미분을 사용한 대략적인 계산

이번 강의에서는 일반적인 문제를 살펴보겠습니다. 미분을 사용한 함수 값의 대략적인 계산. 여기서는 1차 미분에 대해 계속해서 설명하겠습니다. 간략하게 설명하기 위해 간단히 "미분"이라고만 하겠습니다. 미분을 이용한 근사계산 문제는 해법 알고리즘이 엄격하므로 특별한 어려움이 발생하지 않습니다. 유일한 것은 청소될 작은 함정이 있다는 것입니다. 그러니 자유롭게 머리 속으로 뛰어들어 보세요.

또한 이 페이지에는 계산의 절대 및 상대 오류를 찾는 공식이 포함되어 있습니다. 다른 문제에서는 오류를 계산해야 하기 때문에 이 자료는 매우 유용합니다. 물리학자들이여, 당신의 박수는 어디에 있습니까? =)

예제를 성공적으로 익히려면 적어도 중급 수준에서는 함수의 파생어를 찾을 수 있어야 하므로, 미분에 완전히 헷갈리신다면 레슨부터 시작해 보세요. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?글도 읽어보시길 추천드려요 파생 상품의 가장 간단한 문제, 즉 단락 한 지점에서 도함수를 찾는 것에 대해그리고 그 점에서 미분을 찾는다. 기술적 수단으로는 다양한 수학 기능을 갖춘 마이크로 계산기가 필요합니다. 엑셀을 사용해도 되지만 이 경우에는 불편합니다.

워크숍은 두 부분으로 구성됩니다.

– 하나의 변수에 대한 함수의 미분을 사용한 대략적인 계산.

– 두 변수 함수의 총 미분을 사용한 대략적인 계산.

누가 무엇을 필요로 합니까? 실제로 부를 두 개의 더미로 나누는 것이 가능했는데, 두 번째 요점이 여러 변수의 함수 적용과 관련되어 있기 때문입니다. 그런데 어쩌겠어요, 저는 긴 글을 좋아해요.

대략적인 계산
하나의 변수에 대한 함수의 미분을 사용하여

문제의 작업과 그 기하학적 의미는 이미 도함수란 무엇입니까? 수업에서 다뤘습니다. , 이제 우리는 예제를 공식적으로 고려하는 것으로 제한할 것입니다. 이는 문제를 해결하는 방법을 배우기에 충분합니다.

첫 번째 단락에서는 하나의 변수의 기능이 지배합니다. 모두가 알고 있듯이 또는 로 표시됩니다. 이 작업에는 두 번째 표기법을 사용하는 것이 훨씬 더 편리합니다. 실제로 자주 접하게 되는 인기 있는 예로 즉시 넘어가겠습니다.

실시예 1

해결책:미분을 사용한 대략적인 계산을 위한 작업 공식을 노트북에 복사하십시오.

알아 내기 시작합시다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다!

첫 번째 단계는 함수를 만드는 것입니다. 조건에 따라 숫자의 세제곱근을 계산하는 것이 제안되므로 해당 함수의 형식은 다음과 같습니다. 대략적인 값을 찾으려면 공식을 사용해야 합니다.

살펴 보자 왼쪽수식을 사용하면 숫자 67을 형식으로 표현해야 한다는 생각이 떠오릅니다. 이를 수행하는 가장 쉬운 방법은 무엇입니까? 다음 알고리즘을 권장합니다. 계산기에서 이 값을 계산하세요.
– 꼬리가 있는 4로 밝혀졌습니다. 이는 솔루션에 대한 중요한 지침입니다.

우리는 "좋은" 값을 선택합니다. 뿌리가 완전히 제거되도록. 당연히 이 값은 다음과 같아야 합니다. 최대한 가까이 67로. 이 경우: . 정말: .

참고: 선택하는 데 여전히 어려움이 있는 경우 계산된 값을 살펴보십시오(이 경우 ), 가장 가까운 정수 부분(이 경우 4)을 가져와 필요한 거듭제곱(이 경우 )으로 올립니다. 결과적으로 원하는 선택이 이루어집니다: .

이면 인수의 증분: .

따라서 숫자 67은 합계로 표시됩니다.

먼저, 해당 지점에서 함수의 값을 계산해 보겠습니다. 실제로 이 작업은 이전에 이미 수행되었습니다.

한 지점의 미분은 다음 공식으로 구합니다.
- 노트에 복사할 수도 있습니다.

공식에서 1차 미분을 취해야 합니다.

그리고 그 시점에서 그 가치를 찾으세요:

따라서:

모든 것이 준비되었습니다! 공식에 따르면:

발견된 대략적인 값은 해당 값에 매우 가깝습니다. , 마이크로 계산기를 사용하여 계산됩니다.

답변:

실시예 2

함수의 증분을 미분으로 대체하여 대략적으로 계산합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 최종 디자인의 대략적인 샘플과 수업이 끝나면 답변이 제공됩니다. 초보자의 경우 먼저 마이크로 계산기로 정확한 값을 계산하여 어떤 숫자가 로 간주되는지, 어떤 숫자가 로 간주되는지 확인하는 것이 좋습니다. 이 예에서는 음수라는 점에 유의해야 합니다.

