Rozwiązywanie przykładów ułamkowych nierówności logarytmicznych. Praca Manova „Nierówności logarytmiczne w jednolitym egzaminie państwowym”

Nierówności logarytmiczne

Na poprzednich lekcjach zapoznaliśmy się z równaniami logarytmicznymi i teraz wiemy, czym są i jak je rozwiązać. Dzisiejsza lekcja poświęcona będzie badaniu nierówności logarytmicznych. Czym są te nierówności i jaka jest różnica między rozwiązaniem równania logarytmicznego a nierównością?

Nierówności logarytmiczne to nierówności, w których zmienna pojawia się pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy.

Można też powiedzieć, że nierówność logarytmiczna to nierówność, w której jej nieznana wartość, jak w równaniu logarytmicznym, pojawi się pod znakiem logarytmu.

Najprostsze nierówności logarytmiczne mają postać:

gdzie f(x) i g(x) to pewne wyrażenia zależne od x.

Spójrzmy na to na przykładzie: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Przed rozwiązaniem nierówności logarytmicznych warto zauważyć, że po rozwiązaniu są one podobne do nierówności wykładniczych, a mianowicie:

Po pierwsze, przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, musimy także porównać podstawę logarytmu z jednością;

Po drugie, rozwiązując nierówność logarytmiczną za pomocą zmiany zmiennych, musimy rozwiązywać nierówności ze względu na zmianę, aż otrzymamy najprostszą nierówność.

Ale ty i ja rozważaliśmy podobne aspekty rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Zwróćmy teraz uwagę na dość istotną różnicę. Ty i ja wiemy, że funkcja logarytmiczna ma ograniczoną dziedzinę definicji, dlatego przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, musimy wziąć pod uwagę zakres wartości dopuszczalnych (ADV).

Oznacza to, że należy wziąć pod uwagę, że rozwiązując równanie logarytmiczne, ty i ja możemy najpierw znaleźć pierwiastki równania, a następnie sprawdzić to rozwiązanie. Ale rozwiązanie nierówności logarytmicznej nie będzie działać w ten sposób, ponieważ przy przejściu od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu konieczne będzie zapisanie ODZ nierówności.

Ponadto warto pamiętać, że teoria nierówności składa się z liczb rzeczywistych, które są liczbami dodatnimi i ujemnymi, a także liczby 0.

Na przykład, gdy liczba „a” jest dodatnia, należy zastosować następującą notację: a >0. W tym przypadku zarówno suma, jak i iloczyn tych liczb również będą dodatnie.

Główną zasadą rozwiązywania nierówności jest zastąpienie jej prostszą nierównością, ale najważniejsze jest to, aby była ona równoważna podanej. Ponadto uzyskaliśmy również nierówność i ponownie zastąpiliśmy ją inną, która ma prostszą formę itp.

Rozwiązując nierówności ze zmienną, musisz znaleźć wszystkie jej rozwiązania. Jeżeli dwie nierówności mają tę samą zmienną x, to nierówności takie są równoważne, pod warunkiem, że ich rozwiązania są zbieżne.

Wykonując zadania dotyczące rozwiązywania nierówności logarytmicznych należy pamiętać, że gdy a > 1 to funkcja logarytmiczna rośnie, a gdy 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Przyjrzyjmy się teraz niektórym metodom stosowanym przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych. Dla lepszego zrozumienia i przyswojenia postaramy się je zrozumieć na konkretnych przykładach.

Wszyscy wiemy, że najprostsza nierówność logarytmiczna ma postać:

W tej nierówności V – jest jednym z następujących znaków nierówności:<,>, ≤ lub ≥.

Gdy podstawa danego logarytmu jest większa od jedności (a>1), dokonując przejścia od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, to w tej wersji znak nierówności zostaje zachowany i nierówność będzie miała postać:

co jest równoważne temu systemowi:

W przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności (0

Jest to równoważne temu systemowi:

Przyjrzyjmy się kolejnym przykładom rozwiązywania najprostszych nierówności logarytmicznych pokazanych na poniższym obrazku:

Rozwiązywanie przykładów

Ćwiczenia. Spróbujmy rozwiązać tę nierówność:

Rozwiązywanie zakresu wartości dopuszczalnych.

