심슨의 공식에 따른 정적분의 값은 다음과 같습니다. 사다리꼴 방식

고등수학과

작성자: Matveev F.I.

확인자: Burlova L.V.

울란우데.2002

1. 수치적 적분법

2. 심슨의 공식 유도

3.기하학적 일러스트레이션

4. 통합 단계 선택

5.예시

1. 수치적 적분법

수치 적분 문제는 적분을 계산하는 것입니다.

일련의 피적분 값을 통해.

표에 명시된 함수, 기본 함수에서 적분을 취하지 않는 함수 등에 대해서는 수치 적분 문제를 풀어야 합니다. 하나의 변수에 대한 함수만 생각해 봅시다.

적분이 필요한 함수 대신 보간 다항식을 적분합니다. 피적분함수를 보간 다항식으로 대체하는 방법을 사용하면 다항식의 매개변수를 사용하여 결과의 ​​정확도를 추정하거나 주어진 정확도를 기반으로 이러한 매개변수를 선택할 수 있습니다.

수치해석법은 피적분함수의 근사법에 따라 조건부로 그룹화될 수 있습니다.

Newton-Cotes 방법은 다항식을 사용하여 함수를 근사하는 것을 기반으로 합니다. 이 클래스의 알고리즘은 다항식의 차수만 다릅니다. 일반적으로 근사 다항식의 노드는 등가 관계입니다.

스플라인 통합 방법은 스플라인 조각별 다항식으로 함수를 근사하는 것을 기반으로 합니다.

대수적 정확도가 가장 높은 방법(가우스 방법)은 주어진(선택한) 노드 수에 대해 최소 적분 오류를 제공하는 특별히 선택된 동일하지 않은 노드를 사용합니다.

몬테카를로 방법은 다중 적분을 계산할 때 가장 자주 사용됩니다. 노드는 무작위로 선택되며 대답은 확률적입니다.

총 오류

잘림 오류

반올림 오류

선택한 방법에 관계없이 수치 적분 과정에서는 적분의 대략적인 값을 계산하고 오류를 추정하는 것이 필요합니다. n-수가 증가할수록 오류는 감소합니다.

세그먼트 파티션. 그러나 이로 인해 반올림 오류가 증가합니다.

부분 세그먼트에서 계산된 적분 값을 합산합니다.

잘림 오류는 피적분 함수의 속성과 부분 세그먼트의 길이에 따라 달라집니다.

2. 심슨의 공식 유도

각 세그먼트 쌍에 대해 2차 다항식을 구성한 다음 이를 통합하고 적분의 가산 속성을 사용하면 심슨 공식을 얻습니다.

세그먼트의 피적분 함수를 고려해 봅시다. 이 피적분 함수를 다음 점과 일치하는 2차 라그랑주 보간 다항식으로 대체하겠습니다.

다음을 통합해 보겠습니다.

심슨의 공식이라고 합니다.

적분으로 얻은 값은 축, 직선, 점을 통과하는 포물선으로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 면적과 일치합니다.

이제 Simpson의 공식을 사용하여 적분 오류를 추정해 보겠습니다. 구간에 연속 도함수가 있다고 가정합니다. . 차이점을 보완해 봅시다

이 두 적분 각각에 평균값 정리를 적용하는 것이 이미 가능합니다. 함수가 첫 번째 적분 구간에서 연속이고 음수가 아니고 두 번째 적분 구간에서는 양수가 아니기 때문입니다(즉, 각 적분 구간에서 부호가 변경되지 않음). 이 간격 중). 그 이유는 다음과 같습니다.

(-는 연속 함수이므로 평균값 정리를 사용했습니다.)

두 번 미분한 후 평균값 정리를 적용하면 다음과 같은 또 다른 표현식을 얻을 수 있습니다.

, 어디

두 추정 모두에서 심슨의 공식은 3차 이하의 다항식에 대해 정확하다는 결론이 나옵니다. 예를 들어 심슨의 공식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

통합 세그먼트가 너무 크면 동일한 부분으로 분할된 다음(가정) 인접한 세그먼트의 각 쌍으로 분할됩니다. ,..., Simpson 공식을 적용합니다. 즉:

심슨의 공식을 일반적인 형태로 작성해 보겠습니다.