계산기로 모든 것을 차분하고 더 정확하게 계산할 수 있다면 왜 이 작업이 필요한지 궁금해하는 사람들도 있을 것입니다. 동의합니다. 작업은 어리 석고 순진합니다. 그러나 나는 그것을 조금 정당화하려고 노력할 것입니다. 첫째, 이 작업은 미분 함수의 의미를 보여줍니다. 둘째, 고대에는 계산기가 현대의 개인용 헬리콥터와 비슷했습니다. 나는 1985~86년에 지역 폴리테크닉 연구소에서 방만한 크기의 컴퓨터가 어떻게 던져졌는지 직접 보았습니다(라디오 아마추어들이 드라이버를 들고 도시 전역에서 달려왔고 몇 시간 후에는 케이스만 남았습니다) 단위). 물리학 및 수학 부서에도 골동품이 있었지만 크기는 책상 크기 정도였습니다. 이것이 우리 조상들이 대략적인 계산 방법으로 어려움을 겪은 방법입니다. 말이 끄는 마차도 교통수단이다.

어떤 식으로든 문제는 고등 수학의 표준 과정에 남아 있으며 해결되어야 합니다. 이것이 귀하의 질문에 대한 주요 답변입니다 =)

실시예 3

시점에서 . 마이크로 계산기를 사용하여 한 지점에서 보다 정확한 함수 값을 계산하고 계산의 절대 및 상대 오류를 평가합니다.

실제로 동일한 작업을 다음과 같이 쉽게 다시 공식화할 수 있습니다. “대략적인 값을 계산합니다. 차동 장치 사용"

해결책:우리는 익숙한 공식을 사용합니다.
이 경우 기성 기능이 이미 제공됩니다. . 더욱 사용하기 편리하다는 점을 다시 한 번 주목해 드리고 싶습니다.

값은 형식으로 표시되어야 합니다. 글쎄, 여기서는 더 쉽습니다. 숫자 1.97이 "2"에 매우 가깝기 때문에 그 자체를 암시합니다. 따라서: .

수식 사용 , 같은 지점에서 미분을 계산해 보겠습니다.

우리는 첫 번째 도함수를 찾습니다:

그리고 그 시점에서의 가치는 다음과 같습니다.

따라서 해당 지점의 미분은 다음과 같습니다.

결과적으로 다음 공식에 따르면:

작업의 두 번째 부분은 계산의 절대 및 상대 오류를 찾는 것입니다.

계산의 절대 및 상대 오류

절대 계산 오류다음 공식으로 구합니다.

모듈러스 기호는 어떤 값이 더 크고 더 작은지 신경 쓰지 않는다는 것을 보여줍니다. 중요한, 얼마나 멀어요대략적인 결과가 한 방향 또는 다른 방향으로 정확한 값에서 벗어났습니다.

상대 계산 오류다음 공식으로 구합니다.
, 또는 같은 것:

상대 오류가 표시됩니다. 몇 퍼센트로대략적인 결과가 정확한 값에서 벗어났습니다. 100%를 곱하지 않은 공식 버전이 있지만 실제로는 거의 항상 위 버전이 백분율로 표시됩니다.

짧은 참조 후에 함수의 대략적인 값을 계산한 문제로 돌아가겠습니다. 차동 장치를 사용합니다.

마이크로 계산기를 사용하여 함수의 정확한 값을 계산해 보겠습니다.
, 엄밀히 말하면 값은 여전히 ​​근사치이지만 정확한 것으로 간주됩니다. 이런 문제가 발생합니다.

절대 오차를 계산해 보겠습니다.

상대 오차를 계산해 보겠습니다.
, 천분의 1 퍼센트가 얻어졌으므로 미분은 훌륭한 근사치를 제공했습니다.

답변: , 절대 계산 오류, 상대 계산 오류

독립적인 솔루션에 대한 다음 예는 다음과 같습니다.

실시예 4

미분을 사용하여 대략적인 함수 값을 계산합니다. 시점에서 . 주어진 지점에서 보다 정확한 함수 값을 계산하고, 계산의 절대 및 상대 오류를 추정합니다.

최종 디자인의 대략적인 샘플과 수업이 끝나면 답변이 제공됩니다.

많은 사람들은 고려된 모든 예에서 뿌리가 나타난다는 것을 알아차렸습니다. 이는 우연이 아닙니다. 대부분의 경우 고려 중인 문제에 뿌리가 있는 함수가 실제로 제안됩니다.

그러나 고통받는 독자들을 위해 나는 아크사인을 사용한 작은 예를 파헤쳤습니다.

실시예 5

미분을 사용하여 대략적인 함수 값을 계산합니다. 그 시점에

짧지만 유익한 이 예는 여러분 스스로 풀어볼 수도 있습니다. 그리고 나는 새로운 활력으로 특별한 임무를 고려할 수 있도록 조금 쉬었습니다.

