Definicja1: Mówi się, że funkcja ma w punkcie maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu, że dla dowolnego punktu M ze współrzędnymi (x, y) nierówność zachodzi: . W tym przypadku tj. przyrost funkcji< 0.

Definicja2: Mówi się, że funkcja ma w punkcie minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu, że dla dowolnego punktu M ze współrzędnymi (x, y) nierówność zachodzi: . W tym przypadku, czyli przyrost funkcji > 0.

Definicja 3: Nazywa się punkty lokalnego minimum i maksimum punkty ekstremalne.

Skrajności warunkowe

Przy znajdowaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych często pojawiają się problemy związane z tzw ekstremum warunkowe. Pojęcie to można wyjaśnić na przykładzie funkcji dwóch zmiennych.

Niech będzie podana funkcja i prosta L w samolocie 0xy. Zadanie polega na tym, aby dostać się na linię L znaleźć taki punkt P(x, y), w którym wartość funkcji jest największa lub najmniejsza w porównaniu z wartościami tej funkcji w punktach na prostej L, znajdujący się w pobliżu punktu P. Takie punkty P są nazywane warunkowe punkty ekstremalne funkcje on-line L. W przeciwieństwie do zwykłego punktu ekstremum, wartość funkcji w warunkowym punkcie ekstremum porównuje się z wartościami funkcji nie we wszystkich punktach jej sąsiedztwa, ale tylko w tych, które leżą na prostej L.

Jest całkowicie jasne, że punkt zwykłego ekstremum (mówią też bezwarunkowe ekstremum) jest także ekstremum warunkowym dla dowolnej linii przechodzącej przez ten punkt. Odwrotna sytuacja nie jest oczywiście prawdą: ekstremum warunkowe może nie być zwykłym punktem ekstremum. Wyjaśnię to, co powiedziałem, na prostym przykładzie. Wykresem funkcji jest górna półkula (załącznik 3 (ryc. 3)).

Ta funkcja ma maksimum na początku; wierzchołek mu odpowiada M półkule. Jeśli linia L istnieje prosta przechodząca przez te punkty A I W(jej równanie x+y-1=0), to geometrycznie jasne jest, że dla punktów tej prostej największą wartość funkcji uzyskuje się w punkcie leżącym pośrodku pomiędzy punktami A I W. Jest to punkt ekstremum warunkowego (maksimum) funkcji na tej prostej; odpowiada punktowi M 1 na półkuli i z rysunku widać, że nie można tu mówić o żadnym zwykłym ekstremum.

Należy zauważyć, że w końcowej części zadania znalezienia największych i najmniejszych wartości funkcji w obszarze domkniętym musimy znaleźć ekstremalne wartości funkcji na granicy tego obszaru, tj. na jakiejś linii i w ten sposób rozwiązać problem ekstremum warunkowego.

Przejdźmy teraz do praktycznego poszukiwania ekstremów warunkowych funkcji Z= f(x, y) pod warunkiem, że zmienne x i y są powiązane równaniem (x, y) = 0. Relację tę nazwiemy równanie połączenia. Jeżeli z równania sprzężenia y można wyrazić wprost w postaci x: y=(x), to otrzymujemy funkcję jednej zmiennej Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Po znalezieniu wartości x, przy której funkcja ta osiąga ekstremum, a następnie wyznaczeniu z równania połączenia odpowiednich wartości y, otrzymujemy pożądane punkty ekstremum warunkowego.

Zatem w powyższym przykładzie z równania relacji x+y-1=0 mamy y=1-x. Stąd

Łatwo sprawdzić, że z osiąga maksimum przy x = 0,5; ale wtedy z równania połączenia y = 0,5 i otrzymujemy dokładnie punkt P, znaleziony na podstawie rozważań geometrycznych.

Problem ekstremum warunkowego rozwiązuje się bardzo prosto, nawet jeśli równanie połączenia można przedstawić za pomocą równań parametrycznych x=x(t), y=y(t). Podstawiając do tej funkcji wyrażenia x i y, ponownie dochodzimy do problemu znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej.

