프리즘의 표면적은 얼마입니까? 프리즘 측면 표면적

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공간 기하학에서 프리즘 문제를 해결할 때 이러한 체적 수치를 형성하는 측면이나 면의 면적을 계산할 때 문제가 자주 발생합니다. 이 기사는 프리즘의 밑면과 측면 표면을 결정하는 문제에 대해 다룹니다.

프리즘 피규어

한 유형 또는 다른 유형의 프리즘의 기본 영역과 표면에 대한 공식을 고려하기 전에 우리가 말하는 그림의 종류를 이해해야 합니다.

기하학의 프리즘은 서로 동일한 두 개의 평행 다각형과 여러 개의 사각형 또는 평행 사변형으로 구성된 공간 도형입니다. 후자의 수는 항상 하나의 다각형의 꼭지점 수와 같습니다. 예를 들어, 두 개의 평행한 n각형으로 구성된 도형이라면 평행사변형의 개수는 n이 됩니다.

n각형을 연결하는 평행사변형을 프리즘의 옆면이라고 하며, 그 총 면적은 그림의 옆면의 면적입니다. n-gon 자체를 염기라고 합니다.

위 그림은 종이로 만든 프리즘의 예를 보여줍니다. 노란색 직사각형이 상단 베이스입니다. 그림은 두 번째 유사한 기반 위에 서 있습니다. 빨간색과 녹색 직사각형은 측면입니다.

프리즘에는 어떤 종류가 있나요?

프리즘에는 여러 가지 유형이 있습니다. 두 가지 매개변수만 서로 다릅니다.

염기를 형성하는 n형의 유형;
n각형과 측면 사이의 각도입니다.

예를 들어 밑면이 삼각형이면 프리즘을 삼각형이라고 하고, 이전 그림과 같이 사각형이면 사각형 프리즘이라고 합니다. 또한 n각형은 볼록하거나 오목할 수 있으며 이 속성이 프리즘 이름에도 추가됩니다.

측면과 밑면 사이의 각도는 직선, 예각 또는 둔각일 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 직사각형 프리즘에 대해 말하고 두 번째 경우에는 경사 또는 경사 프리즘에 대해 말합니다.

일반 프리즘은 특별한 유형의 수치로 분류됩니다. 다른 프리즘 중에서 대칭성이 가장 높습니다. 직사각형이고 밑면이 정n각형인 경우에만 정형이 됩니다. 아래 그림은 n각형의 변의 수가 3개에서 8개까지 변하는 정기둥 세트를 보여줍니다.

프리즘 표면

고려 중인 임의 유형의 도형 표면은 프리즘의 면에 속하는 모든 점의 집합으로 이해됩니다. 프리즘의 발달 과정을 조사하여 프리즘의 표면을 연구하는 것이 편리합니다. 다음은 삼각 프리즘에 대한 이러한 개발의 예입니다.

전체 표면이 두 개의 삼각형과 세 개의 직사각형으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다.

일반 프리즘의 경우 표면은 두 개의 n각형 밑면과 n개의 사각형으로 구성됩니다.

다양한 유형의 프리즘 표면적을 계산하는 문제를 더 자세히 고려해 보겠습니다.

일반 프리즘의 기본 영역

프리즘을 사용하여 작업할 때 아마도 가장 간단한 문제는 일반 도형의 밑면 영역을 찾는 문제일 것입니다. 모든 각도와 변의 길이가 동일한 n각형으로 구성되므로 항상 각도와 변의 길이를 아는 동일한 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 삼각형의 전체 면적은 n각형의 면적이 됩니다.

프리즘(베이스)의 표면적 부분을 결정하는 또 다른 방법은 잘 알려진 공식을 사용하는 것입니다. 다음과 같습니다:

Sn = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

즉, n각형의 면적 Sn은 변 a의 길이에 대한 지식을 바탕으로 고유하게 결정됩니다. 공식을 사용하여 계산할 때 특히 n>4인 경우 코탄젠트 계산이 어려울 수 있습니다(n≤4의 경우 코탄젠트 값은 표 형식 데이터임). 이 삼각함수를 결정하려면 계산기를 사용하는 것이 좋습니다.

