연구 작품 "뫼비우스의 띠". 뫼비우스 띠란 무엇인가? 뫼비우스의 띠 - 우리 시대의 미스터리 과학적 호기심 또는 유용한 발견

우리 삶의 일상에 미스터리와 미스터리를 불러오는 과학적 지식과 현상이 있습니다. 뫼비우스의 띠는 그들에게 완전히 적용됩니다.

현대 수학은 공식을 사용하여 수학의 모든 속성과 특징을 훌륭하게 설명합니다. 그러나 지명이나 기타 기하학적 지혜에 대한 이해가 부족한 일반 사람들은 거의 매일 자신도 모르게 그 이미지와 유사하게 만들어진 사물을 접하게 됩니다.

그것은 무엇입니까? 누가, 언제 열었나요?

루프, 표면 또는 시트라고도 하는 뫼비우스 띠는 비틀림, 늘이기, 압축, 굽힘 등과 같은 연속적인 변형 하에서 보존되는 도형의 일반적인 특성을 연구하는 위상수학의 수학적 분야에서 연구 대상입니다. 청렴성 위반과 관련이 있습니다. 이러한 테이프의 놀랍고 독특한 특징은 한쪽 면과 가장자리만 있고 공간에서의 위치와 전혀 관련이 없다는 것입니다. 뫼비우스 띠는 위상학적으로, 즉 일반적인 유클리드 공간(3차원)에서 경계가 있는 가장 단순한 단면을 갖는 연속 객체로, 이러한 표면의 한 지점에서 교차하지 않고 다른 지점으로 이동할 수 있습니다. 가장자리.

뫼비우스의 띠와 같은 복잡한 물체는 다소 특이한 방식으로 발견되었습니다. 우선, 우리는 연구에서 서로 전혀 관련이 없는 두 명의 수학자가 1858년에 동시에 그것을 발견했다는 점에 주목합니다. 또 다른 흥미로운 사실은 서로 다른 시대의 두 과학자가 모두 같은 위대한 수학자인 요한 칼 프리드리히 가우스(Johann Carl Friedrich Gauss)의 학생이었다는 것입니다. 따라서 1858년까지는 모든 표면에는 양면이 있어야 한다고 믿었습니다. 그러나 요한 베네딕트 리스팅(Johann Benedict Listing)과 아우구스트 페르디난트 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)는 한쪽 면만 있는 기하학적 물체를 발견하고 그 특성을 설명했습니다. 이 스트립은 뫼비우스의 이름을 따서 명명되었지만 위상학자들은 Listing과 그의 연구 "위상학 예비 연구"를 "고무 기하학"의 창시자로 간주합니다.

속성

뫼비우스의 띠는 압축하거나 세로로 자르거나 구겨도 변하지 않는 다음과 같은 특성을 가지고 있습니다.

1. 한쪽의 존재. A. Mobius는 그의 작품 "On the Volume of Polyhedra"에서 나중에 그의 이름을 따서 명명된 기하학적 표면을 한쪽 면만 가지고 묘사했습니다. 이를 확인하는 것은 매우 간단합니다. 뫼비우스 띠를 사용하여 내부를 한 가지 색상으로 칠하고 외부를 다른 색상으로 칠해 보십시오. 채색이 시작된 위치와 방향은 중요하지 않으며 전체 그림이 같은 색으로 칠해집니다.

2. 연속성은 이 기하학적 도형의 어떤 점이라도 뫼비우스 표면의 경계를 넘지 않고 다른 점에 연결될 수 있다는 사실로 표현됩니다.

3. 연결성 또는 2차원성은 테이프를 세로로 자르면 여러 가지 다른 모양이 나오지 않고 견고하게 유지된다는 사실에 있습니다.

4. 오리엔테이션과 같은 중요한 속성이 부족합니다. 이는 이 그림을 따르는 사람이 자신의 길의 시작 부분으로 돌아가지만 자신의 거울 이미지로만 돌아갈 것임을 의미합니다. 따라서 무한한 뫼비우스의 띠는 영원한 여행으로 이어질 수 있습니다.

5. 뫼비우스 표면에서 생성될 수 있는 영역 중 하나가 다른 모든 영역과 공통 경계를 갖도록 생성할 수 있는 영역의 최대 가능한 수를 나타내는 특수 색수입니다. 뫼비우스의 띠는 반음계 6번, 종이 고리는 반음계 5번입니다.

