라그랑주 승수 방법의 예. 라그랑주 승수법

방법 설명

이론적 해석

라그랑주 승수 방법에 대한 다음의 정당화는 이에 대한 엄격한 증명이 아닙니다. 여기에는 방법의 기하학적 의미를 이해하는 데 도움이 되는 경험적 고려 사항이 포함되어 있습니다.

2차원 케이스

레벨 라인과 곡선.

방정식으로 지정된 조건 하에서 두 변수의 일부 함수의 극값을 찾아야 한다고 가정합니다. . 모든 함수는 연속적으로 미분 가능하다고 가정하고 이 방정식은 부드러운 곡선을 정의합니다. 에스표면에. 그런 다음 문제는 함수의 극값을 찾는 것으로 줄어듭니다. 에프곡선에 에스. 우리는 또한 에스그라데이션이 있는 지점을 통과하지 않습니다. 에프 0으로 변합니다.

평면에 기능 수준선을 그려보자 에프(즉, 곡선). 기하학적 고려 사항에서 함수의 극값이 분명합니다. 에프곡선에 에스접선이 되는 지점만 있을 수 있습니다. 에스해당 레벨 라인이 일치합니다. 실제로 곡선의 경우 에스레벨 라인을 넘어 에프가로 방향으로(즉, 0이 아닌 각도에서) 곡선을 따라 이동합니다. 에스한 지점에서 더 큰 값에 해당하는 레벨 라인에 도달할 수 있습니다. 에프, 그리고 덜. 그러므로 그러한 지점은 극한점이 될 수 없습니다.

따라서 우리의 경우 극값의 필수 조건은 접선의 일치입니다. 분석적 형식으로 작성하려면 함수 기울기의 병렬성과 동일하다는 점에 유의하세요. 에프그리고 주어진 지점에서의 ψ는 기울기 벡터가 레벨 라인의 접선에 수직이기 때문입니다. 이 조건은 다음과 같은 형식으로 표현됩니다.

여기서 λ는 라그랑주 승수인 0이 아닌 숫자입니다.

이제 고려해 봅시다 라그랑주 함수, 및 λ에 따라:

극한값에 대한 필수 조건은 기울기가 0과 같다는 것입니다. 미분의 법칙에 따라 다음과 같은 형태로 쓰여진다.

우리는 시스템을 얻었는데, 처음 두 방정식은 국부 극값(1)에 대한 필요 조건과 동일하고 세 번째 방정식은 다음 방정식과 동일합니다. . 그것에서 찾을 수 있습니다. 게다가, 그렇지 않으면 함수의 기울기가 에프그 시점에서 사라진다 , 이는 우리의 가정과 모순됩니다. 이러한 방식으로 발견된 포인트는 조건부 극값의 원하는 포인트가 아닐 수도 있다는 점에 유의해야 합니다. 즉, 고려된 조건은 필요하지만 충분하지는 않습니다. 보조 함수를 사용하여 조건부 극값 찾기 엘두 변수의 가장 간단한 경우에 적용되는 라그랑주 승수 방법의 기초를 형성합니다. 위의 추론은 조건을 지정하는 임의의 수의 변수와 방정식의 경우로 일반화될 수 있음이 밝혀졌습니다.

라그랑주 승수 방법을 기반으로 라그랑주 함수의 2차 도함수 분석이 필요한 조건부 극값에 대한 일부 충분 조건을 증명할 수 있습니다.

애플리케이션

• 라그랑주 승수 방법은 여러 분야(예: 경제학)에서 발생하는 비선형 계획법 문제를 해결하는 데 사용됩니다.
• 주어진 평균 비트 전송률에서 오디오 및 비디오 데이터 인코딩 품질을 최적화하는 문제를 해결하는 주요 방법(왜곡 최적화 - 영어. 비율 왜곡 최적화).

또한보십시오

연결

• 조리히 V. A.수학적 분석. 1 부. -ed. 둘째, 개정. 그리고 추가 -M .: FAZIS, 1997.

위키미디어 재단. 2010.

다른 사전에 "라그랑주 승수"가 무엇인지 확인하십시오.

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조건부 극값에 대한 문제를 연구할 때 라그랑주 함수를 구성하는 데 사용되는 변수입니다. 선형 방법과 라그랑주 함수를 사용하면 조건부 극값과 관련된 문제에서 필요한 최적 조건을 균일한 방식으로 얻을 수 있습니다. 수학백과사전

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승수법라그랑주(영문 문헌 "LaGrange's method of undetermined multipliers") ˗는 목적 함수의 "조건부" 극단(최소값 또는 최대값)을 결정할 수 있는 최적화 문제를 해결하기 위한 수치적 방법입니다.