Jeżeli równanie sprzężenia ma bardziej złożoną postać i nie jesteśmy w stanie ani jednoznacznie wyrazić jednej zmiennej w kategoriach drugiej, ani zastąpić jej równaniami parametrycznymi, wówczas zadanie znalezienia ekstremum warunkowego staje się trudniejsze. Będziemy nadal zakładać, że w wyrażeniu funkcji z= f(x, y) zmienna (x, y) = 0. Całkowita pochodna funkcji z= f(x, y) jest równa:

Gdzie pochodną y` wyznacza się stosując zasadę różniczkowania funkcji ukrytej. W punktach ekstremum warunkowego znaleziona pochodna całkowita musi być równa zero; daje to jedno równanie powiązane z x i y. Ponieważ muszą one również spełniać równanie sprzęgania, otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Przekształćmy ten układ na znacznie wygodniejszy, zapisując pierwsze równanie w postaci proporcji i wprowadzając nową niewiadomą pomocniczą:

(znak minus z przodu jest dla wygody). Z tych równości łatwo przejść do następującego układu:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

co wraz z równaniem połączenia (x, y) = 0 tworzy układ trzech równań z niewiadomymi x, y i.

Równania te (*) najłatwiej zapamiętać stosując następującą regułę: w celu znalezienia punktów, które mogą być punktami ekstremum warunkowego funkcji

Z= f(x, y) przy równaniu połączenia (x, y) = 0 należy utworzyć funkcję pomocniczą

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdzie jest pewna stała i utwórz równania, aby znaleźć ekstrema tej funkcji.

Wskazany układ równań zapewnia z reguły tylko warunki niezbędne, tj. nie każda para wartości x i y spełniająca ten układ jest koniecznie ekstremum warunkowym. Nie podam warunków wystarczających dla punktów ekstremum warunkowego; bardzo często już sama treść problemu sugeruje, jaki jest znaleziony punkt. Opisana technika rozwiązywania problemów z ekstremum warunkowym nazywana jest metodą mnożnika Lagrange'a.

Najpierw rozważmy przypadek funkcji dwóch zmiennych. Ekstremum warunkowe funkcji $z=f(x,y)$ w punkcie $M_0(x_0;y_0)$ jest ekstremum tej funkcji, osiąganym pod warunkiem, że zmienne $x$ i $y$ w okolice tego punktu spełniają równanie połączenia $\ varphi (x,y)=0$.

Nazwa ekstremum „warunkowe” wynika z faktu, że na zmiennymi nałożony jest dodatkowy warunek $\varphi(x,y)=0$. Jeśli jedną zmienną można wyrazić z równania połączenia przez inną, wówczas problem określenia ekstremum warunkowego sprowadza się do problemu określenia zwykłego ekstremum funkcji jednej zmiennej. Na przykład, jeśli z równania połączenia wynika $y=\psi(x)$, to podstawiając $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ otrzymujemy funkcję jednej zmiennej $z =f\lewo (x,\psi(x)\prawo)$. W ogólnym przypadku metoda ta jest jednak mało przydatna, dlatego konieczne jest wprowadzenie nowego algorytmu.

Metoda mnożenia Lagrange'a dla funkcji dwóch zmiennych.

Metoda mnożnika Lagrange'a polega na skonstruowaniu funkcji Lagrange'a w celu znalezienia ekstremum warunkowego: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametr $\lambda$ nazywa się mnożnik Lagrange’a). Warunki konieczne ekstremum określa układ równań, z których wyznaczane są punkty stacjonarne:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(wyrównane) \right.

Warunkiem wystarczającym, na podstawie którego można określić naturę ekstremum, jest znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jeśli w punkcie stacjonarnym $d^2F > 0$, to funkcja $z=f(x,y)$ ma w tym punkcie minimum warunkowe, natomiast jeśli $d^2F< 0$, то условный максимум.

