Rozważmy ułamek $\frac63$. Jego wartość wynosi 2, ponieważ $\frac63 =6:3 = 2$. Co się stanie, jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Oczywiście wartość ułamka się nie zmieniła, więc $\frac(12)(6)$ gdy y jest również równe 2. Możesz pomnóż licznik i mianownik o 3 i uzyskaj $\frac(18)(9)$, lub o 27 i uzyskaj $\frac(162)(81)$, lub o 101 i uzyskaj $\frac(606)(303)$. W każdym z tych przypadków wartość ułamka, który otrzymamy dzieląc licznik przez mianownik, wynosi 2. Oznacza to, że się nie zmieniła.

Ten sam schemat obserwuje się w przypadku innych frakcji. Jeśli licznik i mianownik ułamka $\frac(120)(60)$ (równy 2) podzielimy przez 2 (wynik to $\frac(60)(30)$) lub przez 3 (wynik to $\frac(40)(20) $), lub o 4 (wynik $\frac(30)(15)$) i tak dalej, to w każdym przypadku wartość ułamka pozostaje niezmieniona i równa 2.

Zasada ta dotyczy również ułamków, które nie są równe cały numer.

Jeśli licznik i mianownik ułamka $\frac(1)(3)$ pomnożymy przez 2, otrzymamy $\frac(2)(6)$, czyli wartość ułamka nie uległa zmianie. I tak naprawdę, jeśli podzielisz ciasto na 3 części i weźmiesz jedną z nich, lub podzielisz je na 6 części i weźmiesz 2 części, w obu przypadkach otrzymasz taką samą ilość ciasta. Dlatego liczby $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ są identyczne. Sformułujmy ogólną zasadę.

Licznik i mianownik dowolnego ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę bez zmiany wartości ułamka.

Zasada ta okazuje się bardzo przydatna. Na przykład pozwala w niektórych przypadkach, ale nie zawsze, uniknąć operacji na dużych liczbach.

Na przykład możemy podzielić licznik i mianownik ułamka $\frac(126)(189)$ przez 63 i otrzymać ułamek $\frac(2)(3)$, za pomocą którego znacznie łatwiej jest obliczyć. Jeszcze jeden przykład. Możemy podzielić licznik i mianownik ułamka $\frac(155)(31)$ przez 31 i otrzymać ułamek $\frac(5)(1)$ lub 5, ponieważ 5:1=5.

W tym przykładzie po raz pierwszy się zetknęliśmy ułamek, którego mianownik wynosi 1. Takie ułamki odgrywają ważną rolę w obliczeniach. Należy pamiętać, że dowolną liczbę można podzielić przez 1 i jej wartość nie ulegnie zmianie. Oznacza to, że $\frac(273)(1)$ jest równe 273; $\frac(509993)(1)$ równa się 509993 i tak dalej. Dlatego nie musimy dzielić liczb przez , ponieważ każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako ułamek o mianowniku 1.

Na takich ułamkach, których mianownik wynosi 1, można wykonywać te same działania arytmetyczne, co na wszystkich innych ułamkach: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Możesz zapytać, po co przedstawiać liczbę całkowitą jako ułamek z jednostką pod linią, ponieważ wygodniej jest pracować z liczbą całkowitą. Chodzi jednak o to, że przedstawienie liczby całkowitej w postaci ułamka daje nam możliwość efektywniejszego wykonywania różnych operacji, gdy mamy do czynienia jednocześnie z liczbami całkowitymi i ułamkami. Na przykład uczyć się dodawaj ułamki o różnych mianownikach. Załóżmy, że musimy dodać $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.

Wiemy, że możemy dodawać tylko ułamki, których mianowniki są równe. Oznacza to, że musimy nauczyć się redukować ułamki zwykłe do postaci, w której ich mianowniki są równe. W tym przypadku ponownie będziemy potrzebować faktu, że licznik i mianownik ułamka możemy pomnożyć przez tę samą liczbę bez zmiany jego wartości.

