Większość operacji na ułamkach algebraicznych, takich jak dodawanie i odejmowanie, wymaga najpierw sprowadzenia tych ułamków do tych samych mianowników. Takie mianowniki są często określane jako „wspólny mianownik”. W tym temacie przyjrzymy się definicji pojęć „wspólny mianownik ułamków algebraicznych” i „najmniejszy wspólny mianownik ułamków algebraicznych (LCD)”, rozważymy algorytm znajdowania wspólnego mianownika punkt po punkcie i rozwiążemy kilka problemów na temat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wspólny mianownik ułamków algebraicznych

Jeśli mówimy o ułamkach zwykłych, to wspólnym mianownikiem jest liczba, która jest podzielna przez dowolny z mianowników pierwotnych ułamków. Dla ułamków zwykłych 1 2 I 5 9 liczba 36 może być wspólnym mianownikiem, ponieważ dzieli się przez 2 i 9 bez reszty.

Wspólny mianownik ułamków algebraicznych wyznacza się w podobny sposób, zamiast liczb stosuje się tylko wielomiany, ponieważ są one licznikami i mianownikami ułamka algebraicznego.

Definicja 1

Wspólny mianownik ułamka algebraicznego jest wielomianem podzielnym przez mianownik dowolnego ułamka.

Ze względu na specyfikę ułamków algebraicznych, która zostanie omówiona poniżej, często będziemy mieli do czynienia ze wspólnymi mianownikami reprezentowanymi jako iloczyn, a nie jako standardowy wielomian.

Przykład 1

Wielomian zapisany jako iloczyn 3 x 2 (x + 1), odpowiada wielomianowi postaci standardowej 3x3 + 3x2. Wielomian ten może być wspólnym mianownikiem ułamków algebraicznych 2 x, - 3 x y x 2 i y + 3 x + 1, ponieważ jest podzielny przez X, NA x 2 i dalej x+1. Informacje na temat podzielności wielomianów są dostępne w odpowiednim temacie naszego zasobu.

Najmniejszy wspólny mianownik (LCD)

Dla danych ułamków algebraicznych liczba wspólnych mianowników może być nieskończona.

Przykład 2

Weźmy jako przykład ułamki 1 2 x i x + 1 x 2 + 3. Ich wspólnym mianownikiem jest 2 x (x 2 + 3), tak jak − 2 x (x 2 + 3), tak jak x (x 2 + 3), tak jak 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), tak jak − 31 x 5 (x 2 + 3) 3 itp.

Rozwiązując problemy, możesz ułatwić sobie pracę, używając wspólnego mianownika, który ma najprostszą postać spośród całego zbioru mianowników. Mianownik ten jest często nazywany najniższym wspólnym mianownikiem.

Definicja 2

Najmniejszy wspólny mianownik ułamków algebraicznych jest wspólnym mianownikiem ułamków algebraicznych, który ma najprostszą postać.

Swoją drogą, określenie „najniższy wspólny mianownik” nie jest powszechnie akceptowane, dlatego lepiej ograniczyć się do określenia „wspólny mianownik”. I oto dlaczego.

Wcześniej skupiliśmy Twoją uwagę na wyrażeniu „mianownik najprostszego rodzaju”. Główne znaczenie tego wyrażenia jest następujące: mianownik najprostszej postaci musi dzielić bez reszty dowolny inny wspólny mianownik danych w warunku problemu ułamków algebraicznych. W takim przypadku w iloczynie będącym wspólnym mianownikiem ułamków można zastosować różne współczynniki liczbowe.

Przykład 3

Weźmy ułamki 1 2 · x i x + 1 x 2 + 3 . Przekonaliśmy się już, że najłatwiej będzie nam pracować ze wspólnym mianownikiem w postaci 2 x x (x 2 + 3). Może także być wspólny mianownik tych dwóch ułamków x (x 2 + 3), który nie zawiera współczynnika liczbowego. Pytanie brzmi, który z tych dwóch wspólnych mianowników jest uważany za najmniejszy wspólny mianownik ułamków. Nie ma jednoznacznej odpowiedzi, dlatego lepiej jest po prostu porozmawiać o wspólnym mianowniku i pracować z opcją, z którą będzie najwygodniej pracować. Możemy więc używać takich wspólnych mianowników jak x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) Lub − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, które mają bardziej złożony wygląd, ale wykonywanie z nimi działań może być trudniejsze.