실시예 6

미분을 사용하여 대략적으로 계산하고 결과를 소수점 이하 두 자리로 반올림합니다.

해결책:이 작업의 새로운 내용은 무엇입니까? 조건에 따라 결과를 소수점 이하 두 자리로 반올림해야 합니다. 하지만 그게 요점이 아닙니다. 학교 반올림 문제는 당신에게 어렵지 않다고 생각합니다. 사실은 우리에게 접선이 주어졌다는 것입니다 각도로 표현되는 인수 사용. 삼각함수를 각도로 풀어 달라는 요청을 받으면 어떻게 해야 합니까? 예를 들어 등.

솔루션 알고리즘은 기본적으로 동일합니다. 즉, 이전 예와 마찬가지로 공식을 적용해야 합니다.

명백한 함수를 작성해 봅시다

값은 형식으로 표시되어야 합니다. 진지한 도움을 줄 것입니다 삼각 함수 값 표. 그건 그렇고, 인쇄하지 않은 분들은 인쇄하는 것이 좋습니다. 고등 수학을 공부하는 전체 과정에서 인쇄해야하기 때문입니다.

테이블을 분석해 보면 47도에 가까운 "좋은" 접선 값을 발견할 수 있습니다.

따라서:

사전 분석 후 각도는 라디안으로 변환되어야 합니다.. 예, 이 방법으로만 가능합니다!

이 예에서는 삼각함수 표에서 직접 확인할 수 있습니다. 각도를 라디안으로 변환하는 공식 사용: (공식은 동일한 표에서 찾을 수 있습니다).

다음은 공식적입니다.

따라서: (우리는 계산에 그 값을 사용합니다). 조건에 따라 결과는 소수점 이하 두 자리로 반올림됩니다.

답변:

실시예 7

미분을 사용하여 대략적으로 계산하고 결과를 소수점 이하 세 자리로 반올림합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

보시다시피 복잡한 것은 없습니다. 각도를 라디안으로 변환하고 일반적인 솔루션 알고리즘을 준수합니다.

대략적인 계산
두 변수 함수의 완전 미분을 사용하여

모든 것이 매우 유사하므로 이 작업을 위해 특별히 이 페이지를 방문했다면 먼저 이전 단락의 예를 최소한 두 개 살펴보는 것이 좋습니다.

단락을 연구하려면 다음을 찾을 수 있어야 합니다. 2차 편도함수, 그들이 없으면 우리는 어디에 있을까요? 위 강의에서 나는 문자를 사용하여 두 변수의 함수를 표시했습니다. 고려 중인 작업과 관련하여 동등한 표기법을 사용하는 것이 더 편리합니다.

일변수 함수의 경우와 마찬가지로 문제의 조건은 다양한 방식으로 공식화될 수 있으며, 나는 직면하는 모든 공식을 고려하려고 노력할 것입니다.

실시예 8

해결책:조건을 어떻게 작성하든 솔루션 자체에서 기능을 표시하기 위해 반복합니다. 문자 "z"가 아닌 을 사용하는 것이 좋습니다.

그리고 작동 공식은 다음과 같습니다.

우리 앞에 있는 것은 실제로 이전 단락 공식의 언니입니다. 변수만 늘었습니다. 내가 뭐라고 말할 수 있니? 솔루션 알고리즘은 근본적으로 동일합니다.!

조건에 따라 해당 지점에서 함수의 근사값을 구하는 것이 필요합니다.

숫자 3.04를 로 표현해보자. 빵 자체가 먹을 것을 요구합니다.
,

숫자 3.95를 로 표현해 봅시다. Kolobok의 후반전 차례가 왔습니다.
,

그리고 여우의 모든 속임수를 보지 마십시오. Kolobok이 있습니다. 먹어야합니다.

해당 지점에서 함수의 값을 계산해 보겠습니다.

다음 공식을 사용하여 한 지점에서 함수의 미분을 찾습니다.

공식에서 우리가 찾아야 할 것은 다음과 같습니다. 부분 파생 상품먼저 주문하고 해당 값을 지점에서 계산합니다.

해당 지점에서 1차 편도함수를 계산해 보겠습니다.

지점의 총 차이:

따라서 공식에 따르면 해당 지점에서 함수의 대략적인 값은 다음과 같습니다.

해당 지점에서 함수의 정확한 값을 계산해 보겠습니다.

이 값은 절대적으로 정확합니다.

오류는 이 문서에서 이미 설명한 표준 공식을 사용하여 계산됩니다.

절대 오류:

상대 오류:

답변:, 절대 오류: , 상대 오류:

실시예 9

함수의 대략적인 값 계산 총미분을 사용하는 점에서 절대오차와 상대오차를 추정합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 이 예를 자세히 살펴보면 계산 오류가 매우 눈에 띄는 것으로 나타났습니다. 이는 다음과 같은 이유로 발생했습니다. 제안된 문제에서 인수의 증가가 상당히 큽니다. 일반적인 패턴은 다음과 같습니다. 절대값의 증가폭이 클수록 계산의 정확도가 낮아집니다. 예를 들어 유사한 점의 경우 증분은 작으며 대략적인 계산의 정확도는 매우 높습니다.

