Jak znaleźć obwód, znając wzór na średnicę. Jak znaleźć i jaki będzie obwód koła?

• 16.11.2014

  Rysunek przedstawia obwód prostego wzmacniacza mocy klasy A wykorzystującego tranzystory. Wzmacniacz ma moc wyjściową około 20 W przy obciążeniu 8 omów. Napięcie zasilania może mieścić się w zakresie od 22V do 28V (4A). Źródło - http://www.eleccircuit.com/class-a-amplifier-by-transistor/

• 29.09.2014

  Wzmacniacz ten został zaprojektowany w celu zwiększenia mocy nadajnika kieszonkowego radia w zakresie 144 MHz. Gdy na jego wejście zostanie podany sygnał o mocy 0,05 W i zasilony napięciem 24 V, wzmacniacz wytworzy moc 5-6 W, a przy zasilaniu napięciem 12 V - 3-4 W. Rezystancja wejściowa i wyjściowa wynosi 50 omów. Opis: pierwsza kaskada działa w klasie...

• 04.10.2014

  W urządzeniach przemysłowych stosuje się różne metody regulacji prądu: manewrowanie za pomocą różnego rodzaju dławików, zmianę strumienia magnetycznego na skutek ruchliwości uzwojeń lub bocznikowanie magnetyczne, wykorzystując zasobniki czynnych rezystancji balastowych i reostaty. Wady takiej regulacji obejmują złożoność projektu, masywność rezystancji, ich silne nagrzewanie podczas pracy i niedogodności podczas przełączania. Bardzo...

• 03.10.2014

  Rysunek przedstawia obwód prostego przetwornika napięcia TL496. Przetwornik przetwarza napięcie stałe 3V na napięcie stałe 9V. Przetwornik napięcia jest bardzo prosty, składa się z mikroukładu TL496 oraz kondensatora i cewki indukcyjnej 50 μH. Prąd wyjściowy falownika może osiągnąć 400 mA (napięcie wyjściowe 9 V nie jest gwarantowane). Pobór prądu przetwornicy bez obciążenia wynosi 125 µA.

Okrąg jest zamkniętą krzywą, której wszystkie punkty znajdują się w tej samej odległości od środka. Ta liczba jest płaska. Dlatego rozwiązanie problemu, który polega na tym, jak znaleźć obwód, jest dość proste. W dzisiejszym artykule przyjrzymy się wszystkim dostępnym metodom.

Opisy rysunków

Oprócz dość prostej definicji opisowej, istnieją jeszcze trzy matematyczne cechy koła, które same w sobie zawierają odpowiedź na pytanie, jak znaleźć obwód:

• Składa się z punktów A i B oraz wszystkich innych, z których widać AB pod kątem prostym. Średnica tej figury jest równa długości rozważanego odcinka.
• Obejmuje tylko te punkty X takie, że stosunek AX/BX jest stały i nie równy jedności. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to nie jest to okrąg.
• Składa się z punktów, dla każdego z nich zachodzi równość: suma kwadratów odległości do pozostałych dwóch jest daną wartością, która jest zawsze większa niż połowa długości odcinka między nimi.

Terminologia

Nie każdy w szkole miał dobrego nauczyciela matematyki. Dlatego odpowiedź na pytanie, jak znaleźć obwód koła, dodatkowo komplikuje fakt, że nie każdy zna podstawowe pojęcia geometryczne. Promień to odcinek łączący środek figury z punktem na krzywej. Szczególnym przypadkiem trygonometrii jest okrąg jednostkowy. Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na krzywej. Na przykład omawiany już AB podlega tej definicji. Średnica to cięciwa przechodząca przez środek. Liczba π jest równa długości półkola jednostkowego.

