Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi wskaźniki pewne stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Proszę bardzo przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x +3

Uważać na! W podstawach stopni (poniżej) - tylko liczby. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z literą X. Jeśli nagle w równaniu pojawi się X w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

będzie to już równanie typu mieszanego. Równania takie nie mają jasnych zasad ich rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj sobie poradzimy rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są rozwiązywane w sposób jasny. Istnieją jednak pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. To są typy, które rozważymy.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych.

Najpierw rozwiążmy coś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez teorii, poprzez prosty dobór widać, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadna inna wartość X nie działa. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu tego trudnego równania wykładniczego:

Co zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same podstawy (potrójne). Całkowicie wyrzucony. I dobra wiadomość jest taka, że ​​trafiliśmy w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym są lewe i prawe identyczny liczby dowolnej potęgi, liczby te można usunąć, a wykładniki można wyrównać. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. Świetnie, prawda?)

Pamiętajmy jednak stanowczo: Możesz usuwać bazy tylko wtedy, gdy liczby zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x+1 = 2 3, lub

dwójek nie da się usunąć!

No cóż, najważniejsze już opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„To są czasy!” - mówisz. „Kto dałby tak prymitywną lekcję na sprawdzianach i egzaminach!?”

Muszę się zgodzić. Nikt tego nie zrobi. Ale teraz wiesz, gdzie celować przy rozwiązywaniu trudnych przykładów. Konieczne jest doprowadzenie go do postaci, w której ta sama liczba podstawowa znajduje się po lewej i prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go na pożądany nas umysł. Oczywiście według zasad matematyki.

Przyjrzyjmy się przykładom, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszych. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych obowiązują główne zasady działania ze stopniami. Bez znajomości tych działań nic nie będzie działać.

Do działań mających stopnie trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb podstawowych? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwsze bystre spojrzenie jest na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie, żeby się zniechęcać. Czas o tym pamiętać

Dwa i osiem to stopień spokrewniony.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie wzór z operacji na stopniach:

(a n) m = za nm ,

to działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład zaczął wyglądać tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej stronie (nikt nie anulował elementarnych działań matematycznych!), otrzymujemy:

2 2x = 2 3(x+1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i otrzymujemy

To jest poprawna odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość potęgi dwójki pomogła nam. My zidentyfikowany w ośmiu jest zaszyfrowana dwójka. Ta technika (kodowanie wspólnych zasad pod różnymi liczbami) jest bardzo popularną techniką w równaniach wykładniczych! Tak, także w logarytmach. Musisz umieć rozpoznawać potęgi innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do dowolnej potęgi nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na papierze, i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść liczbę 3 do potęgi piątej. 243 zadziała, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej nie jest konieczne podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie... Dowiedz się jaka liczba w jakim stopniu kryje się za liczbą 243, albo powiedzmy 343... Żaden kalkulator Ci tu nie pomoże.

Potęgę niektórych liczb trzeba znać z widzenia, prawda… Poćwiczmy?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby mają te liczby:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Odpowiedzi jest znacznie więcej niż zadań! No cóż, zdarza się... Na przykład 2 6, 4 3, 8 2 - to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o znajomości liczb.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych używamy Wszystko zasób wiedzy matematycznej. W tym ci z klas młodszych i średnich. Nie poszedłeś od razu do szkoły średniej, prawda?)

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych często pomaga umieszczenie wspólnego czynnika w nawiasach (witaj siódmoklaso!). Spójrzmy na przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwszy rzut oka na fundamenty! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. Ale chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie zostało całkowicie spełnione!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Stosowanie tych samych zasad postępowania ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To świetnie, możesz to zapisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. I co dalej!? Nie możesz rzucać trójkami... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętaj o najbardziej uniwersalnej i potężnej zasadzie decyzyjnej wszyscy zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób co możesz!

Spójrz, wszystko się ułoży).

Co kryje się w tym równaniu wykładniczym Móc Do? Tak, po lewej stronie aż się prosi, żeby go wyjąć z nawiasu! Ogólny mnożnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Pamiętamy, że do eliminacji podstaw potrzebny jest czysty stopień, bez żadnych współczynników. Niepokoi nas liczba 70. Dzielimy więc obie strony równania przez 70 i otrzymujemy:

Ups! Wszystko się poprawiło!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że kołowanie na tej samej zasadzie osiąga się, ale ich eliminacja nie jest możliwa. Dzieje się tak w innych typach równań wykładniczych. Opanujmy ten typ.

Zastępowanie zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze – jak zwykle. Przejdźmy do jednej bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I tu właśnie spędzamy czas. Poprzednie techniki nie będą działać, bez względu na to, jak na to spojrzeć. Będziemy musieli wyciągnąć z naszego arsenału inną potężną i uniwersalną metodę. To się nazywa wymiana zmienna.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku - 2 x) piszemy inną, prostszą (na przykład - t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Wtedy 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

W naszym równaniu wszystkie potęgi x zastępujemy t:

Cóż, przychodzi ci to do głowy?) Czy zapomniałeś już o równaniach kwadratowych? Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:

Najważniejsze, żeby się nie zatrzymywać, jak to bywa... To jeszcze nie jest odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wróćmy do X, tj. dokonujemy odwrotnej zamiany. Najpierw dla t 1:

Dlatego,

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:

Hm... 2 x po lewej, 1 po prawej... Problem? Zupełnie nie! Wystarczy pamiętać (z operacji na potęgach, tak...), że jednostka jest każdy liczbę do potęgi zerowej. Każdy. Cokolwiek będzie potrzebne, zainstalujemy to. Potrzebujemy dwójki. Oznacza:

To tyle. Mamy 2 pierwiastki:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasem pojawia się niezręczny wyraz twarzy. Typ:

Siedmiu nie można zamienić na dwa za pomocą prostej potęgi. Oni nie są krewnymi... Jak możemy być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat „Co to jest logarytm?” , uśmiecha się oszczędnie i twardą ręką zapisuje absolutnie poprawną odpowiedź:

Takiej odpowiedzi nie może być w zadaniu „B” na egzaminie Unified State Examination. Tam wymagany jest konkretny numer. Ale w zadaniach „C” jest to łatwe.

W tej lekcji przedstawiono przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główne punkty.

Praktyczne wskazówki:

1. Przede wszystkim patrzymy fusy stopnie. Zastanawiamy się, czy da się je zrobić identyczny. Spróbujmy to zrobić aktywnie wykorzystując działania ze stopniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na potęgi!

2. Próbujemy doprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy po lewej i po prawej stronie są identyczny liczby w dowolnych potęgach. Używamy działania ze stopniami I faktoryzacja. To, co da się policzyć w liczbach, liczymy.

3. Jeśli druga wskazówka nie zadziałała, spróbuj zastosować zmienną zamianę. Wynikiem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadratowy. Lub ułamek, który również sprowadza się do kwadratu.

4. Aby skutecznie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz znać potęgi niektórych liczb z widzenia.

Jak zwykle na koniec lekcji możesz podjąć małą decyzję.) Samodzielnie. Od prostych do złożonych.

Rozwiązuj równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Znajdź iloczyn korzeni:

2 trójki + 2 x = 9

Czy to zadziałało?

No cóż, więc bardzo złożony przykład (choć da się go rozwiązać w głowie...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? W takim razie mam dla ciebie zły przykład. Całkiem godny zwiększonego poziomu trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje Cię pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszelkich problemów matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Prostszy przykład dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

I na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak, tak! To jest równanie typu mieszanego! Którego nie rozważaliśmy w tej lekcji. Po co je rozważać, należy je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. No cóż, trzeba pomysłowości... I niech siódma klasa Ci w tym pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

1; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; 4; 0.

Czy wszystko się udało? Świetnie.

Jakieś problemy? Nie ma pytania! Sekcja specjalna 555 rozwiązuje wszystkie te równania wykładnicze ze szczegółowymi wyjaśnieniami. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście istnieją dodatkowe cenne informacje na temat pracy z wszelkiego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko te.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. Na tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie wspomniałem tutaj ani słowa o ODZ? Swoją drogą, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Wykład: „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”.

1 . Równania wykładnicze.

Równania zawierające niewiadome w wykładnikach nazywane są równaniami wykładniczymi. Najprostszym z nich jest równanie ax = b, gdzie a > 0, a ≠ 1.

1) W b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Dla b > 0, korzystając z monotoniczności funkcji i twierdzenia o pierwiastku, równanie ma unikalny pierwiastek. Aby je znaleźć, b należy przedstawić w postaci b = aс, аx = bс ó x = c lub x = logab.

Równania wykładnicze poprzez przekształcenia algebraiczne prowadzą do równań standardowych, które rozwiązuje się następującymi metodami:

1) sposób redukcji do jednej zasady;

2) sposób oceny;

3) metoda graficzna;

4) sposób wprowadzania nowych zmiennych;

5) metoda faktoryzacji;

6) wykładnicze – równania potęgowe;

7) poglądowy z parametrem.

2 . Metoda redukcji do jednej zasady.

Metoda opiera się na następującej własności potęg: jeśli dwie potęgi są równe i ich podstawy są równe, to ich wykładniki są równe, czyli należy spróbować sprowadzić równanie do postaci

Przykłady. Rozwiąż równanie:

1 . 3x = 81;

Przedstawmy prawą stronę równania w postaci 81 = 34 i napiszmy równanie odpowiadające pierwotnemu 3 x = 34; x = 4. Odpowiedź: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png"width="52" height="49">i przejdźmy do równania na wykładniki 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Odpowiedź: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" szerokość="105" wysokość="47">

Zauważ, że liczby 0,2, 0,04, √5 i 25 reprezentują potęgi liczby 5. Skorzystajmy z tego i przekształćmy pierwotne równanie w następujący sposób:

, skąd 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, skąd znajdujemy rozwiązanie x = -1. Odpowiedź: -1.

5. 3x = 5. Z definicji logarytmu x = log35. Odpowiedź: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Przepiszmy równanie w postaci 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, czyli.png" szerokość="181" wysokość="49 src="> Stąd x – 4 =0, x = 4. Odpowiedź: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Korzystając z własności potęg, zapisujemy równanie w postaci 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 wtedy 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, czyli x+1 = 2, x =1. Odpowiedź: 1.

Bank problemów nr 1.

Rozwiąż równanie:

Próba nr 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez pierwiastków
	1) 7;1 2) bez pierwiastków 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Próba nr 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez pierwiastków 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda oceny.

Twierdzenie o pierwiastku: jeśli funkcja f(x) rośnie (maleje) w przedziale I, liczba a jest dowolną wartością przyjmowaną przez f w tym przedziale, to równanie f(x) = a ma pojedynczy pierwiastek w przedziale I.

Przy rozwiązywaniu równań metodą estymacji wykorzystuje się to twierdzenie i właściwości monotoniczności funkcji.

Przykłady. Rozwiąż równania: 1. 4x = 5 – x.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie jako 4x +x = 5.

1. jeśli x = 1, to 41+1 = 5, 5 = 5 jest prawdą, co oznacza, że ​​1 jest pierwiastkiem równania.

Funkcja f(x) = 4x – rośnie na R, a g(x) = x – rośnie na R => h(x)= f(x)+g(x) rośnie na R, jako suma rosnących funkcji, wtedy x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania 4x = 5 – x. Odpowiedź: 1.

2.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie w postaci .

1. jeśli x = -1, to , 3 = 3 jest prawdziwe, co oznacza, że ​​x = -1 jest pierwiastkiem równania.

2. udowodnić, że jest jedyny.

3. Funkcja f(x) = - maleje na R, a g(x) = - x – maleje na R=> h(x) = f(x)+g(x) – maleje na R, jako suma funkcje malejące. Oznacza to, że zgodnie z twierdzeniem o pierwiastku x = -1 jest jedynym pierwiastkiem równania. Odpowiedź: -1.

Bank problemów nr 2. Rozwiąż równanie

a) 4x + 1 =6 – x;

B)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Sposób wprowadzania nowych zmiennych.

Metodę opisano w paragrafie 2.1. Wprowadzenie nowej zmiennej (podstawienie) następuje zwykle po przekształceniach (uproszczeniach) wyrazów równania. Spójrzmy na przykłady.

Przykłady. R Rozwiąż równanie: 1. .

Przepiszmy równanie inaczej: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" szerokość="128" wysokość="48 src="> tj.png" szerokość="210" wysokość = "45">

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie inaczej:

Oznaczmy https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" szerokość="245" wysokość="57"> - nie nadaje się.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" szerokość="268" wysokość="51"> - równanie irracjonalne. Zauważamy, że

Rozwiązaniem równania jest x = 2,5 ≤ 4, co oznacza, że ​​2,5 jest pierwiastkiem równania. Odpowiedź: 2,5.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie do postaci i podzielmy obie strony przez 56x+6 ≠ 0. Otrzymujemy równanie

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" szerokość="118" wysokość="56">

Pierwiastkami równania kwadratowego są t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rozwiązanie . Przepiszmy równanie w postaci

i zauważmy, że jest to równanie jednorodne drugiego stopnia.

Podziel równanie przez 42x i otrzymamy

Zamieńmy https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" szerokość="16" wysokość="41 src="> .

Odpowiedź: 0; 0,5.

Bank problemów nr 3. Rozwiąż równanie

B)

G)

Próba nr 3 z możliwością wyboru odpowiedzi. Minimalny poziom.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) bez pierwiastków 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez korzeni 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Próba nr 4 z możliwością wyboru odpowiedzi. Poziom ogólny.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez korzeni

5. Metoda faktoryzacji.

1. Rozwiąż równanie: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rozwiązanie..png" szerokość="169" wysokość="69"> , skąd

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rozwiązanie. Umieśćmy 6x w nawiasach po lewej stronie równania i 2x po prawej stronie. Otrzymujemy równanie 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Ponieważ 2x > 0 dla wszystkich x, możemy podzielić obie strony tego równania przez 2x bez obawy o utratę rozwiązań. Otrzymujemy 3x = 1ó x = 0.

3.

Rozwiązanie. Rozwiążmy równanie metodą faktoryzacji.

Wybierzmy kwadrat dwumianu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" szerokość="500" wysokość="181">

x = -2 jest pierwiastkiem równania.

Równanie x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Próba nr 6 Poziom ogólny.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Wykładniczy – równania potęgowe.

Do równań wykładniczych sąsiadują tzw. równania potęg wykładniczych, czyli równania postaci (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jeżeli wiadomo, że f(x)>0 i f(x) ≠ 1, to równanie, podobnie jak wykładnicze, rozwiązuje się przez przyrównanie wykładników g(x) = f(x).

Jeżeli warunek nie wyklucza możliwości f(x)=0 i f(x)=1, to przy rozwiązywaniu równania wykładniczego musimy uwzględnić te przypadki.

1..png" szerokość="182" wysokość="116 src=">

2.

Rozwiązanie. x2 +2x-8 – ma sens dla dowolnego x, ponieważ jest wielomianem, co oznacza, że ​​równanie jest równoważne całości

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" szerokość="137" wysokość="35">

B)

7. Równania wykładnicze z parametrami.

1. Dla jakich wartości parametru p równanie 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) ma jednoznaczne rozwiązanie?

Rozwiązanie. Wprowadźmy podstawienie 2x = t, t > 0, wówczas równanie (1) przyjmie postać t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Dyskryminator równania (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Równanie (1) ma unikalne rozwiązanie, jeśli równanie (2) ma jeden pierwiastek dodatni. Jest to możliwe w następujących przypadkach.

1. Jeżeli D = 0, czyli p = 1, to równanie (2) przyjmie postać t2 – 2t + 1 = 0, stąd t = 1, zatem równanie (1) ma jednoznaczne rozwiązanie x = 0.

2. Jeżeli p1, to 9(p – 1)2 > 0, to równanie (2) ma dwa różne pierwiastki t1 = p, t2 = 4p – 3. Warunki zadania spełnia zbiór układów

Podstawiając t1 i t2 do systemów, mamy

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rozwiązanie. Pozwalać wówczas równanie (3) przyjmie postać t2 – 6t – a = 0. (4)

Znajdźmy wartości parametru a, dla których przynajmniej jeden pierwiastek równania (4) spełnia warunek t > 0.

Wprowadźmy funkcję f(t) = t2 – 6t – a. Możliwe są następujące przypadki.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Przypadek 2. Równanie (4) ma unikalne dodatnie rozwiązanie, jeśli

D = 0, jeśli a = – 9, to równanie (4) przyjmie postać (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Przypadek 3. Równanie (4) ma dwa pierwiastki, ale jeden z nich nie spełnia nierówności t > 0. Jest to możliwe jeżeli

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Zatem dla a 0 równanie (4) ma jeden dodatni pierwiastek . Wtedy równanie (3) ma unikalne rozwiązanie

Kiedy A< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jeśli< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jeśli a = – 9, to x = – 1;

jeśli  0, to

Porównajmy metody rozwiązywania równań (1) i (3). Należy zauważyć, że przy rozwiązywaniu równania (1) zostało zredukowane do równania kwadratowego, którego wyróżnikiem jest idealny kwadrat; Zatem od razu obliczono pierwiastki równania (2) korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, a następnie wyciągnięto wnioski dotyczące tych pierwiastków. Równanie (3) zostało zredukowane do równania kwadratowego (4), którego wyróżnik nie jest idealnym kwadratem, dlatego przy rozwiązywaniu równania (3) wskazane jest skorzystanie z twierdzeń o położeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego oraz model graficzny. Należy zauważyć, że równanie (4) można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety.

Rozwiążmy bardziej złożone równania.

Zadanie 3: Rozwiąż równanie

Rozwiązanie. ODZ: x1, x2.

Wprowadźmy zamiennik. Niech 2x = t, t > 0, to w wyniku przekształceń równanie przyjmie postać t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Znajdźmy wartości a, dla których co najmniej jeden pierwiastek z równanie (*) spełnia warunek t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odpowiedź: jeśli a > – 13, a  11, a  5, to jeśli a – 13,

a = 11, a = 5, to nie ma pierwiastków.

Wykaz używanej literatury.

1. Guzeev podstawy technologii edukacyjnej.

2. Technologia Guzeeva: od recepcji do filozofii.

M. „Dyrektor Szkoły” nr 4, 1996

3. Guzeev i formy organizacyjne szkolenia.

4. Guzeev i praktyka integralnej technologii edukacyjnej.

M. „Edukacja publiczna”, 2001

5. Guzeev z form lekcji - seminarium.

Matematyka w szkole nr 2, 1987 s. 9 – 11.

6. Technologie edukacyjne Seleuko.

M. „Edukacja publiczna”, 1998

7. Uczniowie Episheva uczą się matematyki.

M. „Oświecenie”, 1990

8. Ivanova przygotowuje lekcje - warsztaty.

Matematyka w szkole nr 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnowowski model nauczania matematyki.

Matematyka w szkole nr 1, 1997 s. 32 – 36.

10. Sposoby organizacji pracy praktycznej Tarasenko.

Matematyka w szkole nr 1, 1993 s. 27 – 28.

11. O jednym z rodzajów pracy indywidualnej.

Matematyka w szkole nr 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Zdolności twórcze uczniów Khazankina.

Matematyka w szkole nr 2, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Wydawca, 1997

14. i inne Algebra i początki analizy. Materiały dydaktyczne dot

15. Zadania Krivonogova w matematyce.

M. „Pierwszy września”, 2002

16. Czerkasow. Podręcznik dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i

wchodząc na uniwersytety. „AS T – szkoła prasowa”, 2002

17. Żewniak dla osób rozpoczynających naukę na uniwersytetach.

„Przegląd” Mińska i Federacji Rosyjskiej, 1996

18. Pisemne D. Przygotowujemy się do egzaminu z matematyki. M.Rolf, 1999

19. itd. Nauka rozwiązywania równań i nierówności.

M. „Intelekt – Centrum”, 2003

20. itd. Materiały edukacyjne i szkoleniowe dotyczące przygotowania do EGE.

M. „Wywiad – Centrum”, 2003 i 2004.

21 i inne opcje CMM. Centrum Testowe Ministerstwa Obrony Federacji Rosyjskiej, 2002, 2003.

22. Równania Goldberga. „Kwant” nr 3, 1971

23. Volovich M. Jak skutecznie uczyć matematyki.

Matematyka, 1997 nr 3.

24 Okunev na lekcję, dzieci! M. Edukacja, 1988

25. Yakimanskaya - nauka zorientowana w szkole.

26. Ograniczenia pracy na zajęciach. M. Wiedza, 1975

Wejdź na kanał YouTube naszej witryny i bądź na bieżąco ze wszystkimi nowymi lekcjami wideo.

Na początek przypomnijmy sobie podstawowe wzory na potęgi i ich własności.

Iloczyn liczby A występuje n razy samo w sobie, możemy zapisać to wyrażenie jako a… a=a n

1. za 0 = 1 (za ≠ 0)

3. za n za m = za n + m

4. (a n) m = an nm

5. za n b n = (ab) n

7. za n / do m = za n - m

Równania potęgowe lub wykładnicze– są to równania, w których zmienne są w postaci potęg (lub wykładników), a podstawą jest liczba.

Przykłady równań wykładniczych:

W tym przykładzie liczba 6 jest podstawą; zawsze znajduje się na dole i jest zmienną X stopień lub wskaźnik.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Ten przykład można rozwiązać nawet w głowie. Można zauważyć, że x=3. W końcu, aby lewa i prawa strona były równe, musisz wstawić liczbę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak sformalizować tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać takie równanie, usunęliśmy identyczne podstawy(czyli dwójki) i spisałem to, co zostało, są to stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz naszą decyzję.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Trzeba sprawdzić identyczny czy równanie ma podstawy po prawej i lewej stronie. Jeśli przyczyny nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy staną się takie same, zrównać stopni i rozwiąż powstałe nowe równanie.

Teraz spójrzmy na kilka przykładów:

Zacznijmy od czegoś prostego.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe cyfrze 2, co oznacza, że ​​możemy odrzucić bazę i zrównać ich siły.

x+2=4 Otrzymuje się najprostsze równanie.
x=4 – 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne: 3 i 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Najpierw przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2. Skorzystajmy ze wzoru na potęgę (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Otrzymujemy 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Teraz jest jasne, że po lewej i prawej stronie podstawy są takie same i równe trzy, co oznacza, że ​​możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 otrzymujemy najprostsze równanie
3x - 2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Przede wszystkim patrzymy na podstawy, podstawy dwie i cztery. I potrzebujemy, żeby były takie same. Przekształcamy tę czwórkę za pomocą wzoru (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednego wzoru a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie mamy powtórzone 2 2x, oto odpowiedź - możemy wyjąć 2 2x z nawiasów:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraźmy sobie 4=2 2:

2 2x = 2 2 podstawy są takie same, odrzucamy je i przyrównujemy stopnie.
2x = 2 to najprostsze równanie. Podziel to przez 2 i otrzymamy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x – 12*3 x +27= 0

Przeliczmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nasze podstawy są takie same, równe trzy. W tym przykładzie widać, że pierwsze trzy mają stopień dwa razy (2x) niż drugie (tylko x). W takim przypadku możesz rozwiązać metoda wymiany. Zastępujemy liczbę najmniejszym stopniem:

Wtedy 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Zastępujemy wszystkie potęgi x w równaniu przez t:

t2 - 12t+27 = 0
Otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Wracając do zmiennej X.

Weź t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Dlatego,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x2 = 1
Odpowiedź: x 1 = 2; x2 = 1.

Na stronie możesz zadawać interesujące Cię pytania w sekcji POMÓŻ W DECYZJI, na pewno Ci odpowiemy.

Dołącz do grupy

Przykłady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Rozwiązując dowolne równanie wykładnicze staramy się doprowadzić je do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\), a następnie dokonać przejścia do równości wykładników, czyli:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na przykład:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Ważny! Z tej samej logiki wynikają dwa wymagania dotyczące takiego przejścia:
- numer w lewy i prawy powinny być takie same;
- stopnie po lewej i prawej stronie muszą być „czyste”, to znaczy nie powinno być mnożenia, dzielenia itp.

Na przykład:

Aby sprowadzić równanie do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\) i stosuje się.

Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Rozwiązanie:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wiemy, że \(27 = 3^3\). Biorąc to pod uwagę, przekształcamy równanie.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Z właściwości pierwiastka \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) otrzymujemy, że \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^(\frac(1)(2))\). Następnie, korzystając z własności stopnia \((a^b)^c=a^(bc)\), otrzymujemy \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wiemy również, że \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Stosując to do lewej strony, otrzymujemy: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Teraz pamiętaj o tym: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Formuły tej można także użyć w odwrotnym kierunku: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Następnie \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Stosując własność \((a^b)^c=a^(bc)\) do prawej strony, otrzymujemy: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A teraz nasze podstawy są równe i nie ma współczynników zakłócających itp. Możemy więc dokonać przejścia.
		Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Rozwiązanie: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Ponownie używamy właściwości potęgi \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) w przeciwnym kierunku. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Teraz pamiętaj o tym \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Korzystając z właściwości stopni, przekształcamy: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Przyglądamy się uważnie równaniu i widzimy, że zamiana \(t=2^x\) sugeruje się sama. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Jednak znaleźliśmy wartości \(t\) i potrzebujemy \(x\). Wracamy do X, dokonując odwrotnej zamiany. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Przekształćmy drugie równanie, korzystając z właściwości potęgi ujemnej... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i decydujemy aż do odpowiedzi. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odpowiedź : \(-1; 1\). Pozostaje pytanie - jak zrozumieć, kiedy zastosować którą metodę? To przychodzi z doświadczeniem. Dopóki tego nie opracujesz, stosuj ogólne zalecenie dotyczące rozwiązywania złożonych problemów – „jeśli nie wiesz, co robić, rób, co możesz”. Oznacza to, że poszukaj, jak w zasadzie możesz przekształcić równanie i spróbuj to zrobić - a co jeśli co się stanie? Najważniejsze jest, aby dokonywać wyłącznie przekształceń matematycznych. Równania wykładnicze bez rozwiązań Przyjrzyjmy się jeszcze dwóm sytuacjom, które często dezorientują uczniów: - liczba dodatnia do potęgi jest równa zero, na przykład \(2^x=0\); - liczba dodatnia jest równa potęgi liczby ujemnej, na przykład \(2^x=-4\). Spróbujmy rozwiązać brutalną siłą. Jeśli x jest liczbą dodatnią, to w miarę wzrostu x cała potęga \(2^x\) będzie tylko wzrastać: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Również przez. Pozostaje ujemne X. Pamiętając o własności \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sprawdzamy: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Mimo że z każdym krokiem liczba ta maleje, nigdy nie osiągnie zera. Zatem stopień ujemny nas nie uratował. Dochodzimy do logicznego wniosku: Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu pozostanie liczbą dodatnią. Zatem oba powyższe równania nie mają rozwiązań. Równania wykładnicze o różnych podstawach W praktyce czasami spotykamy się z równaniami wykładniczymi o różnych podstawach, które nie są do siebie redukowalne, a jednocześnie o tych samych wykładnikach. Wyglądają one tak: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami dodatnimi. Na przykład: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takie równania można łatwo rozwiązać, dzieląc przez dowolną stronę równania (najczęściej przez prawą stronę, czyli przez \(b^(f(x))\). Można dzielić w ten sposób, ponieważ liczba dodatnia jest dodatnia do dowolnej potęgi (to znaczy, że nie dzielimy przez zero). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Rozwiązanie: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Tutaj nie uda nam się zamienić piątki na trójkę i odwrotnie (przynajmniej bez użycia ). Oznacza to, że nie możemy dojść do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Jednak wskaźniki są takie same. Podzielmy równanie przez prawą stronę, czyli przez \(3^(x+7)\) (możemy to zrobić, bo wiemy, że trzy nie będzie w żadnym stopniu równe zero). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Teraz zapamiętaj właściwość \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i użyj jej po lewej stronie w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie po prostu zmniejszamy ułamek. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Wydawać by się mogło, że sytuacja nie uległa poprawie. Pamiętaj jednak o jeszcze jednej właściwości potęgi: \(a^0=1\), innymi słowy: „każda liczba do potęgi zerowej jest równa \(1\).” Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: „jeden można przedstawić jako dowolną liczbę do potęgi zerowej”. Skorzystajmy z tego, tworząc podstawę po prawej stronie taką samą jak po lewej stronie. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Pozbądźmy się podstaw. Piszemy odpowiedź. Odpowiedź : \(-7\). Czasami „identyczność” wykładników nie jest oczywista, ale umiejętne wykorzystanie właściwości wykładników rozwiązuje ten problem. Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rozwiązanie: \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Równanie wygląda bardzo smutno... Nie tylko nie można sprowadzić podstaw do tej samej liczby (siedem w żadnym wypadku nie będzie równe \(\frac(1)(3)\)), ale także wykładniki są różne. .. Użyjmy jednak lewego wykładnika dwójki. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Pamiętając o własności \((a^b)^c=a^(b·c)\) , przekształcamy od lewej: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Teraz, pamiętając o własności stopnia ujemnego \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), przekształcamy od prawej strony: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Alleluja! Wskaźniki są takie same! Działając według znanego nam schematu, rozwiązujemy przed odpowiedzią. Odpowiedź : \(2\).

Jest to nazwa równań w postaci, w której niewiadoma występuje zarówno w wykładniku, jak i w podstawie potęgi.

Można określić całkowicie przejrzysty algorytm rozwiązywania równania postaci. Aby to zrobić, musisz zwrócić uwagę na fakt, kiedy Oh) nie równa zero, jeden i minus jeden, równość stopni o tych samych podstawach (czy to dodatnia, czy ujemna) jest możliwa tylko wtedy, gdy wykładniki są równe, to znaczy wszystkie pierwiastki równania będą pierwiastkami równania f(x) = g(x) Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe, kiedy Oh)< 0 i wartości ułamkowe k(x) I g(x) wyrażenia Oh) k(x) I

Oh) g(x) tracą sens. To znaczy, kiedy przechodzisz z do f(x) = g(x)(mogą pojawić się obce pierwiastki, które należy wykluczyć, sprawdzając z oryginalnym równaniem. I przypadki a = 0, a = 1, a = -1 należy rozpatrywać osobno.

Aby całkowicie rozwiązać równanie, rozważamy przypadki:

a(x) = O k(x) I g(x) będą liczbami dodatnimi, to jest rozwiązanie. W W przeciwnym razie, NIE

a(x) = 1. Pierwiastki tego równania są także pierwiastkami pierwotnego równania.

a(x) = -1. Jeżeli dla wartości x spełniającej to równanie, k(x) I g(x) są liczbami całkowitymi o tej samej parzystości (obie parzyste lub obie nieparzyste), to jest to rozwiązanie. W przeciwnym razie nie

Kiedy i rozwiązujemy równanie f(x)= g(x) i podstawiając otrzymane wyniki do pierwotnego równania, odcinamy zewnętrzne pierwiastki.

Przykłady rozwiązywania równań potęg wykładniczych.

Przykład nr 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. ponieważ 3 > 0 i 3 2 > 0, wówczas rozwiązaniem jest x 1 = 3.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Obydwa wskaźniki są parzyste. To rozwiązanie to x 3 = 1.

4) x - 3? 0 i x? ± 1. x = x 2, x = 0 lub x = 1. Dla x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - to rozwiązanie jest poprawne: x 4 = 0. Dla x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - to rozwiązanie jest poprawne x 5 = 1.

Odpowiedź: 0, 1, 2, 3, 4.

Przykład nr 2.

Z definicji arytmetycznego pierwiastka kwadratowego: x - 1? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 lub x = 1, = 0, 0 0 nie jest rozwiązaniem.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 nie mieści się w ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - nie ma pierwiastków.