Metoda Gaussa jest jasnym wyjaśnieniem. Metoda Gaussa, moje wyjaśnienia

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, jeśli zbiór wszystkich ich rozwiązań jest zbieżny.

Elementarne przekształcenia układu równań to:

1. Usuwanie trywialnych równań z układu, tj. takie, dla których wszystkie współczynniki są równe zeru;
2. Mnożenie dowolnego równania przez liczbę inną niż zero;
3. Dodanie do dowolnego i-tego równania dowolnego j-tego równania pomnożonego przez dowolną liczbę.

Zmienną x i nazywamy wolną, jeśli ta zmienna jest niedozwolona, ​​ale cały układ równań jest dozwolony.

Twierdzenie. Przekształcenia elementarne przekształcają układ równań w równoważny.

Znaczenie metody Gaussa polega na przekształceniu pierwotnego układu równań i uzyskaniu równoważnego rozwiązanego lub równoważnego układu niespójnego.

Zatem metoda Gaussa składa się z następujących kroków:

1. Spójrzmy na pierwsze równanie. Wybierzmy pierwszy niezerowy współczynnik i podzielmy przez niego całe równanie. Otrzymujemy równanie, w które wchodzi pewna zmienna x i ze współczynnikiem 1;
2. Odejmijmy to równanie od wszystkich pozostałych, mnożąc je przez takie liczby, aby współczynniki zmiennej x i w pozostałych równaniach były zerowe. Otrzymujemy układ rozwiązany ze względu na zmienną x i równoważny pierwotnemu;
3. Jeśli pojawią się trywialne równania (rzadko, ale się zdarza; na przykład 0 = 0), skreślamy je z układu. W rezultacie jest o jedno równanie mniej;
4. Poprzednie kroki powtarzamy nie więcej niż n razy, gdzie n jest liczbą równań w układzie. Za każdym razem wybieramy nową zmienną do „przetworzenia”. Jeśli pojawią się niespójne równania (na przykład 0 = 8), system jest niespójny.

W rezultacie po kilku krokach otrzymamy albo układ rozwiązany (ewentualnie ze zmiennymi swobodnymi), albo układ niespójny. Dozwolone systemy dzielą się na dwa przypadki:

1. Liczba zmiennych jest równa liczbie równań. Oznacza to, że system jest zdefiniowany;
2. Liczba zmiennych jest większa niż liczba równań. Zbieramy wszystkie wolne zmienne po prawej stronie - otrzymujemy formuły na dozwolone zmienne. Wzory te są zapisane w odpowiedzi.

To wszystko! Układ równań liniowych rozwiązany! Jest to dość prosty algorytm i aby go opanować, nie trzeba kontaktować się z wyższym nauczycielem matematyki. Spójrzmy na przykład:

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Opis kroków:

1. Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego - otrzymamy dozwoloną zmienną x 1;
2. Drugie równanie mnożymy przez (-1), a trzecie równanie dzielimy przez (-3) - otrzymujemy dwa równania, w których zmienna x 2 wchodzi ze współczynnikiem 1;
3. Dodajemy drugie równanie do pierwszego i odejmujemy od trzeciego. Otrzymujemy dozwoloną zmienną x 2 ;
4. Na koniec odejmujemy trzecie równanie od pierwszego - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 3;
5. Otrzymaliśmy zatwierdzony system, zapisz odpowiedź.

Rozwiązaniem ogólnym równoczesnego układu równań liniowych jest nowy układ, równoważny pierwotnemu, w którym wszystkie dozwolone zmienne wyrażone są w postaci wolnych.

Kiedy może być potrzebne rozwiązanie ogólne? Jeśli musisz wykonać mniej kroków niż k (k to liczba równań). Jednakże powody, dla których proces kończy się na pewnym etapie l< k , может быть две:

1. Po l-tym kroku otrzymaliśmy układ, który nie zawiera równania z liczbą (l + 1). W sumie to dobrze, bo... autoryzowany system jest nadal uzyskiwany - nawet kilka kroków wcześniej.
2. Po l-tym kroku otrzymaliśmy równanie, w którym wszystkie współczynniki zmiennych są równe zeru, a współczynnik swobodny jest różny od zera. Jest to równanie sprzeczne i dlatego układ jest niespójny.

Ważne jest, aby zrozumieć, że pojawienie się niespójnego równania przy użyciu metody Gaussa jest wystarczającą podstawą niespójności. Jednocześnie zauważamy, że w wyniku l-tego kroku nie mogą pozostać żadne trywialne równania - wszystkie są przekreślane w trakcie.

Opis kroków:

1. Odejmij pierwsze równanie pomnożone przez 4 od drugiego. Do trzeciego równania dodajemy także pierwsze - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 1;
2. Odejmij trzecie równanie pomnożone przez 2 od drugiego - otrzymamy sprzeczne równanie 0 = -5.

Zatem układ jest niespójny, ponieważ odkryto niespójne równanie.

Zadanie. Sprawdź kompatybilność i znajdź ogólne rozwiązanie systemu:

Opis kroków:

1. Od drugiego równania odejmujemy (po pomnożeniu przez dwa), a trzecie - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 1;
2. Odejmij drugie równanie od trzeciego. Ponieważ wszystkie współczynniki w tych równaniach są takie same, trzecie równanie stanie się trywialne. Jednocześnie pomnóż drugie równanie przez (-1);
3. Odejmij drugą od pierwszego równania - otrzymamy dozwoloną zmienną x 2. Cały układ równań jest teraz również rozwiązany;
4. Ponieważ zmienne x 3 i x 4 są dowolne, przesuwamy je w prawo, aby wyrazić dozwolone zmienne. To jest odpowiedź.

Zatem układ jest spójny i nieokreślony, gdyż istnieją dwie zmienne dozwolone (x 1 i x 2) oraz dwie wolne (x 3 i x 4).

1. Układ liniowych równań algebraicznych

1.1 Pojęcie układu liniowych równań algebraicznych

Układ równań to stan polegający na jednoczesnym wykonaniu kilku równań względem kilku zmiennych. Układ liniowych równań algebraicznych (zwany dalej SLAE) zawierający m równań i n niewiadomych nazywa się układem o postaci:

gdzie liczby a ij nazywane są współczynnikami systemowymi, liczby b i nazywane są terminami wolnymi, ij I b ja(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezentują pewne znane liczby, a x 1 ,…, x rz– nieznany. W wyznaczaniu współczynników ij pierwszy indeks i oznacza numer równania, a drugi j jest liczbą niewiadomej, przy której stoi ten współczynnik. Należy znaleźć liczby x n. Wygodnie jest zapisać taki system w postaci zwartej macierzy: AX=B. Tutaj A jest macierzą współczynników układu, zwaną macierzą główną;

– wektor kolumnowy niewiadomych xj.
jest wektorem kolumnowym wolnych terminów bi.

Iloczyn macierzy A*X jest określony, ponieważ w macierzy A jest tyle kolumn, ile wierszy w macierzy X (n sztuk).

Rozbudowana macierz systemu to macierz A systemu, uzupełniona kolumną wolnych terminów

1.2 Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych

Rozwiązaniem układu równań jest uporządkowany zbiór liczb (wartości zmiennych), zastępując je zamiast zmiennych, każde z równań układu zamienia się w prawdziwą równość.