등식 형태로 변수에 대해 지정된 제한이 있는 경우(즉, 허용되는 값의 범위가 정의됨)

˗ 이는 함수 값이 극값으로 향하는 실제 영역의 함수 인수(제어 가능한 매개변수) 값입니다. "조건부" 극값이라는 이름을 사용하는 이유는 변수에 추가 조건이 적용되어 함수의 극값을 검색할 때 허용되는 값의 범위가 제한되기 때문입니다.

라그랑주 승수 방법을 사용하면 허용 가능한 값 집합에 대한 목적 함수의 조건부 극값을 검색하는 문제를 함수의 무조건 최적화 문제로 변환할 수 있습니다.

기능의 경우 그리고 부분 도함수와 함께 연속인 경우 동시에 0이 아닌 변수 λ가 있으며 다음 조건이 충족됩니다.

따라서 라그랑주 승수 방법에 따라 허용 가능한 값 집합에서 목적 함수의 극값을 찾기 위해 라그랑주 함수 L(x, λ)를 구성합니다. 이는 더욱 최적화됩니다.

여기서 λ ˗는 결정되지 않은 라그랑주 승수라고 불리는 추가 변수의 벡터입니다.

따라서 함수 f(x)의 조건부 극값을 구하는 문제는 함수 L(x, λ)의 무조건 극값을 구하는 문제로 축소되었습니다.

그리고

라그랑주 함수의 극값에 필요한 조건은 방정식 시스템으로 제공됩니다(시스템은 "n + m" 방정식으로 구성됨).

이 방정식 시스템을 풀면 함수 L(x, λ)의 값과 대상 함수 f(x)의 값이 극값에 해당하는 함수 (X)의 인수를 결정할 수 있습니다.

제약 조건이 방정식(상수)에 자유 항이 있는 형식으로 표시되는 경우 라그랑주 승수(λ)의 크기는 실제적으로 중요합니다. 이 경우 방정식 시스템에서 상수 값을 변경하여 목적 함수 값을 추가(증가/감소)로 고려할 수 있습니다. 따라서 라그랑주 승수는 제한 상수가 변경될 때 목적 함수의 최대값 변화율을 특성화합니다.

결과 함수의 극값 특성을 결정하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

첫 번째 방법: 극점의 좌표를 이라 하고, 목적함수의 대응값을 이라 합니다. 해당 점에 가까운 점을 선택하고 목적 함수의 값을 계산합니다.

만약에 , 그 지점에 최대값이 있습니다.

만약에 , 그 지점에 최소값이 있습니다.

두 번째 방법: 극값의 특성을 결정할 수 있는 충분 조건은 라그랑주 함수의 두 번째 미분의 부호입니다. 라그랑주 함수의 두 번째 미분은 다음과 같이 정의됩니다.

만약 특정 시점에 최저한의, 만약에 이면 목적 함수 f(x)는 조건부 최고.

세 번째 방법: 또한 Lagrange 함수의 Hessian을 고려하여 함수의 극값의 성격을 결정할 수 있습니다. 헤세 행렬(Hessian Matrix)은 행렬의 요소가 주대각선을 기준으로 대칭이 되는 지점에서 함수의 2차 부분 도함수로 구성된 대칭 정사각 행렬입니다.

극값 유형(함수의 최대값 또는 최소값)을 결정하려면 실베스터의 규칙을 사용할 수 있습니다.

1. 라그랑주 함수의 2차 미분이 양의 부호가 되기 위해서는 함수의 각도 마이너가 양수여야 합니다. 그러한 조건에서 이 시점의 기능은 최소값을 갖습니다.

2. 라그랑주 함수의 2차 미분이 부호가 음수가 되도록 , 함수의 각도 마이너가 번갈아 표시되어야 하며 행렬의 첫 번째 요소는 음수여야 합니다. 그러한 조건에서 이 시점의 기능은 최대값을 갖습니다.

각도 마이너란 원래 행렬의 처음 k 행과 k 열에 위치한 마이너를 의미합니다.