심슨 공식의 오류 - 4차 방법:

, (3)

Simpson 방법을 사용하면 너무 높지는 않더라도 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 그렇지 않으면 2차 방법이 더 높은 정확도를 제공할 수 있습니다.

예를 들어, 함수의 경우 for의 사다리꼴 모양은 정확한 결과를 제공하는 반면 Simpson의 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

3. 기하학적 그림

길이가 2h인 선분에서 세 점을 지나는 포물선이 만들어집니다. . OX 축과 직선 사이에 둘러싸인 포물선 아래의 면적은 적분과 같습니다.

심슨 공식 적용의 특별한 특징은 통합 세그먼트의 분할 수가 짝수라는 사실입니다.

분할의 세그먼트 수가 홀수인 경우 처음 3개 세그먼트에 대해 피적분 함수를 근사화하기 위해 처음 4개 점을 통과하는 3차 포물선을 사용하는 공식을 적용해야 합니다.

(4)

이것이 심슨의 8분의 3 공식입니다.

임의의 통합 세그먼트의 경우 공식 (4)가 "계속"될 수 있습니다. 이 경우 부분 세그먼트의 수는 3(포인트)의 배수여야 합니다.

, m=2,3,... (5)

전체 부분

더 높은 차수의 Newton-Cotes 공식을 얻을 수 있습니다.

(6)

파티션 세그먼트 수

사용된 다항식의 차수입니다.

점에서 차수의 미분 ;

분할 단계.

표 1은 계수를 보여줍니다. 각 라인은 k차 다항식을 구성하기 위해 노드별로 한 세트의 간격에 해당합니다. 더 많은 세트(예: k=2 및 n=6)에 대해 이 방식을 사용하려면 계수를 "계속"한 다음 추가해야 합니다.

표 1:

사다리꼴 및 심슨 공식의 오류를 추정하는 알고리즘은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

적분 방법과 피적분 함수에 따른 계수는 어디에 있습니까?

h - 통합 단계;

p - 메소드 순서.

Runge의 법칙은 h 단계와 kh 단계로 적분을 두 번 계산하여 오류를 계산하는 데 사용됩니다.

(8) - 사후 추정. 그런 다음 Iref.= +Ro (9), 적분의 정제된 값입니다.

방법의 순서를 알 수 없는 경우 step 을 사용하여 I를 세 번째로 계산해야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

세 가지 방정식의 시스템에서:

미지수 I, A, p를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

(10)부터 다음과 같다 (11)

따라서 필요한 횟수만큼 이중 계산 방법을 사용하면 주어진 정확도로 적분을 계산할 수 있습니다. 필요한 파티션 수가 자동으로 선택됩니다. 이 경우 해당 방법의 알고리즘을 변경하지 않고도 해당 통합 방법의 서브루틴을 여러 번 호출할 수 있습니다. 그러나 동일하게 관련된 노드를 사용하는 방법의 경우 이전 적분 구간의 여러 분할 동안 누적된 적분 합을 사용하여 알고리즘을 수정하고 피적분 함수의 계산 횟수를 절반으로 줄이는 것이 가능합니다. 단계 및 사다리꼴 방법을 사용하여 계산된 적분의 두 가지 대략적인 값은 다음과 같은 관계로 관련됩니다.

마찬가지로 단계 및 가 포함된 공식을 사용하여 계산된 적분의 경우 다음 관계가 성립합니다.

,

(13)

4. 통합 단계 선택

적분 단계를 선택하려면 나머지 항의 표현을 사용할 수 있습니다. 예를 들어 Simpson 공식의 나머지 부분을 살펴보겠습니다.

ê ê이면 ê ê .

통합 방법의 주어진 정확도 e를 기반으로 마지막 부등식에서 적절한 단계를 결정합니다.

, .

그러나 이 방법에는 평가가 필요합니다(실제로 항상 가능한 것은 아닙니다). 따라서 정확도 추정을 결정하기 위해 다른 방법을 사용하여 계산 중에 원하는 단계 h를 선택할 수 있습니다.