Najpierw pomnóż licznik i mianownik ułamka $\frac(1)(3)$ przez 5. Otrzymujemy $\frac(5)(15)$, wartość ułamka się nie zmieniła. Następnie mnożymy licznik i mianownik ułamka $\frac(1)(5)$ przez 3. Otrzymujemy $\frac(3)(15)$, znowu wartość ułamka się nie zmieniła. Zatem $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Spróbujmy teraz zastosować ten system do dodawania liczb zawierających zarówno części całkowite, jak i ułamkowe.

Musimy dodać 3 $ + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Najpierw zamieńmy wszystkie wyrazy na ułamki zwykłe i otrzymamy: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Teraz musimy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika, w tym celu mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 12, drugiego przez 4, a trzeciego przez 3. W rezultacie otrzymujemy $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, co jest równe $\frac(55)(12)$. Jeśli chcesz się pozbyć ułamek niewłaściwy, można ją zamienić na liczbę składającą się z liczby całkowitej i ułamka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ lub $4\frac(7 )( 12)$.

Wszystkie zasady, które na to pozwalają operacje na ułamkach, które właśnie badaliśmy, obowiązują również w przypadku liczb ujemnych. Zatem -1:3 można zapisać jako $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) jako $\frac(1)(-3)$.

Ponieważ zarówno podzielenie liczby ujemnej przez liczbę dodatnią, jak i podzielenie liczby dodatniej przez ujemną daje w rezultacie liczby ujemne, w obu przypadkach odpowiedzią będzie liczba ujemna. To jest

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ lub $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus zapisany w ten sposób odnosi się do całego ułamka, a nie oddzielnie do licznika lub mianownika.

Z drugiej strony (-1) : (-3) można zapisać jako $\frac(-1)(-3)$, a ponieważ podzielenie liczby ujemnej przez liczbę ujemną daje liczbę dodatnią, to $\frac (-1 )(-3)$ można zapisać jako $+\frac(1)(3)$.

Dodawanie i odejmowanie ułamków ujemnych odbywa się według tego samego schematu, co dodawanie i odejmowanie ułamków dodatnich. Na przykład, co to jest $1- 1\frac13$? Przedstawmy obie liczby jako ułamki i otrzymajmy $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika i otrzymajmy $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, czyli $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ lub $-\frac(1)(3)$.

Kalkulator internetowy.
Oceń wyrażenie za pomocą ułamków liczbowych.
Mnożenie, odejmowanie, dzielenie, dodawanie i zmniejszanie ułamków o różnych mianownikach.

Dzięki temu kalkulatorowi online jest to możliwe mnożyć, odejmować, dzielić, dodawać i zmniejszać ułamki o różnych mianownikach.

Program działa z ułamkami zwykłymi, niewłaściwymi i mieszanymi.

Ten program (kalkulator online) może:
- wykonać dodawanie ułamków mieszanych o różnych mianownikach
- wykonać odejmowanie ułamków mieszanych o różnych mianownikach
- dzielić ułamki mieszane o różnych mianownikach
- mnożyć ułamki mieszane o różnych mianownikach
- sprowadź ułamki do wspólnego mianownika
- zamienia ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe
- skróć ułamki

Można także wprowadzić nie wyrażenie zawierające ułamki zwykłe, ale pojedynczy ułamek.
W takim przypadku ułamek zostanie zmniejszony, a cała część zostanie oddzielona od wyniku.

Kalkulator online do obliczania wyrażeń z ułamkami liczbowymi nie tylko daje odpowiedź na problem, ale dostarcza szczegółowe rozwiązanie z objaśnieniami, tj. pokazuje proces poszukiwania rozwiązania.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w szkołach ogólnokształcących podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Jeżeli nie znasz zasad wprowadzania wyrażeń z ułamkami liczbowymi, polecamy się z nimi zapoznać.

Zasady wprowadzania wyrażeń z ułamkami liczbowymi

Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Wejście: -2/3 + 7/5
Wynik: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: -1 i 2/3 * 5 i 8/3
Wynik: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

Dzielenie ułamków wprowadzamy znakiem dwukropka: :
Wejście: -9 i 37/12: -3 i 5/14
Wynik: \(-9\frac(37)(12): \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Pamiętaj, że nie możesz dzielić przez zero!

