대수분수의 최소공분모(LCD)를 찾아보세요. 온라인 계산기 찾기(계산) GCD 및 LCM

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최소공배수를 구하는 세 가지 방법을 살펴보겠습니다.

인수분해로 찾기

첫 번째 방법은 주어진 숫자를 소인수로 나누어 최소공배수를 찾는 것입니다.

숫자 99, 30, 28의 LCM을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. 이를 위해 각 숫자를 소인수로 인수분해해 보겠습니다.

원하는 숫자가 99, 30, 28로 나누어지려면 이 약수의 모든 소인수를 포함하는 것이 필요하고 충분합니다. 이를 위해서는 이 숫자의 모든 소인수를 가능한 한 최대로 거듭제곱하여 곱해야 합니다.

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

따라서 LCM (99, 30, 28) = 13,860은 13,860보다 작은 숫자는 99, 30 또는 28로 나눌 수 없습니다.

주어진 숫자의 최소 공배수를 찾으려면 해당 숫자를 소인수로 인수분해한 다음 각 소인수에 나타나는 가장 큰 지수를 취하여 해당 인수를 곱합니다.

상대적 소수에는 공통 소인수가 없기 때문에 최소 공배수는 이들 숫자의 곱과 같습니다. 예를 들어 20, 49, 33이라는 세 숫자는 상대적으로 소수입니다. 그렇기 때문에

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

다양한 소수의 최소공배수를 찾을 때도 마찬가지입니다. 예를 들어 LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231입니다.

선택으로 찾기

두 번째 방법은 선택을 통해 최소 공배수를 찾는 것입니다.

예 1. 주어진 숫자 중 가장 큰 숫자를 다른 주어진 숫자로 나누면 이 숫자의 LCM은 가장 큰 숫자와 같습니다. 예를 들어, 60, 30, 10, 6이라는 네 개의 숫자가 주어졌습니다. 각 숫자는 60으로 나누어집니다. 따라서 다음과 같습니다.

최소배수(60, 30, 10, 6) = 60

다른 경우에는 최소 공배수를 찾기 위해 다음 절차를 사용합니다.

주어진 숫자에서 가장 큰 숫자를 결정합니다.
다음으로, 가장 큰 수에 자연수를 오름차순으로 곱하고 그 결과가 나머지 주어진 수로 나누어지는지 확인하여 가장 큰 수의 배수인 수를 찾습니다.

예 2. 세 개의 숫자 24, 3, 18이 주어졌습니다. 그 중 가장 큰 숫자인 24를 결정합니다. 다음으로 24의 배수인 숫자를 찾아 각각이 18과 3으로 나누어지는지 확인합니다.

24 · 1 = 24 - 3으로 나누어 떨어지지만 18로는 나누어지지 않습니다.

24 · 2 = 48 - 3으로 나누어 떨어지지만 18로는 나누어지지 않습니다.

24 · 3 = 72 - 3과 18로 나눌 수 있습니다.

따라서 LCM(24, 3, 18) = 72입니다.

LCM을 순차적으로 찾아 찾아냄

세 번째 방법은 LCM을 순차적으로 찾아 최소공배수를 구하는 것이다.

주어진 두 숫자의 LCM은 이들 숫자를 최대 공약수로 나눈 값과 같습니다.

예 1. 주어진 두 숫자 12와 8의 LCM을 구합니다. 최대 공약수를 결정합니다. GCD (12, 8) = 4. 다음 숫자를 곱합니다.

우리는 제품을 gcd로 나눕니다.

따라서 LCM(12, 8) = 24입니다.

세 개 이상의 숫자에 대한 LCM을 찾으려면 다음 절차를 따르십시오.

먼저, 이 숫자 중 두 개의 LCM을 찾으십시오.
그런 다음 찾은 최소 공배수와 세 번째 주어진 숫자의 LCM입니다.
그런 다음 결과 최소 공배수와 네 번째 숫자의 LCM 등을 계산합니다.
따라서 숫자가 있는 한 LCM 검색은 계속됩니다.

