Ceną pieniądza jest opłata za czasowe korzystanie z pieniędzy „obcych”, ustalana w formie odsetek prostych lub składanych; Odsetki - jest to dochód z tytułu udostępnienia kapitału zadłużonego, czyli opłata pieniężna pobierana za korzystanie z pieniędzy. Jeśli odsetki mają wartość, zwykle nazywa się je pieniędzmi odsetkowymi. Pożyczając dziś pieniądze, właściciel naraża się na ryzyko ich niezwrócenia, czyli braku dochodów z ewentualnych inwestycji i ogranicza swoją płynność finansową. Dlatego stara się zrekompensować straty - uzyskać dochód z pożyczania pieniędzy. Dochód ten nazywany jest pieniędzmi odsetkowymi.

Oprocentowanie– wartość charakteryzująca intensywność naliczania odsetek.

Okres odsetkowy– okres, za który naliczane są odsetki (okres, na jaki przekazywane są pieniądze).

Interwał naliczania– minimalny okres, po którym naliczane są odsetki.

Istnieją dwa sposoby obliczania odsetek: dekursywny i antycypacyjny.

Dekursywna metoda naliczania odsetek– podwyższenie kwoty początkowej o oprocentowanie. Odsetki (a dokładniej odsetki) są płacone na końcu każdy okres naliczania.

Dekursywna stopa procentowa (i), zwana odsetkami od pożyczki,- jest to stosunek kwoty dochodu naliczonego za dany przedział, wyrażony w procentach I(odsetek) do kwoty dostępnej na początku tego przedziału – P.

Zwiększenie (wzrost) początkowej kwoty zadłużenia– zwiększenie kwoty zadłużenia poprzez doliczenie naliczonych odsetek.

S = P + I, (4.1)

Ja = S – P, (4.2)

Gdzie S– zgromadzona kwota.

Współczynnik przyrostu K n definiuje się następująco:

Oprocentowanie I to wartość względna, mierzona w ułamkach jednostki i ustalana poprzez podzielenie kwoty odsetek przez kwotę pierwotną.

. (4.4)

Wzór na obliczenie stopy procentowej jest identyczny jak przy obliczaniu wskaźnika statystycznego „stopa wzrostu”.

Ustalenie naliczonej kwoty S zwany mieszanie . Ustalenie kwoty początkowej R – dyskontowanie.

Dzień otrzymania i dzień ostatecznej spłaty pożyczki uważa się za jeden dzień (dzień graniczny). Odsetki od kredytów i depozytów naliczane są zazwyczaj codziennie. W tym przypadku można zastosować albo dokładną liczbę dni w roku (360/365), albo numer banku (30 dni).

Na antyseptyczna metoda naliczania odsetek (wstępna) odsetki płatne są na początku okresu, za który odsetki są naliczane. Przykład: odsetki naliczane przez bank przy dyskontowaniu weksli; za kredyt faktoringowy itp. Kwota otrzymanej pożyczki jest kwotą naliczoną S. Na tej podstawie naliczane są odsetki. Kredytobiorca otrzymuje kwotę pożyczki pomniejszoną o odsetki.

Różnica między kwotą pożyczki S i wyemitowaną kwotę R zwany rabatem, oznaczony przez D i reprezentuje kwotę odsetek.

D = S – P. (4.5)

Stopa dyskonta wyrażona w ułamkach jednostki i ustalana poprzez podzielenie kwoty rabatu przez kwotę R, zwany stopa dyskontowa D .

. (4.6)

Można zauważyć, że wysokość odsetek I oraz kwotę rabatu D są definiowane w ten sam sposób. Jednak w pierwszym przypadku mówimy o wzroście wartości bieżącej, swego rodzaju „narzutie”, czyli ustalaniu przyszłej wartości „dzisiejszych pieniędzy”. W drugim przypadku ustalana jest bieżąca wartość przyszłego pieniądza, czyli od wartości przyszłej ustalany jest „rabat” (diskont po niemiecku oznacza „rabat”).

Najczęściej metodę wyprzedzającą stosuje się do celów czysto technicznych - przy dyskontowaniu, a także przy rozliczaniu weksli w banku i przy opłacaniu usług faktoringowych. We wszystkich innych przypadkach dekursywna metoda obliczania odsetek jest bardziej powszechna w praktyce światowej.

Metodę antycypacyjną stosuje się w krajach o rozwiniętej gospodarce rynkowej w okresach wysokiej inflacji, gdyż wzrost metody antycypacyjnej następuje w szybszym tempie niż przy metodzie dekursywnej.