Rozwiązaniem układu jest n wartości niewiadomych x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, po podstawieniu których wszystkie równania układu stają się prawdziwymi równościami. Każde rozwiązanie układu można zapisać w postaci macierzy kolumnowej

Układ równań nazywamy spójnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójnym, jeśli nie ma żadnego rozwiązania.

Mówi się, że system spójny jest określony, jeśli ma jedno rozwiązanie, i nieokreślony, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie. W tym drugim przypadku każde z jego rozwiązań nazywane jest szczególnym rozwiązaniem układu. Zbiór wszystkich rozwiązań szczegółowych nazywa się rozwiązaniem ogólnym.

Rozwiązanie systemu oznacza sprawdzenie, czy jest on kompatybilny, czy niespójny. Jeżeli układ jest spójny, znajdź jego rozwiązanie ogólne.

Dwa układy nazywane są równoważnymi (równoważnymi), jeśli mają to samo rozwiązanie ogólne. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Transformacja, której zastosowanie zamienia system w nowy system równoważny pierwotnemu, nazywa się transformacją równoważną lub równoważną. Przykładami przekształceń równoważnych są następujące przekształcenia: zamiana dwóch równań układu, zamiana dwóch niewiadomych wraz ze współczynnikami wszystkich równań, pomnożenie obu stron dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera.

Układ równań liniowych nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe zero:

Układ jednorodny jest zawsze spójny, gdyż x1=x2=x3=…=xn=0 jest rozwiązaniem układu. To rozwiązanie nazywa się zerowym lub trywialnym.

2. Metoda eliminacji Gaussa

2.1 Istota metody eliminacji Gaussa

Klasyczną metodą rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych jest metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych - Metoda Gaussa(nazywana jest także metodą eliminacji Gaussa). Jest to metoda sekwencyjnej eliminacji zmiennych, gdy za pomocą elementarnych przekształceń układ równań sprowadza się do równoważnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej), z którego wszystkie pozostałe zmienne znajdują się sekwencyjnie, zaczynając od ostatniej (przez liczba) zmiennych.

Proces rozwiązania metodą Gaussa składa się z dwóch etapów: ruchów do przodu i do tyłu.

1. Skok bezpośredni.

W pierwszym etapie przeprowadza się tzw. ruch bezpośredni, gdy poprzez elementarne przekształcenia po rzędach układ zostaje doprowadzony do kształtu schodkowego lub trójkątnego, albo zostaje ustalone, że układ jest niekompatybilny. Mianowicie spośród elementów pierwszej kolumny macierzy wybierz niezerowy, przesuń go na najwyższą pozycję przestawiając wiersze i odejmij powstały pierwszy wiersz od pozostałych wierszy po przestawieniu, mnożąc go przez wartość równy stosunkowi pierwszego elementu każdego z tych wierszy do pierwszego elementu pierwszego wiersza, zerując w ten sposób kolumnę pod nim.

Po zakończeniu wskazanych przekształceń pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są mentalnie przekreślane i kontynuowane, aż pozostanie macierz o zerowym rozmiarze. Jeśli w dowolnej iteracji wśród elementów pierwszej kolumny nie ma elementu niezerowego, to przejdź do następnej kolumny i wykonaj podobną operację.

W pierwszym etapie (skok bezpośredni) system zostaje zredukowany do formy schodkowej (w szczególności trójkątnej).

Poniższy system ma postać etapową:

,

Współczynniki aii nazywane są głównymi (wiodącymi) elementami układu.

(jeśli a11=0, przestaw wiersze macierzy tak, aby A 11 nie było równe 0. Zawsze jest to możliwe, gdyż w przeciwnym wypadku macierz zawiera kolumnę zerową, jej wyznacznik jest równy zeru i układ jest niespójny).

Przekształćmy układ, eliminując niewiadomą x1 we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego (wykorzystując elementarne transformacje układu). Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez

i dodaj wyraz po wyrazie do drugiego równania układu (lub od drugiego równania odejmij wyraz po wyrazie przez pierwsze i pomnóż przez ). Następnie mnożymy obie strony pierwszego równania przez i dodajemy je do trzeciego równania układu (lub od trzeciego odejmujemy pierwsze pomnożone przez ). Zatem kolejno mnożymy pierwszą linię przez liczbę i dodajemy I linia, dla ja= 2, 3, …,N.

Kontynuując ten proces, otrzymujemy układ równoważny:

– nowe wartości współczynników dla niewiadomych i wyrazów wolnych w ostatnich równaniach układu m-1, które wyznaczają wzory:

Zatem w pierwszym kroku wszystkie współczynniki leżące pod pierwszym elementem wiodącym a 11 ulegają zniszczeniu

0, w drugim etapie niszczone są elementy leżące pod drugim wiodącym elementem a 22 (1) (jeśli a 22 (1) 0) itd. Kontynuując dalej ten proces, ostatecznie w kroku (m-1) redukujemy pierwotny układ do układu trójkątnego.

Jeżeli w procesie redukcji układu do postaci krokowej pojawią się równania zerowe, tj. równości w postaci 0=0, są one odrzucane. Jeśli pojawi się równanie postaci

oznacza to niekompatybilność systemu.

Na tym kończy się bezpośredni postęp metody Gaussa.

2. Skok wsteczny.

W drugim etapie przeprowadzany jest tzw. ruch odwrotny, którego istotą jest wyrażenie wszystkich powstałych zmiennych podstawowych w kategoriach niepodstawowych i zbudowanie podstawowego układu rozwiązań lub, jeżeli wszystkie zmienne są podstawowe , następnie wyraź liczbowo jedyne rozwiązanie układu równań liniowych.

Procedura ta rozpoczyna się od ostatniego równania, z którego wyrażana jest odpowiednia zmienna podstawowa (jest w niej tylko jedna) i podstawiona do poprzednich równań, i tak dalej, przechodząc „kroki” w górę.

Każda linia odpowiada dokładnie jednej zmiennej bazowej, więc na każdym kroku z wyjątkiem ostatniego (najwyższego) sytuacja dokładnie powtarza się z ostatnią linią.

Uwaga: w praktyce wygodniej jest pracować nie z systemem, ale z jego rozszerzoną macierzą, wykonując wszystkie elementarne przekształcenia na jego wierszach. Wygodnie jest, aby współczynnik a11 był równy 1 (przekształć równania lub podziel obie strony równania przez a11).

2.2 Przykłady rozwiązywania SLAE metodą Gaussa

W tej sekcji, korzystając z trzech różnych przykładów, pokażemy, jak metoda Gaussa może rozwiązać SLAE.

Przykład 1. Rozwiąż SLAE trzeciego rzędu.

Zresetujmy współczynniki przy

w drugiej i trzeciej linijce. Aby to zrobić, pomnóż je odpowiednio przez 2/3 i 1 i dodaj do pierwszej linii:

W artykule metodę tę traktuje się jako metodę rozwiązywania układów równań liniowych (SLAE). Metoda ma charakter analityczny, to znaczy pozwala na napisanie algorytmu rozwiązania w formie ogólnej, a następnie podstawienie tam wartości z konkretnych przykładów. W przeciwieństwie do metody macierzowej czy wzorów Cramera, rozwiązując układ równań liniowych metodą Gaussa, można pracować także z tymi, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań. Albo nie mają go w ogóle.

