Czy logarytm naturalny może być ujemny? Wzory logarytmiczne

główne właściwości.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identyczne podstawy

Log6 4 + log6 9.

Teraz skomplikujmy trochę zadanie.

Przykłady rozwiązywania logarytmów

A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Oczywiście wszystkie te reguły mają sens, jeśli przestrzega się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Przejście na nowy fundament

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zobacz też:

Podstawowe własności logarytmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 ​​i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja.

Podstawowe własności logarytmów

Znając tę ​​zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

2.

3.

4. Gdzie .

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Przykład 3. Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem.

Wzory logarytmiczne. Logarytmy – przykłady rozwiązań.

Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach numerycznych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
2. loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Zobacz też:

Logarytm b oparty na a oznacza wyrażenie. Obliczenie logarytmu oznacza znalezienie potęgi x (), przy której spełniona jest równość

Podstawowe własności logarytmu

Znajomość powyższych właściwości jest konieczna, ponieważ na ich podstawie rozwiązuje się prawie wszystkie problemy i przykłady związane z logarytmami. Pozostałe egzotyczne właściwości można wyprowadzić poprzez manipulacje matematyczne tymi wzorami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Obliczając wzór na sumę i różnicę logarytmów (3.4), można spotkać się dość często. Pozostałe są nieco skomplikowane, ale w wielu zadaniach są niezbędne do uproszczenia złożonych wyrażeń i obliczenia ich wartości.

Typowe przypadki logarytmów

Niektóre z typowych logarytmów to te, których podstawa wynosi dziesięć, wykładnicza lub dwie.
Logarytm o podstawie dziesiątej jest zwykle nazywany logarytmem dziesiętnym i jest po prostu oznaczany przez lg(x).

Z nagrania jasno wynika, że ​​w nagraniu nie są zapisane podstawy. Na przykład

Logarytm naturalny to logarytm, którego podstawa jest wykładnikiem (oznaczonym przez ln(x)).

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 ​​i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja. Znając tę ​​zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

I inny ważny logarytm o podstawie dwa jest oznaczony przez

Pochodna logarytmu funkcji jest równa jedności podzielonej przez zmienną

Logarytm całkowy lub pierwotny jest określony przez relację

Podany materiał wystarczy do rozwiązania szerokiej klasy problemów związanych z logarytmami i logarytmami. Aby ułatwić zrozumienie materiału, podam tylko kilka typowych przykładów z programu nauczania w szkołach i na uniwersytetach.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

2.
Z własności różnicy logarytmów mamy

3.
Korzystając z właściwości 3.5 znajdujemy

4. Gdzie .

Pozornie złożone wyrażenie można uprościć, stosując szereg reguł

Znajdowanie wartości logarytmicznych

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Rozwiązanie. Do obliczeń stosujemy się do właściwości ostatniego członu 5 i 13

Nagrywamy to i opłakujemy

Ponieważ podstawy są równe, przyrównujemy wyrażenia

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Rozwiązanie: Weźmy logarytm zmiennej i zapiszmy logarytm poprzez sumę jej wyrazów

To dopiero początek naszej znajomości logarytmów i ich własności. Ćwicz obliczenia, wzbogacaj swoje umiejętności praktyczne - zdobyta wiedza wkrótce będzie Ci potrzebna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Po przestudiowaniu podstawowych metod rozwiązywania takich równań poszerzymy Twoją wiedzę o inny, równie ważny temat - nierówności logarytmiczne...

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach numerycznych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
2. loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Dzisiaj porozmawiamy o wzory logarytmiczne i podać orientacyjnie przykłady rozwiązań.

Sami implikują wzorce rozwiązań zgodnie z podstawowymi właściwościami logarytmów. Zanim zastosujemy do rozwiązania wzory logarytmiczne, przypomnijmy o wszystkich właściwościach:

Teraz na podstawie tych wzorów (właściwości) pokażemy przykłady rozwiązywania logarytmów.

Przykłady rozwiązywania logarytmów na podstawie wzorów.

Logarytm liczba dodatnia b oparta na podstawie a (oznaczona jako log a b) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b, gdzie b > 0, a > 0 i 1.

Zgodnie z definicją log a b = x, co jest równoważne a x = b, zatem log a a x = x.

Logarytmy, przykłady:

log 2 8 = 3, ponieważ 2 3 = 8

log 7 49 = 2, ponieważ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ponieważ 5 -1 = 1/5

Logarytm dziesiętny- jest to zwykły logarytm, którego podstawa wynosi 10. Oznacza się go jako lg.

log 10 100 = 2, ponieważ 10 2 = 100

Naturalny logarytm- także logarytm zwykły, logarytm, ale o podstawie e (e = 2,71828... - liczba niewymierna). Oznaczone jako ln.

Wskazane jest zapamiętanie wzorów lub właściwości logarytmów, ponieważ będą nam one potrzebne później przy rozwiązywaniu logarytmów, równań logarytmicznych i nierówności. Przeanalizujmy ponownie każdą formułę z przykładami.

• Podstawowa tożsamość logarytmiczna
  log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Własności potęgi liczby logarytmicznej i podstawy logarytmu

  Wykładnik liczby logarytmicznej log a b m = mlog a b

  Wykładnik podstawy logarytmu log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jeśli m = n, otrzymujemy log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Przejście na nowy fundament
  log a b = log c b/log c a,

  jeśli c = b, otrzymujemy log b b = 1

  następnie log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Jak widać, wzory na logarytmy nie są tak skomplikowane, jak się wydaje. Teraz, po zapoznaniu się z przykładami rozwiązywania logarytmów, możemy przejść do równań logarytmicznych. Przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych omówimy bardziej szczegółowo w artykule: „”. Nie przegap!

Jeśli nadal masz pytania dotyczące rozwiązania, napisz je w komentarzach do artykułu.

Uwaga: jako opcję zdecydowaliśmy się na inną klasę edukacji i studia za granicą.

Logarytm o podstawie a jest funkcją y (x) = logowanie x, odwrotność funkcji wykładniczej o podstawie a: x (y) = a y.

Logarytm dziesiętny jest logarytmem podstawy liczby 10 : log x ≡ log 10 x.

Naturalny logarytm jest logarytmem podstawy e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Wykres logarytmu uzyskuje się z wykresu funkcji wykładniczej poprzez odbicie go względem prostej y = x. Po lewej stronie znajdują się wykresy funkcji y (x) = logowanie x dla czterech wartości podstawy logarytmów: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 i = 1/8 . Wykres pokazuje, że gdy > 1 logarytm rośnie monotonicznie. Wraz ze wzrostem x wzrost znacznie spowalnia. Na 0 < a < 1 logarytm maleje monotonicznie.

Własności logarytmu

Dziedzina, zbiór wartości, rosnący, malejący

Logarytm jest funkcją monotoniczną, więc nie ma ekstremów. Główne właściwości logarytmu przedstawiono w tabeli.

Wartości prywatne

Nazywa się logarytm o podstawie 10 logarytm dziesiętny i jest oznaczony następująco:

Logarytm do podstawy mi zwany naturalny logarytm:

Podstawowe wzory na logarytmy

Własności logarytmu wynikające z definicji funkcji odwrotnej:

Główna właściwość logarytmów i jej konsekwencje

Formuła wymiany bazy

Logarytm jest matematyczną operacją obliczania logarytmu. Podczas obliczania logarytmów iloczyny czynników są przekształcane na sumy wyrazów.

Wzmocnienie jest odwrotną operacją matematyczną logarytmu. Podczas wzmacniania, dana zasada jest zwiększana do stopnia ekspresji, przy którym następuje wzmocnienie. W tym przypadku sumy wyrazów przekształca się w iloczyny czynników.

Dowód podstawowych wzorów na logarytmy

Wzory związane z logarytmami wynikają ze wzorów na funkcje wykładnicze i z definicji funkcji odwrotnej.

Rozważ właściwość funkcji wykładniczej
.
Następnie
.
Zastosujmy własność funkcji wykładniczej
:
.

Udowodnimy wzór na podstawienie zasady.
;
.
Zakładając c = b, mamy:

Funkcja odwrotna

Odwrotnością logarytmu o podstawie a jest funkcja wykładnicza z wykładnikiem a.

Jeśli następnie

Jeśli następnie

Pochodna logarytmu

Pochodna logarytmu modułu x:
.
Pochodna n-tego rzędu:
.
Wyprowadzanie wzorów > > >

Aby znaleźć pochodną logarytmu, należy go sprowadzić do podstawy mi.
;
.

Całka

Całkę logarytmu oblicza się całkując przez części: .
Więc,

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Rozważmy funkcję liczb zespolonych z:
.
Wyraźmy liczbę zespoloną z poprzez moduł R i argumentacja φ :
.
Następnie korzystając z własności logarytmu mamy:
.
Lub

Jednak argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany. Jeśli umieścisz
, gdzie n jest liczbą całkowitą,
wtedy będzie to ta sama liczba dla różnych N.

Dlatego logarytm jako funkcja zmiennej zespolonej nie jest funkcją jednowartościową.

Rozwinięcie szeregu potęgowego

Kiedy następuje ekspansja:

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.

Mamy więc potęgę dwójki. Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć potęgę, do której będziesz musiał podnieść dwa, aby otrzymać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do potęgi czwartej. Aby otrzymać 64, musisz podnieść dwa do potęgi szóstej. Można to zobaczyć z tabeli.