Istnieje inny sposób określenia natury ekstremum. Z równania sprzęgania otrzymujemy: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, zatem w dowolnym punkcie stacjonarnym mamy:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Drugi czynnik (umieszczony w nawiasach) można przedstawić w następującej postaci:

Elementy wyznacznika $\left| są podświetlone na czerwono. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (tablica)\right|$, czyli hesjan funkcji Lagrange'a. Jeśli $H > 0$, to $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, tj. mamy minimum warunkowe funkcji $z=f(x,y)$.

Uwaga dotycząca zapisu wyznacznika $H$. pokaż\ukryj

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ koniec(tablica) \right| $$

W tej sytuacji sformułowana powyżej reguła zmieni się następująco: jeśli $H > 0$, to funkcja ma minimum warunkowe, a jeżeli $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorytm badania funkcji dwóch zmiennych dla ekstremum warunkowego

1. Utwórz funkcję Lagrange'a $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Rozwiąż układ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.$
3. Określ charakter ekstremum w każdym z punktów stacjonarnych wskazanych w poprzednim akapicie. Aby to zrobić, użyj dowolnej z następujących metod:
   • Utwórz wyznacznik $H$ i znajdź jego znak
   • Biorąc pod uwagę równanie sprzężenia, oblicz znak $d^2F$

Metoda mnożenia Lagrange'a dla funkcji n zmiennych

Powiedzmy, że mamy funkcję $n$ zmiennych $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i równania sprzęgające $m$ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Oznaczając mnożniki Lagrange'a jako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, tworzymy funkcję Lagrange'a:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Niezbędne warunki obecności ekstremum warunkowego podaje układ równań, z którego wyznaczane są współrzędne punktów stacjonarnych i wartości mnożników Lagrange'a:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Możesz dowiedzieć się, czy funkcja ma w znalezionym punkcie minimum warunkowe, czy maksimum warunkowe, jak poprzednio, używając znaku $d^2F$. Jeśli w znalezionym punkcie $d^2F > 0$, to funkcja ma minimum warunkowe, natomiast jeśli $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Wyznacznik macierzy $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\częściowe x_(1)\częściowe x_(3)) &\ldots & \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(1)\częściowe x_(n)) \\ \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(2)\częściowe x_1) & \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(2)^(2)) & \frac(\częściowe^2F )(\częściowe x_(2)\częściowe x_(3)) &\ldots & \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(2)\częściowe x_(n))\\ \frac(\częściowe^2F )(\częściowe x_(3) \częściowe x_(1)) & \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(3)\częściowe x_(2)) & \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(n)\częściowe x_(1)) & \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(n)\częściowe x_(2)) & \ frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(n)\częściowe x_(3)) &\ldots & \frac(\częściowe^2F)(\częściowe x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, podświetlony na czerwono w macierzy $L$, jest hesjanem funkcji Lagrange'a. Stosujemy następującą regułę:

• Jeśli znaki nieletnich kątowych $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ macierze $L$ pokrywają się ze znakiem $(-1)^m$, wówczas badany punkt stacjonarny jest warunkowym minimum funkcji $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Jeśli znaki nieletnich kątowych $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ naprzemiennie, a znak drobnego $H_(2m+1)$ pokrywa się ze znakiem liczby $(-1)^(m+1 )$, wówczas punkt stacjonarny jest warunkowym maksymalnym punktem funkcji $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Przykład nr 1

Znajdź ekstremum warunkowe funkcji $z(x,y)=x+3y$ pod warunkiem $x^2+y^2=10$.

Interpretacja geometryczna tego zadania jest następująca: należy znaleźć największą i najmniejszą wartość przyłożenia płaszczyzny $z=x+3y$ dla punktów jej przecięcia z cylindrem $x^2+y ^2=10$.

Dość trudno jest wyrazić jedną zmienną za pomocą drugiej z równania sprzężenia i podstawić ją do funkcji $z(x,y)=x+3y$, dlatego użyjemy metody Lagrange'a.

Oznaczając $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, tworzymy funkcję Lagrange'a:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\częściowy x)=1+2\lambda x; \frac(\częściowe F)(\częściowe y)=3+2\lambda y. $$

Napiszmy układ równań w celu wyznaczenia punktów stacjonarnych funkcji Lagrange'a:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (wyrównane)\right.$$

Jeśli założymy, że $\lambda=0$, wówczas pierwsze równanie będzie wyglądało następująco: $1=0$. Otrzymana sprzeczność wskazuje, że $\lambda\neq 0$. Pod warunkiem $\lambda\neq 0$ z pierwszego i drugiego równania mamy: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Podstawiając uzyskane wartości do trzeciego równania, otrzymujemy:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(wyrównane) $$

Zatem system ma dwa rozwiązania: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Poznajmy naturę ekstremum w każdym punkcie stacjonarnym: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Aby to zrobić, obliczamy wyznacznik $H$ w każdym punkcie.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \w lewo| \begin(tablica) (ccc) 0 i 2x i 2y\\ 2x i 2\lambda i 0 \\ 2y i 0 i 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(tablica) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

W punkcie $M_1(1;3)$ otrzymujemy: $H=8\cdot\left| \begin(tablica) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(tablica) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, więc w punkt Funkcja $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ ma maksimum warunkowe, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Podobnie w punkcie $M_2(-1,-3)$ znajdujemy: $H=8\cdot\left| \begin(tablica) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(tablica) (ccc) 0 i -1 i -3\\ -1 i 1/2 i 0 \\ -3 i 0 i 1/2 \end(tablica) \right|= -40$. Ponieważ $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Zauważam, że zamiast obliczać wartość wyznacznika $H$ w każdym punkcie, znacznie wygodniej jest rozwinąć go w postaci ogólnej. Aby nie zaśmiecać tekstu szczegółami, ukryję tę metodę pod notatką.

Zapisanie wyznacznika $H$ w postaci ogólnej. pokaż\ukryj

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

W zasadzie jest już oczywiste, jaki znak ma $H$. Ponieważ żaden z punktów $M_1$ ani $M_2$ nie pokrywa się z początkiem, to $y^2+x^2>0$. Dlatego znak $H$ jest przeciwny do znaku $\lambda$. Możesz dokończyć obliczenia:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(wyrównane) $$

Pytanie o naturę ekstremum w punktach stacjonarnych $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ można rozwiązać bez użycia wyznacznika $H$. Znajdźmy znak $d^2F$ w każdym stacjonarnym punkcie:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Zauważmy, że zapis $dx^2$ oznacza dokładnie $dx$ podniesione do drugiej potęgi, tj. $\lewo(dx\prawo)^2$. Stąd mamy: $dx^2+dy^2>0$, zatem z $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ otrzymujemy $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odpowiedź: w punkcie $(-1;-3)$ funkcja ma minimum warunkowe, $z_(\min)=-10$. W punkcie $(1;3)$ funkcja ma maksimum warunkowe, $z_(\max)=10$

Przykład nr 2

Znajdź ekstremum warunkowe funkcji $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod warunkiem $x+y=0$.

Metoda pierwsza (metoda mnożnika Lagrange’a)

Oznaczając $\varphi(x,y)=x+y$, tworzymy funkcję Lagrange'a: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\częściowe F)(\częściowe x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\częściowy y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(wyrównane) \right.

Po rozwiązaniu układu otrzymujemy: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Mamy dwa punkty stacjonarne: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Odkryjmy naturę ekstremum w każdym punkcie stacjonarnym, korzystając z wyznacznika $H$.

$$H=\lewo| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \w lewo| \begin(tablica) (ccc) 0 i 1 i 1\\ 1 i 8 i -1 \\ 1 i -1 i 18y \end(tablica) \right|=-10-18y $$

W punkcie $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, dlatego w tym momencie funkcja ma maksimum warunkowe, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Naturę ekstremum w każdym punkcie badamy inną metodą, bazując na znaku $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Z równania połączenia $x+y=0$ mamy: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Ponieważ $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, to $M_1(0;0)$ jest warunkowym minimum funkcji $z(x,y)=3y^3+ 4x^2-xy$. Podobnie $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Drugi sposób

