Podatki i opłaty
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”

A dla tych, którzy „bardzo…”)

Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba jest większa (lub mniejsza) od poprzedniej o tę samą kwotę.

Temat ten często wydaje się skomplikowany i niezrozumiały. Indeksy liter, n-ty wyraz progresji, różnica progresji - wszystko to jest w jakiś sposób mylące, tak... Ustalmy znaczenie postępu arytmetycznego i od razu wszystko się poprawi.)

Pojęcie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny jest pojęciem bardzo prostym i przejrzystym. Czy masz jakieś wątpliwości? Na próżno.) Przekonaj się sam.

1, 2, 3, 4, 5, ...

Napiszę niedokończony ciąg liczb:

Czy możesz przedłużyć tę serię? Jakie liczby będą następne, po piątce? Wszyscy… hm… w skrócie, wszyscy zorientują się, że liczby 6, 7, 8, 9 itd. będą następne.

2, 5, 8, 11, 14, ...

Skomplikujmy zadanie. Podaję niedokończony ciąg liczb: Będziesz mógł złapać wzór, rozszerzyć serię i nazwać siódmy

numer wiersza? Jeśli zdałeś sobie sprawę, że ta liczba to 20, gratulacje! Nie tylko ty to czułeś kluczowe punkty postępu arytmetycznego,

ale także z sukcesem wykorzystał je w biznesie! Jeśli jeszcze tego nie zrozumiałeś, czytaj dalej.

Teraz przełóżmy kluczowe punkty z wrażeń na matematykę.)

Pierwszy kluczowy punkt. Postęp arytmetyczny dotyczy szeregów liczb.

Na początku jest to mylące. Jesteśmy przyzwyczajeni do rozwiązywania równań, rysowania wykresów i tak dalej... Ale tutaj przedłużamy szereg, znajdujemy numer szeregu...

Jest w porządku. Tyle, że progresje to pierwsza znajomość z nową gałęzią matematyki. Sekcja nosi nazwę „Seria” i działa w szczególności z seriami liczb i wyrażeń. Przyzwyczaić się do tego.)

Drugi kluczowy punkt. W postępie arytmetycznym każda liczba różni się od poprzedniej

o tę samą kwotę.

W pierwszym przykładzie różnica ta wynosi jeden. Bez względu na to, jaką liczbę wybierzesz, będzie ona o jeden większa od poprzedniej. W drugim - trzy. Dowolna liczba jest o trzy większa od poprzedniej. Właściwie to właśnie ten moment daje nam możliwość uchwycenia wzoru i obliczenia kolejnych liczb.

Trzeci kluczowy punkt. Ten moment nie jest uderzający, to prawda... Ale jest bardzo, bardzo ważny. Oto ona: Jest pierwsza liczba, jest siódma, jest czterdziesta piąta itd. Jeśli losowo je pomieszasz, wzór zniknie. Zniknie także postęp arytmetyczny. Pozostała tylko seria liczb.

O to właśnie chodzi.

Oczywiście w nowym temacie pojawiają się nowe terminy i oznaczenia. Musisz je poznać. Inaczej nie zrozumiesz zadania. Na przykład będziesz musiał zdecydować o czymś takim:

Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (a n), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirujesz?) Listy, jakieś indeksy... A zadanie, swoją drogą, nie mogło być prostsze. Musisz tylko zrozumieć znaczenie terminów i oznaczeń. Teraz opanujemy tę sprawę i wrócimy do zadania.

Terminy i oznaczenia.

Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba różni się od poprzedniej W postępie arytmetycznym każda liczba różni się od poprzedniej

Ta ilość nazywa się . Przyjrzyjmy się tej koncepcji bardziej szczegółowo.

Różnica postępu arytmetycznego.

Różnica postępu arytmetycznego to kwota, o jaką dowolny numer progresji więcej poprzedni.

Jeden ważny punkt. Proszę zwrócić uwagę na słowo "więcej". Matematycznie oznacza to, że każdy numer progresji jest dodając różnica postępu arytmetycznego do poprzedniej liczby.

Powiedzmy, że do obliczenia drugi numery serii, musisz Pierwszy numer dodać właśnie tę różnicę w postępie arytmetycznym. Do obliczeń piąty- różnica jest konieczna dodać Do czwarty, cóż, itp.

Różnica postępu arytmetycznego Może pozytywny, wtedy każda liczba w szeregu okaże się prawdziwa więcej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się wzrastający. Na przykład:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tutaj uzyskuje się każdą liczbę dodając liczba dodatnia, +5 do poprzedniej.

Różnica może być negatywny, wtedy każda liczba w serii będzie mniej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się (nie uwierzysz!) malejące.

Na przykład:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tutaj również uzyskuje się każdą liczbę dodając do poprzedniej, ale już liczbą ujemną, -5.

Swoją drogą, pracując z progresją, bardzo przydatne jest od razu określenie jej charakteru – czy jest ona rosnąca, czy malejąca. To bardzo pomaga w podjęciu decyzji, dostrzeżeniu błędów i skorygowaniu ich, zanim będzie za późno.

Różnica postępu arytmetycznego zwykle oznaczone literą D.

Jak znaleźć D? Bardzo proste. Konieczne jest odjęcie od dowolnej liczby w serii poprzedni numer. Odejmować. Nawiasem mówiąc, wynik odejmowania nazywa się „różnicą”).

Zdefiniujmy np. D dla zwiększenia postępu arytmetycznego:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Bierzemy dowolną liczbę z szeregu, na przykład 11. Odejmujemy od niej poprzedni numer te. 8:

To jest poprawna odpowiedź. W przypadku tego postępu arytmetycznego różnica wynosi trzy.

Możesz to wziąć dowolny numer progresji, ponieważ dla konkretnego postępu D-zawsze taki sam. Przynajmniej gdzieś na początku rzędu, przynajmniej w środku, przynajmniej gdziekolwiek. Nie możesz wziąć tylko pierwszej cyfry. Po prostu dlatego, że jest to pierwsza liczba żadnego poprzedniego.)

Swoją drogą, wiedząc to d=3, znalezienie siódmej liczby tego ciągu jest bardzo proste. Do piątej liczby dodajemy 3 – otrzymamy szóstą, będzie to 17. Do szóstej liczby dodamy trzy, otrzymamy siódmą liczbę – dwadzieścia.

Zdefiniujmy D dla malejącego postępu arytmetycznego:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Przypominam, że niezależnie od znaków, należy ustalić D potrzebujesz z dowolnego numeru usuń poprzednią. Wybierz dowolny numer progresji, na przykład -7. Jego poprzednia liczba to -2. Następnie:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Różnicą ciągu arytmetycznego może być dowolna liczba: całkowita, ułamkowa, niewymierna, dowolna liczba.

Inne terminy i oznaczenia.

Każdy numer w serii jest wywoływany członek ciągu arytmetycznego.

Każdy członek postępu ma swój numer. Liczby są ściśle uporządkowane, bez żadnych sztuczek. Pierwszy, drugi, trzeci, czwarty itd. Na przykład w progresji 2, 5, 8, 11, 14, ... dwa to pierwszy wyraz, pięć to drugi, jedenaście to czwarty, cóż, rozumiesz...) Proszę jasno zrozumieć - same liczby może być absolutnie wszystko, całe, ułamkowe, ujemne, cokolwiek, ale numeracja liczb- ściśle w porządku!

Jak napisać progresję w formie ogólnej? Bez pytania! Każda liczba w serii jest zapisana jako litera. Do oznaczenia postępu arytmetycznego zwykle używa się litery A. Numer członkowski jest oznaczony indeksem w prawym dolnym rogu. Terminy piszemy oddzielone przecinkami (lub średnikami), w następujący sposób:

1, 2, 3, 4, 5,.....

1- to jest pierwsza liczba, 3- trzeci itd. Nic nadzwyczajnego. Serię tę można w skrócie zapisać w następujący sposób: (jakiś).

Progresje się zdarzają skończone i nieskończone.

Ostateczny progresja ma ograniczoną liczbę członków. Pięć, trzydzieści osiem, nieważne. Ale to liczba skończona.