라그랑주 방법의 실제적인 주요 의미는 조건부 최적화에서 무조건 최적화로 이동할 수 있으며 이에 따라 문제 해결에 사용 가능한 방법의 무기고가 확장된다는 것입니다. 그러나 이 방법으로 축소되는 연립방정식을 푸는 문제는 일반적으로 극값을 찾는 원래 문제보다 간단하지 않습니다. 이러한 방법을 간접이라고 합니다. 이들의 사용은 분석 형식(예: 특정 이론적 계산의 경우)으로 극한 문제에 대한 해결책을 얻어야 하는 필요성으로 설명됩니다. 특정 실제 문제를 해결할 때 최적화되는 함수의 값을 계산하고 비교하는 반복 프로세스를 기반으로 하는 직접적인 방법이 일반적으로 사용됩니다.

계산방법

1단계: 주어진 목적 함수와 제약 조건 시스템으로부터 라그랑주 함수를 결정합니다.

앞으로

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오늘 수업에서 우리는 찾는 법을 배울 것입니다 가정 어구또는 그들은 또한 불려지듯이, 상대적 극단여러 변수의 함수, 우선 조건부 극값에 대해 이야기하겠습니다. 두 가지 기능그리고 세 가지 변수, 이는 대부분의 주제별 문제에서 발견됩니다.

지금 당장 알아야 할 것과 할 수 있어야 하는 것은 무엇입니까? 이 기사가 주제의 "외곽에" 있다는 사실에도 불구하고 자료를 성공적으로 익히는 데 필요한 것은 많지 않습니다. 이 시점에서 당신은 기본적인 사항을 알고 있어야합니다 공간의 표면, 찾을 수 있다 부분 파생 상품 (적어도 평균 수준에서는)그리고 무자비한 논리가 지시하는 대로, 무조건적인 극단. 그러나 준비 수준이 낮더라도 서두르지 말고 떠나십시오. 누락된 모든 지식/기술은 실제로 몇 시간 동안 고통을 겪지 않고도 "도중에 습득"할 수 있습니다.

먼저 개념 자체를 분석하고 동시에 가장 일반적인 내용을 빠르게 반복해 보겠습니다. 표면. 그렇다면 조건부 극단은 무엇입니까? ...여기서 논리는 그다지 무자비하지 않습니다 =) 함수의 조건부 극값은 특정 조건(또는 조건)이 충족될 때 달성되는 일반적인 의미의 극값입니다.

임의의 "경사"를 상상해보십시오. 비행기 V 데카르트 시스템. 없음 극한의여기에는 흔적이 없습니다. 그러나 이것은 당분간이다. 고려해 봅시다 타원형 원통, 단순화를 위해 축에 평행한 끝없는 원형 "파이프"입니다. 분명히, 이 "파이프"는 우리 비행기에서 "절단"될 것입니다 타원, 결과적으로 위쪽 지점에 최대값이 있고 아래쪽 지점에 최소값이 있습니다. 즉, 평면을 정의하는 함수는 극한값에 도달합니다. ~을 고려하면그것은 주어진 원형 실린더에 의해 교차되었습니다. 정확히 "제공"되었습니다! 이 평면과 교차하는 또 다른 타원형 원통은 거의 확실하게 서로 다른 최소값과 최대값을 생성합니다.

명확하지 않은 경우 상황을 현실적으로 시뮬레이션할 수 있습니다. (역순이긴 하지만): 도끼를 들고 밖으로 나가서 자르세요... 아니요, 그린피스는 나중에 용서하지 않을 것입니다. 배수관을 그라인더로 자르는 것이 좋습니다 =). 조건부 최소값과 조건부 최대값은 높이와 높이에 따라 달라집니다. (비수평)절단은 비스듬히 이루어집니다.

계산에 수학적 복장을 입혀야 할 때가 왔습니다. 고려해 봅시다 타원형 포물면, 이는 절대 최소시점에서 . 이제 극한값을 구해보자 ~을 고려하면. 이것 비행기축과 평행합니다. 이는 포물면에서 "절단"됨을 의미합니다. 포물선. 이 포물선의 꼭대기는 조건부 최소값이 됩니다. 더욱이 평면은 좌표 원점을 통과하지 않으므로 점은 관련성이 없게 됩니다. 사진을 제공하지 않았나요? 바로 링크를 따라가보자! 훨씬 더 많은 시간이 걸릴 것입니다.

질문: 이 조건부 극값을 찾는 방법은 무엇입니까? 해결하는 가장 간단한 방법은 방정식(-이라고 함)을 사용하는 것입니다. 상태또는 연결 방정식) 예를 들어 다음과 같이 표현합니다. – 이를 함수에 대체합니다.