W praktyce gospodarczej Republiki Białorusi obecnie stosowana jest głównie dekursywna metoda naliczania odsetek prostych. Odsetki od rachunków naliczane są zgodnie z umową pomiędzy bankiem a klientem. Na rachunkach do transakcji kredytowych i depozytowych odsetki naliczane są za okres obejmujący dzień udzielenia kredytu lub wpływu środków na lokatę oraz dzień poprzedzający spłatę kredytu lub wydanie lokaty (zamknięcie rachunku). W przypadku zmiany stopy procentowej odsetki naliczane są według nowej stopy procentowej z dnia jej ustalenia.

Po przeczytaniu tego rozdziału będziesz wiedział:

• o metody dekursywne i antycypacyjne;
• o biorąc pod uwagę wpływ inflacji.

Obliczanie wartości przedsiębiorstwa (biznesu), podobnie jak większość obliczeń ekonomicznych, opiera się na naliczaniu odsetek metodą dekursywną lub antycypacyjną (wstępną) oraz teorii rent.

Odsetki- to dochód w różnej formie z tytułu udostępnienia środków finansowych (kapitału) w postaci długu lub inwestycji.

Oprocentowanie- wskaźnik charakteryzujący wysokość dochodów lub intensywność naliczania odsetek.

Współczynnik przyrostu- wartość obrazującą stosunek zgromadzonego kapitału zakładowego.

Okres rozliczeniowy- okres, po jakim naliczane są odsetki (uzyskuje się dochód). Okres naliczania można podzielić na okresy naliczania.

Interwał naliczania- minimalny okres, po którym naliczana jest część odsetek. Odsetki można naliczać na koniec okresu naliczania (metoda dekursywna) lub na początku (metoda antycypacyjna lub wstępna).

Metoda dekursywna

Dekursywna stopa procentowa (odsetki od kredytu) to stosunek kwoty dochodu naliczonego za dany okres do kwoty dostępnej na początku tego okresu.

Jeżeli po naliczeniu dochodu za dany okres dochód ten jest wypłacany, a w następnym okresie dochód odsetkowy naliczany jest od pierwotnej kwoty, wówczas stosuje się formułę memoriałową proste stopy procentowe.

Jeśli wpiszesz zapis:

I (%) - roczna stopa oprocentowania kredytu (dochód); I - względna wartość rocznej stopy procentowej; I - kwota odsetek zapłacona za okres (rok);

P - łączna kwota odsetek za cały okres naliczania;

R - kwota pierwotnej kwoty pieniędzy (wartość bieżąca);

F- naliczona kwota (wartość przyszła);

k n - czynnik wzrostu;

P - liczba okresów rozliczeniowych (lata);

D- czas trwania okresu naliczania w dniach;

DO - długość roku w dniach K. = 365 (366), wówczas dekursywna stopa procentowa (i):

Stąd (6.1)

Następnie współczynnik wzrostu:

Jeśli przedział wzrostu jest krótszy niż jeden okres (rok), to

Ustalenie wysokości naliczonej kwoty F (przyszła wartość). mieszanie (mieszanie).

Przykład. Kredyt 25 000 rub. emitowane na okres 3 lat przy zwykłej stopie procentowej wynoszącej 12% rocznie. Określ naliczoną kwotę.

Zgodnie ze wzorem (6.1):

Przykład. Kredyt 25 000 rub. emitowany na 182 dni, czyli rok zwyczajny, z prostą stopą procentową wynoszącą 12% w skali roku. Ustal naliczoną kwotę.

Zgodnie ze wzorem (6.2):

Czasami zachodzi potrzeba rozwiązania problemu odwrotnego: określenie wartości kwoty początkowej (bieżącej, obniżonej). R (wartość bieżąca), wiedząc, jaka powinna być skumulowana kwota F (przyszła wartość):

Ustalenie wartości kwoty początkowej (bieżącej, obniżonej). R (wartość bieżąca) nazywa się dyskontowanie (dyskontowanie).

Przykład. Po 3 latach musisz mieć kwotę 16 500 rubli. Jaką kwotę w tym przypadku należy wpłacić według prostej stawki 12% rocznie.

Przekształcając wzory 6.1-6.3, możemy otrzymać

Stopy procentowe mogą się zmieniać od czasu do czasu.

Jeśli w różnych okresach rozliczeniowych P , P 2 ,..., n N stosowane są różne stopy procentowe ja 1 , I 2 ,..., W , Gdzie N- łączna liczba okresów naliczania, następnie kwota odsetek na koniec okresów naliczania według stopy procentowej ja 1 :

Gdzie nr 1 - liczba okresów rozliczeniowych według stopy procentowej ja 1 na koniec okresów naliczania według stopy procentowej itp.