A teraz - właściwie definicja logarytmu:

Podstawą logarytmu x jest potęga, do której należy podnieść a, aby otrzymać x.

Oznaczenie: log a x = b, gdzie a to podstawa, x to argument, b to faktyczna wartość logarytmu.

Na przykład 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Z tym samym logiem sukcesu 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.

Operację znajdowania logarytmu liczby o podanej podstawie nazywa się logarytmizacją. Dodajmy więc nową linię do naszej tabeli:

Niestety, nie wszystkie logarytmy można obliczyć tak łatwo. Na przykład spróbuj znaleźć log 2 5 . Cyfry 5 nie ma w tabeli, ale logika podpowiada, że ​​logarytm będzie leżał gdzieś na segmencie. Ponieważ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Liczby takie nazywane są niewymiernymi: liczby po przecinku można zapisywać w nieskończoność i nigdy się nie powtarzają. Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, lepiej go tak zostawić: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ważne jest, aby zrozumieć, że logarytm jest wyrażeniem zawierającym dwie zmienne (podstawę i argument). Na początku wiele osób myli, gdzie jest podstawa, a gdzie argument. Aby uniknąć irytujących nieporozumień, wystarczy spojrzeć na zdjęcie:

Przed nami nic więcej niż definicja logarytmu. Pamiętać: logarytm jest potęgą, w który należy wbudować bazę, aby uzyskać argument. Jest to podstawa podniesiona do potęgi - na zdjęciu jest ona zaznaczona na czerwono. Okazuje się, że podstawa jest zawsze na dole! Tę cudowną zasadę powtarzam moim uczniom już na pierwszej lekcji – i nie pojawia się żadne zamieszanie.

Wymyśliliśmy definicję - pozostaje tylko nauczyć się liczyć logarytmy, tj. pozbądź się znaku „log”. Na początek zauważmy, że z definicji wynikają dwa ważne fakty:

1. Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z definicji stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
2. Podstawa musi być różna od jednej, ponieważ jeden w jakimkolwiek stopniu nadal pozostaje jednym. Z tego powodu pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść jedną, aby otrzymać dwie” jest pozbawione sensu. Nie ma takiego stopnia!

Takie ograniczenia nazywane są zakres akceptowalnych wartości(ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda następująco: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Należy pamiętać, że nie ma ograniczeń co do liczby b (wartości logarytmu). Na przykład logarytm może być ujemny: log 2 · 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2-1.

Jednak teraz rozważamy tylko wyrażenia liczbowe, w przypadku których nie jest wymagana znajomość VA logarytmu. Wszystkie ograniczenia zostały już uwzględnione przez autorów problemów. Kiedy jednak w grę wchodzą równania logarytmiczne i nierówności, wymagania DL staną się obowiązkowe. Przecież podstawa i argumentacja mogą zawierać bardzo mocne konstrukcje, które niekoniecznie odpowiadają powyższym ograniczeniom.

Przyjrzyjmy się teraz ogólnemu schematowi obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:

1. Wyraź podstawę a i argument x jako potęgę o minimalnej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
2. Rozwiąż równanie dla zmiennej b: x = a b ;
3. Wynikowa liczba b będzie odpowiedzią.

To wszystko! Jeśli logarytm okaże się niewymierny, będzie to widoczne już w pierwszym kroku. Wymóg, aby podstawa była większa niż jedność, jest bardzo ważny: zmniejsza to prawdopodobieństwo błędu i znacznie upraszcza obliczenia. Podobnie jest z ułamkami dziesiętnymi: jeśli od razu zamienisz je na zwykłe, błędów będzie znacznie mniej.

Zobaczmy, jak działa ten schemat na konkretnych przykładach:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 5 25

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę piątki: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Zadanie. Oblicz logarytm:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 4 64

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Otrzymaliśmy odpowiedź: 3.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 16 1

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Otrzymaliśmy odpowiedź: 0.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 7 14

1. Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę siódemki: 7 = 7 1 ; 14 nie można przedstawić w postaci potęgi siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z poprzedniego akapitu wynika, że ​​logarytm się nie liczy;
3. Odpowiedź brzmi bez zmian: log 7 14.

Mała uwaga do ostatniego przykładu. Jak możesz mieć pewność, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? To bardzo proste – wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. Jeśli rozwinięcie ma co najmniej dwa różne czynniki, liczba nie jest dokładną potęgą.

Zadanie. Dowiedz się, czy liczby są dokładnymi potęgami: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie jest dokładną potęgą, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - dokładny stopień;
35 = 7 · 5 – znowu nie jest to dokładna potęga;
14 = 7 · 2 – znowu nie jest to dokładny stopień;

Należy również zauważyć, że same liczby pierwsze są zawsze dokładnymi potęgami samych siebie.

Logarytm dziesiętny

Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i symbol.