예제 2. 주어진 세 숫자(12, 8, 9)의 LCM을 구해 보겠습니다. 이전 예에서 숫자 12와 8의 LCM을 이미 찾았습니다(이것은 숫자 24입니다). 숫자 24와 세 번째 주어진 숫자인 9의 최소 공배수를 찾는 것이 남아 있습니다. 최대 공약수를 결정합니다: GCD (24, 9) = 3. LCM에 숫자 9를 곱합니다.

우리는 제품을 gcd로 나눕니다.

따라서 LCM(12, 8, 9) = 72입니다.

배수는 주어진 숫자로 나머지 없이 나누어지는 숫자입니다. 숫자 그룹의 최소 공배수(LCM)는 나머지를 남기지 않고 그룹의 각 숫자로 나눌 수 있는 가장 작은 숫자입니다. 최소 공배수를 찾으려면 주어진 숫자의 소인수를 찾아야 합니다. LCM은 두 개 이상의 숫자 그룹에 적용되는 다양한 다른 방법을 사용하여 계산할 수도 있습니다.

단계

일련의 배수

이 숫자를보세요.여기에 설명된 방법은 각각 10보다 작은 두 개의 숫자가 주어졌을 때 가장 잘 사용됩니다. 더 큰 숫자가 주어지면 다른 방법을 사용하십시오.

예를 들어 5와 8의 최소공배수를 구합니다. 이는 작은 숫자이므로 이 방법을 사용할 수 있습니다.