Następnie, w okresach rozliczeniowych JV, naliczona kwota (N- numer ostatniego okresu) dla dowolnego:

gdzie współczynnik wzrostu: (6,5)

Przykład. Pożyczka w wysokości 250 000 rubli. emitowane na 2,5 roku z oprocentowaniem prostym. Oprocentowanie na pierwszy rok I = 18%, a za każde kolejne sześć miesięcy zmniejsza się o 1,5%. Określ współczynnik naliczania i naliczoną kwotę.

Zgodnie ze wzorem (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

Zgodnie ze wzorem (6.4): F = 250 000 x 1405 = 351 250 rubli.

Problem odwrotny:

Jeśli p do = 1, wówczas , (6,7)

gdzie jest czynnik wzrostu:. (6,8)

Przykład. Pożyczka w wysokości 250 000 rubli. emitowane na 5 lat z prostą stopą procentową. Oprocentowanie na pierwszy rok I

Zgodnie ze wzorem (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

Zgodnie ze wzorem (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 rub.

Jeżeli po osiągnięciu dochodu za dany okres, dochód ten nie jest wypłacany, lecz dodawany do kwoty środków dostępnych na początku tego okresu (do kwoty, która wytworzyła ten dochód), a w następnym okresie dochód odsetkowy naliczany jest od całą tę kwotę, wówczas stosuje się formuły memoriałowe odsetki składane.

Jeżeli do przedstawionych oznaczeń dodamy:

ja c - względna wartość rocznej składanej stopy procentowej;

k nc - współczynnik składany w przypadku odsetek składanych;

J- nominalną stopę procentową kredytu składanego, według której naliczana jest stopa interwałowa oprocentowania kredytu składanego, wówczas dla okresu rozliczeniowego równego rokowi naliczona kwota będzie wynosić: . Za drugi okres (rok później): itd.

Poprzez P lat, skumulowana kwota będzie wynosić:

gdzie jest czynnik wzrostu k nc jest równe:

Przykład. Kredyt 25 000 rub. emitowane na okres 3 lat ze stopą skumulowaną wynoszącą 12% w skali roku. Określ naliczoną kwotę.

Według wzoru (6.9)

Rozwiązanie problemu odwrotnego:

gdzie jest współczynnik rabatu.

Czynnik dyskontowy jest odwrotnością współczynnika składającego:

Przykład. Po 3 latach musisz mieć kwotę 16 500 rubli. Jaką kwotę w tym przypadku należy zdeponować przy złożonej stopie procentowej wynoszącej 12% rocznie.

Porównując współczynniki akumulacji przy obliczaniu odsetek prostych i składanych, jasne jest, że kiedy p> 1. Im więcej okresów naliczania, tym większa różnica w wysokości naliczonej kwoty przy obliczaniu odsetek składanych i prostych.

Można zdefiniować inne parametry:

P nie jest liczbą całkowitą, wówczas współczynnik wzrostu można przedstawić w dwóch postaciach:

Gdzie P - nie jest wielokrotnością całkowitej liczby okresów kapitalizacji;

Gdzie P = p.c + D- łączna liczba okresów naliczania (lat), składająca się z okresów naliczania liczbowego całkowitego i niecałkowitego; p.s D- liczba dni niecałkowitego (niepełnego) okresu naliczania; K. = 365 (366) - liczba dni w roku; ja c - względna wartość rocznej składanej stopy procentowej.

Obie opcje są prawidłowe, ale dają różne wartości ze względu na różną dokładność obliczeń.

Przykład. Kredyt 25 000 rub. emitowane na okres 3 lat i 6 miesięcy ze stopą skumulowaną 12% w skali roku. Ustal naliczoną kwotę.

• 1) F= 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 rubli;
• 2) F= 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 rub.

Roczna stopa procentowa składana ja 1 , ja 2 ,..., W mogą się różnić w różnych okresach rozliczeniowych nr 1 , N 2 ,..., n N .

Następnie naliczona kwota na koniec pierwszego okresu naliczania (rok):

W drugim okresie (rok później):

W okresie n (dla P okresy (lata)):

Następnie współczynnik wzrostu:

Przykład. Pożyczka w wysokości 250 000 rubli. emitowane na okres 5 lat ze stopą procentową składaną. Oprocentowanie na pierwszy rok I = 18%, a w roku następnym spada o 1,5%. Określ współczynnik naliczenia i naliczoną kwotę.

Zgodnie ze wzorem (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

Zgodnie ze wzorem (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 rub.

Problem odwrotny:

Jeżeli odsetki składane naliczane są w odstępach czasu, tj. kilka razy w ciągu okresu, następnie wzór naliczania dla tego okresu

Gdzie J = I - nominalna stopa odsetek składanych; T - liczba okresów naliczania w danym okresie (kwartalnym, miesięcznym itp.).