Co to znaczy rozwiązywać metodą Gaussa?

Najpierw musimy zapisać nasz układ równań. Wygląda to tak. Weź system:

Współczynniki zapisano w formie tabeli, a terminy wolne w osobnej kolumnie po prawej stronie. Kolumna zawierająca wolne elementy jest dla wygody oddzielona. Macierz zawierającą tę kolumnę nazywa się rozszerzoną.

Następnie główną macierz ze współczynnikami należy sprowadzić do postaci górnego trójkąta. To jest główny punkt rozwiązania układu metodą Gaussa. Mówiąc najprościej, po pewnych manipulacjach macierz powinna wyglądać tak, aby jej lewa dolna część zawierała tylko zera:

Następnie, jeśli napiszesz nową macierz ponownie jako układ równań, zauważysz, że ostatni wiersz zawiera już wartość jednego z pierwiastków, który następnie podstawia się do powyższego równania, zostaje znaleziony inny pierwiastek i tak dalej.

Jest to opis rozwiązania metodą Gaussa w najbardziej ogólnym ujęciu. Co się stanie, jeśli nagle system nie będzie miał rozwiązania? A może jest ich nieskończenie wiele? Aby odpowiedzieć na te i wiele innych pytań, należy osobno rozważyć wszystkie elementy stosowane w rozwiązaniu metody Gaussa.

Macierze, ich właściwości

W matrixie nie ma żadnego ukrytego znaczenia. Jest to po prostu wygodny sposób na zapisanie z nim danych do późniejszych operacji. Nawet uczniowie nie muszą się ich bać.

Matryca jest zawsze prostokątna, bo tak jest wygodniej. Nawet w metodzie Gaussa, gdzie wszystko sprowadza się do zbudowania macierzy o postaci trójkątnej, we wpisie pojawia się prostokąt, tylko z zerami w miejscu, w którym nie ma liczb. Zera mogą nie być zapisane, ale są dorozumiane.

Macierz ma rozmiar. Jego „szerokość” to liczba wierszy (m), „długość” to liczba kolumn (n). Wtedy wielkość macierzy A (zwykle do ich oznaczenia używa się wielkich liter łacińskich) będzie oznaczona jako A m×n. Jeśli m=n, to ta macierz jest kwadratowa, a m=n jest jej rządem. Odpowiednio, dowolny element macierzy A można oznaczyć numerami jego wierszy i kolumn: a xy ; x - numer wiersza, zmiany, y - numer kolumny, zmiany.

B nie jest głównym punktem decyzji. W zasadzie wszystkie operacje można wykonać bezpośrednio na samych równaniach, ale zapis będzie znacznie bardziej uciążliwy i znacznie łatwiej będzie się w nim pomylić.

Wyznacznik

Macierz ma również wyznacznik. Jest to bardzo ważna cecha. Nie trzeba już teraz dowiadywać się o jego znaczeniu, wystarczy pokazać, jak jest on obliczany, a następnie powiedzieć, jakie właściwości macierzy ono wyznacza. Najłatwiej znaleźć wyznacznik poprzez przekątne. W macierzy narysowane są wyimaginowane przekątne; elementy znajdujące się na każdym z nich są mnożone, a następnie dodawane są otrzymane iloczyny: przekątne o nachyleniu w prawo - ze znakiem plus, o nachyleniu w lewo - ze znakiem minus.

Niezwykle ważne jest, aby pamiętać, że wyznacznik można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. W przypadku macierzy prostokątnej można wykonać następującą operację: wybrać najmniejszą z liczby wierszy i liczby kolumn (niech będzie k), a następnie losowo zaznaczyć w macierzy k kolumn i k wierszy. Elementy na przecięciu wybranych kolumn i wierszy utworzą nową macierz kwadratową. Jeżeli wyznacznik takiej macierzy jest liczbą różną od zera, nazywa się ją mollą bazową pierwotnej macierzy prostokątnej.

Zanim zaczniesz rozwiązywać układ równań metodą Gaussa, nie zaszkodzi obliczyć wyznacznik. Jeśli okaże się, że wynosi zero, to od razu możemy powiedzieć, że macierz ma albo nieskończoną liczbę rozwiązań, albo nie ma ich wcale. W tak smutnym przypadku trzeba pójść dalej i dowiedzieć się o randze macierzy.

Klasyfikacja systemu

Istnieje coś takiego jak stopień macierzy. Jest to maksymalny rząd jej niezerowego wyznacznika (jeśli pamiętamy o molowej podstawie, to można powiedzieć, że rząd macierzy jest rzędem molowej podstawy).

W zależności od sytuacji z rangą, SLAE można podzielić na:

• Wspólny. U W układach połączonych stopień macierzy głównej (składającej się wyłącznie ze współczynników) pokrywa się z rzędem macierzy rozszerzonej (z kolumną wolnych terminów). Takie systemy mają rozwiązanie, ale niekoniecznie jedno, dlatego systemy łączone dodatkowo dzielimy na:
• - niektórzy- posiadanie jednego rozwiązania. W niektórych systemach rząd macierzy i liczba niewiadomych (lub liczba kolumn, co jest tym samym) są równe;
• - nieokreślony - z nieskończoną liczbą rozwiązań. Ranga macierzy w takich układach jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
• Niezgodny. U W takich układach szeregi macierzy głównej i rozszerzonej nie pokrywają się. Niekompatybilne systemy nie mają rozwiązania.

Metoda Gaussa jest dobra, ponieważ w trakcie rozwiązania pozwala uzyskać albo jednoznaczny dowód niespójności układu (bez obliczania wyznaczników dużych macierzy), albo rozwiązanie w postaci ogólnej dla układu o nieskończonej liczbie rozwiązań.

Transformacje elementarne

Przed przystąpieniem bezpośrednio do rozwiązywania układu można uczynić go mniej uciążliwym i wygodniejszym do obliczeń. Osiąga się to poprzez elementarne przekształcenia - tak, aby ich realizacja w żaden sposób nie zmieniała ostatecznej odpowiedzi. Należy zaznaczyć, że część podanych przekształceń elementarnych obowiązuje tylko dla macierzy, których źródłem był SLAE. Oto lista tych transformacji:

1. Przestawianie linii. Oczywiście, jeśli zmienisz kolejność równań w zapisie systemowym, nie będzie to miało żadnego wpływu na rozwiązanie. W związku z tym wiersze w macierzy tego układu również można zamieniać, nie zapominając oczywiście o kolumnie wolnych terminów.
2. Mnożenie wszystkich elementów ciągu przez określony współczynnik. Bardzo przydatne! Można go użyć do zmniejszenia dużych liczb w macierzy lub usunięcia zer. Wiele decyzji jak zwykle się nie zmieni, ale dalsze operacje staną się wygodniejsze. Najważniejsze jest to, że współczynnik nie jest równy zero.
3. Usuwanie wierszy ze współczynnikami proporcjonalnymi. Częściowo wynika to z poprzedniego akapitu. Jeżeli dwa lub więcej wierszy macierzy ma współczynniki proporcjonalności, to mnożąc/dzieląc jeden z wierszy przez współczynnik proporcjonalności, otrzymujemy dwa (lub więcej) absolutnie identyczne wiersze, a dodatkowe można usunąć, pozostawiając tylko jeden.
4. Usuwanie linii zerowej. Jeśli w trakcie transformacji otrzyma się gdzieś wiersz, w którym wszystkie elementy, łącznie z wyrazem wolnym, są równe zeru, to taki wiersz można nazwać zerem i wyrzucić z macierzy.
5. Dodanie do elementów jednego wiersza elementów drugiego (w odpowiednich kolumnach), pomnożone przez określony współczynnik. Najbardziej nieoczywista i najważniejsza przemiana ze wszystkich. Warto zastanowić się nad tym bardziej szczegółowo.

Dodawanie ciągu znaków pomnożonego przez współczynnik

Dla ułatwienia zrozumienia warto rozłożyć ten proces krok po kroku. Z macierzy pobierane są dwa wiersze:

za 11 za 12 ... za 1n | b1

za 21 za 22 ... za 2n | b 2

Załóżmy, że musisz dodać pierwszy do drugiego, pomnożony przez współczynnik „-2”.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Następnie drugi wiersz macierzy zostaje zastąpiony nowym, a pierwszy pozostaje niezmieniony.

za 11 za 12 ... za 1n | b1

a" 21 a" 22... a" 2n | b 2

Należy zaznaczyć, że współczynnik mnożenia można tak dobrać, aby w wyniku dodania dwóch wierszy jeden z elementów nowego wiersza był równy zero. Można zatem otrzymać równanie w układzie, w którym będzie o jedno mniej niewiadome. A jeśli otrzymasz dwa takie równania, operację można wykonać ponownie i otrzymać równanie, które będzie zawierało o dwie niewiadome mniej. A jeśli za każdym razem zamienisz jeden współczynnik na zero dla wszystkich wierszy znajdujących się poniżej pierwotnego, możesz niczym schody zejść na sam dół macierzy i uzyskać równanie z jedną niewiadomą. Nazywa się to rozwiązywaniem układu metodą Gaussa.

Zazwyczaj

Niech będzie system. Ma m równań i n nieznanych pierwiastków. Można to zapisać w następujący sposób:

Główna macierz jest kompilowana ze współczynników systemowych. Do rozszerzonej macierzy dodawana jest kolumna wolnych terminów i dla wygody oddzielana linią.

• pierwszy wiersz macierzy mnoży się przez współczynnik k = (-a 21 /a 11);
• dodaje się pierwszy zmodyfikowany wiersz i drugi wiersz macierzy;
• zamiast drugiego wiersza do macierzy wstawiany jest wynik dodania z poprzedniego akapitu;
• teraz pierwszy współczynnik w nowym drugim rzędzie to a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz wykonywana jest ta sama seria przekształceń, zaangażowane są tylko pierwszy i trzeci rząd. Odpowiednio na każdym etapie algorytmu element 21 jest zastępowany przez 31. Następnie wszystko powtarza się dla 41, ... m1. Wynikiem jest macierz, w której pierwszym elementem w wierszach jest zero. Teraz musisz zapomnieć o linii numer jeden i wykonać ten sam algorytm, zaczynając od linii drugiej:

• współczynnik k = (-a 32 /a 22);
• druga zmodyfikowana linia jest dodawana do linii „bieżącej”;
• wynik dodawania jest podstawiony do trzeciego, czwartego i tak dalej, podczas gdy pierwszy i drugi pozostają niezmienione;
• w wierszach macierzy dwa pierwsze elementy są już równe zeru.

Algorytm należy powtarzać aż do pojawienia się współczynnika k = (-a m,m-1 /a mm). Oznacza to, że ostatni raz algorytm był wykonywany tylko dla dolnego równania. Teraz matryca wygląda jak trójkąt lub ma kształt schodkowy. W dolnej linii znajduje się równość a mn × x n = b m. Znany jest współczynnik i wyraz wolny, a pierwiastek wyraża się za ich pośrednictwem: x n = b m /a mn. Powstały pierwiastek podstawiamy do górnej linii, aby znaleźć x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. I tak dalej przez analogię: w każdej kolejnej linii znajduje się nowy pierwiastek, a po dotarciu na „szczyt” systemu można znaleźć wiele rozwiązań. To będzie jedyny.

Kiedy nie ma rozwiązań

Jeżeli w jednym z wierszy macierzy wszystkie elementy poza wyrazem wolnym są równe zeru, to równanie odpowiadające temu wierszowi wygląda jak 0 = b. Nie ma rozwiązania. A skoro takie równanie jest zawarte w układzie, to zbiór rozwiązań całego układu jest pusty, czyli zdegenerowany.

Gdy istnieje nieskończona liczba rozwiązań

Może się zdarzyć, że w danej macierzy trójkątnej nie ma wierszy z jednym elementem współczynnikowym równania i jednym wyrazem wolnym. Istnieją tylko linie, które po przepisaniu wyglądałyby jak równanie z dwiema lub więcej zmiennymi. Oznacza to, że układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań. W takim przypadku odpowiedź można podać w formie ogólnego rozwiązania. Jak to zrobić?

Wszystkie zmienne w macierzy dzielą się na podstawowe i dowolne. Podstawowe to te, które stoją „na krawędzi” wierszy macierzy schodkowej. Reszta jest bezpłatna. W rozwiązaniu ogólnym zmienne podstawowe zapisywane są poprzez zmienne wolne.

Dla wygody macierz jest najpierw przepisana z powrotem do układu równań. Następnie w ostatnim z nich, gdzie dokładnie pozostaje tylko jedna zmienna podstawowa, pozostaje ona po jednej stronie, a wszystko inne zostaje przeniesione na drugą. Odbywa się to dla każdego równania z jedną zmienną podstawową. Następnie w pozostałych równaniach, gdzie jest to możliwe, zamiast zmiennej podstawowej podstawiamy otrzymane dla niej wyrażenie. Jeśli wynikiem jest ponownie wyrażenie zawierające tylko jedną zmienną podstawową, jest ono ponownie wyrażane od tego miejsca i tak dalej, aż każda zmienna podstawowa zostanie zapisana jako wyrażenie ze zmiennymi wolnymi. Jest to ogólne rozwiązanie SLAE.

Można też znaleźć podstawowe rozwiązanie układu - nadaj zmiennym swobodnym dowolne wartości, a następnie dla tego konkretnego przypadku oblicz wartości zmiennych podstawowych. Istnieje nieskończona liczba rozwiązań szczegółowych, które można podać.

Rozwiązanie na konkretnych przykładach

Oto układ równań.

Dla wygody lepiej od razu utworzyć matrycę

Wiadomo, że po rozwiązaniu metodą Gaussa równanie odpowiadające pierwszemu wierszowi pozostanie niezmienione po zakończeniu przekształceń. Dlatego bardziej opłacalne będzie, jeśli lewy górny element macierzy będzie najmniejszy - wówczas pierwsze elementy pozostałych wierszy po operacjach wyniosą zero. Oznacza to, że w skompilowanej macierzy korzystne będzie umieszczenie drugiego wiersza w miejsce pierwszego.

druga linia: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

trzecia linia: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = za 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = za 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Teraz, aby się nie pomylić, musisz zapisać macierz z pośrednimi wynikami transformacji.

Oczywiście taką matrycę można uczynić wygodniejszą dla percepcji za pomocą pewnych operacji. Na przykład możesz usunąć wszystkie „minusy” z drugiej linii, mnożąc każdy element przez „-1”.

Warto również zauważyć, że w trzeciej linii wszystkie elementy są wielokrotnościami trójki. Następnie możesz skrócić ciąg o tę liczbę, mnożąc każdy element przez „-1/3” (minus - jednocześnie, aby usunąć wartości ujemne).

Wygląda dużo ładniej. Teraz musimy zostawić pierwszą linię w spokoju i pracować z drugą i trzecią. Zadanie polega na dodaniu drugiej linii do trzeciej linii i pomnożeniu przez taki współczynnik, aby element a 32 stał się równy zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jeżeli podczas niektórych przekształceń odpowiedź nie okaże się liczbą całkowitą, zaleca się zachowanie dokładności obliczeń pozostawić to „tak jak jest”, w postaci ułamka zwykłego i dopiero wtedy, gdy otrzymamy odpowiedzi, zadecydujemy, czy zaokrąglić i przekonwertować na inną formę zapisu)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Macierz jest zapisywana ponownie z nowymi wartościami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Jak widać, otrzymana macierz ma już postać schodkową. Nie są zatem wymagane dalsze transformacje układu metodą Gaussa. Możesz tutaj usunąć ogólny współczynnik „-1/7” z trzeciej linii.

Teraz wszystko jest piękne. Pozostało jeszcze raz zapisać macierz w postaci układu równań i obliczyć pierwiastki

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algorytm, za pomocą którego zostaną teraz znalezione pierwiastki, nazywa się ruchem odwrotnym w metodzie Gaussa. Równanie (3) zawiera wartość z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

A pierwsze równanie pozwala nam znaleźć x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Mamy prawo nazwać taki system wspólnym, a nawet określonym, czyli posiadającym unikalne rozwiązanie. Odpowiedź jest zapisana w następującej formie:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Przykład niepewnego systemu

Przeanalizowano wariant rozwiązania pewnego układu metodą Gaussa; obecnie należy rozważyć przypadek, gdy układ jest niepewny, czyli można dla niego znaleźć nieskończenie wiele rozwiązań.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Już sam wygląd układu jest niepokojący, gdyż liczba niewiadomych wynosi n=5, a ranga macierzy układu jest już dokładnie mniejsza od tej liczby, gdyż liczba wierszy wynosi m=4, czyli najwyższy rząd wyznacznika wynosi 4. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań i należy szukać ich ogólnego wyglądu. Umożliwia to metoda Gaussa dla równań liniowych.

Najpierw, jak zwykle, kompilowana jest rozszerzona macierz.

Druga linia: współczynnik k = (-a 21 /a 11) = -3. W trzeciej linii pierwszy element jest przed przekształceniami, więc nie trzeba niczego dotykać, trzeba to zostawić tak, jak jest. Czwarta linia: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mnożąc elementy pierwszego rzędu przez każdy z ich współczynników po kolei i dodając je do wymaganych wierszy, otrzymujemy macierz o postaci:

Jak widać drugi, trzeci i czwarty rząd składają się z elementów proporcjonalnych do siebie. Drugi i czwarty są na ogół identyczne, więc jeden z nich można natychmiast usunąć, a drugi można pomnożyć przez współczynnik „-1” i uzyskać linię nr 3. I znowu z dwóch identycznych linii zostaw jedną.

Rezultatem jest taka macierz. Choć system nie został jeszcze spisany, należy tu wyznaczyć zmienne podstawowe – te stojące przy współczynnikach a 11 = 1 i a 22 = 1 oraz wolne – całą resztę.

W drugim równaniu występuje tylko jedna zmienna podstawowa – x ​​2. Oznacza to, że można to wyrazić stamtąd, zapisując je poprzez zmienne x 3 , x 4 , x 5 , które są bezpłatne.

Otrzymane wyrażenie podstawiamy do pierwszego równania.

Wynikiem jest równanie, w którym jedyną zmienną podstawową jest x 1 . Zróbmy z tym to samo co z x2.

Wszystkie zmienne podstawowe, których są dwie, są wyrażone w postaci trzech wolnych; teraz możemy zapisać odpowiedź w postaci ogólnej.

Można także wskazać jedno z konkretnych rozwiązań systemu. W takich przypadkach zwykle wybiera się zera jako wartości wolnych zmiennych. Wtedy odpowiedź będzie brzmieć:

16, 23, 0, 0, 0.

Przykład systemu niekooperacyjnego

Najszybsze jest rozwiązywanie niezgodnych układów równań metodą Gaussa. Kończy się natychmiast, gdy tylko na jednym z etapów zostanie uzyskane równanie, które nie ma rozwiązania. Oznacza to, że etap obliczania pierwiastków, który jest dość długi i żmudny, zostaje wyeliminowany. Rozważany jest następujący system:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jak zwykle macierz jest kompilowana:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I sprowadza się to do postaci krokowej:

k 1 = -2 k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pierwszym przekształceniu trzecia linia zawiera równanie postaci

bez rozwiązania. W rezultacie system jest niespójny, a odpowiedzią będzie zbiór pusty.

Zalety i wady metody

Jeśli wybierzesz metodę rozwiązywania SLAE na papierze za pomocą pióra, wówczas metoda omówiona w tym artykule wygląda najbardziej atrakcyjnie. O wiele trudniej jest się pogubić w elementarnych transformacjach, niż gdy trzeba ręcznie szukać wyznacznika lub jakiejś skomplikowanej macierzy odwrotnej. Jeśli jednak używasz programów do pracy z danymi tego typu, na przykład arkuszy kalkulacyjnych, okazuje się, że takie programy zawierają już algorytmy do obliczania głównych parametrów macierzy - wyznacznika, drugorzędnych, odwrotności i tak dalej. A jeśli mamy pewność, że maszyna sama te wartości obliczy i nie popełni błędu, bardziej wskazane jest skorzystanie z metody macierzowej lub wzorów Cramera, ponieważ ich stosowanie zaczyna się i kończy na obliczeniu wyznaczników i macierzy odwrotnych.

Aplikacja

Ponieważ rozwiązanie Gaussa jest algorytmem, a macierz jest w rzeczywistości tablicą dwuwymiarową, można je wykorzystać w programowaniu. Ponieważ jednak artykuł pozycjonuje się jako przewodnik „dla opornych”, należy powiedzieć, że najłatwiejszym miejscem do wprowadzenia metody są arkusze kalkulacyjne, na przykład Excel. Ponownie, każdy SLAE wprowadzony do tabeli w postaci macierzy będzie traktowany przez Excel jako tablica dwuwymiarowa. A do operacji na nich jest wiele fajnych poleceń: dodawanie (można dodawać tylko macierze o tej samej wielkości!), mnożenie przez liczbę, mnożenie macierzy (również z pewnymi ograniczeniami), znajdowanie macierzy odwrotnych i transponowanych i co najważniejsze , obliczenie wyznacznika. Jeśli to czasochłonne zadanie zastąpimy pojedynczym poleceniem, znacznie szybciej można określić rangę macierzy, a co za tym idzie, ustalić jej zgodność lub niekompatybilność.