배수는 주어진 숫자로 나머지 없이 나누어지는 숫자입니다. 곱셈표에서 배수를 찾을 수 있습니다.
- 예를 들어 5의 배수인 숫자는 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40입니다.
첫 번째 숫자의 배수인 일련의 숫자를 적어보세요.두 숫자 세트를 비교하려면 첫 번째 숫자의 배수로 이 작업을 수행합니다.
- 예를 들어 8의 배수인 숫자는 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64입니다.
두 배수 집합 모두에 존재하는 가장 작은 숫자를 찾으십시오.총 수를 찾으려면 긴 일련의 배수를 작성해야 할 수도 있습니다. 두 배수 집합에 모두 존재하는 가장 작은 수는 최소 공배수입니다.
- 예를 들어, 5와 8의 배수 계열에 나타나는 가장 작은 수는 40입니다. 따라서 40은 5와 8의 최소 공배수입니다.
소인수 분해
1. 이 숫자를보세요.여기에 설명된 방법은 각각 10보다 큰 두 개의 숫자가 주어졌을 때 가장 잘 사용됩니다. 더 작은 숫자가 주어지면 다른 방법을 사용하십시오.
  - 예를 들어 숫자 20과 84의 최소공배수를 구합니다. 각 숫자는 10보다 크므로 이 방법을 사용할 수 있습니다.
2. 첫 번째 숫자를 소인수로 인수분해합니다.즉, 곱하면 주어진 숫자가 되는 소수를 찾아야 합니다. 소인수를 찾았으면 이를 등식으로 작성합니다.
  - 예를 들어, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)그리고 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). 따라서 숫자 20의 소인수는 숫자 2, 2, 5입니다. 이를 다음과 같은 표현식으로 작성하십시오.
3. 두 번째 숫자를 소인수로 인수분해합니다.첫 번째 숫자를 인수분해할 때와 같은 방식으로 이 작업을 수행합니다. 즉, 곱하면 주어진 숫자가 되는 소수를 찾습니다.
  - 예를 들어, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)그리고 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). 따라서 숫자 84의 소인수는 숫자 2, 7, 3 및 2입니다. 이를 다음과 같은 표현식으로 작성하십시오.
4. 두 숫자에 공통적인 요소를 적어보세요.곱셈 연산과 같은 요소를 작성하십시오. 각 인수를 작성할 때 두 표현식(숫자를 소인수로 분해하는 것을 설명하는 표현식)에서 해당 요소에 줄을 그어 지웁니다.
  - 예를 들어 두 숫자의 공통인수는 2이므로 다음과 같이 씁니다. 2 × (\displaystyle 2\times )두 표현 모두에서 2를 지웁니다.
  - 두 숫자의 공통점은 2의 또 다른 인수이므로 다음과 같이 쓰세요. 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)두 표현식 모두에서 두 번째 2를 지웁니다.
5. 나머지 요소를 곱셈 연산에 추가합니다.이는 두 표현에서 모두 지워지지 않은 요소, 즉 두 숫자에 공통되지 않는 요소입니다.
  - 예를 들어, 표현식에서 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)두 2(2)는 공통 인수이므로 삭제됩니다. 인수 5는 지워지지 않으므로 다음과 같이 곱셈 연산을 작성하십시오. 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
  - 표현에 있어서 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)두 (2)도 모두 지워졌습니다. 인수 7과 3은 지워지지 않으므로 다음과 같이 곱셈 연산을 작성하십시오. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
6. 최소공배수를 계산합니다.이렇게 하려면 작성된 곱셈 연산에서 숫자를 곱합니다.
  - 예를 들어, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\표시 스타일 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). 따라서 20과 84의 최소공배수는 420입니다.
공통인수 찾기
1. tic-tac-toe 게임과 같은 격자를 그립니다.이러한 그리드는 다른 두 개의 평행선과 (직각으로) 교차하는 두 개의 평행선으로 구성됩니다. 이렇게 하면 3개의 행과 3개의 열이 제공됩니다(그리드는 # 아이콘과 매우 유사합니다). 첫 번째 줄과 두 번째 열에 첫 번째 숫자를 씁니다. 첫 번째 행과 세 번째 열에 두 번째 숫자를 씁니다.
  - 예를 들어, 숫자 18과 30의 최소공배수를 구합니다. 첫 번째 행과 두 번째 열에 숫자 18을 쓰고, 첫 번째 행과 세 번째 열에 숫자 30을 씁니다.
2. 두 숫자에 공통인 제수를 찾으세요.첫 번째 행과 첫 번째 열에 적어보세요. 소인수를 찾는 것이 더 좋지만 이것이 필수 사항은 아닙니다.
  - 예를 들어 18과 30은 짝수이므로 공약수는 2입니다. 따라서 첫 번째 행과 첫 번째 열에 2를 씁니다.
3. 각 숫자를 첫 번째 약수로 나눕니다.각 몫을 적절한 숫자 아래에 적어보세요. 몫은 두 숫자를 나눈 결과입니다.
  - 예를 들어, 18 ¼ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), 따라서 18 아래에 9를 쓰세요.
  - 30 ¼ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), 따라서 30 미만의 15를 적어주세요.
4. 두 몫에 공통인 제수를 구합니다.그러한 제수가 없으면 다음 두 단계를 건너뜁니다. 그렇지 않으면 두 번째 행과 첫 번째 열에 제수를 씁니다.
  - 예를 들어 9와 15는 3으로 나눌 수 있으므로 두 번째 행과 첫 번째 열에 3을 씁니다.
5. 각 몫을 두 번째 약수로 나눕니다.각 나눗셈 결과를 해당 몫 아래에 쓰세요.
  - 예를 들어, 9 ¼ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)이므로 9 아래에 3을 쓰세요.
  - 15 ¼ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), 따라서 15 아래에 5를 쓰세요.
6. 필요한 경우 그리드에 추가 셀을 추가합니다.몫이 공약수를 가질 때까지 설명된 단계를 반복합니다.
7. 그리드의 첫 번째 열과 마지막 행에 있는 숫자에 동그라미를 치세요.그런 다음 선택한 숫자를 곱셈 연산으로 씁니다.
  - 예를 들어 숫자 2와 3은 첫 번째 열에 있고 숫자 3과 5는 마지막 행에 있으므로 곱셈 연산을 다음과 같이 작성합니다. 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).
8. 숫자를 곱한 결과를 찾으십시오.이것은 주어진 두 숫자의 최소 공배수를 계산합니다.
  - 예를 들어, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). 따라서 18과 30의 최소공배수는 90입니다.
유클리드의 알고리즘
1. 나눗셈 연산과 관련된 용어를 기억하세요.배당금은 나누어지는 숫자입니다. 제수는 나누는 숫자입니다. 몫은 두 숫자를 나눈 결과입니다. 나머지는 두 수를 나누었을 때 남는 수입니다.
  - 예를 들어, 표현식에서 15 ¼ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 삼:
    15는 배당금이다
    6은 제수이다
    2는 몫이다
    3이 나머지입니다.