Podstawowe formuły

Definicje są bezpośrednio zgodne ze wzorami geometrycznymi, które pozwalają obliczyć główne cechy koła:

1. Długość jest równa iloczynowi liczby π i średnicy. Wzór zwykle zapisuje się w następujący sposób: C = π*D.
2. Promień jest równy połowie średnicy. Można go również obliczyć, obliczając iloraz podzielenia obwodu przez dwukrotność liczby π. Wzór wygląda następująco: R = C/(2* π) = D/2.
3. Średnica jest równa ilorazowi obwodu podzielonemu przez π lub dwukrotność promienia. Wzór jest dość prosty i wygląda następująco: D = C/π = 2*R.
4. Pole koła jest równe iloczynowi π i kwadratu promienia. Podobnie w tym wzorze można zastosować średnicę. W tym przypadku powierzchnia będzie równa iloczynowi iloczynu π i kwadratu średnicy podzielonego przez cztery. Wzór można zapisać następująco: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Jak znaleźć obwód koła według średnicy

Aby uprościć wyjaśnienie, oznaczmy literami cechy figury niezbędne do obliczeń. Niech C będzie pożądaną długością, D jego średnicą, a π w przybliżeniu równym 3,14. Jeśli mamy tylko jedną znaną wielkość, problem można uznać za rozwiązany. Dlaczego jest to konieczne w życiu? Załóżmy, że zdecydujemy się otoczyć okrągły basen płotem. Jak obliczyć wymagana ilość kolumny? I tu z pomocą przychodzi umiejętność obliczenia obwodu. Wzór jest następujący: C = π D. W naszym przykładzie średnicę wyznaczamy na podstawie promienia basenu i wymaganej odległości od płotu. Załóżmy na przykład, że nasz przydomowy sztuczny staw ma szerokość 20 metrów i słupki będziemy stawiać w odległości dziesięciu metrów od niego. Średnica powstałego okręgu wynosi 20 + 10*2 = 40 m. Długość wynosi 3,14*40 = 125,6 metra. Będziemy potrzebować 25 słupków, jeśli odstęp między nimi będzie wynosił około 5 m.

Długość przez promień

Tradycyjnie zacznijmy od przypisania liter do charakterystyki okręgu. Tak naprawdę są one uniwersalne, więc matematycy z różnych krajów niekoniecznie muszą znać swoje języki. Załóżmy, że C jest obwodem koła, r jest jego promieniem, a π jest w przybliżeniu równe 3,14. Wzór w tym przypadku wygląda następująco: C = 2*π*r. Oczywiście jest to całkowicie poprawne równanie. Jak już ustaliliśmy, średnica koła jest równa dwukrotności jego promienia, więc ten wzór wygląda następująco. W życiu ta metoda również często może się przydać. Na przykład pieczemy ciasto w specjalnej formie przesuwnej. Aby zapobiec zabrudzeniu, potrzebujemy ozdobnego opakowania. Ale jak wyciąć okrąg o wymaganym rozmiarze. I tu z pomocą przychodzi matematyka. Ci, którzy wiedzą, jak znaleźć obwód koła, natychmiast powiedzą, że należy pomnożyć liczbę π przez dwukrotność promienia kształtu. Jeśli jego promień wynosi 25 cm, wówczas długość wyniesie 157 centymetrów.

Przykładowe problemy

Przyjrzeliśmy się już kilku praktycznym przypadkom zdobytej wiedzy na temat obliczania obwodu koła. Ale często nie interesują nas one, ale realne problemy matematyczne zawarte w podręczniku. W końcu nauczyciel daje im punkty! Przyjrzyjmy się zatem bardziej złożonemu problemowi. Załóżmy, że obwód koła wynosi 26 cm. Jak znaleźć promień takiej figury?

Przykładowe rozwiązanie

Najpierw napiszmy, co nam podano: C = 26 cm, π = 3,14. Pamiętaj także o wzorze: C = 2* π*R. Z niego możesz wyodrębnić promień okręgu. Zatem R= C/2/π. Przejdźmy teraz do właściwych obliczeń. Najpierw podziel długość przez dwa. Otrzymujemy 13. Teraz musimy podzielić przez wartość liczby π: 13/3,14 = 4,14 cm. Ważne jest, aby nie zapomnieć o poprawnym zapisaniu odpowiedzi, to znaczy z jednostkami miary, w przeciwnym razie całe praktyczne znaczenie takie problemy przepadają. Dodatkowo za taką nieuwagę można otrzymać ocenę o jeden punkt niższą. I bez względu na to, jak denerwujące może to być, będziesz musiał znieść ten stan rzeczy.

Bestia nie jest taka straszna, jak ją malują

Zatem na pierwszy rzut oka poradziliśmy sobie z tak trudnym zadaniem. Jak się okazuje, wystarczy zrozumieć znaczenie terminów i zapamiętać kilka prostych formuł. Matematyka nie jest taka straszna, wystarczy włożyć w nią trochę wysiłku. Zatem geometria czeka na Ciebie!

