Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

Co więcej, stałe A i B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólne równanie prostej. W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące szczególne przypadki:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – prosta przechodzi przez początek

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prosta równoległa do osi Wółu

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – prosta równoległa do osi Oy

B = C = 0, A ≠0 – prosta pokrywa się z osią Oy

A = C = 0, B ≠0 – prosta pokrywa się z osią Wółu

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnych warunków początkowych.

Równanie prostej z punktu i wektora normalnego

Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B) jest prostopadły do ​​prostej określonej równaniem Ax + By + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadłej do (3, -1).

Rozwiązanie. Przy A = 3 i B = -1 ułóżmy równanie prostej: 3x – y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C, podstawiamy współrzędne danego punktu A do otrzymanego wyrażenia. Otrzymujemy: 3 – 2 + C = 0, zatem C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x – y – 1 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Niech w przestrzeni zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), wówczas równanie prostej przechodzącej przez te punkty będzie wyglądało następująco:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik powinien być równy zero. Na płaszczyźnie równanie prostej zapisanej powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ≠ x 2 i x = x 1, jeśli x 1 = x 2.

Nazywa się ułamek = k nachylenie prosty.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:

Równanie prostej z punktu i nachylenia

Jeżeli suma Ax + Bu + C = 0 prowadzi do postaci:

i wyznaczyć , to wynikowe równanie nazywa się równanie prostej ze spadkiemk.

Równanie prostej z punktu i wektora kierunku

Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, można wprowadzić definicję prostej przechodzącej przez punkt oraz wektor kierunkowy prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), którego składowe spełniają warunek A α 1 + B α 2 = 0, nazywany jest wektorem kierującym linii

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).

Rozwiązanie. Równania żądanej prostej będziemy szukać w postaci: Ax + By + C = 0. Zgodnie z definicją współczynniki muszą spełniać warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Ax + Ay + C = 0, czyli x + y + C/A = 0. Dla x = 1, y = 2 otrzymujemy C/ A = -3, tj. wymagane równanie:

Równanie prostej w odcinkach

Jeżeli w ogólnym równaniu prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy: Lub

Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik A jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią Wółu, oraz B– współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x – y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Równanie normalne linii

Jeśli obie strony równania Ax + By + C = 0 zostaną pomnożone przez liczbę który jest nazywany czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalne równanie linii. Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Przykład. Podano równanie ogólne prostej 12x – 5y – 65 = 0. Należy napisać dla tej prostej różnego rodzaju równania.

równanie tej prostej w odcinkach:

równanie tej linii z nachyleniem: (podziel przez 5)

; cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w odcinkach, na przykład linie proste równoległe do osi lub przechodzące przez początek współrzędnych.

Przykład. Linia prosta odcina równe dodatnie segmenty na osiach współrzędnych. Napisz równanie prostej, jeśli pole trójkąta utworzonego przez te odcinki wynosi 8 cm 2.

Rozwiązanie. Równanie prostej ma postać: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(-2, -3) i początek.

Rozwiązanie. Równanie prostej to: , gdzie x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Kąt pomiędzy liniami prostymi na płaszczyźnie

Definicja. Jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

.

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2.

Twierdzenie. Linie Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 = λA, B 1 = λB są proporcjonalne. Jeśli także C 1 = λC, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej

Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b reprezentuje równanie:

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do prostej Ax + Bу + C = 0 określa się jako

.

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:

(1)

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej prostej. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.

Rozwiązanie. Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, zatem proste są prostopadłe.

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.

Rozwiązanie. Znajdujemy równanie boku AB: ; 4 x = 6 lat – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b. k = . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jej współrzędne spełniają równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Równanie prostej na płaszczyźnie.

Jak wiadomo, dowolny punkt na płaszczyźnie wyznaczają dwie współrzędne w pewnym układzie współrzędnych. Układy współrzędnych mogą się różnić w zależności od wyboru podstawy i pochodzenia.

Definicja. Równanie liniowe nazywa się zależnością y = f(x) pomiędzy współrzędnymi punktów tworzących tę prostą.

Należy zauważyć, że równanie linii można wyrazić parametrycznie, to znaczy każda współrzędna każdego punktu jest wyrażona przez jakiś niezależny parametr T.

Typowym przykładem jest trajektoria poruszającego się punktu. W tym przypadku rolę parametru pełni czas.

Równanie prostej na płaszczyźnie.

Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

Co więcej, stałe A i B nie są jednocześnie równe zeru, tj. A 2 + B 2  0. Nazywa się to równaniem pierwszego rzędu ogólne równanie prostej.

W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące szczególne przypadki:

C = 0, A  0, B  0 – prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - linia prosta równoległa do osi Wółu

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – prosta równoległa do osi Oy

B = C = 0, A  0 – prosta pokrywa się z osią Oy

A = C = 0, B  0 – prosta pokrywa się z osią Wołu

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnych warunków początkowych.

Równanie prostej z punktu i wektora normalnego.

Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B) jest prostopadły do ​​prostej określonej równaniem Ax + By + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadły do ​​wektora (3, -1).

Przy A = 3 i B = -1 ułóżmy równanie prostej: 3x – y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C, podstawiamy współrzędne danego punktu A do otrzymanego wyrażenia.

Otrzymujemy: 3 – 2 + C = 0, zatem C = -1.

Razem: wymagane równanie: 3x – y – 1 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech w przestrzeni zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), wówczas równanie prostej przechodzącej przez te punkty będzie wyglądało następująco:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik należy ustawić na zero.

Na płaszczyźnie równanie prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1  x 2 i x = x 1, jeśli x 1 = x 2.

Frakcja
=k nazywa się nachylenie prosty.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:

Równanie prostej za pomocą punktu i nachylenia.

Jeżeli ogólne równanie prostej Ax + By + C = 0 sprowadzimy do postaci:

i wyznaczyć
, to wynikowe równanie nazywa się równanie prostej ze spadkiemk.

Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego.

Przez analogię do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, można wprowadzić definicję prostej przechodzącej przez punkt oraz wektor kierunkowy prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor ( 1,  2), których składniki spełniają warunek A 1 + B 2 = 0, nazywany jest wektorem kierunkowym linii

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodząc przez punkt A(1, 2).

Równania żądanej prostej będziemy szukać w postaci: Ax + By + C = 0. Zgodnie z definicją współczynniki muszą spełniać warunki:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Ax + Ay + C = 0, czyli x + y + C/A = 0.

przy x = 1, y = 2 otrzymujemy C/A = -3, tj. wymagane równanie:

Równanie prostej w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ах + Ву + С = 0 С 0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy:
Lub

, Gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik A jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią Wółu, oraz B– współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x – y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Równanie normalne linii.

Jeśli obie strony równania Ax + By + C = 0 zostaną podzielone przez liczbę
który jest nazywany czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcos + ysin - p = 0 –

normalne równanie linii.

Znak  współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby С< 0.

p jest długością prostopadłej opuszczonej od początku do prostej, a  jest kątem utworzonym przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Przykład. Podano równanie ogólne prostej 12x – 5y – 65 = 0. Należy napisać dla tej prostej różnego rodzaju równania.

równanie tej prostej w odcinkach:

równanie tej linii z nachyleniem: (podziel przez 5)

równanie normalne linii:

; cos = 12/13; grzech = -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w odcinkach, na przykład linie proste równoległe do osi lub przechodzące przez początek współrzędnych.

Przykład. Linia prosta odcina równe dodatnie segmenty na osiach współrzędnych. Napisz równanie prostej, jeśli pole trójkąta utworzonego przez te odcinki wynosi 8 cm 2.

Równanie prostej to:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nie jest odpowiednie w zależności od warunków problemu.

Całkowity:
lub x + y – 4 = 0.

Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(-2, -3) i początek.

Równanie prostej to:
, gdzie x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Kąt między prostymi na płaszczyźnie.

Definicja. Jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

.

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2.

Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/k 2 .

Twierdzenie. Linie bezpośrednie Ax + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A są proporcjonalne 1 =  A, B 1 =  B. Jeśli także C 1 =  C, wówczas linie się pokrywają.

Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt

prostopadle do tej linii.

Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b reprezentuje równanie:

Odległość punktu od linii.

Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x). 0 , j 0 ), wówczas odległość do prostej Ах + Ву + С =0 definiuje się jako

.

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej prostej.

Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.

Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dlatego linie są prostopadłe.

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.

Znajdujemy równanie boku AB:
; 4x = 6 lat – 6;

2x – 3 lata + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b.

k = . Wtedy y =
. Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jej współrzędne spełniają równanie:
skąd b = 17. Razem:
.

Odpowiedź: 3x + 2y – 34 = 0.

Geometria analityczna w przestrzeni.

Równanie prostej w przestrzeni.

Równanie prostej w przestrzeni ze względu na punkt i

wektor kierunku.

Weźmy dowolną linię i wektor (m, n, p), równolegle do danej linii. Wektor zwany wektor przewodnik prosty.

Na linii prostej bierzemy dwa dowolne punkty M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M (x, y, z).

z

M 1

Oznaczmy wektory promieni tych punktów jako I , to oczywiste - =
.

Ponieważ wektory
I są współliniowe, to relacja jest prawdziwa
= t, gdzie t jest pewnym parametrem.

W sumie możemy napisać: = + T.

Ponieważ to równanie jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu na linii, wówczas powstałe równanie jest równanie parametryczne linii.

To równanie wektorowe można przedstawić w postaci współrzędnych:

Przekształcając ten układ i przyrównując wartości parametru t, otrzymujemy równania kanoniczne prostej w przestrzeni:

.

Definicja. Cosinusy kierunkowe bezpośrednie są cosinusami kierunku wektora , które można obliczyć korzystając ze wzorów:

;

.

Stąd otrzymujemy: m: n: p = cos : cos : cos.

Nazywa się liczby m, n, p współczynniki kąta prosty. Ponieważ jest wektorem niezerowym, to m, n i p nie mogą być jednocześnie równe zero, ale jedna lub dwie z tych liczb mogą być równe zero. W takim przypadku w równaniu prostej odpowiednie liczniki należy ustawić na zero.

Równanie prostej w przejściu przestrzeni

przez dwa punkty.

Jeśli na prostej w przestrzeni zaznaczymy dwa dowolne punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to współrzędne tych punktów muszą spełniać równanie prostej otrzymane powyżej:

.

Dodatkowo dla punktu M 1 możemy napisać:

.

Rozwiązując te równania razem, otrzymujemy:

.

Jest to równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w przestrzeni.

Ogólne równania prostej w przestrzeni.

Równanie linii prostej można uznać za równanie linii przecięcia dwóch płaszczyzn.

Jak omówiono powyżej, płaszczyznę w postaci wektorowej można określić za pomocą równania:

+ D = 0, gdzie

- samolot normalny; - promień jest wektorem dowolnego punktu na płaszczyźnie.

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Normalny wektor

Linia prosta na płaszczyźnie to jedna z najprostszych figur geometrycznych, znana Państwu ze szkoły podstawowej, a dziś nauczymy się sobie z nią radzić, korzystając z metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wie, jakie równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek współrzędnych oraz linie proste równoległe do osi współrzędnych. Informacje te można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla Mathana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drogie czajniki rozgrzejcie się najpierw tam. Poza tym trzeba mieć podstawową wiedzę nt wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

W tej lekcji przyjrzymy się sposobom tworzenia równania linii prostej na płaszczyźnie. Radzę nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydają się one bardzo proste), ponieważ przedstawię im elementarne i ważne fakty, techniki techniczne, które będą wymagane w przyszłości, także w innych sekcjach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?
• Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Nazywa się dobrze znaną „szkolną” formą równania linii prostej równanie prostej ze spadkiem. Przykładowo, jeśli z równania wynika linia prosta, to jej nachylenie wynosi: . Rozważmy geometryczne znaczenie tego współczynnika i wpływ jego wartości na położenie linii:

Udowodniono to na kursie geometrii nachylenie prostej jest równe tangens kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osii ta linia: , a kąt „odkręca się” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch prostych. Rozważmy „czerwoną” linię i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). Dla „niebieskiej” prostej ze współczynnikiem kąta równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli znana jest tangens kąta, w razie potrzeby łatwo ją znaleźć i sam kącik za pomocą funkcji odwrotnej - arcustangens. Jak mówią, tabela trygonometryczna lub mikrokalkulator w twoich rękach. Zatem, współczynnik kątowy charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

Możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: wówczas linia, z grubsza mówiąc, biegnie od góry do dołu. Przykładami są „niebieskie” i „malinowe” linie proste na rysunku.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykłady - „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie wynosi zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii równoległych do osi (na rysunku nie ma przykładu poza samą osią) współczynnik kątowy nie istnieje (styczna do 90 stopni nie jest zdefiniowana).

Im większy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej stromy jest wykres liniowy..

Rozważmy na przykład dwie linie proste. Tutaj zatem linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, który nas interesuje Wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste .

I odwrotnie: im mniejszy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej płaska jest linia prosta.

Do linii prostych nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie zrobić sobie siniaków i guzów.

Dlaczego jest to konieczne?

Przedłuż swoją mękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, zwłaszcza błędy przy konstruowaniu wykresów – jeśli na rysunku okaże się „najwyraźniej coś jest nie tak”. Wskazane jest, abyś ty od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, dociśnięta blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, dlatego wygodnie jest je w jakiś sposób wyznaczyć.

Oznaczenia: linie proste oznaczono małymi literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczanie ich tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie sprawdziliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, można ją oznaczyć za pomocą tych punktów: itp. Oznaczenie wyraźnie sugeruje, że punkty należą do linii.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?

Jeżeli znany jest punkt należący do danej prostej oraz współczynnik kątowy tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeżeli wiadomo, że punkt należy do danej prostej.

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie robi się to prosto. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Podstawmy je do równania:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie zostało znalezione poprawnie.

Bardziej skomplikowany przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

W razie trudności przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, pomijam wiele dowodów.

Zadzwonił ostatni dzwonek, zakończyła się uroczystość wręczenia dyplomów, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas sama geometria analityczna. Skończyły się żarty... A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy piórem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej dokładnie to się stosuje:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są pewne liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i powiążmy równanie ze współczynnikiem nachylenia. Najpierw przesuńmy wszystkie terminy na lewą stronę:

Termin z „X” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego wyrazu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Zapamiętaj tę funkcję techniczną! Sprawiamy, że pierwszy współczynnik (najczęściej) jest dodatni!

W geometrii analitycznej równanie prostej prawie zawsze będzie podane w formie ogólnej. Cóż, jeśli to konieczne, można to łatwo sprowadzić do postaci „szkolnej” ze współczynnikiem kątowym (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie co wystarczająco umiesz konstruować linię prostą? Dwa punkty. Ale więcej o tym incydencie z dzieciństwa, teraz trzyma się zasady strzałek. Każda linia prosta ma bardzo specyficzne nachylenie, do którego łatwo się „dostosować”. wektor.

Wektor równoległy do ​​prostej nazywany jest wektorem kierunkowym tej prostej. Jest oczywiste, że każda linia prosta ma nieskończoną liczbę wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie – to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunkowy następująco: .

Ale jeden wektor nie wystarczy, aby zbudować linię prostą; wektor jest swobodny i nie jest powiązany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczna jest znajomość jakiegoś punktu należącego do prostej.

