Pięć sposobów, dzięki którym czekanie w kolejce będzie mniej frustrujące. Czas oczekiwania w kolejkach

W tej sekcji rozważymy QS typu M/M/n/m< , но, в отличие от предыдущих, наложим ограничение на время ожидания в очереди.
Ograniczenie to ma charakter zasadniczy, gdyż Przy obliczaniu prawdopodobieństw stanów QS konieczna jest znajomość nie tylko stanu aktualnego (liczby wymagań w systemie), ale także tego, jak dawno temu pojawiły się wymagania oczekujące na obsługę. Tym samym proces K(t) przestaje być procesem Markowskim.

Czas oczekiwania w kolejce może być ograniczony albo przez zmienną deterministyczną, albo przez zmienną losową. W obu przypadkach proces K(t), jak już wspomniano, charakteryzuje się występowaniem następstwa. Jednakże metody tworzenia na jego podstawie modelu Markowa QS znacznie się różnią.

7.3.1. Czas oczekiwania jest ograniczony zmienną losową τ

W tym przypadku wszystko zależy od prawa dystrybucji ograniczenia, ponieważ Jest to ograniczenie, które wprowadza następstwa do systemu. Dlatego niezwykle łatwo jest zwrócić procesowi K(t) własność Markowa. Aby opisać zmienną losową, wystarczy przyjąć rozkład wykładniczy. Nie należy jednak zapominać, że taka operacja jest możliwa tylko w przypadku, gdy rzeczywisty rozkład jest albo rzeczywiście wykładniczy, albo bardzo do niego zbliżony. Jeżeli tak nie jest, wówczas wygenerowany model matematyczny będzie nieadekwatny do rzeczywistego QS.

Przy wykładniczo rozłożonym ograniczeniu czasu oczekiwania w kolejce proces zmiany liczby wymagań w QS nadal będzie procesem reprodukcji i śmierci, z tą tylko różnicą, że intensywność śmierci będzie wzrastać na skutek wniosków opuszczających QS kolejka, której czas oczekiwania przekroczył dopuszczalną wartość.

Załóżmy, że rozkład czasu oczekiwania ma postać:

F(t) = 1 - e - funkcja rozkładu,

f(t) = e - gęstość rozkładu,

gdzie oznacza intensywność wychodzenia z kolejki z powodu przekroczenia dopuszczalnego czasu oczekiwania.

Wówczas parametry procesu K(t) będą równe:

K, o godz

N + (k - n), dla k>n.

Czytelnika zapraszamy do samodzielnego zapoznania się z materiałem zawartym w tym dziale 7.2.1, napisz model rozważanego QS oraz wzory do obliczania głównych charakterystyk QS w trybie stacjonarnym.

7.3.2. Czas oczekiwania jest ograniczony nielosową wartością τ

W tym przypadku do opisu QS za pomocą modelu Markowa wskazane jest skorzystanie z drugiego modelu podanego w 7.1. sposoby, a mianowicie rozszerzenie pojęcia państwa. Aby przewidzieć rozkład stanów w przyszłości, należy wiedzieć, jak dawno temu do systemu dotarły wymagania, które aktualnie czekają w kolejce. Można tego dokonać włączając do uogólnionych współrzędnych opisujących stan QS czas nadejścia każdego oczekującego żądania, czyli tym samym czas pozostały do ​​końca okresu oczekiwania. W ramach procesu K(t), z którego korzystaliśmy we wszystkich poprzednich zadaniach, nie da się tego zrobić i w rozpatrywanym przypadku model funkcjonowania QS budowany jest w oparciu o wektorowo losowy proces X, charakteryzujące stan systemu poprzez stany każdego z jego n kanałów:

X= ( X (t), X (t),…. X (t)) = { X(t))

X (t) to czas pozostały do ​​zwolnienia j-tego kanału. Zatem dla każdej chwili czasu t możemy przewidzieć przyszłe stany kanałów: j-ty kanał zostanie zwolniony w x j (t), jeśli w tym czasie nie napłyną żadne żądania z strumienia zewnętrznego. A ponieważ przepływ przychodzący jest najprostszy, oznacza to, że w procesie X nie ma żadnych następstw, tj. Proces Markowa. Znajdźmy rozkład tego procesu.

( 7.3)

Jest to funkcja i gęstość n-wymiarowego rozkładu wektora X(t) w przypadku, gdy wszystkie kanały są zajęte. Zajęte (i tylko one) kanały są personalizowane, tj. przenumerowane.

To samo co powyżej, ale z tą różnicą, że tylko „k” kanałów jest zajętych, a reszta jest wolna.

( 7.4)

Poniżej dla uproszczenia zinterpretujemy gęstość f (t; x ... x ) jako prawdopodobieństwo, że w QS zajętych jest k kanałów, którym przypisano numery od 1 do k, pomijając formalne mnożenie przez . Znajomość tych rozkładów pozwoli obliczyć prawdopodobieństwa stanów rozpatrywanego układu.

Aby wyprowadzić niezbędne równania, korzystamy z własności Markowa procesu X(t), a mianowicie: prawdopodobieństwo stanu procesu w chwili t+ t (przyszłość) wyrazimy poprzez jego stan w chwili t (obecność) . Zauważmy najpierw, że jest to prawdopodobieństwo, że system nie ma wymagań.

Dla stanu zerowego QS (w systemie nie ma wymagań) możemy, jak poprzednio, pisać

( 7.5)

Drugi człon oznacza, że ​​w chwili t było zapotrzebowanie w jednym z kanałów systemu, którego obsługa zakończyła się w przedziale t, a kanałem tym mógł być dowolny z n.