이러한 기술 중 하나를 살펴보겠습니다. 허락하다

,

는 step 적분의 대략적인 값입니다. 세그먼트를 두 개의 동일한 부분과 ()로 나누어 단계를 절반으로 줄이겠습니다.

이제 이 값이 너무 빨리 변하지 않고 거의 일정하다고 가정해 보겠습니다. 그 다음에 그리고 , 어디 , 즉 .

이것으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, , , a가 필요한 정확도이면 이 단계는 충분한 정확도로 적분을 계산하는 데 적합합니다. 그렇다면 계산이 단계적으로 반복된 다음 비교됩니다. 이 규칙을 Runge의 규칙이라고 합니다.

그러나 Runge의 규칙을 적용할 때는 계산 오류의 크기를 고려해야 합니다. 오류가 감소하면 적분 계산의 절대 오류가 증가하고(의존성은 반비례함) 충분히 작으면 방법의 오류보다 더 클 수 있습니다. 를 초과하면 Runge의 규칙을 이 단계에 적용할 수 없으며 원하는 정확도를 얻을 수 없습니다. 그러한 경우에는 값을 증가시킬 필요가 있습니다.

Runge의 규칙을 도출할 때 기본적으로 다음과 같은 가정을 사용했습니다. 값 테이블만 있는 경우 테이블에서 직접 "불변성" 검사를 수행할 수 있습니다. 위 알고리즘을 추가로 개발하면 적응형 알고리즘으로 이동할 수 있습니다. 적분 세그먼트에서는 속성에 따라 피적분 함수의 계산 횟수가 줄어듭니다.

적분 값을 정제하는 또 다른 방식은 Eithnen 프로세스입니다. 적분은 단계적으로 계산됩니다. 값을 계산하는 중입니다. 그 다음에 (14).

Simpson 방법의 정확도 측정은 다음과 같습니다.

5. 예시

예시 1.표에 주어진 경우 심슨의 공식을 사용하여 적분을 계산합니다. 오류를 추정하십시오.

표 3.

해결 방법: 과 적분에 대해 공식 (1)로 계산해 보겠습니다.

Runge의 규칙에 따르면 우리는 Accept를 얻습니다.

예시 2.적분 계산 .

해결책: 우리는 . 따라서 h==0.1입니다. 계산 결과는 표 4에 나와 있습니다.

표 4.

심슨의 공식을 사용한 적분 계산

		y0=1.00000; -0.329573ê£ 3. Simpson 방법의 오류 추정치는 =0.1의 경우 £ 0.0000017, =0.05의 경우 £ 0.0000002입니다. 반올림 오류로 인해 Simpson 공식의 정확한 결과가 왜곡되는 것을 방지하기 위해 모든 계산은 소수점 6자리로 수행되었습니다. 최종 결과:

정적분을 계산할 때 항상 정확한 해를 얻을 수는 없습니다. 기본 함수 형태로 표현하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 뉴턴-라이프니츠 공식은 계산에 적합하지 않으므로 수치적분법을 사용해야 합니다. 이 방법을 사용하면 높은 정확도로 데이터를 얻을 수 있습니다. 심슨의 방법이 바로 그것이다.

이를 위해서는 공식 도출을 그래픽으로 표현해야 합니다. 다음은 Simpson 방법을 이용한 절대오차 추정에 대한 기록이다. 결론적으로 Simpson, 직사각형, 사다리꼴의 세 가지 방법을 비교해 보겠습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

포물선 방법 – 본질, 공식, 평가, 오류, 일러스트레이션

y = f (x) 형식의 함수가 주어지며, 이는 구간 [ a ; b ] , 정적분 ∫ a b f (x) d x 를 계산해야 합니다.

세그먼트 [a; b ] x 2 i - 2 형식의 n 세그먼트로 ; x 2 나는 , 나는 = 1 , 2 , . . . , 길이가 2인 n h = b - a n 및 점 a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

각 간격 x 2 i - 2 ; x 2 나는 , 나는 = 1 , 2 , . . . , 피적분 함수의 n은 x 2 i - 2 좌표를 갖는 점을 통과하는 y = a i x 2 + b i x + c i로 정의된 포물선을 사용하여 근사화됩니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f(x2i) . 이것이 바로 메소드에 이 이름이 붙은 이유입니다.

