독립확률변수 x y z가 주어집니다. 종속 및 독립 확률 변수

조건부 유통 법칙. 회귀.

정의. 2차원 확률변수(X, Y)의 1차원 구성요소 중 하나의 조건부 분포 법칙은 다른 구성 요소가 특정 값(또는 특정 간격에 속함)을 취하는 조건 하에서 계산되는 분포 법칙입니다. 이전 강의에서는 이산 확률변수에 대한 조건부 분포를 찾는 방법을 살펴보았습니다. 조건부 확률에 대한 공식도 제공됩니다.

연속확률변수의 경우 조건부 분포 j y (x)와 j X (y)의 확률밀도를 결정하는 것이 필요합니다. 이를 위해 주어진 공식에서 사건의 확률을 "확률 요소"로 대체합니다!

dx와 dy로 축소하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

저것들. 2차원 확률 변수의 1차원 구성 요소 중 하나의 조건부 확률 밀도는 다른 구성 요소의 확률 밀도에 대한 결합 밀도의 비율과 같습니다. 이러한 관계는 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

분포 밀도를 곱하는 정리(규칙)라고 합니다.

조건부 밀도 j y (x) 및 j X (y). "무조건" 밀도의 모든 속성을 갖습니다.

2차원 확률 변수를 연구할 때 1차원 구성 요소 X와 Y의 수치적 특성, 즉 수학적 기대와 분산이 고려됩니다. 연속 확률 변수(X, Y)의 경우 다음 공식에 의해 결정됩니다.

이와 함께 조건부 수학적 기대치 M x (Y) 및 M y (X)와 조건부 분산 D x (Y) 및 DY Y (X)와 같은 조건부 분포의 수치적 특성도 고려됩니다. 이러한 특성은 사건 확률이나 확률 밀도 대신 조건부 확률이나 조건부 확률 밀도가 사용되는 수학적 기대 및 분산의 일반적인 공식을 사용하여 발견됩니다.

X = x에서 확률 변수 Y의 조건부 수학적 기대, 즉 M x (Y)는 x의 함수이며 회귀 함수 또는 간단히 X에 대한 Y의 회귀라고 합니다. 마찬가지로 M Y (X)는 회귀 함수 또는 단순히 Y에 대한 X의 회귀라고 합니다. 이러한 함수의 그래프 각각 회귀선(또는 회귀 곡선) Y by X 또는 X by Y라고 합니다.

종속 및 독립 확률 변수.

정의.확률 변수 X와 Y의 결합 분포 함수 F(x,y)가 이러한 확률 변수의 분포 함수 F 1 (x) 및 F 2 (y)의 곱으로 표시되는 경우 독립 변수라고 합니다.

그렇지 않은 경우 확률 변수 X와 Y를 종속 변수라고 합니다.

인수 x와 y에 대해 동등성을 두 번 미분하면 다음을 얻습니다.

저것들. 독립 연속 확률 변수 X와 Y의 경우 결합 밀도 j(x,y)는 이러한 확률 변수의 확률 밀도 j 1 (x)와 j 2 (y)의 곱과 같습니다.

지금까지 우리는 한 변수의 각 값 x가 다른 변수의 엄격하게 정의된 값에 해당하는 변수 X와 Y 사이의 함수 관계 개념을 접했습니다. 예를 들어, 두 확률변수(특정 기간 동안 고장난 장비의 수와 비용) 사이의 관계는 함수적입니다.

일반적으로 그들은 기능적 의존성보다 덜 심각한 다른 유형의 의존성에 직면합니다.

정의.두 확률변수 사이의 관계는 확률론적(확률적 또는 통계적) 변수 중 하나의 값이 다른 변수의 특정(조건부) 분포에 해당하는 경우라고 합니다.

확률론적(확률론적) 의존성의 경우, 그 중 하나의 값을 알면 다른 값을 정확하게 결정하는 것이 불가능하지만 다른 수량의 분포만 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 장비 고장 횟수와 예방 수리 비용, 사람의 체중과 키, 학생이 TV 프로그램을 시청하고 책을 읽는 데 보낸 시간 등의 관계. 확률적(확률적)입니다.

그림에서. 그림 5.10은 종속확률변수와 독립확률변수 X와 Y의 예를 보여줍니다.