Z równania połączenia $x+y=0$ otrzymujemy: $y=-x$. Podstawiając $y=-x$ do funkcji $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, otrzymujemy pewną funkcję zmiennej $x$. Oznaczmy tę funkcję jako $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

W ten sposób problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych sprowadziliśmy do problemu wyznaczenia ekstremum funkcji jednej zmiennej.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9); y_2=-x_2=-\frac(10)(9);

Otrzymaliśmy punkty $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Dalsze badania znane są z przebiegu rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Badając znak $u_(xx)^("")$ w każdym punkcie stacjonarnym lub sprawdzając zmianę znaku $u_(x)^(")$ w znalezionych punktach, otrzymujemy te same wnioski, co przy rozwiązując pierwszą metodę Na przykład sprawdzimy znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Ponieważ $u_(xx)^("")(M_1)>0$, to $M_1$ jest punktem minimalnym funkcji $u(x)$, a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Wartości funkcji $u(x)$ dla danego warunku połączenia pokrywają się z wartościami funkcji $z(x,y)$, tj. znalezione ekstrema funkcji $u(x)$ są poszukiwanymi ekstremami warunkowymi funkcji $z(x,y)$.

Odpowiedź: w punkcie $(0;0)$ funkcja ma minimum warunkowe, $z_(\min)=0$. W punkcie $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcja ma maksimum warunkowe, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Rozważmy inny przykład, w którym wyjaśnimy naturę ekstremum poprzez określenie znaku $d^2F$.

Przykład nr 3

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji $z=5xy-4$ jeśli zmienne $x$ i $y$ są dodatnie i spełniają równanie połączenia $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Utwórzmy funkcję Lagrange'a: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Znajdźmy punkty stacjonarne funkcji Lagrange'a:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(wyrównane) \right.

Wszystkie dalsze przekształcenia przeprowadza się biorąc pod uwagę $x > 0; \; y > 0$ (jest to określone w opisie problemu). Z drugiego równania wyrażamy $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i otrzymaną wartość podstawiamy do pierwszego równania: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Podstawiając $x=2y$ do trzeciego równania otrzymujemy: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Ponieważ $y=1$, to $x=2$, $\lambda=-10$. Naturę ekstremum w punkcie $(2;1)$ wyznaczamy na podstawie znaku $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Ponieważ $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, to:

$$ d\lewo(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\prawo)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

W zasadzie można tutaj od razu podstawić współrzędne punktu stacjonarnego $x=2$, $y=1$ i parametr $\lambda=-10$, otrzymując:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Jednakże w innych problemach dotyczących ekstremum warunkowego może istnieć kilka punktów stacjonarnych. W takich przypadkach lepiej jest przedstawić $d^2F$ w postaci ogólnej, a następnie podstawić współrzędne każdego ze znalezionych punktów stacjonarnych do otrzymanego wyrażenia:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Podstawiając $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, otrzymujemy:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Ponieważ $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odpowiedź: w punkcie $(2;1)$ funkcja ma maksimum warunkowe, $z_(\max)=6$.

W dalszej części rozważymy zastosowanie metody Lagrange'a dla funkcji większej liczby zmiennych.

Warunek wystarczający na ekstremum funkcji dwóch zmiennych

1. Niech funkcja będzie różniczkowalna w sposób ciągły w pewnym sąsiedztwie punktu i będzie miała ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu (czyste i mieszane).

2. Oznaczmy przez wyznacznik drugiego rzędu

funkcja wykładowa zmiennej ekstremalnej

Twierdzenie

Jeżeli punkt o współrzędnych jest dla funkcji punktem stacjonarnym, to:

A) W tym punkcie jest to lokalne ekstremum, a w lokalnym maksimum jest to lokalne minimum;

C) w tym punkcie nie jest ekstremum lokalne;

C) jeśli, może jedno i drugie.