기하학적 문제를 제기할 때는 프리즘 밑면의 면적을 찾아야 할 수도 있으므로 주의해야 합니다. 그런 다음 공식에서 얻은 값에 2를 곱해야 합니다.

삼각기둥의 밑면적

삼각기둥의 예를 사용하여 이 그림의 밑변 면적을 구하는 방법을 살펴보겠습니다.

먼저 간단한 경우인 일반 프리즘을 고려해 보겠습니다. 밑면의 면적은 위 단락에 제공된 공식을 사용하여 계산됩니다. n=3을 대입해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

한 밑면의 면적을 구하기 위해 정삼각형의 변 a의 길이에 대한 특정 값을 표현식에 대체하는 것이 남아 있습니다.

이제 밑면이 임의의 삼각형인 프리즘이 있다고 가정합니다. 두 변 a와 b와 그 사이의 각도 α가 알려져 있습니다. 이 그림은 아래와 같습니다.

이 경우 삼각 프리즘의 밑면 영역을 찾는 방법은 무엇입니까? 모든 삼각형의 면적은 변의 곱의 절반이고 높이가 이쪽으로 낮아진다는 것을 기억해야합니다. 그림에서 높이 h는 변 b에 그려져 있습니다. 길이 h는 각도 알파의 사인과 변의 길이 a의 곱에 해당합니다. 그러면 전체 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

표시된 삼각기둥의 기본 영역입니다.

측면

프리즘 밑면의 넓이를 구하는 방법을 살펴보았습니다. 이 그림의 측면은 항상 평행사변형으로 구성됩니다. 직선 프리즘의 경우 평행사변형은 직사각형이 되므로 전체 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다.

S = ∑ i=1n (ai *b)

여기서 b는 측면 모서리의 길이이고, a i는 i번째 직사각형의 측면 길이이며 n각형 측면의 길이와 일치합니다. 정n각형 프리즘의 경우 다음과 같은 간단한 식을 얻습니다.

프리즘이 기울어지면 측면의 면적을 결정하려면 수직 절단을 만들고 둘레 P sr을 계산한 다음 측면 가장자리의 길이를 곱해야 합니다.

위 그림은 기울어진 오각형 프리즘에 대해 이 절단을 어떻게 해야 하는지 보여줍니다.

프리즘의 측면 표면적. 안녕하세요! 이 간행물에서 우리는 입체 측정의 일련의 문제를 분석할 것입니다. 프리즘과 원통이라는 물체의 조합을 생각해 봅시다. 현재 이 기사는 스테레오메트리의 작업 유형 고려와 관련된 전체 기사 시리즈를 완성합니다.

작업 은행에 새로운 내용이 나타나면 물론 앞으로 블로그에 추가 내용도 있을 것입니다. 하지만 이미 존재하는 것만으로도 시험의 일부로 짧은 답안으로 모든 문제를 해결하는 방법을 배우기에 충분합니다. 앞으로 몇 년 동안 충분한 자료가 있을 것입니다(수학 프로그램은 고정되어 있습니다).

제시된 작업에는 프리즘 면적을 계산하는 작업이 포함됩니다. 아래에서는 직선 프리즘(및 그에 따른 직선 실린더)을 고려합니다.

어떤 공식도 모르더라도 우리는 프리즘의 측면이 프리즘의 모든 측면이라는 것을 이해합니다. 직선 프리즘은 직사각형 측면을 가지고 있습니다.

이러한 프리즘의 측면 표면적은 모든 측면(즉, 직사각형)의 면적의 합과 같습니다. 원통이 새겨진 일반 프리즘에 대해 이야기하고 있다면 이 프리즘의 모든 면이 동일한 직사각형이라는 것이 분명합니다.

공식적으로 정 프리즘의 측면 표면적은 다음과 같이 반영될 수 있습니다.

27064. 밑면 반지름과 높이가 1인 원통 주위에 정사각기둥이 외접되어 있습니다. 프리즘의 옆면적을 구합니다.

