Корреляционное отношение

Коэффициент корреляции является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако часто возникает необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при любой форме зависимости.

Для получения такого показателя вспомним правило сложения дисперсий (19)

где S 2 y -- общая дисперсия переменной

S " 2 iy -- средняя групповых дисперсий S у , или остаточная дисперсия --

Остаточной дисперсией измеряют ту часть колеблемости Y, которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X.

Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью X. Величина

получила название эмпирического корреляционного отношения Y по X. Чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной доказывает изменчивость X по сравнению с неучтенными факторами, тем выше з yx .

Величина з 2 ух , называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X. Аналогично вводится эмпирическое корреляционное отношение X по Y.

Отметим основные свойства корреляционных отношений (при достаточно большом объеме выборки п):

1. Корреляционное отношение есть неотрицательная величина, не превосходящая 1: 0?з? 1.

2. Если з = 0, то корреляционная связь отсутствует.

3. Если з= 1, то между переменными существует функциональная зависимость.

4. з xy ? з xy т.е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого r yx = r xy = r ) при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать независимой, а какую -- зависимой.

Эмпирическое корреляционное отношение з xy является показателем рассеяния точек корреляционного поля относительно эмпирической линии регрессии, выражаемой ломаной, соединяющей значения y i . Однако в связи с тем, что закономерное изменение у, нарушается случайными зигзагами ломаной, возникающими вследствие остаточного действия неучтенных факторов, R xy преувеличивает тесноту связи. Поэтому наряду с з xy рассматривается показатель тесноты связи R yx , характеризующий рассеяние точек корреляционного поля относительно линии регрессии у х.

Показатель R yx получил название теоретического корреляционного отношения или индекса корреляции Y по X

где дисперсии д 2 у и s " y 2 определяются по (20) - (22), в которых групповые средние y i , заменены условными средними у хi , вычисленными по уравнению регрессии. Подобно R yx вводится и индекс корреляции X по Y

Достоинством рассмотренных показателей з и R является то, что они могут быть вычислены при любой форме связи между переменными. Хотя з и завышает тесноту связи по сравнению с R, но для его вычисления не нужно знать уравнение регрессии. Корреляционные отношения з и R связаны с коэффициентом корреляции r следующим образом:

Покажем, что в случае линейной модели, т.е. зависимости

у х - у = b yx (x - х), индекс корреляции R xy равен коэффициенту корреляции r (по абсолютной величине): R yx = |r| (или R yx= |r|), для простоты n i = 1. По формуле (26)

(так как из уравнения регрессии y xi -y=b yx (x i -x)

Теперь, учитывая формулы дисперсии, коэффициентов регрессии и корреляции, получим:

Индекс корреляции

Коэффициент индекса корреляции показывает долю общей вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющей переменной. Чем ближе индекс корреляции к 1, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает зависимость переменных.

Проверка значимости корреляционного отношения з основана на том, что статистика

(где т -- число интервалов по группировочному признаку) имеет F-распределение Фишера - Снедекора с к1=т- 1 и k 2 =n - т степенями свободы. Поэтому з значимо отличается от нуля, если F >F a,k1,k2 , где F a,k1,k2 - табличное значение F-критерия на уровне значимости б при числе степеней свободы к 1 = т - 1 и к 2 = п - т.

Индекс корреляции R двух переменных значим, если значение статистики:

больше табличного F a,k1,k2 , где к1=1 и k 2 = n - 2.

Коррелированность и зависимость случайных величин

Две случайные величины x и у называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и у называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что K xy =0, а это противоречит условию, так как для коррелированных величин K xy ?0. Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

См. Индекс структурный.

• - В группах родственных животных вычисляют четыре коэффициента корреляции между двумя разными фенотипическими признаками в пределах каждой сопоставляемой родственной группы и между группами...