Często brzmi to jak część płaszczyzny ograniczonej okręgiem. Obwód koła jest płaską, zamkniętą krzywą. Wszystkie punkty leżące na krzywej znajdują się w tej samej odległości od środka okręgu. W okręgu jego długość i obwód są takie same. Stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy jest stały i oznaczany liczbą π = 3,1415.

Wyznaczanie obwodu koła

Obwód koła o promieniu r jest równy dwukrotności iloczynu promienia r i liczby π(~3,1415)

Wzór na obwód koła

Obwód koła o promieniu \(r\) :

\[ \DUŻY(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \DUŻY(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – obwód (obwód).

\(r\) – promień.

\(d\) – średnica.

Okrąg nazwiemy figurą geometryczną składającą się ze wszystkich takich punktów, które znajdują się w tej samej odległości od dowolnego punktu.

Środek okręgu nazwiemy punkt określony w Definicji 1.

Promień okręgu będziemy nazywać odległość od środka tego okręgu do któregokolwiek z jego punktów.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \(xOy\) możemy również wprowadzić równanie dowolnego okręgu. Oznaczmy środek okręgu punktem \(X\) , który będzie miał współrzędne \((x_0,y_0)\) . Niech promień tego okręgu będzie równy \(τ\) . Weźmy dowolny punkt \(Y\), którego współrzędne oznaczamy przez \((x,y)\) (ryc. 2).

Korzystając ze wzoru na odległość pomiędzy dwoma punktami w danym układzie współrzędnych otrzymujemy:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

Z drugiej strony \(|XY| \) to odległość od dowolnego punktu na okręgu do wybranego przez nas środka. Oznacza to, że z definicji 3 otrzymujemy, że \(|XY|=τ\)

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Otrzymujemy zatem, że równanie (1) jest równaniem okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Obwód (obwód koła)

Długość dowolnego okręgu \(C\) wyprowadzimy, korzystając z jego promienia równego \(τ\) .

Rozważymy dwa dowolne okręgi. Oznaczmy ich długości przez \(C\) i \(C"\) , których promienie są równe \(τ\) i \(τ"\) . W te okręgi wpiszemy regularne \(n\)-kąty, których obwody są równe \(ρ\) i \(ρ"\), długości boków są równe \(α\) i \ (α"\), odpowiednio. Jak wiemy, bok zwykłego kwadratu \(n\) wpisanego w okrąg jest równy

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Wtedy to otrzymamy

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Rozumiemy, że jest to związek \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) będzie prawdziwe niezależnie od liczby boków wpisanych wielokątów foremnych. To jest

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

Z drugiej strony, jeśli nieskończenie zwiększymy liczbę boków wpisanych wielokątów foremnych (czyli \(n → ∞\)), otrzymamy równość:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Z dwóch ostatnich równości otrzymujemy to

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Widzimy, że stosunek obwodu koła do jego podwójnego promienia jest zawsze tą samą liczbą, niezależnie od wyboru okręgu i jego parametrów, czyli

\(\frac(C)(2τ)=stała \)

Stałą tę należy nazwać liczbą „pi” i oznaczyć \(π\) . W przybliżeniu liczba ta będzie równa \(3,14\) (nie ma dokładnej wartości tej liczby, ponieważ jest to liczba niewymierna). Zatem

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Wreszcie stwierdzamy, że obwód (obwód koła) jest określony przez wzór

\(C=2πτ\)

A czym to się różni od koła? Weź długopis lub kolory i narysuj regularne koło na kartce papieru. Pomaluj cały środek powstałej figury niebieskim ołówkiem. Czerwony kontur wskazujący granice kształtu to okrąg. Ale niebieska zawartość w środku to okrąg.

Wymiary okręgu i okręgu określa się na podstawie średnicy. Na czerwonej linii wskazującej okrąg zaznacz dwa punkty tak, aby były swoimi lustrzanymi odbiciami. Połącz je linią. Odcinek na pewno przejdzie przez punkt znajdujący się w środku okręgu. Ten odcinek łączący przeciwne części koła nazywany jest w geometrii średnicą.

Odcinek, który nie przechodzi przez środek okręgu, ale łączy się z nim na przeciwległych końcach, nazywa się cięciwą. Zatem cięciwa przechodząca przez środek okręgu jest jego średnicą.