이 프리즘의 측면은 면적이 동일한 4개의 직사각형으로 구성됩니다. 면의 높이는 1이고 프리즘 밑면의 가장자리는 2입니다(원통의 두 반경). 따라서 측면의 면적은 다음과 같습니다.

측면 표면적:

73023. 밑면 반지름이 √0.12이고 높이가 3인 원통에 외접하는 정삼각기둥의 옆면적을 구합니다.

주어진 프리즘의 측면 면적은 세 측면(직사각형)의 면적의 합과 같습니다. 옆면의 넓이를 구하려면 옆면의 높이와 밑변의 길이를 알아야 합니다. 높이는 3입니다. 밑변의 길이를 구해 봅시다. 투영을 고려하십시오(평면도).

반지름이 √0.12인 원이 내접된 정삼각형이 있습니다. 직각 삼각형 AOC에서 AC를 찾을 수 있습니다. 그리고 AD(AD=2AC)입니다. 탄젠트의 정의에 따르면:

이는 AD = 2AC = 1.2를 의미합니다. 따라서 측면 표면적은 다음과 같습니다.

27066. 밑면 반지름이 √75이고 높이가 1인 원통에 외접하는 정육각형 프리즘의 옆면적을 구합니다.

필요한 면적은 모든 측면의 면적을 합한 것과 같습니다. 정육각형 프리즘은 동일한 직사각형의 측면을 가지고 있습니다.

얼굴의 넓이를 구하려면 얼굴의 높이와 밑변의 길이를 알아야 합니다. 높이는 알려져 있으며 1과 같습니다.

밑변의 길이를 구해 봅시다. 투영을 고려하십시오(평면도).

반지름이 √75인 원이 새겨진 정육각형이 있습니다.

직각삼각형 ABO를 생각해 보세요. 우리는 다리 OB를 알고 있습니다(이것이 원통의 반경입니다). 또한 각도 AOB를 결정할 수 있습니다. 이는 300과 같습니다(삼각형 AOC는 정변이고 OB는 이등분선입니다).

직각 삼각형의 접선 정의를 사용해 보겠습니다.

AC = 2AB, OB가 중앙값이므로, 즉 AC를 반으로 나눈 것이므로 AC = 10입니다.

따라서 측면의 면적은 1∙10=10이고 측면의 면적은 다음과 같습니다.

76485. 밑면 반지름이 8√3이고 높이가 6인 원통에 내접된 정삼각기둥의 측면적을 구합니다.

동일한 크기의 3개 면(직사각형)으로 구성된 지정된 프리즘의 측면 표면적입니다. 면적을 찾으려면 프리즘 밑면의 가장자리 길이를 알아야 합니다(우리는 높이를 알고 있습니다). 투영(평면도)을 고려하면 원 안에 내접된 정삼각형이 있습니다. 이 삼각형의 변은 반경으로 다음과 같이 표현됩니다.

이 관계의 세부정보입니다. 그럼 평등해지겠지

그러면 옆면의 면적은 24∙6=144가 됩니다. 그리고 필요한 영역은 다음과 같습니다.

245354. 밑면 반지름이 2인 원통에 정사각기둥이 외접되어 있습니다. 프리즘의 옆면적은 48입니다. 원기둥의 높이를 구합니다.

간단합니다. 넓이가 같은 4개의 옆면이 있으므로 한 면의 넓이는 48:4=12입니다. 원통 밑면의 반경은 2이므로 프리즘 밑면의 가장자리는 초기 4가 됩니다. 이는 원통의 직경과 같습니다(두 개의 반경입니다). 우리는 면과 한쪽 가장자리의 면적을 알고 있으며, 두 번째 높이는 12:4=3과 같습니다.

27065. 밑면 반지름이 √3이고 높이가 2인 원통에 외접하는 정삼각기둥의 옆면적을 구합니다.

안부 인사, 알렉산더.

일상생활이나 자연에서 흔히 볼 수 있는 입체도형 중 가장 흔한 입체도형이다. 입체 측정법 또는 공간 기하학은 해당 속성을 연구합니다. 이 기사에서는 정삼각형 프리즘뿐만 아니라 사각형 및 육각형 프리즘의 측면 표면적을 찾는 방법에 대한 질문에 대해 논의합니다.

