균일확률변수의 분포 밀도. 연속 확률 변수의 균일 및 지수 분포 법칙

연속확률변수의 확률분포 엑스, 세그먼트에서 모든 값을 가져옵니다. , 라고 불리는 제복, 확률 밀도가 이 세그먼트에서 일정하고 외부에서 0인 경우. 따라서 연속확률변수의 확률밀도는 엑스, 세그먼트에 균일하게 분포 , 형식은 다음과 같습니다.

정의해보자 수학적 기대, 분산균일한 분포를 갖는 확률 변수의 경우.

, , .

예.균일하게 분포된 확률 변수의 모든 값은 구간에 있습니다. . 확률 변수가 구간에 포함될 확률 찾기 (3;5) .

a=2, b=8, .

이항 분포

생산되게 해주세요 N테스트 및 이벤트 발생 확률 에이각 시행에서 동일합니다. 피다른 시험의 결과와 무관합니다(독립 시험). 사건이 일어날 확률이 높기 때문에 에이한 테스트에서 다음과 같습니다. 피, 발생하지 않을 확률은 다음과 같습니다. q=1-p.

이벤트를 하자 에이들어왔다 N테스트 중한 번. 이 복잡한 이벤트는 제품으로 작성될 수 있습니다.

.

그렇다면 확률은 N테스트 이벤트 에이올 것이다 중시간은 다음 공식으로 계산됩니다.

또는 (1)

공식 (1)은 다음과 같습니다. 베르누이의 공식.

허락하다 엑스– 사건 발생 횟수와 동일한 확률 변수 에이다섯 N확률과 함께 값을 취하는 테스트:

확률 변수의 분포 법칙은 다음과 같습니다. 이항 분포의 법칙.

기대, 분산그리고 표준편차이항 법칙에 따라 분포된 확률 변수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

, , .

예. 3발의 총알이 목표물을 향해 발사되며, 각각의 총알이 명중할 확률은 0.8입니다. 확률변수를 고려하면 엑스– 목표물에 대한 명중 횟수. 분포 법칙, 수학적 기대, 분산 및 표준 편차를 찾아보세요.

p=0.8, q=0.2, n=3, , , .

- 0 안타 확률;

한 번의 적중 가능성;

두 번의 안타 확률;

- 3번의 안타 확률.

우리는 분배 법칙을 얻습니다.

작업

1. 동전을 7번 던졌습니다. 문장이 4번 위로 향하게 하여 착륙할 확률을 구하십시오.

2. 동전을 8번 던졌습니다. 문장이 세 번 이하로 나타날 확률을 구하십시오.

3. 총을 발사할 때 목표물에 명중할 확률 p=0.6. 10발의 총알이 발사되었을 때 총 명중 횟수에 대한 수학적 기대치를 구합니다.

4. 복권 20장을 구매했을 때 당첨될 복권 장수의 수학적 기대치를 구하고, 복권 1장이 당첨될 확률은 0.3입니다.

확률 변수의 모든 값(예를 들어 구간 내 존재 영역)이 동일하게 확률이 높은 분포는 균일한 것으로 간주됩니다. 이러한 확률 변수에 대한 분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

분포 밀도:

1

쌀. 분포 함수(왼쪽)와 분포 밀도(오른쪽) 그래프.

균일한 분포 - 개념 및 유형. "균일 분포" 카테고리의 분류 및 특징 2017, 2018.

균일 확률 분포는 가장 간단하며 이산적이거나 연속적일 수 있습니다. 이산 균일 분포는 각 SV 값의 확률이 동일한 분포입니다. 즉, 여기서 N은 숫자입니다... .

정의 16. 연속 확률 변수는 이 확률 변수의 분포 밀도가 이 세그먼트에서 일정하고 외부에서 0인 경우 세그먼트에서 균일 분포를 갖습니다. 즉, (45) 균일 분포에 대한 밀도 그래프가 표시됩니다...

정규분포는 독일 수학자 가우스(Gauss)의 이름을 따서 가우스(Gaussian)라고도 불립니다. 확률 변수가 매개변수 m을 갖는 정규 분포를 갖는다는 사실은 다음과 같이 표시됩니다: N (m,s), 여기서: m =a =M ;

공식에서 종종 수학적 기대값은 다음과 같이 표시됩니다. 에이 . 확률 변수가 N(0,1) 법칙에 따라 분포되는 경우 이를 정규화 또는 표준화 정규 변수라고 합니다. 이에 대한 분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

정규곡선 또는 가우시안곡선이라 불리는 정규분포의 밀도 그래프는 그림 5.4에 나타나 있다.

쌀. 5.4. 정규분포 밀도

밀도에 따른 확률변수의 수치적 특성 결정을 예를 들어 고려합니다.

실시예 6.

연속 확률 변수는 분포 밀도로 지정됩니다. .

분포 유형을 결정하고 수학적 기대값 M(X)와 분산 D(X)를 찾습니다.

주어진 분포 밀도를 (5.16)과 비교하면 m = 4인 정규 분포 법칙이 주어진다는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 수학적 기대값 M(X)=4, 분산 D(X)=9입니다.

표준편차 s=3.

Laplace 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

정규 분포 함수(5.17)와 관련이 있으며 관계는 다음과 같습니다.

F 0 (x) = Ф(x) + 0.5.

라플라스 함수는 이상합니다.

Ф(-x)=-Ф(x).

라플라스 함수 Ф(х)의 값은 x 값에 따라 표로 작성되어 표에서 가져옵니다(부록 1 참조).

연속 확률 변수의 정규 분포는 확률 이론과 현실을 설명하는 데 중요한 역할을 하며 무작위 자연 현상에 매우 널리 퍼져 있습니다. 실제로 우리는 많은 무작위 항을 합한 결과 정확하게 형성된 무작위 변수를 자주 접합니다. 특히, 측정오류를 분석해 보면, 이는 다양한 유형의 오류가 합산된 것임을 알 수 있습니다. 실습에서는 측정 오류의 확률 분포가 정규 법칙에 가깝다는 것을 보여줍니다.

라플라스 함수를 사용하면 정규 확률 변수가 주어진 구간과 편차에 포함될 확률을 계산하는 문제를 해결할 수 있습니다.

균등 연속 분포를 고려하십시오. 수학적 기대값과 분산을 계산해 보겠습니다. MS EXCEL 함수를 이용하여 랜덤값을 생성해보자랜드() 분석 패키지 추가 기능을 사용하여 평균값과 표준편차를 추정해 보겠습니다.

고르게 분포됨세그먼트에서 무작위 변수는 다음과 같습니다.

범위에서 50개 숫자의 배열을 생성해 보겠습니다.)