과학적 사용

오늘날 뫼비우스 띠와 그 특성은 과학에서 널리 사용되고 있으며, 새로운 가설과 이론을 구축하고, 연구와 실험을 수행하고, 새로운 메커니즘과 장치를 만드는 기초로 사용됩니다.

따라서 우주가 거대한 뫼비우스 고리라는 가설이 있습니다. 이는 직선으로 날아가는 배라도 출발했던 동일한 시공간 지점으로 되돌아갈 수 있다는 아인슈타인의 상대성 이론이 간접적으로 증명한 것이다.

또 다른 이론은 DNA를 뫼비우스 표면의 일부로 보는데, 이는 유전 암호를 읽고 해독하는 데 어려움이 있음을 설명합니다. 무엇보다도 이러한 구조는 생물학적 죽음에 대한 논리적 설명을 제공합니다. 자체적으로 닫힌 나선형은 물체의 자기 파괴로 이어집니다.

물리학자들에 따르면 많은 광학 법칙은 뫼비우스 띠의 특성을 기반으로 합니다. 예를 들어, 거울 반사는 시간의 특별한 이동이며 사람은 자신의 거울이 자기 앞에서 두 배로 보이는 것을 봅니다.

실제 구현

뫼비우스의 띠는 오랫동안 다양한 산업 분야에서 사용되어 왔습니다. 세기 초의 위대한 발명가 니콜라 테슬라(Nikola Tesla)는 전자기 간섭을 일으키지 않고 전류의 흐름에 저항할 수 있는 1800년대로 꼬인 두 개의 전도성 표면으로 구성된 뫼비우스 저항기를 발명했습니다.

뫼비우스 띠의 표면과 그 특성에 대한 연구를 바탕으로 많은 장치와 도구가 만들어졌습니다. 그 모양은 인쇄 장치의 컨베이어 벨트 스트립 및 잉크 리본, 연마 도구 및 자동 전사용 연마 벨트 생성에서 반복됩니다. 마모가 더 고르게 발생하므로 서비스 수명을 크게 늘릴 수 있습니다.

얼마 전까지만 해도 뫼비우스 띠의 놀라운 특징으로 인해 반대 방향으로 발사되는 기존 스프링과 달리 작동 방향을 바꾸지 않는 스프링을 만드는 것이 가능해졌습니다. 스티어링 휠 드라이브의 안정 장치에 사용되어 스티어링 휠을 원래 위치로 되돌립니다.

또한, 뫼비우스의 띠 표시는 다양한 브랜드와 로고에 사용됩니다. 이들 중 가장 유명한 것은 재활용에 대한 국제적인 상징입니다. 재활용이 가능하거나 재활용 자원으로 만들어진 제품의 포장에 사용됩니다.

창의적인 영감의 원천

뫼비우스 띠와 그 특성은 많은 예술가, 작가, 조각가 및 영화 제작자의 작품의 기초를 형성했습니다. "Mobius Strip II (Red Ants)", "Riders", "Knots"와 같은 작품에서 테이프와 그 특징을 사용한 가장 유명한 예술가는 Maurits Cornelis Escher입니다.

뫼비우스의 띠 또는 최소 에너지 표면이라고도 불리는 것은 브렌트 콜린스(Brent Collins)와 맥스 빌(Max Bill)과 같은 수학적 예술가와 조각가들에게 영감의 원천이 되었습니다. 뫼비우스 띠의 가장 유명한 기념물은 워싱턴 역사 기술 박물관 입구에 설치되어 있습니다.

러시아 예술가들도 이 주제에서 벗어나지 않고 자신만의 작품을 창작했습니다. 뫼비우스의 띠 조각품은 모스크바와 예카테린부르크에 설치되었습니다.

문헌과 토폴로지

뫼비우스 표면의 특이한 특성은 많은 작가들에게 환상적이고 초현실적인 작품을 만들도록 영감을 주었습니다. 뫼비우스 고리는 R. Zelazny의 소설 “모래 속의 문”에서 중요한 역할을 하며, B. Lumley의 소설 “Necroscope”의 주인공이 시공간을 이동하는 수단 역할을 합니다.

그녀는 또한 Arthur C. Clarke의 "The Wall of Darkness", M. Clifton의 "Mobius Strip" 및 A. J. Deitch의 "The Mobius Strip" 이야기에도 등장합니다. 후자를 바탕으로 구스타보 모스케라 감독은 환상적인 영화 '뫼비우스'를 만들었다.

우리는 우리 손으로 직접 만듭니다!

뫼비우스 띠와 그 모델을 만드는 방법에 관심이 있다면 간단한 지침을 통해 다음과 같은 정보를 얻을 수 있습니다.