프리즘이란 무엇입니까?

정삼각형 프리즘과 이 그림의 다른 유형의 측면 표면적을 계산하기 전에 그것이 무엇인지 이해해야 합니다. 그런 다음 관심 수량을 결정하는 방법을 배웁니다.

기하학의 관점에서 볼 때 프리즘은 두 개의 임의의 동일한 다각형과 n개의 평행사변형으로 둘러싸인 체적 몸체입니다. 여기서 n은 한 다각형의 변의 수입니다. 그러한 그림을 그리는 것은 쉽습니다. 이렇게 하려면 일종의 다각형을 그려야 합니다. 그런 다음 각 꼭지점에서 길이가 같고 다른 모든 꼭지점과 평행한 세그먼트를 그립니다. 그런 다음 원래 다각형과 동일한 다른 다각형을 얻을 수 있도록 이 선의 끝을 함께 연결해야 합니다.

위에서 그림은 두 개의 오각형(그림의 아래쪽 및 위쪽 밑면이라고 함)과 그림의 직사각형에 해당하는 5개의 평행사변형으로 제한되어 있음을 알 수 있습니다.

모든 프리즘은 두 가지 주요 매개변수가 서로 다릅니다.

그림의 밑에 있는 다각형의 유형.
평행사변형과 밑면 사이의 각도.

직사각형의 변의 수는 프리즘에 이름을 부여합니다. 여기에서 위에서 언급한 삼각형, 육각형 및 사각형 도형을 얻습니다.

경사의 정도도 다릅니다. 표시된 각도가 90o와 같으면 이러한 프리즘을 직선 또는 직사각형이라고 합니다(경사각은 0임). 각도 중 일부가 맞지 않으면 그림을 비스듬한 그림이라고 합니다. 그들 사이의 차이점은 언뜻 보면 분명합니다. 아래 그림은 이러한 품종을 보여줍니다.

보시다시피 높이 h는 측면 가장자리의 길이와 일치합니다. 경사각의 경우 이 매개변수는 항상 더 작습니다.

어느 프리즘이 옳습니까?

정기둥(삼각형, 사각형 등)의 측면 표면적을 구하는 방법에 대한 질문에 답해야 하므로 이러한 유형의 체적 도형을 정의해야 합니다. 자료를 더 자세히 분석해 보겠습니다.

정기둥은 정다각형이 동일한 밑면을 이루는 직사각형 도형입니다. 이 그림은 정삼각형, 정사각형 등이 될 수 있습니다. 변의 길이와 각도가 모두 같은 n각형은 모두 정각형입니다.

이러한 프리즘 중 다수가 아래 그림에 개략적으로 표시되어 있습니다.

프리즘의 측면

이 그림에서 말했듯이 n + 2개의 평면으로 구성되며 교차하여 n + 2개의 면을 형성합니다. 그 중 두 개는 밑면에 속하고 나머지는 평행사변형으로 구성됩니다. 전체 표면의 면적은 표시된 면의 면적의 합으로 구성됩니다. 두 밑면의 값을 포함하지 않으면 프리즘의 측면 표면적을 찾는 방법에 대한 답을 얻을 수 있습니다. 따라서 그 의미와 근거를 서로 별도로 결정할 수 있습니다.

아래는 측면이 세 개의 사각형으로 형성된 경우입니다.

계산 과정을 더 고려해 봅시다. 분명히, 프리즘의 측면 표면의 면적은 해당 평행사변형의 n 면적의 합과 같습니다. 여기서 n은 도형의 밑변을 구성하는 다각형의 변의 수입니다. 각 평행사변형의 넓이는 변의 길이에 높이를 곱하여 구할 수 있습니다. 이는 일반적인 경우에 적용됩니다.

연구 중인 프리즘이 직선인 경우 측면 Sb의 면적을 결정하는 절차는 이러한 표면이 직사각형으로 구성되어 있기 때문에 크게 단순화됩니다. 이 경우 다음 공식을 사용할 수 있습니다.