Dlaczego potrzebna jest funkcja przenoszenia? Funkcja przenoszenia

Możesz dokonać transformacji, wyjmując X(y) i Y(a) z nawiasów i dzieląc przez siebie:

Wynikowe wyrażenie nazywa się transferem

(2.4)

Funkcja przenoszenia nazywa się stosunkiem obrazu efektu wyjściowego Y(s) do obrazu wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych.

Funkcja przenoszenia jest ułamkową wymierną funkcją zmiennej zespolonej:

Funkcja przenoszenia ma rząd określony przez rząd wielomianu mianownika (n).

Z (2.4) wynika, że ​​obraz sygnału wyjściowego można znaleźć jako

Y(s) = W(s)*X(s).

Ponieważ funkcja przenoszenia układu całkowicie determinuje jego właściwości dynamiczne, początkowe zadanie obliczenia ASR sprowadza się do określenia jego funkcji przenoszenia.

Przykłady typowych linków

Ogniwo systemu to element systemu, który ma określone właściwości dynamiczne. Połączenia układów sterowania mogą mieć różną naturę fizyczną (połączenia elektryczne, pneumatyczne, mechaniczne itp.), ale są opisane tym samym pilotem, a stosunek sygnałów wejściowych i wyjściowych w łączach opisywany jest przez te same funkcje przenoszenia . W TAU wyróżnia się grupę najprostszych jednostek, które zwykle nazywane są typowymi. Charakterystyki statyczne i dynamiczne typowych łączy zostały szczegółowo zbadane. Standardowe łącza są szeroko stosowane w określaniu charakterystyk dynamicznych obiektów sterujących. Przykładowo, znając odpowiedź przejściową skonstruowaną za pomocą urządzenia rejestrującego, często można określić, do jakiego typu połączeń należy obiekt sterujący, a co za tym idzie, jego transmitancja, równanie różniczkowe itp., tj. model obiektowy. Typowe linki. Każde złożone łącze można przedstawić jako połączenie prostszych łączy.

Do najprostszych typowych linków należą:

· intensyfikujące,

· inercyjny (aperiodyczny I rzędu),

całkowanie (rzeczywiste i idealne),

różnicowanie (rzeczywiste i idealne),

· aperiodyczny II rzędu,

· oscylacyjny,

· opóźniony.

1) Łącznik wzmacniający.

Łącze wzmacnia sygnał wejściowy K razy. Równanie łącza y = K*x, funkcja przenoszenia W(s) = K. Wywoływany jest parametr K współczynnik wzmocnienia.

Sygnał wyjściowy takiego łącza dokładnie powtarza sygnał wejściowy, wzmocniony K razy (rys. 1.18). y = Kx.

Ze stopniowanym oddziaływaniem h(t) = K.

Przykładami takich ogniw są: przekładnie mechaniczne, czujniki, wzmacniacze bezinercyjne itp.

2) Integracja.

2.1) Idealna integracja.

Wartość wyjściowa idealnego ogniwa całkującego jest proporcjonalna do całki wartości wejściowej:

Kiedy na wejście zostanie przyłożone łącze o działaniu krokowym x(t) = 1, sygnał wyjściowy stale rośnie (rys. 1.19):

h(t) = Kt.

Link ten jest astatyczny, tj. nie ma stanu stałego.

Przykładem takiego połączenia jest pojemnik wypełniony cieczą. Parametrem wejściowym jest natężenie przepływu napływającej cieczy, parametrem wyjściowym jest poziom. Początkowo pojemnik jest pusty i przy braku przepływu poziom wynosi zero, ale jeśli włączysz dopływ płynu, poziom zacznie równomiernie rosnąć.

2.2) Prawdziwa integracja.

Funkcja przenoszenia tego łącza ma postać (ryc. 1.20)

Reakcją przejścia, w przeciwieństwie do idealnego połączenia, jest krzywa

Przykładem ogniwa całkującego jest silnik prądu stałego o niezależnym wzbudzeniu, jeżeli za efekt wejściowy przyjmuje się napięcie zasilania stojana, a za efekt wyjściowy kąt obrotu wirnika. Jeśli do silnika nie zostanie dostarczone napięcie, wirnik nie porusza się, a jego kąt obrotu można przyjąć jako równy zeru. Po przyłożeniu napięcia wirnik zaczyna się obracać, a jego kąt obrotu najpierw jest powolny na skutek bezwładności, a następnie wzrasta szybciej, aż do osiągnięcia określonej prędkości obrotowej.

3) Różnicowanie.

3.1) Idealne różnicowanie.

Wielkość wyjściowa jest proporcjonalna do pochodnej czasu sygnału wejściowego:

W przypadku sygnału wejściowego krokowego sygnałem wyjściowym jest impuls (funkcja d): h(t) = Kδ(t).

3.2) Rzeczywiste różnicowanie.