1. 모델을 만들려면 다음이 필요합니다.

일반 용지 한 장;

가위;

자.

2. 너비가 길이보다 5-6 배 작아 지도록 종이에서 스트립을 자릅니다.

3. 결과 종이 스트립을 평평한 표면에 놓습니다. 한쪽 끝을 손으로 잡고 다른 쪽 끝을 1800도 돌려 스트립이 비틀어지고 반대쪽이 앞쪽이 되도록 합니다.

4. 그림과 같이 꼬인 스트립의 끝부분을 함께 붙입니다.

뫼비우스 띠가 준비되었습니다.

5. 펜이나 마커를 가지고 테이프 중앙에 경로를 그리기 시작합니다. 모든 작업을 올바르게 수행했다면 선을 그리기 시작한 동일한 지점으로 돌아갑니다.

뫼비우스의 띠가 단면 물체라는 것을 시각적으로 확인하려면 연필이나 펜으로 한쪽 면을 칠해 보세요. 잠시 후 완전히 출판되었음을 알 수 있습니다.

부다리나 스베틀라나

년도. 뫼비우스의 띠 모형은 쉽게 만들 수 있습니다. 이렇게하려면 상당히 길쭉한 종이 스트립을 가져다가 스트립의 끝을 연결하고 먼저 그 중 하나를 뒤집어야합니다. 유클리드 공간에는 비틀림 방향에 따라 오른손잡이와 왼손잡이의 두 가지 유형의 뫼비우스 띠가 있습니다.

뫼비우스 띠는 때로 무한대 기호의 조상이라고도 불립니다. 뫼비우스 띠 표면 위에 있으면 영원히 그 위를 걸을 수 있기 때문입니다. 뫼비우스의 띠가 발견되기 전 2세기 동안 이 기호는 무한을 나타내는 데 사용되었기 때문에 이는 사실이 아닙니다. (무한대 기호 참조)

속성

뫼비우스의 띠에는 흥미로운 특성이 있습니다. 두 개의 뫼비우스 띠 대신 가장자리에서 같은 거리에 있는 선을 따라 테이프를 세로로 자르려고 하면 마술사가 "아프간 띠"라고 부르는 긴 양면(뫼비우스 띠의 두 배로 꼬인) 띠가 하나 나옵니다. 이제 이 테이프를 가운데를 세로로 자르면 두 개의 테이프가 서로 겹쳐지게 됩니다. 가장자리에서 너비의 약 1/3만큼 후퇴하여 뫼비우스 띠를 자르면 두 개의 띠가 생깁니다. 하나는 더 얇은 뫼비우스 띠이고, 다른 하나는 두 번 반 회전하는 긴 띠입니다(아프간 띠). 다른 흥미로운 띠 조합은 두 개 이상의 반 바퀴가 있는 뫼비우스 띠에서 파생될 수 있습니다. 예를 들어, 리본을 반 바퀴 세 번 자르면 리본이 세잎 매듭 모양으로 말려 있게 됩니다. 추가 회전으로 뫼비우스의 띠를 자르면 패러드로믹 고리라고 불리는 예상치 못한 형상이 생성됩니다.

기하학과 토폴로지

뫼비우스 띠의 매개변수적 설명.

정사각형을 뫼비우스 띠로 바꾸려면 화살표 방향이 일치하도록 표시된 모서리를 연결하세요.

뫼비우스의 띠를 하위 집합으로 표현하는 한 가지 방법은 매개변수화를 이용하는 것입니다.

어디서 그리고 . 이 공식은 중심원의 반지름이 1이고 평면에 있는 너비 1의 뫼비우스 띠를 정의합니다. 엑스 - 와이센터는 에 있습니다. 매개변수 유테이프를 따라 달리는 동안 V가장자리로부터의 거리를 지정합니다.

뫼비우스 띠는 세그먼트 레이어가 있는 원 위에 있는 중요 묶음의 공간이기도 합니다.

유사한 객체

근처에 있는 "이상한" 기하학적 물체는 클라인 병(Klein Bottle)입니다. 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠를 가장자리에 붙여서 만들 수 있습니다. 일반적인 3차원 유클리드 공간에서는 자기교차점을 만들지 않고서는 이를 수행하는 것이 불가능합니다.