산술 분수 a / b의 분모는 분수가 구성되는 단위의 분수 크기를 나타내는 숫자 b입니다. 대수 분수 A/B의 분모는 대수 표현 B입니다. 분수로 산술 연산을 수행하려면 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄여야 합니다.

필요할 것이예요

대수 분수를 사용하고 최소 공통 분모를 찾으려면 다항식을 인수분해하는 방법을 알아야 합니다.

지침

두 개의 산술 분수 n/m과 s/t를 최소 공통 분모로 줄이는 것을 고려해 보겠습니다. 여기서 n, m, s, t는 정수입니다. 이 두 분수는 m과 t로 나눌 수 있는 모든 분모로 축소될 수 있다는 것이 분명합니다. 그러나 그들은 가장 낮은 공통 분모로 이어지려고 노력합니다. 이는 주어진 분수의 분모 m과 t의 최소 공배수와 같습니다. 숫자의 최소 배수(LMK)는 주어진 모든 숫자로 동시에 나눌 수 있는 가장 작은 숫자입니다. 저것들. 우리의 경우에는 숫자 m과 t의 최소 공배수를 찾아야 합니다. LCM(m,t)으로 표시됩니다. 다음으로, 분수에 해당 분수를 곱합니다: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

세 분수의 최소 공통 분모인 4/5, 7/8, 11/14를 찾아보겠습니다. 먼저 분모 5, 8, 14를 확장해 보겠습니다. 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. 다음으로 다음을 곱하여 LCM(5, 8, 14)을 계산합니다. 적어도 하나의 확장팩에 포함된 모든 숫자. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. 여러 숫자의 확장에서 요소가 발생하는 경우(분모 8과 14의 확장에서 요소 2), 요소를 다음과 같이 취합니다. 더 높은 수준(우리의 경우 2^3).

따라서 일반적인 것이 얻어집니다. 이는 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20과 같습니다. 여기서 우리는 분수를 가장 낮은 공통 분모로 가져 오기 위해 분수에 해당 분모를 곱하는 데 필요한 숫자를 얻습니다. 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280을 얻습니다.

대수 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이는 것은 산술 분수와 유사하게 수행됩니다. 명확성을 위해 예제를 사용하여 문제를 살펴보겠습니다. 두 개의 분수 (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) 및 (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1)이 주어집니다. 두 분모를 모두 인수분해해 보겠습니다. 첫 번째 분수의 분모는 완전제곱수입니다: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. 을 위한

그러나 많은 자연수는 다른 자연수로도 나누어집니다.

예를 들어:

숫자 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나누어집니다.

36은 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36으로 나누어집니다.

숫자를 전체로 나눌 수 있는 숫자(12의 경우 1, 2, 3, 4, 6, 12)를 호출합니다. 숫자의 제수. 자연수의 제수 ㅏ- 주어진 수를 나누는 자연수이다. ㅏ자취없이. 약수가 2개 이상인 자연수를 라 한다. 합성물 .

숫자 12와 36은 공통 인수를 가지고 있습니다. 이 숫자는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이 숫자의 최대 약수는 12입니다. 이 두 숫자의 공약수 ㅏ그리고 비- 주어진 두 숫자를 나머지 없이 나눈 숫자입니다. ㅏ그리고 비.

공배수여러 숫자는 각 숫자로 나누어지는 숫자입니다. 예를 들어, 숫자 9, 18, 45는 180의 공배수를 갖습니다. 그러나 90과 360도 공배수입니다. 모든 공배수 중에는 항상 가장 작은 것이 있습니다. 이 경우이것은 90입니다. 이 숫자는 가장 작은공배수(CMM).

LCM은 항상 정의된 숫자 중 가장 큰 숫자보다 커야 하는 자연수입니다.

최소공배수(LCM). 속성.

교환성:

연관성:

특히, 및 가 서로소인 경우:

두 정수의 최소공배수 중그리고 N다른 모든 공배수의 제수입니다 중그리고 N. 게다가, 공배수의 집합 남, 엔 LCM( 남, 엔).

에 대한 점근치는 일부 수론적 함수로 표현될 수 있습니다.

그래서, 체비쇼프 함수. 그리고:

이는 Landau 함수의 정의와 속성에서 따릅니다. g(n).