Nieskończony progresja - ma nieskończoną liczbę członków, jak można się domyślić.)

Możesz napisać końcowy postęp w serii w ten sposób, ze wszystkimi terminami i kropką na końcu:

1, 2, 3, 4, 5.

Lub w ten sposób, jeśli jest wielu członków:

1, 2, ... 14, 15.

W krótkim wpisie będziesz musiał dodatkowo wskazać liczbę członków. Na przykład (dla dwudziestu członków):

(n), n = 20

Nieskończony postęp można rozpoznać po elipsie na końcu wiersza, jak w przykładach z tej lekcji.

Teraz możesz rozwiązać zadania. Zadania są proste i służą wyłącznie zrozumieniu znaczenia ciągu arytmetycznego.

Przykłady zadań z postępu arytmetycznego.

Przyjrzyjmy się szczegółowo zadaniu podanemu powyżej:

1. Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (an), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.

Przetłumaczymy zadanie na zrozumiały język. Dany jest nieskończony postęp arytmetyczny. Znana jest druga liczba tej progresji: za 2 = 5. Znana jest różnica w postępie: d = -2,5. Musimy znaleźć pierwszy, trzeci, czwarty, piąty i szósty wyraz tej progresji.

Dla jasności napiszę serię zgodnie z warunkami problemu. Pierwsze sześć terminów, gdzie drugi termin to pięć:

1,5,3,4,5,6,....

3 = 2 + D

Zastąp wyrażeniem za 2 = 5 I d = -2,5. Nie zapomnij o minusie!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trzeci termin okazał się mniejszy niż drugi. Wszystko jest logiczne. Jeśli liczba jest większa niż poprzednia negatywny wartość, co oznacza, że ​​​​sama liczba będzie mniejsza niż poprzednia. Postęp maleje. OK, weźmy to pod uwagę.) Liczymy czwarty wyraz naszego szeregu:

4 = 3 + D

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + D

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + D

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Obliczono więc terminy od trzeciego do szóstego. Rezultatem jest następująca seria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Pozostaje znaleźć pierwszy wyraz 1 według dobrze znanego drugiego. To krok w drugą stronę, w lewo.) Czyli różnica ciągu arytmetycznego D nie należy dodawać 2, A zabierać:

1 = 2 - D

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To wszystko. Odpowiedź na zadanie:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na marginesie chciałbym zauważyć, że rozwiązaliśmy to zadanie powtarzający się sposób. To straszne słowo oznacza jedynie poszukiwanie członka progresji zgodnie z poprzednim (sąsiednim) numerem. Poniżej przyjrzymy się innym sposobom pracy z progresją.

Z tego prostego zadania można wyciągnąć jeden ważny wniosek.

Pamiętać:

Jeśli znamy choć jeden wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, to możemy znaleźć dowolny wyraz tego ciągu.

pamiętasz? Ten prosty wniosek pozwala rozwiązać większość problemów kursu szkolnego na ten temat. Wszystkie zadania skupiają się wokół trzech głównych parametrów: element postępu arytmetycznego, różnica w postępie, numer elementu ciągu. Wszystko.

Oczywiście cała poprzednia algebra nie jest anulowana.) Nierówności, równania i inne rzeczy są powiązane z progresją. Ale zgodnie z samym postępem- wszystko kręci się wokół trzech parametrów.

Jako przykład przyjrzyjmy się niektórym popularnym zadaniom na ten temat.

2. Zapisz skończony postęp arytmetyczny w postaci szeregu, jeśli n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.

Tutaj wszystko jest proste. Wszystko zostało już dane. Trzeba pamiętać, jak liczone są elementy ciągu arytmetycznego, liczyć je i zapisywać. Wskazane jest, aby nie pominąć słów w warunkach zadania: „końcowy” i „ n=5”. Aby nie liczyć, dopóki nie zrobi ci się całkowicie siny na twarzy.) W tej progresji jest tylko 5 (pięciu) członków:

za 2 = za 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

za 3 = za 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Pozostaje zapisać odpowiedź:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Kolejne zadanie:

3. Ustal, czy liczba 7 będzie członkiem ciągu arytmetycznego (an), jeśli a1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kto wie? Jak coś ustalić?