확률 변수 시스템을 연구할 때 항상 의존성의 정도와 성격에 주의를 기울여야 합니다. 이러한 의존성은 다소 뚜렷할 수도 있고, 다소 가까울 수도 있습니다. 어떤 경우에는 확률 변수 간의 관계가 너무 가까워서 한 확률 변수의 값을 알면 다른 확률 변수의 값을 정확하게 나타낼 수 있습니다. 다른 극단적인 경우에는 확률 변수 간의 종속성이 너무 약하고 멀기 때문에 실제로는 독립적인 것으로 간주될 수 있습니다.

독립 확률 변수의 개념은 확률 이론의 중요한 개념 중 하나입니다.

변수의 분포 법칙이 변수가 취하는 값에 의존하지 않는 경우 확률 변수는 확률 변수와 독립적이라고 합니다.

연속 확률 변수의 경우 독립 조건은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

언제든지 .

반대로 에 의존한다면,

.

확률 변수의 의존성 또는 독립성은 항상 상호적이라는 것을 증명해 보겠습니다. 값이 에 의존하지 않는 경우.

실제로 다음 사항에 의존하지 마십시오.

. (8.5.1)

공식 (8.4.4)과 (8.4.5)로부터 다음을 얻을 수 있습니다:

여기서 (8.5.1)을 고려하여 다음을 얻습니다.

Q.E.D.

확률변수의 의존성과 독립성은 항상 상호적이기 때문에 독립 확률변수에 대한 새로운 정의를 내릴 수 있습니다.

무작위 변수는 각각의 분포 법칙이 다른 변수의 값에 의존하지 않는 경우 독립 변수라고 합니다. 그렇지 않으면 수량을 종속이라고 합니다.

독립 연속 확률 변수의 경우 분포 법칙에 대한 곱셈 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다.

, (8.5.2)

즉, 독립 확률 변수 시스템의 분포 밀도는 시스템에 포함된 개별 변수의 분포 밀도의 곱과 같습니다.

조건(8.5.2)은 확률변수의 독립성을 위한 필요충분조건으로 간주될 수 있다.

종종 함수의 형태에 따라 확률 변수가 독립적이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 분포 밀도가 두 함수의 곱으로 분해되면 그 중 하나는 확률 변수에만 의존하고 다른 함수는 확률 변수에만 의존합니다. 독립적입니다.

예. 시스템의 분포 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

.

확률변수와 가 종속변수인지 독립변수인지 확인합니다.

해결책. 분모를 인수분해하면 다음과 같습니다.

.

함수가 두 함수의 곱으로 분할된다는 사실로부터, 그 중 하나는 에만 의존하고 다른 하나는 에만 의존한다는 사실로부터 우리는 수량 과 가 독립이어야 한다는 결론을 내립니다. 실제로 공식 (8.4.2)과 (8.4.3)을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

;

비슷하게

,

우리가 그걸 어떻게 확신할 수 있나요?

그러므로 양과 는 독립적입니다.

위의 확률변수의 의존성 또는 독립성을 판단하는 기준은 시스템의 분포 법칙이 우리에게 알려져 있다는 가정에 기초합니다. 실제로는 그 반대인 경우가 더 많습니다. 시스템의 분배 법칙이 알려져 있지 않습니다. 시스템에 포함된 개별 수량의 분포 법칙만 알려져 있으며, 수량은 독립적이라고 믿을 만한 이유가 있습니다. 그런 다음 시스템의 분포 밀도를 시스템에 포함된 개별 수량의 분포 밀도의 곱으로 쓸 수 있습니다.

무작위 변수의 "의존성"과 "독립성"의 중요한 개념에 대해 자세히 살펴보겠습니다.

확률 이론에서 사용하는 확률 변수의 "독립성" 개념은 수학에서 사용하는 일반적인 변수의 "의존성" 개념과 다소 다릅니다. 실제로, 일반적으로 수량의 "의존성"이란 완전하고 엄격한 소위 기능적 종속성이라는 한 가지 유형의 종속성을 의미합니다. 두 수량 중 하나의 값을 알고 다른 수량의 값을 정확하게 표시할 수 있는 경우 두 수량을 기능적 종속이라고 합니다.

확률 이론에서 우리는 또 다른 보다 일반적인 유형의 의존성, 즉 확률적 또는 "확률론적" 의존성을 접하게 됩니다. 양이 확률적 의존성에 의해 양과 관련되어 있는 경우 의 값을 알면 의 정확한 값을 나타내는 것은 불가능하며, 양이 어떤 값을 취하는지에 따라 달라지는 분포 법칙만 나타낼 수 있습니다.