소수 분포의 법칙에 따르면 다음과 같습니다.

최소공배수(LCM)를 구합니다.

NOC( 에, 비)는 여러 가지 방법으로 계산할 수 있습니다.

1. 최대 공약수를 알고 있는 경우 LCM과의 연결을 사용할 수 있습니다.

2. 두 숫자를 소인수로 정규 분해하는 방법을 알려드립니다.

어디 p 1 ,...,p k- 다양한 소수, 그리고 d 1 ,...,d k그리고 e 1 ,...,e k— 음수가 아닌 정수(해당 소수가 확장에 없으면 0이 될 수 있음).

그런 다음 NOC( ㅏ,비)는 다음 공식으로 계산됩니다.

즉, LCM 분해에는 숫자 분해 중 적어도 하나에 포함된 모든 소인수가 포함됩니다. 에, 비, 이 승수의 두 지수 중 가장 큰 값을 취합니다.

예:

여러 숫자의 최소 공배수 계산은 두 숫자의 LCM에 대한 여러 순차적 계산으로 축소될 수 있습니다.

규칙.일련의 숫자의 LCM을 찾으려면 다음이 필요합니다.

- 숫자를 소인수로 분해합니다.

- 가장 큰 확장(원하는 제품의 팩터의 곱)을 원하는 제품의 팩터로 옮깁니다. 큰 숫자주어진 숫자에서), 첫 번째 숫자에 나타나지 않거나 더 적은 횟수로 나타나는 다른 숫자의 확장에서 요소를 추가합니다.

— 소인수의 결과 곱은 주어진 숫자의 LCM이 됩니다.

두 개 이상의 자연수에는 자체 LCM이 있습니다. 숫자가 서로의 배수가 아니거나 확장에서 동일한 요소를 갖지 않는 경우 LCM은 이러한 숫자의 곱과 같습니다.

숫자 28(2, 2, 7)의 소인수에 3의 인수(숫자 21)를 더하면 결과 곱(84)이 21과 28로 나누어지는 가장 작은 숫자가 됩니다.

가장 큰 수 30의 소인수는 숫자 25의 인수 5로 보완되며 결과 곱 150은 가장 큰 수 30보다 크고 나머지 없이 주어진 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. 이것은 주어진 모든 숫자의 배수인 가능한 가장 작은 곱(150, 250, 300...)입니다.

숫자 2,3,11,37은 소수이므로 LCM은 주어진 숫자의 곱과 같습니다.

규칙. 소수의 LCM을 계산하려면 이 모든 숫자를 곱해야 합니다.

또 다른 옵션:

여러 숫자의 최소 공배수(LCM)를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1) 각 숫자를 소인수의 곱으로 나타냅니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) 모든 소인수의 거듭제곱을 적어보세요.

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) 각 숫자의 모든 소인수(승수)를 적어보세요.

4) 이 숫자의 모든 전개에서 발견되는 각각의 가장 큰 차수를 선택하십시오.

5) 이러한 힘을 곱하십시오.

예. 168, 180, 3024 숫자의 LCM을 구합니다.

해결책. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

우리는 모든 소수의 가장 큰 거듭제곱을 적고 이를 곱합니다:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

아래 제시된 자료는 LCM(최소 공배수, 정의, 예, LCM과 GCD 간의 연결)이라는 제목의 기사에서 나온 이론의 논리적 연속입니다. 여기서 우리는 최소 공배수(LCM) 찾기, 그리고 예제 해결에 특별한 주의를 기울일 것입니다. 먼저, 두 숫자의 GCD를 사용하여 두 숫자의 LCM을 계산하는 방법을 보여 드리겠습니다. 다음으로, 숫자를 소인수로 인수분해하여 최소 공배수를 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 이후에는 세 개 이상의 숫자에 대한 최소공배수(LCM)를 구하는 데 중점을 두고, 음수의 최소공배수(LCM) 계산에도 주의를 기울일 것입니다.