Metoda Gaussa, zwana także metodą sekwencyjnej eliminacji niewiadomych, jest następująca. Za pomocą przekształceń elementarnych układ równań liniowych doprowadza się do takiej postaci, że jego macierz współczynników okazuje się być trapezoidalny (taki sam jak trójkątny lub schodkowy) lub zbliżony do trapezowego (skok bezpośredni metody Gaussa, zwany dalej po prostu skokiem prostym). Przykład takiego układu i jego rozwiązania przedstawiono na powyższym rysunku.

W takim układzie ostatnie równanie zawiera tylko jedną zmienną i można jednoznacznie znaleźć jej wartość. Wartość tej zmiennej jest następnie podstawiona do poprzedniego równania ( odwrotność metody Gaussa , potem odwrotnie), z którego znajduje się poprzednia zmienna i tak dalej.

Jak widzimy, w układzie trapezowym (trójkątnym) trzecie równanie nie zawiera już zmiennych y I X, a drugie równanie jest zmienną X .

Gdy macierz układu przybierze kształt trapezu, zrozumienie zagadnienia kompatybilności układu, określenie liczby rozwiązań i znalezienie samych rozwiązań nie jest już trudne.

Zalety metody:

1. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych zawierających więcej niż trzy równania i niewiadome metoda Gaussa nie jest tak uciążliwa jak metoda Cramera, ponieważ rozwiązywanie metodą Gaussa wymaga mniej obliczeń;
2. metodą Gaussa można rozwiązywać nieokreślone układy równań liniowych, czyli takie, które mają rozwiązanie ogólne (i przeanalizujemy je w tej lekcji), a stosując metodę Cramera możemy jedynie stwierdzić, że układ jest niewyznaczalny;
3. potrafisz rozwiązywać układy równań liniowych, w których liczba niewiadomych nie jest równa liczbie równań (przeanalizujemy je również w tej lekcji);
4. Metoda opiera się na metodach elementarnych (szkolnych) - metodzie podstawiania niewiadomych i metodzie dodawania równań, o których pisaliśmy w odpowiednim artykule.

Aby każdy zrozumiał prostotę, z jaką rozwiązuje się trapezowe (trójkątne, schodkowe) układy równań liniowych, przedstawiamy rozwiązanie takiego układu wykorzystując ruch odwrotny. Szybkie rozwiązanie tego układu pokazano na obrazku na początku lekcji.

Przykład 1. Rozwiąż układ równań liniowych, stosując odwrotność:

Rozwiązanie. W tym układzie trapezowym zmienna z można jednoznacznie znaleźć na podstawie trzeciego równania. Podstawiamy jego wartość do drugiego równania i otrzymujemy wartość zmiennej y:

Teraz znamy wartości dwóch zmiennych - z I y. Podstawiamy je do pierwszego równania i otrzymujemy wartość zmiennej X:

Z poprzednich kroków zapisujemy rozwiązanie układu równań:

Aby otrzymać taki trapezowy układ równań liniowych, który rozwiązaliśmy w bardzo prosty sposób, konieczne jest zastosowanie skoku do przodu związanego z elementarnymi transformacjami układu równań liniowych. To również nie jest bardzo trudne.

Przekształcenia elementarne układu równań liniowych

Powtarzając szkolną metodę algebraicznego dodawania równań układu, odkryliśmy, że do jednego z równań układu można dodać kolejne równanie układu, a każde z równań można pomnożyć przez jakąś liczbę. W rezultacie otrzymujemy układ równań liniowych równoważny temu. W nim jedno równanie zawierało już tylko jedną zmienną, podstawiając wartość której do innych równań, dochodzimy do rozwiązania. Dodatek taki jest jednym z rodzajów elementarnej transformacji układu. Stosując metodę Gaussa, możemy zastosować kilka rodzajów transformacji.

Powyższa animacja pokazuje, jak układ równań stopniowo przekształca się w trapezoidalny. To znaczy ten, który widziałeś w pierwszej animacji i przekonałeś się, że łatwo jest znaleźć w nim wartości wszystkich niewiadomych. Jak przeprowadzić taką transformację i oczywiście przykłady zostaną omówione dalej.

Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z dowolną liczbą równań i niewiadomych w układzie równań i w rozszerzonej macierzy układu Móc:

1. zmienić układ linii (wspomniano o tym na samym początku tego artykułu);
2. jeżeli inne przekształcenia dają wiersze równe lub proporcjonalne, można je usunąć, za wyjątkiem jednego;
3. usuń wiersze „zero”, w których wszystkie współczynniki są równe zero;
4. pomnożyć lub podzielić dowolny ciąg przez określoną liczbę;
5. do dowolnej linii dodaj kolejną linię pomnożoną przez określoną liczbę.

W wyniku przekształceń otrzymujemy równoważny temu układ równań liniowych.

Algorytm i przykłady rozwiązywania układu równań liniowych z macierzą kwadratową układu metodą Gaussa

Rozważmy najpierw rozwiązanie układów równań liniowych, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Macierz takiego systemu jest kwadratowa, to znaczy liczba w niej wierszy jest równa liczbie kolumn.

Przykład 2. Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

Rozwiązując układy równań liniowych metodami szkolnymi, mnożyliśmy jedno z równań wyraz po wyrazie, tak że współczynniki pierwszej zmiennej w obu równaniach były liczbami przeciwnymi. Podczas dodawania równań zmienna ta jest eliminowana. Metoda Gaussa działa podobnie.

Aby uprościć wygląd rozwiązania utwórzmy rozszerzoną macierz układu:

W tej macierzy współczynniki niewiadomych znajdują się po lewej stronie przed linią pionową, a wyrazy wolne po prawej stronie za linią pionową.

Dla wygody dzielenia współczynników dla zmiennych (w celu uzyskania dzielenia przez jedność) Zamieńmy pierwszy i drugi wiersz macierzy systemowej. Otrzymujemy układ równoważny temu, gdyż w układzie równań liniowych równania można zamieniać:

Korzystając z nowego pierwszego równania wyeliminować zmienną X z drugiego i wszystkich kolejnych równań. W tym celu do drugiego wiersza macierzy dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ), do trzeciego wiersza - pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ).

Jest to możliwe, ponieważ

Gdyby w naszym układzie było więcej niż trzy równania, to do wszystkich kolejnych równań musielibyśmy dodać pierwszą linię pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników, wzięty ze znakiem minus.

W rezultacie otrzymujemy macierz równoważną temu układowi nowego układu równań, w którym wszystkie równania, począwszy od drugiego nie zawierają zmiennej X :

Aby uprościć drugą linię powstałego układu, pomnóż ją przez i ponownie uzyskaj macierz układu równań równoważnego temu układowi:

Teraz, zachowując niezmienione pierwsze równanie powstałego układu, korzystając z drugiego równania eliminujemy zmienną y ze wszystkich kolejnych równań. W tym celu do trzeciego wiersza macierzy systemowej dodajemy drugi wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ).