결과는 눈을 감은 상태에서 정점이 "계산"되는 포물선을 정의하는 하나의 변수 함수입니다. 찾아보자 임계점:

- 중요한 점.

다음으로 사용하기 쉬운 것은 극한값에 대한 두 번째 충분조건:

특히 이는 함수가 지점에서 최소값에 도달한다는 것을 의미합니다. 직접 계산할 수 있습니다. 그러나 우리는 좀 더 학문적인 경로를 택하겠습니다. "게임" 좌표를 찾아봅시다:
,

조건부 최소점을 기록하고 실제로 평면에 있는지 확인하십시오. (결합 방정식을 만족함):

함수의 조건부 최소값을 계산합니다.
~을 고려하면 (“첨가물”은 필수입니다!!!).

고려된 방법은 의심의 여지 없이 실제로 사용할 수 있지만 여러 가지 단점이 있습니다. 첫째, 문제의 기하학이 항상 명확하지 않고 둘째, 연결방정식에서 “x”나 “y”를 표현하는 것이 수익성이 없는 경우가 많다. (아무거나 표현할 수 있는 방법이 있다면). 이제 우리는 조건부 극값을 찾는 보편적인 방법을 고려할 것입니다. 라그랑주 승수법:

실시예 1

인수에 대한 지정된 연결 방정식을 사용하여 함수의 조건부 극값을 찾습니다.

표면을 인식하나요? ;-) ...여러분의 행복한 얼굴을 보니 반갑습니다 =)

그건 그렇고, 이 문제의 공식화에서 조건이 호출되는 이유가 분명해졌습니다. 연결 방정식– 함수 인수 연결됨추가 조건, 즉 발견된 극점은 반드시 원형 원통에 속해야 합니다.

해결책: 첫 번째 단계에서는 연결 방정식을 형식으로 제시하고 작성해야 합니다. 라그랑주 함수:
, 소위 라그랑주 승수는 어디에 있습니까?

우리의 경우:

조건부 극값을 찾는 알고리즘은 "보통"을 찾는 방식과 매우 유사합니다. 과격한 수단. 찾아보자 부분 파생 상품라그랑주 함수는 "람다"가 상수로 처리되어야 하는 반면:

다음 시스템을 구성하고 해결해 보겠습니다.

엉킴은 표준으로 풀립니다.
우리가 표현하는 첫 번째 방정식에서 ;
우리가 표현하는 두 번째 방정식으로부터 .

방정식에 대한 연결을 대체하고 단순화를 수행해 보겠습니다.

결과적으로 우리는 두 개의 고정점을 얻습니다. 그렇다면:

그렇다면:

두 점의 좌표가 방정식을 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. . 꼼꼼한 사람도 전체 검사를 수행할 수 있습니다. 이를 위해서는 대체해야 합니다. 시스템의 첫 번째 및 두 번째 방정식에 대입한 다음 세트에 대해 동일한 작업을 수행합니다. . 모든 것은 "함께 모여야" 합니다.

발견된 정지점에 대한 충분 극한 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다. 이 문제를 해결하기 위한 세 가지 접근 방식에 대해 논의하겠습니다.

1) 첫 번째 방법은 기하학적 정당화이다.

고정된 지점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

다음으로, 대략 다음과 같은 내용의 문구를 적습니다. 원형 원통에 의한 평면 단면은 타원이며, 위쪽 꼭지점에서는 최대값에 도달하고 아래쪽 꼭지점에서는 최소값에 도달합니다. 따라서 값이 클수록 조건부 최대값이고, 값이 작을수록 조건부 최소값입니다.

가능하다면 이 방법을 사용하는 것이 더 좋습니다. 간단하며 이 결정은 교사가 계산합니다. (큰 장점은 문제의 기하학적 의미에 대한 이해를 보여주었다는 것입니다). 그러나 이미 언급했듯이 무엇이 무엇과 교차하는지, 어디에서 교차하는지 항상 명확하지는 않으며 분석적 검증이 구출됩니다.

2) 두 번째 방법은 2차 미분 기호를 사용하는 것입니다. 그것이 정지된 지점에서 밝혀지면 함수는 그곳에서 최대값에 도달하고, 그렇다면 최소값에 도달합니다.

찾아보자 2차 편도함수:

다음 차등을 생성합니다.

, 이는 함수가 지점에서 최대값에 도달함을 의미합니다.
at , 이는 함수가 해당 지점에서 최소값에 도달함을 의미합니다. .