  Термины и определения, используемые в селекции, генетике и воспроизводстве сельскохозяйственных животных

• - максимальные значения коэффициентов корреляции между парами линейных функций от двух множеств случайных величин Х 1, ..., Xs и Xs+1, .. ., Xs+t, для к-рых Uи Vявляются каноническими случайными величинами...

  Математическая энциклопедия

• - одна из выборочных мер зависимости двух случайных величин Xи Y, основанная на ранжировании элементов выборки, .. .,...

  Математическая энциклопедия

• - числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, выражающая их взаимосвязь. К. к. для случайных величин Х 1 и Х 2 с математич...

  Математическая энциклопедия

• - характеристика взаимозависимости случайных величин Xи У, определяемая как точная верхняя грань значений коэффициентов корреляции между действительными случайными величинами - функциями от случайных величин Xи...

  Математическая энциклопедия

• - Математическое представление о степени связи между двумя сериями измерений...

  Большая психологическая энциклопедия

• - закон Кювье, закон, сформулированный Ж. Кювье, согласно которому специализация отдельного органа какого-либо животного организма к определенному o6paзy жизни вызывает соответствующие...

  Экологический словарь

• - см. Фациальный закон Головкинского - Вальтера...

  Геологическая энциклопедия

• - Peacock, 1931,-величина содер. SiO, фиксируемая по оси абсцисс бинарной вариационной диаграммы проекцией точки пересечения линий Na2O + K2O и СаО, содер. которых в том же масштабе, что и SiO2, откладываются по оси ординат...

  Геологическая энциклопедия

• - , где n - число пар наблюдений, d2 - сумма квадратов ранговых различий. Иногда при вычислении знаменатель дроби удобнее представлять в виде произведения трех чисел: п...

  Геологическая энциклопедия

• - ρ - μера силы линейной связи между случайными величинами X и У: , где ЕХ - математическое ожидание X; DX - дисперсия X, EY - математическое ожидание У; DY - дисперсия У; - 1 ≤ ρ ≤ 1. Если X, Y линейно связаны, то ρ...

  Геологическая энциклопедия

• - характеризует связь между случайными величинами X1 и X2 когда при наличии n случайных величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn устраняются изменения, вызванные влиянием Х3 ..., Хn. Если ввести = Xi - βi3 X3 - ... - βin Хn, где β...

  Геологическая энциклопедия

• - сопоставление разрезов немых толщ, при котором взаимное положение двух разрезов определяется путем вычисления значений взаимной корреляционной функции...

  Геологическая энциклопедия

• - или сопоставления угленосных толщ, можно разделить на 4 основные гр.: 1) палеонтологические и биофациальные; 2) литологические игеохим.; 3)геофиз.; 4) структурно-геометрические...

  Геологическая энциклопедия

• - являются частными меттодами корреляции угленосных формаций...

  Геологическая энциклопедия

• - корреляция разрезов гл. обр. немых осад. толщ по литологическим признакам: строению разрезов - наличию ритмов или циклов и их характеру; составу п.- наличию маркирующих горизонтов...

  Геологическая энциклопедия

"ИНДЕКС КОРРЕЛЯЦИИ" в книгах

Важно: корреляции изменяются

Важно: корреляции изменяются Все, кто когда-либо торговал на Forex, знают, что валюты очень динамичны. Экономическая конъюнктура, настроение рынка и цены меняются каждый день. В связи с этим при анализе валютных корреляций нужно помнить о том, что со временем они могут

43. Другие агрегатные индексы: индекс себестоимости продукции, индекс производительности труда, индекс трудоемкости

43. Другие агрегатные индексы: индекс себестоимости продукции, индекс производительности труда, индекс трудоемкости 1. Индекс себестоимости продукции показывает, во сколько раз себестоимость в отчетном периоде в среднем выше или ниже базисной или плановой себестоимости,

44. Другие агрегатные индексы: индекс выполнения плана, среднеарифметический и среднегармонический индекс, индексысредних величин