Przekształcając i przechodząc do granicy w t 0, otrzymujemy:

( 7.6)

Rozważmy przypadek, gdy 0

( 7.6)

Przy sporządzaniu tego równania wzięto pod uwagę:

· w czasie t zajętość wszystkich kanałów zmniejsza się o , a jeśli w tym czasie ani jedno zapotrzebowanie na dopływający strumień nie będzie odpowiednie, to do czasu t system będzie w pożądanym stanie (pierwszy człon po prawej stronie) ;

· drugi człon po prawej stronie: w chwili t kanał k-1 był zajęty, a kanał nr i (spośród spersonalizowanych) był pusty, a aby QS osiągnął pożądany stan należy: żądania przybycia, jego czas obsługi powinien być równy x i tak, aby z (n-k) wolnych kanałów wybierał i-ty, przy czym kanałem tym może być dowolny z kanałów o numerach od 1 do k.

· ostatni wyraz oznacza, że ​​w chwili t (k + 1) kanał był zajęty, lecz w jednym z nich (tj. w (k + 1)–tym) usługa zakończyła się w tym przedziale. Ponadto takim kanałem może być dowolny z (n – k).

Rozważmy teraz przypadek, gdy:

( 7.7)

Wyjaśnijmy, jak wyżej, zawartość prawej strony:

· Pierwszy termin różni się w zależności od przypadku znak x =1 jeśli x>0 i znak x= - 1 jeśli x<0 ).

· Drugi termin pod względem treści nie różni się w zależności od przypadku

· Trzeci termin po prawej stronie odpowiada sytuacji, gdy wszystkie kanały są zajęte według potrzeb, ale jeden z nich jest „niedostatecznie zajęty”, np. X(t) = Z< x ; для того, чтобы в момент t+ СМО оказалась в требуемом состоянии надо, чтобы на интервале пришло требование со временем обслуживания (x - z), и стало бы в очередь к i-му каналу, а для этого его занятость z должна быть меньше занятости любого другого канала (z < min x ) т.к. когда все каналы заняты, требование автоматически становится в очередь к тому который раньше освободится; при этом недозанятым может быть любой из n каналов.

Przypominając definicję mieszanej pochodnej cząstkowej:

,( 7.8)

Grupując wyrazy równań, jak to zrobiono powyżej, i przechodząc do granicy w , ostatecznie otrzymujemy:

( 7.9)

( 7.10)

Równania te odnoszą się do reżimu stacjonarnego, który wyraża się w tym, że pochodne gęstości rozkładu względem t przyjmuje się jako równe zeru, a same gęstości zapisuje się w ostatecznej postaci jako funkcje niezależne od czasu. Dodatkowo dla uproszczenia późniejszych obliczeń przyjmuje się następujące oznaczenia: f = f i f = f.

Rozwiązanie tego układu, tj. Funkcje f i f znajdziemy w następujący sposób. Najpierw na podstawie ogólnych rozważań o charakterze merytorycznym znajdziemy postać tych funkcji, po czym podstawimy je do układu równań w celu ustalenia, czy je spełniają, czy nie. Jeśli odpowiedź jest pozytywna, oznacza to, że znaleziono rozwiązanie układu równań.

Rozważmy najpierw przypadek 0. Jak wspomniano powyżej, funkcja f oznacza prawdopodobieństwo, że „k” spersonalizowanych (przenumerowanych) kanałów jest zajętych w QS, a pierwszy zostanie zwolniony po x jednostkach czasu, drugi po x, ... , k-ty po x. Kanały działają niezależnie, a czas obsługi w każdym z nich rozkłada się wykładniczo. Zatem prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia wynosi:

( 7.11)

Prawdopodobieństwo, że k przenumerowanych kanałów jest zajętych

P jest prawdopodobieństwem, że w QS jest zajętych k kanałów

Obliczamy wskaźniki usług wielokanałowego QS (online):
Intensywność przepływu usług:

1. Intensywność obciążenia.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
Natężenie obciążenia ρ=2 pokazuje stopień spójności strumieni wejściowych i wyjściowych żądań kanału usługowego oraz określa stabilność systemu kolejkowego.
3. Prawdopodobieństwo, że kanał jest wolny(procent przestoju kanału).

W rezultacie w ciągu godziny 12% kanału będzie bezczynne, czas bezczynności wynosi t pr = 7,1 min.
Prawdopodobieństwo, że usługa:
1 kanał zajęty:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0,12 = 0,24
2 kanały są zajęte:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0,12 = 0,24
3 kanały są zajęte:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0,12 = 0,16
4. Odsetek wniosków odrzuconych.

Oznacza to, że 3% otrzymanych wniosków nie zostaje przyjętych do obsługi.
5. Prawdopodobieństwo obsługi przychodzących żądań.
W systemach, w których występują awarie, zdarzenia awaryjno-obsługowe stanowią kompletną grupę zdarzeń, zatem:
p otwarte + p obs = 1
Względna przepustowość: Q = p obs.
p obs = 1 - p otwarty = 1 - 0,0311 = 0,97
Dzięki temu 97% otrzymanych wniosków zostanie obsłużonych. Akceptowalny poziom usług powinien wynosić powyżej 90%.
6. Średnia liczba kanałów zajętych przez usługę.
n з = ρ p obs = 2 0,97 = 1,9 kanałów
Średnia liczba nieaktywnych kanałów.
n pr = n - n z = 3 - 1,9 = 1,1 kanałów
7. Stopień zajętości kanału dla usługi.

W rezultacie system jest zajęty konserwacją w 60%.
8. Absolutna przepustowość.
A = p obs λ = 0,97 120 = 116,3 żądań/godzinę.
.
t pr = p otwarte t obs = 0,0311 0,0166 = 0 godzina.
10. Średnia liczba wniosków w kolejce.

jednostki
(średni czas oczekiwania na obsługę wniosku w kolejce).
godzina.
12. Średnia liczba obsłużonych wniosków.
L obs = ρ Q = 2 · 0,97 = 1,94 jednostki.
13. Średnia liczba aplikacji w systemie.
L CMO = Loch + L obs = 0,51 + 1,94 = 2,45 jednostki.
13. Średni czas przebywania aplikacji w CMO.
godzina.
Liczba wniosków odrzuconych w ciągu godziny: λ p 1 = 4 wnioski na godzinę.
Nominalna wydajność QS: 3 / 0,0166 = 181 zastosowań na godzinę.
Rzeczywista wydajność SMO: 116,3 / 181 = 64% wydajności nominalnej.