또 다른 유사한 세트는 필름이 있는 구입니다. 필름으로 구에 구멍을 뚫으면 뫼비우스의 띠만 남게 됩니다. 반면에 디스크를 뫼비우스 띠에 접착하여 경계를 맞추면 결과적으로 필름이 있는 구가 됩니다. 이를 시각화하려면 테두리가 규칙적인 원이 되도록 뫼비우스 띠를 휘게 하는 것이 유용합니다. 이러한 그림을 "교차 뚜껑"이라고 합니다(교차 뚜껑은 디스크가 부착된 동일한 그림, 즉 투영면이 에 잠겨 있는 것을 의미할 수도 있음).

교차 캡은 자체 교차 표면 없이 3차원으로 형성될 수 없다는 일반적인 오해가 있습니다. 실제로 경계가 완벽한 원인 뫼비우스의 띠를 배치하는 것이 가능합니다. 아이디어는 다음과 같습니다. 씨평면의 단위원이 될 것입니다 엑스와이 V . 대척지점을 연결함으로써 씨즉, 원호에 의한 각도 θ 및 θ + π의 점, 0과 π / 2 사이의 θ에 대해 호가 평면 위에 있음을 얻습니다. 엑스와이, 그리고 다른 경우에는 θ가 더 낮습니다(그리고 두 위치에서 호는 평면에 놓입니다). 엑스와이 ).

디스크가 경계원에 접착되면 3차원 공간에서 필름에 의한 구의 자기교차가 불가피하다는 점을 알 수 있습니다. 정사각형의 변을 지정한다는 점에서 위와 같이 나머지 두 변을 접착하여 필름이 붙은 구를 얻습니다. 보존정위.

미해결 이슈

답변: 그러한 공식은 무한히 많습니다. 예를 들어 참조하십시오.

탄성 굽힘 에너지를 최소화하는 형상을 찾는 것이 더 어렵습니다. 이 작업은 Sadovsky( M. 사도스키) 1930년에 최근 해결되었습니다. 그러나 해는 대수적 공식으로 설명되지 않으며 그러한 공식이 존재할 가능성도 거의 없습니다. 종이 뫼비우스 띠의 공간 평형 형태를 찾으려면 미분 대수 방정식 시스템의 경계값 문제를 풀어야 합니다.

예술과 기술

재활용의 국제적 상징은 뫼비우스의 띠이다.

뫼비우스의 띠는 조각과 그래픽 아트에 영감을 주었습니다. Escher는 특히 그것을 좋아하고 이 수학적 대상에 그의 석판화 몇 장을 헌정한 예술가 중 한 명이었습니다. 유명한 것 중 하나는 뫼비우스의 띠 II로, 개미가 뫼비우스의 띠 표면을 기어다니는 모습을 보여줍니다.

뫼비우스의 띠는 Arthur C. Clarke 이야기와 같은 공상 과학 소설에도 정기적으로 등장합니다. "암흑의 벽". 때때로 (이론 물리학자들을 따르는) 공상 과학 소설에서는 우리 우주가 일종의 일반화된 뫼비우스 띠일 수도 있다고 암시합니다. 또한 Mobius 반지는 우랄 작가 Vladislav Krapivin의 작품, "대 수정의 깊이에서"(예: "앵커 필드의 전초 기지. 이야기") 사이클에서 지속적으로 언급됩니다. A. J. 데이치(A. J. Deitch)의 이야기 "뫼비우스 띠(The Mobius Strip)"에서 보스턴 지하철은 경로가 너무 혼란스러워서 뫼비우스 띠가 되어 노선에서 열차가 사라지는 새로운 노선을 건설합니다.

뫼비우스 띠에 대한 기술적 응용이 있습니다. 컨베이어 벨트 스트립은 뫼비우스 스트립 형태로 제작되어 벨트 표면 전체가 고르게 마모되어 더 오랫동안 작동할 수 있습니다. 연속 필름 녹화 시스템도 뫼비우스 스트립을 사용합니다(녹화 시간을 두 배로 늘리기 위해). 많은 매트릭스 프린터에서 잉크 리본은 리소스를 늘리기 위해 Mobius 스트립 형태이기도 합니다.

또한보십시오

노트

위키미디어 재단. 2010.

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• 뫼비우스의 띠

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뫼비우스의 띠(뫼비우스 고리, 뫼비우스의 띠)- 단순해 보이지만 수학자들은 이것이 놀라운 특성을 지닌 2차원 표면이라고 말할 것입니다. 뫼비우스와 같은 스트립에서 말아올릴 수 있는 일반 링과 달리 한쪽 면과 모서리만 있습니다. 스트립이지만 양면과 모서리가 두 개 있습니다. 시작점으로 돌아올 때까지 종이에서 연필을 떼지 않고 테이프 중앙에 선을 그리면 쉽게 확인할 수 있습니다. 놀랍게도 사실입니다. 스트립의 반 회전으로 인해 상단과 하단 가장자리가 하나의 연속 선으로 병합되고 양면이 하나의 전체로 바뀌어 한면이 되었습니다. 결과는 다음과 같습니다. 뫼비우스 띠의 한 지점에서 가장자리를 넘어가지 않고도 다른 지점으로 이동할 수 있습니다.