Idealne powiązania różnicujące nie są fizycznie możliwe do zrealizowania. Większość obiektów reprezentujących powiązania różniczkujące należy do rzeczywistych powiązań różniczkujących, których funkcje przenoszenia mają postać

Odpowiedź na przejście (ryc. 1.21):

Przykład łącza: generator elektryczny. Parametrem wejściowym jest kąt obrotu wirnika, parametrem wyjściowym jest napięcie. Jeśli wirnik obróci się o określony kąt, na zaciskach pojawi się napięcie, natomiast jeśli wirnik nie będzie dalej obracany, napięcie spadnie do zera. Nie może gwałtownie spaść ze względu na obecność indukcyjności w uzwojeniu.

4) Aperiodyczny (inercyjny).

Obraz efektu skokowego: X(s) = Xo / s Następnie obraz wartości wyjściowej:

Rozłóżmy ułamek na ułamki pierwsze:

Oryginał pierwszej frakcji według tabeli:

Nazywa się stałą T stała czasowa. Większość obiektów termicznych to połączenia aperiodyczne. Na przykład po przyłożeniu napięcia do wejścia pieca elektrycznego jego temperatura zmieni się zgodnie z podobnym prawem (ryc. 1.22).

5) Ogniwa drugiego rzędu (ryc. 1.23)

Łącza mają typy DU i PF.

Gdy na wejście zostanie przyłożony stopniowy efekt amplitudy Xo, krzywa przejściowa będzie miała jeden z dwóch typów: aperiodyczny (dla T1 ≥ 2T2) lub oscylacyjny (dla T1< 2Т2).

Pod tym względem wyróżnia się linki drugiego rzędu:

· aperiodyczny II rzędu (T1 ≥ 2T2),

· inercyjny (T1< 2Т2),

· konserwatywny (T1 = 0).

6) Opóźnienie.

Jeżeli po doprowadzeniu określonego sygnału na wejście obiektu obiekt nie reaguje na ten sygnał natychmiast, lecz po pewnym czasie, wówczas mówi się, że obiekt ma opóźnienie.

Opóźnienie to odstęp czasu od momentu zmiany sygnału wejściowego do początku zmiany sygnału wyjściowego.

Opóźniony link- jest to łącze, w którym wartość wyjściowa y dokładnie powtarza wartość wejściową x z pewnym opóźnieniem t.

Przyjmiemy, że procesy zachodzące w ACS opisane są liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach. Ograniczymy się zatem do rozpatrywania liniowego ACS o stałych parametrach, tj. parametry niezależne od czasu i stanu systemu.

Niech dla układu dynamicznego (patrz rysunek)

równanie różniczkowe zapisuje się w postaci operatorowej

gdzie D(P) i M(P) są wielomianami w P.

P – operator różnicowania;

x(t) – współrzędna wyjściowa układu;

g(t) – akcja wejściowa.

Przekształćmy (1) według Laplace'a, zakładając zerowe warunki początkowe.

Wprowadźmy notację

;
,

otrzymujemy, biorąc to pod uwagę

Używamy notacji

, (5)

wówczas równanie (3) przyjmie postać:

. (6)

Równanie (6) łączy obraz X (S) współrzędnej wyjściowej układu z obrazem G(S) działania wejściowego. Funkcjonować Ф(S) charakteryzuje właściwości dynamiczne układu. Jak wynika z (4) i (5), funkcja ta nie zależy od oddziaływania przyłożonego do układu, lecz zależy jedynie od parametrów układu. Biorąc pod uwagę (6) funkcję F(S) można zapisać w następujący sposób

Funkcjonować Ф(S) nazywa się funkcją przenoszenia układu. Z (7) jasno wynika, że ​​funkcją przenoszenia jest stosunek obrazu Laplace'a współrzędnej wejściowej układu do obrazu Laplace'a działania wejściowego w zerowych warunkach początkowych.

Znajomość funkcji przenoszenia układu Ф(S) Po wyznaczeniu obrazu G(S) wpływu g(t) przyłożonego do układu, można znaleźć poprzez (6) obraz X(S) wyjściowej współrzędnej układu x(t), następnie przechodząc od obraz X(S) do pierwotnego x(t) uzyskaj proces zmiany współrzędnej wyjściowej układu, gdy na ten układ zostanie przyłożony wpływ wejściowy.

Wielomian w mianowniku funkcji przenoszenia nazywany jest wielomianem charakterystycznym i równaniem

równanie charakterystyczne.

Dla układu opisanego równaniem n-tego rzędu równanie charakterystyczne jest równaniem algebraicznym n-tego stopnia i ma n pierwiastków, S 1 S 2... S n, wśród których może występować zarówno sprzężenie rzeczywiste, jak i zespolone.

Pierwiastek wielomianu w mianowniku funkcji przenoszenia nazywany jest biegunami tej funkcji przenoszenia, a w liczniku - zerami.

Przedstawmy wielomiany w postaci:

Dlatego funkcja przenoszenia

. (11)

Wynika z tego, że podanie zer i biegunów określa funkcję przenoszenia aż do stałego współczynnika .

W przypadku, gdy części rzeczywiste wszystkich biegunów funkcji przenoszenia są ujemne, tj.

, k=1,2…n, układ nazywamy stabilnym. W nim składnik przejściowy wielkości wyjściowej (ruch właściwy) zanika z czasem.