автора Бурханова Инесса Викторовна

44. Другие агрегатные индексы: индекс выполнения плана, среднеарифметический и среднегармонический индекс, индексысредних величин 1. Индекс выполнения плана. При его вычислении фактические данные сопоставляются с плановыми, причем весами индекса могут быть показатели

Вопрос 64. Индекс потребительских цен. Индекс цен производителей

Из книги Экономическая статистика. Шпаргалка автора Яковлева Ангелина Витальевна

Вопрос 64. Индекс потребительских цен. Индекс цен производителей Индекс потребительских цен (ИПЦ) используется для оценки динамики цен на потребительские товары.Система индексов потребительских цен, которые рассчитываются в России, включает:1) сводный ИПЦ, который

Квантовые корреляции

Из книги Ворота в другие миры автора Гардинер Филип

Квантовые корреляции Ученые из Пекина, Стэнфорда и других исследовательских центров долгое время работали над теорией квантовых корреляций. Образовательный сайт Стенфордского Университета (plato.stanford.edu/entries/qt-entangle/) предлагает следующее объяснение этой теории:

§ 4. Измерение корреляции

Из книги Введение в логику и научный метод автора Коэн Моррис

§ 4. Измерение корреляции Целью всех научных исследований является отыскание значимых отношений внутри изучаемой предметной области. Цель же статистических исследований заключается в том, чтобы облегчить процесс данного открытия и дать возможность выразить отношения

6. 2. Принцип корреляции максимумов

Из книги Империя - I [с иллюстрациями] автора

6. 2. Принцип корреляции максимумов Пусть исторический период от года A до года B в истории региона P описан в летописи X, разбитой на куски (главы) X(T), каждый из которых посвящен событиям одного года T. Подсчитаем объем всех кусков X(T), то есть число страниц или строк в каждом

6.2. ПРИНЦИП КОРРЕЛЯЦИИ МАКСИМУМОВ

Из книги Реконструкция всеобщей истории [только текст] автора Носовский Глеб Владимирович

6.2. ПРИНЦИП КОРРЕЛЯЦИИ МАКСИМУМОВ Пусть исторический период от года A до года B в истории какого-то региона описан в летописи X, разбитой на куски, главы X(T), каждый из которых посвящен событиям одного года T. Подсчитаем объем всех кусков X(T), то есть число страниц или строк в

Из книги автора

1.2. Принцип корреляции максимумов Итак, пусть некоторый исторический период от года А до года В в истории одного государства t описан в какой-то достаточно обширной погодной летописи X. То есть летопись X уже разбита, или может быть разбита, на куски - «главы» X(t), каждый из

7.2. Принцип корреляции максимумов

Из книги Математическая хронология библейских событий автора Носовский Глеб Владимирович

7.2. Принцип корреляции максимумов Пусть исторический период от года A до года B в истории региона P описан в летописи X, разбитой на куски (главы) X(T), каждый из которых посвящён событиям одного года T. Подсчитаем объём всех кусков X(T), т. е. число страниц или строк в каждом

1.2. Принцип корреляции максимумов

Из книги автора

1.2. Принцип корреляции максимумов Итак, пусть некоторый исторический период от года А до года В в истории какого-то государства Г описан в достаточно обширной погодной летописи X. То есть, летопись X уже разбита, или может быть разбита, на куски-«главы» X(t), каждый из которых

7.3. Поле корреляции

Из книги Системное решение проблем автора Лапыгин Юрий Николаевич

7.3. Поле корреляции Логика – смирительная рубашка фантазии. Хельмар Нар Для установления связей между двумя переменными обычно строят графики.Если обе переменные изменяются синхронно, это может означать, что между ними существуют связи и они влияют друг на друга.

Индекс массы тела (ИМТ) – индекс Кетле

Из книги 170 рецептов для нормализации веса автора Синельникова А. А.