뫼비우스의 띠 위를 달리다

외부 관찰자에게 뫼비우스의 띠를 따라 여행하는 것은 놀라움으로 가득 찬 "원을 그리며 달리는 것"입니다. 네덜란드 그래픽 아티스트 Maurits Escher(1898-1972)가 시각적으로 묘사했습니다. 그림 '뫼비우스의 띠 II'에서는 개미들이 달리고 있습니다. 그들의 움직임을 따라가다 보면 흥미로운 발견을 할 수 있습니다. 테이프를 따라 한 바퀴 회전하면 각 개미는 시작점에 있지만 이미 대척 위치에 있습니다. 시각적으로 테이프의 "다른 쪽"이 거꾸로됩니다. 뫼비우스의 띠를 따라 움직이는 2차원 생명체는 어떻게 될까요? 표면을 돌아 다니면 거울 이미지로 변합니다 (테이프가 투명하다고 생각하면 상상하기 쉽습니다). 2차원 존재가 그 자체가 되기 위해서는 원을 하나 더 만들어야 할 것이다. 따라서 개미는 원래 위치로 돌아가려면 뫼비우스의 띠를 두 번 걸어야 합니다.

과학적 호기심 또는 유용한 발견

뫼비우스의 띠는 흔히 수학적 호기심이라고 불립니다. 그리고 그 모습 자체가 우연에 기인합니다. 전설에 따르면, 리본은 독일 과학자가 하녀가 잘못 묶인 목도리를 보고 발명했다고 합니다. 그는 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 제자이자 유명한 수학자이자 천문학자였습니다. 그는 1858년에 단일 모서리를 가진 단면 표면을 기술했지만, 그 논문은 그의 생애 동안 출판되지 않았습니다. 같은 해에 뫼비우스와는 별도로 가우스의 또 다른 학생인 요한 리스팅(Johann Listing)도 비슷한 발견을 했습니다.

테이프는 여전히 뫼비우스의 이름을 따서 명명되었습니다. 이는 토폴로지의 첫 번째 대상 중 하나가 되었습니다. 즉, 그림의 가장 일반적인 특성, 즉 스트레칭, 압착, 굽힘, 비틀림 등 연속적인(절단이나 접착 없이) 변형 중에 보존되는 특성을 연구하는 과학입니다. 이러한 변형은 다음과 유사합니다. 고무로 만든 형상의 변형, 따라서 토폴로지를 "고무 기하학"이라고도 합니다. 몇몇 위상학적 문제는 18세기에 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 해결되었습니다. 수학의 새로운 분야의 시작은 이 과학에 대한 최초의 체계적인 작업인 Listing의 작업 "위상수학의 예비 연구"(1847)에 의해 마련되었습니다. 그는 또한 "토폴로지(topology)"라는 용어를 만들었습니다. τόπος - 장소와 - λόγος - 가르치는).

뫼비우스 띠는 실용적인 적용을 찾지 못하고 예술가들에게 영감을 주지 않았다면 과학적 호기심이자 수학자들의 또 다른 변덕으로 간주될 수 있습니다. 예술가들은 그녀를 여러 번 묘사했고, 조각가들은 그녀를 위한 기념비를 세웠으며, 작가들은 그들의 작품을 그녀에게 바쳤습니다. 이 특이한 표면은 건축가, 디자이너, 보석상, 심지어 의류 및 가구 제조업체의 관심을 끌었습니다. 발명가, 디자이너, 엔지니어들은 이에 주목했습니다. 예를 들어 1920년대에는 뫼비우스 띠 형태의 오디오 및 필름 테이프가 특허를 받아 녹음 시간을 두 배로 늘릴 수 있었습니다. 그러나 마술사는 다른 것보다 이 띠를 더 자주 다룹니다. 그들은 자르면 나타나는 특이한 특성에 매료됩니다. 따라서 중간선을 따라 뫼비우스 띠를 자르면 예상한 대로 두 부분으로 나뉘지 않습니다. . 두 번 꼬아서 더 좁고 긴 양면 테이프를 만들 수 있습니다(롤러코스터 타기 디자인도 비슷한 모양입니다). 여기에 "요리 비법"이 있습니다. 뫼비우스 띠 모양의 케이크는 일반 케이크보다 더 맛있어 보일 것입니다. 크림을 두 배 더 많이 뿌릴 수 있기 때문입니다! 또한 "뫼비우스 띠 스타일"로 만들어진 건물의 흥미로운 건축 디자인도 있습니다. 지금은 서류상으로만 존재하지만 확실히 구현될 것이라고 믿고 싶습니다.