고려한 방법은 매우 훌륭하지만 어떤 경우에는 2차 미분의 부호를 결정하는 것이 거의 불가능하다는 단점이 있습니다. (보통 이는 및/또는 부호가 다른 경우에 발생합니다). 그리고 "중포"가 구출됩니다.

3) 연결 방정식을 "X"와 "Y"로 구별해 보겠습니다.

그리고 다음을 작성하세요 대칭 행렬:

정지 지점에 있으면 함수가 거기에 도달합니다( 주목!) 최소, 만약 – 그렇다면 최대.

값과 해당 점에 대한 행렬을 작성해 보겠습니다.

계산해보자 결정자:
, 따라서 함수는 지점에서 최대값을 갖습니다.

가치와 포인트에 대해서도 마찬가지로:

따라서 함수는 점 에서 최소값을 갖습니다.

답변: 을 고려하면 :

자료를 철저히 분석한 후에는 자체 테스트를 위한 몇 가지 일반적인 작업을 제공하지 않을 수 없습니다.

실시예 2

인수가 방정식과 관련되어 있는 경우 함수의 조건부 극값을 찾습니다.

실시예 3

주어진 조건에 따라 함수의 극값을 구합니다.

그리고 다시 한 번, 작업의 기하학적 본질을 이해하는 것이 좋습니다. 특히 이는 충분 조건에 대한 분석적 검증이 선물이 아닌 마지막 예에 적용됩니다. 무엇을 기억하세요 2차 주문라인방정식을 설정하고, 무엇을 표면이 선은 공간에서 생성됩니다. 원통이 평면과 교차하는 곡선을 분석하고 이 곡선에서 최소값과 최대값이 있는 위치를 분석합니다.

수업이 끝나면 솔루션과 답변이 제공됩니다.

고려 중인 문제는 다양한 분야, 특히 기하학 분야에서 널리 사용됩니다. 반 리터 병에 관해 모두가 좋아하는 문제를 해결해 봅시다 (기사의 예 7 참조극한의 도전 ) 두 번째 방법:

실시예 4

캔의 부피가 다음과 같을 때 캔을 만드는 데 최소한의 재료가 사용되도록 원통형 주석 캔의 크기는 얼마입니까

해결책: 가변 베이스 반경, 가변 높이를 고려하고 캔의 전체 표면적에 대한 함수를 구성합니다.
(커버 2개의 면적 + 측면 면적)

1차 선형 불균일 미분 방정식을 생각해 보세요.
(1) .
이 방정식을 푸는 방법에는 세 가지가 있습니다.

• 상수 변화 방법(라그랑주).

라그랑주 방법을 사용하여 1차 선형 미분 방정식을 푸는 것을 고려해 보겠습니다.

상수의 변화 방법(라그랑주)

상수법의 변형에서는 두 단계로 방정식을 푼다. 첫 번째 단계에서는 원래 방정식을 단순화하고 동차 방정식을 풉니다. 두 번째 단계에서는 해의 첫 번째 단계에서 얻은 적분 상수를 함수로 대체합니다. 그런 다음 원래 방정식에 대한 일반적인 해를 찾습니다.

방정식을 고려하십시오.
(1)

1단계 동차방정식 풀기

우리는 동차방정식에 대한 해법을 찾고 있습니다:

이것은 분리가능한 방정식이다

변수를 분리합니다. dx를 곱하고 y로 나눕니다.

다음을 통합해 보겠습니다.

y에 대한 적분 - 표 형식:

그 다음에

강화하자:

상수 e C를 C로 바꾸고 계수 부호를 제거해 보겠습니다. 이는 상수를 곱하는 것으로 귀결됩니다. ±1, C에 포함할 것입니다:

2단계 상수 C를 다음 함수로 대체합니다.

이제 상수 C를 x의 함수로 바꾸겠습니다.
ㄷ → 너 (엑스)
즉, 우리는 원래 방정식에 대한 해를 찾을 것입니다. (1) 처럼:
(2)
파생 상품 찾기.

복잡한 함수의 미분 규칙에 따르면:
.
제품 차별화 규칙에 따르면:

.
원래 방정식으로 대체 (1) :
(1) ;

.
두 명의 구성원이 축소되었습니다.
;
.
다음을 통합해 보겠습니다.
.
대체하다 (2) :
.
결과적으로 우리는 1차 선형 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 얻습니다.
.

라그랑주 방법으로 1계 선형 미분방정식을 푸는 예

방정식을 풀어보세요

해결책

우리는 동차방정식을 푼다:

변수를 분리합니다.

