Skonstruuj wykres proporcjonalności danej funkcji 3x. Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Jak zbudować wykresy bezpośredniej proporcjonalności?

Narysuj wykres bezpośredniej proporcjonalności, mając wzór y = 3x

Rozwiązanie .

Funkcja y = 3x jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Cm.

Bierzemy dowolną wartość x, niech będzie to 1 i znajdujemy y, podstawiając x równe 1 do wzoru y = 3x

Y=3x=
3 * 1 = 3

czyli dla x = 1 otrzymujemy y = 3. Punkt o tych współrzędnych należy do wykresu funkcji y = 3x.

Wiemy, że wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą, a linię prostą wyznaczają dwa punkty.

Właśnie znaleźliśmy jeden z nich, a drugim ze względu na bezpośrednią proporcjonalność jest zawsze początek.

Teraz jesteśmy gotowi do wykreślenia funkcji y = 3x.

Zaznaczamy punkt na płaszczyźnie współrzędnych współrzędnymi (1; 3).

Narysuj linię prostą przechodzącą przez ten punkt i początek

Otrzymaliśmy wykres bezpośredniej proporcjonalności określony wzorem y = 3x.

Znajdź na wykresie wartość y odpowiadającą wartości x = 2.

Znajdź punkt 2 na osi x.

Narysuj przez nią pionową linię, aż przetnie się z wykresem.

Rysujemy poziomą linię do osi graczy. Na osi Y przechodzimy do punktu 6.

6 to wartość yk odpowiadająca wartości x = 2.

Definicja bezpośredniej proporcjonalności

Na początek przypomnijmy następującą definicję:

Definicja

Dwie wielkości nazywane są wprost proporcjonalnymi, jeśli ich stosunek jest równy określonej liczbie niezerowej, to znaczy:

\[\frac(y)(x)=k\]

Stąd widzimy, że $y=kx$.

Definicja

Funkcję w postaci $y=kx$ nazywa się wprost proporcjonalnością.

Proporcjonalność bezpośrednia jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej $y=kx+b$ dla $b=0$. Liczba $k$ nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Przykładem bezpośredniej proporcjonalności jest drugie prawo Newtona: przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do przyłożonej do niego siły:

Tutaj masa jest współczynnikiem proporcjonalności.

Badanie funkcji bezpośredniej proporcjonalności $f(x)=kx$ i jej wykres

Najpierw rozważmy funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k > 0$.

1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx\prawo))"=k>0$. W konsekwencji funkcja ta rośnie w całym obszarze definicji. Nie ma skrajnych punktów.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Wykres (ryc. 1).

Ryż. 1. Wykres funkcji $y=kx$, dla $k>0$

Rozważmy teraz funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k

1. Dziedziną definicji są wszystkie liczby.
2. Zakres wartości to wszystkie liczby.
3. $f\lewo(-x\prawo)=-kx=-f(x)$. Funkcja bezpośredniej proporcjonalności jest nieparzysta.
4. Funkcja przechodzi przez początek.
5. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx\prawo))"=k
6. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dlatego funkcja nie ma punktów przegięcia.
7. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
8. Wykres (ryc. 2).

Ryż. 2. Wykres funkcji $y=kx$ dla $k

Ważne: aby wykreślić wykres funkcji $y=kx$ wystarczy znaleźć jeden punkt $\left(x_0,\ y_0\right)$ różny od początku i poprowadzić linię prostą przez ten punkt i początek.

Zbudujmy wykres funkcji podanej we wzorze y = 0,5x.

1. Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb.

2. Znajdźmy odpowiednie wartości zmiennych X I Na.

Jeśli x = -4, to y = -2.
Jeśli x = -3, to y = -1,5.
Jeśli x = -2, to y = -1.
Jeśli x = -1, to y = -0,5.
Jeśli x = 0, to y = 0.
Jeśli x = 1, to y = 0,5.
Jeśli x = 2, to y = 1.
Jeśli x = 3, to y = 1,5.
Jeśli x = 4, to y = 2.

3. Zaznaczmy na płaszczyźnie współrzędnych punkty, których współrzędne wyznaczyliśmy w kroku 2. Należy pamiętać, że skonstruowane punkty należą do pewnej prostej.

4. Ustalmy, czy inne punkty na wykresie funkcji należą do tej prostej. Aby to zrobić, znajdziemy współrzędne kilku kolejnych punktów na wykresie.

Jeśli x = -3,5, to y = -1,75.
Jeśli x = -2,5, to y = -1,25.
Jeśli x = -1,5, to y = -0,75.
Jeśli x = -0,5, to y = -0,25.
Jeśli x = 0,5, to y = 0,25.
Jeśli x = 1,5, to y = 0,75.
Jeśli x = 2,5, to y = 1,25.
Jeśli x = 3,5, to y = 1,75.

Konstruując nowe punkty na wykresie funkcji zauważamy, że należą one do tej samej prostej.

Jeśli zmniejszymy krok naszych wartości (weźmy na przykład wartości X Poprzez 0,1; Poprzez 0,01 itp.), otrzymamy od przeciągnięcia kolejne punkty wykresu należące do tej samej linii i położone coraz bliżej siebie. Zbiór wszystkich punktów na wykresie danej funkcji jest linią prostą przechodzącą przez początek.

Zatem wykres funkcji danej wzorem y = khx, gdzie k ≠ 0, jest linią prostą przechodzącą przez początek.

Jeżeli dziedzina definicji funkcji danej wzorem y = khx, gdzie k ≠ 0, nie składa się ze wszystkich liczb, to jego wykres jest podzbiorem punktów na prostej (na przykład półprosta, odcinek, pojedyncze punkty).

Aby zbudować linię prostą, wystarczy znać położenie jej dwóch punktów. Zatem wykres bezpośredniej proporcjonalności określony na zbiorze wszystkich liczb można zbudować wykorzystując dowolne dwa jego punkty (wygodnie jest przyjąć początek współrzędnych jako jeden z nich).

Załóżmy, że chcesz wykreślić funkcję podaną we wzorze y = -1,5x. Wybierzmy jakąś wartość X, nie równe 0 i obliczyć odpowiednią wartość Na.

Jeśli x = 2, to y = -3.

Oznaczmy punkt na płaszczyźnie współrzędnych współrzędnymi (2; -3) . Narysujmy linię prostą przechodzącą przez ten punkt i początek. Ta linia prosta jest pożądanym wykresem.

Na tym przykładzie można to udowodnić każda linia prosta przechodząca przez początek współrzędnych i nie pokrywająca się z osiami jest wykresem bezpośredniej proporcjonalności.

Dowód.

Niech zostanie podana pewna linia prosta przechodząca przez początek współrzędnych i nie pokrywająca się z osiami. Weźmy na nim punkt za pomocą odciętej 1. Oznaczmy rzędną tego punktu przez k. Oczywiście k ≠ 0. Udowodnijmy, że prosta ta jest wykresem bezpośredniej proporcjonalności ze współczynnikiem k.

Rzeczywiście ze wzoru y = kh wynika, że ​​jeśli x = 0, to y = 0, jeśli x = 1, to y = k, tj. wykres funkcji danej wzorem y = kх, gdzie k ≠ 0, jest prostą przechodzącą przez punkty (0; 0) i (1; k).

Ponieważ Przez dwa punkty można poprowadzić tylko jedną linię prostą, wówczas linia ta pokrywa się z wykresem funkcji danej wzorem y = khx, gdzie k ≠ 0, co należało udowodnić.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

W klasach 7 i 8 badany jest wykres bezpośredniej proporcjonalności.

Jak skonstruować wykres bezpośredniej proporcjonalności?

Spójrzmy na przykłady wykresu bezpośredniej proporcjonalności.

Wzór na wykres proporcjonalności bezpośredniej

Wykres bezpośredniej proporcjonalności przedstawia funkcję.

Ogólnie rzecz biorąc, bezpośrednia proporcjonalność ma wzór

Kąt nachylenia wykresu bezpośredniej proporcjonalności względem osi x zależy od wielkości i znaku współczynnika bezpośredniej proporcjonalności.

Wykres proporcjonalności bezpośredniej przechodzi

Wykres bezpośredniej proporcjonalności przechodzi przez początek.

Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą. Linię prostą wyznaczają dwa punkty.

Zatem konstruując wykres bezpośredniej proporcjonalności wystarczy określić położenie dwóch punktów.

Ale zawsze znamy jedno z nich - to jest początek współrzędnych.

Pozostaje tylko znaleźć drugiego. Spójrzmy na przykład konstrukcji wykresu bezpośredniej proporcjonalności.

Wykres bezpośredniej proporcjonalności y = 2x

Zadanie .

Narysuj wykres bezpośredniej proporcjonalności podanej wzorem

Rozwiązanie .

Są tam wszystkie numery.

Weź dowolną liczbę z dziedziny bezpośredniej proporcjonalności, niech będzie to 1.

Znajdź wartość funkcji, gdy x jest równe 1

Y=2x=
2 * 1 = 2

czyli dla x = 1 otrzymujemy y = 2. Punkt o tych współrzędnych należy do wykresu funkcji y = 2x.

Wiemy, że wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą, a linię prostą wyznaczają dwa punkty.