Układ równań jest zdefiniowany w. Wykonując ruch odwrotny, znajdujemy niewiadome

• Systemy M równania liniowe z N nieznany.
  Rozwiązywanie układu równań liniowych- to jest taki zbiór liczb ( x 1 , x 2 , …, x rz), po podstawieniu do każdego z równań układu otrzymuje się poprawną równość.
  Gdzie a ij , ja = 1, …, m; j = 1, …, n— współczynniki systemowe;
  b ja , ja = 1, …, m- wolni członkowie;
  x jot, jot = 1, …, n- nieznany.
  Powyższy układ można zapisać w postaci macierzowej: A X = B,
  
  
  
  
  Gdzie ( A|B) jest główną macierzą układu;
  A— rozbudowana matryca systemu;
  X— kolumna niewiadomych;
  B— kolumna wolnych członków.
  Jeśli macierz B nie jest macierzą zerową ∅, to taki układ równań liniowych nazywa się niejednorodnym.
  Jeśli macierz B= ∅, wówczas ten układ równań liniowych nazywa się jednorodnym. Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie zerowe (trywialne): x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Wspólny układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który ma rozwiązanie.
  Niespójny układ równań liniowych jest nierozwiązywalnym układem równań liniowych.
  Pewien układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który ma unikalne rozwiązanie.
  Nieokreślony układ równań liniowych jest układem równań liniowych o nieskończonej liczbie rozwiązań.
• Układy n równań liniowych z n niewiadomymi
  Jeśli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, wówczas macierz jest kwadratowa. Wyznacznik macierzy nazywany jest głównym wyznacznikiem układu równań liniowych i jest oznaczony symbolem Δ.
  Metoda Cramera do rozwiązywania systemów N równania liniowe z N nieznany.
  Reguła Cramera.
  Jeżeli główna wyznacznika układu równań liniowych nie jest równa zeru, to układ jest spójny i zdefiniowany, a jedyne rozwiązanie oblicza się za pomocą wzorów Cramera:
  gdzie Δ i są wyznacznikami otrzymanymi z głównego wyznacznika układu Δ poprzez zastąpienie I kolumnę do kolumny wolnych członków. .
• Układy m równań liniowych z n niewiadomymi
  Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.
  
  
  Aby dany układ równań liniowych był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby stopień macierzy układu był równy rządowi rozszerzonej macierzy układu, zadzwonił(Α) = zadzwonił(Α|B).
  Jeśli zadzwonił(Α) ≠ zadzwonił(Α|B), to układ oczywiście nie ma rozwiązań.
  Jeśli zadzwonił(Α) = zadzwonił(Α|B), to możliwe są dwa przypadki:
  1) ranga (Α) = n(liczba niewiadomych) – rozwiązanie jest unikalne i można je otrzymać korzystając ze wzorów Cramera;
  2) ranga (Α)< n - istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.
• Metoda Gaussa do rozwiązywania układów równań liniowych
  
  
  Stwórzmy rozszerzoną macierz ( A|B) danego układu ze współczynników niewiadomych i prawych stron.
  Metoda Gaussa, czyli metoda eliminowania niewiadomych, polega na redukcji rozszerzonej macierzy ( A|B) stosując elementarne przekształcenia po swoich wierszach do postaci ukośnej (do postaci górnego trójkąta). Wracając do układu równań, wszystkie niewiadome są określone.
  Elementarne przekształcenia ciągów obejmują:
  1) zamień dwie linie;
  2) pomnożenie ciągu przez liczbę inną niż 0;
  3) dodanie kolejnego ciągu do ciągu pomnożonego przez dowolną liczbę;
  4) wyrzucenie linii zerowej.
  Rozbudowana macierz sprowadzona do postaci diagonalnej odpowiada układowi liniowemu równoważnemu podanemu, którego rozwiązanie nie nastręcza trudności. .
• Układ jednorodnych równań liniowych.
  Układ jednorodny ma postać:
  
  odpowiada to równaniu macierzowemu X = 0.
  1) System jednorodny jest zawsze spójny, ponieważ r(A) = r(A|B), zawsze istnieje rozwiązanie zerowe (0, 0, …, 0).
  2) Aby układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe, jest to konieczne i wystarczające r = r(A)< n , co jest równoważne Δ = 0.
  3) Jeśli R< n , to oczywiście Δ = 0, wtedy powstają wolne niewiadome do 1, do 2, …, do nr-r, układ ma nietrywialne rozwiązania, a jest ich nieskończenie wiele.
  4) Rozwiązanie ogólne X Na R< n można zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób:
  X = do 1 X 1 + do 2 X 2 + … + do n-r X n-r,
  gdzie są rozwiązania X 1, X 2, …, X n-r tworzą podstawowy układ rozwiązań.
  5) Podstawowy układ rozwiązań można otrzymać z ogólnego rozwiązania układu jednorodnego:
  
  ,
  jeśli ustawimy kolejno wartości parametrów równe (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Rozbudowa rozwiązania ogólnego w zakresie podstawowego układu rozwiązań jest zapisem rozwiązania ogólnego w postaci kombinacji liniowej rozwiązań należących do układu podstawowego.
  Twierdzenie. Aby układ liniowych równań jednorodnych miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ ≠ 0.
  Jeśli więc wyznacznik Δ ≠ 0, to układ ma rozwiązanie jednoznaczne.
  Jeśli Δ ≠ 0, to układ liniowych równań jednorodnych ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
  Twierdzenie. Aby układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe, jest to konieczne i wystarczające r(A)< n .
  Dowód:
  1) R nie może być więcej N(Rząd macierzy nie przekracza liczby kolumn lub wierszy);
  2) R< n , ponieważ Jeśli r = n, to główna wyznacznika układu Δ ≠ 0 i zgodnie ze wzorami Cramera istnieje jednoznaczne rozwiązanie trywialne x 1 = x 2 = … = x n = 0, co jest sprzeczne z warunkiem. Oznacza, r(A)< n .
  Konsekwencja. W celu uzyskania jednorodnego systemu N równania liniowe z N niewiadome miały niezerowe rozwiązanie, konieczne i wystarczające jest, aby Δ = 0.

Jednak w praktyce powszechne są jeszcze dwa przypadki:

– Układ jest niespójny (nie ma rozwiązań);
– Układ jest spójny i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Notatka : Termin „spójność” oznacza, że ​​system ma przynajmniej pewne rozwiązanie. W przypadku wielu problemów należy najpierw sprawdzić system pod kątem kompatybilności, jak to zrobić, zobacz artykuł na temat rząd macierzy.

W przypadku tych układów stosuje się najbardziej uniwersalną ze wszystkich metod rozwiązań - Metoda Gaussa. W rzeczywistości metoda „szkolna” również doprowadzi do odpowiedzi, ale w wyższej matematyce zwyczajowo stosuje się metodę Gaussa sekwencyjnej eliminacji niewiadomych. Ci, którzy nie są zaznajomieni z algorytmem metody Gaussa, powinni najpierw przestudiować lekcję Metoda Gaussa dla manekinów.

Same transformacje macierzy elementarnych są dokładnie takie same, różnica będzie polegać na zakończeniu rozwiązania. Najpierw spójrzmy na kilka przykładów, gdy układ nie ma rozwiązań (niespójny).

Przykład 1

Co od razu rzuca się w oczy w tym systemie? Liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych. Jeśli liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych, to od razu możemy powiedzieć, że układ jest albo niespójny, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań. I jedyne, co pozostaje, to się dowiedzieć.

Początek rozwiązania jest zupełnie zwyczajny – zapisujemy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadzamy ją do postaci krokowej:

(1) W lewym górnym kroku musimy uzyskać +1 lub –1. W pierwszej kolumnie nie ma takich liczb, więc przestawianie wierszy nic nie da. Jednostka będzie musiała się zorganizować sama, a można to zrobić na kilka sposobów. Ja zrobiłem tak: do pierwszej linii dodajemy trzecią linię pomnożoną przez –1.

(2) Teraz w pierwszej kolumnie otrzymujemy dwa zera. Do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez 3. Do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez 5.

(3) Po zakończeniu transformacji zawsze warto sprawdzić, czy możliwe jest uproszczenie powstałych ciągów znaków? Móc. Drugą linię dzielimy przez 2, uzyskując jednocześnie wymagane –1 w drugim kroku. Podziel trzecią linię przez –3.

(4) Dodaj drugą linię do trzeciej linii.

Chyba każdy zauważył złą linię wynikającą z elementarnych przekształceń: . Jasne jest, że tak nie może być. Rzeczywiście, przepiszemy otrzymaną macierz wracając do układu równań liniowych:

Jeżeli w wyniku przekształceń elementarnych otrzymamy ciąg znaków w postaci, w której jest liczba różna od zera, to układ jest niespójny (nie ma rozwiązań).

Jak zapisać zakończenie zadania? Narysujmy białą kredą: „w wyniku przekształceń elementarnych otrzymujemy ciąg znaków w postaci , gdzie ” i podajemy odpowiedź: układ nie ma rozwiązań (niespójny).

Jeśli zgodnie z warunkiem wymagane jest BADANIE systemu pod kątem kompatybilności, konieczne jest sformalizowanie rozwiązania w bardziej solidny sposób, korzystając z koncepcji rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Należy pamiętać, że nie ma tu odwrócenia algorytmu Gaussa – nie ma rozwiązań i po prostu nie ma czego szukać.

Przykład 2

Rozwiązać układ równań liniowych

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Przypominam jeszcze raz, że Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego; algorytm Gaussa nie charakteryzuje się dużą „sztywnością”.

Kolejna cecha techniczna rozwiązania: można zatrzymać przekształcenia elementarne natychmiast, jak tylko pojawi się linia typu , gdzie . Rozważmy przykład warunkowy: załóżmy, że po pierwszej transformacji otrzymana zostanie macierz . Macierz nie została jeszcze zredukowana do postaci schodkowej, ale nie ma potrzeby dalszych elementarnych przekształceń, gdyż pojawiła się linia postaci, gdzie . Należy od razu odpowiedzieć, że system jest niekompatybilny.

Kiedy układ równań liniowych nie ma rozwiązań, jest to niemal prezent, ponieważ uzyskuje się krótkie rozwiązanie, czasem dosłownie w 2-3 krokach.

Ale wszystko na tym świecie jest zrównoważone, a problem, w którym układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest po prostu dłuższy.

Przykład 3

Rozwiązać układ równań liniowych

Istnieją 4 równania i 4 niewiadome, więc układ może mieć jedno rozwiązanie, nie mieć rozwiązań, lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Tak czy inaczej, metoda Gaussa w każdym razie doprowadzi nas do odpowiedzi. Na tym polega jego wszechstronność.

Początek znowu standardowy. Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

To wszystko, a ty się bałeś.

(1) Należy pamiętać, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2, więc 2 jest w porządku w lewym górnym kroku. Do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –4. Do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –2. Do czwartej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –1.

Uwaga! Wielu może skusić czwarta linijka odejmować pierwsza linia. Można to zrobić, ale nie jest to konieczne; doświadczenie pokazuje, że prawdopodobieństwo błędu w obliczeniach wzrasta kilkakrotnie. Po prostu dodaj: Do czwartej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –1 – dokładnie tak!

(2) Trzy ostatnie linie są proporcjonalne, dwie z nich można usunąć.

Tutaj znowu musimy się pokazać zwiększona uwaga, ale czy linie są rzeczywiście proporcjonalne? Dla bezpieczeństwa (zwłaszcza w przypadku czajnika) dobrze byłoby pomnożyć drugą linię przez –1, a czwartą podzielić przez 2, w wyniku czego otrzymamy trzy identyczne linie. I dopiero potem usuń dwa z nich.

W wyniku elementarnych przekształceń rozszerzona macierz układu sprowadza się do postaci krokowej:

Pisząc zadanie w zeszycie, zaleca się robienie tych samych notatek ołówkiem dla przejrzystości.

Przepiszmy odpowiedni układ równań:

Nie ma tu zapachu „zwykłego” pojedynczego rozwiązania systemu. Nie ma też złej linii. Oznacza to, że jest to trzeci pozostały przypadek – układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czasami zgodnie z warunkiem konieczne jest zbadanie kompatybilności systemu (czyli udowodnienie, że rozwiązanie w ogóle istnieje), możesz o tym przeczytać w ostatnim akapicie artykułu Jak znaleźć rząd macierzy? Ale na razie przejdźmy do podstaw:

Nieskończony zbiór rozwiązań układu zapisuje się w skrócie w postaci tzw ogólne rozwiązanie układu .

Rozwiązanie ogólne układu znajdujemy za pomocą odwrotności metody Gaussa.

Najpierw musimy zdefiniować, jakie mamy zmienne podstawowy i jakie zmienne bezpłatny. Nie musisz zawracać sobie głowy terminami algebry liniowej, pamiętaj tylko, że takie istnieją podstawowe zmienne I wolne zmienne.

Zmienne podstawowe zawsze „siedzą” ściśle na stopniach macierzy.
W tym przykładzie podstawowymi zmiennymi są i

Wolne zmienne są wszystkim pozostały zmienne, które nie otrzymały kroku. W naszym przypadku są dwa z nich: – zmienne wolne.

Teraz potrzebujesz Wszystko podstawowe zmienne wyrazić tylko przez wolne zmienne.

Odwrotność algorytmu Gaussa tradycyjnie działa od dołu do góry.
Z drugiego równania układu wyrażamy zmienną podstawową:

Spójrzmy teraz na pierwsze równanie: . Najpierw podstawiamy do niego znalezione wyrażenie:

Pozostaje wyrazić zmienną podstawową w kategoriach zmiennych wolnych:

W końcu mamy to, czego potrzebowaliśmy – Wszystko wyrażane są podstawowe zmienne ( i ). tylko przez wolne zmienne:

Właściwie ogólne rozwiązanie jest gotowe:

Jak poprawnie napisać rozwiązanie ogólne?
Zmienne swobodne wpisuje się do rozwiązania ogólnego „same” i ściśle na swoich miejscach. W takim przypadku zmienne wolne należy zapisać na drugiej i czwartej pozycji:
.

Wynikowe wyrażenia dla podstawowych zmiennych i oczywiście należy zapisać na pierwszej i trzeciej pozycji:

Podawanie wolnych zmiennych dowolne wartości, możesz znaleźć nieskończenie wiele rozwiązania prywatne. Najpopularniejszymi wartościami są zera, gdyż dane rozwiązanie jest najłatwiejsze do uzyskania. Podstawmy do rozwiązania ogólnego:

– rozwiązanie prywatne.

Kolejną słodką parą są jedynki, podstawmy je do ogólnego rozwiązania:

– kolejne rozwiązanie prywatne.

Łatwo zobaczyć, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań(ponieważ możemy podać darmowe zmienne każdy wartości)

Każdy dane rozwiązanie musi spełniać każdemu równanie układu. Jest to podstawa do „szybkiego” sprawdzenia poprawności rozwiązania. Weźmy na przykład konkretne rozwiązanie i podstawmy je po lewej stronie każdego równania pierwotnego układu:

Wszystko musi się zgadzać. W przypadku każdego konkretnego rozwiązania, które otrzymasz, wszystko powinno się zgadzać.

Ale ściśle rzecz biorąc, sprawdzanie konkretnego rozwiązania czasami jest zwodnicze, tj. jakieś szczególne rozwiązanie może spełniać każde równanie układu, ale samo rozwiązanie ogólne jest w rzeczywistości znajdowane niepoprawnie.

Dlatego weryfikacja rozwiązania ogólnego jest dokładniejsza i bardziej wiarygodna. Jak sprawdzić wynikowe rozwiązanie ogólne ?

Nie jest to trudne, ale dość żmudne. Musimy przyjąć wyrażenia podstawowy w tym przypadku zmienne i , i podstaw je po lewej stronie każdego równania układu.

Po lewej stronie pierwszego równania układu:

Po lewej stronie drugiego równania układu:


Otrzymuje się prawą stronę pierwotnego równania.

Przykład 4

Rozwiązać układ metodą Gaussa. Znajdź rozwiązanie ogólne i dwa szczegółowe. Sprawdź rozwiązanie ogólne.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Tutaj, nawiasem mówiąc, znowu liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych, co oznacza od razu jasne, że układ będzie albo niespójny, albo będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań. Co jest ważne w samym procesie decyzyjnym? Uwaga i jeszcze raz uwaga. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

I jeszcze kilka przykładów wzmocnienia materiału

Przykład 5

Rozwiązać układ równań liniowych. Jeżeli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdź dwa rozwiązania szczególne i sprawdź rozwiązanie ogólne

Rozwiązanie: Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

(1) Dodaj pierwszą linię do drugiej linii. Do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez 2. Do czwartej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez 3.
(2) Do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –5. Do czwartej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –7.
(3) Trzecia i czwarta linia są takie same, usuwamy jedną z nich.

To taka piękność:

Na stopniach znajdują się zmienne podstawowe, zatem - zmienne podstawowe.
Jest tylko jedna wolna zmienna, która nie dostała kroku:

Odwracać:
Wyraźmy podstawowe zmienne poprzez zmienną wolną:
Z trzeciego równania:

Rozważmy drugie równanie i podstawmy do niego znalezione wyrażenie:

Rozważmy pierwsze równanie i podstawmy znalezione wyrażenia i do niego:

Tak, kalkulator obliczający ułamki zwykłe jest nadal wygodny.

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące:

Jeszcze raz, jak to się skończyło? Zmienna wolna zajmuje samotne, czwarte miejsce. Powstałe wyrażenia na zmienne podstawowe również zajęły swoje miejsca porządkowe.

Sprawdźmy od razu rozwiązanie ogólne. Praca jest dla czarnych, ale ja już ją zrobiłem, więc łapcie =)

Podstawiamy trzech bohaterów , , po lewej stronie każdego równania układu:

Otrzymuje się odpowiednie prawe strony równań, a zatem rozwiązanie ogólne zostaje znalezione poprawnie.

Teraz ze znalezionego ogólnego rozwiązania otrzymujemy dwa konkretne rozwiązania. Jedyną wolną zmienną jest tutaj szef kuchni. Nie ma potrzeby zawracać sobie głowy.

Niech tak będzie – rozwiązanie prywatne.
Niech tak będzie – kolejne rozwiązanie prywatne.

Odpowiedź: Rozwiązanie ogólne: , rozwiązania prywatne: , .

Nie powinienem był pamiętać o czarnych... ...bo do głowy przychodziły mi najróżniejsze sadystyczne motywy i przypomniał mi się słynny photoshop, w którym członkowie Ku Klux Klanu w białych szatach biegają po boisku za czarnym piłkarzem. Siedzę i cicho się uśmiecham. Wiesz, jakie to rozpraszające...

Duża część matematyki jest szkodliwa, dlatego oto podobny końcowy przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Przykład 6

Znajdź rozwiązanie ogólne układu równań liniowych.

Sprawdziłem już ogólne rozwiązanie, odpowiedzi można zaufać. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego, najważniejsze jest to, że ogólne rozwiązania są zbieżne.

Prawdopodobnie wiele osób zauważyło nieprzyjemny moment w rozwiązaniach: bardzo często podczas odwrotnego przebiegu metody Gaussa musieliśmy majstrować przy zwykłych ułamkach. W praktyce rzeczywiście tak jest; przypadki, w których nie ma ułamków, są znacznie mniej powszechne. Bądź przygotowany mentalnie i, co najważniejsze, technicznie.

Zatrzymam się nad niektórymi cechami rozwiązania, których nie znaleziono w rozwiązanych przykładach.

Ogólne rozwiązanie układu może czasami zawierać stałą (lub stałe), na przykład: . Tutaj jedna z podstawowych zmiennych jest równa liczbie stałej: . Nie ma w tym nic egzotycznego, zdarza się. Oczywiście w tym przypadku każde konkretne rozwiązanie będzie zawierało piątkę na pierwszej pozycji.

Rzadko, ale są systemy, w których liczba równań jest większa niż liczba zmiennych. Metoda Gaussa sprawdza się w najcięższych warunkach, należy spokojnie sprowadzić rozszerzoną macierz układu do postaci krokowej stosując standardowy algorytm. Taki system może być niespójny, może mieć nieskończenie wiele rozwiązań i, co dziwne, może mieć jedno rozwiązanie.

Metoda Gaussa ma wiele wad: nie można stwierdzić, czy system jest spójny, czy nie, dopóki nie zostaną przeprowadzone wszystkie niezbędne przekształcenia w metodzie Gaussa; Metoda Gaussa nie jest odpowiednia dla układów ze współczynnikami literowymi.

Rozważmy inne metody rozwiązywania układów równań liniowych. Metody te wykorzystują koncepcję rangi macierzy i sprowadzają rozwiązanie dowolnego układu spójnego do rozwiązania układu, do którego ma zastosowanie reguła Cramera.

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie ogólne poniższego układu równań liniowych, korzystając z podstawowego układu rozwiązań zredukowanego układu jednorodnego i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego.

1. Tworzenie macierzy A i rozbudowana matryca systemu (1)

2. Poznaj system (1) dla wspólnoty. Aby to zrobić, znajdujemy szeregi macierzy A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif"width="17" height="26 src=">). Jeśli się okaże, że to system (1) niezgodny. Jeśli to dostaniemy , to ten układ jest spójny i rozwiążemy go. (Badanie zgodności opiera się na twierdzeniu Kroneckera-Capelliego).

A. Znajdujemy rA.

Aby znaleźć rA, będziemy rozważać kolejno niezerowe minory pierwszego, drugiego itd. rzędu macierzy A i otaczających ich nieletnich.

M1=1≠0 (bierzemy 1 z lewego górnego rogu macierzy A).

Graniczymy M1 drugi wiersz i druga kolumna tej macierzy. . Kontynuujemy granicę M1 druga linia i trzecia kolumna..gif" szerokość="37" wysokość="20 src=">. Teraz graniczymy z niezerowym mollem M2′ drugie zamówienie.

Mamy: (ponieważ pierwsze dwie kolumny są takie same)

(ponieważ druga i trzecia linia są proporcjonalne).

Widzimy to rA=2, a jest podstawą małej macierzy A.

B. Znajdujemy.

Dość podstawowe drobne M2′ matryce A obramuj kolumną wolnych terminów i wszystkimi wierszami (mamy tylko ostatni wiersz).

. Wynika z tego M3′′ pozostaje podstawowym mollem macierzy https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" szerokość="168 wysokość=75" wysokość="75"> (2)

Ponieważ M2′- podstawa mała macierzy A systemy (2) , to ten system jest równoważny systemowi (3) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (2) (Do M2′ znajduje się w dwóch pierwszych wierszach macierzy A).

(3)

Od podstawowego drobnego https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" szerokość="153" wysokość="51"> (4)

W tym układzie istnieją dwie wolne niewiadome ( x2 I x4 ). Dlatego FSR systemy (4) składa się z dwóch rozwiązań. Aby je znaleźć, przypisujemy wolne niewiadome w (4) najpierw wartości x2=1 , x4=0 , a potem - x2=0 , x4=1 .

Na x2=1 , x4=0 otrzymujemy:

.

Ten system już to zrobił jedyna rzecz rozwiązanie (można je znaleźć korzystając z reguły Cramera lub dowolnej innej metody). Odejmując pierwsze od drugiego równania, otrzymujemy:

Jej rozwiązaniem będzie x1= -1 , x3=0 . Biorąc pod uwagę wartości x2 I x4 , które dodaliśmy, otrzymujemy pierwsze rozwiązanie fundamentalne układu (2) : .

Teraz wierzymy (4) x2=0 , x4=1 . Otrzymujemy:

.

Rozwiązujemy ten układ korzystając z twierdzenia Cramera:

.

Otrzymujemy drugie rozwiązanie podstawowe układu (2) : .

Rozwiązania β1 , β2 i makijaż FSR systemy (2) . Wtedy będzie jego ogólne rozwiązanie

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tutaj C1 , C2 – dowolne stałe.

4. Znajdźmy takiego prywatny rozwiązanie system heterogeniczny(1) . Jak w ust 3 zamiast systemu (1) Rozważmy równoważny system (5) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (1) .

(5)

Przesuwamy wolne niewiadome na prawą stronę x2 I x4.

(6)

Dajmy wolne niewiadome x2 I x4 dowolne wartości, np. x2=2 , x4=1 i włóż je (6) . Weźmy system

Układ ten ma unikalne rozwiązanie (ponieważ jego wyznacznik M2′0). Rozwiązując to (wykorzystując twierdzenie Cramera lub metodę Gaussa) otrzymujemy x1=3 , x3=3 . Biorąc pod uwagę wartości wolnych niewiadomych x2 I x4 , otrzymujemy szczególne rozwiązanie układu niejednorodnego(1)α1=(3,2,3,1).

5. Teraz pozostaje tylko to zapisać rozwiązanie ogólne α układu niejednorodnego(1) : jest równa sumie rozwiązanie prywatne ten system i ogólne rozwiązanie zredukowanego układu jednorodnego (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To oznacza: (7)

6. Badanie. Aby sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałeś system (1) , potrzebujemy ogólnego rozwiązania (7) zastąpić w (1) . Jeśli każde równanie zamienia się w tożsamość ( C1 I C2 muszą zostać zniszczone), wówczas rozwiązanie zostanie znalezione prawidłowo.

Zastąpimy (7) na przykład tylko ostatnie równanie układu (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Otrzymujemy: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Gdzie –1=–1. Mamy tożsamość. Robimy to ze wszystkimi innymi równaniami układu (1) .

Komentarz. Sprawdzanie jest zwykle dość kłopotliwe. Można zalecić następującą „częściową kontrolę”: w ogólnym rozwiązaniu układu (1) przypisz pewne wartości dowolnym stałym i podstaw wynikowe rozwiązanie częściowe tylko do odrzuconych równań (tj. do równań z (1) , które nie zostały uwzględnione (5) ). Jeśli uda się ustalić tożsamość bardziej prawdopodobne, rozwiązanie systemowe (1) znalezione poprawnie (jednak takie sprawdzenie nie daje całkowitej gwarancji poprawności!). Na przykład, jeśli w (7) umieścić C2=- 1 , C1=1, wtedy otrzymujemy: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Podstawiając do ostatniego równania układu (1) mamy: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Mamy tożsamość.

Przykład 2. Znajdź rozwiązanie ogólne układu równań liniowych (1) , wyrażając podstawowe niewiadome w postaci wolnych.

Rozwiązanie. Jak w przykład 1, układaj macierze A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif"width="156" height="50"> tych macierzy. Teraz zostawiamy tylko te równania układu (1) , których współczynniki zawarte są w tym mollu podstawowym (czyli mamy dwa pierwsze równania) i rozważamy złożony z nich układ, równoważny układowi (1).

Przeniesiemy wolne niewiadome na prawą stronę tych równań.

system (9) Rozwiązujemy metodą Gaussa, uznając prawe strony za wyrazy swobodne.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" szerokość="202 wysokość=106" wysokość="106">

Opcja 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" szerokość="192" wysokość="106 src=">

Opcja 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" szerokość="172" wysokość="80">

Opcja 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" szerokość="179 wysokość=106" wysokość="106">

Opcja 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" szerokość="195" wysokość="106">

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem zajęć z algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich działów matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Czynniki te wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest tak dobrany i skonstruowany, abyś przy jego pomocy mógł to zrobić

• wybrać optymalną metodę rozwiązania swojego układu liniowych równań algebraicznych,
• przestudiować teorię wybranej metody,
• rozwiązuj swój układ równań liniowych, rozważając szczegółowe rozwiązania typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy oznaczenia.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Po pierwsze skupimy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby utrwalić teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przejdziemy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest pojedyncza. Sformułujmy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie układów (o ile są kompatybilne) wykorzystując pojęcie molowej podstawy macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Na pewno zatrzymamy się na strukturze ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie podstawowego układu rozwiązań i pokażmy, jak zapisuje się rozwiązanie ogólne SLAE za pomocą wektorów podstawowego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważymy układy równań, które można sprowadzić do równań liniowych, a także różne problemy, przy rozwiązywaniu których powstają SLAE.

Nawigacja strony.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n) postaci

Nieznane zmienne, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wyrazy swobodne (również liczby rzeczywiste lub zespolone).

Ta forma nagrywania SLAE nazywa się koordynować.

W postać matrycowa zapisanie tego układu równań ma postać,
Gdzie - macierz główna systemu, - macierz kolumnowa nieznanych zmiennych, - macierz kolumnowa wolnych terminów.

Jeśli dodamy macierz-kolumnę wolnych terminów do macierzy A jako (n+1)-tą kolumnę, otrzymamy tzw. rozszerzona matryca układy równań liniowych. Zazwyczaj macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych terminów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych nazywany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również staje się tożsamością.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się go wspólny.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, nazywa się go nie wspólne.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się je niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to – niepewny.

Jeśli wolne wyrazy wszystkich równań układu są równe zeru , wówczas system zostaje wywołany jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.

Rozwiązywanie elementarnych układów liniowych równań algebraicznych.

Jeżeli liczba równań układu jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jego macierzy głównej nie jest równy zeru, wówczas takie SLAE będą nazywane podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, a w przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Zaczęliśmy uczyć się takich SLAE w szkole średniej. Rozwiązując je, braliśmy jedno równanie, wyrażaliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i podstawialiśmy ją do pozostałych równań, następnie braliśmy następne równanie, wyrażaliśmy kolejną nieznaną zmienną i podstawialiśmy ją do innych równań i tak dalej. Lub zastosowali metodę dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy szczegółowo omawiać tych metod, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Uporządkujmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Załóżmy, że musimy rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu i - wyznaczniki macierzy otrzymanych z A przez podstawienie 1., 2.,…, n-te kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane przy użyciu wzorów metody Cramera jako . W ten sposób znajduje się rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.

Przykład.

Metoda Cramera .

Rozwiązanie.

Główna macierz układu ma postać . Obliczmy jego wyznacznik (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, układ ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponujmy i obliczmy niezbędne wyznaczniki (wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych, wyznacznik zastępując drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych, a trzecią kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych) :

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą wzorów :

Odpowiedź:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można to nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań w układzie jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie dany w postaci macierzowej, gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest różny od zera.

Ponieważ , macierz A jest odwracalna, to znaczy istnieje macierz odwrotna. Jeśli pomnożymy obie strony równości przez lewą stronę, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy-kolumny nieznanych zmiennych. W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiązywać układ równań liniowych metoda matrycowa.

Rozwiązanie.

Zapiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Ponieważ

wówczas SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego układu można znaleźć jako .

Skonstruujmy macierz odwrotną, korzystając z macierzy z uzupełnień algebraicznych elementów macierzy A (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Pozostaje obliczyć macierz nieznanych zmiennych poprzez pomnożenie macierzy odwrotnej do kolumny macierzy wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Odpowiedź:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem przy znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzeci.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
którego wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sekwencyjnym eliminowaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż w układzie pozostanie tylko nieznana zmienna x n ostatnie równanie. Nazywa się ten proces przekształcania równań układu w celu sekwencyjnego eliminowania nieznanych zmiennych bezpośrednia metoda Gaussa. Po wykonaniu skoku do przodu metodą Gaussa, z ostatniego równania oblicza się x n, wykorzystując tę ​​​​wartość z przedostatniego równania, oblicza się x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania wyznacza się x 1. Nazywa się proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania układu do pierwszego odwrotność metody Gaussa.

Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć poprzez zamianę równań układu. Wyeliminujmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w kategoriach innych nieznanych zmiennych i podstawieli otrzymane wyrażenie do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.

Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku

W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy drugie pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i . Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomej x 3 i analogicznie postępujemy z zaznaczoną na rysunku częścią układu

Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości x n znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania i tak dalej, z pierwszego równania znajdujemy x 1 .

Przykład.

Rozwiązywać układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. Aby to zrobić, do obu stron drugiego i trzeciego równania dodajemy odpowiednie części pierwszego równania, odpowiednio pomnożone przez i przez:

Teraz eliminujemy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej strony lewą i prawą stronę drugiego równania, pomnożone przez:

To kończy skok do przodu w metodzie Gaussa, rozpoczynamy skok do tyłu.

Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i w ten sposób uzupełniamy odwrotność metody Gaussa.

Odpowiedź:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

Generalnie liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy także układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i osobliwa.

Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych należy ustalić jego zgodność. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest kompatybilne, a kiedy niespójne, daje Twierdzenie Kroneckera–Capelliego:
Aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równe n) był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli , Pozycja (A) = Pozycja (T).

Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera – Capelliego do określenia zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Rozwiązanie.

. Zastosujmy metodę graniczących nieletnich. Minor drugiego rzędu różny od zera. Spójrzmy na graniczące z nim nieletnie trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, ranga macierzy głównej jest równa dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równe trzy, ponieważ moll jest trzeciego rzędu

różny od zera.

Zatem, Rang(A), korzystając zatem z twierdzenia Kroneckera–Capelliego, możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiedź:

System nie ma rozwiązań.

Nauczyliśmy się więc ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera–Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie dla SLAE, jeśli zostanie ustalona jego kompatybilność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia podstawy mniejszej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.

Nazywa się moll najwyższego rzędu macierzy A, różny od zera podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że ​​jej rząd jest równy rządowi macierzy. W przypadku niezerowej macierzy A może istnieć kilka drugorzędnych baz;

Rozważmy na przykład macierz .

Wszystkie nieletnie trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Poniższe nieletni drugiego rzędu są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Nieletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Twierdzenie o rangach macierzy.

Jeżeli rząd macierzy rzędu p na n jest równy r, to wszystkie elementy wierszowe (i kolumnowe) macierzy nie tworzące wybranej podstawy mniejszej są wyrażone liniowo w postaci odpowiadających im elementów wierszowych (i kolumnowych) tworzących podstawa niewielka.

Co mówi nam twierdzenie o rankingu macierzy?

Jeżeli zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną bazę mniejszą macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wykluczamy z układu wszystkie równania, które spełniają nie tworzą wybranej podstawy drobnej. Uzyskane w ten sposób SLAE będzie równoważne pierwotnemu, gdyż odrzucone równania są w dalszym ciągu zbędne (zgodnie z twierdzeniem o randze macierzy są one liniową kombinacją pozostałych równań).

W efekcie po odrzuceniu zbędnych równań układu możliwe są dwa przypadki.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie będzie równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie to określone i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Przykład.

.

Rozwiązanie.

Ranga głównej macierzy systemu jest równe dwa, ponieważ moll jest drugiego rzędu różny od zera. Rozszerzony ranking matrycy jest również równe dwa, ponieważ jedynym drugorzędnym trzecim rzędem jest zero

a drugorzędna drugorzędna rozważana powyżej jest różna od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera–Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, gdyż Ranga(A)=Rank(T)=2.

Jako podstawę bierzemy mniej . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:


Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawy moll, dlatego wykluczamy je z układu w oparciu o twierdzenie o rzędzie macierzy:


W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera:


Odpowiedź:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jeżeli liczba równań r w wynikowym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to po lewej stronie równań pozostawiamy wyrazy tworzące podstawę minor, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równania równania układu o przeciwnym znaku.

Wywoływane są nieznane zmienne (z nich r) pozostałe po lewej stronie równań główny.

Nazywa się nieznane zmienne (jest n - r elementów), które znajdują się po prawej stronie bezpłatny.

Teraz wierzymy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne zostaną wyrażone poprzez wolne nieznane zmienne w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując otrzymany SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Spójrzmy na to na przykładzie.

Przykład.

Rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Znajdźmy rangę głównej macierzy układu metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę mollą pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego molla drugiego rzędu graniczącego z tym mollem:


W ten sposób znaleźliśmy niezerową mollę drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowej granicy moll trzeciego rzędu:


Zatem ranga głównej macierzy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.

Jako podstawę przyjmujemy znalezioną niezerową mollę trzeciego rzędu.

Dla przejrzystości pokazujemy elementy tworzące podstawę moll:


Wyrazy związane z mollą bazową pozostawiamy po lewej stronie równań układu, a resztę z przeciwnymi znakami przenosimy na prawą stronę:


Dajmy wolnym nieznanym zmiennym x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli akceptujemy , gdzie są dowolnymi liczbami. W tym przypadku SLAE przybierze formę


Rozwiążmy powstały elementarny układ liniowych równań algebraicznych metodą Cramera:


Stąd, .

W swojej odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

Odpowiedź:

Gdzie są liczby dowolne.

Podsumujmy.

Aby rozwiązać układ ogólnych równań algebraicznych liniowych, najpierw określamy jego zgodność za pomocą twierdzenia Kroneckera – Capelliego. Jeśli ranga macierzy głównej nie jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas stwierdzamy, że system jest niekompatybilny.

Jeżeli ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy moll bazowy i odrzucamy równania układu, które nie biorą udziału w tworzeniu wybranego molla bazowego.

Jeśli rząd moll podstawy jest równy liczbie nieznanych zmiennych, wówczas SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeśli rząd podstawy mniejszej jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu pozostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę i podajemy dowolne wartości wolne nieznane zmienne. Z powstałego układu równań liniowych wyznaczamy główne nieznane zmienne, stosując metodę Cramera, metodę macierzową lub metodę Gaussa.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Metodę Gaussa można zastosować do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych dowolnego rodzaju bez uprzedniego sprawdzania ich spójności. Proces sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wyciągnąć wniosek zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.

Z obliczeniowego punktu widzenia preferowana jest metoda Gaussa.

Jej szczegółowy opis i przeanalizowane przykłady można znaleźć w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

Zapisywanie rozwiązań ogólnych jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji omówimy jednoczesne jednorodne i niejednorodne układy liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system rozwiązań jednorodny układ p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi to zbiór (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rządem mniejszej podstawy macierzy głównej układu.

Jeśli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) są macierzami kolumnowymi o wymiarze n przez 1) , wówczas ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań o dowolnych stałych współczynnikach C 1, C 2, ..., C (n-r), to znaczy .

Co oznacza termin ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: wzór określa wszystkie możliwe rozwiązania pierwotnego SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zbiór wartości dowolnych stałych C 1, C 2, ..., C (n-r), korzystając ze wzoru, który zrobimy otrzymać jedno z rozwiązań pierwotnego jednorodnego SLAE.

Zatem jeśli znajdziemy podstawowy system rozwiązań, wówczas możemy zdefiniować wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania podstawowego systemu rozwiązań do jednorodnego SLAE.

Wybieramy bazę mniejszą pierwotnego układu równań liniowych, wykluczamy z układu wszystkie inne równania i przenosimy wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach. Niewiadomym swobodnym nadajmy wartości 1,0,0,...,0 i obliczmy główne niewiadome rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W rezultacie otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeśli podamy wolnym niewiadomym wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, otrzymamy X (2) . I tak dalej. Jeżeli niewiadomym wolnym przypiszemy wartości 0,0,...,0,1 i obliczymy niewiadome główne, otrzymamy X (n-r) . W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy system rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne będzie można zapisać w postaci .

W przypadku niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne jest reprezentowane w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego układu jednorodnego i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego niejednorodnego SLAE, które otrzymujemy podając wartości niewiadomym wolnym ​0,0,…,0 i obliczenie wartości głównych niewiadomych.

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Ranga macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równa rangi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rząd macierzy głównej, stosując metodę graniczących nieletnich. Jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu bierzemy element a 1 1 = 9 macierzy głównej układu. Znajdźmy graniczący niezerowy moll drugiego rzędu:

Znaleziono moll drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez nieletnie trzeciego rzędu graniczące z nim w poszukiwaniu niezerowej jedynki:

Wszystkie nieletnie graniczące trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej jest równa dwa. Weźmy. Dla jasności zwróćmy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie pierwotnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawy moll, dlatego można je wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome pozostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony:

Skonstruujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ pierwotny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a rząd jego molowej podstawy jest równy dwa. Aby znaleźć X (1), wolnym nieznanym zmiennym nadajemy wartości x 2 = 1, x 4 = 0, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.

Treść lekcji

Równania liniowe w dwóch zmiennych

Uczeń ma 200 rubli na zjedzenie obiadu w szkole. Ciasto kosztuje 25 rubli, a filiżanka kawy kosztuje 10 rubli. Ile ciast i filiżanek kawy można kupić za 200 rubli?

Oznaczmy liczbę ciastek przez X i liczbę wypitych filiżanek kawy y. Następnie koszt ciastek będzie oznaczony wyrażeniem 25 X, a koszt filiżanek kawy w 10 y .

25X- cena X ciasta
10y — cena y filiżanki kawy

Całkowita kwota powinna wynosić 200 rubli. Następnie otrzymujemy równanie z dwiema zmiennymi X I y

25X+ 10y= 200

Ile pierwiastków ma to równanie?

Wszystko zależy od apetytu ucznia. Jeśli kupi 6 ciast i 5 filiżanek kawy, pierwiastkami równania będą liczby 6 i 5.

Mówi się, że para wartości 6 i 5 jest pierwiastkiem równania 25 X+ 10y= 200 . Zapisywane jako (6; 5), gdzie pierwsza liczba jest wartością zmiennej X, a drugi - wartość zmiennej y .

Liczby 6 i 5 nie są jedynymi pierwiastkami odwracającymi równanie 25 X+ 10y= 200 do tożsamości. W razie potrzeby za te same 200 rubli student może kupić 4 ciasta i 10 filiżanek kawy:

W tym przypadku pierwiastki równania 25 X+ 10y= 200 to para wartości (4; 10).

Co więcej, uczeń może w ogóle nie kupować kawy, ale kupować ciasta za całe 200 rubli. Następnie pierwiastki równania 25 X+ 10y= 200 będzie wartością 8 i 0

Lub odwrotnie, nie kupuj ciast, ale kup kawę za całe 200 rubli. Następnie pierwiastki równania 25 X+ 10y= 200 wartości będą wynosić 0 i 20

Spróbujmy wypisać wszystkie możliwe pierwiastki równania 25 X+ 10y= 200 . Umówmy się, że wartości X I y należą do zbioru liczb całkowitych. I niech te wartości będą większe lub równe zero:

X∈Z, j∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Będzie to wygodne dla samego ucznia. Wygodniej jest kupować całe ciasta niż na przykład kilka całych ciast i połowę ciasta. Wygodniej jest też pić kawę w całych filiżankach niż np. kilka całych filiżanek i pół filiżanki.

Zauważ, że to dziwne X w żadnych okolicznościach nie da się osiągnąć równości y. Następnie wartości X kolejne liczby będą wynosić 0, 2, 4, 6, 8. I wiedza X można łatwo określić y

W ten sposób otrzymaliśmy następujące pary wartości (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Pary te są rozwiązaniami lub pierwiastkami równania 25 X+ 10y= 200. Zamieniają to równanie w tożsamość.

Równanie postaci topór + by = c zwany równanie liniowe z dwiema zmiennymi. Rozwiązaniem lub pierwiastkami tego równania jest para wartości ( X; y), co czyni ją tożsamością.

Należy również zauważyć, że jeśli równanie liniowe z dwiema zmiennymi jest zapisane w postaci topór + b y = do , potem mówią, że jest to zapisane kanoniczny(normalna) forma.

Niektóre równania liniowe dwóch zmiennych można sprowadzić do postaci kanonicznej.

Na przykład równanie 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) można przywołać na myśl topór + by = c. Otwórzmy nawiasy po obu stronach tego równania i otrzymajmy 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Terminy zawierające niewiadome grupujemy po lewej stronie równania, a wyrazy wolne od niewiadomych po prawej. Wtedy otrzymamy 32x− 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Przedstawiamy podobne wyrazy po obu stronach, otrzymujemy równanie 16 X+ 8y= 32. Równanie to sprowadza się do postaci topór + by = c i jest kanoniczny.

Równanie 25 omówione wcześniej X+ 10y= 200 jest także równaniem liniowym z dwiema zmiennymi w postaci kanonicznej. W tym równaniu parametry A , B I C są równe odpowiednio wartościom 25, 10 i 200.

Właściwie równanie topór + by = c ma niezliczoną ilość rozwiązań. Rozwiązanie równania 25X+ 10y= 200, szukaliśmy jego pierwiastków tylko na zbiorze liczb całkowitych. W rezultacie otrzymaliśmy kilka par wartości, które zamieniły to równanie w tożsamość. Ale na zbiorze liczb wymiernych równanie 25 X+ 10y= 200 będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań.

Aby uzyskać nowe pary wartości, należy przyjąć dowolną wartość X, następnie ekspres y. Weźmy na przykład zmienną X wartość 7. Następnie otrzymujemy równanie z jedną zmienną 25×7 + 10y= 200 w którym można wyrazić y

Pozwalać X= 15. Następnie równanie 25X+ 10y= 200 staje się 25 × 15 + 10y= 200. Stąd to znajdujemy y = −17,5

Pozwalać X= −3 . Następnie równanie 25X+ 10y= 200 staje się 25 × (-3) + 10y= 200. Stąd to znajdujemy y = −27,5

Układ dwóch równań liniowych z dwiema zmiennymi

Dla równania topór + by = c możesz przyjmować dowolne wartości tyle razy, ile chcesz X i znajdź wartości dla y. Wzięte osobno, takie równanie będzie miało niezliczoną ilość rozwiązań.

Ale zdarza się również, że zmienne X I y są połączone nie jednym, ale dwoma równaniami. W tym przypadku tworzą one tzw układ równań liniowych na dwie zmienne. Taki układ równań może mieć jedną parę wartości (czyli inaczej: „jedno rozwiązanie”).

Może się również zdarzyć, że system nie będzie miał żadnych rozwiązań. Układ równań liniowych może mieć niezliczoną ilość rozwiązań w rzadkich i wyjątkowych przypadkach.

Dwa równania liniowe tworzą układ, gdy wartości X I y wprowadź do każdego z tych równań.

Wróćmy do pierwszego równania 25 X+ 10y= 200 . Jedną z par wartości tego równania była para (6; 5). To przypadek, gdy za 200 rubli można było kupić 6 ciast i 5 filiżanek kawy.

Sformułujmy problem tak, aby para (6; 5) stała się jedynym rozwiązaniem równania 25 X+ 10y= 200 . Aby to zrobić, utwórzmy kolejne równanie, które łączyłoby to samo X ciasta i y filiżanki kawy.

Podajmy treść problemu w następujący sposób:

„Student kupił kilka ciast i kilka filiżanek kawy za 200 rubli. Ciasto kosztuje 25 rubli, a filiżanka kawy kosztuje 10 rubli. Ile ciastek i filiżanek kawy kupił uczeń, jeśli wiadomo, że liczba ciastek jest o jedną jednostkę większa od liczby filiżanek kawy?

Mamy już pierwsze równanie. To jest równanie 25 X+ 10y= 200 . Utwórzmy teraz równanie warunku „liczba ciast jest o jedną jednostkę większa niż liczba filiżanek kawy” .

Liczba ciastek jest X, a liczba filiżanek kawy wynosi y. Możesz zapisać to zdanie, korzystając z równania x-y= 1. To równanie będzie oznaczać, że różnica między ciastami i kawą wynosi 1.

x = y+ 1 . To równanie oznacza, że ​​liczba ciast jest o jeden większa niż liczba filiżanek kawy. Dlatego, aby uzyskać równość, do liczby filiżanek kawy dodaje się jedną. Można to łatwo zrozumieć, jeśli zastosujemy model skal, który rozważaliśmy podczas badania najprostszych problemów:

Mamy dwa równania: 25 X+ 10y= 200 i x = y+ 1. Ponieważ wartości X I y, czyli 6 i 5 są zawarte w każdym z tych równań, wówczas razem tworzą układ. Zapiszmy ten system. Jeżeli równania tworzą układ, wówczas są one otoczone znakiem układu. Symbolem systemu jest nawias klamrowy:

Rozwiążmy ten system. Pozwoli nam to zobaczyć, jak dochodzimy do wartości 6 i 5. Istnieje wiele metod rozwiązywania takich układów. Przyjrzyjmy się najpopularniejszym z nich.

Metoda substytucyjna

Nazwa tej metody mówi sama za siebie. Jego istotą jest podstawienie jednego równania na drugie, po uprzednim wyrażeniu jednej ze zmiennych.

W naszym systemie nie ma potrzeby wyrażania czegokolwiek. W drugim równaniu X = y+ 1 zmienna X już wyrażone. Ta zmienna jest równa wyrażeniu y+ 1 . Następnie możesz zastąpić to wyrażenie pierwszym równaniem zamiast zmiennej X

Po podstawieniu wyrażenia y Zamiast tego + 1 do pierwszego równania X, otrzymujemy równanie 25(y+ 1) + 10y= 200 . Jest to równanie liniowe z jedną zmienną. Równanie to jest dość łatwe do rozwiązania:

Znaleźliśmy wartość zmiennej y. Podstawmy teraz tę wartość do jednego z równań i znajdźmy wartość X. W tym celu wygodnie jest użyć drugiego równania X = y+ 1 . Podstawmy do niego wartość y

Oznacza to, że para (6; 5) jest rozwiązaniem układu równań, zgodnie z naszym zamierzeniem. Sprawdzamy i upewniamy się, że para (6; 5) spełnia układ:

Przykład 2

Podstawmy pierwsze równanie X= 2 + y do drugiego równania 3 x− 2y= 9. W pierwszym równaniu zmienna X równe wyrażeniu 2 + y. Zamiast tego podstawmy to wyrażenie do drugiego równania X

Teraz znajdźmy wartość X. Aby to zrobić, podstawimy wartość y do pierwszego równania X= 2 + y

Oznacza to, że rozwiązaniem układu jest wartość pary (5; 3)

Przykład 3. Rozwiąż następujący układ równań metodą podstawieniową:

Tutaj, w przeciwieństwie do poprzednich przykładów, jedna ze zmiennych nie jest wyrażona wprost.

Aby zastąpić jedno równanie drugim, najpierw potrzebujesz .

Wskazane jest wyrażenie zmiennej, która ma współczynnik jeden. Zmienna ma współczynnik jeden X, co jest zawarte w pierwszym równaniu X+ 2y= 11. Wyraźmy tę zmienną.

Po wyrażeniu zmiennym X, nasz system przyjmie następującą postać:

Teraz podstawmy pierwsze równanie do drugiego i znajdźmy wartość y

Zastąpmy y X

Oznacza to, że rozwiązaniem układu jest para wartości (3; 4)

Oczywiście można także wyrazić zmienną y. To nie zmieni korzeni. Ale jeśli wyrazisz y, Rezultatem nie jest bardzo proste równanie, którego rozwiązanie zajmie więcej czasu. Będzie to wyglądać tak:

Widzimy, że w tym przykładzie wyrażamy X o wiele wygodniejsze niż wyrażanie y .

Przykład 4. Rozwiąż następujący układ równań metodą podstawieniową:

Wyraźmy to w pierwszym równaniu X. Wtedy system przyjmie postać:

y

Zastąpmy y do pierwszego równania i znajdź X. Możesz użyć oryginalnego równania 7 X+ 9y= 8, lub użyj równania, w którym wyrażona jest zmienna X. Użyjemy tego równania, ponieważ jest wygodne:

Oznacza to, że rozwiązaniem układu jest para wartości (5; −3)

Metoda dodawania

Metoda dodawania polega na dodawaniu równań zawartych w układzie wyraz po wyrazie. To dodanie skutkuje nowym równaniem z jedną zmienną. Rozwiązanie takiego równania jest dość proste.

Rozwiążmy następujący układ równań:

Dodajmy lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania. I prawa strona pierwszego równania z prawą stroną drugiego równania. Otrzymujemy następującą równość:

Przyjrzyjmy się podobnym terminom:

W rezultacie otrzymaliśmy najprostsze równanie 3 X= 27, którego pierwiastek wynosi 9. Znajomość wartości X możesz znaleźć wartość y. Zastąpmy tę wartość X do drugiego równania x-y= 3 . Otrzymujemy 9 − y= 3 . Stąd y= 6 .

Oznacza to, że rozwiązaniem układu jest para wartości (9; 6)

Przykład 2

Dodajmy lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania. I prawa strona pierwszego równania z prawą stroną drugiego równania. W powstałej równości przedstawiamy podobne terminy:

W rezultacie otrzymaliśmy najprostsze równanie 5 X= 20, którego pierwiastek wynosi 4. Znajomość wartości X możesz znaleźć wartość y. Zastąpmy tę wartość X do pierwszego równania 2 x+y= 11. Zdobądźmy 8+ y= 11. Stąd y= 3 .

Oznacza to, że rozwiązaniem układu jest para wartości (4;3)

Proces dodawania nie jest szczegółowo opisany. Trzeba to zrobić mentalnie. Podczas dodawania oba równania należy sprowadzić do postaci kanonicznej. Swoją drogą ac + by = c .

Z rozważanych przykładów jasno wynika, że ​​głównym celem dodawania równań jest pozbycie się jednej ze zmiennych. Jednak nie zawsze możliwe jest natychmiastowe rozwiązanie układu równań metodą dodawania. Najczęściej układ najpierw doprowadza się do postaci, w której można dodawać równania zawarte w tym układzie.

Na przykład system można rozwiązać natychmiast dodając. Po dodaniu obu równań terminy y I -y znikną, ponieważ ich suma wynosi zero. W rezultacie powstaje najprostsze równanie 11 X= 22, którego pierwiastek wynosi 2. Będzie można wtedy określić y równa 5.

I układ równań Metody dodawania nie można rozwiązać natychmiast, ponieważ nie doprowadzi to do zniknięcia jednej ze zmiennych. Dodanie da równanie 8 X+ y= 28, co ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Jeśli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, różną od zera, otrzymamy równanie równoważne podanemu. Zasada ta obowiązuje również w przypadku układu równań liniowych z dwiema zmiennymi. Jedno z równań (lub oba równania) można pomnożyć przez dowolną liczbę. Rezultatem będzie równoważny system, którego korzenie będą pokrywać się z poprzednim.

Wróćmy do pierwszego systemu, który opisywał, ile ciast i filiżanek kawy kupił uczeń. Rozwiązaniem tego układu była para wartości (6; 5).

Pomnóżmy oba równania zawarte w tym układzie przez pewne liczby. Powiedzmy, że mnożymy pierwsze równanie przez 2, a drugie przez 3

W rezultacie otrzymaliśmy system
Rozwiązaniem tego układu jest nadal para wartości (6; 5)

Oznacza to, że równania zawarte w układzie można sprowadzić do postaci odpowiedniej do zastosowania metody dodawania.

Wróćmy do systemu , którego nie udało nam się rozwiązać metodą dodawania.

Pomnóż pierwsze równanie przez 6, a drugie przez -2

Otrzymujemy wówczas następujący układ:

Dodajmy równania zawarte w tym układzie. Dodawanie komponentów 12 X i -12 X spowoduje wynik 0, dodanie 18 y i 4 y dam 22 y, a dodanie 108 i -20 daje 88. Następnie otrzymujemy równanie 22 y= 88, stąd y = 4 .

Jeśli na początku trudno Ci w głowie dodać równania, to możesz zapisać, jak lewa strona pierwszego równania sumuje się z lewą stroną drugiego równania, a prawa strona pierwszego równania z prawą stroną równania drugie równanie:

Wiedząc, że wartość zmiennej y równa się 4, możesz znaleźć wartość X. Zastąpmy y do jednego z równań, na przykład do pierwszego równania 2 X+ 3y= 18. Następnie otrzymujemy równanie z jedną zmienną 2 X+ 12 = 18. Przesuńmy 12 w prawą stronę, zmieniając znak, otrzymamy 2 X= 6, stąd X = 3 .

Przykład 4. Rozwiąż następujący układ równań metodą dodawania:

Pomnóżmy drugie równanie przez -1. Następnie system przyjmie następującą postać:

Dodajmy oba równania. Dodawanie komponentów X I −x spowoduje wynik 0, dodanie 5 y i 3 y dam 8 y, a dodanie 7 i 1 daje 8. Wynikiem jest równanie 8 y= 8, którego pierwiastek wynosi 1. Wiedząc, że wartość y równa się 1, możesz znaleźć wartość X .

Zastąpmy y do pierwszego równania, otrzymujemy X+ 5 = 7, stąd X= 2

Przykład 5. Rozwiąż następujący układ równań metodą dodawania:

Pożądane jest, aby terminy zawierające te same zmienne znajdowały się jeden pod drugim. Dlatego w drugim równaniu wyrazy 5 y i -2 X Zamieńmy się miejscami. W rezultacie system przyjmie postać:

Pomnóżmy drugie równanie przez 3. Wtedy układ przyjmie postać:

Dodajmy teraz oba równania. W wyniku dodawania otrzymujemy równanie 8 y= 16, którego pierwiastek wynosi 2.

Zastąpmy y w pierwszym równaniu otrzymujemy 6 X- 14 = 40. Przesuńmy wyraz -14 na prawą stronę, zmieniając znak i otrzymajmy 6 X= 54 . Stąd X= 9.

Przykład 6. Rozwiąż następujący układ równań metodą dodawania:

Pozbądźmy się ułamków. Pomnóż pierwsze równanie przez 36, a drugie przez 12

W powstałym układzie pierwsze równanie można pomnożyć przez -5, a drugie przez 8

Dodajmy równania w powstałym układzie. Następnie otrzymujemy najprostsze równanie -13 y= −156 . Stąd y= 12. Zastąpmy y do pierwszego równania i znajdź X

Przykład 7. Rozwiąż następujący układ równań metodą dodawania:

Sprowadźmy oba równania do postaci normalnej. Tutaj wygodnie jest zastosować zasadę proporcji w obu równaniach. Jeżeli w pierwszym równaniu prawa strona jest przedstawiona jako , a prawa strona drugiego równania jako , to układ będzie miał postać:

Mamy proporcję. Pomnóżmy jego skrajne i średnie wyrazy. Wtedy system przyjmie postać:

Pomnóżmy pierwsze równanie przez −3 i otwórzmy nawiasy w drugim:

Dodajmy teraz oba równania. W wyniku dodania tych równań otrzymujemy równość z zerem po obu stronach:

Okazuje się, że system ma niezliczoną ilość rozwiązań.

Ale nie możemy po prostu brać dowolnych wartości z nieba X I y. Możemy podać jedną z wartości, a druga zostanie określona w zależności od wartości, którą podamy. Na przykład niech X= 2 . Podstawmy tę wartość do systemu:

W wyniku rozwiązania jednego z równań wartość dla y, co spełni oba równania:

Powstała para wartości (2; −2) spełni wymagania układu:

Znajdźmy inną parę wartości. Pozwalać X= 4. Podstawmy tę wartość do systemu:

Na oko można stwierdzić, że wartość y równa się zeru. Następnie otrzymujemy parę wartości (4; 0) spełniającą nasz system:

Przykład 8. Rozwiąż następujący układ równań metodą dodawania:

Pomnóż pierwsze równanie przez 6, a drugie przez 12

Przepiszmy to, co zostało:

Pomnóżmy pierwsze równanie przez -1. Wtedy system przyjmie postać:

Dodajmy teraz oba równania. W wyniku dodawania powstaje równanie 6 B= 48, którego pierwiastek wynosi 8. Zastąp B do pierwszego równania i znajdź A

Układ równań liniowych z trzema zmiennymi

Równanie liniowe z trzema zmiennymi zawiera trzy zmienne ze współczynnikami, a także wyraz wolny. W formie kanonicznej można to zapisać następująco:

topór + by + cz = re

Równanie to ma niezliczoną ilość rozwiązań. Nadając dwóm zmiennym różne wartości, można znaleźć trzecią wartość. Rozwiązaniem w tym przypadku jest trójka wartości ( X; y; z), co zamienia równanie w tożsamość.

Jeśli zmienne x, y, z są ze sobą powiązane trzema równaniami, wówczas powstaje układ trzech równań liniowych z trzema zmiennymi. Do rozwiązania takiego układu można zastosować te same metody, które obowiązują w przypadku równań liniowych z dwiema zmiennymi: metodę podstawienia i metodę dodawania.

Przykład 1. Rozwiąż następujący układ równań metodą podstawieniową:

Wyraźmy to w trzecim równaniu X. Wtedy system przyjmie postać:

Teraz dokonajmy podstawienia. Zmienny X jest równe wyrażeniu 3 − 2y − 2z . Podstawmy to wyrażenie do pierwszego i drugiego równania:

Otwórzmy nawiasy w obu równaniach i przedstawmy podobne wyrażenia:

Dotarliśmy do układu równań liniowych z dwiema zmiennymi. W takim przypadku wygodnie jest zastosować metodę dodawania. W efekcie zmienna y zniknie i będziemy mogli znaleźć wartość zmiennej z

Teraz znajdźmy wartość y. Aby to zrobić, wygodnie jest użyć równania − y+ z= 4. Zastąp do niego wartość z

Teraz znajdźmy wartość X. Aby to zrobić, wygodnie jest użyć równania X= 3 − 2y − 2z . Podstawmy w nim wartości y I z

Zatem trójka wartości (3; −2; 2) jest rozwiązaniem naszego układu. Sprawdzając upewniamy się, że wartości te spełniają system:

Przykład 2. Rozwiąż układ metodą dodawania

Dodajmy pierwsze równanie do drugiego, pomnożone przez -2.

Jeśli drugie równanie zostanie pomnożone przez -2, przyjmie postać −6X+ 6y- 4z = −4 . Dodajmy to teraz do pierwszego równania:

Widzimy, że w wyniku elementarnych przekształceń została wyznaczona wartość zmiennej X. Jest równy jeden.

Wróćmy do głównego systemu. Dodajmy drugie równanie do trzeciego, pomnożone przez -1. Jeśli trzecie równanie zostanie pomnożone przez -1, przyjmie postać −4X + 5y − 2z = −1 . Dodajmy to teraz do drugiego równania:

Mamy równanie x− 2y= −1 . Podstawmy do niego wartość X które znaleźliśmy wcześniej. Następnie możemy określić wartość y

Teraz znamy znaczenia X I y. Dzięki temu możesz określić wartość z. Skorzystajmy z jednego z równań zawartych w układzie:

Zatem potrójna wartość (1; 1; 1) jest rozwiązaniem naszego układu. Sprawdzając upewniamy się, że wartości te spełniają system:

Zagadnienia tworzenia układów równań liniowych

Zadanie układania układów równań rozwiązuje się poprzez wprowadzenie kilku zmiennych. Następnie zestawiane są równania w oparciu o warunki problemu. Z opracowanych równań tworzą układ i rozwiązują go. Po rozwiązaniu układu należy sprawdzić, czy jego rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Problem 1. Samochód Wołga wyjechał z miasta do kołchozu. Wróciła inną drogą, o 5 km krótszą od pierwszej. W sumie samochód przejechał w obie strony 35 km. Ile kilometrów ma długość każdej drogi?

Rozwiązanie

Pozwalać X- długość pierwszej drogi, y- długość drugiej. Jeśli samochód przejechał w obie strony 35 km, pierwsze równanie można zapisać jako X+ y= 35. Równanie to opisuje sumę długości obu dróg.

Mówi się, że samochód wracał drogą o 5 km krótszą od pierwszej. Następnie drugie równanie można zapisać jako X− y= 5. Z tego równania wynika, że ​​różnica długości dróg wynosi 5 km.

Lub drugie równanie można zapisać jako X= y+ 5. Będziemy korzystać z tego równania.

Ponieważ zmienne X I y w obu równaniach oznaczamy tę samą liczbę, to możemy z nich ułożyć układ:

Rozwiążmy ten układ, korzystając z niektórych z wcześniej zbadanych metod. W takim przypadku wygodnie jest zastosować metodę podstawienia, ponieważ w drugim równaniu zmienna X już wyrażone.

Zastąp drugie równanie pierwszym i znajdź y

Zastąpmy znalezioną wartość y w drugim równaniu X= y+ 5 i znajdziemy X

Za pomocą zmiennej wyznaczono długość pierwszej drogi X. Teraz odkryliśmy jego znaczenie. Zmienny X wynosi 20. Oznacza to, że długość pierwszej drogi wynosi 20 km.

A długość drugiej drogi oznaczono y. Wartość tej zmiennej wynosi 15. Oznacza to, że długość drugiej drogi wynosi 15 km.

Sprawdźmy. Najpierw upewnijmy się, że system został rozwiązany poprawnie:

Sprawdźmy teraz, czy rozwiązanie (20; 15) spełnia warunki zadania.

Mówiono, że samochód przejechał w sumie 35 km w obie strony. Dodajemy długości obu dróg i upewniamy się, że rozwiązanie (20; 15) spełnia warunek: 20 km + 15 km = 35 km

Następujący warunek: samochód wrócił inną drogą, krótszą o 5 km od pierwszej . Widzimy, że rozwiązanie (20; 15) również spełnia ten warunek, gdyż 15 km jest krótsze od 20 km o 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Podczas tworzenia układu ważne jest, aby zmienne reprezentowały te same liczby we wszystkich równaniach wchodzących w skład tego układu.

Zatem nasz układ zawiera dwa równania. Równania te z kolei zawierają zmienne X I y, które w obu równaniach reprezentują te same liczby, a mianowicie długości dróg wynoszące 20 km i 15 km.

Problem 2. Na platformę załadowano podkłady dębowe i sosnowe, łącznie 300 podkładów. Wiadomo, że wszystkie podkłady dębowe ważyły ​​o 1 tonę mniej niż wszystkie podkłady sosnowe. Oblicz, ile podkładów dębowych i sosnowych było osobno, jeśli każdy podkład dębowy ważył 46 kg, a każdy podkład sosnowy 28 kg.

Rozwiązanie

Pozwalać X dąb i y Na platformę załadowano podkłady sosnowe. Jeśli w sumie było 300 podkładów, pierwsze równanie można zapisać jako x+y = 300 .

Wszystkie podkłady dębowe ważyły ​​46 X kg, a sosnowe 28 y kg. Ponieważ podkłady dębowe ważyły ​​​​o 1 tonę mniej niż podkłady sosnowe, drugie równanie można zapisać jako 28y- 46X= 1000 . Z równania tego wynika, że ​​różnica mas pomiędzy podkładami dębowymi i sosnowymi wynosi 1000 kg.

Tony przeliczono na kilogramy, ponieważ masę podkładów dębowych i sosnowych mierzono w kilogramach.

W rezultacie otrzymujemy dwa równania tworzące układ

Rozwiążmy ten system. Wyraźmy to w pierwszym równaniu X. Wtedy system przyjmie postać:

Zastąp pierwsze równanie drugim i znajdź y

Zastąpmy y w równanie X= 300 − y i dowiedz się, co to jest X

Oznacza to, że na platformę załadowano 100 podkładów dębowych i 200 sosnowych.

Sprawdźmy, czy rozwiązanie (100; 200) spełnia warunki zadania. Najpierw upewnijmy się, że system został rozwiązany poprawnie:

Mówiono, że w sumie podkładów było 300. Sumujemy liczbę podkładów dębowych i sosnowych i upewniamy się, że rozwiązanie (100; 200) spełnia warunek: 100 + 200 = 300.

Następujący warunek: wszystkie podkłady dębowe ważyły ​​o 1 tonę mniej niż wszystkie podkłady sosnowe . Widzimy, że rozwiązanie (100; 200) również spełnia ten warunek, ponieważ 46 × 100 kg podkładów dębowych jest lżejsze niż 28 × 200 kg podkładów sosnowych: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

Problem 3. Wzięliśmy trzy kawałki stopu miedzi i niklu w proporcjach wagowych 2: 1, 3: 1 i 5: 1. Stopiono z nich kawałek o masie 12 kg, w którym stosunek zawartości miedzi do niklu wynosił 4:1. Znajdź masę każdego pierwotnego kawałka, jeśli masa pierwszego jest dwukrotnie większa od masy drugiego.