Znajdowanie wspólnego mianownika ułamków algebraicznych: algorytm działań

Załóżmy, że mamy kilka ułamków algebraicznych, dla których musimy znaleźć wspólny mianownik. Aby rozwiązać ten problem, możemy zastosować następujący algorytm działań. Najpierw musimy rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków. Następnie tworzymy utwór, w którym kolejno uwzględniamy:

• wszystkie czynniki z mianownika pierwszego ułamka wraz z potęgami;
• wszystkie czynniki występujące w mianowniku drugiego ułamka, ale których nie ma w iloczynie pisanym lub ich stopień jest niewystarczający;
• wszystkie brakujące czynniki z mianownika trzeciego ułamka i tak dalej.

Powstały iloczyn będzie wspólnym mianownikiem ułamków algebraicznych.

Jako czynniki iloczynu możemy przyjąć wszystkie mianowniki ułamków podanych w opisie problemu. Jednak mnożnik, który ostatecznie otrzymamy, będzie daleki od NCD w znaczeniu, a jego użycie będzie irracjonalne.

Przykład 4

Znajdź wspólny mianownik ułamków 1 x 2 y, 5 x + 1 i y - 3 x 5 y.

Rozwiązanie

W tym przypadku nie musimy uwzględniać mianowników pierwotnych ułamków. Dlatego zastosowanie algorytmu zaczniemy od komponowania pracy.

Z mianownika pierwszego ułamka bierzemy mnożnik x 2 lata, z mianownika drugiego ułamka mnożnik x+1. Otrzymujemy produkt x 2 lata (x + 1).

Mianownik trzeciego ułamka może dać nam mnożnik x 5 lat, jednak produkt, który skompilowaliśmy wcześniej, ma już czynniki x 2 I y. Dlatego dodajemy więcej x 5 - 2 = x 3. Otrzymujemy produkt x 2 y (x + 1) x 3, co można sprowadzić do postaci x 5 lat (x + 1). To będzie nasza NOZ ułamków algebraicznych.

Odpowiedź: x 5 · y · (x + 1) .

Przyjrzyjmy się teraz przykładom problemów, w których mianowniki ułamków algebraicznych zawierają całkowite czynniki liczbowe. W takich przypadkach również postępujemy zgodnie z algorytmem, rozkładając wcześniej czynniki liczbowe całkowite na czynniki proste.

Przykład 5

Znajdź wspólny mianownik ułamków 1 12 x i 1 90 x 2.

Rozwiązanie

Dzieląc liczby w mianownikach ułamków na czynniki pierwsze, otrzymujemy 1 2 2 3 x i 1 2 3 2 5 x 2. Teraz możemy przejść do zestawiania wspólnego mianownika. Aby to zrobić, z mianownika pierwszego ułamka bierzemy iloczyn 2 2 3 x i dodaj do tego czynniki 3, 5 i X z mianownika drugiego ułamka. Dostajemy 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. To jest nasz wspólny mianownik.

Odpowiedź: 180x2.

Jeśli przyjrzysz się uważnie wynikom dwóch analizowanych przykładów, zauważysz, że wspólne mianowniki ułamków zawierają wszystkie czynniki obecne w rozwinięciach mianowników, a jeśli pewien czynnik występuje w kilku mianownikach, wówczas przyjmuje się z największym dostępnym wykładnikiem. A jeśli mianowniki mają współczynniki całkowite, wówczas wspólny mianownik zawiera współczynnik liczbowy równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych współczynników liczbowych.

Przykład 6

Mianowniki obu ułamków algebraicznych 1 12 x i 1 90 x 2 mają współczynnik X. W drugim przypadku współczynnik x jest kwadratowy. Aby stworzyć wspólny mianownik, trzeba ten czynnik wziąć w jak największym stopniu, tj. x 2. Nie ma innych mnożników ze zmiennymi. Całkowite współczynniki liczbowe ułamków pierwotnych 12 I 90 , a ich najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 180 . Okazuje się, że pożądany wspólny mianownik ma postać 180x2.

