줄 서서 기다리는 것을 덜 답답하게 만드는 5가지 방법 대기열의 대기 시간

이 섹션에서는 M/M/n/m 유형의 QS를 고려합니다.< , но, в отличие от предыдущих, наложим ограничение на время ожидания в очереди.
이 제한은 근본적인 성격을 띠고 있습니다. QS 상태의 확률을 계산할 때 현재 상태(시스템의 요구 사항 수)뿐만 아니라 서비스를 기다리는 요구 사항이 도달한 시간도 알아야 합니다. 따라서 프로세스 K(t)는 더 이상 마코비안이 아닙니다.

대기열의 대기 시간은 결정적 변수 또는 무작위 변수에 의해 제한될 수 있습니다. 두 경우 모두 이미 언급한 바와 같이 프로세스 K(t)는 후유증이 존재하는 것이 특징입니다. 그러나 이를 기반으로 Markov QS 모델을 구성하는 방법은 크게 다릅니다.

7.3.1. 대기 시간은 무작위 변수 τ에 의해 제한됩니다.

이 경우 모든 것은 제약조건의 분포 법칙에 따라 달라집니다. 시스템에 여파를 가져오는 것은 한계입니다. 따라서 Markov 속성을 프로세스 K(t)에 반환하는 것은 매우 간단합니다. 확률변수를 설명하기 위해서는 지수분포를 가정하는 것으로 충분합니다. 그러나 이러한 연산은 실제 분포가 실제로 지수적이거나 이에 가까운 경우에만 가능하다는 점을 잊어서는 안 됩니다. 그렇지 않은 경우 생성된 수학적 모델은 실제 QS에 적합하지 않습니다.

대기열의 대기 시간이 기하급수적으로 분산된 제약으로 인해 QS의 요구 사항 수를 변경하는 프로세스는 여전히 재생산 및 소멸 프로세스가 되며, 유일한 차이점은 요청이 대기열을 떠나기 때문에 사망 강도가 증가한다는 점입니다. 대기 시간이 허용 값을 초과한 대기열입니다.

대기 시간 분포의 형식이 다음과 같다고 가정해 보겠습니다.

F(t) = 1 - e - 분포 함수,

f(t) = e - 분포 밀도,

허용 대기 시간 초과로 인해 대기열을 떠나는 강도는 어디에 있습니까?

그러면 프로세스 매개변수 K(t)는 다음과 같습니다.

K, k에서

N + (k - n), k>n인 경우.

독자는 이 섹션의 자료에 따라 독립적으로 초대됩니다. 7.2.1, 고려 중인 QS 모델과 고정 모드에서 QS의 주요 특성을 계산하기 위한 공식을 작성합니다.

7.3.2. 대기 시간은 무작위가 아닌 값 τ에 의해 제한됩니다.

이 경우 Markov 모델을 사용하여 QS를 설명하려면 7.1에 제공된 두 번째 모델을 사용하는 것이 좋습니다. 즉, 국가의 개념을 확장하는 것입니다. 미래의 상태 분포를 예측하려면 현재 대기열에 있는 요구 사항이 시스템에 얼마나 오래 전에 도착했는지 알아야 합니다. 이는 QS 상태를 설명하는 일반 좌표에 보류 중인 각 요청의 도착 시간 또는 대기 기간이 끝나기 전에 남은 시간을 포함시켜 수행할 수 있습니다. 이전의 모든 문제에서 사용했던 K(t) 프로세스의 프레임워크 내에서는 이 작업을 수행할 수 없으며, 고려 중인 경우 QS 기능 모델은 벡터 랜덤 프로세스를 기반으로 구축됩니다. 엑스, n개 채널 각각의 상태를 통해 시스템 상태를 특성화합니다.

엑스= ( X(티), X(티),…. X(티)) = { X(티))

X(t)는 j번째 채널이 해제될 때까지 남은 시간이다. 따라서 시간 t의 매 순간마다 채널의 미래 상태를 예측할 수 있습니다. 이 시간 동안 외부 흐름의 요청이 도착하지 않으면 j번째 채널은 xj(t) 후에 해제됩니다. 그리고 들어오는 흐름이 가장 단순하기 때문에 이는 프로세스에서 엑스후유증이 없습니다. 마르코프 과정. 이 과정의 분포를 찾아보자.

( 7.3)

이는 모든 채널을 점유한 경우의 벡터 X(t)의 n차원 분포의 함수 및 밀도이다. 바쁜 (그들만) 채널은 개인화됩니다. 번호가 다시 매겨졌습니다.

위와 동일하지만, "k"개의 채널만 점유하고 나머지는 Free인 경우입니다.

( 7.4)

다음에서는 단순화를 위해 밀도 f(t; x ... x )를 QS에서 k 채널이 점유될 확률로 해석합니다. 여기에는 1부터 k까지의 숫자가 할당되며, 에 의한 형식적인 곱셈은 생략됩니다. 이러한 분포에 대한 지식을 통해 고려 중인 시스템 상태의 확률을 계산할 수 있습니다.

필요한 방정식을 도출하기 위해 프로세스 X(t)의 마르코프 속성을 사용합니다. 즉, 시간 t(현재)의 상태를 통해 시간 t+ t(미래)의 프로세스 상태 확률을 표현합니다. 먼저 시스템에 요구사항이 없을 확률을 살펴보겠습니다.

QS의 0 상태(시스템에 요구사항이 없음)의 경우 이전과 마찬가지로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

( 7.5)

두 번째 항은 시간 t에 시스템 채널 중 하나에 수요가 있었고 서비스가 간격 t에서 종료되었으며 이 채널은 n 중 하나일 수 있음을 의미합니다.

변환하여 t 0의 한계까지 전달하면 다음을 얻습니다.

( 7.6)

0인 경우를 생각해보자

( 7.6)

이 방정식을 작성할 때 다음 사항이 고려되었습니다.

· 시간 t 동안 모든 채널의 점유는 로 감소하고, 이 시간 동안 들어오는 흐름의 단일 수요가 적합하지 않으면 시간 t까지 시스템은 원하는 상태가 됩니다(오른쪽 첫 번째 항). ;

· 오른쪽의 두 번째 항: 순간 t k-1 채널이 점유되었고 채널 번호 i(개인화된 채널 중)가 비어 있었으며 QS가 원하는 상태에 도달하려면 다음이 필요합니다. 도착 요구 사항에 따라 서비스 시간은 x와 같아야 하며 (n-k) 무료 채널 중에서 i번째 채널을 선택하고 이 채널은 1에서 k까지의 숫자를 가진 채널 중 하나일 수 있습니다.