"모호한" 입장

그 속성으로 인해 뫼비우스 띠는 실제로 거울을 통해 본 물체와 유사합니다. 그리고 그녀 자신은 비대칭 인물이기 때문에 이중 거울을 가지고 있습니다. 테이프를 따라 산책하기 위해 오른발의 지문을 보내면 곧 왼발의 지문이 집으로 돌아올 것임을 알게 될 것입니다. 재미있지 않나요? 그리고 언제 "우파"가 "좌파"가 되었습니까? 2차원 시계를 테이프에 "장착"하고 테이프를 따라 완전히 회전하도록 합시다. 시계를 보면 다이얼의 바늘이 같은 속도로 반대 방향으로 움직이는 것을 볼 수 있습니다! 그리고 두 가지 이동 방향 중 어느 방향이 올바른가요?

당신이 답을 생각하고 있는 동안, 나는 수학자들이 이 “모호한” 상황에서도 우아한 방법을 제시할 것이라는 점을 주목합니다. 첫째, 시계는 항상 같은 시간을 표시해야 하며, 둘째, 다이얼의 바늘은 거울 반사에 보존되는 위치에 있어야 합니다. 예를 들어 수직으로 서서 반대 각도를 형성해야 합니다.

그럼 답을 확인해볼까요? 실제로 뫼비우스의 띠에서는 특정 회전 방향을 설정하는 것이 불가능합니다. 동일한 움직임이 시계 방향 회전과 반대 방향 회전으로 인식될 수 있습니다. 뫼비우스의 띠에서 무작위로 선택한 점이 그 주위를 돌면 한 방향이 다른 방향으로 계속해서 변경됩니다. 동시에 "오른쪽"은 "왼쪽"으로 미묘하게 대체됩니다. 2차원 존재는 그 자체로는 아무런 변화도 느끼지 못합니다. 그러나 그것들은 다른 유사한 생물들에게 보일 것이며, 물론 다른 차원에서 무슨 일이 일어나고 있는지 지켜보고 있는 우리에게도 보일 것입니다. 이것은 예측할 수 없는 일방적인 뫼비우스 표면입니다.

뫼비우스 띠는 한 면과 한 경계만 갖는 3차원 표면이며 방향성이 없다는 수학적 특성을 가지고 있습니다. 1858년 두 명의 독일 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스와 요한 베네딕트 리스팅이 독립적으로 동시에 발견했습니다.

뫼비우스의 띠 모델은 종이 조각의 한쪽 끝을 반 바퀴 돌리고 다른 쪽 끝을 연결하여 닫힌 모양을 형성함으로써 쉽게 만들 수 있습니다. 테이프 표면에 연필로 선을 그리기 시작하면 선은 그림 속으로 깊이 들어가 마치 테이프의 "다른 쪽"으로 가는 것처럼 선의 시작점 아래를 통과하게 됩니다. 선을 계속하면 시작점으로 돌아갑니다. 이 경우, 그려진 선의 길이는 종이 조각 길이의 두 배가 됩니다. 이 예는 뫼비우스의 띠에 변과 테두리가 하나만 있다는 것을 보여줍니다.

실제로 유클리드 공간에는 두 가지 유형의 반쯤 뒤집힌 뫼비우스 띠가 있습니다. 하나는 시계 방향이고 다른 하나는 시계 반대 방향입니다.

기하학과 수학

뫼비우스의 띠는 매개변수 방정식 시스템으로 표현될 수 있습니다.

어디서 그리고 . 이 방정식은 평면에 놓인 너비 1의 뫼비우스 띠를 설명합니다. 엑스-와이;원의 내부 반경은 1이고 내부 원의 중심은 원점(0,0,0)에 있습니다. 매개변수 유테이프를 따라 움직이며, 매개변수 V- 한 국경에서 다른 국경으로.

다른 방법으로 테이프는 극좌표 표현식으로 표현될 수 있습니다.