Dowód

Napiszmy wzór Taylora na tę funkcję, ograniczając się do dwóch wyrazów:

Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia punkt jest nieruchomy, pochodne cząstkowe drugiego rzędu są równe zeru, tj. I. Następnie

Oznaczmy

Wtedy przyrost funkcji będzie miał postać:

Ze względu na ciągłość pochodnych cząstkowych drugiego rzędu (czystych i mieszanych) zgodnie z warunkami twierdzenia w punkcie możemy napisać:

Gdzie lub; ,

1. Niech i, tj. Lub.

2. Pomnóż przyrost funkcji i podziel przez, otrzymamy:

3. Do pełnego kwadratu sumy dodajmy wyrażenie w nawiasach klamrowych:

4. Wyrażenie w nawiasach klamrowych nie jest ujemne, ponieważ

5. Zatem jeśli środek i, to i zatem zgodnie z definicją, punkt jest punktem minimum lokalnego.

6. Jeśli środek i, to zgodnie z definicją punkt o współrzędnych jest punktem maksimum lokalnego.

2. Rozważmy trójmian kwadratowy, jego wyróżnik, .

3. Jeśli, to istnieją punkty takie, że wielomian

4. Całkowity przyrost funkcji zapisujemy w punkcie zgodnie z wyrażeniem uzyskanym w I jako:

5. Ze względu na ciągłość pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, zgodnie z warunkami twierdzenia w punkcie, możemy napisać, że

Istnieje zatem takie otoczenie punktu, że dla dowolnego punktu trójmian kwadratowy jest większy od zera:

6. Rozważmy sąsiedztwo punktu.

Wybierzmy dowolną wartość, więc kropka. Zakładając, że we wzorze na przyrost funkcji

Co otrzymujemy:

7. Od tego czasu.

8. Podobnie argumentując w sprawie pierwiastka, stwierdzamy, że w dowolnym sąsiedztwie punktu istnieje punkt, dla którego zatem w sąsiedztwie punktu nie zachowuje się znak, a więc w tym punkcie nie ma ekstremum.

Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych

Przy znajdowaniu ekstremów funkcji dwóch zmiennych często pojawiają się problemy związane z tzw. ekstremum warunkowym. Pojęcie to można wyjaśnić na przykładzie funkcji dwóch zmiennych.

Niech funkcja i prosta L będą dane na płaszczyźnie 0xy. Zadanie polega na znalezieniu punktu P(x,y) na prostej L, w którym wartość funkcji jest największa lub najmniejsza w porównaniu z wartościami tej funkcji w punktach na prostej L położonych w pobliżu punktu P. Takie punkty P nazywane są funkcjami ekstremów warunkowych na linii L. W przeciwieństwie do zwykłego punktu ekstremum, wartość funkcji w ekstremum warunkowym porównuje się z wartościami funkcji nie we wszystkich punktach jej sąsiedztwa, ale tylko w tych, które leżą na linii l.

Jest całkowicie jasne, że punkt ekstremum zwyczajnego (mówią też ekstremum bezwarunkowe) jest także punktem ekstremum warunkowego dla dowolnej prostej przechodzącej przez ten punkt. Odwrotna sytuacja nie jest oczywiście prawdą: ekstremum warunkowe może nie być zwykłym punktem ekstremum. Zilustrujmy to przykładem.

Przykład nr 1. Wykresem funkcji jest górna półkula (ryc. 2).

Ryż. 2.

Ta funkcja ma maksimum na początku; odpowiada wierzchołkowi M półkuli. Jeżeli prosta L jest prostą przechodzącą przez punkty A i B (jej równanie), to geometrycznie jasne jest, że dla punktów tej prostej największą wartość funkcji uzyskuje się w punkcie leżącym pośrodku pomiędzy punktami A i B .To jest punkt ekstremalnych (maksymalnych) funkcji warunkowych na tej prostej; odpowiada punktowi M 1 na półkuli i z rysunku widać, że nie można tu mówić o żadnym zwykłym ekstremum.

Należy zauważyć, że w końcowej części zadania znalezienia największych i najmniejszych wartości funkcji w obszarze domkniętym musimy znaleźć ekstremalne wartości funkcji na granicy tego obszaru, tj. na jakiejś linii i w ten sposób rozwiązać problem ekstremum warunkowego.

Definicja 1. Mówią, że gdzie w punkcie spełniającym równanie znajduje się maksimum (minimum) warunkowe lub względne: jeśli dla dowolnego punktu spełniającego równanie nierówność

Definicja 2. Równanie postaci nazywa się równaniem więzów.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje i są różniczkowalne w sposób ciągły w sąsiedztwie punktu i pochodnej cząstkowej, a punkt jest ekstremum warunkowym funkcji względem równania więzów, to wyznacznik drugiego rzędu jest równy zeru:

Dowód

1. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia pochodna cząstkowa i wartość funkcji, to w pewnym prostokącie

zdefiniowano funkcję niejawną

Złożona funkcja dwóch zmiennych w punkcie będzie miała zatem lokalne ekstremum, lub.

2. Rzeczywiście, zgodnie z właściwością niezmienności wzoru różniczkowego pierwszego rzędu

3. Równanie połączenia można przedstawić w tej formie, co oznacza

4. Pomnóż równanie (2) przez i (3) przez i dodaj je

Dlatego kiedy

arbitralny. itp.

Konsekwencja

Poszukiwanie ekstremów warunkowych funkcji dwóch zmiennych w praktyce odbywa się poprzez rozwiązanie układu równań

Tak więc w powyższym przykładzie nr 1 z równania połączenia mamy. Stąd łatwo sprawdzić, przy czym osiąga maksimum. Ale potem z równania komunikacji. Otrzymujemy punkt P, znaleziony geometrycznie.

Przykład nr 2. Znajdź ekstrema warunkowe funkcji w odniesieniu do równania sprzężenia.

Znajdźmy pochodne cząstkowe danej funkcji i równanie sprzężenia:

Utwórzmy wyznacznik drugiego rzędu:

Napiszmy układ równań, aby znaleźć ekstrema warunkowe:

Oznacza to, że istnieją cztery punkty ekstremum warunkowego funkcji o współrzędnych: .

Przykład nr 3. Znajdź ekstrema funkcji.

Przyrównując pochodne cząstkowe do zera: , znajdujemy jeden punkt stacjonarny – początek. Tutaj,. W związku z tym punkt (0, 0) nie jest punktem ekstremalnym. Równanie jest równaniem paraboloidy hiperbolicznej (rys. 3) z rysunku widać, że punkt (0, 0) nie jest punktem ekstremalnym.

Ryż. 3.

Największa i najmniejsza wartość funkcji w obszarze domkniętym

1. Niech funkcja będzie zdefiniowana i ciągła w ograniczonym domkniętym obszarze D.

2. Niech funkcja ma w tym obszarze skończone pochodne cząstkowe, za wyjątkiem poszczególnych punktów obszaru.

3. Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa w tym obszarze znajduje się punkt, w którym funkcja przyjmuje największą i najmniejszą wartość.

4. Jeżeli te punkty są punktami wewnętrznymi obszaru D, to oczywiście będą miały maksimum lub minimum.

5. W tym przypadku interesujące nas punkty należą do podejrzanych punktów w ekstremum.

6. Jednakże funkcja może przyjąć także największą lub najmniejszą wartość na granicy obszaru D.

7. Aby znaleźć największą (najmniejszą) wartość funkcji w obszarze D, należy znaleźć wszystkie punkty wewnętrzne podejrzane o ekstremum, obliczyć w nich wartość funkcji, a następnie porównać z wartością funkcji w punkty graniczne regionu, a największa ze wszystkich znalezionych wartości będzie największa w obszarze zamkniętym D.