이러한 작업은 적분 ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x 를 대략적인 값 ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x 로 취하기 위해 수행됩니다. Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 이것이 포물선 방법의 본질입니다. 아래 그림을 고려하십시오.

포물선 방법의 그래픽 일러스트레이션(Simpson)

빨간색 선을 사용하여 함수 y = f(x)의 그래프를 나타내고, 파란색 선은 2차 포물선을 사용한 그래프 y = f(x)를 근사한 것입니다.

정적분의 다섯 번째 속성에 기초하여, 우리는 ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ∫ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x를 얻습니다. 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

포물선 방법을 사용하여 공식을 얻으려면 다음을 계산해야 합니다.

∫ x 2 i - 2 x 2 i (ai x 2 + b i x + c i) d x

x 2 i - 2 = 0 이라고 가정합니다. 아래 그림을 고려하십시오.

좌표가 x 2 i - 2 인 점을 통해 이를 묘사해 보겠습니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f (x 2 i)는 y = a i x 2 + b i x + c i 형식의 하나의 2차 포물선을 통과할 수 있습니다. 즉, 계수가 한 가지 방법으로만 결정될 수 있음을 증명해야 합니다.

우리는 x 2 i - 2 를 가지고 있습니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f (x 2 i)는 포물선의 점이므로 제시된 각 방정식은 유효합니다. 우리는 그것을 얻습니다

a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + ci = f (x 2 i)

결과 시스템은 a i, bi, c i에 대해 해결되며, 여기서 Vandermonde에 따라 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , 이는 0이 아닌 것으로 간주되며 다음과 일치하지 않습니다. 점 x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . 이는 방정식에 단 하나의 해만 있고 선택된 계수 a i 가 있다는 표시입니다. 비 나는 ; c i는 x 2 i - 2 점을 통해서만 독특한 방식으로 결정될 수 있습니다. f (x 2 나는 - 2) , x 2 나는 - 1 ; x 2 나는 - 1 , x 2 나는 ; f (x 2 i) 단 하나의 포물선만 통과할 수 있습니다.

우리는 적분 ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + ci) d x를 찾는 것으로 진행할 수 있습니다.

그것은 분명하다

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i

마지막 전환을 수행하려면 다음 형식의 부등식을 사용해야 합니다.

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

따라서 포물선 방법을 사용하여 공식을 얻습니다.

∫ a b f (x) d x ∑ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

정의 1

심슨 방법의 공식은 ∫ a b f (x) d x ∑ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f(x2n) .

절대 오차를 추정하는 공식은 δn ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

포물선법을 사용한 정적분의 근사 계산 예

Simpson의 방법에는 정적분의 대략적인 계산이 포함됩니다. 대부분 이 방법을 적용할 수 있는 문제에는 두 가지 유형이 있습니다.

• 정적분의 대략적인 계산에서;
• δn의 정확도로 근사값을 찾을 때.

계산의 정확도는 n 값의 영향을 받으며, n이 높을수록 중간 값이 더 정확해집니다.

실시예 1

Simpson의 방법을 사용하여 정적분 ∫ 0 5 x d x x 4 + 4를 계산하고 적분 세그먼트를 5개 부분으로 나눕니다.

해결책

조건에 따라 a = 0인 것으로 알려져 있습니다. b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.

그런 다음 Simpson의 공식을 다음 형식으로 작성합니다.

∫ a b f (x) d x ∑ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

이를 완전히 적용하려면 h = b - a 2 n 공식을 사용하여 단계를 계산하고 x i = a + i · h, i = 0, 1, … . . , 2 n 및 적분 함수 f (x i) , i = 0 , 1 , 의 값을 찾습니다. . . , 2n .

중간 계산은 5자리로 반올림되어야 합니다. 값을 대체하고 얻자

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

포인트에서 함수의 값을 찾아보자

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f(x 0) = f(0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≒ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≒ 0. 00795

명확성과 편의성은 아래 표에 나와 있습니다.

나	0	1	2	3	4	5
x 나는	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
fxi	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

나	6	7	8	9	10
x 나는	3	3 . 5	4	4 . 5	5
fxi	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

결과를 포물선 방법의 공식으로 대체해야 합니다.

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ∑ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≒ 0 . 37171

계산을 위해 우리는 Newton-Leibniz를 사용하여 계산할 수 있는 정적분을 선택했습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≒ 0 . 37274

답변:결과는 최대 100분의 1까지 일치합니다.

실시예 2

Simpson의 방법을 사용하여 0.001의 정확도로 부정 적분 ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x를 계산합니다.

해결책

조건에 따라 a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0이 됩니다. 001. n의 값을 결정해야 합니다. 이를 수행하려면 δn ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

n의 값을 찾으면 불평등 m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001이 실행됩니다. 그런 다음 포물선 방법을 사용하면 계산 오류가 0을 초과하지 않습니다. 001. 마지막 불평등은 다음과 같은 형태를 취합니다.

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

이제 우리는 4차 도함수의 계수가 취할 수 있는 가장 큰 값이 무엇인지 알아내야 합니다.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

정의 영역 f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 는 구간 - 81 16 에 속합니다. 81 16, 통합 세그먼트 자체 [0; π)는 극한점을 가지며, 이는 m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

우리는 다음과 같이 대체합니다.

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

우리는 n이 자연수이고 그 값이 n = 5, 6, 7과 같을 수 있다는 것을 알았습니다. 먼저 n = 5라는 값을 취해야 합니다.

이전 예와 유사한 작업을 수행합니다. 단계를 계산해야 합니다. 이를 위해

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

노드 x i = a + i · h, i = 0, 1, 을 찾아보겠습니다. . . , 2 n 이면 피적분 함수의 값은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≒ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≒ - 0. 5 7 π 10

4π5 9π10 π 에프 (엑스 나는) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

포물선 방법을 사용하여 값을 솔루션 공식에 대체하는 것이 남아 있으며 우리는 다음을 얻습니다.

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≒ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

심슨의 방법을 사용하면 정적분 ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≒ 2의 ​​근사값을 얻을 수 있습니다. 237의 정확도는 0.001입니다.

Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산하면 결과적으로 얻습니다.

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≒ 2. 237463

답변:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2d x ≒ 2 . 237

논평

대부분의 경우 m a x [ a ; b ] f (4) (x)는 문제가 있습니다. 따라서 포물선 방법이라는 대안이 사용됩니다. 그 원리는 사다리꼴 방법 섹션에서 자세히 설명됩니다. 포물선 방법은 적분을 푸는 데 선호되는 방법으로 간주됩니다. 계산 오류는 결과 n에 영향을 미칩니다. 값이 작을수록 대략적인 필요한 숫자가 더 정확해집니다.

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포물선 방법 (Simpson) - 방법의 본질, 공식, 오류 추정, 일러스트레이션.

함수 y = f(x)가 구간에서 연속이라고 가정하고 정적분을 계산해야 합니다.

세그먼트를 포인트별로 길이가 n개의 기본 세그먼트로 나누겠습니다. 점을 각각 세그먼트의 중간점으로 둡니다. 이 경우 모든 "노드"는 동등성으로 결정됩니다.

포물선 방법의 본질.

각 간격에서 피적분 함수는 2차 포물선으로 근사화됩니다. 포인트를 통과합니다. 따라서 방법의 이름은 포물선 방법입니다.

이는 정적분의 대략적인 값을 취하기 위해 수행됩니다. , 이는 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 이게 전부야 포물선법의 본질.

기하학적으로 다음과 같습니다.

포물선 방법의 그래픽 그림(Simpson).

빨간색 선은 함수 y=f(x)의 그래프를 보여주고, 파란색 선은 파티션의 각 기본 세그먼트에 있는 2차 포물선에 의한 함수 y=f(x) 그래프의 근사치를 보여줍니다.

심슨 방법(포물선)에 대한 공식 유도.

정적분의 다섯 번째 속성 덕분에 우리는 다음을 갖습니다.

포물선법(Simpson)에 대한 공식을 얻으려면 다음을 계산하면 됩니다. .