Charakterystyka częstotliwościowa systemu

Konwersja harmonicznego sygnału wejściowego przez układ liniowy

Funkcja przenoszenia układu automatycznego w odniesieniu do działania sterującego g(t) wynosi

(1)

Niech wpływ

g(t) = ZA 1 grzech ω 1 t,

Należy także wyznaczyć zmianę X(t) w procesie ustalonym, tj. Znajdź szczególne rozwiązanie równania (1), omówione wcześniej.

Należy zauważyć, że w wyniku zastosowania wpływu w systemie zachodzi proces przejściowy, który z czasem dąży do 0, ponieważ zakłada się, że system jest stabilny. Nie rozważamy tego. Takie przejście pozwala uwzględnić działanie g(t) określone na całej osi czasu (nie uwzględnia się początkowego momentu przyłożenia działania sterującego do układu) i wykorzystać otrzymane wcześniej wyrażenie na charakterystykę widmową sinusoidy .

Aby wyznaczyć x(t) w stanie ustalonym, przekształcamy obie strony równania różniczkowego (1) zgodnie z Fourierem. Przez to mamy na myśli to

;

,

Zauważ to

funkcja przenoszenia, w której S

Oprócz

Następnie z wzoru (3) wyznaczana jest charakterystyka widmowa drgań wymuszonych wielkości kontrolowanej

W (4) mnożnik funkcjonalny Ф(jω) uwzględnia zmianę charakterystyki widmowej, gdy wpływ g(t) przechodzi przez liniowy układ dynamiczny.

Wyobraźmy sobie złożoną funkcję Ф(jω) w formie poglądowej

i znajdź x(t) korzystając ze wzoru na odwrotną transformatę Fouriera:

korzystając z właściwości filtrujących funkcji delta i biorąc pod uwagę (5), będziemy mieli

Ponieważ
,,

(6)

Wynika z tego, że w stanie ustalonym odpowiedź x(t) liniowego układu automatycznego na wpływy sinusoidalne jest również sinusoidą. Częstotliwości kątowe sygnałów wejściowych i wyjściowych są takie same. Amplituda na wyjściu układu wynosi A 1 │ Ф(jω)│, a faza początkowa to arg Ф(jω).

Jeżeli wejście układu liniowego otrzymuje okresowy wpływ w postaci

,

następnie, korzystając z zasady superpozycji, która obowiązuje dla układu liniowego, stwierdzamy, że w tym przypadku wymuszony ruch ustalony układu

(7)

Ponadto wartości ω należy tutaj nadać wartości dyskretne, tj. załóżmy, że ω=kω 1

Znając widma częstotliwości sygnału wejściowego, można łatwo wyznaczyć widma częstotliwości sygnału na wejściu systemu. Jeżeli na przykład znane jest widmo częstotliwości amplitudy A k sygnału wejściowego g(t), to widmo częstotliwości amplitudy sygnału wyjściowego wynosi A k │ Ф(jkω 1 ) │.

W rozważanych wyrażeniach funkcja Ф(jω) charakteryzuje właściwości dynamiczne samego układu automatycznego i nie zależy od charakteru wpływów wywieranych na system. Można to łatwo uzyskać z funkcji przenoszenia, formalnie zastępując S przez jω

Funkcjonować Ф(jω) z ciągłego argumentu ω nazywana jest charakterystyką amplitudowo-fazową układu AFC w odniesieniu do działania sterującego g(t) przyłożonego do układu.

Na podstawie (3) AFC można również zdefiniować jako stosunek charakterystyk widmowych sygnału na jego wejściu. Moduł AF  Ф(j )  charakteryzuje zmianę amplitudy sygnału harmonicznego podczas jego przejścia przez system, a jego argumentem jest przesunięcie fazowe sygnału.

Funkcja  Ф(j ) otrzymał nazwę odpowiedź amplitudowo-częstotliwościowa (AFC) i funkcję arg Ф(j ) – odpowiedź fazowo-częstotliwościowa (PFC).

Niech wpływ g(t) przyłożony do układu automatycznego będzie zespoloną harmoniczną o częstotliwości  1, tj.

Reakcja układu na takie oddziaływanie w stanie ustalonym jest określona przez równość

Lub korzystając ze wzoru Eulera

i to też

;

Całkę po prawej stronie równości znajdziemy, korzystając z właściwości filtrujących funkcji delta.

wyznacza w postaci zespolonej odpowiedź układu w stanie ustalonym na wpływ w postaci zespolonej harmonicznej o częstotliwości 1.

AFC można wykorzystać nie tylko do analizy oscylacji w stanie ustalonym na wyjściu układu automatycznego, ale także do określenia procesu sterowania jako całości. W tym drugim przypadku wygodnie jest uznać moment czasu t 0 zastosowania układu sterowania za moment zerowy i skorzystać ze wzorów jednostronnej transformaty Fouriera. Po ustaleniu charakterystyki widmowej
oraz znalezienie charakterystyki widmowej kontrolowanej zmiennej za pomocą wzoru

Zmianę zmiennej kontrolowanej x(t) po zastosowaniu wpływu g(t) wyznacza się korzystając ze wzoru na odwrotną transformatę Fouriera.

