सम्मुख कोण होते हैं।
5. समांतर चतुर्भुज की किसी भी भुजा से सटे कोणों का योग सदैव 180° होता है।
6. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर होता है। इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), जहां d 1 और d 2 विकर्ण हैं, a और b आसन्न भुजाएँ हैं।
7. अधिक कोण की कोज्या सदैव शून्य से कम होती है।

व्यवहार में इन गुणों का उपयोग करके किसी दिए गए समांतर चतुर्भुज के कोण कैसे ज्ञात करें? और कौन से अन्य सूत्र इसमें हमारी सहायता कर सकते हैं? आइए उन विशिष्ट कार्यों को देखें जिनकी आवश्यकता है: समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात करें।

समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात करना

केस 1. एक अधिक कोण का माप ज्ञात है, हमें एक न्यून कोण खोजने की आवश्यकता है।

उदाहरण: समांतर चतुर्भुज ABCD में, कोण A 120° है। शेष कोणों का माप ज्ञात कीजिए।

समाधान: संपत्ति संख्या 5 का उपयोग करके, हम कार्य में दिए गए कोण के निकटवर्ती कोण बी का माप पा सकते हैं। यह इसके बराबर होगा:

• 180°-120°= 60°

और अब, संपत्ति संख्या 4 का उपयोग करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि शेष दो कोण सी और डी उन कोणों के विपरीत हैं जो हमने पहले ही पाए हैं। कोण C, कोण A के विपरीत है, कोण D, कोण B के विपरीत है। इसलिए, वे जोड़े में बराबर हैं।

• उत्तर: बी = 60°, सी = 120°, डी=60°

केस 2. भुजाओं और विकर्णों की लंबाई ज्ञात है

इस मामले में, हमें कोसाइन प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है।

हम पहले एक सूत्र का उपयोग करके आवश्यक कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं, और फिर एक विशेष तालिका का उपयोग करके यह पता लगा सकते हैं कि कोण स्वयं किसके बराबर है।

न्यून कोण के लिए सूत्र है:

• कोसा = (ए² + बी² - डी²) / (2 * ए * बी), कहां
• a वांछित न्यूनकोण है,
• A और B समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं,
• डी - छोटा विकर्ण

अधिक कोण के लिए, सूत्र थोड़ा बदल जाता है:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), जहां
• ß एक अधिक कोण है,
• A और B भुजाएँ हैं
• डी - बड़ा विकर्ण

उदाहरण: आपको एक समांतर चतुर्भुज का न्यून कोण ज्ञात करना होगा जिसकी भुजाएँ 6 सेमी और 3 सेमी हैं, और छोटा विकर्ण 5.2 सेमी है

न्यून कोण ज्ञात करने के लिए मानों को सूत्र में रखें:

• कोसा = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• कोसा = 1/2. तालिका से हमें पता चलता है कि वांछित कोण 60° है।

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं, अर्थात्। समानांतर रेखाओं पर लेटें

समांतर चतुर्भुज के गुण:
प्रमेय 22. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
सबूत। समांतर चतुर्भुज ABCD में हम एक विकर्ण AC बनाते हैं। त्रिभुज ACD और ACB सर्वांगसम हैं, क्योंकि इनकी एक भुजा AC और समान कोणों के दो जोड़े हैं। इसके समीप: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (समानांतर रेखाओं AD और BC के साथ क्रॉसवाइज कोण के रूप में)। इसका मतलब है कि AB = CD और BC = AD, समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं के रूप में, आदि। इन त्रिभुजों की समानता से यह भी पता चलता है कि त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं:
प्रमेय 23. समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर हैं: ∠ A=∠ C और ∠ B=∠ D.
पहली जोड़ी की समानता त्रिभुज ABD और CBD की समानता से आती है, और दूसरी - ABC और ACD की समानता से आती है।
प्रमेय 24. समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण, अर्थात् एक तरफ के निकटवर्ती कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि वे आंतरिक एक तरफा कोण हैं।
प्रमेय 25. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
सबूत। त्रिभुज BOC और AOD पर विचार करें। पहली संपत्ति के अनुसार AD=BC ∠ OAD=∠ OCB और ∠ ODA=∠OBC समानांतर रेखाओं AD और BC के लिए आड़े-तिरछे पड़े हैं। इसलिए, त्रिभुज BOC और AOD भुजा और आसन्न कोणों में बराबर हैं। इसका मतलब है BO=OD और AO=OS, जैसे समान त्रिभुजों की संगत भुजाएँ, आदि।

समांतर चतुर्भुज के लक्षण
प्रमेय 26. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़े में बराबर हों, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
सबूत। मान लीजिए चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ क्रमशः AD और BC, AB और CD बराबर हैं (चित्र 2)। आइए विकर्ण AC बनाएं। त्रिभुज ABC और ACD तीन भुजाओं पर बराबर हैं। तब कोण BAC और DCA बराबर हैं और इसलिए, AB, CD के समानांतर है। भुजाओं BC और AD की समानता कोण CAD और ACB की समानता से होती है।
प्रमेय 27. यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोण जोड़े में बराबर हों, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
माना ∠ A=∠ C और ∠ B=∠ D. क्योंकि ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, फिर ∠ A+∠ B=180 o और भुजाएँ AD और BC समानांतर हैं (सीधी रेखाओं की समानता के आधार पर)। हम भुजाओं AB और CD की समांतरता को भी सिद्ध करेंगे और निष्कर्ष निकालेंगे कि परिभाषा के अनुसार ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमेय 28. यदि चतुर्भुज के आसन्न कोने, अर्थात् एक भुजा से सटे कोणों का योग 180 डिग्री होता है, तो यह एक समांतर चतुर्भुज है।
यदि आंतरिक एकतरफ़ा कोणों का योग 180 डिग्री हो, तो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं। अतः AB, CD के समानांतर है और BC, AD के समानांतर है। परिभाषा के अनुसार एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 29. यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेद बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
सबूत। यदि AO = OC, BO = OD है, तो त्रिभुज AOD और BOC बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष O पर समान (ऊर्ध्वाधर) कोण हैं, जो समान भुजाओं के जोड़े के बीच घिरे हुए हैं। त्रिभुजों की समानता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि AD और BC बराबर हैं। भुजाएँ AB और CD भी बराबर हैं और मानदंड 1 के अनुसार चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 30. यदि किसी चतुर्भुज में समान, समानांतर भुजाओं का एक जोड़ा है, तो वह एक समांतर चतुर्भुज है।
माना चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB और CD समानांतर और बराबर हैं। आइए विकर्ण AC और BD बनाएं। इन रेखाओं की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रॉसवाइज कोण ABO = CDO और BAO = OCD बराबर हैं। त्रिभुज ABO और CDO भुजा और आसन्न कोणों में बराबर हैं। इसलिए AO=OS, VO=ОD, अर्थात्। विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है और चतुर्भुज मानदंड 4 के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।

ज्यामिति में, समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों पर विचार किया जाता है।