Dochód za dany przedział jest dodawany do kwoty środków dostępnych na początku tego przedziału.

Następnie kwota naliczona podczas naliczania interwałowego dla każdego okresu P okresy (lata) będą

Dodatkowo możesz zdefiniować inne parametry:

Przykład. Kredyt 25 000 rub. wydane w n = 3 lata przy oprocentowaniu łącznym 12% rocznie, płatność co pół roku t = 2. Ustal naliczoną kwotę.

Według wzoru (6/16) .

Jeśli liczba okresów składanych P nie jest liczbą całkowitą, wówczas współczynnik wzrostu można przedstawić jako

Gdzie p.s - liczba całych (pełnych) okresów (lat) naliczania; R - liczba całych (pełnych) przedziałów naliczeniowych, ale mniejsza niż łączna liczba przedziałów w okresie, tj. R< m;d - liczba dni naliczania, ale mniejsza niż liczba dni w przedziale naliczania.

Przykład. Kredyt 25 000 rub. wydawane na i = 3 lata 8 miesięcy, 12 dni według stawki złożonej 12% rocznie, płatność co pół roku T = = 2. Określ naliczoną kwotę.

Dziś nie wystarczy naliczanie prostych czy skomplikowanych odsetek, żaden bank nie stosuje ich w czystej postaci. Bankom bardziej opłaca się stosować nie tylko różne rodzaje naliczania odsetek, ale także różne koncepcje naliczania, które z kolei silnie zależą od warunków umów. Rozważmy główną metodę (koncepcję) obliczania stóp procentowych, jest to metoda dekursywnego obliczania odsetek.

Dziś jest to najczęstsza metoda naliczania odsetek, stosowana w praktyce światowej. Podstawą tej koncepcji jest koncepcja „od teraźniejszości do przyszłości”, gdzie na koniec określonego przedziału czasu naliczane są odsetki lub płacone są naliczone odsetki od depozytu bazowego. W przypadku dekursywnego obliczania odsetek stosuje się zarówno proste obliczenie odsetek, jak i stopę naliczania, innymi słowy stosuje się złożone obliczenie odsetek. Poniżej graficzne przedstawienie dochodu z lokaty w zależności od wybranego sposobu naliczania odsetek i okresu ich obowiązywania.

W przypadku niskich stóp procentowych metoda dekursywna jest bardziej korzystna dla pożyczkobiorcy niż dla pożyczkodawcy. Metodę tę najlepiej stosować w przypadku krótkoterminowych transakcji finansowych. Ponadto wskazane jest inwestowanie na okres nie dłuższy niż rok, z odsetkami na koniec każdego przedziału czasowego. W idealnym przypadku metoda dekursywna jest stosowana, gdy pokrywa się ona z przedziałem naliczania odsetek. Nie oznacza to jednak, że odsetek dekursywnych nie można zastosować w żadnym innym przypadku. Wszystko zależy od porozumienia stron biorących udział w transakcji finansowej.

Bądź na bieżąco ze wszystkimi ważnymi wydarzeniami United Traders - subskrybuj nasz

