함수에 정지점이 있는지 조사하고 이를 찾아내는 과정은 함수 그래프를 구성할 때 중요한 요소 중 하나입니다. 특정 수학적 지식이 있으면 함수의 고정점을 찾을 수 있습니다.

당신은 필요합니다

• - 정지 지점이 있는지 검사해야 하는 기능
• - 정지점의 정의: 함수의 정지점은 1차 함수의 도함수가 사라지는 지점(인수 값)입니다.

지침

• 함수를 미분하는 미분표와 공식을 이용하여 함수의 미분을 구하는 것이 필요합니다. 이 단계는 작업 중에 가장 어렵고 책임감이 있습니다. 이 단계에서 실수를 하면 추가 계산이 의미가 없습니다.
• 함수의 도함수가 인수에 따라 달라지는지 확인하세요. 발견된 도함수가 인수에 의존하지 않는 경우, 즉 숫자(예: f"(x) = 5)인 경우 이 경우 함수에는 고정점이 없습니다. 이러한 솔루션은 다음 경우에만 가능합니다. 연구 중인 함수는 1차 선형 함수입니다(예: f(x) = 5x+1). 함수의 도함수가 인수에 따라 달라지면 마지막 단계로 진행합니다.
• 방정식 f"(x) = 0을 작성하고 이를 해결합니다. 방정식에 해가 없을 수 있습니다. 이 경우 함수에는 고정점이 없습니다. 방정식에 해가 있는 경우 인수의 특정 값은 다음과 같습니다. 이 단계에서는 인수 치환을 통해 방정식의 해를 확인해야 합니다.

중요한 점– 함수의 도함수가 0이 되거나 존재하지 않는 지점입니다. 도함수가 0과 같으면 이 지점의 함수는 다음과 같습니다. 지역 최소값 또는 최대값. 이러한 점의 그래프에서 함수는 수평 점근선을 갖습니다. 즉, 접선은 Ox 축과 평행합니다.

그러한 점을 호출합니다. 변화 없는. 연속함수의 그래프에 "혹"이나 "구멍"이 보이면 임계점에서 최대값이나 최소값에 도달한다는 점을 기억하세요. 다음 작업을 예로 들어보겠습니다.

예시 1. y=2x^3-3x^2+5 함수의 임계점을 찾습니다.
해결책. 임계점을 찾는 알고리즘은 다음과 같습니다.

따라서 이 함수에는 두 가지 중요한 점이 있습니다.

다음으로, 함수를 연구해야 하는 경우 임계점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 도함수의 부호를 결정합니다. 도함수가 임계점을 통과할 때 부호가 "-"에서 "+"로 변경되면 함수는 다음을 수행합니다. 지역 최소값. "+"에서 "-"로 변경해야 하는 경우 지역 최대.

두 번째 유형의 임계점이는 분수 및 무리 함수의 분모의 0입니다.

이 지점에서 정의되지 않은 로그 및 삼각 함수


세 번째 유형의 임계점부분적으로 연속적인 기능과 모듈을 가지고 있습니다.
예를 들어, 모든 모듈 기능은 중단점에서 최소값 또는 최대값을 갖습니다.

예를 들어 모듈 y = | x -5 |
x = 5 지점에서 최소값(임계점)이 있습니다.

미분은 존재하지 않지만 오른쪽과 왼쪽은 각각 1과 -1의 값을 취합니다.

1)
2)
3)
4)
5)

기능의 임계점을 파악해 보세요.
대답이 y이면 값을 얻습니다.
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. 그럼 넌 이미 알고 있지중요한 포인트를 찾는 방법

간단한 테스트나 테스트에 대처할 수 있습니다.

정의:극한

주어진 세트에서 함수의 최대값 또는 최소값을 호출합니다.극점

함수의 최대값 또는 최소값에 도달하는 지점입니다.최대 포인트

함수의 최대값에 도달하는 지점입니다.최소 포인트

함수의 최소값에 도달하는 지점입니다.

설명.

그림에서 x = 3 지점 근처에서 함수는 최대값에 도달합니다(즉, 이 특정 지점 근처에는 더 높은 지점이 없습니다). x = 8 근처에서 다시 최대값을 갖습니다(다시 명확히 하자면, 이 근처에는 더 높은 포인트가 없습니다). 이 시점에서 증가는 감소로 이어집니다. 최대 포인트는 다음과 같습니다.

x 최대 = 3, x 최대 = 8.

x = 5 지점 근처에서 함수의 최소값에 도달합니다(즉, x = 5 근처에는 아래 지점이 없습니다). 이 시점에서 감소는 증가로 이어집니다. 최소 포인트는 다음과 같습니다. 최대점과 최소점은함수의 극점 , 그리고 이 지점에서 함수의 값은.