확률적 관계는 다소 가까울 수 있습니다. 확률적 의존성이 높아질수록 기능적 의존성에 점점 더 가까워진다. 따라서 기능적 의존성은 가장 가까운 확률적 의존성의 극단적이고 제한적인 사례로 간주될 수 있습니다. 또 다른 극단적인 경우는 확률 변수의 완전한 독립성입니다. 이 두 극단적인 경우 사이에는 가장 강한 것부터 가장 약한 것까지 확률적 의존성의 모든 단계가 놓여 있습니다. 실제로 우리가 기능적으로 종속적이라고 생각하는 물리량은 실제로 매우 가까운 확률적 의존성에 의해 연결됩니다. 이러한 양 중 하나의 주어진 값에 대해 다른 양은 실제로 매우 명확한 것으로 간주될 수 있을 정도로 좁은 한계 내에서 변동합니다. 반면에 우리가 실제로 독립적이라고 생각하는 수량은 일종의 상호 의존성에 있는 경우가 많지만 이러한 의존성은 너무 약해서 실용적인 목적에서는 무시할 수 있습니다.

무작위 변수 사이의 확률적 의존성은 실제로 매우 일반적입니다. 확률 변수가 확률적 의존성을 갖는다고 해서 값이 변경되면 값이 매우 특정한 방식으로 변경된다는 의미는 아닙니다. 이는 단지 크기가 변하면 크기도 변하는 경향이 있음을 의미합니다(예: 증가할 때 증가하거나 감소함). 이 추세는 일반적으로 "평균적으로"만 관찰되며 각 개별 사례에서 편차가 가능합니다.

예를 들어, 두 가지 무작위 변수를 고려하십시오. - 무작위로 가져온 사람의 키, - 체중. 분명히 수량과 특정 확률적 관계에 있습니다. 이는 일반적으로 키가 큰 사람이 체중이 더 크다는 사실로 표현됩니다. 이러한 확률적 의존성을 함수적 의존성으로 대체하는 경험적 공식을 만들 수도 있습니다. 예를 들어 이것은 키와 몸무게의 관계를 대략적으로 표현하는 잘 알려진 공식입니다.

두 개의 확률변수 $X$와 $Y$는 다른 확률변수가 취하는 가능한 값에 따라 한 확률변수의 분포 법칙이 변하지 않는 경우 독립이라고 합니다. 즉, 모든 $x$ 및 $y$에 대해 $X=x$ 및 $Y=y$ 이벤트는 독립적입니다. $X=x$ 및 $Y=y$ 사건은 독립이므로, 독립 사건의 확률 곱의 정리에 따라 $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ 오른쪽)\오른쪽)=P \왼쪽(X=x\오른쪽)P\왼쪽(Y=y\오른쪽)$.

실시예 1 . 무작위 변수 $X$는 "Russian Lotto" 복권의 현금 당첨금을 나타내고, 확률 변수 $Y$는 다른 복권 "Golden Key"의 당첨금 당첨금을 나타냅니다. 한 복권의 당첨금은 다른 복권의 당첨금 분배 법칙에 의존하지 않기 때문에 확률 변수 $X,\Y$는 독립적이라는 것이 분명합니다. 무작위 변수 $X,\Y$가 동일한 복권의 당첨금을 나타내는 경우, 분명히 이러한 무작위 변수는 종속적입니다.

실시예 2 . 두 명의 작업자가 서로 다른 작업장에서 일하며 제조 기술과 사용된 원자재에 따라 서로 관련이 없는 다양한 제품을 생산합니다. 교대조당 첫 번째 근로자가 제조한 불량품 수에 대한 분배법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
\ 결함이 있는 \ 제품 수 \ x & 0 & 1 \\
\hline
확률 & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(배열)$

교대조당 2번째 작업자가 생산한 불량품의 개수는 다음의 유통법칙을 따른다.

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
\ 결함이 있는 \ 제품 수 \ y & 0 & 1 \\
\hline
확률 & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(배열)$

교대조당 2명의 근로자가 생산한 불량품 수에 대한 분배 법칙을 찾아보겠습니다.

랜덤 변수 $X$를 교대당 첫 번째 작업자가 생산한 불량 제품 수, $Y$를 교대당 두 번째 작업자가 생산한 불량 제품 수라고 가정합니다. 조건에 따라 확률변수 $X,\Y$는 독립입니다.