Jak-jak... Zapisz progresję w formie serii i zobacz, czy będzie tam siódemka, czy nie! Liczymy:

za 2 = za 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

za 3 = za 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz wyraźnie widać, że mamy dopiero siedem lat prześliznął się między 6,5 a 7,7! Siedem nie mieściło się w naszym szeregu liczb, a zatem siedem nie będzie członkiem danej progresji.

Odpowiedź: nie.

A oto problem oparty na prawdziwej wersji GIA:

4. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:

...; 15; X; 9; 6; ...

Oto seria napisana bez końca i początku. Żadnych numerów członkowskich, żadnej różnicy D. Jest w porządku. Aby rozwiązać problem, wystarczy zrozumieć znaczenie ciągu arytmetycznego. Spójrzmy i zobaczmy, co jest możliwe wiedzieć z tej serii? Jakie są trzy główne parametry?

Numery członkowskie? Nie ma tu ani jednej liczby.

Ale są trzy liczby i - uwaga! - słowo "spójny" w stanie. Oznacza to, że liczby są ściśle uporządkowane, bez przerw. Czy w tym rzędzie jest dwóch? sąsiedni znane liczby? Tak, mam! Są to 9 i 6. Możemy zatem obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego! Odejmij od sześciu poprzedni numer, tj. dziewięć:

Pozostały już tylko drobnostki. Jaka liczba będzie poprzednia dla X? Piętnaście. Oznacza to, że X można łatwo znaleźć poprzez proste dodanie. Dodaj różnicę postępu arytmetycznego do 15:

To wszystko. Odpowiedź: x=12

Sami rozwiązujemy następujące problemy. Uwaga: te problemy nie są oparte na wzorach. Czysto po to, żeby zrozumieć znaczenie postępu arytmetycznego.) Po prostu zapisujemy serię cyfr i liter, patrzymy i wymyślamy.

5. Znajdź pierwszy dodatni wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli a 5 = -3; d = 1,1.

6. Wiadomo, że liczba 5,5 należy do ciągu arytmetycznego (an), gdzie a 1 = 1,6; d = 1,3. Określ liczbę n tego elementu.

7. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 4; za 5 = 15,1. Znajdź 3.

8. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Znajdź termin progresji wskazany literą x.

9. Pociąg ruszył ze stacji, równomiernie zwiększając prędkość o 30 metrów na minutę. Jaka będzie prędkość pociągu za pięć minut? Podaj odpowiedź w km/h.

10. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 5; za 6 = -5. Znajdź 1.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Czy wszystko się udało? Niesamowity! Na kolejnych lekcjach możesz opanować progresję arytmetyczną na wyższym poziomie.

Czy nie wszystko się udało? Bez problemu. W sekcji specjalnej 555 wszystkie te problemy są rozwiązywane kawałek po kawałku.) I oczywiście opisano prostą, praktyczną technikę, która natychmiast jasno, wyraźnie i na pierwszy rzut oka podkreśla rozwiązanie takich zadań!

Nawiasem mówiąc, w układance pociągu są dwa problemy, o które ludzie często się potykają. Jeden dotyczy wyłącznie postępów, a drugi jest ogólny dla wszelkich problemów z matematyki, a także fizyki. Jest to tłumaczenie wymiarów z jednego na drugi. Pokazuje, jak rozwiązać te problemy.

Na tej lekcji przyjrzeliśmy się elementarnemu znaczeniu ciągu arytmetycznego i jego głównym parametrom. To wystarczy, aby rozwiązać prawie wszystkie problemy na ten temat. Dodać D do liczb, napisz serię, wszystko zostanie rozwiązane.

Rozwiązanie z palcami sprawdza się w przypadku bardzo krótkich fragmentów rzędu, jak w przykładach z tej lekcji. Jeżeli szereg jest dłuższy, obliczenia stają się bardziej skomplikowane. Na przykład, jeśli w zadaniu 9 w pytaniu zastępujemy „pięć minut” NA „trzydzieści pięć minut” problem znacznie się pogorszy.)

Są też zadania, które w istocie są proste, ale absurdalne pod względem obliczeniowym, na przykład:

Dany jest postęp arytmetyczny (an). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.

I co, będziemy dodawać 1/6 wiele, wiele razy?! Możesz się zabić!?

Możesz.) Jeśli nie znasz prostej formuły, dzięki której możesz rozwiązać takie zadania w ciągu minuty. Ta formuła będzie na następnej lekcji. I tam ten problem został rozwiązany. Za minutę.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Poziom wejścia

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:

Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.

Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego dziesiątego wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:

Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego:


Innymi słowy:

Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.

Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:

Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy po kolei wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę – sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:

Od tego czasu:

Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:

Niech więc:

Absolutna prawda. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.

Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

• poprzedni termin progresji to:
• kolejny wyraz progresji to:

Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:

Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.

Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.

Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...

Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, zadał im w klasie następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…

Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?

Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się uważnie podświetlonym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne.


Czy próbowałeś? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe

A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.

Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?

W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraźmy sobie na przykład starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowę piramidy... Zdjęcie przedstawia jedną jej stronę.

Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy.


Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?

W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:

Szkolenie

Zadania:

1. Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
2. Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
3. Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?

Odpowiedzi:

1. Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
   (tygodnie = dni).

   Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.

2. Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
   Różnica postępu arytmetycznego.
   Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:

   Liczby zawierają liczby nieparzyste.
   Podstawmy dostępne dane do wzoru:

   Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.

3. Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
   Podstawiamy dane do wzoru:

   Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumujmy to

1. - ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
2. Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
3. Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
4. Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
   
   , gdzie jest liczbą wartości.

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. POZIOM ŚREDNI

Sekwencja numerów

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła jest następującą sekwencją:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).

formuła n-tego terminu

Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:

Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Jaki? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:

Teraz znacznie wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:

(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).

Zatem formuła:

Wtedy setny wyraz jest równy:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Formuła wyrazu VII dla tej progresji:

Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

1. Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile łącznie kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km m?
2. Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
3. Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

1. Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
   .
   Odpowiedź:
2. Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
   Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
   .
   Zastąp wartości:

   Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
   Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
   (km).
   Odpowiedź:

3. Dany: . Znajdować: .
   To nie może być prostsze:
   (pocierać).
   Odpowiedź:

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:

Gdzie jest liczba wartości.

Gdzie jest liczba wartości.

Poziom wejścia

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:

Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.

Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego dziesiątego wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:

Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego:


Innymi słowy:

Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.

Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:

Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy po kolei wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę – sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:

Od tego czasu:

Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:

Niech więc:

Absolutna prawda. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.

Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

• poprzedni termin progresji to:
• kolejny wyraz progresji to:

Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:

Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.

Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.

Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...

Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, zadał im w klasie następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…

Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?

Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się uważnie podświetlonym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne.


Czy próbowałeś? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe

A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.

Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?

W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraźmy sobie na przykład starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowę piramidy... Zdjęcie przedstawia jedną jej stronę.

Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy.


Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?

W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:

Szkolenie

Zadania:

1. Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
2. Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
3. Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?

Odpowiedzi:

1. Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
   (tygodnie = dni).

   Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.

2. Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
   Różnica postępu arytmetycznego.
   Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:

   Liczby zawierają liczby nieparzyste.
   Podstawmy dostępne dane do wzoru:

   Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.

3. Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
   Podstawiamy dane do wzoru:

   Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumujmy to

1. - ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
2. Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
3. Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
4. Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
   
   , gdzie jest liczbą wartości.

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. POZIOM ŚREDNI

Sekwencja numerów

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła jest następującą sekwencją:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).

formuła n-tego terminu

Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:

Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Jaki? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:

Teraz znacznie wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:

(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).

Zatem formuła:

Wtedy setny wyraz jest równy:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Formuła wyrazu VII dla tej progresji:

Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

1. Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile łącznie kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km m?
2. Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
3. Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

1. Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
   .
   Odpowiedź:
2. Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
   Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
   .
   Zastąp wartości:

   Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
   Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
   (km).
   Odpowiedź:

3. Dany: . Znajdować: .
   To nie może być prostsze:
   (pocierać).
   Odpowiedź:

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:

Gdzie jest liczba wartości.

Gdzie jest liczba wartości.

Postęp arytmetyczny nazwać ciąg liczb (warunki progresji)

W którym każdy kolejny termin różni się od poprzedniego nowym terminem, który jest również nazywany różnica stopnia lub progresji.

Zatem określając krok progresji i jego pierwszy człon, za pomocą wzoru można znaleźć dowolny jego element

Własności ciągu arytmetycznego

1) Każdy członek ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiej liczby, jest średnią arytmetyczną poprzednich i kolejnych członków ciągu arytmetycznego

Odwrotna sytuacja jest również prawdą. Jeśli średnia arytmetyczna sąsiednich wyrazów nieparzystych (parzystych) ciągu jest równa wyrazowi znajdującemu się między nimi, to ten ciąg liczb jest postępem arytmetycznym. Korzystając z tego stwierdzenia, bardzo łatwo jest sprawdzić dowolną sekwencję.

Ponadto, dzięki właściwości postępu arytmetycznego, powyższy wzór można uogólnić na następujący

Łatwo to sprawdzić, pisząc wyrazy po prawej stronie znaku równości

Jest często stosowany w praktyce w celu uproszczenia obliczeń w problemach.

2) Sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się ze wzoru

Zapamiętaj dobrze wzór na sumę postępu arytmetycznego; jest on niezbędny w obliczeniach i dość często spotykany w prostych sytuacjach życiowych.

3) Jeśli chcesz znaleźć nie całą sumę, ale część ciągu zaczynając od jego k-tego wyrazu, przyda Ci się następujący wzór na sumę

4) Praktyczne znaczenie ma znalezienie sumy n wyrazów ciągu arytmetycznego zaczynając od k-tej liczby. Aby to zrobić, użyj formuły

Na tym kończy się materiał teoretyczny i przechodzi się do rozwiązywania typowych problemów w praktyce.

Przykład 1. Znajdź czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego 4;7;...

Rozwiązanie:

Według stanu jaki mamy

Określmy krok progresji

Korzystając ze znanego wzoru, znajdujemy czterdziesty wyraz progresji

Przykład 2.

Rozwiązanie:

Postęp arytmetyczny jest określony przez jego trzeci i siódmy wyraz. Znajdź pierwszy wyraz progresji i sumę dziesięciu.

Zapiszmy dane elementy progresji korzystając ze wzorów

Odejmujemy pierwsze od drugiego równania, w wyniku czego znajdujemy krok progresji

Podstawiamy znalezioną wartość do dowolnego równania, aby znaleźć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

Obliczamy sumę pierwszych dziesięciu wyrazów progresji

Bez stosowania skomplikowanych obliczeń znaleźliśmy wszystkie wymagane ilości.

Rozwiązanie:

Przykład 3. Postęp arytmetyczny jest dany przez mianownik i jeden z jego wyrazów. Znajdź pierwszy wyraz progresji, sumę jego 50 wyrazów, zaczynając od 50 i sumę pierwszych 100.

Zapiszmy wzór na setny element progresji

i znajdź pierwszą

Na podstawie pierwszego znajdujemy 50. wyraz progresji

Znalezienie sumy części progresji

i suma pierwszych 100

Kwota progresji wynosi 250.

Przykład 4.

Znajdź liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:

Rozwiązanie:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Zapiszmy równania w odniesieniu do pierwszego wyrazu i kroku progresji i określmy je

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru na sumę, aby określić liczbę wyrazów w sumie

Wprowadzamy uproszczenia

Z dwóch znalezionych wartości tylko liczba 8 pasuje do warunków problemu. Zatem suma pierwszych ośmiu wyrazów progresji wynosi 111.

Przykład 5.

Rozwiąż równanie

1+3+5+...+x=307.

Rozwiązanie: To równanie jest sumą postępu arytmetycznego. Zapiszmy jego pierwszy wyraz i znajdźmy różnicę w postępie