Gdyby w naszym układzie było więcej niż trzy równania, wówczas do wszystkich kolejnych równań musielibyśmy dodać drugą linię, pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników wziętych ze znakiem minus.

W rezultacie ponownie otrzymujemy macierz układu równoważnego temu układowi równań liniowych:

Otrzymaliśmy równoważny trapezoidalny układ równań liniowych:

Jeżeli liczba równań i zmiennych jest większa niż w naszym przykładzie, to proces sekwencyjnego eliminowania zmiennych trwa do momentu, aż macierz układu stanie się trapezoidalna, jak w naszym przykładzie demonstracyjnym.

Rozwiązanie znajdziemy „od końca” – ruch odwrotny. Do tego z ostatniego równania, które wyznaczamy z:
.
Podstawiając tę ​​wartość do poprzedniego równania, znajdziemy y:

Z pierwszego równania znajdziemy X:

Odpowiedź: rozwiązaniem tego układu równań jest .

: w tym przypadku zostanie udzielona ta sama odpowiedź, jeśli system ma unikalne rozwiązanie. Jeśli układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań, to będzie to odpowiedź i to jest temat piątej części tej lekcji.

Rozwiąż samodzielnie układ równań liniowych metodą Gaussa, a następnie przyjrzyj się rozwiązaniu

Tutaj znowu mamy przykład spójnego i określonego układu równań liniowych, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Różnica w stosunku do naszego przykładu demonstracyjnego algorytmu polega na tym, że istnieją już cztery równania i cztery niewiadome.

Przykład 4. Rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa:

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wyeliminować zmienną z kolejnych równań. Przeprowadźmy prace przygotowawcze. Aby było to wygodniejsze ze stosunkiem współczynników, musisz uzyskać jeden w drugiej kolumnie drugiego rzędu. Aby to zrobić, odejmij trzecią linię od drugiej linii i pomnóż wynikową drugą linię przez -1.

Przeprowadźmy teraz faktyczną eliminację zmiennej z trzeciego i czwartego równania. Aby to zrobić, dodaj drugą linię pomnożoną przez , do trzeciej linii, a drugą, pomnożoną przez , do czwartej linii.

Teraz, korzystając z trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, dodaj trzecią linię do czwartej linii, pomnożoną przez . Otrzymujemy rozszerzoną macierz trapezową.

Otrzymaliśmy układ równań, któremu dany układ jest równoważny:

W konsekwencji otrzymane i dane systemy są zgodne i określone. Ostateczne rozwiązanie znajdujemy „od końca”. Z czwartego równania możemy bezpośrednio wyrazić wartość zmiennej „x-cztery”:

Podstawiamy tę wartość do trzeciego równania układu i otrzymujemy

,

,

Wreszcie podstawienie wartości

Pierwsze równanie daje

,

gdzie znajdziemy „najpierw x”:

Odpowiedź: ten układ równań ma unikalne rozwiązanie .

Rozwiązanie układu można także sprawdzić na kalkulatorze, stosując metodę Cramera: w tym przypadku taka sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli układ ma unikalne rozwiązanie.

Rozwiązywanie problemów stosowanych metodą Gaussa na przykładzie zadania na stopach

Układy równań liniowych służą do modelowania rzeczywistych obiektów w świecie fizycznym. Rozwiążmy jeden z tych problemów - stopy. Podobnymi problemami są problemy dotyczące mieszanin, kosztu lub udziału poszczególnych towarów w grupie towarów i tym podobne.

Przykład 5. Trzy kawałki stopu mają łączną masę 150 kg. Pierwszy stop zawiera 60% miedzi, drugi - 30%, trzeci - 10%. Ponadto w stopie drugim i trzecim łącznie jest o 28,4 kg mniej miedzi niż w stopie pierwszym, a w stopie trzecim jest o 6,2 kg mniej miedzi niż w stopie drugim. Znajdź masę każdego kawałka stopu.

Rozwiązanie. Tworzymy układ równań liniowych:

Mnożymy drugie i trzecie równanie przez 10, otrzymujemy równoważny układ równań liniowych:

Tworzymy rozszerzoną macierz systemu:

Uwaga, prosto. Dodając (w naszym przypadku odejmując) jeden wiersz pomnożony przez liczbę (stosujemy dwukrotnie), na rozszerzonej macierzy układu zachodzą następujące przekształcenia:

Bezpośredni ruch dobiegł końca. Otrzymaliśmy rozszerzoną macierz trapezową.

Stosujemy ruch odwrotny. Znajdujemy rozwiązanie od końca. Widzimy to.

Z drugiego równania znajdujemy

Z trzeciego równania -

Rozwiązanie układu można także sprawdzić na kalkulatorze, stosując metodę Cramera: w tym przypadku taka sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli układ ma unikalne rozwiązanie.

O prostocie metody Gaussa świadczy fakt, że wynalezienie jej zajęło niemieckiemu matematykowi Carlowi Friedrichowi Gaussowi zaledwie 15 minut. Oprócz metody nazwanej jego imieniem, z dzieł Gaussa znane jest powiedzenie „Nie powinniśmy mylić tego, co wydaje nam się niewiarygodne i nienaturalne, z tym, co absolutnie niemożliwe” - rodzaj krótkiej instrukcji dokonywania odkryć.

W wielu stosowanych problemach może nie być trzeciego ograniczenia, czyli trzeciego równania, wówczas trzeba rozwiązać układ dwóch równań z trzema niewiadomymi metodą Gaussa lub odwrotnie, jest mniej niewiadomych niż równań. Zaczniemy teraz rozwiązywać takie układy równań.

Za pomocą metody Gaussa można określić, czy dany system jest kompatybilny, czy nie N równania liniowe z N zmienne.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych o nieskończonej liczbie rozwiązań

Następnym przykładem jest spójny, ale niewyznaczalny układ równań liniowych, czyli mający nieskończoną liczbę rozwiązań.

Po wykonaniu przekształceń w rozszerzonej macierzy systemu (przestawienie wierszy, pomnożenie i podzielenie wierszy przez określoną liczbę, dodanie kolejnego do jednego wiersza) mogły pojawić się wiersze formularza

Jeśli we wszystkich równaniach mających postać

Wyrazy wolne są równe zeru, oznacza to, że układ jest nieokreślony, czyli ma nieskończoną liczbę rozwiązań, a równania tego typu są „zbędne” i wykluczamy je z układu.

Przykład 6.

Rozwiązanie. Stwórzmy rozszerzoną macierz układu. Następnie korzystając z pierwszego równania eliminujemy zmienną z kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj do drugiej, trzeciej i czwartej linii pierwszą, pomnożoną przez:

Teraz dodajmy drugą linię do trzeciej i czwartej.

W rezultacie dochodzimy do systemu

Ostatnie dwa równania zamieniły się w równania postaci. Równania te są spełnione dla dowolnej wartości niewiadomych i można je odrzucić.

Aby spełnić drugie równanie, możemy wybrać dowolne wartości dla i , wówczas wartość dla zostanie określona jednoznacznie: . Z pierwszego równania można również jednoznacznie znaleźć wartość: .