W przypadku kredytów krótkoterminowych zwykle stosuje się obliczanie prostych stóp procentowych.
Wymyślmy notację:
S - skumulowana ilość, pocierać;
P - początkowa kwota długu, rub.;
i - roczna stopa procentowa (w ułamkach jednostki);
n to okres kredytowania w latach.
Na koniec pierwszego roku skumulowana kwota zadłużenia będzie wynosić
S1 = P + P ja = P (1+ i);
pod koniec drugiego roku:
S2 = S1 + P ja = P (1+ i) + P ja = P (1+ 2 ja); pod koniec trzeciego roku:
S3 = S2 + Pi = P (1+ 2 i) + P i = P (1+3 i) i tak dalej. Na końcu terminu n: S1 = P (1+ n i).
To jest wzór na kapitalizację przy prostej stopie procentowej. Należy mieć na uwadze, że stopa procentowa i termin muszą sobie odpowiadać, tj. jeżeli przyjmuje się stawkę roczną, wówczas termin należy wyrazić w latach (jeśli kwartalnie, wówczas termin należy wyrazić w kwartałach itp.).
Wyrażenie w nawiasach przedstawia współczynnik składany przy prostej stopie procentowej:
KN = (1+ n ja).
Stąd,
Si = P Kn.
Problem 5.1
Bank udzielił pożyczki w wysokości 5 milionów rubli. przez sześć miesięcy przy prostej stopie procentowej wynoszącej 12% w skali roku. Określ kwotę podlegającą zwrotowi.
ROZWIĄZANIE:
S = 5 milionów (1 + 0,5 ¦ 0,12) = 5 300 000 rubli.
Jeżeli okres, na jaki pożyczane są pieniądze, zostanie podany w dniach, skumulowana kwota będzie wynosić S = P (1 + d/K i),
gdzie d jest czasem trwania okresu w dniach;
K to liczba dni w roku.
Wartość K nazywana jest podstawą czasu.
Podstawę czasu można przyjąć równą rzeczywistej długości roku - 365 lub 366 (wówczas odsetki nazywane są dokładnymi) lub przybliżoną, równą 360 dni (wtedy są to odsetki zwykłe).
Wartość liczby dni, na które pożyczane są pieniądze, można również określić dokładnie lub w przybliżeniu. W tym drugim przypadku za długość całego miesiąca przyjmuje się 30 dni. W obu przypadkach dzień wydania pieniędzy w formie pożyczki oraz dzień jej zwrotu liczony jest jako jeden dzień.
Zadanie 5.2
Bank udzielił pożyczki w wysokości 200 tysięcy rubli. od 12.03 do 25.12 (rok przestępny) w wysokości 7% rocznie. Określ wielkość kwoty spłaty z różnymi wariantami podstawy czasowej z dokładną i przybliżoną liczbą dni kredytu i wyciągnij wnioski na temat opcji preferowanych z punktu widzenia banku i kredytobiorcy.
ROZWIĄZANIE:
Dokładna liczba dni wypożyczenia od 12.03. do 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Przybliżona liczba dni wypożyczenia:
20+8-30+25=285;
a) Dokładne oprocentowanie i dokładna liczba dni pożyczki:
S =200 000 (1+289/366 ¦ 0,07) = 211016 rubli;
b) odsetki zwykłe i dokładna liczba dni pożyczki:
S =200 000 (1+289/360 ¦ 0,07) =211200;
c) odsetki zwykłe i przybliżona liczba dni pożyczki:
S= 200 000 (1+285/360 ¦ 0,07) =211044;
d) dokładne oprocentowanie i przybliżona liczba dni pożyczki:
S= 200 000 (1+285/366 ¦ 0,07) =210863.
Tym samym największa skumulowana kwota będzie w opcji b) - odsetki zwykłe z dokładną liczbą dni pożyczki, a najmniejsza - w opcji d) - odsetki dokładne z przybliżoną liczbą dni pożyczki.
Zatem z punktu widzenia banku jako kredytodawcy preferowana jest opcja b), a z punktu widzenia kredytobiorcy opcja d).
Należy pamiętać, że w każdym przypadku odsetki zwykłe są bardziej opłacalne dla pożyczkodawcy, a odsetki dokładne są bardziej opłacalne dla pożyczkobiorcy (w każdym razie - proste lub złożone). W pierwszym przypadku zgromadzona kwota jest zawsze większa, a w drugim mniejsza.
Jeżeli stopy procentowe w różnych odstępach czasu naliczania w okresie zadłużenia są różne, naliczoną kwotę określa się według wzoru
N
S = P (1 + Int.),
t=1
gdzie N jest liczbą interwałów naliczania odsetek;
nt - czas trwania t-tego okresu naliczania;
jest to stopa procentowa w t-tym przedziale naliczania.
Zadanie 5.3
Bank przyjmuje lokaty z oprocentowaniem prostym, które w pierwszym roku wynosi 10%, a następnie co sześć miesięcy wzrasta o 2 punkty procentowe. Określ kwotę depozytu w 50 tysiącach rubli. z odsetkami po 3 latach.
Rozwiązanie:
S = 50 000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) = 70 000 rub.
Korzystając ze wzoru na naliczoną kwotę, możesz określić okres kredytowania na innych określonych warunkach.
Okres kredytowania w latach:
S - P N = .
Liczba Pi
Określ okres pożyczki w latach, za który dług wynosi 200 tysięcy rubli. wzrośnie do 250 tysięcy rubli. przy zastosowaniu prostego oprocentowania - 16% w skali roku.
ROZWIĄZANIE:
(250 000 - 200 000) / (200 000 0,16) = 1,56 (lata).
Ze wzoru na skumulowaną kwotę można określić prostą stopę procentową, a także pierwotną kwotę zadłużenia.
Zdecyduj sam
Zadanie 5.5
Przy udzielaniu pożyczki 600 tysięcy rubli. uzgodniono, że pożyczkobiorca zwróci 800 tysięcy rubli w ciągu dwóch lat. Określ stopę procentową stosowaną przez bank.
ODPOWIEDŹ: 17%.
Zadanie 5.6
Pożyczka, której oprocentowanie wynosi 15% rocznie, należy spłacić po 100 dniach. Określ kwotę otrzymaną przez pożyczkobiorcę i kwotę odsetek otrzymaną przez bank, jeżeli kwota do zwrotu powinna wynosić 500 tysięcy rubli. z podstawą czasu wynoszącą 360 dni.
ODPOWIEDŹ: 480 000 RUR.
Operację porównywania pierwotnej kwoty długu ze znaną kwotą spłaty nazywa się dyskontowaniem. W szerokim znaczeniu „dyskontowanie” oznacza określenie wartości P wartości kosztu w pewnym momencie, pod warunkiem, że w przyszłości będzie ona równa danej wartości S. Obliczenia takie nazywane są także sprowadzaniem wskaźnika kosztu do danego momentu w czasie, a wartość P wyznaczona poprzez dyskontowanie wynosi
zwana współczesną lub zredukowaną wartością wartości. Dyskonto pozwala na uwzględnienie czynnika czasu w kalkulacji kosztów. Współczynnik rabatu jest zawsze mniejszy niż jeden.
Formuła rabatu przy prostym oprocentowaniu:
P = S / (1 + ni), gdzie 1 / (1 + ni) to współczynnik dyskontowy.