· 마지막 용어는 순간 t(k+1) 채널이 사용 중이었지만 그 중 하나(즉, (k+1)번째)에서는 해당 간격 동안 서비스가 종료되었음을 의미합니다. 또한 이러한 채널은 (n – k) 중 하나일 수 있습니다.

이제 다음과 같은 경우를 고려하십시오.

( 7.7)

위와 같이 오른쪽의 내용을 설명하자면 다음과 같습니다.

· 첫 번째 용어는 경우에 따라 다릅니다. x>0이면 x =1로 서명하고, x이면 x= - 1로 서명합니다.<0 ).

· 내용 측면에서 두 번째 용어는 경우에 따라 다르지 않습니다.

· 오른쪽 세 번째 항은 필요에 따라 모든 채널을 점유하고 있으나 그 중 하나가 “과소 점유”된 상황, 예를 들어 X(t) = Z에 해당합니다.< x ; для того, чтобы в момент t+ СМО оказалась в требуемом состоянии надо, чтобы на интервале пришло требование со временем обслуживания (x - z), и стало бы в очередь к i-му каналу, а для этого его занятость z должна быть меньше занятости любого другого канала (z < min x ) т.к. когда все каналы заняты, требование автоматически становится в очередь к тому который раньше освободится; при этом недозанятым может быть любой из n каналов.

혼합 편도함수의 정의를 상기하면:

,( 7.8)

위에서 수행한 것처럼 방정식의 항을 그룹화하고 의 극한으로 전달하여 최종적으로 다음을 얻습니다.

( 7.9)

( 7.10)

이 방정식은 t에 대한 분포 밀도의 도함수가 0과 동일하고 밀도 자체가 시간과 무관한 함수로 최종 형식으로 작성된다는 사실로 표현되는 고정 체제와 관련이 있습니다. 또한 후속 계산을 단순화하기 위해 f = f 및 f = f라는 표기법이 채택됩니다.

이 시스템의 솔루션은 다음과 같습니다. 다음과 같이 함수 f와 f를 찾을 수 있습니다. 먼저, 실질적인 성격의 일반적인 고려 사항을 바탕으로 이러한 함수의 형태를 찾은 다음 이를 만족하는지 여부를 확인하기 위해 방정식 시스템에 이를 대체할 것입니다. 대답이 긍정적이면 방정식 시스템의 해를 찾은 것입니다.

먼저 0번의 경우를 살펴보겠습니다. 위에서 언급한 바와 같이, 함수 f는 QS에서 "k"개의 개인화(재번호 지정) 채널이 점유되고 첫 번째 채널은 x 단위 시간 후에 해제되고 두 번째 채널은 x, ... 이후에 해제될 확률의 의미를 갖습니다. , x 다음 k번째 것. 채널은 독립적으로 작동하며 각 채널의 서비스 시간은 기하급수적으로 분배됩니다. 그러면 문제가 되는 사건의 확률은 다음과 같습니다.

( 7.11)

번호가 다시 매겨진 k개의 채널이 점유될 확률

P는 QS에서 k개의 채널이 점유될 확률입니다.

다중 채널 QS(온라인)의 서비스 지표를 계산합니다.
서비스 흐름 강도:

1. 하중강도.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
부하 강도 ρ=2는 서비스 채널 요청의 입력 및 출력 흐름의 일관성 정도를 나타내며 큐잉 시스템의 안정성을 결정합니다.
3. 채널이 무료일 확률(채널 가동 중지 시간 비율).

결과적으로 채널의 12%가 한 시간 내에 유휴 상태가 되며 유휴 시간은 t pr = 7.1분과 같습니다.
서비스가 발생할 확률은 다음과 같습니다.
채널 1개 사용 중:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0.12 = 0.24
2개 채널이 사용 중입니다.
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0.12 = 0.24
3개 채널이 사용 중입니다.
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0.12 = 0.16
4. 지원서가 거절된 비율.

이는 접수된 신청서 중 3%가 서비스에 승인되지 않음을 의미합니다.
5. 들어오는 요청을 처리할 확률.
오류가 있는 시스템에서 오류 및 유지 관리 이벤트는 완전한 이벤트 그룹을 구성하므로 다음과 같습니다.
p 오픈 + p obs = 1
상대 처리량: Q = p obs.
p obs = 1 - p 개방형 = 1 - 0.0311 = 0.97
결과적으로 접수된 애플리케이션의 97%가 서비스됩니다. 허용 가능한 서비스 수준은 90% 이상이어야 합니다.
6. 서비스가 점유하는 평균 채널 수.
n h = ρ p obs = 2 0.97 = 1.9 채널
평균 유휴 채널 수.
n pr = n - n z = 3 - 1.9 = 1.1 채널
7. 서비스 채널 점유율.

결과적으로 시스템의 60%는 유지 관리로 인해 바쁜 상태입니다.
8. 절대 처리량.
A = p obs λ = 0.97 120 = 116.3 요청/시간.
.
t pr = p 열려 있음 t obs = 0.0311 0.0166 = 0시간.
10. 대기열에 있는 평균 애플리케이션 수.

단위
(응용 프로그램이 대기열에 제공될 때까지의 평균 대기 시간)
시간.
12. 서비스되는 평균 애플리케이션 수.
L obs = ρ Q = 2 0.97 = 1.94 단위.
13. 시스템 내 평균 애플리케이션 수.
L CMO = L och + L obs = 0.51 + 1.94 = 2.45 단위.
13. 애플리케이션이 CMO에 머무르는 평균 시간.
시간.
한 시간 내에 거부된 지원서 수: λ p 1 = 시간당 지원서 4개.
시스템의 명목 생산성: 3 / 0.0166 = 시간당 181개 애플리케이션.
SMO의 실제 성능: 116.3 / 181 = 공칭 용량의 64%.