과격한 수단

기능의 중요하고 고정된 지점:

극한의 필요 조건:

극값의 충분조건: 세그먼트에서 기능 = 와이(에프엑스

)은 임계점이나 세그먼트 끝에서 가장 작거나 가장 큰 값에 도달할 수 있습니다.세그먼트에서 기능 = 와이(에프연속함수를 연구하기 위한 알고리즘

) 단조성과 극값의 경우:

일반적으로 말하면 직선 l에 접하는 고려중인 가족의 두 원이 있다는 것이 분명합니다. 그 중심은 세그먼트 P Q의 반대편에 위치합니다. 접선 지점 중 하나는 값 j를 제공하는 반면 다른 하나는 "상대적" 최대값만 제공합니다. 즉, 이 지점의 j 값이 해당 지점 근처의 값보다 크다는 의미입니다. 두 개의 최대값 중 더 큰 것(절대 최대값)은 직선 l과 세그먼트 P Q의 연속에 의해 형성된 예각에 위치한 접선 지점에 의해 제공되고 더 작은 접선 지점에 의해 제공됩니다. 이 직선들이 이루는 둔각에 위치합니다. (직선 l과 연속된 세그먼트 P Q의 교차점은 각도 j의 최소값, 즉 j = 0을 제공합니다.)

쌀. 190. 어느 지점 l에서 세그먼트 P Q가 가장 큰 각도로 보이나요?

고려된 문제를 일반화하면 직선 l을 곡선 C로 대체하고 C와 교차하지 않는 주어진 선분 P Q가 가장 크거나 작은 각도에서 보이는 곡선 C에서 점 R을 찾을 수 있습니다. 이 문제에서도 이전 문제와 마찬가지로 P, Q, R을 지나는 원은 점 R에서 곡선 C와 접촉해야 합니다.

§ 3. 정지점과 미분학

1. 극단적이고 고정된 지점. 이전 논의에서 우리는 미분학의 기술적 방법을 전혀 사용하지 않았습니다.

우리의 기본 방법이 분석 방법보다 더 간단하고 직접적이라는 점을 인정하지 않는 것은 어렵습니다. 일반적으로 특정한 과학적 문제를 다룰 때는 그 개별적인 문제부터 진행하는 것이 좋습니다.

반면에 적용되는 특수 절차의 의미를 명확히 하는 일반 원칙이 항상 지침 역할을 해야 하지만 일반적인 방법에만 의존하는 것보다 기능이 더 중요합니다. 이것이 바로 극한 문제를 고려할 때 미분 계산 방법의 중요성입니다. 현대 과학에서 관찰되는 일반성에 대한 욕구는 문제의 한 측면일 뿐입니다. 왜냐하면 수학에서 진정으로 중요한 것은 의심의 여지 없이 고려된 문제와 사용된 방법의 개별 특성에 의해 결정되기 때문입니다.

역사적 발전에서 미분 계산은 수량의 최대값과 최소값을 찾는 것과 관련된 개별 문제의 영향을 매우 크게 받았습니다. 극한문제와 미분학의 연관성은 다음과 같이 이해될 수 있다. 8장에서 우리는 함수 f(x)의 도함수 f0(x)와 그 기하학적 의미에 대해 자세히 연구할 것입니다. 여기서 우리는 간단히 말해서 도함수 f0(x)가 점 (x, y)에서 곡선 y = f(x)에 대한 접선의 기울기라는 것을 알 수 있습니다. 매끄러운 곡선 y = f(x)의 최대 또는 최소 점에서 곡선에 대한 접선은 반드시 수평이어야 하며, 즉 기울기가 0이어야 한다는 것은 기하학적으로 분명합니다. 따라서 극점에 대해 조건 f0(x) = 0을 얻습니다.