Więcej na ten temat Dekursywna metoda naliczania odsetek prostych:

1. 1. Pojęcie i narzędzia metodologiczne oceny wartości pieniądza w czasie.
2. 2.3. Określanie bieżących i przyszłych przepływów pieniężnych

- Prawo autorskie - Adwokactwo - Prawo administracyjne - Proces administracyjny - Prawo antymonopolowe i konkurencji - Proces arbitrażowy (gospodarczy) - Audyt - System bankowy - Prawo bankowe - Biznes - Rachunkowość - Prawo majątkowe - Prawo państwowe i administracyjne - Prawo i proces cywilny - Obwód prawa pieniężnego , finanse i kredyty - Pieniądz - Prawo dyplomatyczne i konsularne - Prawo umów - Prawo mieszkaniowe - Prawo gruntowe - Prawo wyborcze - Prawo inwestycyjne - Prawo informacyjne - Postępowanie egzekucyjne - Historia państwa i prawa - Historia doktryn politycznych i prawnych - Prawo konkurencji - Konstytucyjne prawo - Prawo spółek - Kryminalistyka - Kryminologia -

Podstawowe pojęcia i definicje matematyki finansowej:

Odsetki– dochody z tytułu zadłużenia w różnych formach (pożyczki, kredyty itp.) lub z inwestycji o charakterze przemysłowym lub finansowym.

Początkowa ilość pieniędzy (obecna, nowoczesna, bieżąca, zmniejszona) to ilość kapitału dostępnego w początkowym momencie (lub kwota kapitału zainwestowanego w daną operację).

Oprocentowanie– wartość charakteryzująca intensywność naliczania odsetek.

Rozszerzenie (łączenie)– zwiększenie pierwotnej kwoty pieniędzy poprzez dodanie naliczonych odsetek.

Naliczona (przyszła) kwota pieniędzy– pierwotna kwota pieniędzy powiększona o naliczone odsetki.

Rabaty– określenie bieżącego ekwiwalentu finansowego przyszłej kwoty pieniężnej (sprowadzenie przyszłej kwoty pieniężnej do chwili obecnej).

Współczynnik przyrostu– wartość pokazująca, ile razy wzrósł kapitał początkowy.

Okres rozliczeniowy– okres, w którym naliczane są odsetki. Można ją wyrazić w dniach lub latach i może być liczbą całkowitą lub niecałkowitą.

Interwał naliczania– minimalny okres, po jakim naliczane są odsetki. Okres naliczania może składać się z jednego lub większej liczby równych okresów naliczania.

Podstawa czasu naliczania odsetek T - liczba dni w roku wykorzystywana do naliczania odsetek. W zależności od sposobu ustalenia czasu trwania transakcji finansowej naliczane są odsetki dokładne lub zwykłe.

Możliwe są następujące opcje:

Istnieje kilka sposobów obliczania odsetek, a co za tym idzie, kilka rodzajów stóp procentowych. W zależności od zastosowanej metody memoriałowej wyniki finansowe mogą się znacznie różnić. W tym przypadku różnica będzie tym większa, im większy zainwestowany kapitał, zastosowana stopa procentowa i czas trwania okresu naliczania.