W dalszym ciągu będziemy stosować następujący zapis dla średniego czasu oczekiwania w kolejce żądań z klasy priorytetu P - Wp, a średni czas spędzony w systemie dla wymagań tej klasy - Tp:

Skoncentrujemy się na systemach o względnym priorytecie. Rozważmy proces od momentu nadejścia określonego żądania z klasy priorytetu P. Będziemy dalej nazywać to wymaganie etykietą. Pierwszy składnik opóźnienia oznaczonego żądania jest związany z żądaniem, które trafia na serwer. Składnik ten jest równy pozostałemu czasowi obsługi innego zgłoszenia. Oznaczmy teraz i dalej będziemy używać tego zapisu, średnie opóźnienie oznaczonego wymagania związane z obecnością innego wymagania w obsłudze W 0. Znając rozkład czasu pomiędzy sąsiadującymi nadejściami wymagań wejściowych dla każdej klasy priorytetu, zawsze można obliczyć tę wartość. Zakładając prawo Poissona dla przepływu aplikacji każdej klasy, możemy pisać

.

Drugi składnik czasu oczekiwania na oznakowane wymaganie jest określony przez fakt, że przed oznakowanym wymaganiem obsługiwane są inne żądania, w których oznakowane wymaganie znajduje się w kolejce. Oznaczmy dalej liczbę wymagań z klasy I, który przechwycił zaznaczony wymóg w kolejce (z klasy P) i które są podawane przed nim Skakać. Średnia tej liczby określi wartość średniej tej składowej opóźnienia

Trzeci składnik opóźnienia jest związany z żądaniami, które nadeszły po nadejściu oznaczonego żądania, ale zostały obsłużone przed nim. Oznaczmy liczbę takich wymagań M ip. Średnia wartość tej składowej opóźnienia jest znajdowana podobnie i wynosi

Dodając wszystkie trzy składniki, okazuje się, że średni czas oczekiwania w kolejce na otagowane żądanie jest określony przez wzór

Oczywistym jest, że niezależnie od dyscypliny usługowej, ilość wymagań Skakać I M ip w systemie nie może być dowolna, dlatego istnieje pewien zestaw zależności łączących opóźnienia dla każdej klasy priorytetu. Znaczenie tych relacji dla QS pozwala nam nazwać je PRAWAMI OCHRONY. Podstawą praw ochrony opóźnień jest fakt, że niedokończona praca w dowolnym QS w dowolnym przedziale czasu zajętości nie zależy od kolejności usług, jeśli system jest konserwatywny (wymagania nie znikają w systemie, a serwer nie pozostaje bezczynny, gdy kolejka nie jest pusta).

Rozkład czasów oczekiwania zależy w dużej mierze od kolejności obsługi, ale jeśli dyscyplina usług wybiera wymagania niezależnie od czasu ich obsługi (lub dowolnej miary zależnej od czasu obsługi), to rozkład liczby żądań i czasu oczekiwania w system jest niezmienny pod względem kolejności doręczeń.

Dla QS typu M/G/1 można wykazać, że dla dowolnej dyscypliny usług musi być spełniona następująca ważna równość:

Ta równość oznacza, że ​​ważona suma czasów oczekiwania nigdy się nie zmienia, niezależnie od tego, jak złożona i sprytna jest dyscyplina usług. Jeśli w przypadku niektórych wymagań można zmniejszyć opóźnienie, w przypadku innych natychmiast ono wzrośnie.

Dla bardziej ogólnego układu z dowolnym rozkładem czasu nadejścia wymagań G/G/1, prawo konserwatorskie można zapisać w postaci

.

Ogólne znaczenie tej zależności jest takie, że suma ważona czasów opóźnienia pozostaje stała. Tyle, że po prawej stronie widnieje różnica pomiędzy średnią pracą w toku a pozostałym czasem obsługi. Jeśli założymy, że przepływ wejściowy ma charakter Poissona, wówczas wyrażenie określające pracę w toku można zapisać jako

Podstawiając je do poprzedniego wyrażenia, od razu otrzymujemy podane wcześniej prawo zachowania dla QS typu M/G/1.

Rozważmy teraz obliczenie średniego czasu oczekiwania na QS z obsługą w kolejności priorytetów określonej przez funkcję priorytetu

Rysunek 1 przedstawia schemat funkcjonowania QS z taką dyscypliną usług: żądanie przychodzące jest kolejkowane po lewej stronie żądania z równym lub większym priorytetem.

Ryż. 1 CMO z usługą priorytetową.

Skorzystajmy ze wzoru na Wp. Na podstawie działającego mechanizmu możemy od razu pisać

Wszystkie zgłoszenia o wyższym priorytecie niż zaznaczony priorytet zostaną obsłużone wcześniej. Ze wzoru Little'a wynika liczba wymagań klasowych I w kolejce będzie równa:

Żądania o klasach o wyższym priorytecie, które wejdą do systemu po otagowanym żądaniu znajdującym się w kolejce, również zostaną obsłużone przed nim. Ponieważ oznaczone wymaganie będzie średnio w kolejce Wp sekund, wówczas liczba takich żądań będzie równa

Bezpośrednio ze wzoru (*) otrzymujemy:

Ten układ równań można rozwiązać rekurencyjnie, zaczynając od W 1, W 2 itp.

Otrzymany wzór pozwala obliczyć charakterystykę jakości usług dla wszystkich klas priorytetów. Na rysunku 7.2. pokazuje, jak zmienia się znormalizowana wartość czasu oczekiwania w kolejce dla QS z pięcioma klasami priorytetów przy równym natężeniu przepływu żądań dla każdej klasy priorytetu i równym średnim czasie obsługi żądań w każdej klasie (dolny rysunek przedstawia krzywe dla niskich wartości obciążenia).

Rysunek 2. Usługa w kolejności priorytetów w przypadku priorytetów względnych (P=5, l P = l/5, ).

Szczególnym zadaniem jest określenie praw rozkładu czasu oczekiwania.

Rozważmy teraz system z priorytetami bezwzględnymi i usługą w kolejności priorytetów z usługą dodatkową. Zastosujmy podejście zupełnie podobne do tego, które omówiliśmy wcześniej. Średnie opóźnienie w systemie otagowanego wymagania również składa się z trzech składników: pierwszy składnik to średni czas obsługi, drugi to opóźnienie spowodowane obsługą żądań o równym lub wyższym priorytecie, jakie otagowane wymaganie znalazło w systemie. Trzecim składnikiem średniego opóźnienia otagowanego wymagania jest opóźnienie spowodowane wszelkimi żądaniami, które wchodzą do systemu przed opuszczeniem otagowanego wymagania i mają ściśle wyższy priorytet. Opisując wszystkie te trzy składowe całkowitego czasu spędzonego w systemie otrzymujemy

.

Bardzo ciekawym zadaniem jest wybór priorytetów dla aplikacji różnych klas. Ponieważ obowiązuje prawo ochrony środowiska, optymalizacja ma sens tylko przy uwzględnieniu dodatkowych atrybutów każdej klasy wymagań. Załóżmy, że każdą sekundę opóźnienia aplikacji o klasie priorytetu p można oszacować pewnym kosztem C str. Wówczas średni koszt sekundy opóźnienia dla systemu można wyrazić w postaci średniej liczby żądań każdej klasy obecnej w systemie

Rozwiążmy problem znalezienia dyscypliny usług o względnych priorytetach dla systemu M/G/1, która minimalizuje średni koszt opóźnień C. Niech tak będzie P klasy priorytetów zgłoszeń z określoną częstotliwością napływu i średnim czasem obsługi. Przesuńmy stałą sumę na lewą stronę i wyraźmy prawą stronę za pomocą znanych parametrów

Zadanie polega na zminimalizowaniu sumy po prawej stronie tej równości poprzez wybór odpowiedniej dyscypliny obsługi, tj. wybór sekwencji indeksów P.

Oznaczmy

W tym zapisie problem wygląda następująco: musimy zminimalizować sumę produktów objętych

Warunek niezależności sumy funkcji g s o wyborze dyscypliny służby decyduje prawo zachowania. Innymi słowy, problem polega na minimalizacji pola pod krzywą iloczynu dwóch funkcji, pod warunkiem, że pole pod krzywą jednej z nich jest stałe.

Rozwiązaniem jest uporządkowanie najpierw sekwencji wartości f s: .

A potem wybierzemy dla każdego f s jego znaczenie g s, tak aby zminimalizować sumę swoich produktów. Intuicyjnie jest jasne, że optymalną strategią wyboru jest wybranie najmniejszej wartości g s dla największych f s, to dla pozostałych wartości należy postępować w ten sam sposób. Od g s=W p r str, wówczas minimalizacja sprowadza się do minimalizacji średnich wartości opóźnienia. Zatem rozwiązaniem rozważanego problemu optymalizacji jest to, że spośród wszystkich możliwych dyscyplin usług o względnym priorytecie minimalny średni koszt zapewnia dyscyplina o uporządkowanych priorytetach zgodnie z nierównościami

.

Przeanalizujmy działanie n-kanałowego (n > 1) QS z oczekiwaniem, na którego wejście odbierany jest najprostszy przepływ żądań P wejście z intensywnością. Zakłada się również, że przepływ usług w każdym kanale jest najprostszy i ma intensywność µ. Nie ma ograniczeń co do długości kolejki, jednak czas oczekiwania na każdy wniosek w kolejce jest ograniczony losowym okresem T Fajny o wartości średniej, po przekroczeniu której żądanie pozostawia system bez obsługi. Przedział czasu T Fajny jest ciągłą zmienną losową, która może przyjmować dowolną wartość dodatnią i której matematyczne oczekiwanie.

Jeśli ten przepływ jest Poissona, to proces zachodzący w QS będzie procesem Markowskim.

Takie systemy często spotyka się w praktyce. Nazywa się je czasami „chętnymi” systemami licytacji.

Ponumerujmy stany QS według liczby aplikacji w systemie, zarówno w obsłudze, jak i w kolejce: S k (k = 0,1,…n) - k aplikacje w serwisie (k kanały są zajęte, nie ma kolejki), S n+r (r = 1,2,…) - N aplikacje w serwisie (wszystkie N kanały są zajęte) i r aplikacji w kolejce.

Zatem QS może znajdować się w jednym z nieskończonej liczby stanów.

Wykres stanu oznaczonego pokazano na rys. 1.

Ryż. 1.

QS przechodzi od stanu do stanu od lewej do prawej pod wpływem tego samego przychodzącego przepływu aplikacji P wejście z intensywnością. W konsekwencji gęstości prawdopodobieństwa tych przejść

k-1,k = , k = 1,2,… (1)

Przejście QS ze stanu bez kolejki S k , k = 1,…,n, do stanu sąsiadującego z lewą stroną S k-1 , (k = 1,…,n)(w którym również nie będzie kolejki) następuje pod wpływem całkowitego przepływu składającego się z k potoków usług zajętych kanałów, których natężenie, będące sumą natężeń zsumowanych potoków usług, jest równe kµ. Dlatego pod strzałkami po lewej stronie od stanu sn do stanu s 0 wskazane są gęstości prawdopodobieństwa przejścia

k, k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)

W systemie w stanie z kolejką S n+r , r = 1,2,…, obowiązuje przepływ całkowity – wynik superpozycji n przepływów usług i R strumienie opieki. Zatem natężenie przepływu całkowitego jest równe sumie natężeń przepływów składowych nµ+rш. Ten całkowity przepływ generuje przejście QS od prawej do lewej strony stanu S n+r ,(r = 1,2,…) do średniej S n+r-1 ,(r = 1,2,…) i tym samym

k, k-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)

Zatem gęstości prawdopodobieństwa przejść układu od prawej do lewej, biorąc pod uwagę (2) i (3), można zapisać w postaci połączonej

Struktura wykresu sugeruje, że proces zachodzący w QS jest procesem śmierci i reprodukcji.

Podstawmy (1) i (4) za k=1,…,n+m do wzoru

Wprowadźmy wartość, którą można nazwać zmniejszonym natężeniem potoku odjazdów i która pokazuje średnią liczbę wyjść z kolejki nieobsłużonych wniosków przez średni czas obsługi jednego wniosku. Podstawiając do (5) otrzymujemy:

Ponieważ w rozpatrywanym QS nie ma ograniczeń co do długości kolejki, wniosek otrzymany w strumieniu przychodzącym zostanie zaakceptowany; do systemu, tj. Wniosek nie jest odrzucany przez system. Zatem dla QS z „niecierpliwymi” aplikacjami prawdopodobieństwo przyjęcia do systemu wynosi P s =1, oraz prawdopodobieństwo odmowy przyjęcia do systemu P Otwarte =0 . Pojęcia „nieprzyjęcia do systemu” nie należy mylić z pojęciem „odmowy obsługi”, gdyż ze względu na „niecierpliwość” nie każdy wniosek otrzymany (zaakceptowany) do systemu zostanie obsłużony. Dlatego warto mówić o prawdopodobieństwie opuszczenia aplikacji przez kolejkę P xy i prawdopodobieństwa doręczenia wniosku, P o. Jednocześnie prawdopodobieństwo P o reprezentuje względną przepustowość Q I P xy =1- str o .

Obliczmy średnią liczbę wniosków w kolejce. Aby to zrobić, rozważ dyskretną zmienną losową N bardzo dobry reprezentującą liczbę aplikacji w kolejce. Zmienna losowa N bardzo dobry może przyjąć dowolną nieujemną wartość całkowitą, a jego prawo dystrybucji ma postać

N bardzo dobry
		P n+1	P n+2		P n+r

Gdzie p= p 0 +str 1 +…+ str N. Stąd,

lub podstawiając (7) tutaj, otrzymujemy

Każde żądanie w kolejce podlega strumieniowi „odlotów” Puchatka z intensywnością Przeciętna kolejka złożona z wniosków będzie podlegać całkowitemu przepływowi składającemu się z potoków „odjazdów” i mającym intensywność. Oznacza to, że ze średniej liczby wniosków znajdujących się w kolejce średnio wnioski w jednostce czasu wyjdą bez oczekiwania na obsługę, a pozostałe wnioski zostaną obsłużone. W efekcie średnia liczba wniosków obsłużonych w jednostce czasu, tj. absolutna pojemność QS

Następnie, z definicji pojemności względnej,

Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),

gdzie u/ = pokazuje średnią liczbę opuszczeń kolejki nieobsłużonych wniosków dla średniego czasu pomiędzy napływami dwóch sąsiednich wniosków w strumieniu przychodzącym P wejście .

Średnią liczbę zajętych kanałów (średnią liczbę żądań w ramach obsługi) można otrzymać jako stosunek bezwzględnej przepustowości A do wydajności jednego kanału µ. Korzystając z równości (11) będziemy mieli:

Średnią liczbę zajętych kanałów można obliczyć niezależnie od średniej liczby żądań w kolejce, a mianowicie jako matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej DO, który reprezentuje liczbę zajętych kanałów, których prawo dystrybucji ma postać

	P 0	P 1	P 2		P n-1

Gdzie p = p N +str n+1 +…+ str n+1+…. Ponieważ jednak zdarzenie, w którym wszystkie n kanałów jest zajęte, jest odwrotne do zdarzenia, w którym nie wszystkie n kanałów jest zajęte, a prawdopodobieństwo ostatniego zdarzenia wynosi

P 0 +str 1 +str 2 +…+ str n-1, To p = 1 - (str 0 +str 1 +str 2 +…+ str n-1) .

Ale wtedy z (11) otrzymujemy:

Korzystając ze wzorów (11) i (13) otrzymujemy wzór na średnią liczbę aplikacji w systemie:

Wyprowadźmy wzór na średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce. Będzie to zależeć od podanego średniego czasu ograniczającego czas przebywania wniosku w kolejce, przez który albo

lub istnieje liczba naturalna i > 2 taka, że

Mnożąc nierówności (14) i (15) przez otrzymujemy odpowiednio nierówności

Rozważmy przypadek (14) i niespójne hipotezy polegające na tym, że układ jest w stanie. Prawdopodobieństwa tych hipotez

Jeżeli wniosek wpłynie do CMO na podstawie hipotetycznej.e. gdy system znajdzie się w jednym ze stanów, w którym nie wszystkie kanały są zajęte, wówczas żądanie nie będzie musiało czekać w kolejce – od razu trafi w zakres obsługi wolnego kanału. Zatem warunkowe oczekiwanie matematyczne losowej wartości czasu oczekiwania na wniosek w kolejce objętej hipotezą, czyli średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce objętej hipotezą, jest równe zeru:

Jeżeli wniosek trafi do systemu pod hipotetką.e. gdy QS jest w jednym ze stanów, w których wszystko N k-str aplikacje (jeśli Do= N nie ma żadnych aplikacji w kolejce), to średni czas zwolnienia jednej z nich N zajęte kanały są równe, a średni czas obsługi k-str wniosków stojących w kolejce przed wnioskiem otrzymanym w systemie jest równe Zatem średni czas potrzebny na obsługę wniosku przychodzącego w kolejce jest równy Ponieważ, ze względu na odpowiednią nierówność (14),

Tym samym średni czas potrzebny na przyjęcie wniosku w systemie do obsługi jest większy niż czas oczekiwania wniosku w kolejce. Tym samym otrzymany wniosek będzie średnio opóźniony w kolejce i pozostawi system bez obsługi. W konsekwencji warunkowe matematyczne oczekiwanie wartości w ramach hipotezy

Rozważmy teraz te same hipotezy w przypadku (15). W tym przypadku obowiązują także równości (16).

Jeżeli wniosek trafi do systemu w ramach jednej z hipotez, czyli gdy QS znajduje się w jednym ze stanów, w których wszystkie N kanały są zajęte, a przed odebraną aplikacją są już kolejki k-str aplikacje (jeśli Do- n nie ma żadnych wniosków w kolejce), to analogicznie jak w przypadku (14) średni czas potrzebny na realizację kolejki tego żądania jest równy limitowi czasu oczekiwania wniosku. Zatem w jakiś sposób, ze względu na lewą nierówność (15),

Tym samym średni czas potrzebny na przyjęcie wniosku do systemu do obsługi nie przekracza średniego czasu oczekiwania wniosku w kolejce. Zatem otrzymany wniosek nie opuści kolejki i będzie oczekiwał na przyjęcie do obsługi, spędzając średni czas oczekiwania w kolejce. Zatem warunkowe oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej Toch mieści się w hipotezie

Niech teraz aplikacja wejdzie do systemu w ramach jednej z hipotez N ty k = n+i- tj. gdy QS był w jednym ze stanów..., w którym wszystko N kanały są zajęte i już stoją w kolejce k-str aplikacje. Ponieważ wynika to z nierówności (15):

i dlatego przychodzący wniosek będzie opóźniony w kolejce o średni czas. Zatem warunkowe oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej Toch jest zgodne z hipotezą

Korzystając ze wzoru na całkowite oczekiwanie matematyczne, otrzymujemy:

W przypadku (15) otrzymany wniosek zostanie przyjęty do obsługi, jeśli tylko w chwili jego otrzymania QS będzie w jednym ze stanów, wówczas prawdopodobieństwo, że wniosek zostanie obsłużony wynosi

Gdy / = 1, wzór (25) zamienia się w (24), więc na prawdopodobieństwo usługi możemy zapisać jeden wzór:

Znając prawdopodobieństwo obsługi, możesz obliczyć prawdopodobieństwo pozostawienia żądania bez obsłużenia w kolejce:

Średni czas przebywania aplikacji w systemie można obliczyć korzystając ze wzoru

gdzie to średni czas obsługi jednego wniosku, odnoszący się do wszystkich wniosków, zarówno obsłużonych, jak i tych, które opuściły kolejkę, co można obliczyć korzystając ze wzoru

6. Budowa i analiza modelu systemów kolejkowych

Rozważmy praktyczny problem wykorzystania QS bez ograniczenia długości kolejki, ale z ograniczeniem czasu oczekiwania w kolejce.

W celu zwiększenia zasięgu lotów bez przesiadek samoloty tankują w powietrzu. W miejscu tankowania stale pełnią służbę dwa samoloty tankujące. Tankowanie jednego samolotu trwa średnio około 10 minut. Jeśli oba tankujące samoloty są zajęte, statek powietrzny wymagający tankowania może „czekać” (latać w kółko w obszarze tankowania) przez jakiś czas. Średni czas oczekiwania to 20 minut. Samolot, który nie mógł doczekać się zatankowania, zmuszony jest wylądować na innym lotnisku. Intensywność lotów jest taka, że ​​średnio co godzinę na miejsce tankowania przylatuje 12 samolotów. Określić:

Prawdopodobieństwo, że samolot zostanie zatankowany.

Średnia liczba zatrudnionych tankowców.

Średnia liczba samolotów w kolejce.

Średnia liczba samolotów w służbie.

Konieczne jest obliczenie głównych cech wydajności tego QS, pod warunkiem określenia następujących parametrów wejściowych:

• · liczba kanałów obsługi;
• · intensywność napływu wniosków;
• · intensywność przepływu usług;
• · średni czas oczekiwania wniosków w kolejce.

Rozważany QS to wielokanałowy system kolejkowy bez ograniczenia długości kolejki, ale z ograniczeniem czasu oczekiwania. Określana jest liczba kanałów, intensywność napływu żądań, intensywność przepływu usług oraz liczba miejsc w kolejce.

W tym QS każdy kanał obsługuje jedno żądanie za każdym razem. Jeśli w momencie otrzymania nowego żądania co najmniej jeden kanał jest wolny, wówczas przychodzące żądanie zostanie odebrane w celu obsługi; jeśli nie ma żadnych żądań, system jest bezczynny.

Ustalmy, co się stanie, gdy do czasu nadejścia żądania wszystkie kanały będą zajęte - trafi do kolejki i czeka, aż jeden z kanałów stanie się wolny. Jeżeli w momencie wpływu wniosku wszystkie miejsca w kolejce są zajęte, wówczas wniosek ten opuszcza system.

Kryteria efektywności funkcjonowania QS:

• · Prawdopodobieństwo przestoju systemu;
• · Prawdopodobieństwo awarii systemu;
• · Względna przepustowość.
• · Średni czas, jaki aplikacja spędza w kolejce.

System ten jest modelowany jako wielokanałowy QS z „niecierpliwymi” żądaniami.

Parametry systemu:

liczba kanałów obsługi n=2;

intensywność napływu wniosków = 12 (samoloty na godzinę);

intensywność przepływu usług μ = 6(samoloty na godzinę);

średni czas oczekiwania wniosku w kolejce, zatem natężenie przepływu odlotów = 1/= 3 (samolot) na godzinę.

Obliczenia wykonano za pomocą programu opracowanego w Turbo Pascalu. Język Turbo-Pascal jest jednym z najpopularniejszych języków programowania komputerów. Do ważnych zalet języka Turbo-Pascal zaliczają się niewielkie rozmiary kompilatora, duża prędkość tłumaczenia, kompilacji i linkowania programów. Ponadto wygoda i wysoka jakość konstrukcji powłoki okna dialogowego sprawiają, że pisanie i debugowanie programów jest wygodniejsze w porównaniu z alternatywnymi językami nowej generacji.

Aby przeanalizować działanie QS, konieczne jest zbadanie zachowania tego systemu dla różnych parametrów wejściowych.

W pierwszej wersji l=12, µ=6, n=3, liczba kanałów n=2.

W drugim wariancie l=12, µ=6, n=3, liczba kanałów n=3.

W wariancie trzecim l=12, µ=6, n=4, liczba kanałów n=2.

Wszystkie wyniki obliczeń podano w Załączniku 2.

W wyniku analizy uzyskanych danych (załącznik nr 2) wyciągnięto następujące wnioski.

Wraz ze wzrostem liczby kanałów prawdopodobieństwo przestoju systemu i prawdopodobieństwo zatankowania wzrasta o 50%.

Przy zmianie jedynie czasu przebywania żądania w kolejce, bez zwiększania liczby kanałów, zmieniało się natężenie potoku odlotów, w efekcie zmniejszała się liczba obsłużonych samolotów i zmniejszała się liczba samolotów w kolejce.

Moim zdaniem należy pozyskać i przeszkolić dodatkowy personel serwisowy, aby zwiększyć intensywność przepływu odlotów, wtedy mniej czasu będzie poświęcane na przestoje tankowców i nie będzie potrzeby tworzenia dodatkowego kanału.

Choć przy wyborze najbardziej optymalnych parametrów, przy których funkcjonowanie służby zdrowia będzie najbardziej efektywne, należy wziąć pod uwagę także czynniki techniczne i ekonomiczne, gdyż pozyskanie dodatkowego kanału świadczenia usług czy zmiana intensywności przepływu opieki wymaga pewnych kosztów materiałowych i kosztów szkolenia personelu.

Rozważ n - system kolejkowania kanałów z oczekiwaniem.

Natężenie przepływu usług wynosi μ. Czas trwania usługi jest zmienną losową podlegającą prawu rozkładu wykładniczego. Przepływ usług to najprostszy przepływ zdarzeń Poissona.

Wielkość kolejki pozwala na przebywanie w niej osób m aplikacji.

Aby znaleźć prawdopodobieństwa krańcowe, możesz użyć następujących wyrażeń.

(0‑1)

Gdzie.

Prawdopodobieństwo odmowy obsługi wniosku(awaria wystąpi, jeśli wszystkie kanały będą zajęte i są m żąda):

(0‑2)

Względna przepustowość.

(0‑3)

Absolutna przepustowość.

(0‑4)

Średnia liczba zajętych kanałów.

Dla QS z kolejką średnia liczba zajętych kanałów nie pokrywa się (w przeciwieństwie do QS z awariami) ze średnią liczbą żądań w systemie. Różnica jest równa liczbie wniosków oczekujących w kolejce.

Oznaczmy średnią liczbę zajętych kanałów. Każdy zajęty kanał obsługuje średnio μ żądań na jednostkę czasu, a QS jako całość obsługuje żądania A na jednostkę czasu. Dzieląc A przez μ, otrzymujemy

(0‑5)

Średnia liczba aplikacji w kolejce.

Aby znaleźć średnią liczbę wniosków oczekujących w kolejce, jeśli χ≠1, można skorzystać ze wzoru:

(0‑6)

(0‑7)

gdzie = .

Średnia liczba aplikacji w systemie.

(0‑8)

Średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce.

Średni czas oczekiwania wniosku w kolejce można znaleźć na podstawie wyrażenia (χ≠1).

(0‑9)

Średni czas przebywania aplikacji w systemie.

Podobnie jak w przypadku jednokanałowego QS mamy:

(0‑10)

Treść pracy.

Przygotowanie instrumentów doświadczalnych .

Wykonywane według ogólnych zasad.

Obliczenia z wykorzystaniem modelu analitycznego .

1. Przygotuj poniższą tabelę w programie Microsoft Excel.

Opcje SMO

Analityczny model

Imitacja model

N

M

TA

Ts

ρ

χ

P0

P1

p2

Rotka

W

nie

Q

A

Rotka

W

Q

A

2. W kolumnach parametrów QS tabeli zapisz swoje dane początkowe, które ustala się według reguły:

n =1,2,3

m=1,3,5

Dla każdej kombinacji ( n,m) konieczne jest znalezienie teoretycznych i eksperymentalnych wartości wskaźników QS dla następujących par wartości:

= <порядковый номер в списке группы>

3. Wpisz odpowiednie formuły w kolumnach ze wskaźnikami modelu analitycznego.

Eksperymentuj na modelu symulacyjnym.

1. Ustaw tryb uruchamiania z wykładniczo rozłożonym czasem obsługi, ustawiając wartość odpowiedniego parametru na 1.

2. Dla każdej kombinacji n, m i uruchom model.

Wyniki serii wpisz do tabeli.

3. Wpisz wzory na obliczenie średniej wartości wskaźnika Ptk, q i A w odpowiednich kolumnach tabeli.

Analiza wyników .

1. Analizować wyniki uzyskane metodami teoretycznymi i eksperymentalnymi, porównując wyniki ze sobą.

2. Dla jednej z kombinacji (n,m) narysuj na jednym wykresie zależność Ptk od danych uzyskanych teoretycznie i eksperymentalnie.

Optymalizacja parametrów QS .

Rozwiąż problem optymalizacji wielkości liczby miejsc w kolejce M dla dwóch urządzeń ze średnim czasem obsługi = z punktu widzenia uzyskania maksymalnego zysku. Jako warunki problemu przyjmij:

- dochód z obsługi jednego wniosku równy 80 USD/godz.,

- koszt utrzymania jednego urządzenia to 1$/godz.,

- koszt utrzymania jednego miejsca w kolejce to 0,2 USD/godz.

1. Do obliczeń zaleca się utworzenie tabeli:

Pierwsza kolumna jest wypełniona wartościami liczby urządzeń n =1.

Druga kolumna jest wypełniona wartościami liczb z szeregu naturalnego (1,2,3...).

Wszystkie komórki w trzeciej i czwartej kolumnie są wypełnione wartościami.

Formuły kolumn tabeli w sekcji 0 są przenoszone do komórek kolumn od pięciu do czternastu.

W kolumnach z początkowymi danymi sekcji Przychody, Wydatki i Zysk wprowadź wartości (patrz wyżej).

W kolumnach z obliczonymi wartościami sekcji Przychody, Wydatki i Zysk zapisz formuły obliczeniowe:

- liczba aplikacji w jednostce czasu

N r = A

- całkowity dochód na jednostkę czasu

ja S = ja r * N r

- całkowite zużycie na jednostkę czasu

E S =E s *n + mi q *m

- zysk na jednostkę czasu

P = ja S - E S

Gdzie

Ir - dochód z jednego wniosku,

E.S - zużycie na urządzenie,

Równ - koszt za miejsce w kolejce

2. Wypełnij wiersze tabeli dla n=2 i n=3.

Znajdź m, wybierz n =1,2,3.

3. Narysuj wykresy zależności C(m) dla n=1,2,3 na jednym wykresie.

Raport z pracy:

Sprawozdanie z pracy powinno zawierać:

- dane źródłowe,

- wyniki obliczeń i eksperymentów z modelem programowym,

Wykresy dla P otwarte,

- tabela z danymi, aby znaleźć najlepsze m i wartość m opt,

- wykresy zysku na jednostkę czasu w zależności od m dla n=1,2,3.

Pytania bezpieczeństwa :

1) Podaj krótki opis wielokanałowego modelu QS z ograniczoną kolejką.

2) Jakie wskaźniki charakteryzują funkcjonowanie wielokanałowego QS z ograniczoną kolejką?

3) W jaki sposób obliczane są krańcowe prawdopodobieństwa wielokanałowego QS z ograniczoną kolejką?

4) Jak znaleźć prawdopodobieństwo braku obsługi aplikacji?

5) Jak znaleźć względną przepustowość?

6) Jaka jest przepustowość bezwzględna?

7) Jak obliczana jest średnia liczba wniosków w systemie?

8) Podaj przykłady wielokanałowego QS z ograniczoną kolejką.

Zadania.

1) Stacja benzynowa posiada 3 dystrybutory oraz podest dla 3 samochodów oczekujących na zatankowanie. Średnio co 4 minuty na stację przyjeżdża jeden samochód. Średni czas obsługi jednej maszyny wynosi 2,8 minuty. Określ charakterystykę działania stacji benzynowej.

2) Stacja kontroli technicznej pojazdów, która posiada 3 stanowiska kontroli, przyjmuje średnio 1 pojazd co 0,4 godziny. Parking na podwórzu pomieści 3 samochody. Średni czas pracy jednego stanowiska wynosi 0,5 godziny. Określ cechy stacji paliw.

3) Towar do sklepu dostarczany jest pojazdami. W ciągu dnia przyjeżdża średnio 6 samochodów. Pomieszczenia gospodarcze do przygotowania towaru do sprzedaży umożliwiają obróbkę i magazynowanie towaru przywiezionego dwoma pojazdami. W sklepie pracuje trzech pakowaczy pracujących na zmiany, z których każdy jest w stanie przerobić towar z jednej maszyny średnio w ciągu 5 godzin. Dzień pracy pakowaczy wynosi 12 godzin. Określ charakterystykę działania sklepu, a także jaka powinna być pojemność pomieszczeń gospodarczych, aby prawdopodobieństwo całkowitego przetworzenia towaru było większe niż 0,96.

4) W sklepie znajdują się trzy kasy fiskalne. Średni czas obsługi jednego klienta to 3 minuty. Natężenie przepływu klientów wynosi 7 osób na minutę. Liczba klientów stojących w kolejce do kasy nie może przekraczać 5 osób. Kupujący, który przychodzi do sklepu, w którym w każdej kolejce znajduje się 5 osób, nie czeka, tylko wychodzi ze sklepu. Określ cechy sklepu.

5) Hurtownia wydaje towar klientom. Załadunek pojazdu realizują trzy zespoły ładowaczy, z których każdy składa się z 4 osób. Magazyn może pomieścić jednocześnie 5 pojazdów i jeśli w tym czasie pojawi się nowy pojazd, nie jest on obsługiwany. Natężenie napływu wynosi 5 samochodów na godzinę. Szybkość załadunku wynosi 2 pojazdy na godzinę. Podaj ocenę funkcjonowania magazynu i możliwość jego reorganizacji.

6) Urząd celny posiada trzy terminale. Natężenie przepływu pojazdów przewożących towary i podlegających kontroli celnej wynosi 30 jednostek. za dzień. Średni czas obsługi celnej na terminalu dla jednego pojazdu wynosi 3 godziny. Jeżeli w kolejce do kontroli celnej stoi 5 samochodów, to przyjeżdżające samochody trafiają do innego urzędu celnego. Znajdź wskaźniki wydajności celnej.

7) Pojazdy z materiałami budowlanymi docierają na plac budowy średnio w ciągu 40 minut. Średni czas rozładunku jednego pojazdu wynosi 1,8 godziny. W rozładunku biorą udział dwie drużyny ładowaczy. Do rozładunku na placu budowy może ustawiać się nie więcej niż 5 pojazdów. Określ wskaźniki wydajności placu budowy.

8) Na myjnię posiadającą trzy stanowiska pracy przyjeżdża średnio 12 samochodów w ciągu godziny. Jeśli w kolejce jest już 6 samochodów, samochody nowo przyjeżdżające nie dołączają do kolejki, lecz opuszczają myjnię. Średni czas mycia samochodu wynosi 20 minut, średni koszt usług myjni to 150 rubli. Określ wskaźniki wydajności myjni i średnią utratę przychodów w ciągu dnia roboczego (od 9:00 do 19:00).

9) Natężenie przepływu pojazdów przewożących towary i podlegających kontroli celnej wynosi 50 jednostek. za dzień. Średni czas obsługi celnej na terminalu dla jednego pojazdu wynosi 2,8 godziny. Maksymalna kolejka do kontroli celnej nie powinna przekraczać 8 samochodów. Określ, ile terminali należy otworzyć w urzędzie celnym, aby prawdopodobieństwo przestoju pojazdu było minimalne.