우선 순위 클래스의 요청 대기열에서 평균 대기 시간에 대해 다음 표기법을 더 사용할 것입니다. 피 - Wp, 그리고 이 클래스의 요구 사항에 대해 시스템에서 소요된 평균 시간 - Tp:

우리는 상대적인 우선순위를 가진 시스템에 중점을 둘 것입니다. 우선 순위 클래스에서 특정 요청이 도착하는 순간부터 프로세스를 생각해 봅시다. 피. 우리는 이 요구 사항을 레이블이라고 부르겠습니다. 태그가 지정된 요청에 대한 대기 시간의 첫 번째 구성 요소는 서버에 전달되는 요청과 관련이 있습니다. 이 구성요소는 다른 요청의 남은 서비스 시간과 동일합니다. 이제 서비스 중인 다른 요구사항의 존재와 관련된 레이블이 지정된 요구사항의 평균 지연을 표시하고 계속 사용하겠습니다. 승 0. 각 우선 순위 클래스에 대한 입력 요구 사항의 인접 도착 간의 시간 분포를 알면 항상 이 값을 계산할 수 있습니다. 각 클래스의 응용 흐름에 대한 포아송 법칙을 가정하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

.

태그가 지정된 요구 사항에 대한 대기 시간의 두 번째 구성 요소는 태그가 지정된 요구 사항 이전에 태그가 지정된 요구 사항이 대기열에 있는 다른 요청이 처리된다는 사실에 의해 결정됩니다. 클래스의 요구 사항 수를 추가로 표시해 보겠습니다. 나, 이는 대기열에 표시된 요구 사항을 포착했습니다(클래스에서 피) 그 전에 제공되는 것 집게발. 이 숫자의 평균은 이 지연 구성 요소의 평균 값을 결정합니다.

지연의 세 번째 구성 요소는 태그가 지정된 요청이 도착한 후에 도착했지만 그보다 먼저 서비스를 받은 요청과 관련이 있습니다. 그러한 요구 사항의 수를 나타냅니다. M IP. 이 지연 성분의 평균값은 유사하게 구되며 다음과 같습니다.

세 가지 구성 요소를 모두 추가하면 태그가 지정된 요청에 대한 대기열의 평균 대기 시간이 다음 공식에 의해 결정된다는 것을 알 수 있습니다.

서비스 분야에 관계없이 요구 사항의 수는 분명합니다. 집게발그리고 M IP시스템에서는 임의적일 수 없으므로 각 우선 순위 클래스에 대한 지연을 상호 연결하는 특정 관계 집합이 있습니다. QS에 대한 이러한 관계의 중요성으로 인해 우리는 이를 보존법이라고 부를 수 있습니다. 지연에 대한 보존 법칙의 기초는 바쁜 시간 간격 동안 QS에서 완료되지 않은 작업이 시스템이 보수적이라면 서비스 순서에 의존하지 않는다는 사실입니다(요구 사항은 시스템 내에서 사라지지 않으며 서버는 작업이 중단될 때 유휴 상태가 아닙니다). 대기열이 비어 있지 않습니다).

대기 시간의 분포는 서비스 순서에 따라 크게 달라지지만 서비스 분야에서 서비스 시간(또는 서비스 시간에 따라 달라지는 측정값)에 관계없이 요구 사항을 선택하는 경우 수요 수와 대기 시간의 분포는 다음과 같습니다. 시스템은 서비스 순서와 관련하여 변하지 않습니다.

M/G/1 유형의 QS의 경우 모든 서비스 분야에 대해 다음과 같은 중요한 평등이 충족되어야 함을 알 수 있습니다.

이러한 평등은 서비스 규율이 아무리 복잡하거나 영리하더라도 대기 시간의 가중 합계가 결코 변하지 않는다는 것을 의미합니다. 일부 요구 사항에서 대기 시간을 줄일 수 있으면 다른 요구 사항에서는 즉시 증가합니다.

요구 사항 G/G/1의 도착 시간을 임의적으로 분포하는 보다 일반적인 시스템의 경우 보존 법칙은 다음 형식으로 작성될 수 있습니다.

.

이 관계의 일반적인 의미는 지연 시간의 가중 합이 일정하게 유지된다는 것입니다. 단지 오른쪽에는 평균 진행 중인 작업 시간과 남은 서비스 시간의 차이가 있습니다. 입력 흐름의 포아송 특성을 가정하면 진행 중인 작업에 대한 표현식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

이를 이전 식에 대입하면 M/G/1 유형 QS에 대해 이전에 주어진 보존 법칙을 즉시 얻습니다.

이제 우선순위 함수에 의해 지정된 우선순위에 따라 서비스를 제공하는 QS에 대한 평균 대기 시간 계산을 고려해 보겠습니다.

그림 1은 이러한 서비스 원칙을 갖춘 QS의 운영 다이어그램을 보여줍니다. 즉, 들어오는 요청은 우선순위가 같거나 더 높은 요청의 왼쪽에 대기합니다.

쌀. 우선 서비스를 제공하는 CMO 1명.

공식을 사용해보자 Wp. 작동 메커니즘을 기반으로 즉시 작성할 수 있습니다.

표시된 우선순위보다 높은 모든 요청은 더 일찍 처리됩니다. Little의 공식에 따르면 수업 요구 사항 수는 다음과 같습니다. 나대기열의 값은 다음과 같습니다.

대기열에 있는 동안 태그가 지정된 요청 이후에 시스템에 들어오는 더 높은 우선순위 클래스의 요청도 그보다 먼저 처리됩니다. 태그된 요구 사항은 평균적으로 대기열에 있으므로 Wp초이면 그러한 요청 수는 다음과 같습니다.

공식 (*)에서 직접 다음을 얻습니다.

이 연립방정식은 다음에서 시작하여 재귀적으로 풀 수 있습니다. 승1, 승2등.

결과 공식을 사용하면 모든 우선순위 클래스에 대한 서비스 품질 특성을 계산할 수 있습니다. 그림 7.2에서. 각 우선순위 클래스에 대한 요청 흐름의 강도가 동일하고 각 클래스의 요청에 대한 평균 서비스 시간이 동일한 5개의 우선순위 클래스가 있는 QS에 대해 대기열의 대기 시간의 정규화된 값이 어떻게 변경되는지 보여줍니다(아래 그림은 낮은 곡선에 대해 자세히 설명합니다). 로드 값).