Typowe połączenia układów liniowych można wyznaczać na różne równoważne sposoby, w szczególności wykorzystując tzw. funkcję przenoszenia, która z reguły ma postać ułamkowo-wymierną, tj. który jest stosunkiem dwóch wielomianów:

gdzie b i a j są współczynnikami wielomianów. Jest to tzw parametry funkcji przenoszenia lub łącza.

Funkcja transferu łączy obraz Y(p) sygnału wyjściowego y(t) łącza z obrazem X(p) jego sygnału wejściowego x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1,2)

te. pozwala znaleźć wynik y(t) z dowolnego znanego sygnału wejściowego x(t). Oznacza to, że z punktu widzenia TAU funkcja przenoszenia całkowicie charakteryzuje system sterowania lub jego połączenie. To samo można powiedzieć o zbiorze współczynników wielomianów licznika i mianownika funkcji przenoszenia.

Funkcja przesyłania łączaW(P) jest stosunkiem transformaty Laplace'a wielkości wyjściowej do transformaty Laplace'a wielkości wejściowej

2. Krótka informacja o łączach pozycyjnych

Do łączy pozycyjnych zaliczają się następujące typowe łącza dynamiczne:

łącze bezinercyjne,

Aperiodyczne ogniwo pierwszego rzędu,

Ogniwo aperiodyczne drugiego rzędu,

Łącze oscylacyjne

Link konserwatywny.

Charakterystyki czasowe łączy pozycyjnych podsumowano w tabeli. 1. W tym miejscu wskazane są także funkcje przenoszenia linków.

A).Łącze bezinercyjne.

Związek ten opisuje się nie tylko w statyce, ale także w dynamice równaniem algebraicznym

X na zewnątrz = k X wejście (2.1)

Funkcja przenoszenia łącza jest równa wartości stałej

W(p) = x na zewnątrz (p)/x wejście (p) = k (2.2)

Przykładem takiego połączenia jest: mechaniczna skrzynia biegów (bez uwzględnienia zjawiska skręcania i luzów), bezinercyjny (szerokopasmowy) wzmacniacz elektroniczny, dzielnik napięcia itp. Wiele czujników sygnałowych, takich jak czujniki potencjometryczne, czujniki indukcyjne, transformatory i synchronizatory obrotowe, fotokomórki itp., można również uznać za łącza bezinercyjne.

Ogólnie rzecz biorąc, połączenie bezinercyjne jest pewną idealizacją łączy rzeczywistych. Tak naprawdę wszystkie łącza charakteryzują się pewną bezwładnością, dlatego żadne pojedyncze łącze nie jest w stanie równomiernie przekazać wszystkich częstotliwości od 0 do . Zwykle jedno z omawianych poniżej ogniw rzeczywistych, np. aperiodyczne lub oscylacyjne, sprowadza się do tego typu ogniwa, jeśli można pominąć wpływ procesów dynamicznych w tym ogniwie (tj. stałych czasowych).

B)Połączenie aperiodyczne pierwszego rzędu

Związek ten jest opisany równaniem różniczkowym

, (2.3)

Gdzie T- stała czasowa, s,

k- współczynnik transmisji łącza.

Funkcja przeniesienia łącza ma postać

(2.4)

Łącze aperiodyczne jest najprostszym z ogniw posiadających bezwładność. Rzeczywiście, to połączenie nie działa od razu, najpierw szybko, a potem coraz bardziej stopniowo reaguje na stopniowe oddziaływanie. Dzieje się tak dlatego, że w oryginale fizycznym ogniwa aperiodycznego znajduje się jeden element akumulujący (a także jeden lub więcej elementów energochłonnych), w którym zgromadzona energia nie może zmieniać się gwałtownie w czasie – wymagałoby to nieskończonej mocy.

Przykładami ogniw aperiodycznych I rzędu są: silnik dowolnego typu (elektryczny, hydrauliczny, pneumatyczny), prądnica prądu stałego, RC- I LR- obwody, wzmacniacz magnetyczny, zbiornik gazu, piec grzewczy. Procesy pracy w tych jednostkach opisuje ogólne równanie (2.3).

V)Połączenie aperiodyczne drugiego rzędu

Równanie różniczkowe ogniwa ma postać:

(2.5)

W tym przypadku pierwiastki równania charakterystycznego

P 2 + T 1  P+1=0 (2.6)

musi być realna, co będzie spełnione pod warunkiem

T 1  2  T 2 (2.7)

Ostatecznym celem analizy ACS jest rozwiązanie (jeśli to możliwe) lub zbadanie równania różniczkowego układu jako całości. Zwykle znane są równania poszczególnych ogniw tworzących ACS i pojawia się zadanie pośrednie polegające na uzyskaniu równania różniczkowego układu ze znanych DE jego ogniw. W klasycznej formie reprezentacji DE zadanie to obarczone jest znacznymi trudnościami. Korzystanie z koncepcji funkcji przenoszenia znacznie to upraszcza.

Niech jakiś układ zostanie opisany równaniem różniczkowym postaci.