Poniższy schemat przedstawia ogólne pojęcie o różnych metodach naliczania odsetek:

Najczęstszym jest dekursywny sposób naliczania odsetek. Dzięki tej metodzie zainteresowanie I naliczane na koniec każdego okresu naliczania. Ich wartość ustalana jest na podstawie wysokości wniesionego kapitału P. Dekursywna stopa procentowa (odsetki od pożyczki) I reprezentuje wyrażony w procentach stosunek dochodu naliczonego za dany przedział (w procentach) do kwoty dostępnej na początku tego przedziału. Stopa procentowa charakteryzuje intensywność naliczania odsetek.

Ta operacja przyrostowa odpowiada następującemu wyrażeniu matematycznemu:

S = P + I = P + IP = P (1 + I)

Odwrotnością tej operacji jest operacja dyskontowanie, tj. określenie aktualnej wartości P odpowiadającej przyszłej kwocie S:

P = S / (1 + I)

Z punktu widzenia koncepcji wartości pieniądza w czasie, przy danej stopie procentowej, kwota P I S są równoważne, możemy również powiedzieć, że suma P Jest aktualny ekwiwalent finansowy przyszła kwota S.

Na antyseptyczny metodą (wstępną), odsetki naliczane są na początku każdego okresu naliczania. Wysokość odsetek ustalana jest na podstawie kwoty przyszłych pieniędzy. Przewidywana stopa procentowa (stopa dyskontowa) D będzie procentowy stosunek kwoty naliczonego dochodu do przyszłej kwoty pieniędzy.

W takim przypadku wzór na określenie kwoty naliczonej kwoty jest następujący:

S = P + I = P / (1 - D)

Odpowiednio, dla operacji dyskontowania, zwanej w tym przypadku rachunkowością bankową:

P = S (1 - D)

W praktyce przy dyskontowaniu weksli zwykle stosuje się antycypacyjne stopy procentowe. Otrzymany w tym przypadku dochód odsetkowy nazywany jest dyskontem - dyskontem od przyszłej kwoty.

W przypadku obu metod obliczania stopy procentowe mogą być prosty, jeżeli mają zastosowanie do tej samej początkowej kwoty pieniężnej w całym okresie naliczania, oraz złożony, jeżeli po każdym przedziale stosuje się je do wysokości kapitału zakładowego i odsetek naliczonych za poprzednie przedziały.

Wzory do określania przyszłej kwoty pieniędzy dla różnych opcji obliczania odsetek za okres N lata:

S = P (1 + NI) - z okazji proste zainteresowanie dekursywne

S = P (1 + I) N - z okazji złożone odsetki dekursywne

S = P / (1 - ND) - z okazji proste, wyprzedzające zainteresowanie

S = P / (1 - D) N - z okazji złożone odsetki wyprzedzające

Jeżeli okres naliczania jest wyrażony w dniach, proste wzory na odsetki będą miały postać:

S = P (1 + t/T ja)

S = P / (1 – t/T d),

gdzie t jest czasem trwania okresu naliczania.

Mnożniki pokazujące, ile razy przyszła ilość pieniędzy jest większa od kwoty kapitału początkowego, nazywane są czynnikami akumulacji. Odwrotnością czynników akumulacji są czynniki dyskontowe, które pozwalają określić bieżący ekwiwalent finansowy przyszłej kwoty pieniężnej.

W niektórych przypadkach, analizując przebieg różnych transakcji finansowych, przydatne może być ustalenie równoważnych stóp procentowych. Równoważne stopy procentowe– są to stopy procentowe różnego rodzaju, których zastosowanie w tych samych warunkach początkowych daje takie same rezultaty finansowe. W tym przypadku te same warunki początkowe oznaczają tę samą wysokość kapitału zakładowego i równe okresy naliczania dochodów. Na tej podstawie można sporządzić równanie równoważności i wyprowadzić stosunek dla danych stawek.

Przykładowo dla prostych stóp kredytowych i dyskontowych takie wskaźniki będą wyglądać następująco:

D = I / (1 + NI); I = D / (1 - ND).

Stopa kredytowa odpowiadająca stopie dyskontowej odzwierciedla rentowność odpowiedniej transakcji księgowej i jest przydatna przy porównywaniu rentowności i efektywności różnych instrumentów finansowych.

Uwzględnianie inflacji w obliczeniach finansowych

Inflacja charakteryzuje się spadkiem siły nabywczej waluty krajowej i ogólnym wzrostem cen. Proces inflacji w różny sposób wpływa na różnych uczestników transakcji finansowej. Zatem jeśli pożyczkodawca lub inwestor może stracić część planowanych dochodów w wyniku deprecjacji środków, wówczas pożyczkobiorca ma możliwość spłaty zadłużenia pieniędzmi o obniżonej sile nabywczej.

Aby uniknąć błędów i strat, przy planowaniu transakcji finansowych należy uwzględniać skutki inflacyjne.