위상학적으로 뫼비우스의 띠는 상단이 하단과 다음 비율로 연결된 정사각형 x로 정의할 수 있습니다. 엑스,0) ~ (1-엑스,1) 0 ≤인 경우 엑스≤ 1, 오른쪽 그림과 같습니다.

주변 사물

뫼비우스의 띠와 밀접한 관련이 있는 것은 신비한 물체인 클라인 병입니다. 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠를 경계선을 따라 접착하여 만들 수 있습니다. 그림 내에 교차점을 만들지 않으면 3차원 공간에서 이 작업을 수행할 수 없습니다.

기본적으로 불가능한 수치 중 하나 불가능한 삼각형가장자리의 일부를 다듬으면 뫼비우스 띠로 표현될 수 있습니다. 그러면 3회전을 나타내는 뫼비우스 띠가 생성됩니다.

미술

Power Architecture 로고

또한 뫼비우스의 띠는 다양한 로고나 상표의 이미지에도 자주 사용됩니다. 가장 눈에 띄는 예는 재사용을 위한 국제 상징입니다.

애플리케이션. 뫼비우스 띠를 이용한 그림

아래에 있는 Paul Bielaczyc의 그림은 다음과 같습니다. 저자가 말했듯이 이 그림은 그의 삶의 다양한 측면을 융합한 것입니다. M.K의 그림인 그의 작품에서 켈트 매듭이 그를 둘러싸고 있습니다. Escher의 작품은 항상 영감의 원천이며, 뫼비우스의 띠는 예술가의 주제와 관련이 있습니다.

뫼비우스 띠는 때로 무한대 기호의 조상이라고도 불립니다. 뫼비우스 띠 표면 위에 있으면 영원히 그 위를 걸을 수 있기 때문입니다. 뫼비우스의 띠가 발견되기 전 2세기 동안 이 기호는 무한을 나타내는 데 사용되었기 때문에 이는 사실이 아닙니다. (무한대 기호 참조)

속성

• 두 개의 뫼비우스 스트립 대신 가장자리에서 등거리에 있는 선을 따라 테이프를 자르면 "아프간 스트립"이라고 불리는 긴 양면(뫼비우스 스트립의 두 배 꼬임) 스트립이 생성됩니다. 이제 이 테이프를 가운데를 세로로 자르면 두 개의 테이프가 서로 겹쳐지게 됩니다.
• 뫼비우스 띠를 가장자리에서 너비의 약 1/3만큼 뒤로 자르면 두 개의 띠가 생깁니다. 하나는 더 얇은 뫼비우스 띠이고, 다른 하나는 두 번 반쯤 감은 긴 띠입니다(아프간 띠).
• 다른 흥미로운 리본 조합은 두 번 이상 반 바퀴 감은 리본으로 만들 수 있습니다. 예를 들어, 리본을 반 바퀴 세 번 자르면 리본이 세잎 매듭 모양으로 말려 있게 됩니다. 추가 회전으로 테이프를 자르면 패러드로믹 링(paradromic ring)이라는 예상치 못한 수치가 생성됩니다.

기하학과 토폴로지

뫼비우스의 띠를 하위 집합으로 표현하는 한 가지 방법은 매개변수화를 이용하는 것입니다.

어디서 그리고 . 이 공식은 중심원의 반지름이 1이고 평면에 있는 너비 1의 뫼비우스 띠를 정의합니다. 엑스 - 와이센터는 에 있습니다. 매개변수 유테이프를 따라 달리는 동안 V가장자리로부터의 거리를 지정합니다.

뫼비우스 띠는 세그먼트 레이어가 있는 원 위에 있는 중요 묶음의 공간이기도 합니다.

유사한 객체

근처에 있는 "이상한" 기하학적 물체는 클라인 병(Klein Bottle)입니다. 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠를 가장자리에 붙여서 만들 수 있습니다. 일반적인 3차원 유클리드 공간에서는 자기교차점을 만들지 않고서는 이를 수행하는 것이 불가능합니다.

또 다른 유사한 세트는 필름이 있는 구입니다. 필름으로 구에 구멍을 뚫으면 뫼비우스의 띠만 남게 됩니다. 반면에 디스크를 뫼비우스 띠에 접착하여 경계를 맞추면 결과적으로 필름이 있는 구가 됩니다. 이를 시각화하려면 테두리가 규칙적인 원이 되도록 뫼비우스 띠를 휘게 하는 것이 유용합니다. 이러한 그림을 "교차 뚜껑"이라고 합니다(교차 뚜껑은 디스크가 부착된 동일한 그림, 즉 투영면이 에 잠겨 있는 것을 의미할 수도 있음).