하자(i = 1, 2, ..., n에 대해 적절한 기하학적 이동 변환을 수행하여 항상 이에 도달할 수 있습니다).

그림을 그려보자.

단 하나의 2차 포물선만이 두 점을 통과한다는 것을 보여드리겠습니다. . 즉, 계수가 고유한 방식으로 결정된다는 것을 증명합니다.

은 포물선의 점이므로 시스템의 각 방정식은 유효합니다.

서면 방정식 시스템은 미지 변수에 대한 선형 대수 방정식 시스템입니다. 이 방정식 시스템의 주요 행렬의 행렬식은 Vandermonde 행렬식입니다. , 일치하지 않는 점의 경우 0이 아닙니다. . 이는 방정식 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 나타냅니다(이 내용은 기사에서 설명됨). 즉, 계수가 고유한 방식으로 결정되고 단일 2차 포물선이 해당 점을 통과합니다.

적분을 찾는 것으로 넘어 갑시다 .

확실히:

우리는 이러한 평등을 사용하여 다음 평등 체인의 마지막 전환을 만듭니다.

따라서 포물선 방법에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

심슨법 공식(포물선)처럼 보인다
.

Simpson 방법의 절대 오차 추정.

심슨 방법의 절대 오류다음과 같이 추정된다 .

Simpson 방법(포물선)에 의한 정적분의 대략적인 계산 예.

정적분의 대략적인 계산에서 Simpson 방법(포물선)의 사용을 살펴보겠습니다.

일반적으로 작업에는 두 가지 유형이 있습니다.

논리적인 질문이 생깁니다: "중간 계산을 어느 정도의 정확도로 수행해야 합니까?"

대답은 간단합니다. 중간 계산의 정확성이 충분해야 합니다. 중간 계산은 크기보다 3~4배 더 높은 정확도로 수행되어야 합니다. 또한 중간 계산의 정확도는 n 수에 따라 달라집니다. n이 클수록 중간 계산이 더 정확하게 수행되어야 합니다.

예.

적분 세그먼트를 5개 부분으로 나누어 Simpson의 방법을 사용하여 정적분을 계산합니다.

해결책.

조건으로부터 우리는 a = 0임을 알 수 있습니다. b = 5; n = 5; .

심슨법(포물선)의 공식은 입니다. 이를 적용하려면 단계를 계산하고 노드를 결정하고 해당 피적분 함수 값을 계산해야 합니다. .

4자리(5번째 자리에서 반올림됨)의 정확도로 중간 계산을 수행합니다.

그럼 단계를 계산해보자 .

노드와 그 안에 있는 함수 값으로 이동해 보겠습니다.

명확성과 편의를 위해 결과를 표로 요약합니다.

얻은 결과를 포물선 방법의 공식으로 대체합니다.

우리는 결과를 비교하기 위해 특별히 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산할 수 있는 정적분을 취했습니다.

결과는 가장 가까운 100분의 1과 일치합니다.

예.

정적분 계산 정확도가 0.001인 Simpson 방법입니다.

해결책.

우리의 예에서 a = 0, .

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 n을 결정하는 것입니다. 이를 위해 Simpson 방법의 절대 오차를 추정하기 위한 부등식을 살펴보겠습니다. 불평등이 유지되는 n을 찾으면 다음과 같이 말할 수 있습니다. , 포물선 방법을 사용하여 원래의 정적분을 계산할 때 절대 오차는 0.001을 초과하지 않습니다. 마지막 부등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. .

적분 세그먼트에서 피적분 함수의 4차 미분 계수의 가장 큰 값이 무엇인지 알아 보겠습니다.

는 간격이고 통합 세그먼트에는 극한점이 포함되어 있으므로 .

발견된 값을 부등식에 대입하여 해결합니다.

왜냐하면 n은 자연수(적분 세그먼트가 분할되는 세그먼트 수와 동일함)이면 n = 5, 6, 7, ...을 취할 수 있습니다. 불필요한 계산을 하지 않기 위해 n = 5를 취합니다. .

이제 이전 예제와 같이 진행합니다. 중간 계산에서는 6차까지 반올림을 수행합니다.

단계를 계산 .