그림 2. 상대적 우선순위(P=5, l P = l/5, )의 경우 우선순위에 따른 서비스.

특별한 임무는 대기 시간 분배 법칙을 결정하는 것입니다.

이제 절대 우선순위와 추가 서비스가 포함된 우선순위의 서비스 시스템을 고려해 보겠습니다. 앞서 설명한 것과 완전히 유사한 접근 방식을 사용해 보겠습니다. 태그가 지정된 요구 사항에 대한 시스템의 평균 지연도 세 가지 구성 요소로 구성됩니다. 첫 번째 구성 요소는 평균 서비스 시간이고, 두 번째 구성 요소는 시스템에서 태그가 지정된 요구 사항과 동일하거나 더 높은 우선 순위의 요청 서비스로 인한 지연입니다. 태그가 지정된 요구 사항의 평균 대기 시간의 세 번째 구성 요소는 태그가 지정된 요구 사항이 떠나고 더 높은 우선 순위를 갖기 전에 시스템에 들어오는 요청으로 인한 지연입니다. 시스템에서 소요되는 총 시간의 세 가지 구성 요소를 모두 설명하면 다음과 같습니다.

.

매우 흥미로운 문제는 다양한 클래스의 애플리케이션에 대한 우선순위를 선택하는 것입니다. 보존 법칙이 적용되므로 최적화는 각 요구 사항 클래스의 일부 추가 속성을 고려할 때만 의미가 있습니다. 우선 순위 클래스 p 적용의 지연 1초를 어떤 비용으로 추정할 수 있다고 가정해 보겠습니다. Cp. 그런 다음 시스템의 1초 지연 평균 비용은 시스템에 있는 각 클래스의 평균 요청 수로 표현될 수 있습니다.

평균 지연 비용을 최소화하는 M/G/1 시스템에 대한 상대적 우선순위를 갖는 서비스 규율을 찾는 문제를 해결해 보겠습니다. 씨. 있게 해주세요 피주어진 도착률과 평균 서비스 시간을 가진 요청의 우선순위 클래스입니다. 상수 합을 왼쪽으로 이동하고 오른쪽을 알려진 매개변수로 표현해 보겠습니다.

임무는 적절한 서비스 분야를 선택하여 이 평등의 오른쪽에 있는 합계를 최소화하는 것입니다. 인덱스 시퀀스 선택 피.

나타내자

이 표기법에서 문제는 다음과 같습니다.

함수합의 독립성을 위한 조건 g p서비스 분야의 선택은 보존 법칙에 의해 결정됩니다. 즉, 문제는 두 함수 중 하나의 곡선 아래 면적이 일정할 경우 두 함수의 곱의 곡선 아래 면적을 최소화하는 것입니다.

해결책은 먼저 값의 순서를 지정하는 것입니다. f p: .

그런 다음 각각에 대해 선택합니다. f p그 의미 g p, 제품의 합계를 최소화합니다. 최적의 선택 전략은 가장 작은 값을 선택하는 것임을 직관적으로 알 수 있습니다. g p가장 위대한 것을 위해 f p, 나머지 값에 대해서도 동일한 방식으로 진행해야 합니다. 왜냐하면 g p=W p r p, 그러면 최소화는 평균 지연 값을 최소화하는 것으로 귀결됩니다. 따라서 고려중인 최적화 문제에 대한 해결책은 상대적 우선순위를 가진 가능한 모든 서비스 분야 중에서 최소 평균 비용은 불평등에 따라 우선순위가 정렬된 분야에 의해 제공되는 것입니다.

.

가장 간단한 요청 흐름을 입력으로 수신하는 n채널(n > 1) QS의 대기 동작을 연구해 보겠습니다. 피 입력강렬하게. 각 채널의 서비스 흐름도 강도 µ로 가장 단순하다고 가정합니다. 대기열 길이에는 제한이 없지만 대기열에 있는 각 애플리케이션의 대기 시간은 임의의 기간으로 제한됩니다. 티 시원한평균값을 사용하며 그 이후에는 요청이 시스템을 서비스하지 않은 상태로 둡니다. 시간 간격 티 시원한양수 값을 가질 수 있고 수학적 기대값을 갖는 연속 확률 변수입니다.

이 흐름이 포아송이라면 QS에서 발생하는 과정은 마르코비안이 됩니다.

이러한 시스템은 실제로 자주 접하게 됩니다. 이를 '열심적인' 입찰 시스템이라고도 합니다.

서비스 및 큐에 있는 시스템의 애플리케이션 수에 따라 QS 상태에 번호를 매기겠습니다. S k (k = 0.1,…n) - k 서비스 중인 애플리케이션 (케이채널이 사용 중이고 대기열이 없습니다), S n+r (r = 1,2,…) - 피서비스 중인 애플리케이션(모두 피채널이 사용 중임) 및 대기열에 있는 r 애플리케이션.

따라서 QS는 무한한 수의 상태 중 하나에 있을 수 있습니다.

레이블이 지정된 상태 그래프가 그림 1에 나와 있습니다. 1.

쌀. 1.

QS는 동일한 수신 애플리케이션 흐름의 영향을 받아 왼쪽에서 오른쪽으로 상태에서 상태로 이동합니다. 피 입력강렬하게. 결과적으로 이러한 전환의 확률 밀도는

k-1,k = , k = 1,2,… (1)

대기열이 없는 상태에서 QS로의 전환 에스 케이 , k = 1,…,n, 왼쪽에 인접한 상태로 에스 k-1 , (k = 1,…,n)(큐도 없을 것임)은 사용 중인 채널의 k 서비스 흐름으로 구성된 전체 흐름의 영향으로 발생하며, 그 강도는 합산된 서비스 흐름의 강도의 합은 다음과 같습니다. 쿠. 따라서 상태 s n에서 상태 s 0까지 왼쪽 화살표 아래에 전이 확률 밀도가 표시됩니다.

k,k-1 =kμ, k = 1,…,n (2)

대기열이 있는 상태의 시스템에서 에스 n+r , r = 1,2,…, 총 흐름이 유효합니다 - n 서비스 흐름의 중첩 결과와 아르 자형배려의 흐름. 따라서 전체 흐름의 강도는 구성 요소 흐름의 강도의 합과 같습니다. nμ+rш. 이 전체 흐름은 상태에서 오른쪽에서 왼쪽으로 QS의 전환을 생성합니다. 에스 n+r ,(r = 1,2,…)평균을 내다 에스 n+r-1 ,(r = 1,2,…)따라서,

k,k-1 =nμ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)

따라서 (2)와 (3)을 고려하여 시스템이 오른쪽에서 왼쪽으로 전환될 확률 밀도는 결합된 형식으로 작성할 수 있습니다.

그래프의 구조는 QS에서 일어나는 과정이 죽음과 재생산의 과정임을 암시한다.

k=1,…,n+m을 (1)과 (4)를 공식에 대입해 보겠습니다.

출발 흐름의 감소된 강도라고 할 수 있고 하나의 애플리케이션을 서비스하는 평균 시간 동안 서비스되지 않은 애플리케이션 대기열에서 평균 출발 횟수를 나타내는 값을 고려해보자. (5)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

고려 중인 QS에는 대기열 길이에 대한 제한이 없으므로 들어오는 흐름에서 수신된 애플리케이션이 수락됩니다. 즉, 시스템에 신청은 시스템에 의해 거부되지 않습니다. 따라서 "인내심이 없는" 애플리케이션이 있는 QS의 경우 시스템에 승인될 확률은 다음과 같습니다. 피 언니 =1, 시스템에 대한 거부 가능성 피 열려 있는 =0 . "시스템 승인 실패" 개념을 "서비스 거부" 개념과 혼동해서는 안 됩니다. "조바심"으로 인해 시스템에 수신(승인)된 모든 애플리케이션이 서비스되는 것은 아니기 때문입니다. 따라서 애플리케이션이 대기열을 떠날 확률에 대해 이야기하는 것이 합리적입니다. 피 xy그리고 신청서가 게재될 가능성, 피 ~에 대한. 동시에 확률은 피 ~에 대한상대 처리량을 나타냅니다. 큐그리고 피 xy =1-p ~에 대한 .

대기열에 있는 평균 애플리케이션 수를 계산해 보겠습니다. 이를 수행하려면 이산 확률 변수를 고려하십시오. N 매우 좋은대기열에 있는 애플리케이션 수를 나타냅니다. 임의의 값 N 매우 좋은음수가 아닌 정수 값을 취할 수 있으며 분포 법칙은 다음과 같습니다.

N 매우 좋은
		피 n+1	피 n+2		피 n+r

어디 p=p 0 +p 1 +...+피 N. 따라서,

또는 여기서 (7)을 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다.

대기열의 각 요청에는 다음과 같은 강도의 "출발" 흐름이 적용됩니다. 애플리케이션으로 구성된 평균 대기열은 "출발" 흐름으로 구성되고 강도를 갖는 전체 흐름의 영향을 받습니다. 이는 대기열에 있는 평균 애플리케이션 수 중 평균적으로 단위 시간당 애플리케이션이 서비스를 기다리지 않고 떠나고 나머지 애플리케이션이 서비스된다는 의미입니다. 결과적으로 단위 시간당 제공되는 평균 애플리케이션 수는 다음과 같습니다. QS의 절대 용량

그런 다음 상대 용량의 정의에 따라

Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),

여기서 u/ =는 수신 흐름에서 인접한 두 애플리케이션의 도착 사이의 평균 시간 동안 서비스되지 않은 애플리케이션 대기열에서 출발한 평균 횟수를 표시합니다. 피 입력 .

평균 사용 채널 수(서비스 중인 평균 요청 수)는 한 채널의 성능 µ에 대한 절대 용량 A의 비율로 구할 수 있습니다. 평등(11)을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

사용 중인 채널의 평균 수는 대기열의 평균 요청 수와 독립적으로, 즉 이산 무작위 변수의 수학적 기대치로 계산할 수 있습니다. 에게,이는 점유된 채널 수를 나타내며 그 분포 법칙은 다음과 같습니다.

	피 0	피 1	피 2		피 n-1

어디 p = p N +p n+1 +...+피 n+1+… 그러나 모든 n개 채널이 사용 중인 이벤트는 모든 n개 채널이 사용 중이지 않은 이벤트와 반대이므로 마지막 이벤트가 발생할 확률은 다음과 같습니다.

피 0 +p 1 +p 2 +...+피 n-1, 저것 p = 1 - (p 0 +p 1 +p 2 +...+피 n-1) .

그러나 (11)로부터 우리는 다음을 얻습니다:

공식 (11)과 (13)을 사용하여 시스템의 평균 애플리케이션 수에 대한 공식을 얻습니다.

대기열에 있는 애플리케이션의 평균 대기 시간에 대한 공식을 도출해 보겠습니다. 애플리케이션이 대기열에 머무르는 기간을 제한하는 주어진 평균 시간에 따라 달라집니다.

또는 다음과 같은 자연수 i > 2가 있습니다.

불평등 (14)와 (15)를 곱하면 각각 불평등을 얻습니다.

사례 (14)와 시스템이 상태에 있다는 사실로 구성된 일관성 없는 가설을 고려해 보겠습니다. 이러한 가설의 확률

가설에 따라 CMO가 신청서를 받은 경우e. 시스템이 모든 채널이 사용 중이 아닌 각 상태 중 하나에 있는 경우 요청은 대기열에서 기다릴 필요가 없으며 즉시 무료 채널 서비스에 속하게 됩니다. 따라서 가설 하에서 대기열에 있는 응용 프로그램에 대한 평균 대기 시간인 가설 하에서 대기열에 있는 응용 프로그램에 대한 대기 시간의 무작위 값에 대한 조건부 수학적 기대는 0과 같습니다.

애플리케이션이 hypothet.e 아래의 시스템에 입력되는 경우. QS가 모든 상태 중 하나에 있을 때 피 k-p응용 프로그램(만약 에게= 피대기열에 애플리케이션이 없는 경우) 다음 중 하나를 릴리스하는 데 걸리는 평균 시간입니다. 피바쁜 채널은 동일하며 평균 서비스 시간은 k-p시스템에서 애플리케이션을 수신하기 전에 대기열에 서 있는 애플리케이션은 다음과 같습니다. 따라서 대기열이 들어오는 애플리케이션을 서비스하는 데 필요한 평균 시간은 오른쪽 불평등으로 인해 다음과 같습니다(14).