Podczas wprowadzania wyrażeń zawierających ułamki liczbowe można używać nawiasów.
Wejście: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Wynik: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, to możesz o tym napisać w Formularz zwrotny.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Ułamki zwykłe. Dzielenie z resztą

Jeśli będziemy musieli podzielić 497 przez 4, to podczas dzielenia zobaczymy, że 497 nie jest równomiernie podzielne przez 4, tj. pozostała część podziału pozostaje. W takich przypadkach mówi się, że jest zakończone dzielenie z resztą, a rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:
497: 4 = 124 (1 reszta).

Składniki dzielenia po lewej stronie równości nazywane są tak samo, jak przy dzieleniu bez reszty: 497 - dywidenda, 4 - rozdzielacz. Nazywa się wynik dzielenia z resztą niepełny prywatny. W naszym przypadku jest to liczba 124. I wreszcie ostatnia składowa, która nie podlega zwykłemu podziałowi, to reszta. W przypadkach, gdy nie ma reszty, mówi się, że jedna liczba jest dzielona przez drugą bez śladu lub całkowicie. Uważa się, że przy takim podziale reszta wynosi zero. W naszym przypadku reszta wynosi 1.

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Dzielenie można sprawdzić mnożąc. Jeśli na przykład istnieje równość 64: 32 = 2, wówczas sprawdzenie można wykonać w następujący sposób: 64 = 32 * 2.

Często w przypadkach, gdy wykonywane jest dzielenie z resztą, wygodnie jest zastosować równość
a = b * n + r,
gdzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, n jest ilorazem częściowym, r jest resztą.

Iloraz liczb naturalnych można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik.

Ponieważ licznik ułamka jest dzielną, a mianownik jest dzielnikiem, wierzą, że linia ułamka oznacza czynność dzielenia. Czasami wygodnie jest zapisać dzielenie w postaci ułamka zwykłego bez użycia znaku „:”.

Iloraz dzielenia liczb naturalnych m i n można zapisać jako ułamek \(\frac(m)(n) \), gdzie licznik m jest dzielną, a mianownik n jest dzielnikiem:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Następujące zasady są prawdziwe:

Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić jednostkę na n równych części (udziałów) i wziąć m takich części.

Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić liczbę m przez liczbę n.

Aby znaleźć część całości, należy podzielić liczbę odpowiadającą całości przez mianownik i wynik pomnożyć przez licznik ułamka wyrażającego tę część.

Aby znaleźć całość z jej części, należy podzielić liczbę odpowiadającą tej części przez licznik i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka wyrażającego tę część.

Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta właściwość nazywa się główna właściwość ułamka.

Dwie ostatnie transformacje nazywane są redukując ułamek.

Jeśli ułamki muszą być reprezentowane jako ułamki o tym samym mianowniku, wówczas nazywa się to działanie sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane

Wiesz już, że ułamek można uzyskać, dzieląc całość na równe części i biorąc kilka takich części. Na przykład ułamek \(\frac(3)(4)\) oznacza trzy czwarte jednego. W wielu zadaniach opisanych w poprzednim akapicie ułamki były używane do przedstawienia części całości. Zdrowy rozsądek podpowiada, że ​​część powinna być zawsze mniejsza od całości, ale co z ułamkami takimi jak \(\frac(5)(5)\) lub \(\frac(8)(5)\)? Oczywiste jest, że nie jest to już część jednostki. Prawdopodobnie dlatego nazywa się ułamki, których licznik jest większy lub równy mianownikowi ułamki niewłaściwe. Pozostałe ułamki, czyli ułamki, których licznik jest mniejszy od mianownika, nazywane są poprawne ułamki.

Jak wiadomo, o każdym ułamku zwykłym, właściwym i niewłaściwym, można pomyśleć jako wynik podzielenia licznika przez mianownik. Dlatego w matematyce, w odróżnieniu od potocznego języka, określenie „ułamek niewłaściwy” nie oznacza, że ​​zrobiliśmy coś złego, a jedynie to, że licznik tego ułamka jest większy lub równy mianownikowi.

Jeśli liczba składa się z części całkowitej i ułamka, to taka ułamki nazywane są mieszanymi.

Na przykład:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 to część całkowita, a \(\frac(2)(3) \) to część ułamkowa.

Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, jego licznik należy podzielić przez tę liczbę:
\(\duży \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) nie jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, należy pomnożyć jego mianownik przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Zauważ, że druga zasada jest również prawdziwa, gdy licznik jest podzielny przez n. Dlatego możemy go użyć, gdy trudno na pierwszy rzut oka określić, czy licznik ułamka jest podzielny przez n, czy nie.

Działania z ułamkami. Dodawanie ułamków.

Operacje arytmetyczne można wykonywać na liczbach ułamkowych, podobnie jak na liczbach naturalnych. Przyjrzyjmy się najpierw dodawaniu ułamków. Dodawanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach jest łatwe. Znajdźmy na przykład sumę \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Łatwo zrozumieć, że \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Używając liter, regułę dodawania ułamków o podobnych mianownikach można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jeśli chcesz dodać ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Na przykład:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

W przypadku ułamków, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i łączne właściwości dodawania.

Dodawanie frakcji mieszanych

Wywoływane są takie oznaczenia, jak \(2\frac(2)(3)\). frakcje mieszane. W tym przypadku wywoływana jest liczba 2 cała część ułamek mieszany, a liczba \(\frac(2)(3)\) jest jego liczbą część ułamkowa. Zapis \(2\frac(2)(3)\) czyta się następująco: „dwa i dwie trzecie”.

Dzieląc liczbę 8 przez liczbę 3, możesz otrzymać dwie odpowiedzi: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Wyrażają tę samą liczbę ułamkową, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Zatem ułamek niewłaściwy \(\frac(8)(3)\) jest reprezentowany jako ułamek mieszany \(2\frac(2)(3)\). W takich przypadkach mówią, że z ułamka niewłaściwego podkreślił całą część.

Odejmowanie ułamków zwykłych (liczb ułamkowych)

Odejmowanie liczb ułamkowych, podobnie jak liczb naturalnych, określa się na podstawie działania dodawania: odejmowanie drugiej od jednej liczby oznacza znalezienie takiej liczby, która po dodaniu do drugiej daje pierwszą. Na przykład:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ponieważ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Zasada odejmowania ułamków o podobnych mianownikach jest podobna do zasady dodawania takich ułamków:
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian.

Używając liter, reguła ta jest zapisana w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki i zapisać pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.

Używając liter, regułę mnożenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Korzystając ze sformułowanej reguły, możesz pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, przez ułamek mieszany, a także pomnożyć ułamki mieszane. Aby to zrobić, musisz zapisać liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, ułamek mieszany - jako ułamek niewłaściwy.

Wynik mnożenia należy uprościć (jeśli to możliwe) poprzez zmniejszenie ułamka i wyodrębnienie całej części ułamka niewłaściwego.

W przypadku ułamków zwykłych, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i kombinacyjne właściwości mnożenia, a także rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Podział ułamków

Weźmy ułamek \(\frac(2)(3)\) i „odwróćmy go”, zamieniając licznik z mianownikiem. Otrzymujemy ułamek \(\frac(3)(2)\). Ten ułamek nazywa się odwracać ułamki \(\frac(2)(3)\).

Jeśli teraz „odwrócimy” ułamek \(\frac(3)(2)\), otrzymamy pierwotny ułamek \(\frac(2)(3)\). Dlatego ułamki takie jak \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazywane są wzajemnie odwrotne.

Na przykład ułamki \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7)\).

Używając liter, ułamki odwrotne można zapisać w następujący sposób: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

Jest jasne, że iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1. Na przykład: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Używając ułamków odwrotnych, możesz sprowadzić dzielenie ułamków do mnożenia.

Zasada dzielenia ułamka przez ułamek jest następująca:
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.

Kalkulator ułamków przeznaczony do szybkiego obliczania operacji na ułamkach zwykłych, pomoże Ci łatwo dodawać, mnożyć, dzielić lub odejmować ułamki zwykłe.

Współcześni uczniowie rozpoczynają naukę ułamków zwykłych już w piątej klasie, a ćwiczenia z nimi stają się z roku na rok coraz bardziej skomplikowane. Pojęcia i wielkości matematyczne, których uczymy się w szkole, rzadko kiedy mogą nam się przydać w dorosłym życiu. Jednak ułamki, w przeciwieństwie do logarytmów i potęg, występują dość często w życiu codziennym (mierzenie odległości, ważenie towarów itp.). Nasz kalkulator przeznaczony jest do szybkich operacji na ułamkach zwykłych.

Najpierw zdefiniujmy, czym są ułamki i jakie są. Ułamki to stosunek jednej liczby do drugiej; jest to liczba składająca się z całkowitej liczby ułamków jednostki.

Rodzaje frakcji:

• Zwykły
• Dziesiętny
• Mieszany

Przykład zwykłe ułamki:

Górna wartość jest licznikiem, dolna jest mianownikiem. Myślnik pokazuje nam, że górna liczba jest podzielna przez dolną liczbę. Zamiast tego formatu zapisu, gdy myślnik jest poziomy, można pisać inaczej. Możesz umieścić nachyloną linię, na przykład:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dziesiętne to najpopularniejszy rodzaj ułamków zwykłych. Składają się z części całkowitej i części ułamkowej, oddzielonych przecinkiem.

Przykład ułamków dziesiętnych:

0,2 lub 6,71 lub 0,125

Składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej. Aby poznać wartość tego ułamka, musisz dodać liczbę całkowitą i ułamek.

Przykład frakcji mieszanych:

Kalkulator ułamków na naszej stronie jest w stanie szybko wykonać dowolne operacje matematyczne na ułamkach online:

• Dodatek
• Odejmowanie
• Mnożenie
• Dział

Aby przeprowadzić obliczenia, należy wpisać liczby w polach i wybrać akcję. W przypadku ułamków należy wypełnić licznik i mianownik; nie można zapisać całej liczby (jeśli ułamek jest zwyczajny). Nie zapomnij kliknąć przycisku „równe”.

Wygodne jest to, że kalkulator natychmiast zapewnia proces rozwiązywania przykładu za pomocą ułamków zwykłych, a nie tylko gotową odpowiedź. To dzięki szczegółowemu rozwiązaniu możesz wykorzystać ten materiał do rozwiązywania problemów szkolnych i lepszego opanowania przerabianego materiału.

Należy wykonać przykładowe obliczenia:

Po wpisaniu wskaźników w pola formularza otrzymujemy:

Aby dokonać własnej kalkulacji wpisz dane w formularzu.

Kalkulator ułamków

Powiązane sekcje.

Na ułamkach można wykonywać różne operacje, na przykład dodawanie ułamków. Dodawanie frakcji można podzielić na kilka typów. Każdy rodzaj dodawania ułamków ma swoje własne zasady i algorytm działania. Przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu rodzajowi dodatku.

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach.

Spójrzmy na przykład dodawania ułamków o wspólnym mianowniku.

Turyści udali się na wędrówkę z punktu A do punktu E. Pierwszego dnia przeszli z punktu A do B czyli \(\frac(1)(5)\) całą ścieżkę. Drugiego dnia przeszli z punktu B do D, czyli \(\frac(2)(5)\) całą drogę. Jaką odległość przebyli od początku podróży do punktu D?

Aby znaleźć odległość punktu A od punktu D, należy dodać ułamki \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach oznacza, że ​​trzeba dodać liczniki tych ułamków, ale mianownik pozostanie taki sam.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

W formie dosłownej suma ułamków o tych samych mianownikach będzie wyglądać następująco:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Odpowiedź: turyści przeszli całą drogę \(\frac(3)(5)\).

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

Spójrzmy na przykład:

Musisz dodać dwa ułamki \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).

Aby dodać ułamki o różnych mianownikach, musisz najpierw znaleźć, a następnie skorzystaj z reguły dodawania ułamków o podobnych mianownikach.

Dla mianowników 4 i 7 wspólnym mianownikiem będzie liczba 28. Pierwszy ułamek \(\frac(3)(4)\) należy pomnożyć przez 7. Drugi ułamek \(\frac(2)(7)\ ) należy pomnożyć przez 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ razy \color(czerwony) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

W formie dosłownej otrzymujemy następujący wzór:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Dodawanie liczb mieszanych lub ułamków mieszanych.

Dodawanie odbywa się zgodnie z prawem dodawania.

W przypadku ułamków mieszanych dodajemy całe części z pełnymi częściami i części ułamkowe z ułamkami.

Jeśli części ułamkowe liczb mieszanych mają te same mianowniki, to dodajemy liczniki, ale mianownik pozostaje taki sam.

Dodajmy liczby mieszane \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(czerwony) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(czerwony) (1) + \color(niebieski) (\frac(3)(11))) = (\color(czerwony) (3) + \color(czerwony) (1)) + (\color( niebieski) (\frac(6)(11)) + \color(niebieski) (\frac(3)(11))) = \color(czerwony)(4) + (\color(niebieski) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)

Jeśli części ułamkowe liczb mieszanych mają różne mianowniki, wówczas znajdujemy wspólny mianownik.

Wykonajmy dodawanie liczb mieszanych \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).

Mianownik jest inny, więc musimy znaleźć wspólny mianownik, jest on równy 24. Pomnóż pierwszy ułamek \(7\frac(1)(8)\) przez dodatkowy współczynnik 3, a drugi ułamek \( 2\frac(1)(6)\) przez 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\times \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Powiązane pytania:
Jak dodawać ułamki?
Odpowiedź: najpierw musisz zdecydować, jaki to rodzaj wyrażenia: ułamki mają te same mianowniki, różne mianowniki lub ułamki mieszane. W zależności od rodzaju wyrażenia przystępujemy do algorytmu rozwiązania.

Jak rozwiązywać ułamki zwykłe o różnych mianownikach?
Odpowiedź: musisz znaleźć wspólny mianownik, a następnie postępować zgodnie z zasadą dodawania ułamków o tych samych mianownikach.

Jak rozwiązywać ułamki mieszane?
Odpowiedź: dodajemy części całkowite do liczb całkowitych i części ułamkowe do ułamków zwykłych.

Przykład 1:
Czy suma dwóch może dać ułamek właściwy? Ułamek niewłaściwy? Daj przykłady.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Ułamek \(\frac(5)(7)\) jest ułamkiem właściwym, jest wynikiem sumy dwóch ułamków właściwych \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Ułamek \(\frac(58)(45)\) jest ułamkiem niewłaściwym, jest wynikiem sumy ułamków właściwych \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).

Odpowiedź: Odpowiedź na oba pytania brzmi: tak.

Przykład nr 2:
Dodaj ułamki: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Przykład nr 3:
Zapisz ułamek mieszany jako sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Przykład nr 4:
Oblicz sumę: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\razy 3)(5\razy 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Zadanie 1:
Na lunch zjedliśmy \(\frac(8)(11)\) z ciasta, a wieczorem na kolację zjedliśmy \(\frac(3)(11)\). Jak myślisz, czy ciasto zostało zjedzone do końca, czy nie?

Rozwiązanie:
Mianownik ułamka wynosi 11, wskazuje, na ile części podzielono ciasto. Na lunch zjedliśmy 8 kawałków ciasta z 11. Na obiad zjedliśmy 3 kawałki ciasta z 11. Dodajmy 8 + 3 = 11, zjedliśmy kawałki ciasta z 11, czyli całe ciasto.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Odpowiedź: całe ciasto zostało zjedzone.