도함수 f0(x)가 사라지는 것이 무엇을 의미하는지 명확하게 이해하려면 그림 191에 표시된 곡선을 고려하십시오. 여기서는 곡선의 접선이 수평인 5개의 점 A, B, C, D, E를 볼 수 있습니다. 이 지점에서 f(x)의 해당 값을 a, b, c, d, e로 표시하겠습니다. f(x)의 가장 큰 값(그림에 표시된 영역 내)은 점 D에서 달성되고 가장 작은 값은 점 A에서 달성됩니다. 점 B에는 최대값이 있습니다. B 지점에서 f(x)의 값은 b보다 작습니다. 하지만 D에 가까운 지점에서는 f(x)의 값이 여전히 b보다 큽니다. 이러한 이유로 점 B에는 함수 f(x)의 상대 최대값이 있고 점 D에는 절대 최대값이 있다고 말하는 것이 일반적입니다. 마찬가지로 C 지점에는 상대 최소값이 있고 A 지점에는 절대 최소값이 있습니다. 마지막으로, 점 E의 경우, 거기에서는 f0(x) = 0이 동일하지만 최대값도 최소값도 없습니다. 따라서 도함수 f0(x)의 소멸이 필요하지만 충분하지는 않습니다. 매끄러운 함수 f(x)의 극값이 나타나는 조건; 즉, 극값(절대 또는 상대)이 있는 모든 지점에서 f0(x) = 0이라는 동등성은 확실히 유지되지만, f0(x) = 0인 모든 지점에서 극값이 있어야 하는 것은 아닙니다. 극값이 있는지 여부에 관계없이 도함수 f0(x)가 사라지는 지점을 고정이라고 합니다. 추가 분석으로 인해 다소간

§ 3 고정점 및 미분 계산 371

함수 f(x)의 고차 도함수와 관련된 복잡한 조건과 최대값, 최소값 및 기타 고정점을 완전히 특성화합니다.

쌀. 191. 함수의 고정점

2. 여러 변수의 함수의 최대값과 최소값. 안장 포인트. 하나의 변수에 대한 함수 f(x)의 개념으로는 표현할 수 없는 극단적인 문제가 있습니다. 여기에 관련된 가장 간단한 예는 두 독립 변수의 함수 z = f(x, y)의 극값을 찾는 문제입니다.

우리는 항상 함수 f(x, y)를 x, y 평면 위의 표면 높이 z로 생각할 수 있으며, 이 그림을 예를 들어 산 풍경으로 해석할 것입니다. 함수 f(x, y)의 최대값은 산봉우리에 해당하고 최소값은 구멍이나 호수 바닥에 해당합니다. 두 경우 모두 표면이 매끄럽지 않으면 표면에 대한 접평면은 반드시 수평입니다. 그러나 산 꼭대기와 구덩이의 가장 낮은 지점 외에도 접선 평면이 수평인 다른 지점이 있을 수 있습니다. 이는 산길에 해당하는 "안장" 지점입니다. 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 산맥에 두 개의 봉우리 A와 B가 있고 능선의 서로 다른 경사면에 두 개의 지점 C와 D가 있다고 가정합니다(그림 192). C에서 D로 가야 한다고 가정해 보겠습니다. 먼저 C와 D를 통과하는 평면과 표면을 교차하여 얻은 C에서 D로 이어지는 경로를 고려해 보겠습니다. 이러한 각 경로는 가장 높은 지점을 갖습니다. 절단면의 위치가 변경되면 경로도 변경되며 가장 높은 지점이 있는 경로를 찾을 수 있습니다.

가능한 가장 낮은 위치. 이 경로의 가장 높은 지점 E는 우리 풍경의 산길 지점입니다. 안장점이라고도 할 수 있습니다. E 지점에 아무리 가까우더라도 표면에는 E 위에 있는 지점과 E 아래에 있는 지점이 있기 때문에 지점 E에는 최대값도 최소값도 없다는 것이 분명합니다. 이전 추론에서는 우리 자신을 제한할 수 없었습니다. 평면이 표면과 교차할 때 발생하는 경로만 고려하고 C와 D를 연결하는 모든 경로를 고려합니다. 점 E에 부여한 특성은 이것에서 변하지 않습니다.

마찬가지로, A 정점에서 B 정점으로 가고 싶다면 우리가 선택할 수 있는 모든 경로는 가장 낮은 지점을 갖게 됩니다. 평면 단면만 고려하더라도 가장 작은 점이 가장 높은 곳에 위치하는 경로 AB를 찾고 다시 이전 점 E를 얻습니다. 따라서 이 안장점 E는 가장 높은 최소값 또는 가장 낮은 값을 전달하는 속성을 갖습니다. maximum: 여기에는 "maximinum" 또는 "minimaximum"이 있습니다. 줄여서 minimax입니다. 점 E의 접평면은 수평입니다. 실제로 E는 경로 AB의 가장 낮은 지점이므로 E에서 AB에 대한 접선은 수평이고, 마찬가지로 E가 경로 CD의 가장 높은 지점이므로 E에서 CD에 대한 접선은 수평입니다. 따라서 이 두 접선을 반드시 지나는 접평면은 수평이다. 따라서 우리는 수평 접선 평면이 있는 세 가지 다른 유형의 점을 찾습니다. 최대 점, 최소 점, 마지막으로 안장점입니다. 따라서 고정 함수 값에는 세 가지 유형이 있습니다.