따라서 시스템에 접수된 신청서가 서비스 승인을 받기까지 필요한 평균 시간은 신청서가 대기열에 머무르는 것을 제한하는 시간보다 길다. 따라서 수신된 애플리케이션은 평균 시간 동안 대기열에서 지연되어 시스템을 서비스할 수 없게 됩니다. 결과적으로, 가설 하의 값에 대한 조건부 수학적 기대치는

이제 사례 (15)에서 동일한 가설을 고려하십시오. 이 경우 등식(16)도 유효합니다.

애플리케이션이 가설 중 하나에 따라 시스템에 입력되는 경우, 즉 QS가 모든 상태 중 하나에 있는 경우 피채널이 사용 중이고 수신된 애플리케이션 앞에 이미 대기열이 있습니다. k-p응용 프로그램(만약 에게- n 대기열에 요청이 없는 경우) 경우 (14)와 마찬가지로 이 요청이 서비스로 전환되는 데 필요한 평균 시간은 요청 유지 기간을 제한하는 것과 같습니다. 그래서 어떻게든 좌부등식(15)으로 인해,

따라서 시스템에 진입하는 애플리케이션이 서비스 승인을 받는 데 필요한 평균 시간은 애플리케이션이 대기열에 머무르는 것을 제한하는 평균 시간보다 길지 않습니다. 따라서 수신된 애플리케이션은 대기열을 떠나지 않고 서비스 승인을 기다리며 대기열에서 기다리는 평균 시간을 소비합니다. 따라서 가설 하에서 확률 변수 T och의 조건부 수학적 기대치는 다음과 같습니다.

이제 가설 중 하나에 따라 애플리케이션을 시스템에 입력해 보겠습니다. N 유 k = n+i-즉, QS가 다음 주 중 하나에 있었을 때... 피채널이 사용 중이고 이미 대기열에 있습니다. k-p응용 프로그램. 이것은 불평등(15)에서 나온 것이기 때문에:

따라서 들어오는 애플리케이션은 평균 시간 동안 대기열에서 지연됩니다. 따라서 가설 하에서 확률 변수 T och의 조건부 수학적 기대는 다음과 같습니다.

총 수학적 기대값에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

(15)의 경우, 수신된 애플리케이션은 수신 당시 QS가 주 중 하나에 있는 경우에만 서비스에 대해 승인됩니다. 그러면 애플리케이션이 서비스될 확률은 다음과 같습니다.

/ = 1일 때 공식 (25)는 (24)로 바뀌므로 서비스 확률에 대해 다음 공식을 작성할 수 있습니다.

서비스 확률을 알면 요청이 처리되지 않은 채 대기열을 떠날 확률을 계산할 수 있습니다.

애플리케이션이 시스템에 머무르는 평균 시간은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

모든 응용프로그램과 관련하여 하나의 응용프로그램에 대한 평균 서비스 시간은 어디에 있습니까? 서비스된 응용프로그램과 대기열을 떠난 응용프로그램 모두는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

6. 대기열 시스템 모델 구축 및 분석

큐 길이에는 제한이 없지만 큐의 대기 시간에는 제한이 있는 QS를 사용하는 실제 문제를 고려해 보겠습니다.

직항 비행의 범위를 늘리기 위해 항공기는 공중에서 급유됩니다. 급유 항공기 2대가 급유 구역에 상시 근무하고 있습니다. 한 대의 항공기에 재급유하는 데 평균 약 10분이 소요됩니다. 급유 항공기 두 대 모두 바쁜 경우, 급유가 필요한 항공기는 일정 시간 동안 "대기"(급유 구역에서 원을 그리며 비행)할 수 있습니다. 평균 대기 시간은 20분입니다. 급유를 기다릴 수 없었던 비행기는 대체 공항에 강제로 착륙했습니다. 비행 강도는 평균 12대의 항공기가 1시간마다 급유 구역에 도착할 정도입니다. 정의하다:

항공기에 연료가 재급유될 확률입니다.

고용된 평균 급유기 수.

대기열에 있는 평균 항공기 수입니다.

운항 중인 평균 항공기 수.

다음 입력 매개변수가 지정된 경우 이 QS 효율성의 주요 특성을 계산해야 합니다.

• · 서비스 채널 수;
• · 들어오는 애플리케이션 흐름의 강도;
• · 서비스 흐름의 강도;
• · 대기열에 있는 응용 프로그램의 체류를 제한하는 평균 시간.

고려 중인 QS는 대기열 길이에는 제한이 없지만 대기 시간에는 제한이 있는 다중 채널 대기열 시스템입니다. 채널 수, 들어오는 요청 흐름의 강도, 서비스 흐름의 강도 및 대기열의 위치 수가 지정됩니다.

이 QS에서는 각 채널이 매번 하나의 요청을 처리합니다. 새 요청을 수신할 때 하나 이상의 채널이 사용 가능한 경우 서비스에 대한 수신 요청이 수신되고 요청이 없으면 시스템은 유휴 상태입니다.

요청이 도착할 때 모든 채널이 사용 중일 때 어떤 일이 발생하는지 결정해 보겠습니다. 즉, 대기열에 들어가 채널 중 하나가 사용 가능해질 때까지 기다립니다. 신청서를 받을 때 대기열의 모든 자리가 채워지면 이 신청서는 시스템에서 사라집니다.

QS 기능의 효율성에 대한 기준:

• · 시스템 다운타임 가능성;
• · 시스템 오류 확률;
• · 상대 처리량.
• · 응용 프로그램이 대기열에서 소비하는 평균 시간입니다.

이 시스템은 "성급한" 요청을 가진 다중 채널 QS로 모델링되었습니다.

시스템 매개변수:

서비스 채널 수 n=2;

들어오는 애플리케이션 흐름의 강도 = 12 (시간당 비행기);

서비스 흐름 강도 µ = 6(시간당 비행기);

대기열에 있는 애플리케이션의 체류를 제한하는 평균 시간이므로 출발 흐름의 강도는 시간당 1/= 3(항공기)입니다.

계산은 Turbo Pascal에서 개발된 프로그램을 사용하여 수행되었습니다. 터보파스칼 언어는 가장 일반적인 컴퓨터 프로그래밍 언어 중 하나입니다. Turbo-Pascal 언어의 중요한 장점으로는 작은 크기의 컴파일러, 빠른 프로그램 번역, 컴파일 및 링크 등이 있습니다. 또한 대화 상자 셸 디자인의 편의성과 높은 품질로 인해 차세대 대체 언어에 비해 프로그램 작성 및 디버깅이 더욱 편리해졌습니다.

QS의 동작을 분석하기 위해서는 다양한 입력 매개변수에 대한 이 시스템의 동작을 연구할 필요가 있습니다.

첫 번째 버전에서는 l=12, µ=6, n=3, 채널 수 n=2입니다.

두 번째 옵션에서는 l=12, µ=6, n=3, 채널 수 n=3입니다.

세 번째 옵션에서는 l=12, µ=6, n=4, 채널 수 n=2입니다.

모든 계산 결과는 부록 2에 나와 있습니다.

얻은 데이터(부록 2)를 분석한 결과, 다음과 같은 결론을 얻었다.

채널 수가 증가할수록 시스템 다운타임 확률과 급유 확률이 50% 증가합니다.

채널 수를 늘리지 않고 요청이 대기열에 소요되는 시간만 변경하면 출발 흐름의 강도가 변경되어 결과적으로 서비스를 제공하는 항공기 수와 대기열에 있는 항공기 수가 감소했습니다.

제 생각에는 출발 흐름의 강도를 높이려면 추가 서비스 인력을 모집하고 훈련해야 합니다. 그러면 급유기의 가동 중지 시간에 소요되는 시간이 줄어들고 추가 채널이 필요하지 않을 것입니다.

의료 서비스 운영이 가장 효과적인 최적의 매개 변수를 선택할 때, 추가 서비스 채널 확보 또는 강도 변경으로 인해 기술적, 경제적 요인도 고려할 필요가 있습니다. 치료 흐름을 유지하려면 특정 재료비와 인력 교육 비용이 필요합니다.

n을 고려해보세요 - 대기가 있는 채널 대기열 시스템.

서비스 흐름 강도는 μ입니다. 서비스 기간은 지수 분포 법칙을 따르는 무작위 변수입니다. 서비스 흐름은 가장 간단한 포아송 이벤트 흐름입니다.

대기열의 크기로 인해 사람들이 그 안에 들어갈 수 있습니다. m 애플리케이션.

주변 확률을 찾으려면 다음 표현식을 사용할 수 있습니다.

(0‑1)

어디.

애플리케이션 서비스 거부 확률(모든 채널이 사용중이고 채널이 없는 경우 실패가 발생합니다. m개 요청):

(0‑2)

상대 대역폭.

(0‑3)

절대 처리량.

(0‑4)

사용 중인 채널의 평균 수입니다.

대기열이 있는 QS의 경우 평균 사용 채널 수는 (실패한 QS와 달리) 시스템의 평균 요청 수와 일치하지 않습니다. 그 차이는 대기열에 대기 중인 애플리케이션 수와 같습니다.

점유된 평균 채널 수를 표시해 보겠습니다. 각 사용 중인 채널은 단위 시간당 평균 μ 클레임을 처리하고, QS는 전체적으로 단위 시간당 A 클레임을 처리합니다. A를 μ로 나누면 다음과 같습니다.

(0‑5)

대기열에 있는 평균 애플리케이션 수입니다.

χ≠1인 경우 대기열에서 대기 중인 평균 애플리케이션 수를 찾으려면 다음 표현식을 사용할 수 있습니다.

(0‑6)

(0‑7)

여기서 = .

시스템의 평균 애플리케이션 수입니다.

(0‑8)

대기열에 있는 애플리케이션의 평균 대기 시간.

대기열에 있는 애플리케이션의 평균 대기 시간은 (χ≠1) 수식에서 확인할 수 있습니다.

(0‑9)

애플리케이션이 시스템에 머무르는 평균 시간입니다.

단일 채널 QS의 경우와 마찬가지로 다음이 있습니다.

(0‑10)

작품의 내용.

실험 장비의 준비 .

일반 규칙에 따라 수행됩니다.

분석 모델을 사용한 계산 .

1. Microsoft Excel에서 다음 표를 준비합니다.

옵션 SMO

분석적 모델

모방 모델

N

중

티ㅏ

TS

ρ

χ

P0

P1

p2

로크

여

노즈

큐

ㅏ

로크

여

큐

ㅏ

2. 테이블의 QS 매개변수 열에 규칙에 따라 결정되는 초기 데이터를 기록하십시오.

n =1,2,3

m=1,3,5

각 조합에 대해 ( n,m) 다음 값 쌍에 대한 QS 지표의 이론적 및 실험적 값을 찾는 것이 필요합니다.

= <порядковый номер в списке группы>

3. 분석 모델 지표가 있는 열에 적절한 수식을 입력합니다.

시뮬레이션 모델 실험.

1. 해당 매개변수의 값을 1로 설정하여 서비스 시간이 지수적으로 분포되는 실행 모드를 설정합니다.

2. n, m의 각 조합에 대해 모델을 실행합니다.

실행 결과를 테이블에 입력합니다.

3. 표의 해당 열에 지표 Ptk, q 및 A의 평균값을 계산하기 위한 공식을 입력합니다.

결과 분석 .

1. 이론적, 실험적 방법으로 얻은 결과를 분석하고, 결과를 서로 비교합니다.

2. (n,m) 조합 중 하나에 대해 이론적 및 실험적으로 얻은 데이터에 대한 Ptk의 의존성을 하나의 다이어그램에 표시합니다.

QS 매개변수 최적화 .

대기열의 자리 수 크기 최적화 문제 해결중 평균 서비스 시간을 가진 두 장치에 대해 = 최대 이익을 얻는 관점에서. 문제의 조건으로 다음을 수행하십시오.

- 하나의 애플리케이션 서비스로 인한 수입은 시간당 80 USD에 해당합니다.

- 기기 한 대를 유지하는 데 드는 비용은 시간당 1달러이며,

- 대기열에서 한 자리를 유지하는 데 드는 비용은 시간당 0.2 USD입니다.

1. 계산을 위해서는 테이블을 만드는 것이 좋습니다.