Logarytm dziesiętny x to logarytm o podstawie 10, tj. Potęga, do której należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: lg x.

Na przykład log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od teraz, gdy w podręczniku pojawi się sformułowanie typu „Znajdź lg 0,01”, wiedz, że nie jest to literówka. To jest logarytm dziesiętny. Jeśli jednak nie znasz tego zapisu, zawsze możesz go przepisać:
log x = log 10 x

Wszystko, co jest prawdziwe w przypadku logarytmów zwykłych, jest również prawdziwe w przypadku logarytmów dziesiętnych.

Naturalny logarytm

Istnieje inny logarytm, który ma swoje własne oznaczenie. W pewnym sensie jest to nawet ważniejsze niż liczba dziesiętna. Mówimy o logarytmie naturalnym.

Logarytm naturalny x jest logarytmem o podstawie e, tj. potęga, do której należy podnieść liczbę e, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: ln x .

Wielu zapyta: jaka jest liczba e? Jest to liczba niewymierna; nie można znaleźć i zapisać jej dokładnej wartości. Podam tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459...

Nie będziemy szczegółowo omawiać, czym jest ta liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że e jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x

Zatem ln e = 1; ln mi 2 = 2; ln mi 16 = 16 - itd. Z drugiej strony ln 2 jest liczbą niewymierną. Ogólnie logarytm naturalny dowolnej liczby wymiernej jest niewymierny. Z wyjątkiem oczywiście jednego: ln 1 = 0.

W przypadku logarytmów naturalnych obowiązują wszystkie zasady obowiązujące dla logarytmów zwykłych.

Jednym z elementów algebry poziomu pierwotnego jest logarytm. Nazwa pochodzi z języka greckiego od słowa „liczba” lub „potęga” i oznacza potęgę, do której należy podnieść liczbę w podstawie, aby znaleźć liczbę ostateczną.

Rodzaje logarytmów

• log a b – logarytm liczby b o podstawie a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logarytm dziesiętny (logarytm o podstawie 10, a = 10);
• ln b – logarytm naturalny (logarytm o podstawie e, a = e).

Jak rozwiązywać logarytmy?

Logarytm b do podstawy a jest wykładnikiem, który wymaga podniesienia b do podstawy a. Otrzymany wynik wymawia się w następujący sposób: „logarytm b na podstawie a”. Rozwiązaniem problemów logarytmicznych jest to, że musisz określić daną moc w liczbach na podstawie podanych liczb. Istnieje kilka podstawowych zasad wyznaczania lub rozwiązywania logarytmu, a także konwertowania samego zapisu. Za ich pomocą rozwiązuje się równania logarytmiczne, znajduje pochodne, rozwiązuje całki i przeprowadza wiele innych operacji. Zasadniczo rozwiązaniem samego logarytmu jest jego uproszczony zapis. Poniżej znajdują się podstawowe wzory i właściwości:

Dla dowolnego a; a > 0; a ≠ 1 i dla dowolnego x ; y > 0.

• a log a b = b – podstawowa tożsamość logarytmiczna
• loga 1 = 0
• loga = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , dla k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – wzór na przeniesienie do nowej bazy
• log a x = 1/log x a

Jak rozwiązywać logarytmy - instrukcje krok po kroku dotyczące rozwiązywania

• Najpierw zapisz wymagane równanie.

Uwaga: jeśli logarytm podstawowy wynosi 10, wówczas wpis jest skracany i otrzymuje się logarytm dziesiętny. Jeśli istnieje liczba naturalna e, to ją zapisujemy, sprowadzając do logarytmu naturalnego. Oznacza to, że wynikiem wszystkich logarytmów jest potęga, do której podnosi się liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.

Bezpośrednio rozwiązanie polega na obliczeniu tego stopnia. Przed rozwiązaniem wyrażenia za pomocą logarytmu należy je uprościć zgodnie z regułą, czyli za pomocą formuł. Główne tożsamości można znaleźć, cofając się nieco w artykule.

Dodając i odejmując logarytmy o dwóch różnych liczbach, ale o tych samych podstawach, zastąp jeden logarytm z iloczynem lub podziałem odpowiednio liczb b i c. W takim przypadku możesz zastosować formułę przeniesienia do innej bazy (patrz wyżej).

Jeśli używasz wyrażeń do uproszczenia logarytmu, musisz wziąć pod uwagę pewne ograniczenia. I to jest tak: podstawa logarytmu a jest tylko liczbą dodatnią, ale nie równą jedności. Liczba b, podobnie jak a, musi być większa od zera.

Są przypadki, gdy upraszczając wyrażenie, nie będziesz w stanie obliczyć logarytmu numerycznie. Zdarza się, że takie wyrażenie nie ma sensu, ponieważ wiele potęg to liczby niewymierne. W tym warunku pozostaw potęgę liczby jako logarytm.