이 기능은 단일 변수 함수의 경우에도 적용됩니다(강의의 첫 번째 부분).

실시예 10

해결책: 대략 두 변수 함수의 총 미분을 사용하여 이 표현식을 계산해 보겠습니다.

예제 8-9와의 차이점은 먼저 두 변수의 함수를 구성해야 한다는 것입니다. . 함수가 어떻게 구성되어 있는지 다들 직관적으로 이해하고 계시리라 생각합니다.

값 4.9973은 "5"에 가깝습니다. 따라서 , .
0.9919 값은 "1"에 가깝기 때문에 다음과 같이 가정합니다.

해당 지점에서 함수의 값을 계산해 보겠습니다.

다음 공식을 사용하여 한 지점에서 미분을 찾습니다.

이를 위해 해당 지점에서 1차 편도함수를 계산합니다.

여기의 파생 상품은 가장 간단하지 않으므로 주의해야 합니다.

;

.

지점의 총 차이:

따라서 이 표현식의 대략적인 값은 다음과 같습니다.

마이크로 계산기를 사용하여 보다 정확한 값을 계산해 보겠습니다. 2.998899527

상대 계산 오류를 찾아 보겠습니다.

답변: ,

위의 그림을 예로 들면, 고려된 문제에서 인수의 증가는 매우 작았으며 오류는 환상적으로 작았습니다.

실시예 11

두 변수 함수의 완전 미분을 사용하여 이 표현식의 대략적인 값을 계산하십시오. 마이크로 계산기를 사용하여 동일한 표현식을 계산합니다. 상대 계산 오류를 백분율로 추정합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 수업이 끝나면 최종 디자인의 대략적인 샘플.

이미 언급했듯이 이러한 유형의 작업에서 가장 일반적인 손님은 일종의 뿌리입니다. 그러나 때때로 다른 기능이 있습니다. 그리고 휴식을 위한 마지막 간단한 예는 다음과 같습니다.

실시예 12

두 변수의 함수의 총 미분을 사용하여 다음과 같은 경우 함수의 대략적인 값을 계산합니다.

솔루션은 페이지 하단에 더 가깝습니다. 다시 한 번, 수업 과제의 표현에 주의하세요. 실제로 다른 예에서 표현이 다를 수 있지만 이것이 솔루션의 본질과 알고리즘을 근본적으로 바꾸지는 않습니다.

솔직히 소재가 좀 지루해서 좀 피곤했어요. 기사 시작 부분에서 이것을 말하는 것은 교육학적이지는 않았지만 이제는 이미 가능합니다 =) 실제로 계산 수학의 문제는 일반적으로 그다지 복잡하지도 흥미롭지도 않습니다. 아마도 가장 중요한 것은 실수하지 않는 것입니다. 일반적인 계산에서는.

계산기의 키가 지워지지 않기를 바랍니다!

솔루션 및 답변:

예시 2: 해결책:우리는 다음 공식을 사용합니다.
이 경우: , ,

따라서:
답변:

예시 4: 해결책:우리는 다음 공식을 사용합니다.
이 경우: , ,

한편으로 미분을 계산하는 것은 증분을 계산하는 것보다 훨씬 간단합니다. 반면에 dy≒Δy이며 이 경우 허용되는 오류는 Δx를 줄임으로써 임의로 작게 만들 수 있습니다. 이러한 상황에서는 많은 경우 Δy를 dy 값으로 대체하는 것이 가능합니다. 대략적인 동등성 dy≒Δy에서 Δy = f(x) – f(x 0) 및 dy=f'(x 0)(x-x 0)을 고려하여 f(x) ≒ f( x 0) + f'(x 0)(x – x 0), 여기서 x-x 0 = Δx.
예. 믿다.
해결책. 함수를 취하면 다음과 같습니다. . x 0 =16(근이 추출되도록 스스로 선택), Δx = 0.02라고 가정하면 .

예. x=0.1 지점에서 함수 f(x) = e x의 값을 계산합니다.
해결책. x 0에 대해 숫자 0, 즉 x 0 =0을 취하고 Δx=x-x 0 =0.1 및 e 0.1 ≒e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1을 취합니다. 표에 따르면 e 0.1 ≒1.1052입니다. 오류는 경미했습니다.
미분의 또 다른 중요한 속성을 살펴보겠습니다. 미분 dy=f'(x)dx를 찾는 공식은 다음의 경우와 같이 정확합니다. 엑스는 독립변수이고, 다음과 같은 경우에는 엑스– 새로운 변수의 기능 티. 미분의 이러한 속성을 형식의 불변 속성이라고 합니다. 예를 들어, y=tg(x) 함수의 경우 미분은 다음 형식으로 작성됩니다. 여부에 관계없이 엑스 독립 변수 또는 함수. 경우에 엑스– 함수가 구체적으로 지정됩니다(예: x=t 2 ). 그러면 dy 계산이 계속될 수 있으며, 이에 대해 dx=2tdt를 찾아 이전에 얻은 dy 표현식에 대체합니다.
.
공식 (2) 대신에 불변 공식 (1)을 사용했다면 x가 함수인 경우 비슷한 방식으로 dy 계산을 계속할 수 없습니다. 일반적으로 말하면 Δx는 다음과 같지 않기 때문입니다. 일치하다 dx.