다음을 곱합니다:

다음을 통합해 보겠습니다.

표 적분:

강화하자:

상수 e C를 C로 바꾸고 모듈러스 기호를 제거해 보겠습니다.

여기에서:

상수 C를 x의 함수로 바꾸자:
ㄷ → 너 (엑스)

파생상품 찾기:
.
원래 방정식으로 대체:
;
;
또는:
;
.
다음을 통합해 보겠습니다.
;
방정식의 해법:
.

조건부 극값을 결정하는 방법은 실행 가능한 해 영역에서 동일한 변수 값에 대해 최대값에 도달하는 보조 라그랑주 함수를 구성하는 것으로 시작됩니다. 엑스 1 , x 2 , ..., 엑스 N , 이는 목적 함수와 동일합니다. 지 . 함수의 조건부 극한값을 결정하는 문제를 해결해 보세요. z = f(X) 제한을 받고 있는 φ 나 ( 엑스 1 , 엑스 2 , ..., 엑스 N ) = 0, 나 = 1, 2, ..., 중 , 중 < N

함수를 구성해보자

라고 불리는 라그랑주 함수. 엑스 , - 상수 인자( 라그랑주 승수). 라그랑주 승수는 경제적 의미를 가질 수 있습니다. 만약에 에프(엑스 1 , x 2 , ..., 엑스 N ) - 계획과 일치하는 소득 엑스 = (엑스 1 , x 2 , ..., 엑스 N ) , 및 기능 φ 나 (엑스 1 , x 2 , ..., 엑스 N ) - 이 계획에 해당하는 i번째 자원의 비용 엑스 는 i번째 자원의 가격(추정치)이며, i번째 자원의 크기(한계 추정치) 변화에 따른 목적 함수의 극값 변화를 특징으로 합니다. 엘(엑스) - 기능 n+m 변수 (엑스 1 , x 2 , ..., 엑스 N , λ 1 , λ 2 , ..., λ N ) . 이 함수의 고정점을 결정하면 방정식 시스템이 해결됩니다.

그건 보기 쉽죠 . 따라서 함수의 조건부 극값을 찾는 작업은 z = f(X) 함수의 국소 극값을 찾는 것으로 줄어듭니다. 엘(엑스) . 고정점이 발견되면 가장 간단한 경우에 극값이 존재하는지에 대한 문제는 극값에 대한 충분한 조건(두 번째 미분의 부호 연구)을 기반으로 해결됩니다. 디 2 엘(엑스) 변수가 증가하는 경우 고정 지점에서 Δx 나 - 관계로 연결됨

결합 방정식을 미분하여 얻습니다.

해 찾기 도구를 사용하여 두 가지 미지수의 비선형 방정식 시스템 풀기

설정 해결책 찾기두 가지 미지수가 있는 비선형 방정식 시스템의 해를 찾을 수 있습니다.

어디
- 변수의 비선형 함수 엑스 그리고 와이 ,
- 임의의 상수.

부부인 것으로 알려졌습니다. 엑스 , 와이 )는 두 개의 미지수를 갖는 다음 방정식의 해인 경우에만 방정식(10) 시스템의 해입니다.

와 함께반면에 시스템 (10)의 해는 두 곡선의 교차점입니다. 에프 ] (엑스, 와이) = 씨 그리고 에프 2 (x, y) = C 2 표면에 XO와이.

이는 시스템의 루트를 찾는 방법으로 이어집니다. 비선형 방정식:

방정식 (10) 또는 방정식 (11) 시스템에 대한 해의 존재 간격을 (적어도 대략적으로) 결정합니다. 여기서는 시스템에 포함된 방정식의 유형, 각 방정식의 정의 영역 등을 고려해야 합니다. 때로는 솔루션의 초기 근사값 선택이 사용됩니다.

선택한 구간에서 변수 x와 y에 대한 방정식 (11)의 해를 표로 작성하거나 함수 그래프를 구성합니다. 에프 1 (엑스, 와이) = 씨, 그리고 에프 2 (x,y) = C 2 (시스템(10)).

방정식 시스템의 가정된 근을 국지화합니다. 방정식(11)의 근을 표로 작성하는 표에서 여러 최소값을 찾거나 시스템(10)에 포함된 곡선의 교차점을 결정합니다.

4. 추가 기능을 사용하여 방정식 시스템 (10)의 근을 찾습니다. 해결책을 찾는 중입니다.