함수 f(x, y)를 기하학적으로 표현하는 또 다른 방법은 레벨 라인을 그리는 것입니다. 이는 지도 제작에서 지면의 높이를 표시하는 데 사용되는 것과 동일한 라인입니다(308페이지 참조). 레벨 라인은 함수 f(x, y)가 동일한 값을 갖는 x, y 평면의 곡선입니다. 즉, 레벨 라인은 f(x, y) = c 패밀리의 곡선과 동일합니다. 평범함을 통해

쌀. 194. 스타시 이중 연결 영역의 단항 점

§ 3 고정점 및 미분 계산 373

정확히 하나의 레벨 선이 평면의 한 점을 통과합니다. 최대 및 최소 점은 닫힌 레벨 선으로 둘러싸여 있습니다. 두 개 이상의 레벨 선이 안장 점에서 교차합니다. 그림에서. 그림 1에 표시된 풍경에 해당하는 193개의 레벨 라인이 그려집니다. 192.

이 경우 안장점 E의 놀라운 특성이 특히 명확해집니다. A와 B를 연결하고 E를 통과하지 않는 모든 경로는 부분적으로 f(x, y)가 있는 영역에 있습니다.< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Minimax 포인트 및 토폴로지. 고정점에 대한 일반 이론과 위상학적 개념 사이에는 깊은 연관성이 있습니다. 이와 관련하여 여기서는 간략한 설명만 제공하고 한 가지 예만 고려하도록 제한하겠습니다.

두 개의 해안 윤곽선 C와 C0가 있는 고리 모양의 섬 B의 산악 풍경을 생각해 보세요. 이전과 같이 해발 높이를 u = f(x, y)로 표시하고 윤곽 C 및 C0에서 f(x, y) = 0이고 f(x, y) > 0이라고 가정합니다.

내부에는 섬에 최소한 하나의 산길이 있어야 합니다. 194 이러한 패스는 두 레벨 라인이 교차하는 지점에 위치합니다. 진술된 진술의 타당성은 다음과 같은 경우에 분명해집니다.

우리는 그러한 길을 찾는 임무를 스스로 설정해야합니까?

더 높은 높이로 올라가지 않는 공통 C 및 C0 그것보다 피할 수 없는 일이다. 모든 C에서 C0까지의 경로가 가장 높다

가장 높은 점이 가장 낮은 경로를 선택하면 이렇게 얻은 가장 높은 점은 함수 u = f(x, y)의 안장점이 됩니다. (어떤 수평면이 폐곡선을 따라 고리 모양의 산맥에 닿는 경우는 예외인 사소한 경우를 규정할 필요가 있다.) p개의 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 경우에는 일반적으로 최소 p – 1개의 미니맥스 포인트. Marston Morse가 확립한 유사한 관계는 다차원 영역에서도 발생합니다.

그러나 이 경우 위상학적 가능성과 고정점 유형의 다양성이 훨씬 더 큽니다. 이러한 관계는 현대 고정점 이론의 기초를 형성합니다.

4. 표면에서 점까지의 거리. 지점 P 거리의 경우

폐곡선의 여러 지점에는 (적어도) 두 개의 고정 값, 즉 최소값과 최대값이 있습니다. 3차원으로 이동할 때 구(예: 타원체)와 위상적으로 동등한 표면 C를 고려하는 것으로 제한하면 새로운 사실이 발견되지 않습니다. 그러나 표면이 속 1 이상인 경우에는 상황이 달라집니다. 토러스 C의 표면을 고려해 보겠습니다. 점 P가 무엇이든, 물론 토러스 C에는 항상 P로부터 최대 및 최소 거리를 제공하는 점이 있으며 해당 세그먼트는 표면 자체에 수직입니다. 그러나 이제 우리는 이 경우에도 최소최대 포인트가 있다는 것을 확립할 것입니다. 원환체(그림 195)의 "자오선" 원 L 중 하나를 상상해 보고 이 원 L에서 P에 가장 가까운 점 Q를 찾을 수 있습니다. 그런 다음 원환체를 따라 원 L을 이동하면 거리 P Q가 다음과 같이 되는 위치를 찾습니다. a) 최소 - 그런 다음 C에서 P에 가장 가까운 점을 얻습니다. b) 최대 - 고정된 최소 최대 지점을 얻습니다. 같은 방식으로, P에서 가장 멀리 떨어져 있는 L의 지점을 찾은 다음, 발견된 가장 큰 거리가 다음과 같은 L의 위치를 ​​찾을 수 있습니다. c) 최대(P에서 가장 먼 C의 지점을 얻습니다) , d) 최소. 따라서 우리는 점 P에서 토러스 점 C까지의 거리에 대해 네 가지 다른 고정 값을 얻습니다.

