Jak obliczyć logarytmy o różnych podstawach. Definicja logarytmu i jego własności: teoria i rozwiązywanie problemów

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Podano podstawowe własności logarytmu naturalnego, wykres, dziedzinę definicji, zbiór wartości, podstawowe wzory, pochodną, ​​całkę, rozwinięcie w szereg potęgowy oraz przedstawienie funkcji ln x za pomocą liczb zespolonych.

Definicja

Logarytm naturalny jest funkcją y = w x, odwrotność wykładniczej, x = e y, i jest logarytmem podstawy liczby e: ln x = log e x.

Logarytm naturalny jest szeroko stosowany w matematyce, ponieważ jego pochodna ma najprostszą postać: (lnx)′ = 1/x.

Na podstawie definicje, podstawą logarytmu naturalnego jest liczba mi:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Wykres funkcji y = w x.

Wykres logarytmu naturalnego (funkcje y = w x) uzyskuje się z wykresu wykładniczego poprzez odbicie lustrzane względem linii prostej y = x.

Logarytm naturalny definiuje się dla dodatnich wartości zmiennej x.

Rośnie monotonicznie w swojej dziedzinie definicji. 0 W x →

granica logarytmu naturalnego wynosi minus nieskończoność (-∞).

Ponieważ x → + ∞, granica logarytmu naturalnego wynosi plus nieskończoność (+ ∞). W przypadku dużego x logarytm rośnie dość wolno. Dowolna funkcja potęgowa x a z wykładnikiem dodatnim a rośnie szybciej niż logarytm.

Własności logarytmu naturalnego

Dziedzina definicji, zbiór wartości, ekstrema, wzrost, spadek

Logarytm naturalny jest funkcją rosnącą monotonicznie, więc nie ma ekstremów. Główne właściwości logarytmu naturalnego przedstawiono w tabeli.

ln x wartości

ln 1 = 0

Podstawowe wzory na logarytmy naturalne

Wzory wynikające z definicji funkcji odwrotnej:

Główna właściwość logarytmów i jej konsekwencje

Formuła wymiany bazy

Dowody tych wzorów przedstawiono w części „Logarytm”.

Funkcja odwrotna

Odwrotnością logarytmu naturalnego jest wykładnik.

Jeśli, to

Jeśli więc.

Pochodna lnx

Pochodna logarytmu naturalnego:
.
Pochodna logarytmu naturalnego modułu x:
.
Pochodna n-tego rzędu:
.
Wyprowadzanie wzorów > > >

Całka

Całkę oblicza się poprzez całkowanie przez części:
.
Więc,

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Rozważ funkcję zmiennej zespolonej z:
.
Wyraźmy zmienną zespoloną z poprzez moduł R i argumentacja φ :
.
Korzystając z własności logarytmu mamy:
.
Lub
.
Argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany. Jeśli umieścisz
, gdzie n jest liczbą całkowitą,
będzie to ta sama liczba dla różnych n.

Dlatego logarytm naturalny jako funkcja zmiennej zespolonej nie jest funkcją jednowartościową.

Rozwinięcie szeregu potęgowego

Kiedy następuje ekspansja:

Wykorzystana literatura:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.

Instrukcje

Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeżeli w wyrażeniu używany jest logarytm liczby 10, to jego zapis ulega skróceniu i wygląda następująco: lg b jest logarytmem dziesiętnym. Jeżeli logarytm ma za podstawę liczbę e, to zapisz wyrażenie: ln b – logarytm naturalny. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.

Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy je rozróżnić i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";

Szukając pochodnej iloczynu dwóch funkcji należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dzielnej pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnej i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeśli podana jest funkcja złożona, należy pomnożyć pochodną funkcji wewnętrznej i pochodną funkcji zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).

Korzystając z wyników uzyskanych powyżej, można rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Istnieją również problemy związane z obliczaniem pochodnej w punkcie. Niech będzie podana funkcja y=e^(x^2+6x+5), należy znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Oblicz wartość funkcji w danym punkcie y"(1)=8*e^0=8

Wideo na ten temat

Przydatne rady

Poznaj tabelę elementarnych pochodnych. Pozwoli to znacznie zaoszczędzić czas.

Źródła:

• pochodna stałej

Jaka jest więc różnica między równaniem irracjonalnym a równaniem racjonalnym? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod pierwiastkiem kwadratowym, równanie uważa się za niewymierne.

Instrukcje

Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda konstruowania obu stron równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to pozbyć się znaku. Metoda ta nie jest trudna technicznie, lecz czasem może przysporzyć kłopotów. Na przykład równanie ma postać v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymasz 2x-5 = 4x-7. Rozwiązanie takiego równania nie jest trudne; x=1. Ale numer 1 nie zostanie podany równania. Dlaczego? Podstaw jeden do równania zamiast wartości x. Prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu. Ta wartość nie dotyczy pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest obcym pierwiastkiem i dlatego to równanie nie ma pierwiastków.

Zatem irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia obu jego stron do kwadratu. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, podstaw znalezione pierwiastki do pierwotnego równania.

Rozważ inny.
2х+vх-3=0
Oczywiście równanie to można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Przesuń związki równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, po prawej stronie, a następnie zastosuj metodę podniesienia do kwadratu. rozwiązać powstałe racjonalne równanie i pierwiastki. Ale także inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vх=y. W związku z tym otrzymasz równanie w postaci 2y2+y-3=0. Oznacza to, że jest to zwykłe równanie kwadratowe. Znajdź swoje korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vх=1; vх=-3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków; z pierwszego wynika, że ​​x=1. Nie zapomnij sprawdzić korzeni.

Rozwiązywanie tożsamości jest dość proste. Aby to zrobić, należy przeprowadzić identyczne przekształcenia, aż do osiągnięcia założonego celu. Zatem za pomocą prostych działań arytmetycznych postawiony problem zostanie rozwiązany.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis.

Instrukcje

Najprostszymi tego typu przekształceniami są algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnicy), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.

Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego przez drugi plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Uprość oba

Ogólne zasady rozwiązania

Powtórz z podręcznika analizy matematycznej lub wyższej matematyki, czym jest całka oznaczona. Jak wiadomo rozwiązaniem całki oznaczonej jest funkcja, której pochodna da całkę. Funkcja ta nazywana jest funkcją pierwotną. W oparciu o tę zasadę konstruowane są całki główne.
Na podstawie postaci całki określ, która z całek tabelarycznych pasuje w tym przypadku. Nie zawsze da się to od razu ustalić. Często postać tabelaryczna staje się zauważalna dopiero po kilku przekształceniach w celu uproszczenia całki.

Zmienna metoda wymiany

Jeżeli całką jest funkcja trygonometryczna, której argumentem jest wielomian, to spróbuj zastosować metodę zmiany zmiennych. W tym celu należy zastąpić wielomian w argumencie całki jakąś nową zmienną. Na podstawie relacji pomiędzy nową i starą zmienną wyznacz nowe granice całkowania. Różniczkując to wyrażenie, znajdź nową różnicę w . Otrzymasz w ten sposób nową postać poprzedniej całki, bliską lub nawet odpowiadającą jakiejś tabelarycznej.

Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju

Jeśli całka jest całką drugiego rodzaju, wektorową postacią całki, wówczas będziesz musiał skorzystać z zasad przejścia od tych całek do całek skalarnych. Jedną z takich reguł jest relacja Ostrogradskiego-Gaussa. Prawo to pozwala nam przejść od strumienia wirnika określonej funkcji wektorowej do całki potrójnej po rozbieżności danego pola wektorowego.

Podstawienie granic całkowych

Po znalezieniu funkcji pierwotnej należy podstawić granice całkowania. Najpierw podstaw wartość górnej granicy do wyrażenia funkcji pierwotnej. Dostaniesz jakiś numer. Następnie odejmij od otrzymanej liczby inną liczbę uzyskaną z dolnej granicy do funkcji pierwotnej. Jeśli jedną z granic całkowania jest nieskończoność, to podstawiając ją do funkcji pierwotnej, należy dotrzeć do granicy i znaleźć, do czego dąży wyrażenie.
Jeśli całka jest dwuwymiarowa lub trójwymiarowa, wówczas będziesz musiał geometrycznie przedstawić granice całkowania, aby zrozumieć, jak obliczyć całkę. Rzeczywiście, w przypadku, powiedzmy, całki trójwymiarowej, granicami całkowania mogą być całe płaszczyzny ograniczające całkowaną objętość.

Co to jest logarytm?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co to jest logarytm? Jak rozwiązywać logarytmy? Te pytania dezorientują wielu absolwentów. Tradycyjnie temat logarytmów jest uważany za złożony, niezrozumiały i przerażający. Zwłaszcza równania z logarytmami.

To absolutnie nie jest prawdą. Absolutnie! Nie wierzysz mi? Cienki. Teraz w ciągu zaledwie 10–20 minut:

1. Zrozumiesz co to jest logarytm.

2. Naucz się rozwiązywać całą klasę równań wykładniczych. Nawet jeśli nic o nich nie słyszałeś.

3. Naucz się obliczać proste logarytmy.

Co więcej, do tego wystarczy znać tabliczkę mnożenia i podnosić liczbę do potęgi...

Czuję, że masz wątpliwości... No cóż, zaznacz czas! chodźmy!

Najpierw rozwiąż w głowie to równanie:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Logarytm liczby N na podstawie A zwany wykładnikiem X , do którego musisz zbudować A aby uzyskać numer N

Pod warunkiem że
,
,

Z definicji logarytmu wynika, że
, tj.
- ta równość jest podstawową tożsamością logarytmiczną.

Logarytmy o podstawie 10 nazywane są logarytmami dziesiętnymi. Zamiast
pisać
.

Logarytmy do podstawy mi nazywane są naturalnymi i są wyznaczone
.

Podstawowe własności logarytmów.

Logarytm jedności jest równy zero dla dowolnej podstawy.

Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.

3) Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów

Czynnik
nazywany modułem przejścia od logarytmów do podstawy A do logarytmów u podstawy B .

Korzystając z właściwości 2-5, często można zredukować logarytm złożonego wyrażenia do wyniku prostych operacji arytmetycznych na logarytmach.

Na przykład,

Takie przekształcenia logarytmu nazywane są logarytmami. Transformacje odwrotne do logarytmów nazywane są wzmocnieniem.

Rozdział 2. Elementy matematyki wyższej.

1. Ograniczenia

Granica funkcji
jest liczbą skończoną A jeśli, as xx 0 dla każdego z góry ustalonego
, istnieje taka liczba
to jak najszybciej
, To
.

Funkcja posiadająca granicę różni się od niej o nieskończenie małą wartość:
, gdzie- b.m.v., tj.
.

Przykład. Rozważ funkcję
.

Kiedy się starasz
, funkcja y dąży do zera:

1.1. Podstawowe twierdzenia o granicach.

Granica wartości stałej jest równa tej wartości stałej

.

Granica sumy (różnicy) skończonej liczby funkcji jest równa sumie (różnicy) granic tych funkcji.

Granica iloczynu skończonej liczby funkcji jest równa iloczynowi granic tych funkcji.

Granica ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi granic tych funkcji, jeśli granica mianownika jest różna od zera.

Cudowne Granice

,
, Gdzie

1.2. Przykłady obliczeń limitów

Jednak nie wszystkie limity oblicza się tak łatwo. Częściej obliczenie granicy sprowadza się do ujawnienia niepewności typu: Lub .

.

2. Pochodna funkcji

Miejmy funkcję
, ciągły na segmencie
.

Argument dostał pewien wzrost
. Wtedy funkcja otrzyma przyrost
.

Wartość argumentu odpowiada wartości funkcji
.

Wartość argumentu
odpowiada wartości funkcji.

Stąd, .

Znajdźmy granicę tego stosunku w punkcie
. Jeżeli ta granica istnieje, to nazywa się ją pochodną danej funkcji.

Definicja 3 Pochodna danej funkcji
argumentacją nazywa się granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu arbitralnie dąży do zera.

Pochodna funkcji
można wyznaczyć następująco:

; ; ; .

Definicja 4. Nazywa się operację znajdowania pochodnej funkcji rozróżnianie.

2.1. Mechaniczne znaczenie pochodnej.

Rozważmy ruch prostoliniowy jakiegoś ciała sztywnego lub punktu materialnego.

Niech w pewnym momencie ruchomy punkt
był w oddali z pozycji wyjściowej
.

Po pewnym czasie
przesunęła się na odległość
. Postawa =- średnia prędkość punktu materialnego
. Znajdźmy granicę tego stosunku, biorąc pod uwagę to
.

W konsekwencji wyznaczenie chwilowej prędkości ruchu punktu materialnego sprowadza się do znalezienia pochodnej toru po czasie.

2.2. Wartość geometryczna pochodnej

Miejmy funkcję zdefiniowaną graficznie
.

Ryż. 1. Znaczenie geometryczne pochodnej

Jeśli
, a następnie wskaż
, będzie poruszać się wzdłuż krzywej, zbliżając się do punktu
.

Stąd
, tj. wartość pochodnej dla danej wartości argumentu liczbowo równy tangensowi kąta utworzonego przez styczną w danym punkcie z dodatnim kierunkiem osi
.

2.3. Tabela podstawowych wzorów różniczkowych.

Funkcja mocy

Funkcja wykładnicza

Funkcja logarytmiczna

Funkcja trygonometryczna

Odwrotna funkcja trygonometryczna

2.4. Zasady różnicowania.

Pochodna

Pochodna sumy (różnicy) funkcji

Pochodna iloczynu dwóch funkcji

Pochodna ilorazu dwóch funkcji

2.5. Pochodna funkcji zespolonej.

Niech będzie podana funkcja
w taki sposób, że można to przedstawić w formie

I
, gdzie zmienna jest zatem argumentem pośrednim

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej danej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po x.

Przykład 1.

Przykład 2.

3. Funkcja różniczkowa.

Niech tak będzie
, różniczkowalna w pewnym przedziale
i niech Na ta funkcja ma pochodną

,

wtedy będziemy mogli pisać

(1),

Gdzie - nieskończenie mała ilość,

Odkąd

Mnożenie wszystkich wyrazów równości (1) przez
mamy:

Gdzie
- b.m.v. wyższy porządek.

Ogrom
nazywa się różniczką funkcji
i jest wyznaczony

.

3.1. Wartość geometryczna różniczki.

Niech będzie podana funkcja
.

Ryc.2. Geometryczne znaczenie różniczki.

.

Oczywiście różniczka funkcji
jest równy przyrostowi rzędnej stycznej w danym punkcie.

3.2. Pochodne i różniczki różnych rzędów.

Jeśli istnieje
, Następnie
nazywa się pierwszą pochodną.

Pochodna pierwszej pochodnej nazywana jest pochodną drugiego rzędu i jest zapisywana
.

Pochodna n-tego rzędu funkcji
nazywa się pochodną (n-1)-tego rzędu i zapisuje się:

.

Różniczkę różniczki funkcji nazywa się różniczką drugiego rzędu lub różniczką drugiego rzędu.

.

.

3.3 Rozwiązywanie problemów biologicznych za pomocą różnicowania.

Zadanie 1. Badania wykazały, że rozwój kolonii mikroorganizmów jest zgodny z prawem
, Gdzie N – liczba mikroorganizmów (w tysiącach), T – czas (dni).

b) Czy populacja kolonii wzrośnie czy spadnie w tym okresie?

Odpowiedź. Rozmiar kolonii wzrośnie.

Zadanie 2. Woda w jeziorze jest okresowo badana pod kątem obecności bakterii chorobotwórczych. Poprzez T dni po badaniu stężenie bakterii określa się na podstawie stosunku

.

Kiedy w jeziorze będzie minimalne stężenie bakterii i będzie można w nim pływać?

Rozwiązanie: Funkcja osiąga maksimum lub minimum, gdy jej pochodna wynosi zero.

,

Ustalmy, że maksimum lub minimum będzie za 6 dni. Aby to zrobić, weźmy drugą pochodną.

Odpowiedź: Po 6 dniach będzie minimalne stężenie bakterii.