Pole podstawy foremnego graniastosłupa sześciokątnego wynosi 3. Największa przekątna foremnego graniastosłupa sześciokątnego o długości d tworzy kąt α z boczną krawędzią pryzmatu

W trójkącie BYĆ B1 :

• B B1 = godz
• B mi = 2 ⋅ a- ponieważ E O = O B = a
• ∠ E B B1 = 90 ∘ - zgodnie z właściwościami prawidłowej prostoliniowości

Okazuje się zatem, że trójkąt BYĆ B1 prostokątny. Zgodnie z właściwościami trójkąta prostokątnego

mi B1 = B B2 1 +B mi2 − − − − − − − − − − √ = H2 + 4 ⋅ A2 − − − − − − − − √

Jeśli h = a, a następnie

mi B1 = 5 √ ⋅ a

Po podobnym rozumowaniu otrzymujemy to F C1 = A D1 = B mi1 =C F1 =D A1 = H2 + 4 ⋅ A2 − − − − − − − − √ .

Znaleźliśmy O F1

W trójkącie FO F1 :

• F F1 = godz
• FO = a
• ∠ O F F1 = 90 ∘ - zgodnie z właściwościami regularnego pryzmatu

Okazuje się zatem, że trójkąt FO F1 prostokątny. Zgodnie z właściwościami trójkąta prostokątnego

O F1 = F F2 1 + O F2 − − − − − − − − − − √ = H2 + A2 − − − − − − √

Jeśli h = a, a następnie

Na stronie dokonano już przeglądu niektórych typów problemów ze stereometrii, które są zawarte w jednym banku zadań na egzamin z matematyki.Na przykład zadania dot.

Pryzmat nazywa się foremnym, jeśli jego boki są prostopadłe do podstaw, a u podstaw leży wielokąt foremny. Oznacza to, że pryzmat foremny to pryzmat prosty z wielokątem foremnym u podstawy.

Regularny sześciokątny pryzmat ma regularny sześciokąt u podstawy, a ściany boczne są prostokątami.

W tym artykule znajdziesz zadania do rozwiązania pryzmatu, którego podstawą jest sześciokąt foremny. Rozwiązanie nie ma żadnych specjalnych cech ani trudności. Jaki jest sens? Mając regularny pryzmat sześciokątny, musisz obliczyć odległość między dwoma wierzchołkami lub znaleźć zadany kąt. Problemy są w rzeczywistości proste; ostatecznie rozwiązanie sprowadza się do znalezienia elementu w trójkącie prostokątnym.

Twierdzenie Pitagorasa jest stosowane i. Wymagana jest znajomość definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

Koniecznie spójrz na informacje na temat sześciokąta foremnego w.Będziesz także potrzebować umiejętności wydobywania dużej ich liczby. Można rozwiązywać wielościany, obliczano także odległości między wierzchołkami i kątami.

W skrócie: czym jest sześciokąt foremny?

Wiadomo, że w regularnym sześciokącie boki są równe. Ponadto kąty między bokami są również równe.

*Przeciwne boki są równoległe.

Dodatkowe informacje

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy jego bokowi. *Potwierdza się to w bardzo prosty sposób: jeśli połączymy przeciwległe wierzchołki sześciokąta, otrzymamy sześć równych trójkątów równobocznych. Dlaczego równoboczny?

Każdy trójkąt ma kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku, równy 60 0 (360:6=60). Ponieważ dwa boki trójkąta mającego wspólny wierzchołek w środku są równe (są to promienie okręgu opisanego), to każdy kąt przy podstawie takiego trójkąta równoramiennego również jest równy 60 stopni.

Oznacza to, że sześciokąt foremny, mówiąc w przenośni, składa się z sześciu równych trójkątów równobocznych.

Jaki jeszcze fakt warto odnotować, przydatny przy rozwiązywaniu problemów? Kąt wierzchołkowy sześciokąta (kąt pomiędzy sąsiednimi bokami) wynosi 120 stopni.

* Celowo nie poruszyliśmy wzorów na zwykły N-gon. W przyszłości rozważymy te formuły szczegółowo; po prostu nie są one tutaj potrzebne.

Rozważmy zadania:

272533. W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie krawędzie są równe 48. Znajdź odległość pomiędzy punktami A i E 1 .

Rozważmy trójkąt prostokątny AA 1 mi 1 . Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

*Kąt między bokami sześciokąta foremnego wynosi 120 stopni.

Sekcja AE 1 jest przeciwprostokątną, AA 1 i A 1 E 1 nogi. Żeberko AA 1 wiemy. Catet A 1 mi 1 możemy znaleźć using using .

Twierdzenie: Kwadrat dowolnego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów jego dwóch pozostałych boków, bez podwójnego iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

Stąd

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Odpowiedź: 96

*Proszę pamiętać, że podniesienie liczby 48 do kwadratu nie jest konieczne.

W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie krawędzie mają długość 35. Znajdź odległość pomiędzy punktami B i E.

Mówi się, że wszystkie krawędzie są równe 35, to znaczy bok sześciokąta leżący u podstawy jest równy 35. A także, jak już powiedziano, promień okręgu opisanego wokół niego jest równy tej samej liczbie.

Zatem,

Odpowiedź: 70

273353. W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie krawędzie są równe czterdziestu pierwiastkom z pięciu. Znajdź odległość między punktami B i E1.

Rozważmy trójkąt prostokątny BB 1 mi 1 . Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Odcinek B 1 E 1 jest równy dwóm promieniom okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, a jego promień jest równy boku sześciokąta, czyli

Zatem,

Odpowiedź: 200

273683. W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie krawędzie są równe 45. Znajdź tangens kąta AD 1 D.

Rozważmy trójkąt prostokątny ADD 1, w którym OGŁOSZENIE równa średnicy okręgu opisanego na podstawie. Wiadomo, że promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy jego bokowi.

Zatem,

Odpowiedź: 2

W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie krawędzie są równe 23. Znajdź kąt ZIMNICA. Podaj odpowiedź w stopniach.

Rozważmy regularny sześciokąt:

W nim kąty między bokami wynoszą 120°. Oznacza,

Długość samej krawędzi nie ma znaczenia; nie wpływa na kąt.

Odpowiedź: 60

W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie krawędzie są równe 10. Znajdź kąt AC 1 C. Podaj odpowiedź w stopniach.

Rozważmy trójkąt prostokątny AC 1 C:

Znajdźmy AC. W regularnym sześciokącie kąty między jego bokami są równe 120 stopni, to zgodnie z twierdzeniem cosinus dla trójkątaABC:

Zatem,

Zatem kąt AC 1 C jest równe 60 stopniom.

Odpowiedź: 60

274453. W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 wszystkie krawędzie są równe 10. Znajdź kąt AC 1 C. Podaj odpowiedź w stopniach.

Z każdego wierzchołka pryzmatu, na przykład z wierzchołka A 1 (ryc.), można narysować trzy przekątne (A 1 E, A 1 D, A 1 C).

Są one rzutowane na płaszczyznę ABCDEF przez przekątne podstawy (AE, AD, AC). Spośród nachylonych A 1 E, A 1 D, A 1 C największy jest ten z największym występem. W związku z tym największą z trzech wziętych przekątnych jest A 1 D (w pryzmacie są również przekątne równe A 1 D, ale nie ma większych).

Z trójkąta A 1 AD, gdzie ∠DA 1 A = α i A1D = D , znajdujemy H=AA 1 = D sałata α ,
reklama= D grzech α .

Pole trójkąta równobocznego AOB jest równe 1/4 AO 2 √3. Stąd,

S ocn. = 6 1/4 AO 2 √3 = 6 1/4 (AD/2) 2 √3.

Tom V = S H = 3√ 3 / 8 AD 2 AA 1

Odpowiedź: 3√ 3 / 8 D 3 grzech 2 α sałata α .

Komentarz . Aby przedstawić regularny sześciokąt (podstawę pryzmatu), możesz skonstruować dowolny równoległobok BCDO. Układając odcinki OA = OD, OF = OC i OE = OB na kontynuacjach linii DO, CO, BO, otrzymujemy sześciokąt ABCDEF. Punkt O reprezentuje środek.

Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś; w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.

środa, 4 lipca 2018 r

Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.

Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że pozostałe rachunki otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształów i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...

I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.

Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że ​​mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.

Niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.

Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.

Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekształciliśmy liczbę w graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia” prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.

Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Zatem w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem; już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.

Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.

Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle znajdujesz w swoim samochodzie dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, żeby ta dziewczyna była głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.