교대당 2명의 작업자가 생산한 불량품의 수는 확률변수 $X+Y$입니다. 가능한 값은 $0,\ 1$ 및 $2$입니다. 무작위 변수 $X+Y$가 그 값을 취할 확률을 찾아보겠습니다.

$P\왼쪽(X+Y=0\오른쪽)=P\왼쪽(X=0,\ Y=0\오른쪽)=P\왼쪽(X=0\오른쪽)P\왼쪽(Y=0\오른쪽) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\왼쪽(X+Y=1\오른쪽)=P\왼쪽(X=0,\ Y=1\ 또는\ X=1,\ Y=0\오른쪽)=P\왼쪽(X=0\오른쪽 )P\왼쪽(Y=1\오른쪽)+P\왼쪽(X=1\오른쪽)P\왼쪽(Y=0\오른쪽)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$

$P\왼쪽(X+Y=2\오른쪽)=P\왼쪽(X=1,\ Y=1\오른쪽)=P\왼쪽(X=1\오른쪽)P\왼쪽(Y=1\오른쪽) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

그런 다음 교대당 두 명의 근로자가 제조한 결함 제품 수의 분포 법칙은 다음과 같습니다.

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
\ 불량 \ 제품 수 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
확률 & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hline
\end(배열)$

이전 예에서는 무작위 변수 $X,\Y$에 대해 연산을 수행했습니다. 즉, 해당 변수의 합계 $X+Y$를 찾았습니다. 이제 확률 변수에 대한 연산(덧셈, 차이, 곱셈)에 대한 보다 엄격한 정의를 제공하고 솔루션의 예를 제공하겠습니다.

정의 1. 상수변수 $k$에 의한 확률변수 $X$의 곱 $kX$는 $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\)와 같은 확률로 $kx_i$ 값을 취하는 확률변수이다. \점 ,\ n\ 오른쪽)$.

정의 2. 확률변수 $X$와 $Y$의 합(차이 또는 곱)은 $x_i+y_j$($x_i-y_i$ 또는 $x_i\cdot y_i$) 형식의 가능한 모든 값을 취하는 확률변수입니다. , 여기서 $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, 확률 변수 $X$가 $x_i$ 값을 취하고 $Y$ $y_j$ 값을 취할 확률 $p_(ij)$:

$$p_(ij)=P\왼쪽[\왼쪽(X=x_i\오른쪽)\왼쪽(Y=y_j\오른쪽)\오른쪽].$$

확률 변수 $X,\Y$는 독립이므로 독립 사건에 대한 확률 곱셈 정리에 따르면: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ 오른쪽)= p_i\cdot p_j$.

실시예 3 . 독립 확률 변수 $X,\ Y$는 확률 분포 법칙에 따라 지정됩니다.

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(배열)$

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(배열)$

확률변수 $Z=2X+Y$의 분포 법칙을 공식화해 보겠습니다. 확률변수 $X$와 $Y$의 합, 즉 $X+Y$는 $x_i+y_j$ 형식의 가능한 모든 값을 취하는 확률변수이며, 여기서 $i=1,\2 ,\dots ,\ n$, 확률 변수 $X$가 $x_i$ 값을 취하고 $Y$ $y_j$ 값을 취할 확률 $p_(ij)$: $p_(ij)=P\left [\왼쪽(X=x_i\오른쪽)\왼쪽(Y=y_j\오른쪽)\오른쪽]$. 확률 변수 $X,\Y$는 독립이므로 독립 사건에 대한 확률 곱셈 정리에 따르면: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ 오른쪽)= p_i\cdot p_j$.

따라서 확률 변수 $2X$와 $Y$에 대한 분포 법칙이 있습니다.

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(배열)$

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(배열)$

$Z=2X+Y$ 합계의 모든 값과 그 확률을 쉽게 찾을 수 있도록 각 셀에 합계 $ 값을 왼쪽 모서리에 배치하는 보조 테이블을 구성합니다. Z=2X+Y$, 그리고 오른쪽 모서리에는 무작위 변수 $2X$ 및 $Y$의 해당 값의 확률을 곱한 결과로 얻은 값의 확률입니다.

결과적으로 $Z=2X+Y$ 분포를 얻습니다.

$\begin(배열)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(배열)$