우리는 노드와 피적분 함수의 값을 찾습니다.

계산 결과를 테이블로 결합합니다.

포물선 방법의 공식에 값을 대입합니다.

따라서 Simpson의 방법을 사용하여 정적분의 근사값을 얻었습니다. 0.001의 정확도로.

실제로 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 원래 적분을 계산하면 다음을 얻습니다.

논평.

찾기가 어려운 경우가 많습니다. 포물선 방법을 사용하는 다른 방법을 사용하여 이 문제를 해결할 수 있습니다. 그 원리는 사다리꼴 방법 섹션에 설명되어 있으므로 반복하지 않겠습니다.

수치 적분에는 어떤 방법을 사용해야 합니까?

Simpson 방법(포물선)의 정확도는 주어진 n에 대한 직사각형 및 사다리꼴 방법의 정확도보다 높으므로(절대 오차 추정에서 볼 수 있음) 이를 사용하는 것이 바람직합니다.

큰 n의 결과에 대한 계산 오류의 영향을 기억해야 합니다. 이는 대략적인 값을 정확한 값에서 멀어지게 할 수 있습니다.

이 방법은 점을 통과하는 포물선으로 부분 세그먼트의 피적분 함수를 근사화하는 것을 제안합니다.
(xj, f(xj)), 어디 j = 나-1; 나-0.5; 나즉, 2차 라그랑주 보간 다항식으로 피적분 함수를 근사화합니다.

(10.14)

통합을 수행한 후 다음을 얻습니다.

(10.15)

이것이다 심슨의 공식 또는 포물선 공식. 세그먼트에서
[에, 비] 심슨의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(10.16)

Simpson 방법의 그래픽 표현이 그림 1에 나와 있습니다. 2.4.

쌀. 10.4.심슨 방법

변수를 다시 지정하여 식(2.16)에서 분수 인덱스를 제거해 보겠습니다.

(10.17)

그러면 심슨의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(10.18)

식 (2.18)의 오류는 다음 식으로 추정됩니다.

, (10.19)

어디 h·n = b-a, . 따라서 Simpson 공식의 오류는 다음에 비례합니다. 영형(시간 4).

논평.심슨의 공식에서 통합 세그먼트는 반드시 다음과 같이 나누어진다는 점에 유의해야 합니다. 심지어간격 수.

10.5. 방법에 따른 정적분 계산
몬테카를로

앞에서 설명한 방법을 호출합니다. 결정론적인 즉, 우연의 요소가 없습니다.

몬테카를로 방법(MMK)는 확률변수 모델링을 사용하여 수학적 문제를 해결하기 위한 수치적 방법입니다. MMC를 사용하면 확률적 프로세스로 인해 발생하는 수학적 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다. 또한 확률과 관련되지 않은 문제를 해결할 때 이러한 문제를 해결할 수 있는 확률 모델(및 둘 이상)을 인위적으로 생각해 낼 수 있습니다. 정적분의 계산을 고려해보세요

(10.20)

직사각형 공식을 사용하여 이 적분을 계산할 때 간격 [ 에, 비]로 분할 N동일한 간격, 그 중간에 피적분 값이 계산되었습니다. 임의의 노드에서 함수 값을 계산하면 보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

(10.21)

(10.22)

여기서 γi는 구간에 걸쳐 균일하게 분포된 난수입니다.
. MMC 적분을 계산할 때의 오류는 ~ 이며 이는 이전에 연구된 결정론적 방법의 오류보다 훨씬 큽니다.

그림에서. 그림 2.5는 무작위 노드 (2.21) 및 (2.22)를 사용하여 단일 적분을 계산하기 위한 몬테카를로 방법의 그래픽 구현을 보여줍니다.

(2.23)

쌀. 10.6.몬테카를로법에 의한 적분(두 번째 경우)

그림에서 볼 수 있듯이. 2.6에서 적분 곡선은 단위 정사각형에 있으며 구간에 균일하게 분포된 난수 쌍을 얻을 수 있으면 결과 값(γ 1, γ 2)은 점의 좌표로 해석될 수 있습니다. 단위 광장에서. 그런 다음 이러한 숫자 쌍을 상당히 많이 얻으면 대략 다음과 같이 가정할 수 있습니다.
. 여기 에스는 곡선 아래에 있는 점 쌍의 수입니다. N– 숫자 쌍의 총 개수입니다.