Średnicę oznacza się łacińską literą D. Średnicę koła można znaleźć, korzystając z takich wartości, jak powierzchnia, długość i promień okręgu.

Odległość od punktu centralnego do punktu nakreślonego na okręgu nazywa się promieniem i jest oznaczona literą R. Znajomość wartości promienia pomaga obliczyć średnicę okręgu w jednym prostym kroku:

Na przykład promień wynosi 7 cm. Mnożymy 7 cm przez 2 i otrzymujemy wartość równą 14 cm. Odpowiedź: D podanej figury wynosi 14 cm.

Czasami średnicę koła trzeba określić jedynie na podstawie jego długości. Tutaj konieczne jest zastosowanie specjalnego wzoru, który pomoże wyznaczyć Wzór L = 2 Pi * R, gdzie 2 to wartość stała (stała), a Pi = 3,14. A ponieważ wiadomo, że R = D * 2, wzór można przedstawić w inny sposób

Wyrażenie to można również zastosować jako wzór na średnicę koła. Zastępując wielkości znane w zadaniu, rozwiązujemy równanie jedną niewiadomą. Powiedzmy, że długość wynosi 7 m. Zatem:

Odpowiedź: średnica wynosi 21,98 metra.

Jeśli obszar jest znany, można również określić średnicę koła. Formuła używana w w tym przypadku, wygląda tak:

D = 2 * (S / Pi) * (1 / 2)

S - w tym przypadku powiedzmy, że w zadaniu jest to 30 metrów kwadratowych. Otrzymujemy:

D = 2 * (30 / 3, 14) * (1 / 2) D = 9, 55414

Gdy wartość wskazana w zadaniu jest równa objętości (V) kuli, stosuje się następujący wzór na znalezienie średnicy: D = (6 V / Pi) * 1 / 3.

Czasami trzeba znaleźć średnicę okręgu wpisanego w trójkąt. Aby to zrobić, użyj wzoru na obliczenie promienia przedstawionego okręgu:

R = S/p (S to pole danego trójkąta, a p to obwód podzielony przez 2).

Podwajamy uzyskany wynik, biorąc pod uwagę, że D = 2 * R.

Często w życiu codziennym trzeba znaleźć średnicę koła. Na przykład przy określaniu, co jest równoważne jego średnicy. Aby to zrobić, musisz owinąć nitką palec potencjalnego właściciela pierścionka. Zaznacz punkty styku obu końców. Zmierz długość od punktu do punktu za pomocą linijki. Otrzymaną wartość mnożymy przez 3,14, postępując zgodnie ze wzorem na określenie średnicy o znanej długości. Zatem stwierdzenie, że znajomość geometrii i algebry nie przydaje się w życiu, nie zawsze jest prawdziwe. Jest to poważny powód, aby podchodzić do przedmiotów szkolnych w sposób bardziej odpowiedzialny.

Wiele obiektów w otaczającym nas świecie ma okrągły kształt. Są to koła, okrągłe otwory okienne, rury, różne naczynia i wiele więcej. Długość okręgu można obliczyć znając jego średnicę lub promień.

Istnieje kilka definicji tej figury geometrycznej.

• Jest to krzywa zamknięta składająca się z punktów znajdujących się w tej samej odległości od danego punktu.
• Jest to krzywa składająca się z punktów A i B, które są końcami odcinka, oraz wszystkich punktów, z których A i B są widoczne pod kątem prostym. W tym przypadku odcinek AB jest średnicą.
• Dla tego samego odcinka AB krzywa ta obejmuje wszystkie punkty C tak, że stosunek AC/BC jest stały i nie równy 1.
• Jest to krzywa składająca się z punktów, dla których spełnione jest następujące założenie: jeśli dodamy kwadraty odległości jednego punktu do dwóch danych innych punktów A i B, otrzymamy stałą liczbę większą niż 1/2 odcinka łączącego A i B. B. Definicja ta wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa.

Uważać na! Istnieją inne definicje. Okrąg to obszar wewnątrz okręgu. Obwód koła to jego długość. Według różnych definicji okrąg może, ale nie musi, obejmować samą krzywą, która jest jego granicą.

Definicja koła

Formuły

Jak obliczyć obwód koła za pomocą promienia? Odbywa się to za pomocą prostego wzoru:

gdzie L jest pożądaną wartością,

π to liczba pi, w przybliżeniu równa 3,1413926.