교차 캡은 자체 교차 표면 없이 3차원으로 형성될 수 없다는 일반적인 오해가 있습니다. 실제로 경계가 완벽한 원인 뫼비우스의 띠를 배치하는 것이 가능합니다. 아이디어는 다음과 같습니다. 씨평면의 단위원이 될 것입니다 엑스와이 V . 대척지점을 연결함으로써 씨즉, 원호에 의한 각도 θ 및 θ + π의 점, 0과 π / 2 사이의 θ에 대해 호가 평면 위에 있음을 얻습니다. 엑스와이, 그리고 다른 경우에는 θ가 더 낮습니다(그리고 두 위치에서 호는 평면에 놓입니다). 엑스와이 ).

디스크가 경계원에 접착되면 결과 구와 필름의 자기교차가 3차원 공간에서 불가피하다는 점을 알 수 있습니다. 정사각형의 변을 지정한다는 점에서 위와 같이 나머지 두 변을 접착하여 필름이 붙은 구를 얻습니다. 보존정위.

미해결 이슈

답변: 그러한 공식은 무한히 많습니다. 예를 들어 참조하십시오.

탄성 굽힘 에너지를 최소화하는 형상을 찾는 것이 더 어렵습니다. 이 작업은 Sadovsky( M. 사도스키) 1930년에 최근 해결되었습니다. 그러나 해는 대수적 공식으로 설명되지 않으며 그러한 공식이 존재할 가능성도 거의 없습니다. 종이 뫼비우스 띠의 공간 평형 형태를 찾으려면 미분 대수 방정식 시스템의 경계값 문제를 풀어야 합니다.

예술과 기술

뫼비우스의 띠는 조각과 그래픽 아트에 영감을 주었습니다. Escher는 특히 그것을 좋아하고 이 수학적 대상에 그의 석판화 몇 장을 헌정한 예술가 중 한 명이었습니다. 유명한 것 중 하나는 뫼비우스의 띠 II로, 개미가 뫼비우스의 띠 표면을 기어다니는 모습을 보여줍니다.

뫼비우스의 띠는 Arthur C. Clarke 이야기와 같은 공상 과학 소설에도 정기적으로 등장합니다. "암흑의 벽". 때때로 (이론 물리학자들을 따르는) 공상 과학 소설에서는 우리 우주가 일종의 일반화된 뫼비우스 띠일 수도 있다고 암시합니다. 또한 Mobius 반지는 우랄 작가 Vladislav Krapivin의 작품, "대 수정의 깊이에서"(예: "앵커 필드의 전초 기지. 이야기") 사이클에서 지속적으로 언급됩니다. A. J. 데이치(A. J. Deitch)의 이야기 "뫼비우스 띠(The Mobius Strip)"에서 보스턴 지하철은 경로가 너무 혼란스러워서 뫼비우스 띠가 되어 노선에서 열차가 사라지는 새로운 노선을 건설합니다. 이 이야기를 바탕으로 구스타보 모스케라(Gustavo Mosquera) 감독의 SF 영화 “뫼비우스(Mobius)”가 촬영되었습니다. 또한 M. Clifton의 이야기 "뫼비우스 띠에 관하여"에서도 뫼비우스 띠의 개념이 사용되었습니다.

현대 러시아 작가 Alexei A. Shepelev "Echo"(상트 페테르부르크: Amphora, 2003)의 소설 과정을 뫼비우스 띠와 비교합니다. 주석에서 책까지: ""에코"는 뫼비우스 고리의 문학적 비유입니다. "소년"과 "소녀"라는 두 스토리라인이 서로 얽혀 있고 서로 흐르지만 교차하지는 않습니다."

뫼비우스 띠에 대한 기술적 응용이 있습니다. 컨베이어 벨트 스트립은 뫼비우스 스트립 형태로 제작되어 벨트 표면 전체가 고르게 마모되어 더 오랫동안 작동할 수 있습니다. 연속 필름 녹화 시스템도 뫼비우스 스트립을 사용합니다(녹화 시간을 두 배로 늘리기 위해). 많은 매트릭스 프린터에서 잉크 리본은 리소스를 늘리기 위해 Mobius 스트립 형태이기도 합니다.

또한보십시오

노트

위키미디어 재단. 2010.

• 카펠만스, 빅토르 이바노비치
• 케이프체, 카를로 시지스몬도

다른 사전에 "뫼비우스의 띠"가 무엇인지 확인하십시오.

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