예제 2.1.다음 적분을 계산합니다.

다양한 방법을 사용하여 문제를 해결했습니다. 얻은 결과는 표에 요약되어 있습니다. 2.1.

표 2.1

논평.테이블 적분을 선택함으로써 각 방법의 오류를 비교하고 파티션 수가 계산 정확도에 미치는 영향을 확인할 수 있었습니다.

11 비선형의 근사해
그리고 초월 방정식

심슨 방법의 핵심은 2차 p2(x)의 보간 다항식으로 세그먼트의 피적분 함수를 근사화하는 것입니다. 즉, 포물선으로 세그먼트의 함수 그래프를 근사화합니다. 세 개의 점이 피적분 함수를 보간하는 데 사용됩니다.

임의의 적분을 생각해 봅시다. 대신 통합 세그먼트의 경계가 [-1,1]이 되도록 변수 변경을 사용해 보겠습니다. 이렇게 하려면 변수 z를 도입합니다.

세 개의 등거리 노드 점 z = -1, z = 0, z = +1을 노드로 사용하여 피적분 함수를 보간하는 문제를 고려해 보겠습니다(단계는 1, 적분 세그먼트의 길이는 2). 보간 노드에서 피적분 함수의 해당 값을 표시해 보겠습니다.

세 점 (-1, f-1), (0, f0) 및 (1, f-+1)을 통과하는 다항식의 계수를 찾는 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

계수는 쉽게 얻을 수 있습니다.

이제 보간 다항식의 적분 값을 계산해 보겠습니다.

변수를 역으로 변경하면 원래 적분으로 돌아갑니다. 다음 사항을 고려해보자:

해당

해당

해당

임의의 적분 구간에 대한 Simpson의 공식을 얻습니다.

결과 값은 x 축, 직선 x = x0, x = x2 및 점을 통과하는 포물선으로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 영역과 일치합니다.

필요한 경우 원래 통합 세그먼트를 N 개의 이중 세그먼트로 나눌 수 있으며 각 세그먼트에는 Simpson 공식이 적용됩니다. 보간 단계는 다음과 같습니다.

통합의 첫 번째 세그먼트의 경우 보간 노드는 점 a, a+h, a+2h가 되고, 두 번째 a+2h, a+3h, a+4h, 세 번째 a+4h, a+5h, a+의 경우 6시간 등 적분의 대략적인 값은 N 영역을 합산하여 얻습니다.

적분 수치법 심슨

이 합계에는 동일한 용어가 포함됩니다(인덱스 값이 짝수인 내부 노드의 경우 - 2i). 따라서 이 합계의 항을 다음과 같이 재배열할 수 있습니다.

우리가 얻는 것을 고려하면:

이제 Simpson의 공식을 사용하여 적분 오류를 추정해 보겠습니다. 구간의 함수에는 연속 도함수가 있다고 가정합니다. 차이를 만들어 봅시다:

이 차이에 평균값 정리를 연속적으로 적용하고 R(h)를 미분하면 Simpson 방법의 오류를 얻습니다.

이 방법의 오류는 적분 단계의 길이에 따라 4승에 비례하여 감소합니다. 즉, 간격 수가 두 배로 늘어나면 오류는 16배로 감소합니다.

장점과 단점

Simpson 및 Newton-Cotes 공식은 연속적으로 미분 가능한 함수에 대해 충분한 횟수의 정적분을 계산하는 데 유용한 도구입니다. 따라서 4차 도함수가 너무 크지 않다면 Simpson의 방법을 사용하면 상당히 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 동시에 대수적 정확도 순서는 3이고 Simpson의 공식은 3도 이하의 다항식에 대해 정확합니다.

또한 Newton-Cotes 방법, 특히 Simpson 방법은 피적분 함수의 매끄러움에 대한 선험적 정보가 없는 경우에 가장 효과적입니다. 피적분 함수가 표에 주어졌을 때.