Zarówno dane, jak i ostatnie systemy są spójne, ale niepewne, a także formuły

dla dowolnych i dają nam wszystkie rozwiązania danego układu.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych bez rozwiązań

Następnym przykładem jest niespójny układ równań liniowych, czyli taki, który nie ma rozwiązań. Odpowiedź na takie problemy formułuje się w następujący sposób: system nie ma rozwiązań.

Jak już wspomniano w nawiązaniu do pierwszego przykładu, po wykonaniu przekształceń w rozszerzonej macierzy układu mogą pojawić się wiersze formularza

odpowiadające równaniu postaci

Jeżeli wśród nich jest chociaż jedno równanie z niezerowym wyrazem wolnym (tj. ), to ten układ równań jest niespójny, to znaczy nie ma rozwiązań i jego rozwiązanie jest zakończone.

Przykład 7. Rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa:

Rozwiązanie. Kompilujemy rozszerzoną macierz systemu. Korzystając z pierwszego równania, wykluczamy zmienną z kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj pierwszą linię pomnożoną przez drugą linię, pierwszą linię pomnożoną przez trzecią linię i pierwszą linię pomnożoną przez czwartą linię.

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wyeliminować zmienną z kolejnych równań. Aby otrzymać całkowite stosunki współczynników, zamieniamy drugi i trzeci wiersz rozszerzonej macierzy układu.

Aby wykluczyć trzecie i czwarte równanie, dodaj drugie pomnożone przez , do trzeciej linii, a drugie pomnożone przez , do czwartej linii.

Teraz, korzystając z trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, dodaj trzecią linię do czwartej linii, pomnożoną przez .

Dany system jest zatem równoważny następującemu:

Powstały układ jest niespójny, ponieważ jego ostatniego równania nie mogą spełnić żadne wartości niewiadomych. Zatem układ ten nie ma rozwiązań.

Jedną z uniwersalnych i skutecznych metod rozwiązywania liniowych układów algebraicznych jest Metoda Gaussa , polegający na sekwencyjnej eliminacji niewiadomych.

Przypomnijmy, że oba systemy to tzw równowartość (równoważne), jeśli zbiory ich rozwiązań pokrywają się. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie. Równoważne systemy uzyskuje się, gdy elementarne przemiany równania układu:

pomnożenie obu stron równania przez liczbę różną od zera;

dodanie do jakiegoś równania odpowiednich części innego równania, pomnożonych przez liczbę różną od zera;

przekształcenie dwóch równań.

Niech będzie dany układ równań

Proces rozwiązywania tego układu metodą Gaussa składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie (ruch bezpośredni) układ za pomocą przekształceń elementarnych zostaje zredukowany do krok po kroku , Lub trójkątny postaci, a w drugim etapie (odwrotnym) następuje sekwencyjne, zaczynając od ostatniej liczby zmiennej, wyznaczanie niewiadomych z powstałego układu schodkowego.

Załóżmy, że współczynnik tego układu
, w przeciwnym razie w systemie pierwszy wiersz można zamienić z dowolnym innym wierszem, tak aby współczynnik przy była różna od zera.

Przekształćmy system, eliminując nieznane we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego. Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez i dodaj wyraz po wyrazie do drugiego równania układu. Następnie pomnóż obie strony pierwszego równania przez i dodaj go do trzeciego równania układu. Kontynuując ten proces, otrzymujemy układ równoważny

Tutaj
– nowe wartości współczynników i wolnych terminów, które uzyskuje się po pierwszym kroku.

Podobnie, biorąc pod uwagę główny element
, wyklucz nieznane ze wszystkich równań układu, z wyjątkiem pierwszego i drugiego. Kontynuujmy ten proces tak długo, jak to możliwe, a w rezultacie otrzymamy system etapowy

,

Gdzie ,
,…,– główne elementy systemu
.

Jeżeli w procesie redukcji układu do postaci krokowej pojawią się równania, tj. Równości postaci
, są one odrzucane, ponieważ są spełnione przez dowolny zbiór liczb
.
Jeśli o godz

Jeśli pojawi się równanie postaci, które nie ma rozwiązań, oznacza to niezgodność układu. Podczas skoku wstecznego pierwsza niewiadoma jest wyrażana z ostatniego równania przekształconego układu schodkowego
przez wszystkie inne niewiadome które nazywane są . bezpłatny Następnie wyrażenie zmienne
z ostatniego równania układu podstawia się do przedostatniego równania i z niego wyraża się zmienną
. Zmienne definiuje się sekwencyjnie w podobny sposób
. Zmienne , wyrażone za pomocą zmiennych wolnych, nazywane są podstawowy

(zależny). Rezultatem jest ogólne rozwiązanie układu równań liniowych. Aby znaleźć rozwiązanie prywatne
systemy, wolne nieznane
.

w rozwiązaniu ogólnym przypisuje się dowolne wartości i oblicza wartości zmiennych

.

Z technicznego punktu widzenia wygodniej jest poddać elementarnym przekształceniom nie same równania układu, ale rozszerzoną macierz układu
Metoda Gaussa jest metodą uniwersalną, która pozwala rozwiązywać nie tylko układy kwadratowe, ale także prostokątne, w których liczba niewiadomych
.

nie równa liczbie równań
Zaletą tej metody jest również to, że w procesie rozwiązywania jednocześnie badamy układ pod kątem kompatybilności, gdyż mając podaną rozszerzoną macierz do postaci schodkowej, łatwo jest wyznaczyć rangi macierzy
i rozszerzoną matrycę i zastosuj .

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego Przykład 2.1

Rozwiązać układ metodą Gaussa Rozwiązanie
. Liczba równań
.

i ilość niewiadomych Stwórzmy rozszerzoną macierz układu, przypisując współczynniki po prawej stronie macierzy .

kolumna wolnych członków Przedstawmy macierz

do widoku trójkątnego; W tym celu za pomocą przekształceń elementarnych uzyskamy „0” poniżej elementów znajdujących się na głównej przekątnej.

Aby otrzymać „0” na drugiej pozycji pierwszej kolumny, pomnóż pierwszy wiersz przez (-1) i dodaj go do drugiego wiersza.

Zapisujemy tę transformację jako liczbę (-1) w stosunku do pierwszej linii i oznaczamy ją strzałką przechodzącą od pierwszej linii do drugiej linii.

.

Aby otrzymać „0” na trzeciej pozycji pierwszej kolumny, pomnóż pierwszy wiersz przez (-3) i dodaj do trzeciego wiersza; Pokażmy tę akcję za pomocą strzałki biegnącej od pierwszej do trzeciej linii.

W wynikowej macierzy, zapisanej jako druga w łańcuchu macierzy, w drugiej kolumnie na trzeciej pozycji otrzymujemy „0”. Aby to zrobić, pomnożyliśmy drugą linię przez (-4) i dodaliśmy do trzeciej. W wynikowej macierzy pomnóż drugi wiersz przez (-1), a trzeci podziel przez (-8). Wszystkie elementy tej macierzy leżące poniżej elementów przekątnych są zerami. , system opiera się na współpracy i jest zdefiniowany.

Układ równań odpowiadający ostatniej macierzy ma postać trójkątną:

Z ostatniego (trzeciego) równania
. Podstaw do drugiego równania i otrzymaj
.

Zastąpmy
I
do pierwszego równania, znajdujemy


.