광범위한 문제를 고려하십시오. 미분을 사용한 함수 값의 대략적인 계산.

여기에서는 1차 미분에 대해 이야기하겠습니다. 간략하게 설명하기 위해 간단히 "미분"이라고만 사용합니다. 미분을 이용한 근사계산 문제는 해법 알고리즘이 엄격하므로 특별한 어려움이 발생하지 않습니다. 유일한 것은 청소될 작은 함정이 있다는 것입니다. 그러니 자유롭게 머리 속으로 뛰어들어 보세요.

또한 이 섹션에는 계산의 절대 및 상대 오류를 찾는 수식이 포함되어 있습니다. 다른 문제에서는 오류를 계산해야 하기 때문에 이 자료는 매우 유용합니다.

예제를 성공적으로 익히려면 적어도 중급 수준에서는 함수의 파생어를 찾을 수 있어야 하므로 미분에 완전히 헷갈린다면 다음부터 시작하세요. 한 점에서 도함수 찾기그리고 그 점에서 미분을 찾는다. 기술적 수단으로는 다양한 수학 기능을 갖춘 마이크로 계산기가 필요합니다. MS Excel의 기능을 사용할 수 있지만 이 경우에는 편리성이 떨어집니다.

수업은 두 부분으로 구성됩니다.

– 한 지점에서 하나의 변수에 대한 함수의 미분 값을 사용하여 대략적인 계산을 수행합니다.

– 한 지점에서 두 변수 함수 값의 총 미분을 사용하여 대략적인 계산을 수행합니다.

고려중인 작업은 미분의 개념과 밀접한 관련이 있지만 아직 미분과 미분의 의미에 대한 교훈이 없기 때문에 예제에 대한 공식적인 고려만으로 제한하겠습니다. 이는 해결 방법을 배우기에 충분합니다. 그들을.

하나의 변수에 대한 함수의 미분을 이용한 대략적인 계산

첫 번째 단락에서는 하나의 변수의 기능이 지배합니다. 모두가 알고 있듯이 다음과 같이 표시됩니다. 와이또는 통해 에프(엑스). 이 작업에는 두 번째 표기법을 사용하는 것이 훨씬 더 편리합니다. 실제로 자주 접하는 인기 있는 예로 바로 넘어가겠습니다.

실시예 1

해결책:미분을 사용한 대략적인 계산을 위한 작업 공식을 노트북에 복사하십시오.

알아 내기 시작합시다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다!

첫 번째 단계는 함수를 만드는 것입니다. 조건에 따라 숫자의 세제곱근을 계산하는 것이 제안되므로 해당 함수의 형식은 다음과 같습니다.

대략적인 값을 찾으려면 공식을 사용해야 합니다.

살펴 보자 왼쪽수식을 사용하면 숫자 67을 형식으로 표현해야 한다는 생각이 떠오릅니다. 이를 수행하는 가장 쉬운 방법은 무엇입니까? 다음 알고리즘을 권장합니다. 계산기에서 이 값을 계산하세요.

– 꼬리가 있는 4로 밝혀졌습니다. 이는 솔루션에 대한 중요한 지침입니다.

처럼 엑스 0 "좋은" 값을 선택하고, 뿌리가 완전히 제거되도록. 당연히 이 뜻은 엑스 0이어야 한다 최대한 가까이 67까지.

이 경우 엑스 0 = 64. 실제로 .

참고: 선택 시엑스 0 여전히 문제가 있습니다. 계산된 값을 살펴보세요(이 경우 ), 가장 가까운 정수 부분(이 경우 4)을 취하고 이를 필요한 거듭제곱으로 올립니다(이 경우 ). 결과적으로 원하는 선택이 이루어집니다.엑스 0 = 64.

만약에 엑스 0 = 64, 인수 증분: .

따라서 숫자 67은 합계로 표시됩니다.

먼저 해당 지점에서 함수의 값을 계산합니다. 엑스 0 = 64. 실제로 이 작업은 이미 이전에 수행되었습니다.

한 지점의 미분은 다음 공식으로 구합니다.

– 이 수식을 노트북에 복사할 수도 있습니다.

공식에서 1차 미분을 취해야 합니다.

그리고 그 지점에서 그 가치를 찾아보세요 엑스 0:

.

따라서:

모든 것이 준비되었습니다! 공식에 따르면:

발견된 대략적인 값은 마이크로 계산기를 사용하여 계산한 값 4.06154810045에 매우 가깝습니다.

답변:

실시예 2

함수의 증분을 미분으로 대체하여 대략적으로 계산합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 최종 디자인의 대략적인 샘플과 수업이 끝나면 답변이 제공됩니다. 초보자의 경우 먼저 마이크로 계산기로 정확한 값을 계산하여 어떤 숫자를 사용할지 알아내는 것이 좋습니다. 엑스 0, 그리고 어느 것 – Δ에 대해 엑스. Δ에 주목해야 한다. 엑스이 예에서는 음수입니다.

계산기로 모든 것을 차분하고 더 정확하게 계산할 수 있다면 왜 이 작업이 필요한지 궁금해하는 사람들도 있을 것입니다. 동의합니다. 작업은 어리 석고 순진합니다. 그러나 나는 그것을 조금 정당화하려고 노력할 것입니다. 첫째, 이 작업은 미분 함수의 의미를 보여줍니다. 둘째, 고대에는 계산기가 현대의 개인용 헬리콥터와 비슷했습니다. 나는 1985-86 년에 연구소 중 한 곳에서 방 크기의 컴퓨터가 어떻게 던져 졌는지 직접 보았습니다 (라디오 아마추어가 드라이버를 가지고 도시 전역에서 달려 왔고 몇 시간 후에 장치에서 케이스 만 남았습니다) ). 물리학과에도 골동품이 있었지만 크기는 책상 크기만큼 작았습니다. 이것이 우리 조상들이 대략적인 계산 방법으로 어려움을 겪은 방법입니다. 말이 끄는 마차도 교통수단이다.

어떤 식으로든 문제는 고등 수학의 표준 과정에 남아 있으며 해결되어야 합니다. 이것이 귀하의 질문에 대한 주요 답변입니다 =).

실시예 3

미분을 사용하여 대략적인 함수 값을 계산합니다. 그 시점에 엑스= 1.97. 한 지점에서 더 정확한 함수값 계산 엑스= 1.97 마이크로 계산기를 사용하여 계산의 절대 및 상대 오류를 추정합니다.

실제로 이 작업은 다음과 같이 쉽게 재구성할 수 있습니다. “대략적인 값을 계산합니다. 차동 장치 사용"

해결책:우리는 익숙한 공식을 사용합니다.

이 경우 기성 기능이 이미 제공됩니다. . 다시 한번 말씀드리지만, "게임" 대신에 기능을 표기하는 것이 더 편리하다는 점을 말씀드리고 싶습니다. 에프(엑스).

의미 엑스= 1.97은 다음 형식으로 표현되어야 합니다. 엑스 0 = Δ 엑스. 글쎄요, 여기서는 더 쉽습니다. 숫자 1.97이 "2"에 매우 가깝다는 것을 알 수 있습니다. 엑스 0 = 2. 그러므로: .

그 시점에서 함수의 값을 계산해보자 엑스 0 = 2:

수식 사용 , 같은 지점에서 미분을 계산해 보겠습니다.

우리는 첫 번째 도함수를 찾습니다:

그리고 그 시점에서 그 의미는 엑스 0 = 2:

따라서 해당 지점의 미분은 다음과 같습니다.

결과적으로 다음 공식에 따르면:

작업의 두 번째 부분은 계산의 절대 및 상대 오류를 찾는 것입니다.

1. 함수 증분의 대략적인 값 계산

예. 함수의 미분 개념을 이용하여 함수의 변화를 대략적으로 계산합니다. 인수가 5에서 5.01로 변경될 때.

함수의 미분을 구해보자 . 값을 대체하자 엑스 0 = 5, 디 엑스= 0.01. 우리는 얻는다

2. 함수의 대략적인 값 계산

예. 미분 1.998 5 을 사용하여 대략적인 값을 계산합니다.

다음과 같은 기능을 고려하십시오. 엑스= 1.998. 그것을 분해하자 엑스~에 엑스 0과 D 엑스 (엑스 = 엑스 0+디 엑스), 허락하다 엑스 0 = 2, 그다음 D 엑스 = - 0,002.

가치를 찾아보자 , ,

그러면 1.998 5 » 32 – 0.16 = 31.84입니다.

고차의 파생상품과 미분상품

함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분 가능하다고 가정합니다. 그런 다음 이를 미분하면 1차 도함수를 얻습니다.

함수 f¢(x)의 도함수를 찾으면 다음을 얻습니다. 2차 미분함수 f(x).

저것들. y¢¢ = (y¢)¢ 또는 .

.

미분학의 기본 정리

1. 롤의 정리. 함수 f(x)가 구간에서 연속적이고 구간 (a, b)에서 미분 가능하고 구간 끝의 함수 값이 f(a) = f(b)와 같으면 구간 (a, b)에는 적어도 하나의 점 c( a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

역할 정리의 기하학적 의미. 롤의 정리의 기하학적 의미는 정리의 조건이 구간 (a, b)에서 충족되면 곡선의 해당 점 y = f(x)에서 접선이 평행한 점 c가 있다는 것입니다. 황소 축. 한 간격에 그러한 점이 여러 개 있을 수 있지만 정리에 따르면 그러한 점이 적어도 하나 존재한다고 명시되어 있습니다.