Zwykle, aby znaleźć wymaganą wartość, wystarczy użyć π do drugiej cyfry, czyli 3,14, co zapewni wymaganą dokładność. W kalkulatorach, zwłaszcza inżynierskich, może znajdować się przycisk automatycznie wpisując wartość liczby π.

Oznaczenia

Aby znaleźć średnicę, użyj następującego wzoru:

Jeśli L jest już znane, można łatwo ustalić promień lub średnicę. Aby to zrobić, L należy podzielić odpowiednio przez 2π lub π.

Jeśli podano już okrąg, musisz zrozumieć, jak znaleźć obwód na podstawie tych danych. Pole koła wynosi S = πR2. Stąd wyznaczamy promień: R = √(S/π). Następnie

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Obliczanie pola w oparciu o L jest również łatwe: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Podsumowując, możemy powiedzieć, że istnieją trzy podstawowe formuły:

• przez promień – L = 2πR;
• średnica przelotowa – L = πD;
• przez obszar koła – L = 2√(Sπ).

Liczba pi

Bez liczby π rozwiązanie rozważanego problemu nie będzie możliwe. Po raz pierwszy liczbę π obliczono jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. Robili to starożytni Babilończycy, Egipcjanie i Hindusi. Odkryli to dość trafnie – ich wyniki odbiegały od obecnie znanej wartości π nie więcej niż 1%. Do stałej aproksymowano takie ułamki jak 25/8, 256/81, 339/108.

Co więcej, wartość tej stałej obliczono nie tylko z punktu widzenia geometrii, ale także z punktu widzenia analizy matematycznej poprzez sumy szeregów. Oznaczenie tej stałej grecką literą π zostało po raz pierwszy użyte przez Williama Jonesa w 1706 roku, a stało się popularne po pracach Eulera.

Obecnie wiadomo, że ta stała jest nieskończonym, nieokresowym ułamkiem dziesiętnym; jest ona irracjonalna, to znaczy nie można jej przedstawić jako stosunku dwóch liczb całkowitych. Korzystając z obliczeń superkomputera, w 2011 roku odkryto 10-biliardowy znak stałej.

To jest interesujące! Wynaleziono różne reguły mnemoniczne umożliwiające zapamiętanie kilku pierwszych cyfr liczby π. Niektóre pozwalają na przechowywanie w pamięci dużej liczby liczb, na przykład jeden francuski wiersz pomoże Ci zapamiętać liczbę pi do 126. cyfry.

Jeśli potrzebujesz obwodu, pomoże Ci w tym kalkulator online. Takich kalkulatorów jest wiele, wystarczy wpisać promień lub średnicę. Niektóre z nich mają obie te opcje, inne obliczają wynik tylko za pomocą R. Niektóre kalkulatory mogą obliczyć żądaną wartość z różną precyzją, należy określić liczbę miejsc po przecinku. Możesz także obliczyć pole koła za pomocą kalkulatorów online.

Takie kalkulatory można łatwo znaleźć w dowolnej wyszukiwarce. Istnieją również aplikacje mobilne, które pomogą Ci rozwiązać problem znalezienia obwodu koła.

Przydatne wideo: obwód

Praktyczne zastosowanie

Rozwiązanie takiego problemu jest najczęściej konieczne dla inżynierów i architektów, ale w życiu codziennym znajomość niezbędnych wzorów może się również przydać. Na przykład trzeba owinąć paskiem papieru ciasto pieczone w formie o średnicy 20 cm. Wtedy znalezienie długości tego paska nie będzie trudne:

L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.

Inny przykład: musisz zbudować ogrodzenie wokół okrągłego basenu w określonej odległości. Jeśli promień basenu wynosi 10 m, a ogrodzenie należy umieścić w odległości 3 m, wówczas R dla powstałego okręgu wyniesie 13 m, a jego długość będzie wynosić:

L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.

Przydatne wideo: okrąg - promień, średnica, obwód

Konkluzja

Obwód koła można łatwo obliczyć za pomocą prostych wzorów obejmujących średnicę lub promień. Możesz także znaleźć żądaną ilość poprzez obszar koła. W rozwiązaniu tego problemu pomogą kalkulatory internetowe lub aplikacje mobilne, w których należy wpisać jedną liczbę - średnicę lub promień.