Wprowadzając notację = p, gdzie p nazywa się operatorem, czyli symbolem różniczkowania, a teraz traktując ten symbol jako zwykłą liczbę algebraiczną, po usunięciu x i x z nawiasów otrzymujemy równanie różniczkowe tego układu w formie operatora:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3,38)

Wielomian w p przy wartości wyjściowej wynosi

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3,39)

nazywa się operatorem własnym, a wielomian na wartości wejściowej nazywa się operatorem wpływu

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3,40)

Funkcja przenoszenia to stosunek operatora wpływu do jego własnego operatora:

W(p) = K(p)/D(p) = x wyjście / x wejście. (3.41)

W dalszej części prawie wszędzie będziemy używać operatora do zapisywania równań różniczkowych.

Rodzaje połączeń ogniw i algebra funkcji przejścia.

Uzyskanie funkcji przenoszenia układu automatycznego sterowania wymaga znajomości zasad wyznaczania funkcji przenoszenia grup połączeń, w których łącza są ze sobą powiązane w określony sposób. Istnieją trzy rodzaje połączeń.

1. Sekwencyjny, w którym wyjście poprzedniego łącza jest wejściem kolejnego (rys. 3.12):

x na zewnątrz

Ryż. 3.14. Back-to-Back - połączenie równoległe.

W zależności od tego, czy sygnał sprzężenia zwrotnego x jest dodawany do sygnału wejściowego xin, czy od niego odejmowany, rozróżnia się sprzężenie zwrotne dodatnie i ujemne.

Wciąż bazując na własności funkcji przenoszenia, możemy pisać

W 1 (p) =x wyjście /(x wejście ±x); W 2 (p) = x/x na zewnątrz; Wc =x wyjście / x wejście. (3,44)

Eliminując współrzędną wewnętrzną x z dwóch pierwszych równań, otrzymujemy funkcję przenoszenia dla takiego połączenia:

W do (p) = W 1 (p)/ . (3,45)

Należy pamiętać, że w ostatnim wyrażeniu odpowiada znak plus negatywny informacja zwrotna.

W przypadku, gdy łącze ma kilka wejść (takich jak np. obiekt sterujący), uwzględnia się kilka funkcji przekazu tego łącza, odpowiadających każdemu z wejść, np. jeśli równanie łącza ma postać

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)

gdzie K x (p) i K z (p) są operatorami wpływów odpowiednio na wejścia x i z, to połączenie to ma funkcje przenoszenia na wejściach x i z:

Szer. x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3,47)

W przyszłości, aby ograniczyć wpisy w wyrażeniach funkcji przenoszenia i odpowiadających im operatorów, pominiemy argument „p”.

Z wspólnego rozważenia wyrażeń (3.46) i (3.47) wynika, że

y = szer. x x+W z z, (3,48)

oznacza to, że w ogólnym przypadku wartość wyjściowa dowolnego łącza z kilkoma wejściami jest równa sumie iloczynów wartości wejściowych i funkcji przenoszenia dla odpowiednich wejść.

Funkcja przenoszenia ACS oparta na zakłóceniu.

Typowa postać struktury ACS, operująca na odchyleniu kontrolowanej zmiennej, jest następująca:

W o z =K z /D obiekt W o x =K x /D

W p y

z

y

-X

Ryc.3.15. Zamknięty ATS.

Zwróćmy uwagę na fakt, że wpływ regulacyjny dotyczy obiektu ze zmienionym znakiem. Połączenie między wyjściem obiektu a jego wejściem przez regulator nazywa się głównym sprzężeniem zwrotnym (w przeciwieństwie do możliwego dodatkowego sprzężenia zwrotnego w samym regulatorze). Zgodnie z filozoficznym znaczeniem regulacji, działanie regulatora ma na celu redukcja odchyleń kontrolowana zmienna, a zatem główna opinia jest zawsze negatywna. Na ryc. 3.15:

W o z - funkcja przenoszenia obiektu przez zaburzenie;

W o x - funkcja przenoszenia obiektu zgodnie z wpływem regulacyjnym;

W p y - funkcja przenoszenia regulatora zgodnie z odchyłką y.

Równania różniczkowe instalacji i sterownika wyglądają następująco:

y=W o x x + W o z z

x = - W p y y. (3,49)

Podstawiając x z drugiego równania do pierwszego i wykonującego grupowanie, otrzymujemy równanie ATS:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3,50)

Stąd funkcja przenoszenia ACS dla zakłóceń

W do z = y/z = W o z /(1+W o x W p y) . (3,51)

W podobny sposób można otrzymać funkcję przenoszenia ACS dla działania sterującego:

W do u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3,52)

gdzie W p u jest funkcją przenoszenia sterownika zgodnie z działaniem sterującym.

3.4 Oscylacje wymuszone i charakterystyki częstotliwościowe ACS.

W rzeczywistych warunkach pracy ACS jest często narażony na okresowe działanie sił zakłócających, którym towarzyszą okresowe zmiany wielkości kontrolowanych oraz wpływy regulacyjne. Są to np. drgania statku podczas żeglugi po wzburzonym morzu, wahania prędkości obrotowej śruby napędowej i inne wielkości. W niektórych przypadkach amplitudy oscylacji wielkości wyjściowych układu mogą osiągać niedopuszczalnie duże wartości, co odpowiada zjawisku rezonansu. Konsekwencje rezonansu są często katastrofalne dla systemu, który go doświadcza, na przykład wywrócenie statku, zniszczenie silnika. W układach sterowania takie zjawiska są możliwe, gdy zmieniają się właściwości elementów na skutek zużycia, wymiany, rekonfiguracji lub awarii. Należy wtedy albo określić bezpieczne zakresy warunków pracy, albo odpowiednio skonfigurować SZR. Zagadnienia te zostaną tutaj rozważone w odniesieniu do systemów liniowych.

Niech jakiś system będzie miał strukturę pokazaną poniżej:

x=A x sinωt

y=A y grzech(ωt+φ)

Ryc.3.16. ACS w trybie wymuszonej oscylacji.

Jeżeli na układ będzie oddziaływać okresowo x o amplitudzie A x i częstotliwości kołowej w, to po zakończeniu procesu przejścia wystąpią oscylacje o tej samej częstotliwości o amplitudzie A y i przesunięte względem drgań wejściowych o kąt fazowy j ustalić na wyjściu. Parametry oscylacji wyjściowych (amplituda i przesunięcie fazowe) zależą od częstotliwości siły napędowej. Zadanie polega na wyznaczeniu parametrów oscylacji wyjściowych ze znanych parametrów oscylacji na wejściu.

Zgodnie z funkcją przenoszenia ACS przedstawioną na rys. 3.14 jej równanie różniczkowe ma postać

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3,53)

Podstawmy do (3.53) wyrażenia dla x i y pokazane na ryc. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3,54)

Jeśli weźmiemy pod uwagę przesunięcie przebiegu oscylacji o jedną czwartą okresu, to w równaniu (3.54) funkcje sinus zostaną zastąpione funkcjami cosinus:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3,55)

Pomnóżmy równanie (3.54) przez i = i dodajmy wynik z (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3,56)

Korzystając ze wzoru Eulera

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Sprowadźmy równanie (3.56) do postaci

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3,57)

Wykonajmy operację różniczkowania czasu, jaką zapewnia operator p=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3,58)

Po prostych przekształceniach związanych z redukcją przez exp(iwt) otrzymujemy

Prawa strona wyrażenia (3.59) jest podobna do wyrażenia funkcji przenoszenia ACS i można z niej otrzymać zastępując p=iw. Przez analogię nazywa się to złożoną funkcją przenoszenia W(iw) lub charakterystyką amplitudowo-fazową (APC). Często używany jest również termin odpowiedź częstotliwościowa. Oczywiste jest, że ten ułamek jest funkcją złożonego argumentu i można go również przedstawić w tej formie:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3,60)

gdzie M(w) i N(w) są odpowiednio rzeczywistymi i urojonymi charakterystykami częstotliwościowymi.

Stosunek A y / A x jest modułem AFC i jest funkcją częstotliwości:

A y / A x = R (w)

i nazywa się odpowiedzią amplitudowo-częstotliwościową (AFC). Faza

przesunięcie j = j (w) jest także funkcją częstotliwości i nazywane jest fazową odpowiedzią częstotliwościową (PFC). Obliczając R(w) i j(w) dla zakresu częstotliwości (0…¥) można skonstruować wykres AFC na płaszczyźnie zespolonej we współrzędnych M(w) i iN(w) (rys. 3.17).

ω

R(ω)

ω kp

ω rez

Ryc.3.18. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa.

Odpowiedź częstotliwościowa układu 1 wykazuje szczyt rezonansowy odpowiadający największej amplitudzie oscylacji wymuszonych. Praca w obszarze w pobliżu częstotliwości rezonansowej może być katastrofalna i często jest całkowicie nie do zaakceptowania przez zasady eksploatacji konkretnego regulowanego obiektu. Typ odpowiedzi częstotliwościowej 2 nie ma szczytu rezonansowego i jest bardziej preferowany w układach mechanicznych. Można również zauważyć, że wraz ze wzrostem częstotliwości amplituda oscylacji wyjściowych maleje. Fizycznie można to łatwo wyjaśnić: każdy system, ze względu na swoje nieodłączne właściwości bezwładnościowe, łatwiej ulega wahaniom pod wpływem niskich częstotliwości niż wysokich częstotliwości. Począwszy od określonej częstotliwości, oscylacje wyjściowe stają się nieistotne i częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością odcięcia, a zakres częstotliwości poniżej częstotliwości odcięcia nazywany jest szerokością pasma. W teorii sterowania automatycznego za częstotliwość odcięcia przyjmuje się taką, przy której wartość odpowiedzi częstotliwościowej jest 10 razy mniejsza niż przy częstotliwości zerowej. Właściwość systemu tłumienia drgań o wysokiej częstotliwości nazywana jest właściwością filtra dolnoprzepustowego.

Rozważmy metodę obliczania odpowiedzi częstotliwościowej na przykładzie łącza drugiego rzędu, którego równanie różniczkowe

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3,62)

W problemach z wymuszonymi oscylacjami często stosuje się bardziej wizualną formę równania

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3,63)

gdzie nazywa się częstotliwością drgań własnych przy braku tłumienia, x =T 1 w 0 /2 jest współczynnikiem tłumienia.

Funkcja przeniesienia wygląda następująco:

Zastępując p = iw otrzymujemy charakterystykę amplitudowo-fazową

Korzystając z reguły dzielenia liczb zespolonych, otrzymujemy wyrażenie na charakterystykę częstotliwościową:

Określmy częstotliwość rezonansową, przy której odpowiedź częstotliwościowa ma maksimum. Odpowiada to minimalnemu mianownikowi wyrażenia (3,66). Przyrównując pochodną mianownika po częstotliwości w do zera, otrzymujemy:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)

skąd otrzymujemy wartość częstotliwości rezonansowej, która nie jest równa zeru:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3,68)

Przeanalizujmy to wyrażenie, dla którego rozważamy indywidualne przypadki odpowiadające różnym wartościom współczynnika tłumienia.

1. x = 0. Częstotliwość rezonansowa jest równa częstotliwości naturalnej, a wielkość odpowiedzi częstotliwościowej dąży do nieskończoności. Jest to przypadek tak zwanego rezonansu matematycznego.

2. . Ponieważ częstotliwość wyraża się liczbą dodatnią, a z (68) w tym przypadku otrzymuje się zero lub liczbę urojoną, wynika z tego, że przy takich wartościach współczynnika tłumienia odpowiedź częstotliwościowa nie ma szczytu rezonansowego (krzywa 2 na ryc. 3.18).

3. . Pasmo przenoszenia ma szczyt rezonansowy, a wraz ze spadkiem współczynnika tłumienia częstotliwość rezonansowa zbliża się do własnej, a szczyt rezonansowy staje się wyższy i ostrzejszy.

Transformacja Laplace'a DE umożliwia wprowadzenie wygodnej koncepcji funkcji przenoszenia charakteryzującej właściwości dynamiczne układu.

Na przykład równanie operatora

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

można przekształcić, wyjmując X (y) i Y (y) z nawiasów i dzieląc przez siebie:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Wynikowe wyrażenie nazywa się funkcją przenoszenia.

Funkcja przenoszenia nazywa się stosunkiem obrazu efektu wyjściowego Y(s) do obrazu wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych.

(2.4)

Funkcja przenoszenia jest ułamkową wymierną funkcją zmiennej zespolonej:

,

gdzie B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - wielomian licznika,

A(s) = za 0 + za 1 s + za 2 s 2 + … + za n s n - wielomian mianownika.

Funkcja przenoszenia ma rząd określony przez rząd wielomianu mianownika (n).

Z (2.4) wynika, że ​​obraz sygnału wyjściowego można znaleźć jako

Y(s) = W(s)*X(s).

Ponieważ funkcja przenoszenia układu całkowicie determinuje jego właściwości dynamiczne, początkowe zadanie obliczenia ASR sprowadza się do określenia jego funkcji przenoszenia.

2.6.2 Przykłady typowych linków

Ogniwo systemu to element systemu, który ma określone właściwości dynamiczne. Połączenia układów sterowania mogą mieć różną naturę fizyczną (połączenia elektryczne, pneumatyczne, mechaniczne itp.), ale są opisane tym samym pilotem, a stosunek sygnałów wejściowych i wyjściowych w łączach opisywany jest przez te same funkcje przenoszenia .

W TAU wyróżnia się grupę najprostszych jednostek, które zwykle nazywane są typowymi. Charakterystyki statyczne i dynamiczne typowych łączy zostały szczegółowo zbadane. Standardowe łącza są szeroko stosowane w określaniu charakterystyk dynamicznych obiektów sterujących. Przykładowo, znając odpowiedź przejściową skonstruowaną za pomocą urządzenia rejestrującego, często można określić, do jakiego typu połączeń należy obiekt sterujący, a co za tym idzie, jego transmitancja, równanie różniczkowe itp., tj. model obiektowy. Typowe łącza Każde złożone łącze można przedstawić jako połączenie prostszych łączy.

Do najprostszych typowych linków należą:

wzmocnienie,

inercyjne (aperiodyczne pierwszego rzędu),

całkowanie (rzeczywiste i idealne),

różnicowanie (rzeczywiste i idealne),

aperiodyczne II rzędu,

oscylacyjny,

opóźniony.

1) Łącznik wzmacniający.

Łącze wzmacnia sygnał wejściowy K razy. Równanie łącza y = K*x, funkcja przenoszenia W(s) = K. Wywoływany jest parametr K osiągać .

Sygnał wyjściowy takiego łącza dokładnie powtarza sygnał wejściowy, wzmocniony K razy (patrz rysunek 1.18).

Przy działaniu stopniowym h(t) = K.

Przykładami takich ogniw są: przekładnie mechaniczne, czujniki, wzmacniacze bezinercyjne itp.

2) Integracja.

2.1) Idealna integracja.

Wartość wyjściowa idealnego ogniwa całkującego jest proporcjonalna do całki wartości wejściowej:

; W(y) =

Kiedy na wejście zostanie przyłożone łącze o działaniu krokowym x(t) = 1, sygnał wyjściowy stale rośnie (patrz rysunek 1.19):

Link ten jest astatyczny, tj. nie ma stanu stałego.

Przykładem takiego połączenia jest pojemnik wypełniony cieczą. Parametrem wejściowym jest natężenie przepływu napływającej cieczy, parametrem wyjściowym jest poziom. Początkowo pojemnik jest pusty i przy braku przepływu poziom wynosi zero, ale jeśli włączysz dopływ płynu, poziom zacznie równomiernie rosnąć.

2.2) Integracja rzeczywista.

P Funkcja przenoszenia tego łącza ma postać

W(y) =
.

Reakcją przejścia, w przeciwieństwie do połączenia idealnego, jest krzywa (patrz ryc. 1.20):

h(t) = K. (t – T) + K. T. e - t / T .

Przykładem ogniwa całkującego jest silnik prądu stałego o niezależnym wzbudzeniu, jeżeli za efekt wejściowy przyjmuje się napięcie zasilania stojana, a za efekt wyjściowy kąt obrotu wirnika. Jeśli do silnika nie zostanie dostarczone napięcie, wirnik nie porusza się, a jego kąt obrotu można przyjąć jako równy zeru. Po przyłożeniu napięcia wirnik zaczyna się obracać, a jego kąt obrotu najpierw jest powolny na skutek bezwładności, a następnie wzrasta szybciej, aż do osiągnięcia określonej prędkości obrotowej.

3) Różnicowanie.

3.1) Idealny wyróżnik.

Wielkość wyjściowa jest proporcjonalna do pochodnej czasu sygnału wejściowego:

; W(s) = K*s

Przy krokowym sygnale wejściowym sygnałem wyjściowym jest impuls (funkcja ): h(t) = K. (t).

3.2) Rzeczywiste różnicowanie.

Idealne powiązania różnicujące nie są fizycznie możliwe do zrealizowania. Większość obiektów reprezentujących powiązania różniczkujące należy do rzeczywistych powiązań różniczkujących, których funkcje przenoszenia mają postać

W(y) =
.

Odpowiedź krokowa:
.

Przykład łącza: generator elektryczny. Parametrem wejściowym jest kąt obrotu wirnika, parametrem wyjściowym jest napięcie. Jeśli wirnik obróci się o określony kąt, na zaciskach pojawi się napięcie, natomiast jeśli wirnik nie będzie dalej obracany, napięcie spadnie do zera. Nie może gwałtownie spaść ze względu na obecność indukcyjności w uzwojeniu.

4) Aperiodyczny (inercyjny).

Ten link odpowiada DE i PF formularza

; W(y) =
.

Określmy charakter zmiany wartości wyjściowej tego łącza, gdy na wejście zostanie przyłożony skokowy wpływ wartości x 0.

Obraz efektu kroku: X(s) = . Następnie obraz wielkości wyjściowej to:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

Rozłóżmy ułamek na ułamki pierwsze:

=
+ =
= -
= -

Oryginał pierwszego ułamka według tabeli: L -1 () = 1, drugi:

L-1 ( } = .

Wtedy w końcu dostajemy

y(t) = K x 0 (1 - ).

Nazywa się stałą T stała czasowa.

Większość obiektów termicznych to połączenia aperiodyczne. Na przykład, gdy do wejścia pieca elektrycznego zostanie przyłożone napięcie, jego temperatura zmieni się zgodnie z podobnym prawem (patrz rysunek 1.22).

5) Linki drugiego rzędu

Linki mają zdalne sterowanie i PF formularza

,

W(y) =
.

Kiedy na wejście zostanie zastosowany efekt krokowy o amplitudzie x 0, krzywa przejściowa będzie miała jeden z dwóch typów: aperiodyczny (w T 1  2 T 2) lub oscylacyjny (w T 1< 2Т 2).

Pod tym względem wyróżnia się linki drugiego rzędu:

aperiodyczny drugiego rzędu (T 1  2T 2),

inercyjny (T 1< 2Т 2),

konserwatywny (T 1 = 0).

6) Opóźnione.

Jeżeli po doprowadzeniu określonego sygnału na wejście obiektu obiekt nie reaguje na ten sygnał natychmiast, lecz po pewnym czasie, wówczas mówi się, że obiekt ma opóźnienie.

Opóźnienie to odstęp czasu od momentu zmiany sygnału wejściowego do początku zmiany sygnału wyjściowego.

Łącze opóźnione to łącze, w którym wartość wyjściowa y dokładnie powtarza wartość wejściową x z pewnym opóźnieniem :

y(t) = x(t - ).

Funkcja przesyłania łącza:

W(s) = mi -  s .

Przykłady opóźnień: ruch cieczy wzdłuż rurociągu (ile cieczy przepompowano na początku rurociągu, tyle wypłynie na końcu, ale po pewnym czasie ciecz przejdzie przez rurę), ruch ładunku wzdłuż przenośnika (opóźnienie zależy od długości przenośnika i prędkości taśmy) itp. .d.