Oznaczmy przez S a ilość, której siła nabywcza, biorąc pod uwagę inflację, jest równa sile nabywczej kwoty S przy braku inflacji. Inflacja A jest relacją pomiędzy zmianą inflacyjną pewnej wartości w danym okresie a jej wartością początkową, wyrażoną w procentach (w obliczeniach stosuje się wskaźnik względny):

A= (SA- S) / S 100%

Stąd: Sza = S (1 +A)

Oznacza to, że przy stopie inflacji a ceny rosną w tym okresie (1 + a) razy. Mnożnik (1 + a) nazywany jest wskaźnikiem inflacji I a.

Jeżeli rozpatrywany okres składa się z kilku przedziałów, w każdym z których stopa inflacji jest wartością, ceny jako całość wzrosną o współczynnik (1 + a) n. Ogólny wynik wyrażony jest następującym stosunkiem:

SA= S (1 + A) N

Prowadzi to do pierwszego ważnego wniosku dotyczącego procesu inflacyjnego:

Wzrost inflacji jest podobny do podwyższania kapitału zakładowego zgodnie z zasadą procentu składanego. Tylko w tym przypadku nie uzyskujemy dochodu, ale go tracimy.

Inną użyteczną kwestią jest obliczenie stopy zwrotu, która mogłaby zrównoważyć straty inflacyjne i zapewnić zyski kapitałowe.

Niech a będzie roczną stopą inflacji,

i – pożądana rentowność transakcji finansowej (oczyszczona z wpływu inflacji)

i a - stopa zwrotu kompensująca inflację.

Następnie dla zwiększonej kwoty S, która w warunkach inflacji zamieni się w kwotę S a, możemy zapisać następujące wyrażenie:

S za = P (1 + ja) (1 + a)

Ten sam wynik można uzyskać w inny sposób:

S za = P (1 + ja)

Zrównując prawe strony zapisanych równości, otrzymujemy wyrażenie do obliczenia i a:

IA = I + A + IA

Jest to dobrze znany wzór I. Fishera, w którym ilość (a + i a) wynosi „premia inflacyjna” – niezbędny dodatek kompensujący wpływ inflacji.

Teraz możemy sformułować drugi ważny wniosek:

Aby obliczyć stopę procentową kompensującą inflację, do do wymaganej stopy zwrotu należy dodać nie tylko wartość poziomu inflację, ale także produktIA.

W praktyce często przydatna okazuje się modyfikacja tego wzoru, pozwalająca znaleźć rzeczywistą opłacalność działalności w warunkach inflacyjnego wzrostu cen:

I = (IA - A) / (1 + A)

Większość transakcji związanych z inwestycjami kapitałowymi oznacza w przyszłości nie jednorazowe otrzymanie zwiększonej kwoty, ale cały przepływ środków pieniężnych dochodu w określonym okresie. Głównymi parametrami interesującymi inwestora lub pożyczkodawcę w tym przypadku jest bieżąca (obecna) wartość przepływów pieniężnych, ich przyszła (zwiększona) wartość, a także rentowność transakcji finansowej.

Będziemy stosować następującą notację:

P – wysokość zainwestowanego kapitału,

CF k – wartość k-tego elementu przepływów pieniężnych,

i – stopa dyskontowa (najczęściej jest to stopa procentowa składana),

A – wartość bieżąca (koszt) przepływów pieniężnych,

S – przyszła wartość przepływów pieniężnych,

n – liczba elementów przepływów pieniężnych.

Obecna wartość przepływ pieniężny to suma wszystkich jego elementów zredukowanych (zdyskontowanych) do chwili obecnej:

A = CF 1 / (1 + i) + CF 2 / (1 + i)? + … + CF n / (1 + i) n

Podobnie, przyszła wartość przepływ pieniężny to suma jego elementów naliczonych w momencie ostatniej płatności:

S = CF 1 (1 + i) n-1 + CF 2 (1 + i) n-? + … + CF rz

Rentowność transakcji finansowej Nazywa się to dekursywną stopą procentową, po zdyskontowaniu, przy której wartość bieżąca przepływu środków pieniężnych dochodu pokrywa się z kwotą zainwestowanego kapitału: P = A. Aby znaleźć taką stopę, w ogólnym przypadku należy rozwiązać równanie n-tego stopnia.

Wartości współczynników akumulacji i dyskontowania w przypadku stosowania złożonych stawek dekursywnych można znaleźć w specjalnych tabelach podanych w załączniku.

Aby określić rentowność krótkoterminowej transakcji finansowej (mniej niż rok), zwykle stosuje się prostą stopę procentową, w przypadku transakcji długoterminowej stosuje się stopę złożoną.