쌀. 195-196. 점에서 표면까지의 거리

운동. C의 폐곡선의 다른 유형 L0에 대해 동일한 추론을 반복합니다. 이 역시 점으로 축소될 수 없습니다(그림 196).

이전 논의에서 우리는 미분학의 기술적 방법을 전혀 사용하지 않았습니다.

우리의 기본 방법이 분석 방법보다 더 간단하고 직접적이라는 점을 인정하지 않는 것은 어렵습니다. 일반적으로 특정 과학적 문제를 다룰 때 일반적인 방법에만 의존하는 것보다 개별적인 특성에서 진행하는 것이 더 낫습니다. 반면에 사용된 특수 절차의 의미를 명확히 하는 일반 원칙은 물론입니다. , 항상 안내 역할을 해야 합니다. 이것이 바로 극한 문제를 고려할 때 미분 계산 방법의 중요성입니다. 현대 과학에서 관찰되는 일반성에 대한 욕구는 문제의 한 측면만을 나타낼 뿐입니다. 왜냐하면 수학에서 진정으로 중요한 것은 의심의 여지 없이 고려된 문제와 사용된 방법의 개별 특성에 의해 결정되기 때문입니다.

역사적 발전에서 미분 계산은 수량의 최대값과 최소값을 찾는 것과 관련된 개별 문제의 영향을 매우 크게 받았습니다. 극한문제와 미분학의 연관성은 다음과 같이 이해될 수 있다. 8장에서 우리는 함수 f(x)의 도함수 f"(x)와 그 기하학적 의미에 대해 자세히 연구할 것입니다. 거기서 우리는 간단히 말해서 도함수 f"(x)가 다음의 기울기라는 것을 알게 될 것입니다. 곡선의 접선 와이 = 에프(엑스)(x, y) 지점에서. 매끄러운 곡선의 최대 또는 최소 지점에 있다는 것은 기하학적으로 명백합니다. 와이 = 에프(엑스)곡선의 접선은 반드시 수평이어야 합니다. 즉, 기울기는 0이어야 합니다. 따라서 우리는 극점에 대한 조건을 얻습니다. f"(x) = 0.

도함수 f"(x)가 사라지는 것이 무엇을 의미하는지 명확하게 이해하려면 그림 191에 표시된 곡선을 고려하십시오. 여기서는 곡선의 접선이 수평인 5개의 점 A, B, C, D, ?를 볼 수 있습니다. ; 이 지점에서 f(x)의 해당 값을 다음과 같이 표시하겠습니다. a, b, c, d, e. f(x)의 가장 큰 값(그림에 표시된 영역 내)은 점 D에서 달성되고 점 A에서 가장 작습니다. 점 B에는 최대값이 있습니다. 어떤 동네점 B에서 f(x)의 값은 b보다 작지만 D에 가까운 점에서는 f(x)의 값이 여전히 b보다 큽니다. 이러한 이유로 B 지점에는 다음이 있다고 말하는 것이 관례입니다. 함수의 상대적 최대값 f(x), 반면 점 D에서는 - 절대 최대.같은 방법으로 C점에도 상대적 최소,그리고 A 지점에서 - 절대 최소.마지막으로 점 E의 경우 평등이 여전히 실현되지만 최대값도 최소값도 없습니다. f"(x) = Q, 도함수 f"(x)의 소멸은 다음과 같습니다. 필요한, 하지만 전혀 그렇지 않습니다 충분한매끄러운 함수 f(x)의 극값이 나타나는 조건; 즉, 극단(절대 또는 상대)이 있는 모든 지점에서 평등이 확실히 발생합니다. f"(x) = 0, 그러나 모든 지점에서 그런 것은 아닙니다. f"(x) = 0, 극값이어야 합니다. 극값이 있는지 여부에 관계없이 도함수 f"(x)가 사라지는 지점을 다음과 같이 부릅니다. 변화 없는.추가 분석은 함수 f(x)의 고차 도함수와 관련된 다소 복잡한 조건으로 이어지며 최대값, 최소값 및 기타 고정점을 완전히 특성화합니다.