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GCD를 통해 최소 공배수(LCM) 계산

최소 공배수를 찾는 한 가지 방법은 LCM과 GCD 간의 관계를 기반으로 합니다. LCM과 GCD 간의 기존 연결을 통해 알려진 최대 공약수를 통해 두 양의 정수의 최소 공배수를 계산할 수 있습니다. 해당 공식은 LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . 주어진 공식을 이용하여 LCM을 구하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

두 숫자 126과 70의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

이 예에서는 a=126 , b=70 입니다. 공식으로 표현되는 LCM과 GCD 간의 연결을 사용해 보겠습니다. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). 즉, 먼저 숫자 70과 126의 최대 공약수를 찾아야 하며, 그 후에 작성된 공식을 사용하여 이 숫자의 LCM을 계산할 수 있습니다.

유클리드 알고리즘을 사용하여 GCD(126, 70)를 구해보겠습니다: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, 따라서 GCD(126, 70)=14.

이제 필요한 최소 공배수를 찾습니다. GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

답변:

LCM(126, 70)=630 .

예.

LCM(68, 34)은 무엇입니까?

해결책.

왜냐하면 68은 34로 나누어지면 GCD(68, 34)=34입니다. 이제 최소 공배수를 계산합니다. 글쿨(68, 34)=68·34:글쿨(68, 34)= 68·34:34=68.

답변:

LCM(68, 34)=68 .

이전 예는 양의 정수 a와 b에 대한 LCM을 찾는 다음 규칙에 적합합니다. 숫자 a가 b로 나누어지면 이 숫자의 최소 공배수는 a입니다.

숫자를 소인수로 분해하여 LCM 찾기

최소 공배수를 찾는 또 다른 방법은 숫자를 소인수로 분해하는 것입니다. 주어진 숫자의 모든 소인수로 곱을 구성한 다음 주어진 숫자의 분해에 존재하는 모든 공통 소인수를 이 곱에서 제외하면 결과 곱은 주어진 숫자의 최소 공배수와 같습니다. .

LCM을 찾기 위해 명시된 규칙은 등식을 따릅니다. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). 실제로 숫자 a와 b의 곱은 숫자 a와 b의 전개와 관련된 모든 요소의 곱과 같습니다. 결과적으로, GCD(a, b)는 숫자 a와 b의 전개에 동시에 존재하는 모든 소인수의 곱과 같습니다(수를 소인수로 전개하여 GCD를 찾는 섹션에 설명된 대로).

예를 들어 보겠습니다. 75=3·5·5, 210=2·3·5·7임을 알립니다. 이러한 확장의 모든 요소로부터 제품을 구성해 보겠습니다. 2·3·3·5·5·5·7 . 이제 이 곱에서 우리는 숫자 75의 전개와 숫자 210의 전개에 존재하는 모든 요소(이 요소는 3과 5)를 제외하고 결과는 2·3·5·5·7의 형태를 취하게 됩니다. . 이 곱의 값은 75와 210의 최소공배수, 즉 NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

예.

숫자 441과 700을 소인수로 인수분해하고 이 숫자의 최소 공배수를 찾습니다.

해결책.

숫자 441과 700을 소인수로 분해해 보겠습니다.

441=3·3·7·7과 700=2·2·5·5·7을 얻습니다.

이제 2·2·3·3·5·5·7·7·7이라는 숫자의 확장과 관련된 모든 요소로부터 제품을 만들어 보겠습니다. 이 곱에서 두 확장에 동시에 존재하는 모든 요소를 제외하겠습니다(이러한 요소는 하나만 있습니다. 이는 숫자 7입니다): 2·2·3·3·5·5·7·7. 따라서, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

답변:

NOC(441, 700)= 44 100 .

숫자를 소인수로 분해하여 LCM을 찾는 규칙은 약간 다르게 공식화될 수 있습니다. 숫자 b의 전개에서 누락된 인수를 숫자 a의 전개에서 얻은 인수에 추가하면 결과 곱의 값은 숫자 a와 b의 최소 공배수와 같습니다..

예를 들어, 같은 숫자 75와 210을 취하면 소인수로 분해하면 75=3·5·5와 210=2·3·5·7입니다. 숫자 75의 전개에서 나온 인수 3, 5, 5에 숫자 210의 전개에서 누락된 인수 2와 7을 추가하면 2·3·5·5·7의 곱을 얻습니다. 그 값은 다음과 같습니다. LCM(75, 210)과 같습니다.

예.