Spróbujmy teraz pomnożyć jego prawą stronę przez:

Zobaczmy, co możemy wymyślić:

Przejdźmy teraz do konwersji wyrażeń sublogarytmicznych. Ponieważ podstawa logarytmu wynosi 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

I z tego wynika, że ​​uzyskany przez nas przedział w całości należy do ODZ i jest rozwiązaniem takiej nierówności.

Oto odpowiedź jaką otrzymaliśmy:

Co jest potrzebne do rozwiązania nierówności logarytmicznych?

Spróbujmy teraz przeanalizować, czego potrzebujemy, aby skutecznie rozwiązać nierówności logarytmiczne?

Najpierw skoncentruj całą swoją uwagę i staraj się nie popełnić błędów podczas wykonywania przekształceń podanych w tej nierówności. Należy również pamiętać, że przy rozwiązywaniu takich nierówności należy unikać rozszerzania i kurczenia się nierówności, co może prowadzić do utraty lub nabycia obcych rozwiązań.

Po drugie, rozwiązując nierówności logarytmiczne, trzeba nauczyć się myśleć logicznie i rozumieć różnicę między pojęciami takimi jak system nierówności i zbiór nierówności, aby móc łatwo wybierać rozwiązania nierówności, kierując się jej DL.

Po trzecie, aby skutecznie rozwiązać takie nierówności, każdy z Was musi doskonale znać wszystkie właściwości funkcji elementarnych i dobrze rozumieć ich znaczenie. Do takich funkcji należą nie tylko logarytmiczne, ale także wymierne, potęgowe, trygonometryczne itp., Jednym słowem wszystkie te, których uczyłeś się podczas szkolnej algebry.

Jak widać, po przestudiowaniu tematu nierówności logarytmicznych, nie ma nic trudnego w rozwiązaniu tych nierówności, pod warunkiem, że będziesz ostrożny i wytrwały w osiąganiu swoich celów. Aby uniknąć problemów w rozwiązywaniu nierówności, należy jak najwięcej ćwiczyć przy rozwiązywaniu różnych zadań, a jednocześnie pamiętać o podstawowych metodach rozwiązywania takich nierówności i ich układach. Jeśli nie uda Ci się rozwiązać nierówności logarytmicznej, powinieneś dokładnie przeanalizować swoje błędy, aby nie wracać do nich ponownie w przyszłości.

Praca domowa

Aby lepiej zrozumieć temat i utrwalić przerobiony materiał, rozwiąż następujące nierówności:

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W UŻYCIU

Sieczin Michaił Aleksandrowicz

Mała Akademia Nauk dla Studentów Republiki Kazachstanu „Iskatel”

MBOU „Sowiecka Szkoła Średnia nr 1”, klasa 11, m. Rejon sowiecki, sowiecki

Gunko Ludmiła Dmitriewna, nauczycielka Miejskiej Budżetowej Instytucji Oświatowej „Sovetskaya Liceum nr 1”

Rejon sowiecki

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania nierówności logarytmicznych C3 metodami niestandardowymi, identyfikowanie ciekawostek dotyczących logarytmu.

Przedmiot badań:

3) Nauczyć się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 metodami niestandardowymi.

Wyniki:

Treść

Wprowadzenie……………………………………………………………………………….4

Rozdział 1. Historia zagadnienia…………………………………………………...5

Rozdział 2. Zbieranie nierówności logarytmicznych ………………………… 7

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów…………… 7

2.2. Metoda racjonalizacji…………………………………………………………… 15

2.3. Zastępstwo niestandardowe .................................................................................. ............... 22

2.4. Zadania z pułapkami…………………………………………………27

Zakończenie…………………………………………………………………………… 30

Literatura……………………………………………………………………. 31

Wstęp

Chodzę do 11. klasy i planuję rozpocząć studia na uniwersytecie, gdzie głównym przedmiotem jest matematyka. Dlatego dużo pracuję z problemami z części C. W zadaniu C3 muszę rozwiązać niestandardową nierówność lub układ nierówności, zwykle związany z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu, stanąłem przed problemem braku metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych oferowanych w C3. Metody studiowane w szkolnym programie nauczania na ten temat nie stanowią podstawy do rozwiązywania zadań C3. Nauczycielka matematyki zasugerowała, żebym samodzielnie pracowała nad zadaniami na poziomie C3 pod jej okiem. Dodatkowo zaciekawiło mnie pytanie: czy w naszym życiu spotykamy logarytmy?