8. Metodę wyznaczania lokalnego maksimum lub minimum omówiliśmy wcześniej w podrozdziale 1.2. i 1.3.

9. Pozostaje rozważyć metodę znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji na granicy regionu.

10. W przypadku funkcji dwóch zmiennych pole jest zwykle ograniczone krzywą lub kilkoma krzywymi.

11. Wzdłuż takiej krzywej (lub kilku krzywych) zmienne i albo zależą od siebie, albo obie zależą od jednego parametru.

12. Zatem na granicy funkcja okazuje się zależna od jednej zmiennej.

13. Sposób znajdowania największej wartości funkcji jednej zmiennej został omówiony wcześniej.

14. Niech granicę obszaru D wyznaczą równania parametryczne:

Wtedy na tej krzywej funkcja dwóch zmiennych będzie funkcją zespoloną parametru: . Dla takiej funkcji największe i najmniejsze wartości wyznacza się metodą wyznaczania największych i najmniejszych wartości dla funkcji jednej zmiennej.

Ekstremalne warunki

Minimalna lub maksymalna wartość osiągana przez daną funkcję (lub funkcjonał) pod warunkiem, że pewne inne funkcje (funkcjonalniki) przyjmują wartości z danego dopuszczalnego zbioru. Jeżeli nie ma warunków ograniczających zmiany zmiennych niezależnych (funkcji) we wskazanym sensie, to mówimy o ekstremum bezwarunkowym.
Klasyczny zadanie na U. e. jest problemem wyznaczenia minimum funkcji kilku zmiennych

Pod warunkiem, że niektóre inne funkcje przyjmują podane wartości:

W tym zadaniu G, do którego muszą należeć wartości funkcji wektorowej g=(g 1, ..., g m), ujętych w dodatkowych warunkach (2), istnieje punkt stały c=(ok. 1, ..., z t) w m-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
Jeśli w (2) wraz ze znakiem równości dozwolone są znaki nierówności

To następnie prowadzi do problemu programowanie nieliniowe(1), (3). W zadaniu (1), (3) zbiór G dopuszczalnych wartości funkcji wektorowej g jest pewnym zbiorem krzywoliniowym należącym do (n-m 1)-wymiarowej hiperpowierzchni określonej przez m 1 1 , M warunki takie jak równość (3). Granice określonego wielościanu krzywoliniowego są konstruowane z uwzględnieniem po południu
1 nierówności zawarte w (3). Szczególny przypadek problemu (1), (3) w zakresie U.V. jest to zadanie programowanie liniowe, w którym wszystkie funkcje f i g ja są liniowe w x l, ... , x s. W problemie programowania liniowego zbiór G dopuszczalnych wartości funkcji wektorowej G, zawarte w warunkach ograniczających obszar zmiany zmiennych x 1,.....x n ,
reprezentuje , należący do (n-t 1)-wymiarowej hiperpłaszczyzny określonej przez m 1 warunki typu równości w (3). Podobnie większość problemów optymalizacji funkcjonałów ma charakter praktyczny zainteresowanie sprowadza się do problemów na U. e. (cm.). To samo co w matematyce. programowania, głównymi problemami rachunku wariacyjnego i teorii optymalnego sterowania są problemy w układach elektronicznych.
Przy rozwiązywaniu problemów w układach elektronicznych, szczególnie przy rozważaniu zagadnień teoretycznych. pytania związane z problemami w układach elektronicznych, użycie czasu nieokreślonego mnożniki Lagrange'a, co pozwala nam zredukować problem do U. e. do problemu na bezwarunkowych i uprościć niezbędne warunki optymalności. Stosowanie mnożników Lagrange’a leży u podstaw większości klasycznych badań. metody rozwiązywania problemów w układach elektronicznych.

Oświetlony.: Hedley J., Nonlinear and, tłum. z języka angielskiego, M., 1967; Bliss G. A., Wykłady z rachunku wariacyjnego, przeł. z języka angielskiego, M., 1950; Pontryagin L. S. [i in.], Matematyczne procesy optymalne, wyd. 2, M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka.