독일의 수학자이자 이론 천문학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스 (1790-1868) - 유명한 기하학자인 위대한 가우스의 학생, 라이프치히 대학교 교수, 천문대 소장. 오랜 세월의 가르침, 오랜 세월의 일 - 교수의 평범한 삶.

단면 발견에 대한 두 가지 전설이 있습니다.

수학자들이 만든 뫼비우스 띠(뫼비우스 띠 또는 뫼비우스 고리라고도 함)의 이름은 무엇입니까?

수학의 언어에서는 다음과 같습니다.토폴로지 객체, 가장 단순한 단면 표면 일반적인 3차원 유클리드 공간의 가장자리를 사용하면 가장자리를 교차하지 않고 이 표면의 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 수 있습니다.

꽤 복잡한 정의입니다!

따라서 단순히 뫼비우스의 띠를 자세히 살펴보는 것이 더 편리합니다. 종이 조각을 가져와서 조각을 반 바퀴(180도) 비틀어 끝부분을 서로 붙입니다.

또 “엄마는 그런 일로 내 머리를 쓰다듬지 않았을 텐데”! 하지만 이번에는 당신이 옳았습니다! 꼬인 고리여야 합니다.

펠트펜으로 스트립의 어딘가에 점을 찍습니다. 이제 요점을 다시 만날 때까지 전체 테이프를 따라 선을 그립니다. 어디든 가장자리를 넘어갈 필요가 없었습니다. 이를 단면 표면이라고 합니다.

당신이 그린 선이 얼마나 흥미로운지 보세요. 그것은 링 내부에 있거나 외부에 있습니다! 이제 이 선의 길이를 점에서 점으로 측정합니다.
놀랐나요?
원래 종이 조각보다 두 배나 긴 것으로 밝혀졌습니다!

왜냐하면 당신의 손에는 뫼비우스의 띠가 있기 때문입니다! 그러나 뫼비우스 띠는 한쪽 면만 가지고 있으며 다시 말하겠습니다. 이것은 가장자리가 있는 단면 표면입니다.

1. 뫼비우스 띠를 중심선을 따라 원으로 자릅니다. 두려워하지 마십시오. 두 개로 떨어지지 않습니다! 리본은 원래 리본보다 두 배 더 꼬여 길고 닫힌 리본으로 펼쳐집니다. 뫼비우스의 띠를 이렇게 잘라도 여러 부분으로 나누어지지 않는 이유는 무엇입니까?
절단 부분이 테이프 가장자리에 닿지 않았으므로 절단 후에도 가장자리(및 전체 종이 조각)가 전체 조각으로 유지됩니다.

2. 첫 번째 실험 후 얻은 뫼비우스 띠(원본보다 두 배로 꼬인 것, 즉 360도)를 중심선을 따라 자릅니다.

3. 새로운 뫼비우스 스트립을 만드세요. 단, 붙이기 전에 한 번이 아니라 세 번(180도가 아니라 540도) 회전시키세요. 그런 다음 중앙선을 따라 자릅니다.

알렉산더 포슬라프스키

아르테미 베이비

이것은 기하학을 공부할 때 일어나는 거의 알려지지 않은 놀라움에 대한 짧은 에세이입니다. 뫼비우스 띠.

문헌에는 투영면, 단면면, 등 여러 가지 이름이 있습니다. 리본뫼비우스, 고리뫼비우스, 반지뫼비우스. 내 몸에 밴 습관에 따라 앞으로는 우리 연구 주제를 이렇게 부르겠다. 뫼비우스 반지.

잘 알려진 놀라움에 대해 간략하게 뫼비우스 고리 . 이는 아래에서 설명할 내용을 이해하는 데 필요합니다.

• 자르면 뫼비우스 링 중간 선을 따라 두 번 반 회전하는 링이 완성됩니다. 이런 반지라고 하는데 *아프간 리본* 이미 두 개의 모서리(모서리)가 있는 양면 표면입니다.
• 자르면 뫼비우스 링 가장자리를 따라 너비의 1/3만큼 후퇴하면 크기가 다른 두 개의 고리가 생깁니다. 더 작은 고리 - 뫼비우스 고리( 단면 ) 그리고 더 - *아프간 리본 * (양면 표면). 이 고리들은 서로 맞물려 있습니다.

그리고 이제 새로운 놀라움에 대해. 그들은 일반 대중에게 거의 알려지지 않았습니다. 그리고 가장 알고 싶어하는 독자는 아래에 설명된 실험을 반복할 수 있습니다. 에세이의 저자는 전문적인 수학자이자 위상학자가 아닙니다. 그는 외부의 도움 없이 모든 것을 스스로 생각해냈습니다. 따라서 이 에세이에 표현된 실험 결과와 아이디어는 저자와의 논의를 위해 제공됩니다.

놀라움 #1

처음에는 접착제를 사용해 보았습니다. 뫼비우스 링 하나가 아닌 두 개의 종이 조각에서 이전에 더미에 배치했습니다. (사진 1).실제와 비슷한게 나왔네요 뫼비우스 링(사진2):

왜 "비슷한 것"입니까? 이 반지를 늘렸을 때 접착 결과 " ” (사진 3).

그리고 놀라운 점은 무엇입니까? 그리고 사실은 원래 반지가 늘어났을 때 그 무결성이 침해되지 않았다는 것입니다. 이는 다음을 의미합니다. “ 원래 링으로 다시 접는 것은 매우 쉽습니다. (유사 고리) 뫼비우스(사진 4).

이제는 그것을 기억할 때다. "에이 아프간 리본” 진짜를 잘라서 얻은 뫼비우스 고리 중앙선을 따라. 그래서, 잘라서 얻은 것처럼 쉽게 접을 수 있습니다. 유사 뫼비우스 고리 . 즉 잘라서 뫼비우스 링 (더 나아가 - km ) 정중선을 따라 수신 “아프간 테이프”(“ 알 .” ) , 당신은 이미 받을 수 있습니다 “ 알. ” 모으다 유사 뫼비우스 고리 (더 나아가 - 인민폐 ). 그냥 붙이시면 됩니다 “알.엘.” 그리고 접어서 인민폐. 실제로 테스트되었습니다.

놀라움 #2

이런 놀라움은 계속된다 놀라움 1. 나는 이미 세 개의 종이 조각을 모양대로 붙였습니다. km , 이전에 스택에 배치한 적이 있음 (사진 5, 6).

결과는 확실했다 "샌드위치"형태로 km(사진 7). 이것을 펴면 "샌드위치", 그러면 두 개의 고리로 분해됩니다. 더 작은 고리는 km 그리고 그 이상은 “알.엘.”, 서로 연결됨 (사진 8).

그러나 절단해도 동일한 결과가 나타납니다. km 에 의해 1 / 3 그 너비! 첫 번째 경우와 마찬가지로 이 두 링도 원래 상태로 조립할 수 있습니다. "샌드위치". 처음에는 “알.엘.”에 맞는 인민폐(사진 9)그런 다음 km 중앙에 배치 인민폐(사진 10).실제로 테스트되었습니다.

놀랍게도 이미 잘랐다. "샌드위치"에 의해 1 / 3 너비, 새롭고 더 복잡한 것을 조립할 수 있습니다 "샌드위치". 이론적으로 이러한 구분은 “샌드위치”그리고 그것들을 수집하는 것은 계속될 수 있습니다... 뭐, 아주 여러 번요. 결과는 다층이 될 것입니다 "샌드위치"여러개의 층으로 이루어진 “아프간 리본” 그리고 하나 뫼비우스 고리에이, 중앙에 위치 "샌드위치".

다층(샌드위치) 구조를 보다 비유적으로 표현하려면 유사 뫼비우스 고리 나는 "수학자들이 농담을 하고 있다" 시리즈의 두 그림을 제안합니다:

예제 사용 “샌드위치”(사진7.10)단면(투영면)의 또 다른 속성을 쉽고 시각적으로 이해할 수 있습니다. 둘, 평행한 서로에게 단면 (적어도 우리의 3차원 유클리드 공간에서는). 둘 중 하나는 분명 성공할 거야 양면

여기서 나는 약간의 여담을 만들 것입니다. 인터넷에서 나는 실험에 대한 설명을 발견했습니다. 뫼비우스 반지 . 그것은 다음과 같이 보였습니다. 형태의 폴리머 필름에 km 금속층이 적용되었습니다. 실험이 수행되고 있음을 고려하여 결과 샘플에 대해 다양한 조치가 수행되었습니다. km . 엄밀히 말하면 위와 같은 실험을 진행했습니다. "샌드위치", 작업 금속층이 있었던 곳 “아프간 리본” , 에이 뫼비우스 반지 내하중 폴리머 필름이 있었습니다.

주제로 돌아가서 나도 실험하고 싶었다는 점을 언급하고 싶습니다. km . 하지만 불완전한 형태가 마음에 들지 않았습니다. km , 직사각형 스트립에서 얻습니다. 이 "직사각형" 구조에는 3개 이상의 변형 영역이 있으며, 평평하게 만들면 명확하게 나타납니다. km. 그러므로 나는 이렇게 생각했다. km, S자형 스트립을 기반으로 조립되어 기술적으로 더욱 발전했습니다. (사진 11과 12).

얻으려면 km ~에서 에스-모양의 스트립의 경우 스트립의 끝을 연결하고 서로 붙이는 것으로 충분합니다. 또한 스트립을 구부리는 방향에 따라 왼손잡이용 또는 오른손잡이용 버전이 제공됩니다. km . 위의 내용은 간단합니다. "샌드위치": 스택이 만들어집니다. 3 -엑스 에스모양의 스트립, 끝 부분을 모아서 하나씩 붙입니다.

절단 실험 뫼비우스 고리 그리고 수집 “샌드위치”이 옵션을 사용하면 더욱 시각적이고 조립이 매우 쉽습니다.

"샌드위치"세 개의 스트립에서 얻은 는 다음과 같은 형태의 커패시터를 생성하기 위한 모델 역할을 할 수 있습니다. km . 먼저 생성해야 한다는 점을 이해하면 됩니다. km 금속 호일(내부 판-전극)로 만든 다음 그 위에 유전체 및 금속 필름(외부 판-전극) 층을 적용합니다. 여기에는 옵션이 없지만 와 함께 km , 그리고 인민폐 이를 위해서는 약간 다른 접근 방식이 필요합니다.

이 커패시터 설계가 기존 설계에 비해 장점이 있는지는 모르겠지만 비틀림 장을 다루는 사람들에게는 흥미로울 것이라고 생각합니다. 왜? 이것은 이미 에세이 작성자와 논의할 주제입니다.

놀라움 #3

계속합시다. 얻은 결과에도 불구하고 나는 이런 식으로 얻은 형태의 불완전성에 여전히 불만족스러웠습니다. km. 이 문제를 고민하던 중 이런 생각이 들었습니다. km 토러스 표면을 나타냅니다. 공간적 상상력이 부족하고 모든 것을 눈으로 보고 손으로 만져야 하기 때문에 뫼비우스 링 그리고 종이 고리로 덮었어요. 그 결과 이런 디자인이 나왔네요 (사진 13).

그리고 약속된 놀라움은 어디에 있습니까? 받은 점을 고려하여 "큰 쇠시리", 나는 다음을 발견했습니다(나는 스스로 강조합니다. 아마도 위와 아래에 설명된 모든 것이 이 작품의 독자들에게 오랫동안 알려져 있었을 것입니다). 뫼비우스 링 토러스의 내부 볼륨을 서로 격리된 두 개의 공동으로 나누지 않습니다. 즉, 내장형 토러스 내부에 있는 모든 지점에서 km , 비행기를 건너지 않고도 내부의 다른 지점으로 이동할 수 있습니다. km 그리고 토러스의 표면.

명확성을 위해 내부에 다음과 같은 형태의 칸막이가 있는 고무 구조 원 형태의 토러스를 상상해 보겠습니다. km . 칸막이 모양으로 원형 내부의 기압 km 젖꼭지의 위치에 관계없이 전체 볼륨에 고르게 분포됩니다. 그런데, 사진 13세로 코일 주위의 자기장의 모양을 매우 명확하게 모델링합니다. 뫼비우스.

이론적으로 이상적인 토러스를 구성하는 원리는 뫼비 반지콧수염매우 간단하지만 토러스 모델의 실제 구현 km 특정 기술적인 어려움과 관련이 있습니다.

토러스의 실제 생산을 위해 km인쇄하기에 가장 적합합니다. 3D 프린터.

그래서 놀라움은 계속됩니다

이제 다음과 같은 멋진 기하학적 몸체에 대해 이야기할 때입니다. 맨 위.

오픈은 어때요? 맨 위? 그렇구나, 열어봐 맨 위이 원 외부에 위치한 축을 중심으로 토러스 모양의 원이 회전하여 형성되며 다음과 같은 형태를 갖습니다. (사진14).

그들은 또한 피크를 구별합니다. 맨 위. 이는 주요 회전축이 토러스를 형성하는 원에 접하는 경우입니다. 쉽게 말하면 구멍이 없는 베이글입니다. 또한 폐쇄형(축형) 맨 위, 회전축이 토러스를 형성하는 원과 교차할 때. 좋은 예는 둥근 사과입니다.

받기 위해서는 km 다섯 맨 위 e, 토러스를 형성하는 원(두 개의 반경 벡터)의 직경을 나타냅니다. 이제 토러스를 형성하는 원이 외부 축뿐만 아니라 동시에 내부 축을 중심으로 회전하도록 만들어 보겠습니다. 맨 위에이. 외부 축을 중심으로 완전히 회전하려면 원이 동시에 내부 축을 중심으로 반 바퀴 회전해야 합니다. 그런 다음 직경(두 개의 반경 벡터)은 평면을 다음 형식으로 설명합니다. km(사진15).

하지만 이 km 상상의 경험을 통해 얻은 것입니다. 재고가 없는데 어떻게 현실에서 구할 수 있나요? 3차원인쇄기? 나와는 다른 나만의 방식을 생각해 낼 수 있습니다. 나는 다음을 수행했습니다. 열린 표면에는 맨 위그리고 (어린이 피라미드에서) 반경 벡터의 궤적을 그렸습니다. (사진16). 그런 다음 그는 황동선을 가져다가 조심스럽게 감았습니다. 맨 위그리고 이 궤적을 따라 나는 가장자리의 두 부분을 얻었습니다 (가장자리) 큰 쇠시리 km(사진 17).

그런 다음 두 개의 튜브를 사용하여 연결하고 결과 루프의 가지 사이의 공간을 전기 테이프 조각으로 채웠습니다. (사진 18과 19).

뫼비우스 링 다섯 맨 위이는 단일 반경 벡터를 사용하여 얻을 수도 있습니다. 이 경우 외부 축을 중심으로 두 번 회전하고 내부 축을 중심으로 전체 회전을 동시에 수행해야 합니다. 그리고 여기서 두 가지가 분명해집니다. 첫째 - km 대칭축 (또는 중간 선)이 있고 두 번째 축이 있습니다. 왜 자르면 km중간 선을 따라 두 번 반 회전하는 링을 얻습니다. (*아프가니 리본* ). 외부 축을 중심으로 첫 번째 회전 중에 단위 반경 벡터가 그리는 것과 두 번째 회전 중에 그리는 것을 상상해 보십시오.

