Narysuj figurę ograniczoną tymi liniami online. Całka oznaczona

Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?

Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.

Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam Ci skorzystanie z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.

Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) za pomocą prostego kodu możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.

Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML, a będziesz gotowy do wstawiania formuł matematycznych na stronach internetowych swojej witryny.

Każdy fraktal jest konstruowany według pewnej reguły, którą konsekwentnie stosuje się nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.

Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.

Rozważmy zakrzywiony trapez ograniczony osią Ox, krzywą y=f(x) i dwiema prostymi: x=a i x=b (ryc. 85). Weźmy dowolną wartość x (tylko nie a i nie b). Nadajmy mu przyrost h = dx i rozważmy pasek ograniczony liniami prostymi AB i CD, osią Ox i łukiem BD należącym do rozpatrywanej krzywej. Nazwiemy ten pasek paskiem elementarnym. Pole elementarnego paska różni się od pola prostokąta ACQB trójkątem krzywoliniowym BQD, przy czym pole tego ostatniego jest mniejsze od pola prostokąta BQDM o bokach BQ = =h= dx) QD=Ay i powierzchnia równa hAy = Ay dx. Gdy strona h maleje, strona Du również maleje i jednocześnie z h dąży do zera. Dlatego obszar BQDM jest nieskończenie mały drugiego rzędu. Pole paska elementarnego jest przyrostem pola, a pole prostokąta ACQB, równe AB-AC ==/(x) dx>, jest różnicą pola. W rezultacie znajdujemy sam obszar, całkując jego różnicę. W obrębie rozpatrywanej figury zmienna niezależna l: zmienia się z a na b, więc wymagane pole 5 będzie równe 5= \f(x) dx. (I) Przykład 1. Obliczmy pole ograniczone parabolą y - 1 -x*, liniami prostymi X =--Fj-, x = 1 i osią O* (rys. 86). na rys. 87. Ryc. 86. 1 Tutaj f(x) = 1 - l?, granice całkowania wynoszą a = - i £ = 1, zatem J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Przykład 2. Obliczmy pole ograniczone sinusoidą y = sinXy, osią Ox i prostą (rys. 87). Stosując wzór (I) otrzymujemy A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Przykład 3. Oblicz pole ograniczone łukiem sinusoidy ^у = sin jc, w załączeniu między dwoma sąsiednimi punktami przecięcia z osią Wół (na przykład między początkiem a punktem z odciętą i). Należy zauważyć, że z rozważań geometrycznych jasno wynika, że ​​obszar ten będzie dwukrotnie większy niż w poprzednim przykładzie. Jednak wykonajmy obliczenia: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Rzeczywiście nasze założenie okazało się słuszne. Przykład 4. Oblicz obszar ograniczony sinusoidą i osią Ox w jednym okresie (ryc. 88). Wstępne obliczenia sugerują, że powierzchnia będzie czterokrotnie większa niż w przykładzie 2. Jednak po wykonaniu obliczeń otrzymujemy „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Wynik ten wymaga wyjaśnienia. Dla wyjaśnienia istoty sprawy obliczamy także pole ograniczone tą samą sinusoidą y=sin l: oraz osią Ox w zakresie od l do 2i. Stosując wzór (I) otrzymujemy 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Widzimy zatem, że obszar ten okazał się ujemny. Porównując to z powierzchnią obliczoną w ćwiczeniu 3, stwierdzamy, że ich wartości bezwzględne są takie same, ale znaki są różne. Jeśli zastosujemy własność V (patrz rozdział XI, § 4), otrzymamy 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 To, co wydarzyło się w tym przykładzie, nie jest przypadkiem. Zawsze obszar znajdujący się poniżej osi Wółu, pod warunkiem, że zmienna niezależna zmienia się z lewej na prawą, obliczany jest przy użyciu całek. W tym kursie zawsze będziemy brać pod uwagę obszary bez znaków. Dlatego odpowiedź w omówionym przykładzie będzie następująca: wymagana powierzchnia to 2 + |-2| = 4. Przykład 5. Obliczmy powierzchnię BAB pokazaną na ryc. 89. Obszar ten ograniczony jest osią Ox, parabolą y = - xr i prostą y - = -x+\. Pole trapezu krzywoliniowego Wymagana powierzchnia OAB składa się z dwóch części: OAM i MAV. Ponieważ punkt A jest punktem przecięcia paraboli i prostej, jego współrzędne znajdziemy rozwiązując układ równań 3 2 Y = mx. (musimy tylko znaleźć odciętą punktu A). Rozwiązując system, znajdujemy l; = ~. Dlatego pole należy obliczyć w częściach, pierwszy kwadrat. OAM, a następnie pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x kwadrat. jednostki 2 = 2 kwadraty jednostki

Przykład 5. Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Tutaj musisz obliczyć obszar krzywoliniowego trapezu ograniczonego górną gałęzią paraboli y 2 = x, oś Wół i linie proste x = 1 i x = 4 (patrz rysunek)

Zgodnie ze wzorem (1), gdzie f(x) = a = 1 i b = 4, mamy = (= jednostki kwadratowe.

Przykład 6.

Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Wymagany obszar jest ograniczony półfali sinusoidy i osi Ox (patrz rysunek).

Mamy - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kwadraty. jednostki Przykład 7.

Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y = - 6x, y = 0 i x = 4.

Liczba znajduje się pod osią Wołu (patrz rysunek).

= =

Dlatego jego pole wyznaczamy za pomocą wzoru (3) Przykład 8.

Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y = i x = 2. Z punktów skonstruuj krzywą y = (patrz rysunek). Zatem obszar figury znajdujemy za pomocą wzoru (4) .

Przykład 9

x 2 + y 2 = r 2.

Tutaj musisz obliczyć obszar ograniczony okręgiem x 2 + y 2 = r 2, to znaczy obszar koła o promieniu r ze środkiem w początku. Znajdźmy czwartą część tego obszaru, biorąc granice całkowania od 0

zanim; mamy: 1 = = [

Dlatego 1 = Przykład 10.

Liczba ta jest ograniczona parabolą y = x 2 i prostą y = 2x (patrz rysunek). Aby wyznaczyć punkty przecięcia danych prostych, rozwiązujemy układ równań: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2

Używając wzoru (5) do znalezienia pola, otrzymujemy

= . Co masz na myśli mówiąc, że nie jest pozytywny? Jak widać na rysunku, liczba znajdująca się w obrębie podanych x ma wyłącznie współrzędne „ujemne”, o czym musimy pamiętać i co musimy zobaczyć podczas rozwiązywania problemu. Pole figury szukamy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.