Индекс массы тела (ИМТ) – индекс Кетле Индекс массы тела дает возможность определить, на сколько вес отклонен от нормы. Это знание помогает предупредить развитие ряда заболеваний, которые связаны с лишним весом. Определяем индекс массы тела: свой вес в килограммах делим

Иллюзия корреляции

Из книги Интуиция автора Майерс Дэвид Дж

Иллюзия корреляции Представьте, что вы являетесь участником исследования того, как люди устанавливают связи между событиями. Психологи Уильям Уорд и Герберт Дженкинс показывают вам результаты гипотетического пятидесятидневного эксперимента по засеву облаков

Корреляции и причинность

Из книги Псевдонаука и паранормальные явления [Критический взгляд] автора Смит Джонатан

Корреляции и причинность Тот факт, что два события происходят одновременно и коррелируют между собой, не обязательно означает, что одно из них является причиной другого. Вообще, события А и Б могут произойти одновременно по одной из четырех причин: (I) А является причиной

Введенный выше коэффициент корреляции, как уже отмечено, является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако часто возникает необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при любой форме зависимости.

Для получения такого показателя вспомним правило сложения дисперсий:

где - общая дисперсия переменной

Средняя групповых дисперсий, или остаточная дисперсия

Межгрупповая дисперсия

Остаточной дисперсией измеряют ту часть колеблемости Y, которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X. Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью X. Величина

получила название эмпирического корреляционного отношения Y по X. Чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной Y оказывает изменчивость X по сравнению с неучтенными факторами, тем выше. Величина, называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X. Аналогично вводится эмпирическое корреляционное отношение X по Y:

Отметим основные свойства корреляционных отношений (при достаточно большом объеме выборки n).

• 1. Корреляционное отношение есть неотрицательная величина, не превосходящая единицу: 0
• 2. Если = 0, то корреляционная связь отсутствует.
• 3. Если = 1, то между переменными существует функциональная зависимость.

4. ? т.е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого) при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать независимой, а какую - зависимой.

Эмпирическое корреляционное отношение является показателем рассеяния точек корреляционного поля относительно эмпирической линии регрессии, выражаемой ломаной, соединяющей значения. Однако в связи с тем, что закономерное изменение нарушается случайными зигзагами ломаной, возникающими вследствие остаточного действия неучтенных факторов, преувеличивает тесноту связи. Поэтому наряду с рассматривается показатель тесноты связи, характеризующий рассеяние точек корреляционного поля относительно линии регрессии (1.3). Показатель получил название теоретического корреляционного отношения или индекса корреляции Y по X

где дисперсии и определяются по формулам (1.54)--(1.56), в которых групповые средние у заменены условными средними у, вычисленными по уравнению регрессии (1.16).

Подобно вводится и индекс корреляции X по Y:

Достоинством рассмотренных показателей и R является то, что они могут быть вычислены при любой форме связи между переменными. Хотя и завышает тесноту связи по сравнению с R, но для его вычисления не нужно знать уравнение регрессии. Корреляционные отношения и R связаны с коэффициентом корреляции r следующим образом.

При парных нелинейных зависимостях для определения тесноты связи между результативным и факторным признаками и оценки степени влияния факторного признака на результативный используются индексы корреляции и детерминации.

ЗАДАНИЕ 1 : Исследуем зависимость между X (среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, млрд. руб.) и Y (ССЧ работающих, чел.) (табл. 2).

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Так как при параболическом виде связи j= 1,23, то мы не будем рассматривать этот вид связи (j должно быть меньше или равно 1).

Таблица 5

X	Вид уравнения
Теоретические данные	Эмпирические данные
линейное	параболическое	гиперболическое
	340,32	-	311,82
2,7	354,29	-	359,31
	356,76	-	362,11
3,1	357,58	-	362,92
3,1	357,58	-	362,92
3,1	357,58	-	362,92
3,3	359,23	-	364,39
3,5	360,87	-	365,70
3,5	360,87	-	365,70
	364,98	-	368,39
4,5	369,09	-	370,49
4,7	370,73	-	371,20
4,9	372,38	-	371,86
5,6	378,13	-	373,78
	389,64	-	376,47

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 1) к эмпирическим данным близко лежит график гиперболической зависимости, потому что корреляционное отношение при этом равно 0,14 > 0,11 корреляционное отношение при линейной зависимости, а значит его значение близко к 1.

2. О более тесной говорит коэффициент корреляции, r = 0,14

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,02.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы.

5. Таким образом, применяется гиперболический тип зависимости.

ЗАДАНИЕ 2 : Исследуем зависимость между X (среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, млрд. руб.) и Y (Товарной продукцией, млрд. руб.) (табл. 6).

Таблица 6

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.	Товарная продукция, млрд. руб.
	1,6
2,7	2,3
	1,4
3,1	2,5
3,1
3,1	3,6
3,3	1,3
3,5	2,5
3,5	7,9
	2,8
4,5	5,6
4,7	3,5
4,9	4,4
5,6
	12,9

Таблица 7

Таблица 8

Так как при параболическом виде связи j= 1,81, то мы не будем рассматривать этот вид связи (j должно быть меньше или равно 1).

Таблица 9

X	Вид уравнения
Теоретические данные	Эмпирические данные
линейное	параболическое	гиперболическое
	-0,83	-	-0,66	1,6
2,7	2,25	-	14,87	2,3
	2,79	-	17,09	1,4
3,1	2,97	-	17,81	2,5
3,1	2,97	-	17,81
3,1	2,97	-	17,81	3,6
3,3	3,33	-	19,25	1,3
3,5	3,70	-	20,67	2,5
3,5	3,70	-	20,67	7,9
	4,60	-	24,17	2,8
4,5	5,51	-	27,62	5,6
4,7	5,87	-	28,98	3,5
4,9	6,23	-	30,34	4,4
5,6	7,50	-	35,07
	10,03	-	44,41	12,9

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 6) к эмпирическим данным близко лежит график линейной зависимости, потому что корреляционное отношение при этом равно 0,80 > 0,45 корреляционное отношение при гиперболической зависимости, а значит его значение близко к 1.

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,63.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если с увеличением факторного признака результативный признак равномерно возрастает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой.

5. Таким образом, применяется линейный тип зависимости.

ЗАДАНИЕ 3 : Исследуем зависимость между X (ССЧ работающих, чел.) и Y (Товарной продукцией, млрд. руб.) (табл. 10).

Таблица 10

Таблица 11

Таблица 12

Таблица 13

X	Вид уравнения
Теоретические данные	Эмпирические данные
линейное	параболическое	гиперболическое
	3,55	8,72	3,53	2,3
	3,55	8,72	3,87	1,3
	3,55	8,72	3,92	12,9
	3,55	8,72	4,09	2,5
	3,55	8,72	4,13	1,4
	3,55	8,72	4,13	3,6
	3,55	8,72	4,20	1,6
	3,55	8,72	4,23	3,5
	3,55	8,72	4,26	2,8
	3,55	8,72	4,38	7,9
	3,55	8,72	4,40
	3,55	8,72	4,45	5,6
	3,55	8,72	4,47
	3,55	8,72	4,55	4,4
	3,55	8,72	4,66	2,5

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 6) к эмпирическим данным близко лежит график параболической зависимости. Потому что корреляционное отношение при этом равно 0,90 > 0,09 и >0,06 корреляционное отношение при гиперболической и линейной зависимостях, а значит его значение близко к 1.

2. О более тесной говорит коэффициент корреляции, r = 0,80

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,80.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если связь между признаками нелинейная и с возрастанием факторного признака происходит ускоренное возрастание или убывание результативного признака, то корреляционная зависимость может быть выражена параболой второго порядка.

5. Таким образом, применяется параболический тип зависимости.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20