세심한 독자 접착 km 그런 다음 정중선을 따라 자르면 가위가 한 바퀴 회전하는 것을 볼 수 있습니다. 자르면 km 에 의해 1 / 3 너비가 있으면 가위는 이미 두 번 회전합니다.

KM 더 많은 반 회전을 수행하더라도 단면 표면의 특성을 유지합니다. 주요 조건은 반 회전 수가 다음과 같아야 한다는 것입니다. 이상한.

그런 뫼비우스의 띠 또는 뫼비우스 링 , 누구나 좋아하는 것처럼 저는 그것을 2-벡터라고 불렀습니다. 무엇을 위해? 그런 다음 이러한 링은 두 개의 반경 벡터로 구성됩니다. 그래서 뭐? 그리고 뭐...

놀라움 #4

토러스에서는 3개, 4개, ..., N-벡터 뫼비우스 고리. 살펴보세요 사진 20.이는 3개의 벡터로 구성된 뫼비우스 고리를 생성하는 원리를 보여줍니다.

세 개의 반경 벡터가 토러스를 형성하는 원에 표시됩니다. 에이,비,씨. 외부 축을 중심으로 이 원을 회전시키는 동시에 내부 축을 중심으로 비틀어 회전이 완료되면 벡터가 에이 벡터와 도킹 안에 (각각 벡터 안에 에게 와 함께 , 에이 와 함께 에게 에이 ), 반경 벡터는 다음 형식의 단면 표면을 설명(생성)합니다. 3-벡터 (세 개의 꽃잎) 뫼비우스 고리.

이는 N-벡터 단면을 얻기 위한 보편적인 방법이며 일반 CM의 모든 속성을 갖습니다.

토러스 CM 구성에 대한 이러한 접근 방식을 통해 중간선(즉, 접합선)이 특별한 중요성을 얻습니다. 이 경우 접합선은 토러스의 내부 축과 일치합니다. 예를 들어, 3-벡터 KM이 활용선을 따라 자수되면 삼중 루프에서 "아프간 리본" 버전을 얻게 됩니다.

3-벡터 km 이 체계에 따라 생성된 은 분수로 표시될 수 있습니다. 1 / 3 여기서 분모는 벡터의 수를 나타내고 분수 자체는 전체 회전 중에 각 벡터가 비틀리는 각도를 나타냅니다.

나는 이 분수를 불렀다 지수 km . 예를 들어 내가 이야기한다면 km 와 함께 지수 km = 1 / 4, 그렇다면 이것은 우리가 이야기하고 있다는 것을 의미합니다 4-벡터 km 반전이 있는 1 / 4 매출액 (곱하기 360 0 , 우리는 결과를 도 단위로 얻습니다) 또는 90 0 . 색인 km는 각도로 표현되며, 기본 각도트위스트. 동시에 우리는 이것을 기억해야 한다. 색인 km가치를 가질 수 없다 정수.

그런 점을 고려하면 km 왼쪽 또는 오른쪽 나사를 사용하여 조일 수 있습니다. 왼쪽 나사에 기호를 표시했습니다. ”-“ , 오른쪽 나사는 기호입니다. “+” . 그럼 전체 입장 지수 km 예는 다음과 같습니다. km 지수 = + 1 / 4 . 그래서 우리는 4-벡터 km 반전이 있는 1 / 4 회전 (기본 회전 각도 - 90 0 ) 및 오른쪽 나사.

km 지수 매우 유익한 지표가 되어 거대한 다중 벡터 제품군을 빠르게 이해하는 데 도움이 됩니다. km 그리고 그들의 다양한 조합.

나는 토러스 가족의 전체 다양성을 설명하고 체계화하는 임무를 스스로 설정하지 않았습니다. km 그리고 그들의 조합. 기하학을 사용하여 장치를 설계할 때 고려해야 할 몇 가지 기능에 대해서만 설명하겠습니다. km .

1. 만일 km 지수 분자와 분모에 공통 배수가 있는 경우 여러 교차 시스템을 모델링할 때 km (2개 이상부터). 예를 살펴 보겠습니다. 6 -ti벡터 구성.

km 지수 =+ 2 / 6 , 여기서 주어진 분수에 대한 공배수는 다음과 같습니다. 2 . 이는 시뮬레이션을 통해 다음과 같은 시스템이 생성됨을 의미합니다. 2 3-벡터 km 기본 비틀림 각도 120 0 :

km 지수 =+ 3 / 6 , 여기서 공배수는 다음과 같습니다. 3 . 모델링할 때 시스템은 다음에서 얻습니다. 3 2-벡터 km 기본 각도 180 0 :

2. 만일 km 지수처럼 보인다 1 / 4 , 1 / 6 , 1 / 8 … 1 / 2 N 또는 3 / 4 , 5 / 4 , 5 / 6 , 7 / 6 … 2 N±1/2N (여기서 N은 숫자부터 시작하는 임의의 자연수입니다. 2 ), 모델링할 때 밝혀졌습니다. 자기교차하는 뫼비우스 고리 - 단일 자기교차점에서 다중 자기교차점까지. 동시에 그러한 일방적 성격도 km 어떤 경우에도 저장됩니다. 다음은 이 진술을 뒷받침하는 몇 가지 예입니다.

여기 그는 놀라운 뫼비우스 띠의 저자입니다!
독일의 수학자이자 이론 천문학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스(1790-1868) - 유명한 기하학자인 위대한 가우스의 학생, 라이프치히 대학교 교수, 천문대 소장. 오랜 세월의 가르침, 오랜 세월의 일 - 교수의 평범한 삶.

와, 이런 일이 내 인생의 마지막에 일어났습니다! 놀라운 아이디어가 떠올랐습니다... 그것은 그의 인생에서 가장 중요한 사건이었습니다! 불행하게도 그는 자신의 발명품의 중요성을 인식할 시간이 없었습니다. 유명한 뫼비우스의 띠에 관한 기사가 사후에 출판되었습니다.

수학자들이 만든 뫼비우스 띠(뫼비우스 띠 또는 뫼비우스 고리라고도 함)의 이름은 무엇입니까?

수학의 언어에서는 다음과 같습니다. 토폴로지 객체, 가장 간단한 단면일반적인 3차원 유클리드 공간의 가장자리를 사용하면 가장자리를 교차하지 않고 이 표면의 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 수 있습니다.
꽤 복잡한 정의입니다!

따라서 단순히 뫼비우스의 띠를 자세히 살펴보는 것이 더 편리합니다. 종이 조각을 가져와서 조각을 반 바퀴(180도) 비틀어 끝부분을 서로 붙입니다.

또 “엄마는 그런 일로 내 머리를 쓰다듬지 않았을 텐데”! 하지만 이번에는 당신이 옳았습니다! 꼬인 고리여야 합니다.

펠트펜으로 스트립의 어딘가에 점을 찍습니다. 이제 요점을 다시 만날 때까지 전체 테이프를 따라 선을 그립니다. 어느 곳에서나 가장자리를 넘어갈 필요가 없었습니다. 이를 단면 표면이라고 합니다.

당신이 그린 선이 얼마나 흥미로운지 보세요. 그것은 링 내부에 있거나 외부에 있습니다! 이제 이 선의 길이를 점에서 점으로 측정합니다.
놀랐나요?
원래 종이 조각보다 두 배나 긴 것으로 밝혀졌습니다!

왜냐하면 당신의 손에는 뫼비우스의 띠가 있기 때문입니다! 그러나 뫼비우스 띠는 한쪽 면만 가지고 있으며 다시 말하겠습니다. 이것은 가장자리가 있는 단면 표면입니다.

그리고 개미가 뒤집지 않고 이 선을 따라 기어가도록 강요하면 화가 모리스 에셔(Maurice Escher)의 그림 사본을 얻게 됩니다.
끝없는 길 위의 불쌍한 개미

또는 약간 다른 두 개의 뫼비우스 띠를 만들 수 있습니다. 하나는 접착하기 전에 스트립을 시계 방향으로 비틀고 다른 하나는 시계 반대 방향으로 비틀십시오. 이것이 오른쪽과 왼쪽의 뫼비우스 띠가 다른 점입니다.

그리고 지금 흥미로운 놀라움뫼비우스 띠로:

1. 뫼비우스 띠를 중심선을 따라 원으로 자릅니다. 두려워하지 마십시오. 두 개로 떨어지지 않습니다! 리본은 원래 리본보다 두 배 더 꼬여 길고 닫힌 리본으로 펼쳐집니다. 뫼비우스의 띠를 이렇게 잘라도 여러 부분으로 나누어지지 않는 이유는 무엇입니까?
절단 부분이 테이프 가장자리에 닿지 않았으므로 절단 후에도 가장자리(및 전체 종이 조각)가 전체 조각으로 유지됩니다.

2. 첫 번째 실험 후 얻은 뫼비우스 띠(원본보다 두 배로 꼬인 것, 즉 360도)를 중심선을 따라 자릅니다.
무슨 일이 일어날까요?
이제 두 개의 동일하지만 서로 맞물린 뫼비우스 띠를 손에 쥐게 됩니다.

3. 새로운 뫼비우스 띠를 만드세요. 단, 붙이기 전에 한 번이 아니라 세 번(180도가 아닌 540도) 회전시켜 주세요. 그런 다음 중앙선을 따라 자릅니다.

무슨 일이에요?
당신은 닫힌 리본으로 끝나야합니다. 개미자리 매듭, 즉. 세 개의 자기교차점이 있는 간단한 매듭으로 만듭니다.

4. 접착하기 전에 훨씬 더 많은 반 회전 횟수로 뫼비우스의 띠를 만들면 다음과 같은 예상치 못한 놀라운 수치를 얻을 수 있습니다. 파라드로믹 링.

5. 뫼비우스의 띠를 가운데가 아니라 가장자리에서 너비의 약 1/3만큼 뒤로 자르면 두 개의 서로 맞물린 띠가 생깁니다. 하나는 더 짧은 뫼비우스 띠이고 다른 하나는 두 개가 있는 긴 뫼비우스 띠입니다. 반 회전.

이것이 실제로 어떻게 수행될 수 있는지 살펴보십시오.

뫼비우스의 띠에 가까운 한쪽 면은 다음과 같습니다. 클라인 병.
흥미롭게도 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠를 가장자리에 붙여서 만들 수 있습니다. 그러나 일반적인 3차원 유클리드 공간에서는 자기교차점을 만들지 않고서는 이를 수행하는 것이 불가능합니다.

뫼비우스의 띠와 관련된 또 다른 흥미로운 물체가 있습니다. 이것 뫼비우스 저항기.

역사상 여러 발명가가 동시에 하나의 아이디어를 떠올린 경우가 종종 있습니다. 뫼비우스 띠에서 이런 일이 일어났습니다. 같은 1858년에 테이프에 대한 아이디어가 다른 과학자에게 왔습니다. 요한 리스팅. 그는 연속성을 연구하는 과학에 이름을 붙였습니다. 토폴로지. 그리고 토폴로지 개체(리본) 발견의 우승은 August Mobius에게 돌아갔습니다.

우리는 매트릭스 프린터, 벨트 드라이브, 연삭 장치, 벨트 컨베이어 등의 잉크 리본과 같은 다양한 장치에서 조용히 뫼비우스 띠를 발견합니다. 이 경우 제품의 수명이 늘어납니다. 마모가 줄어듭니다. 그리고 연속 녹음 시스템에서 Mobius 스트립을 사용하면 테이프 하나의 녹음 시간을 두 배로 늘릴 수 있습니다.

신비한 뫼비우스 띠는 항상 작가, 예술가, 조각가의 마음을 흥분시켜 왔습니다.
예를 들어 유명한 과학 서적 시리즈인 "Quantum Library"의 엠블럼이나 재활용의 국제 상징을 기억하십시오.

우리 삶의 일상에 미스터리와 미스터리를 불러오는 과학적 지식과 현상이 있습니다.

뫼비우스의 띠는 그들에게 완전히 적용됩니다. 현대 수학은 공식을 사용하여 모든 속성과 특징을 훌륭하게 설명합니다. 그러나 지명이나 기타 기하학적 지혜에 대한 이해가 부족한 일반 사람들은 거의 매일 자신도 모르게 그 이미지와 유사하게 만들어진 사물을 접하게 됩니다.

그것은 무엇입니까?

루프, 표면 또는 시트라고도 하는 뫼비우스 띠는 비틀림, 늘이기, 압축, 굽힘 등과 같은 연속적인 변형 하에서 보존되는 도형의 일반적인 특성을 연구하는 위상수학의 수학적 분야에서 연구 대상입니다. 청렴성 위반과 관련이 있습니다. 이러한 테이프의 놀랍고 독특한 특징은 한쪽 면과 가장자리만 있고 공간에서의 위치와 전혀 관련이 없다는 것입니다. 뫼비우스 띠는 위상학적으로, 즉 일반적인 유클리드 공간(3차원)에서 경계가 있는 가장 단순한 단면을 갖는 연속 객체로, 이러한 표면의 한 지점에서 교차하지 않고 다른 지점으로 이동할 수 있습니다. 가장자리.

누가, 언제 열었나요?

뫼비우스의 띠와 같은 복잡한 물체는 다소 특이한 방식으로 발견되었습니다. 우선, 우리는 연구에서 서로 전혀 관련이 없는 두 명의 수학자가 1858년에 동시에 그것을 발견했다는 점에 주목합니다. 또 다른 흥미로운 사실은 서로 다른 시대의 두 과학자가 모두 같은 위대한 수학자인 요한 칼 프리드리히 가우스(Johann Carl Friedrich Gauss)의 학생이었다는 것입니다. 따라서 1858년까지는 모든 표면에는 양면이 있어야 한다고 믿었습니다. 그러나 요한 베네딕트 리스팅(Johann Benedict Listing)과 아우구스트 페르디난트 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)는 한쪽 면만 있는 기하학적 물체를 발견하고 그 특성을 설명했습니다. 이 스트립은 뫼비우스의 이름을 따서 명명되었지만 위상학자들은 Listing과 그의 연구 "위상학 예비 연구"를 "고무 기하학"의 창시자로 간주합니다.

속성

뫼비우스의 띠는 압축하거나 세로로 자르거나 구겨도 변하지 않는 다음과 같은 특성을 가지고 있습니다.

1. 한쪽의 존재. A. Mobius는 그의 작품 "On the Volume of Polyhedra"에서 나중에 그의 이름을 따서 명명된 기하학적 표면을 한쪽 면만 묘사했습니다. 이를 확인하는 것은 매우 간단합니다. Mobius 스트립을 사용하여 내부를 한 색상으로 칠하고 외부를 다른 색상으로 칠해 보십시오. 채색이 시작된 위치와 방향은 중요하지 않으며 전체 그림이 같은 색으로 칠해집니다.

2. 연속성은 이 기하학적 도형의 어떤 점이라도 뫼비우스 표면의 경계를 넘지 않고 다른 점에 연결될 수 있다는 사실로 표현됩니다.

3. 연결성 또는 2차원성은 테이프를 세로로 자르면 여러 가지 다른 모양이 나오지 않고 견고하게 유지된다는 사실에 있습니다.

4. 오리엔테이션과 같은 중요한 속성이 부족합니다. 이는 이 그림을 따르는 사람이 자신의 경로의 시작 부분으로 돌아가지만 자신의 거울 이미지로만 돌아갈 것임을 의미합니다. 따라서 무한한 뫼비우스의 띠는 영원한 여행으로 이어질 수 있습니다.

5. 뫼비우스 표면에서 생성될 수 있는 영역 중 하나가 다른 모든 영역과 공통 경계를 갖도록 생성할 수 있는 영역의 최대 가능한 수를 나타내는 특수 색수입니다. 뫼비우스의 띠는 반음계 6번, 종이 고리는 반음계 5번입니다.

과학적 사용

오늘날 뫼비우스 띠와 그 특성은 과학에서 널리 사용되고 있으며, 새로운 가설과 이론을 구축하고, 연구와 실험을 수행하고, 새로운 메커니즘과 장치를 만드는 기초로 사용됩니다.

따라서 우주가 거대한 뫼비우스 고리라는 가설이 있습니다. 이는 직선으로 날아가는 배라도 출발했던 동일한 시공간 지점으로 되돌아갈 수 있다는 아인슈타인의 상대성 이론이 간접적으로 증명한 것이다.

또 다른 이론은 DNA를 뫼비우스 표면의 일부로 보는데, 이는 유전 암호를 읽고 해독하는 데 어려움이 있음을 설명합니다. 무엇보다도 이러한 구조는 생물학적 죽음에 대한 논리적 설명을 제공합니다. 자체적으로 닫힌 나선형은 물체의 자기 파괴로 이어집니다.

물리학자들에 따르면 많은 광학 법칙은 뫼비우스 띠의 특성을 기반으로 합니다. 예를 들어, 거울 반사는 시간의 특별한 이동이며 사람은 자신의 거울이 자신 앞에서 두 배로 보이는 것을 봅니다.

실제 구현

뫼비우스의 띠는 오랫동안 다양한 산업 분야에서 사용되어 왔습니다. 세기 초에 위대한 발명가 니콜라 테슬라(Nikola Tesla)는 180°로 꼬인 두 개의 전도성 표면으로 구성된 뫼비우스 저항기를 발명했는데, 이는 전자기 간섭을 일으키지 않고 전류 흐름에 저항할 수 있습니다.

뫼비우스 띠의 표면과 그 특성에 대한 연구를 바탕으로 많은 장치와 도구가 만들어졌습니다. 그 모양은 인쇄 장치의 컨베이어 벨트 스트립 및 잉크 리본, 연마 도구 및 자동 전사용 연마 벨트 생성에서 반복됩니다. 마모가 더 고르게 발생하므로 서비스 수명을 크게 늘릴 수 있습니다.

얼마 전까지만 해도 뫼비우스 띠의 놀라운 특징으로 인해 반대 방향으로 발사되는 기존 스프링과 달리 작동 방향을 바꾸지 않는 스프링을 만드는 것이 가능해졌습니다. 스티어링 휠 드라이브의 안정 장치에 사용되어 스티어링 휠을 원래 위치로 되돌립니다.

또한, 뫼비우스의 띠 표시는 다양한 브랜드와 로고에 사용됩니다. 이들 중 가장 유명한 것은 재활용에 대한 국제적인 상징입니다. 재활용이 가능하거나 재활용 자원으로 만들어진 제품의 포장에 사용됩니다.

창의적인 영감의 원천

뫼비우스 띠와 그 특성은 많은 예술가, 작가, 조각가 및 영화 제작자의 작품의 기초를 형성했습니다. "Möbius Strip II (Red Ants)", "Riders" 및 "Knots"와 같은 작품에서 테이프와 그 기능을 사용한 가장 유명한 예술가는 Maurits Cornelis Escher입니다.

뫼비우스의 띠 또는 최소 에너지 표면이라고도 불리는 것은 브렌트 콜린스(Brent Collins)와 맥스 빌(Max Bill)과 같은 수학적 예술가와 조각가들에게 영감의 원천이 되었습니다. 뫼비우스 띠의 가장 유명한 기념물은 워싱턴 역사 기술 박물관 입구에 설치되어 있습니다.

러시아 예술가들도 이 주제에서 벗어나지 않고 자신만의 작품을 창작했습니다. 뫼비우스의 띠 조각품은 모스크바와 예카테린부르크에 설치되었습니다.

문헌과 토폴로지

뫼비우스 표면의 특이한 특성은 많은 작가들에게 환상적이고 초현실적인 작품을 만들도록 영감을 주었습니다. 뫼비우스 고리는 R. Zelazny의 소설 "모래 속의 문"에서 중요한 역할을 하며 B. Lumley의 소설 "Necriscop"의 주인공이 시공간을 이동하는 수단 역할을 합니다.

그녀는 또한 Arthur C. Clarke의 "The Wall of Darkness", M. Clifton의 "Mobius Strip" 및 A. J. Deitch의 "The Mobius Strip" 이야기에도 등장합니다. 후자를 바탕으로 구스타보 모스케라 감독은 환상적인 영화 '뫼비우스'를 만들었다.

우리는 우리 손으로 직접 만듭니다!

뫼비우스 띠와 그 모델을 만드는 방법에 관심이 있다면 간단한 지침을 통해 다음과 같은 정보를 얻을 수 있습니다.

1. 모델을 만들려면 다음이 필요합니다.

일반 용지 한 장;

가위;

자.

2. 너비가 길이보다 5-6 배 작아 지도록 종이에서 스트립을 자릅니다.

3. 결과 종이 스트립을 평평한 표면에 놓습니다. 한쪽 끝을 손으로 잡고 다른 쪽 끝을 180도 돌려 스트립이 비틀어지고 잘못된 쪽이 앞쪽이 되도록 합니다.

4. 그림과 같이 꼬인 스트립의 끝부분을 함께 붙입니다.

뫼비우스 띠가 준비되었습니다.

5. 펜이나 마커를 가지고 테이프 중앙에 경로를 그리기 시작합니다. 모든 작업을 올바르게 수행했다면 선을 그리기 시작한 동일한 지점으로 돌아갑니다.

뫼비우스의 띠가 단면 물체라는 것을 시각적으로 확인하려면 연필이나 펜으로 한쪽 면을 칠해 보세요. 잠시 후 완전히 칠해진 것을 볼 수 있습니다.

우리는 블로그에서 재활용 가능성에 대한 정보를 표시하는 측면에서 포장 라벨링 주제에 대해 충분한 수의 질문이 있음을 확인했습니다. 관세 동맹의 "포장 안전에 관한" 기술 규정에서는 이러한 목적으로 Mobius 루프를 사용합니다. 그러나 문서 자체에서는 그러한 기호가 무엇을 나타내는지에 대한 자세한 지침을 제공하지 않습니다. 이것이 우리가 Mobius 루프를 자세히 살펴보기로 결정한 이유입니다.

Mobius 루프의 본질을 이해하기 위해 해석을 위한 세계 실습으로 전환해 보겠습니다.

국제 표준에 따르면 뫼비우스 루프(스트립) 기호는 환경 요구 사항 준수를 확인한 경우에만 사용됩니다. 이 표시는 환경 라벨을 나타냅니다. 이 표시는 제품의 재료(또는 그 일부)가 재활용되었거나 반대로 사용된 재료가 폐기 후 재사용될 수 있음을 알리는 데에만 사용할 수 있습니다. 적절한 증거 없이 뫼비우스 고리를 그리는 것은 국제 표준에 따라 허용되지 않습니다.

참고로:뫼비우스 고리는 Type II 환경 라벨 기호입니다. 이 유형은 지정된 안전 표준 준수에 대한 별도의 문서를 얻을 필요가 없으며 요구 사항 준수에 대한 책임은 제조업체 자신에게 있습니다.

일반적으로 인정되는 Mobius 루프 이미지는 기호 번호 1135 ISO 7000의 형식으로 규제되는 기호의 "와이드" 버전입니다. 제품 처리에 대해 알리는 데 사용되는 것이 바로 이 디자인입니다.

또한 뫼비우스 고리의 상징적 이미지가 널리 보급되어 고분자의 종류를 나타내는데 사용됩니다. 동시에 Mobius 루프에는 플라스틱의 디지털 및 알파벳 지정이 배치되며 그 중 6가지 주요 종류가 있습니다.

아마도 미래에는 폴리머 재료를 마킹할 때 Mobius 루프 형태의 좁은 화살표가 정삼각형으로 대체될 수 있습니다. 이 계획은 미국재료시험학회(ASTM)의 국제고분자위원회(International Committee on Polymers)가 주도했습니다. 이 제안은 뫼비우스 띠 형태의 화살표 사용이 주로 재활용이라는 맥락에서 사용된다는 사실에 기반을 두고 있으며, 이 라벨링 시스템의 주요 목적인 제품 구성을 표시한다는 사실을 배경으로 삼고 있습니다.

Moebius 루프를 사용한 라벨링 요구 사항에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 러시아 표준 GOST R ISO 14021-2000 "환경 라벨 및 선언"의 텍스트를 살펴보겠습니다. 자체 선언 환경 주장(유형 II 환경 라벨).”

특수 기호의 하위 조항 5.10.1에는 Mobius 루프에 대한 주요 조항이 포함되어 있습니다. 표준 내용에 따르면 이러한 기호는 재활용 또는 재활용 가능 콘텐츠에 대한 표시에만 사용해야 합니다.

참고로:재활용 콘텐츠의 경우 제품에서 이미 재활용된 소재가 차지하는 비중을 의미합니다. 재활용 가능한 콘텐츠는 추가 처리 가능성을 나타냅니다. 첫 번째 경우에는 재활용된 물질의 질량 분율을 표시해야 합니다. 재활용 가능한 콘텐츠의 경우 별도의 디지털 이미지 없이 뫼비우스 루프를 적용합니다.

결론적으로 나는 Mobius 루프를 적용한 실제 경험에 주목하고 싶습니다. 러시아 시스템에서는 제조업체/판매자가 재활용 표시 라벨링에 대해 통일된 접근 방식을 갖고 있지 않습니다. 뫼비우스 루프를 다르게 해석한 제품이 유통되고 있습니다. 이러한 다양성은 우리 법률에 Mobius 루프 사용 규칙을 명확하게 정의하는 단일 문서가 없기 때문입니다.