간격의 적어도 한 지점에서 [ 에이; 비] 함수가 미분 가능하지 않으면 함수의 도함수가 에프엑스(f(x)) 0이 되지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 함수 와이=1-½ 엑스½은 구간 [-1에서 연속입니다. +1], 점을 제외하고 (-1;+1)에서 미분 가능 엑스 0 = 0이고 에프(-1) = 에프(1) = 0, 즉 롤의 정리 조건이 한 지점에서 위반됩니다. 엑스 0 = 0(함수가 미분되지 않음). 구간 [-1; 1] 그래프의 접선이 축 0과 평행하지 않습니다. 엑스.

롤의 정리에는 여러 가지가 있습니다. 결과 :

1) 기능의 경우 에프엑스(f(x))세그먼트에서 [ 에, 비]는 Rolle의 정리를 만족하며, f(a) = f(b) = 0, 그러면 적어도 하나의 점이 있습니다 초, 에< с < b , 그렇게 f¢(c) = 0. 저것들. 함수의 두 0 사이에는 함수의 도함수가 0과 같은 지점이 하나 이상 있습니다.

2) 고려된 간격( 에, 비) 기능 에프엑스(f(x))파생 상품이 있습니다 ( N-1)번째 주문 및 N시간이 사라지면 도함수( N–1)차수는 0과 같습니다.

2. 라그랑주의 정리. 함수 f(x)가 구간에서 연속이고 구간 (a, b)에서 미분 가능하면 이 구간에는 적어도 하나의 점 c(a)가 있습니다.< c < b), такая, что .

이는 정리의 조건이 특정 간격에서 충족되면 이 간격의 인수 증분에 대한 함수 증분의 비율이 일부 중간 지점의 도함수 값과 동일하다는 것을 의미합니다.

위에서 논의된 롤의 정리는 라그랑주 정리의 특별한 경우입니다.

라는 표현이 라그랑주의 유한 증분 공식.

라그랑주 정리의 기하학적 의미.

라그랑주 정리의 조건이 충족되면 유한 증분에 대한 라그랑주 공식이 유효합니다.

포인트를 주자 에이그리고 비그래프에 있는 함수에는 좌표가 있습니다. 에이 (에이; 에프(에이)), 비 (비; 에프(비)), 그러면 분수의 값이 현의 경사각의 탄젠트와 같다는 것이 분명합니다 AB O축으로 엑스, 즉. .

반대편에는 에프 "(기음) = tga. 그래서 그 시점에서 엑스= 기음함수 그래프에 접하는 와이= 에프엑스(f(x))곡선의 호에 대응하는 현과 평행 AB. 이것이 라그랑주 정리의 기하학적 의미이다.

3. 코시의 정리. 기능의 경우 에프엑스(f(x))그리고 지(엑스)세그먼트에서 연속 구간에서 미분 가능 (a, b) 및 g¢(x) ¹ 0이 간격에 지점이 없으면 적어도 하나의 지점이 있습니다. c(a< c < b), 평등이 유지되도록 :

.

저것들. 주어진 세그먼트의 함수 증분 비율은 해당 지점의 파생 상품 비율과 같습니다. 와 함께.

코시 정리의 기하학적 의미.

코시 정리의 기하학적 의미가 라그랑주 정리의 기하학적 의미와 일치한다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.

함수 증분의 대략적인 값

충분히 작은 값의 경우 함수의 증분은 미분과 거의 같습니다. Dy»dy 따라서

예시 2.인수 x가 값 x 0 =3에서 x 1 =3.01로 변경될 때 함수 y= 증분의 대략적인 값을 구합니다.

해결책. 공식 (2.3)을 사용해 보자. 이를 위해 계산해 봅시다.

X 1 - x 0 = 3.01 - 3 = 0.01, 그러면

두" .

한 지점에서 함수의 대략적인 값

x 0 지점에서 함수 y = f(x)의 증가 정의에 따라 인수 Dx(Dx®0)가 증가하면 Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) 그리고 공식 (3.3)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

공식 (3.4)의 특별한 경우는 다음과 같습니다.

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx(3.4b)

sinDx » Dx(3.4v)

tgDx » Dx(3.4g)

여기서는 이전과 마찬가지로 Dx®0이라고 가정합니다.

예시 3. x 1 =2.02 지점에서 함수 f(x) = (3x -5) 5의 대략적인 값을 구합니다.

해결책. 계산을 위해 공식 (3.4)을 사용합니다. x 1을 x 1 = x 0 + Dx로 표현해보자. 그러면 x 0 = 2, Dx = 0.02입니다.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2.02) = (3 × 2.02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0.02 = 1.3

예시 4.(1.01) 5 , , ln(1.02), ln 을 계산합니다.

해결책

1. 식 (3.4a)를 이용해보자. 이를 위해 (1.01) 5를 (1+0.01) 5 형식으로 상상해 보겠습니다.

그런 다음 Dx = 0.01, n = 5라고 가정하면 다음을 얻습니다.

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05.

2. (3.4a)에 따라 1/6을 (1 - 0.006) 형식으로 표시하면 다음을 얻습니다.

(1 - 0.006) 1/6 » 1 + .

3. ln(1.02) = ln(1 + 0.02)을 고려하고 Dx=0.02라고 가정하면 공식(3.4b)을 사용하여 다음을 얻습니다.

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. 마찬가지로

ln = ln(1 - 0.05) 1/5 = .

함수 증분의 대략적인 값 찾기

155. 인수 x가 x 0 = 2에서 x 1 = 2.001로 변경될 때 y = 2x 3 + 5

156. y = 3x 2 + 5x + 1, x 0 = 3 및 Dx = 0.001

157. y = x 3 + x - 1, x 0 = 2 및 Dx = 0.01

158. x 0 = 10 및 Dx = 0.01에서 y = ln x

159. x 0 = 3 및 Dx = 0.01에서 y = x 2 - 2x

함수의 대략적인 값 찾기

160. y = 2x 2 - x 1 = 2.01 지점에서 x + 1

161. y = x 2 + 3x + 1 at x 1 = 3.02

162.y= 점 x 1 = 1.1에서

163. y= x 1 지점 = 3.032

164. y = x 1 = 3.97 지점에서

165. y = x 1 = 0.015 지점에서 sin 2x

대략적으로 계산

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

함수 연구 및 그래프 작성

함수의 단조성의 징후

정리 1 (기능의 증가(감소)를 위한 필요조건) . 미분 함수 y = f(x)이면 xО(a; b)는 구간 (a; b)에서 증가(감소)하고 모든 x 0 О(a; b)에 대해 증가합니다.

정리 2 (함수의 증가(감소)를 위한 충분조건) . 함수 y = f(x), xО(a; b)가 구간(a; b)의 각 지점에서 양(음) 도함수를 갖는 경우 이 함수는 이 구간에서 증가(감소)합니다.

함수의 극값

정의 1.점 x 0을 함수 y = f(x)의 최대(최소) 점이라고 합니다. 점 x 0의 일부 d-이웃의 모든 x에 대해 부등식 f(x)가 충족되는 경우< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) x 1 x 0 .

정리 3(페르마) (극한이 존재하기 위한 필요조건) . 점 x 0이 함수 y = f(x)의 극점이고 이 지점에 도함수가 있는 경우,

정리 4 (극값이 존재하기 위한 첫 번째 충분조건) . 함수 y = f(x)가 점 x 0 의 일부 d-이웃에서 미분 가능하다고 가정합니다. 그 다음에:

1) 도함수가 x 0 지점을 통과할 때 부호가 (+)에서 (-)로 변경되면 x 0이 최대 지점입니다.

2) 도함수가 x 0 지점을 통과할 때 부호가 (-)에서 (+)로 변경되면 x 0이 최소 지점입니다.

3) x 0 지점을 통과할 때 도함수가 부호를 변경하지 않으면 x 0 지점에서 함수에 극값이 없습니다.

정의 2.함수의 도함수가 사라지거나 존재하지 않는 지점을 호출합니다. 첫 번째 종류의 중요한 포인트.

1차 미분을 사용하여

1. 함수 y = f(x)의 정의 영역 D(f)를 찾습니다.

3. 첫 번째 종류의 중요한 점을 찾으십시오.

4. 함수 y = f(x)의 정의 영역 D(f)에 임계점을 배치하고 임계점이 함수 정의 영역을 나누는 간격에서 도함수의 부호를 결정합니다.

5. 함수의 최대 및 최소 지점을 선택하고 이 지점에서 함수 값을 계산합니다.

예시 1.극값에 대한 함수 y = x 3 - 3x 2를 조사합니다.

해결책. 1차 도함수를 사용하여 함수의 극값을 찾는 알고리즘에 따르면 다음과 같습니다.

1. D(f): xО(-엔; 엔).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - 제1종 임계점.

x = 0 점을 통과할 때의 도함수

부호가 (+)에서 (-)로 바뀌므로 점입니다.

최고. x = 2인 점을 통과하면 부호가 (-)에서 (+)로 바뀌므로 이 점이 최소점입니다.

5. y 최대 = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

최대 좌표(0; 0).

y 최소 = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

최소 좌표(2, -4).

정리 5 (극값이 존재하기 위한 두 번째 충분조건) . 함수 y = f(x)가 정의되고 점 x 0 및 의 일부 이웃에서 두 번 미분 가능하면 점 x 0에서 함수 f(x)는 최대 if와 최소 if 를 갖습니다.

함수의 극값을 찾는 알고리즘

2차 미분을 사용하여

1. 함수 y = f(x)의 정의 영역 D(f)를 찾습니다.

2. 1차 도함수 계산