Jak napisać równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunku?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej, to równanie tej prostej można ułożyć ze wzoru:

Czasem się to nazywa równanie kanoniczne prostej .

Co zrobić, kiedy jedna ze współrzędnych jest równa zeru, zrozumiemy to na praktycznych przykładach poniżej. Swoją drogą, uwaga - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zeru, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji pozbywamy się ułamków:

I doprowadzamy równanie do jego ogólnej postaci:

Odpowiedź:

Z reguły w takich przykładach nie ma potrzeby rysowania, ale dla zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go wykreślić z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz skonstruowaną linię prostą. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania ze współczynnikiem kątowym. Łatwo jest przekształcić nasze równanie w formę i łatwo wybrać inny punkt, aby skonstruować linię prostą.

Jak zauważono na początku akapitu, linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, jaki wektor kierunkowy wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Rozwiązanie proporcji:

Podziel obie strony przez –2 i otrzymaj znajome równanie:

Zainteresowani mogą w ten sam sposób testować wektory lub dowolny inny wektor współliniowy.

Teraz rozwiążmy problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?

Bardzo prosta:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

To stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy z nieskończonej liczby, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą równoległą do osi, a współrzędne powstałego wektora kierunkowego wygodnie dzieli się przez –2, uzyskując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. Logiczny.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi i dzieląc współrzędne wektora przez 5, otrzymujemy wektor jednostkowy jako wektor kierunkowy.

Teraz zróbmy to sprawdzenie Przykładu 3. Przykład poszedł, więc przypominam, że w nim skompilowaliśmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku

Po pierwsze, korzystając z równania prostej rekonstruujemy jej wektor kierunkowy: – wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy wektor pierwotny (w niektórych przypadkach wynikiem może być wektor współliniowy z pierwotnym, co zwykle łatwo zauważyć po proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano prawidłową równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wniosek: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji. Zdecydowanie zaleca się sprawdzenie za pomocą omówionego właśnie algorytmu. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzać wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów, których można w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, należy postępować bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Wzór nie jest odpowiedni, ponieważ mianownik po prawej stronie wynosi zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji, przepisujemy formułę w postaci, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii:
– otrzymany wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Otrzymuje się poprawną równość

Wniosek: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która sprawdzi się w każdym przypadku? Są dwa powody. Po pierwsze, formuła ma postać ułamka dużo lepiej zapamiętany. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to ryzyko pomyłki znacznie wzrasta podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wróćmy do wszechobecnych dwóch punktów:

Jak napisać równanie prostej wykorzystując dwa punkty?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można ułożyć ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunku danej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostszy problem - jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku to:

Notatka : punkty można „zamienić” i zastosować formułę . Takie rozwiązanie będzie równoważne.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, korzystając z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Łączenie mianowników:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby pozbyć się liczb ułamkowych. W takim przypadku musisz pomnożyć obie strony przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste – współrzędne punktów początkowych muszą spełniać otrzymane równanie:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: Równanie prostej jest zapisane poprawnie.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zaznaczyć, że weryfikacja graficzna w tym przypadku jest trudna, gdyż konstruujemy linię prostą i sprawdzamy, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na jeszcze kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej opłaca się zastosować formułę lustrzaną i w tych samych punktach zrób równanie:

Mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz przeprowadzić rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugą kwestią jest spojrzenie na ostateczną odpowiedź i ustalenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymasz równanie, warto je zmniejszyć o dwa: – równanie będzie definiować tę samą prostą. Jednak jest to już temat do rozmów względne położenie linii.

Otrzymawszy odpowiedź w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takich redukcji dokonuje się w trakcie rozwiązania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez te punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli lepiej zrozumieć i przećwiczyć techniki obliczeniowe.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku) przyjmuje wartość zero, wówczas zapisujemy to w postaci . Ponownie zwróć uwagę, jak niezręcznie i zdezorientowana wygląda. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, skoro właściwie już rozwiązaliśmy ten problem (patrz nr 5, 6).

Bezpośredni wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? Krótko mówiąc, normalna jest prostopadłą. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (podobnie jak wektorów kierunkowych), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie, to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami prowadzącymi:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej prostej.

Jeśli trzeba ostrożnie „wyciągnąć” współrzędne wektora kierunkowego z równania, wówczas współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Sprawdźmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z tymi samymi równaniami, co dla wektora kierunku:

Czy można skonstruować równanie prostej, mając jeden punkt i wektor normalny? Czuję to w brzuchu, to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jasno określony - jest to „sztywna konstrukcja” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko udało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Otrzymaliśmy ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: – tak, rzeczywiście z warunku otrzymano wektor pierwotny (lub należy uzyskać wektor współliniowy).

2) Sprawdźmy, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawnie ułożone, przystąpimy do drugiej, łatwiejszej części zadania. Wyciągamy wektor kierujący linii prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

W celach szkoleniowych podobne zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale także ważnym typom równań prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie można przedstawić w tej formie, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ wolny wyraz jest równy zeru i nie ma możliwości uzyskania jedynki po prawej stronie).

Jest to, mówiąc w przenośni, równanie „techniczne”. Typowym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii jako równania linii w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala szybko znaleźć punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co może być bardzo ważne w niektórych zagadnieniach matematyki wyższej.

Znajdźmy punkt przecięcia linii z osią. Resetujemy „y” do zera i równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt jest uzyskiwany automatycznie: .

To samo z osią – punkt, w którym prosta przecina oś rzędnych.

Prostą przechodzącą przez punkt K(x 0 ; y 0) i równoległą do prostej y = kx + a wyznaczamy ze wzoru:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Gdzie k jest nachyleniem linii.

Alternatywna formuła:
Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1 ; y 1) i równoległą do prostej Ax+By+C=0 reprezentuje równanie

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt K( ;) równolegle do linii prostej y = x+ .

Przykład nr 1. Napisz równanie na prostą przechodzącą przez punkt M 0 (-2,1) i jednocześnie:
a) równolegle do prostej 2x+3y -7 = 0;
b) prostopadle do prostej 2x+3y -7 = 0.
Rozwiązanie . Wyobraźmy sobie równanie z nachyleniem w postaci y = kx + a. Aby to zrobić, przenieś wszystkie wartości oprócz y na prawą stronę: 3y = -2x + 7 . Następnie podziel prawą stronę przez współczynnik 3. Otrzymujemy: y = -2/3x + 7/3
Znajdźmy równanie NK przechodzące przez punkt K(-2;1), równoległy do ​​prostej y = -2 / 3 x + 7 / 3
Podstawiając x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 otrzymujemy:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
Lub
y = -2 / 3 x - 1 / 3 lub 3y + 2x +1 = 0

Przykład nr 2. Zapisz równanie prostej równoległej do prostej 2x + 5y = 0 i tworzącej wraz z osiami współrzędnych trójkąt o polu 5.
Rozwiązanie . Ponieważ linie są równoległe, równanie pożądanej linii wynosi 2x + 5y + C = 0. Pole trójkąta prostokątnego, gdzie a i b są jego nogami. Znajdźmy punkty przecięcia żądanej linii z osiami współrzędnych:
;
.
Zatem A(-C/2,0), B(0,-C/5). Podstawiamy to do wzoru na pole: . Otrzymujemy dwa rozwiązania: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y – 10 = 0.

Przykład nr 3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (-2; 5) i równoległej do prostej 5x-7y-4=0.
Rozwiązanie. Tę prostą można przedstawić równaniem y = 5 / 7 x – 4 / 7 (tutaj a = 5 / 7). Równanie żądanej linii to y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) lub 5x-7y+45=0 .

Przykład nr 4. Po rozwiązaniu przykładu 3 (A=5, B=-7) przy użyciu wzoru (2) znajdujemy 5(x+2)-7(y-5)=0.

Przykład nr 5. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (-2;5) i równoległej do prostej 7x+10=0.
Rozwiązanie. Tutaj A=7, B=0. Wzór (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Wzór (1) nie ma tu zastosowania, gdyż równania tego nie można rozwiązać względem y (ta prosta jest równoległa do osi rzędnych).

Równania kanoniczne prostej w przestrzeni to równania definiujące linię przechodzącą przez dany punkt współliniową z wektorem kierunku.

Niech będzie dany punkt i wektor kierunkowy. Dowolny punkt leży na prostej l tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe, czyli jest dla nich spełniony warunek:

.

Powyższe równania są równaniami kanonicznymi prostej.

Liczby M , N I P są rzutami wektora kierunku na osie współrzędnych. Ponieważ wektor jest różny od zera, to wszystkie liczby M , N I P nie może być jednocześnie równa zeru. Ale jeden lub dwa z nich mogą okazać się zerowe. Na przykład w geometrii analitycznej dozwolony jest następujący zapis:

,

co oznacza, że ​​rzuty wektora na oś Oj I Oz są równe zeru. Dlatego zarówno wektor, jak i prosta określona równaniami kanonicznymi są prostopadłe do osi Oj I Oz, czyli samoloty yOz .

Przykład 1. Zapisz równania prostej w przestrzeni prostopadłej do płaszczyzny i przechodzący przez punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz .

Rozwiązanie. Znajdźmy punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz. Ponieważ dowolny punkt leży na osi Oz, ma zatem współrzędne , przyjmując w danym równaniu płaszczyznę x = y = 0, otrzymujemy 4 z- 8 = 0 lub z= 2 . Dlatego punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz ma współrzędne (0; 0; 2) . Ponieważ pożądana linia jest prostopadła do płaszczyzny, jest równoległa do jej wektora normalnego. Dlatego wektor kierunkowy linii prostej może być wektorem normalnym dany samolot.

Zapiszmy teraz potrzebne równania dla prostej przechodzącej przez punkt A= (0; 0; 2) w kierunku wektora:

Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

Linię prostą można wyznaczyć przez dwa leżące na niej punkty I W tym przypadku wektorem kierującym prostej może być wektor . Wtedy równania kanoniczne prostej przyjmują postać

.

Powyższe równania wyznaczają prostą przechodzącą przez dwa dane punkty.

Przykład 2. Napisz równanie prostej w przestrzeni przechodzącej przez punkty i .

Rozwiązanie. Zapiszmy wymagane równania prostej w postaci podanej powyżej w podręczniku teoretycznym:

.

Ponieważ , to pożądana linia prosta jest prostopadła do osi Oj .

Prosta jak linia przecięcia płaszczyzn

Linię prostą w przestrzeni można zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn oraz jako zbiór punktów spełniający układ dwóch równań liniowych

Równania układu nazywane są również ogólnymi równaniami linii prostej w przestrzeni.

Przykład 3. Ułóż równania kanoniczne prostej w przestrzeni podane równaniami ogólnymi

Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej, czyli równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, należy znaleźć współrzędne dowolnych dwóch punktów na tej prostej. Mogą to być na przykład punkty przecięcia prostej z dowolnymi dwiema płaszczyznami współrzędnych yOz I xOz .

Punkt przecięcia prostej i płaszczyzny yOz ma odciętą X= 0 . Dlatego zakładając w tym układzie równań X= 0, otrzymujemy układ z dwiema zmiennymi:

Jej decyzja y = 2 , z= 6 razem z X= 0 definiuje punkt A(0; 2; 6) żądana linia. Następnie zakładając w zadanym układzie równań y= 0, otrzymujemy system

Jej decyzja X = -2 , z= 0 razem z y= 0 definiuje punkt B(-2; 0; 0) przecięcie prostej z płaszczyzną xOz .

Zapiszmy teraz równania prostej przechodzącej przez punkty A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

lub po podzieleniu mianowników przez -2:

,