84와 648의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

먼저 숫자 84와 648을 소인수로 분해합니다. 84=2·2·3·7과 648=2·2·2·3·3·3·3처럼 보입니다. 숫자 84의 전개에서 나온 인수 2, 2, 3, 7에 숫자 648의 확장에서 누락된 인수 2, 3, 3, 3을 추가하여 곱 2 2 2 3 3 3 3 7을 얻습니다. 이는 4 536 과 같습니다. 따라서 84와 648의 원하는 최소 공배수는 4,536입니다.

답변:

LCM(84, 648)=4,536 .

세 개 이상의 숫자의 LCM 찾기

세 개 이상의 숫자의 최소공배수는 두 숫자의 최소 공배수를 순차적으로 구하면 구할 수 있습니다. 세 개 이상의 숫자의 최소공배수(LCM)를 찾는 방법을 제공하는 해당 정리를 떠올려 보겠습니다.

정리.

양의 정수 a 1 , a 2 , ..., a k 가 주어지면, 이들 숫자의 최소 공배수 m k 는 m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a )를 순차적으로 계산하여 구합니다. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

네 숫자의 최소 공배수를 찾는 예를 사용하여 이 정리의 적용을 고려해 보겠습니다.

예.

4개 숫자 140, 9, 54, 250의 최소공배수(LCM)를 구합니다.

해결책.

이 예에서는 a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250입니다.

먼저 우리는 찾아 m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). 이를 위해 유클리드 알고리즘을 사용하여 GCD(140, 9)를 결정하고, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, 따라서 GCD(140, 9)=1 , 여기서 GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. 즉, m 2 =1 260입니다.

이제 우리는 찾습니다 m 3 = LOC(m 2 , a 3) = LOC(1 260, 54). 이를 GCD(1 260, 54)를 통해 계산해 보겠습니다. 이 역시 유클리드 알고리즘을 사용하여 결정합니다: 1 260=54·23+18, 54=18·3. 그러면 gcd(1,260, 54)=18, 즉 gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780이 됩니다. 즉, m 3 =3 780입니다.

남은 건 찾는 일뿐 m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). 이를 위해 유클리드 알고리즘(3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3)을 사용하여 GCD(3,780, 250)를 찾습니다. 따라서 GCM(3,780, 250)=10이므로 GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. 즉, m 4 =94,500입니다.

따라서 원래 네 숫자의 최소 공배수는 94,500입니다.

답변:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

많은 경우, 주어진 숫자의 소인수분해를 사용하여 세 개 이상의 숫자의 최소 공배수를 찾는 것이 편리합니다. 이 경우 다음 규칙을 준수해야 합니다. 여러 숫자의 최소 공배수는 다음과 같이 구성되는 곱과 같습니다. 두 번째 숫자의 확장에서 누락된 요소는 첫 번째 숫자의 확장에서 발생한 모든 요소에 추가되고, 세 번째 숫자는 결과 요인에 추가됩니다.

소인수분해를 이용하여 최소 공배수를 구하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

84, 6, 48, 7, 143 다섯 숫자의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

먼저, 우리는 이 숫자들을 소인수로 분해합니다: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7은 소수이며, 일치합니다. 소인수로 분해) 및 143=11·13입니다.

이 숫자의 LCM을 찾으려면 첫 번째 숫자 84(2, 2, 3, 7)의 인수에 두 번째 숫자 6의 전개에서 누락된 인수를 추가해야 합니다. 첫 번째 숫자 84의 분해에는 2와 3이 모두 이미 존재하므로 숫자 6의 분해에는 누락된 인수가 포함되지 않습니다. 다음으로, 요소 2, 2, 3, 7에 세 번째 숫자 48의 확장에서 누락된 요소 2와 2를 추가하여 요소 2, 2, 2, 2, 3, 7의 집합을 얻습니다. 7이 이미 포함되어 있으므로 다음 단계에서 이 세트에 승수를 추가할 필요가 없습니다. 마지막으로, 요소 2, 2, 2, 2, 3, 7에 숫자 143의 확장에서 누락된 요소 11과 13을 추가합니다. 우리는 2·2·2·2·3·7·11·13의 곱을 얻습니다. 이는 48,048과 같습니다.

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