Teraz możemy zapisać kolejny algorytm znajdowania wspólnego czynnika ułamków algebraicznych. W tym celu:

• uwzględnij mianowniki wszystkich ułamków;
• tworzymy iloczyn wszystkich czynników literowych (jeśli w kilku rozwinięciach występuje czynnik, bierzemy opcję z największym wykładnikiem);
• do otrzymanego produktu dodajemy LCM numerycznych współczynników rozszerzeń.

Podane algorytmy są równoważne, zatem do rozwiązywania problemów można zastosować dowolny z nich. Ważne jest, aby zwracać uwagę na szczegóły.

Zdarzają się przypadki, gdy wspólne czynniki w mianownikach ułamków mogą być niewidoczne za współczynnikami liczbowymi. W tym przypadku wskazane jest, aby najpierw umieścić współczynniki liczbowe przy wyższych potęgach zmiennych z nawiasów w każdym z czynników występujących w mianowniku.

Przykład 7

Jaki wspólny mianownik mają ułamki 3 5 - x i 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Rozwiązanie

W pierwszym przypadku minus jeden należy wyjąć z nawiasów. Otrzymujemy 3 - x - 5 . Mnożymy licznik i mianownik przez - 1, aby pozbyć się minusa w mianowniku: - 3 x - 5.

W drugim przypadku usuwamy te dwa z nawiasów. To pozwala nam otrzymać ułamek 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Jest oczywiste, że wspólnym mianownikiem tych ułamków algebraicznych - 3 x - 5 i 5 - x · y 2 2 · x - 5 jest 2 (x - 5).

Odpowiedź:2 (x - 5).

Dane w warunku problemu ułamkowego mogą mieć współczynniki ułamkowe. W takich przypadkach należy najpierw pozbyć się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez określoną liczbę.

Przykład 8

Uprość ułamki algebraiczne 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 i - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, a następnie określ ich wspólny mianownik.

Rozwiązanie

Pozbądźmy się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik w pierwszym przypadku przez 14, w drugim przypadku przez 3. Otrzymujemy:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 i - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Po przekształceniach staje się jasne, że wspólnym mianownikiem jest 2 (x 2 + 2).

Odpowiedź: 2 (x 2 + 2).

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Aby rozwiązać przykłady za pomocą ułamków zwykłych, musisz znaleźć najniższy wspólny mianownik. Poniżej znajdują się szczegółowe instrukcje.

Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik - pojęcie

Najmniejszy wspólny mianownik (LCD), w prostych słowach, to minimalna liczba, która jest podzielna przez mianowniki wszystkich ułamków w danym przykładzie. Innymi słowy, nazywa się to najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM). NOS stosuje się tylko wtedy, gdy mianowniki ułamków są różne.

Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik – przykłady

Spójrzmy na przykłady znajdowania NOC.

Oblicz: 3/5 + 2/15.

Rozwiązanie (sekwencja działań):

• Patrzymy na mianowniki ułamków, upewniamy się, że są różne i że wyrażenia są jak najkrótsze.
• Znajdujemy najmniejszą liczbę podzielną zarówno przez 5, jak i 15. Ta liczba będzie wynosić 15. Zatem 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Ustaliliśmy mianownik. Co będzie w liczniku? Dodatkowy mnożnik pomoże nam to rozgryźć. Dodatkowym czynnikiem jest liczba uzyskana poprzez podzielenie NZ przez mianownik danego ułamka. Dla 3/5 dodatkowy współczynnik wynosi 3, ponieważ 15/5 = 3. Dla drugiego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 1, ponieważ 15/15 = 1.
• Po znalezieniu dodatkowego współczynnika mnożymy go przez liczniki ułamków i dodajemy otrzymane wartości. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odpowiedź: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Jeśli w przykładzie dodano lub odjęto nie 2, ale 3 lub więcej ułamków, wówczas NCD należy przeszukać pod kątem tylu ułamków, ile podano.

Oblicz: 1/2 – 5/12 + 3/6

Rozwiązanie (kolejność działań):

• Znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika. Minimalna liczba podzielna przez 2, 12 i 6 to 12.
• Otrzymujemy: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Szukamy dodatkowych mnożników. Dla 1/2 – 6; dla 12.05 – 1; dla 3/6 – 2.
• Mnożymy przez liczniki i przypisujemy odpowiednie znaki: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Odpowiedź: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Mianownikiem ułamka arytmetycznego a/b jest liczba b, która pokazuje wielkość ułamków jednostki, z której składa się ułamek. Mianownikiem ułamka algebraicznego A/B jest wyrażenie algebraiczne B. Aby wykonywać operacje arytmetyczne na ułamkach, należy je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika.