Mając to na uwadze, wybrano temat:

„Nierówności logarytmiczne na egzaminie jednolitym”

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 metodami niestandardowymi, identyfikowanie interesujących faktów dotyczących logarytmu.

Przedmiot badań:

1) Znajdź niezbędne informacje na temat niestandardowych metod rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

2) Znajdź dodatkowe informacje na temat logarytmów.

3) Naucz się rozwiązywać konkretne problemy C3 przy użyciu niestandardowych metod.

Wyniki:

Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatury do rozwiązywania problemów C3. Materiał ten można wykorzystać na niektórych lekcjach, w klubach i na zajęciach fakultatywnych z matematyki.

Produktem projektu będzie zbiór „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”.

Rozdział 1. Tło

Przez cały XVI wiek liczba obliczeń przybliżonych gwałtownie wzrosła, głównie w astronomii. Udoskonalanie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich obliczeń. Astronomii groziło realne niebezpieczeństwo utonięcia w niespełnionych obliczeniach. Trudności pojawiały się w innych obszarach, np. w branży ubezpieczeniowej, potrzebne były tabele oprocentowania złożonego dla różnych stóp procentowych. Główną trudnością było mnożenie i dzielenie liczb wielocyfrowych, zwłaszcza wielkości trygonometrycznych.

Odkrycie logarytmów opierało się na właściwościach progresji, które były dobrze znane pod koniec XVI wieku. Archimedes mówił w Psalmie o związku pomiędzy wyrazami ciągu geometrycznego q, q2, q3,... i postępem arytmetycznym ich wykładników 1, 2, 3,.... Kolejnym warunkiem wstępnym było rozszerzenie pojęcia stopnia na wykładniki ujemne i ułamkowe. Wielu autorów wskazywało, że mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastków w postępie geometrycznym odpowiadają w arytmetyce – w tej samej kolejności – dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

Oto idea logarytmu jako wykładnika.

W historii rozwoju doktryny logarytmów minęło kilka etapów.

Etap 1

Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku niezależnie przez szkockiego barona Napiera (1550-1617), a dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Bürgi (1552-1632). Obaj chcieli zapewnić nowy, wygodny sposób obliczeń arytmetycznych, chociaż podeszli do tego problemu na różne sposoby. Napier kinematycznie wyraził funkcję logarytmiczną i tym samym wkroczył w nową dziedzinę teorii funkcji. Bürgi pozostał w oparciu o rozważenie dyskretnych progresji. Jednak definicja logarytmu dla obu nie jest podobna do współczesnej. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstało z połączenia greckich słów: logos – „relacja” i ariqmo – „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego określenia: numeri Artificiales – „liczby sztuczne”, w przeciwieństwie do numeri naturalts – „liczby naturalne”.

W 1615 roku w rozmowie z Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresh College w Londynie, Napier zasugerował przyjmowanie zera jako logarytmu jedności i 100 jako logarytmu dziesięciu, czyli co równa się temu rzecz, tylko 1. Tak wydrukowano logarytmy dziesiętne i pierwsze tablice logarytmiczne. Później tablice Briggsa uzupełnił holenderski księgarz i miłośnik matematyki Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, choć do logarytmów doszli wcześniej niż wszyscy inni, swoje tablice opublikowali później niż pozostali – w roku 1620. Znaki dziennika i kłody wprowadził w 1624 r. I. Kepler. Termin „logarytm naturalny” wprowadził Mengoli w 1659 r., a następnie N. Mercator w 1668 r., a londyński nauczyciel John Speidel opublikował tablice logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod nazwą „Nowe logarytmy”.