첫 번째 열은 장치 수로 채워집니다. n=1.

두 번째 열은 자연 계열(1,2,3...)의 숫자 값으로 채워집니다.

세 번째와 네 번째 열의 모든 셀은 값으로 채워집니다.

섹션 0의 표 열에 대한 수식은 5~14열의 셀로 전송됩니다.

수입, 비용, 이익 섹션의 초기 데이터가 있는 열에 값을 입력합니다(위 참조).

수입, 비용, 이익 섹션의 계산된 값이 있는 열에 계산 공식을 기록합니다.

- 단위 시간당 적용 횟수

N r =A

- 단위 시간당 총 수입

나는 S = 나는 r *N r

- 단위 시간당 총 소비량

E S =E 초 *n + E q *m

- 단위 시간당 이익

P = I S - E S

어디

IR - 한 번의 신청으로 인한 소득,

에스 - 기기당 소비량,

방정식 - 줄을 선 장소당 비용

2. n=2 및 n=3에 대한 테이블 행을 채웁니다.

n =1,2,3을 선택하는 m을 찾으세요.

3. 하나의 다이어그램에 n=1,2,3에 대한 종속성 C(m)의 그래프를 그립니다.

업무 보고서:

작업 보고서에는 다음이 포함되어야 합니다.

- 초기 데이터,

- 소프트웨어 모델에 대한 계산 및 실험 결과,

P open에 대한 그래프,

- 최선의 결과를 찾기 위한 데이터가 포함된 테이블 m과 m opt의 값,

- 단위 시간당 이익 그래프 m은 n=1,2,3입니다.

통제 질문 :

1) 제한된 대기열이 있는 다중 채널 QS 모델에 대해 간략하게 설명하십시오.

2) 대기열이 제한된 다중 채널 QS의 기능을 특징짓는 지표는 무엇입니까?

3) 제한된 대기열이 있는 다중 채널 QS의 한계 확률은 어떻게 계산됩니까?

4) 애플리케이션 서비스 실패 확률을 찾는 방법은 무엇입니까?

5) 상대 대역폭을 찾는 방법은 무엇입니까?

6) 절대 처리량은 얼마입니까?

7) 시스템의 평균 애플리케이션 수는 어떻게 계산됩니까?

8) 대기열이 제한된 다중 채널 QS의 예를 들어보세요.

작업.

1) 주유소에는 주유기 3개와 차량 3대가 주유를 기다릴 수 있는 플랫폼이 있습니다. 평균적으로 4분마다 한 대의 차량이 역에 도착합니다. 기계 한 대의 평균 서비스 시간은 2.8분이다. 주유소의 운영 특성을 결정합니다.

2) 3개의 검사소가 있는 차량 기술 검사소는 평균 0.4시간마다 차량 1대를 받습니다. 마당에 주차할 수 있는 공간은 3대입니다. 게시물 1개의 평균 운영시간은 0.5시간이다. 서비스 스테이션의 특성을 결정합니다.

3) 상품은 차량으로 매장까지 배송됩니다. 낮에는 평균 6대의 차량이 도착합니다. 판매 물품 준비를 위한 다용도실에서는 두 대의 차량으로 가져온 물품을 처리하고 보관할 수 있습니다. 매장에는 3명의 제품 포장 담당자가 교대로 근무하고 있으며, 각 직원은 평균적으로 5시간 이내에 한 기계의 제품을 처리할 수 있습니다. 포장업자의 근무일은 12시간이다. 상품 처리가 완료될 확률이 0.96보다 크도록 매장의 운영 특성과 다용도실의 용량을 결정합니다.

4) 가게에는 세 개의 금전 등록기가 있습니다. 고객 1명의 평균 서비스 시간은 3분이다. 고객 흐름의 강도는 분당 7명입니다. 계산대에 줄을 서 있는 고객 수는 5명을 초과할 수 없습니다. 계산대에 한 줄에 5명이 있는 매장에 온 구매자는 기다리지 않고 매장을 떠난다. 매장의 특성을 파악해보세요.

5) 도매 창고는 고객에게 상품을 출시합니다. 차량 적재는 3개의 로더 팀이 수행하며 각 팀은 4명으로 구성됩니다. 창고에는 차량 5대를 동시에 수용할 수 있으며, 이때 새 차량이 도착하면 서비스가 제공되지 않습니다. 들어오는 흐름의 강도는 시간당 5대입니다. 적재량은 시간당 2대입니다. 창고 운영에 대한 평가와 재구성 옵션을 제공합니다.

6) 세관에는 3개의 터미널이 있습니다. 물품을 운송하고 세관 통제를 받는 차량의 흐름 강도는 30단위입니다. 하루에. 차량 한 대당 터미널에서 평균 통관 처리 시간은 3시간입니다. 세관 통과를 위해 대기 중인 차량이 5대일 경우 도착 차량은 다른 세관으로 이동합니다. 관세 성과 지표를 찾아보세요.

7) 평균적으로 건설자재를 실은 차량은 40분 이내에 건설현장에 도착합니다. 차량 한 대를 하역하는 데 걸리는 평균 시간은 1.8시간입니다. 두 팀의 로더가 하역에 참여합니다. 건설 현장에서 하역을 위해 5대 이상의 차량이 대기할 수 없습니다. 건설 현장 성과 지표를 결정합니다.

8) 3개의 작업대가 있는 세차장에는 시간당 평균 12대의 차량이 도착합니다. 대기열에 이미 6대의 차량이 있는 경우 새로 도착하는 차량은 대기열에 합류하지 않고 세차장을 떠납니다. 평균 세차 시간은 20분, 세차 서비스의 평균 비용은 150루블입니다. 세차 성능 지표와 근무일(오전 9시부터 오후 7시까지) 동안의 평균 수익 손실을 결정합니다.

9) 물품을 운송하고 세관 통제를 받는 차량의 흐름 강도는 50단위입니다. 하루에. 차량 한 대당 터미널에서 평균 통관 처리 시간은 2.8시간입니다. 세관 심사를 위한 최대 대기열은 차량 8대 이하여야 합니다. 차량 가동 중단 가능성을 최소화하기 위해 세관에서 얼마나 많은 터미널을 열어야 하는지 결정합니다.