Będziesz potrzebować

• Aby pracować z ułamkami algebraicznymi i znajdować najniższy wspólny mianownik, musisz wiedzieć, jak rozkładać wielomiany na czynniki.

Instrukcje

Rozważmy sprowadzenie dwóch ułamków arytmetycznych n/m i s/t do najmniejszego wspólnego mianownika, gdzie n, m, s, t są liczbami całkowitymi. Oczywiste jest, że te dwa ułamki można sprowadzić do dowolnego mianownika podzielnego przez m i t. Starają się jednak doprowadzić do najniższego wspólnego mianownika. Jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników m i t danych ułamków. Najmniejsza wielokrotność (LMK) liczby to najmniejsza liczba podzielna przez wszystkie podane liczby jednocześnie. Te. w naszym przypadku musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb m i t. Oznaczone jako LCM (m, t). Następnie frakcje mnoży się przez odpowiednie: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Znajdźmy najniższy wspólny mianownik trzech ułamków: 4/5, 7/8, 11/14. Najpierw rozwińmy mianowniki 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Następnie oblicz LCM (5, 8, 14) poprzez pomnożenie wszystkie liczby zawarte w co najmniej jednym z rozwinięć. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Zauważ, że jeśli w rozwinięciu kilku liczb występuje czynnik (współczynnik 2 w rozwinięciu mianowników 8 i 14), to uwzględniamy czynnik większy stopień (w naszym przypadku 2^3).

Tak więc otrzymano ogólny. Jest równe 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tutaj otrzymujemy liczby, przez które musimy pomnożyć ułamki przez odpowiednie mianowniki, aby doprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika. Otrzymujemy 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Redukcję ułamków algebraicznych do najniższego wspólnego mianownika przeprowadza się analogicznie do ułamków arytmetycznych. Dla jasności spójrzmy na problem na przykładzie. Niech zostaną podane dwa ułamki (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) i (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Rozłóżmy oba mianowniki na czynniki. Zauważ, że mianownikiem pierwszego ułamka jest idealny kwadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Dla

Jak znaleźć LCM (najmniejszą wspólną wielokrotność)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych to najmniejsza ze wszystkich liczb całkowitych, która dzieli się przez obie podane liczby bez pozostawiania reszty.

Metoda 1. LCM można znaleźć z kolei dla każdej z podanych liczb, wypisując w kolejności rosnącej wszystkie liczby, które otrzymamy poprzez pomnożenie ich przez 1, 2, 3, 4 i tak dalej.

Przykład dla numerów 6 i 9.
Mnożymy liczbę 6 kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 6, 12, 18 , 24, 30
Mnożymy liczbę 9 kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 9, 18 , 27, 36, 45
Jak widać, LCM dla liczb 6 i 9 będzie wynosić 18.

Ta metoda jest wygodna, gdy obie liczby są małe i łatwo je pomnożyć przez ciąg liczb całkowitych. Są jednak przypadki, gdy trzeba znaleźć LCM dla liczb dwucyfrowych lub trzycyfrowych, a także gdy istnieją trzy lub nawet więcej liczb początkowych.

Metoda 2. LCM można znaleźć, rozkładając oryginalne liczby na czynniki pierwsze.
Po rozkładzie należy skreślić identyczne liczby z powstałego szeregu czynników pierwszych. Pozostałe liczby pierwszej liczby będą mnożnikiem drugiej, a pozostałe liczby drugiej będą mnożnikiem pierwszej.

Przykład dla numerów 75 i 60.
Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 75 i 60 można znaleźć bez zapisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozłóżmy 75 i 60 na proste czynniki:
75 = 3 * 5 * 5, A
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Jak widać, współczynniki 3 i 5 pojawiają się w obu wierszach. Mentalnie je „przekreślamy”.
Wypiszmy pozostałe czynniki biorące udział w rozwinięciu każdej z tych liczb. Rozkładając liczbę 75 zostaje nam liczba 5, a rozkładając liczbę 60 zostaje nam 2*2
Oznacza to, że aby wyznaczyć LCM dla liczb 75 i 60, należy pomnożyć liczby pozostałe z rozwinięcia 75 (to jest 5) przez 60, a liczby pozostałe z rozwinięcia 60 (to jest 2 * 2) przez 75. Oznacza to, że dla ułatwienia zrozumienia mówimy, że mnożymy „na krzyż”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
W ten sposób znaleźliśmy LCM dla liczb 60 i 75. To jest liczba 300.

Przykład. Określ LCM dla liczb 12, 16, 24
W tym przypadku nasze działania będą nieco bardziej skomplikowane. Ale najpierw, jak zawsze, rozłóżmy wszystkie liczby na czynniki
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby poprawnie wyznaczyć LCM, wybieramy najmniejszą ze wszystkich liczb (jest to liczba 12) i kolejno przechodzimy przez jej współczynniki, skreślając je, jeśli w przynajmniej jednym z pozostałych rzędów liczb napotkamy ten sam współczynnik, którego jeszcze nie ma został przekreślony.

Krok 1. Widzimy, że 2 * 2 występuje we wszystkich seriach liczb. Przekreślmy je.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. W czynnikach pierwszych liczby 12 pozostaje tylko liczba 3, ale jest ona obecna w czynnikach pierwszych liczby 24. Przekreślamy liczbę 3 z obu wierszy, natomiast dla liczby 16 nie oczekujemy żadnych działań. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Jak widać, rozkładając liczbę 12, „przekreśliliśmy” wszystkie liczby. Oznacza to, że wyszukiwanie LOC zostało zakończone. Pozostaje tylko obliczyć jego wartość.
Dla liczby 12 weź pozostałe czynniki liczby 16 (następne w kolejności rosnącej)
12 * 2 * 2 = 48
To jest NOC

Jak widać, w tym przypadku znalezienie LCM było nieco trudniejsze, ale gdy trzeba go znaleźć dla trzech lub więcej liczb, ta metoda pozwala zrobić to szybciej. Jednak obie metody znalezienia LCM są prawidłowe.

Ale wiele liczb naturalnych dzieli się także przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, przez które liczba jest podzielna przez całość (dla 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywane są dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej A- jest liczbą naturalną dzielącą daną liczbę A bez śladu. Nazywa się liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony .

Należy pamiętać, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Te liczby to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólnym dzielnikiem tych dwóch liczb A I B- jest to liczba, przez którą dzielone są obie podane liczby bez reszty A I B.

Wspólne wielokrotności kilka liczb to liczba, która jest podzielna przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są także ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich wspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Liczba ta nazywana jest najmniejszywspólna wielokrotność (CMM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa niż największa z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Właściwości.

Przemienność:

Łączność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi, to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych M I N jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności M I N. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, rz pokrywa się ze zbiorem wielokrotności LCM( m, rz).

Asymptotykę można wyrazić w postaci niektórych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. Taj:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa rozkładu liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeżeli znany jest największy wspólny dzielnik, można wykorzystać jego połączenie z LCM:

2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:

Gdzie p 1 ,...,p k- różne liczby pierwsze i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nieujemne liczby całkowite (mogą być zerami, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie występuje w rozwinięciu).

Następnie NOC ( A,B) oblicza się według wzoru:

Innymi słowy, rozkład LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze zawarte w co najmniej jednym z rozkładów liczb a, b, i bierze się pod uwagę największy z dwóch wykładników tego mnożnika.

Przykład:

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:

- rozkłada liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największy rozkład (iloczyn czynników największej liczby podanych) na czynniki pożądanego iloczynu, a następnie dodać czynniki z rozkładu innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub w niej występują mniej razy;

— wynikowy iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Dowolne dwie lub więcej liczb naturalnych mają swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych współczynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Do czynników pierwszych liczby 28 (2, 2, 7) dodaje się współczynnik 3 (liczba 21), wynikowy iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.

Do czynników pierwszych największej liczby 30 dodaje się współczynnik 5 liczby 25, otrzymany iloczyn 150 jest większy od największej liczby 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), będący wielokrotnością wszystkich podanych liczb.

Liczby 2,3,11,37 są liczbami pierwszymi, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

Reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, należy pomnożyć wszystkie te liczby przez siebie.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) przedstaw każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapisz wszystkie pierwsze dzielniki (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdej z nich, występujący we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te potęgi.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.