Pierwsze tablice logarytmiczne opublikowano w języku rosyjskim w 1703 roku. Ale we wszystkich tabelach logarytmicznych wystąpiły błędy obliczeniowe. Pierwsze bezbłędne tablice ukazały się w 1857 roku w Berlinie, a ich opracowaniem zajął się niemiecki matematyk K. Bremiker (1804-1877).

Etap 2

Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małego. Do tego czasu ustalono związek między kwadraturą hiperboli równobocznej a logarytmem naturalnym. Teoria logarytmów tego okresu jest związana z nazwiskami wielu matematyków.

Niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator w eseju

„Logarithmotechnics” (1668) podaje szereg dający rozwinięcie ln(x+1) w

potęgi x:

Wyrażenie to dokładnie odpowiada jego tokowi myślenia, chociaż oczywiście nie użył znaków d, ..., ale bardziej uciążliwą symbolikę. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je wyznaczać za pomocą szeregów nieskończonych. W wykładach „Matematyka elementarna z wyższego punktu widzenia”, wygłaszanych w latach 1907-1908, F. Klein zaproponował przyjęcie wzoru jako punktu wyjścia do konstruowania teorii logarytmów.

Etap 3

Definicja funkcji logarytmicznej jako funkcji odwrotnej

wykładniczy, logarytm jako wykładnik danej podstawy

nie został sformułowany od razu. Esej Leonharda Eulera (1707-1783)

„Wprowadzenie do analizy nieskończoności” (1748) posłużyło do dalszego rozwoju

rozwój teorii funkcji logarytmicznych. Zatem,

Od czasu pierwszego wprowadzenia logarytmów minęły 134 lata

(licząc od 1614 r.), zanim matematycy doszli do definicji

pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą zajęć szkolnych.

Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów.

Równoważne przejścia

, jeśli a > 1

, jeśli 0 < а < 1

Uogólniona metoda interwałowa

Metoda ta jest najbardziej uniwersalna przy rozwiązywaniu nierówności niemal każdego typu. Schemat rozwiązania wygląda następująco:

1. Doprowadź nierówność do postaci, w której występuje funkcja po lewej stronie
, a po prawej 0.

2. Znajdź dziedzinę funkcji
.

3. Znajdź zera funkcji
, czyli rozwiązać równanie
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązanie nierówności).

4. Narysuj dziedzinę definicji i zera funkcji na osi liczbowej.

5. Wyznacz znaki funkcji
na otrzymanych interwałach.

6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje wymagane wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę interwałową

Gdzie

Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakami logarytmicznymi są dodatnie.

Odpowiedź:

Przykład 2.

Rozwiązanie:

1 sposób . ADL zależy od nierówności X> 3. Branie logarytmów dla takich X w podstawie 10, otrzymujemy

Ostatnią nierówność można rozwiązać stosując reguły rozwinięcia, tj. porównanie czynników do zera. Jednak w tym przypadku łatwo jest wyznaczyć przedziały znaku stałego funkcji

dlatego można zastosować metodę interwałową.

Funkcjonować F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ jest ciągłe w X> 3 i znika w punktach X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. W ten sposób wyznaczamy przedziały stałego znaku funkcji F(X):

Odpowiedź:

2. metoda . Zastosujmy bezpośrednio idee metody przedziałowej do pierwotnej nierówności.

Aby to zrobić, pamiętaj, że wyrażenia A B- A c i ( A - 1)(B- 1) mają jeden znak. Wtedy nasza nierówność w X> 3 jest równoznaczne z nierównością

Lub

Ostatnią nierówność rozwiązuje się metodą przedziałową

Odpowiedź:

Przykład 3.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę interwałową

Odpowiedź:

Przykład 4.

Rozwiązanie:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 dla wszystkich rzeczywistych X, To

Do rozwiązania drugiej nierówności używamy metody przedziałowej

W pierwszej nierówności dokonujemy zamiany

wtedy dochodzimy do nierówności 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, które spełniają nierówność -0,5< y < 1.

Skąd, ponieważ

otrzymujemy nierówność

który jest wykonywany kiedy X, dla którego 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności układu, ostatecznie otrzymujemy

Odpowiedź:

Przykład 5.

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoważna zbiorowi systemów

Lub

Użyjmy metody interwałowej lub

Odpowiedź:

Przykład 6.

Rozwiązanie:

Nierówność równa się systemowi

Pozwalać

Następnie y > 0,

i pierwsza nierówność

system przybiera formę

lub rozkładanie

rozłożony na czynniki trójmian kwadratowy,

Stosując metodę przedziałową do ostatniej nierówności,

widzimy, że jego rozwiązania spełniają warunek y> 0 będzie wszystkim y > 4.

Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:

Zatem są wszystkie rozwiązania nierówności

2.2. Metoda racjonalizacji.

Wcześniej nierówności nie rozwiązywano metodą racjonalizacyjną; nie było to znane. Jest to „nowa, nowoczesna, skuteczna metoda rozwiązywania nierówności wykładniczych i logarytmicznych” (cytat z książki S.I. Kolesnikowej)
A nawet jeśli nauczyciel go znał, była obawa - czy zna go ekspert od Unified State Exam i dlaczego nie dają go w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel mówił do ucznia: „Skąd to wziąłeś? Usiądź – 2”.
Teraz metoda jest promowana na całym świecie. A dla ekspertów istnieją wytyczne związane z tą metodą, a w „Najbardziej kompletnych edycjach opcji standardowych…” w Rozwiązaniu C3 zastosowano tę metodę.
WSPANIAŁA METODA!

„Magiczny stół”

W innych źródłach

Jeśli a >1 i b >1, następnie log a b >0 i (a -1)(b -1) >0;

Jeśli a >1 i 0

jeśli 0<A<1 и b >1, następnie zaloguj a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

jeśli 0<A<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0.

Przeprowadzone rozumowanie jest proste, ale znacznie upraszcza rozwiązanie nierówności logarytmicznych.

Przykład 4.

log x (x 2 -3)<0

Rozwiązanie:

Przykład 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rozwiązanie:

Odpowiedź. (0; 0,5)U.

Przykład 6.

Aby rozwiązać tę nierówność, zamiast mianownika piszemy (x-1-1)(x-1), a zamiast licznika piszemy iloczyn (x-1)(x-3-9 + x).

Odpowiedź : (3;6)

Przykład 7.

Przykład 8.

2.3. Zamienniki niestandardowe.

Przykład 1.

Przykład 2.

Przykład 3.

Przykład 4.

Przykład 5.

Przykład 6.

Przykład 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Dokonajmy zamiany y=3 x -1; wtedy ta nierówność przybierze postać

Log 4 log 0,25
.

Ponieważ log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , to ostatnią nierówność zapisujemy jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Dokonajmy zamiany t =log 4 y i otrzymajmy nierówność t 2 -2t +≥0, której rozwiązaniem są przedziały - .

Zatem, aby znaleźć wartości y, mamy zestaw dwóch prostych nierówności
Rozwiązaniem tego zbioru są przedziały 0<у≤2 и 8≤у<+.

Dlatego pierwotna nierówność jest równoważna zbiorowi dwóch nierówności wykładniczych,
czyli agregaty

Rozwiązaniem pierwszej nierówności tego zbioru jest przedział 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Zatem pierwotna nierówność jest spełniona dla wszystkich wartości x z przedziałów 0<х≤1 и 2≤х<+.

Przykład 8.

Rozwiązanie:

Nierówność równa się systemowi

Rozwiązaniem drugiej nierówności wyznaczającej ODZ będzie ich zbiór X,

dla którego X > 0.

Aby rozwiązać pierwszą nierówność, dokonujemy podstawienia

Wtedy otrzymujemy nierówność

Lub

Metoda polega na znalezieniu zbioru rozwiązań ostatniej nierówności

interwały: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, otrzymujemy

Lub

Dużo tych X, które spełniają ostatnią nierówność

należy do ODZ ( X> 0), jest zatem rozwiązaniem układu,

i stąd pierwotna nierówność.

Odpowiedź:

2.4. Zadania z pułapkami.

Przykład 1.

.

Rozwiązanie. ODZ nierówności to wszystkie x spełniające warunek 0 . Zatem wszystkie x należą do przedziału 0

Przykład 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Faktem jest, że druga liczba jest oczywiście większa niż

Wniosek

Znalezienie konkretnych metod rozwiązywania problemów C3 w dużej liczbie różnych źródeł edukacyjnych nie było łatwe. W trakcie wykonanej pracy miałem okazję poznać niestandardowe metody rozwiązywania złożonych nierówności logarytmicznych. Są to: przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów, metoda racjonalizacji , substytucja niestandardowa , zadania z pułapkami na ODZ. Metody te nie są uwzględnione w programie nauczania w szkole.

Używając różnych metod, rozwiązałem 27 nierówności zaproponowanych na Unified State Exam w części C, czyli C3. Te nierówności z rozwiązaniami metodami stały się podstawą zbioru „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”, który stał się produktem projektowym mojej działalności. Hipoteza, którą postawiłem na początku projektu, potwierdziła się: problemy C3 można skutecznie rozwiązać, znając te metody.

Ponadto odkryłem ciekawe fakty dotyczące logarytmów. Zrobienie tego było dla mnie interesujące. Produkty mojego projektu będą przydatne zarówno dla uczniów, jak i nauczycieli.

Wnioski:

Tym samym cel projektu został osiągnięty, a problem rozwiązany. Otrzymałem najbardziej kompletne i różnorodne doświadczenie w zakresie działań projektowych na wszystkich etapach pracy. Podczas pracy nad projektem mój główny wpływ rozwojowy dotyczył kompetencji umysłowych, czynności związanych z logicznymi operacjami umysłowymi, rozwoju kompetencji twórczych, inicjatywy osobistej, odpowiedzialności, wytrwałości i aktywności.

Gwarancja sukcesu przy tworzeniu projektu badawczego dla Zdobyłem: duże doświadczenie szkolne, umiejętność pozyskiwania informacji z różnych źródeł, sprawdzania ich wiarygodności i uszeregowania ich według ważności.

Oprócz bezpośredniej wiedzy przedmiotowej z matematyki, poszerzyłem swoje umiejętności praktyczne z zakresu informatyki, zdobyłem nową wiedzę i doświadczenie z zakresu psychologii, nawiązałem kontakty z kolegami i koleżankami z klasy, a także nauczyłem się współpracy z dorosłymi. W trakcie działań projektowych rozwijane były ogólne umiejętności organizacyjne, intelektualne i komunikacyjne.

Literatura

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Układy nierówności z jedną zmienną (zadania standardowe C3).

2. Malkova A. G. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.

3. Samarova S. S. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych.

4. Matematyka. Zbiór prac szkoleniowych pod redakcją A.L. Semenow i I.V. Jaszczenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Spośród całej gamy nierówności logarytmicznych osobno bada się nierówności o zmiennej podstawie. Rozwiązuje się je za pomocą specjalnej formuły, której z jakiegoś powodu rzadko uczy się w szkole:

log k (x) fa (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Zamiast checkboxa „∨” można wstawić dowolny znak nierówności: mniej więcej. Najważniejsze jest to, że w obu nierównościach znaki są takie same.

W ten sposób pozbywamy się logarytmów i sprowadzamy problem do nierówności racjonalnej. To drugie jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania, ale po odrzuceniu logarytmów mogą pojawić się dodatkowe pierwiastki. Aby je odciąć, wystarczy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości. Jeśli zapomniałeś ODZ logarytmu, zdecydowanie zalecam powtórzenie tego - zobacz „Co to jest logarytm”.

Wszystko, co dotyczy zakresu dopuszczalnych wartości, należy zapisać i rozwiązać osobno:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Te cztery nierówności tworzą system i muszą być spełnione jednocześnie. Gdy zostanie znaleziony zakres dopuszczalnych wartości, pozostaje tylko przeciąć go rozwiązaniem nierówności racjonalnej - i odpowiedź jest gotowa.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Najpierw zapiszmy ODZ logarytmu:

Dwie pierwsze nierówności są spełnione automatycznie, ale ostatnią trzeba będzie zapisać. Ponieważ kwadrat liczby wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba wynosi zero, mamy:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Okazuje się, że ODZ logarytmu to wszystkie liczby z wyjątkiem zera: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz rozwiązujemy główną nierówność:

Dokonujemy przejścia od nierówności logarytmicznej do nierówności racjonalnej. Oryginalna nierówność ma znak „mniej niż”, co oznacza, że ​​wynikająca z niej nierówność również musi mieć znak „mniej niż”. Mamy:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

Zera tego wyrażenia to: x = 3; x = −3; x = 0. Ponadto x = 0 jest pierwiastkiem drugiej krotności, co oznacza, że ​​przy przejściu przez nią znak funkcji się nie zmienia. Mamy:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Zbiór ten jest całkowicie zawarty w ODZ logarytmu, co oznacza, że ​​to jest odpowiedź.

Przeliczanie nierówności logarytmicznych

Często pierwotna nierówność różni się od powyższej. Można to łatwo skorygować, stosując standardowe zasady pracy z logarytmami - patrz „Podstawowe właściwości logarytmów”. Mianowicie:

1. Dowolną liczbę można przedstawić jako logarytm o danej podstawie;
2. Sumę i różnicę logarytmów o tej samej podstawie można zastąpić jednym logarytmem.

Osobno chciałbym przypomnieć o zakresie dopuszczalnych wartości. Ponieważ w pierwotnej nierówności może być kilka logarytmów, konieczne jest znalezienie VA każdego z nich. Zatem ogólny schemat rozwiązywania nierówności logarytmicznych jest następujący:

1. Znajdź VA każdego logarytmu uwzględnionego w nierówności;
2. Zmniejsz nierówność do standardowej, korzystając ze wzorów na dodawanie i odejmowanie logarytmów;
3. Rozwiąż powstałą nierówność zgodnie ze schematem podanym powyżej.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Znajdźmy dziedzinę definicji (DO) pierwszego logarytmu:

Rozwiązujemy metodą przedziałową. Znajdowanie zer licznika:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Następnie - zera mianownika:

x - 1 = 0;
x = 1.

Na strzałce współrzędnych zaznaczamy zera i znaki:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logarytm będzie miał tę samą wartość VA. Jeśli nie wierzysz, możesz to sprawdzić. Teraz przekształcamy drugi logarytm tak, aby podstawa wynosiła dwa:

Jak widać, trójki u podstawy i przed logarytmem zostały zmniejszone. Mamy dwa logarytmy o tej samej podstawie. Dodajmy je:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Otrzymaliśmy standardową nierówność logarytmiczną. Pozbywamy się logarytmów za pomocą wzoru. Ponieważ pierwotna nierówność zawiera znak „mniej niż”, wynikowe wyrażenie wymierne również musi być mniejsze od zera. Mamy:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Dostaliśmy dwa zestawy:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odpowiedź kandydata: x ∈ (−1; 3).

Pozostaje przeciąć te zbiory - otrzymujemy prawdziwą odpowiedź:

Nas interesuje przecięcie zbiorów, dlatego wybieramy przedziały, które są zacienione na obu strzałkach. Otrzymujemy x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - wszystkie punkty są przebite.

Nierówność nazywa się logarytmiczną, jeśli zawiera funkcję logarytmiczną.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych nie różnią się od, z wyjątkiem dwóch rzeczy.

Po pierwsze, przechodząc od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych, należy podążaj za znakiem powstałej nierówności. Przestrzega następującej zasady.

Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż 1$, to przy przejściu od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych znak nierówności zostaje zachowany, natomiast jeśli jest mniejszy niż 1$, to zmienia się na przeciwny .

Po drugie, rozwiązaniem dowolnej nierówności jest przedział, dlatego na końcu rozwiązywania nierówności funkcji sublogarytmicznych konieczne jest utworzenie układu dwóch nierówności: pierwszą nierównością tego układu będzie nierówność funkcji sublogarytmicznych, a drugi będzie przedziałem dziedziny definicji funkcji logarytmicznych zawartych w nierówności logarytmicznej.

Praktyka.

Rozwiążmy nierówności:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Podstawą logarytmu jest $2>1$, więc znak się nie zmienia. Korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )