Złożone stwierdzenia. Operacje logiczne

Oświadczenie jest formacją bardziej złożoną niż nazwa. Kiedy rozkładamy instrukcje na prostsze części, zawsze otrzymujemy określone nazwy. Powiedzmy, że stwierdzenie „Słońce jest gwiazdą” zawiera nazwy „Słońce” i „gwiazda” jako swoje części.

Oświadczenie - zdanie poprawne gramatycznie, łącznie ze znaczeniem (treścią), które wyraża oraz czy jest prawdziwe, czy fałszywe.

Pojęcie zdania jest jednym z oryginalnych, kluczowych pojęć współczesnej logiki. W związku z tym nie pozwala na precyzyjną definicję, która miałaby jednakowe zastosowanie w różnych jej sekcjach.

Zdanie uważa się za prawdziwe, jeśli podany w nim opis odpowiada sytuacji rzeczywistej, a za fałszywe, jeśli jej nie odpowiada. „Prawda” i „fałsz” nazywane są „wartościami prawdziwościowymi stwierdzeń”.

Z poszczególnych stwierdzeń można na różne sposoby konstruować nowe stwierdzenia. Na przykład ze stwierdzeń „Wiatr wieje” i „Pada deszcz” można sformułować bardziej złożone stwierdzenia „Wiatr wieje i pada deszcz”, „Albo wieje wiatr, albo pada deszcz”, „Jeśli pada deszcz, potem wieje wiatr” itp.

Oświadczenie to tzw prosty, chyba że zawiera inne stwierdzenia jako jego części.

Oświadczenie to tzw złożony, jeśli jest uzyskiwany za pomocą spójników logicznych z innych prostszych instrukcji.

Przyjrzyjmy się najważniejszym sposobom konstruowania złożonych stwierdzeń.

Negatywne stwierdzenie składa się ze stwierdzenia początkowego i zaprzeczenia, wyrażanego zwykle słowami „nie”, „to nieprawda”. Zdanie negatywne jest zatem stwierdzeniem złożonym: zawiera w sobie stwierdzenie odmienne od niego. Np. negacją stwierdzenia „10 jest liczbą parzystą” jest stwierdzenie „10 nie jest liczbą parzystą” (lub: „Nie jest prawdą, że 10 jest liczbą parzystą”).

Oznaczmy zdania literami A, B, C,... Pełne znaczenie pojęcia negacji zdania nadaje warunek: jeśli zdanie A jest prawdziwe, jego negacja jest fałszywa i jeśli A jest fałszywe, jego zaprzeczenie jest prawdziwe. Na przykład, ponieważ stwierdzenie „1 jest dodatnią liczbą całkowitą” jest prawdziwe, jego zaprzeczenie „1 nie jest dodatnią liczbą całkowitą” jest fałszywe, a ponieważ „1 jest liczbą pierwszą” jest fałszywe, jego negacja „1 nie jest liczbą pierwszą ” jest prawdą.

Połączenie dwóch instrukcji za pomocą słowa „i” tworzy złożoną instrukcję zwaną spójnik. Instrukcje połączone w ten sposób nazywane są „członkami spójnika”.

Na przykład, jeśli połączymy w ten sposób stwierdzenia „Dzisiaj jest gorąco” i „Wczoraj było zimno”, otrzymamy spójnik „Dzisiaj jest gorąco, a wczoraj było zimno”.

Spójnik jest prawdziwy tylko wtedy, gdy oba zawarte w nim stwierdzenia są prawdziwe; jeśli przynajmniej jeden z jego członków jest fałszywy, to cała koniunkcja jest fałszywa.

W języku potocznym dwa stwierdzenia są połączone spójnikiem „i”, gdy są ze sobą powiązane treścią lub znaczeniem. Natura tego związku nie jest do końca jasna, ale jasne jest, że nie uznalibyśmy spójnika „On chodził w płaszczu, a ja szłam na uniwersytet” za wyrażenie posiadające znaczenie i mogące być prawdziwe lub fałszywe. Choć stwierdzenia „2 to liczba pierwsza” i „Moskwa to duże miasto” są prawdziwe, to jednak nie jesteśmy skłonni uważać za prawdziwe ich koniunkcji „2 to liczba pierwsza, a Moskwa to duże miasto”, gdyż składniki stwierdzenia te nie są ze sobą powiązane znaczeniowo. Upraszczając znaczenie spójnika i innych spójników logicznych i w tym celu rezygnując z niejasnego pojęcia „powiązania zdań znaczeniem”, logika poszerza znaczenie tych spójników i czyni je bardziej szczegółowymi.

Połączenie dwóch instrukcji za pomocą słowa „lub” daje dysjunkcja te stwierdzenia. Instrukcje tworzące alternatywę nazywane są „członkami alternatywy”.

Słowo „lub” ma w języku potocznym dwa różne znaczenia. Czasami oznacza „jedno lub drugie, albo oba”, a czasem „jedno lub drugie, ale nie oba”. Przykładowo stwierdzenie „Chcę w tym sezonie wybrać się na Damę Pikową lub Aidę” dopuszcza możliwość dwukrotnego odwiedzenia onery. Stwierdzenie „studiuje na Uniwersytecie Moskiewskim lub Jarosławiu” oznacza, że ​​wspomniana osoba studiuje tylko na jednej z tych uczelni.

Pierwsze znaczenie „lub” nazywa się niewyłączne. W tym sensie rozłączenie dwóch zdań oznacza, że ​​co najmniej jedno z nich jest prawdziwe, niezależnie od tego, czy oba są prawdziwe, czy nie. Zrobione w drugim ekskluzywny lub w ścisłym sensie rozłączenie dwóch zdań stwierdza, że ​​jedno ze zdań jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Rozłączenie niewyłączne jest prawdziwe, gdy przynajmniej jedno z jego zdań składowych jest prawdziwe, a fałszywe tylko wtedy, gdy obaj jego członkowie są fałszywi.

Rozłączenie wyłączne jest prawdziwe, gdy tylko jeden z jego warunków jest prawdziwy, i jest fałszywe, gdy oba jego warunki są prawdziwe lub oba są fałszywe.

W logice i matematyce słowo „lub” jest prawie zawsze używane w znaczeniu niewyłącznym.

Instrukcja warunkowa - złożone stwierdzenie, zwykle formułowane przy użyciu łącznika „jeśli…, to…” i ustalające to jedno wydarzenie, stan itp. jest w tym czy innym sensie podstawą lub warunkiem innego.

Na przykład: „Jeśli jest ogień, to jest dym”, „Jeśli liczba jest podzielna przez 9, jest podzielna przez 3” itp.

Instrukcja warunkowa składa się z dwóch prostszych instrukcji. Ten, który jest poprzedzony słowem „jeśli”, nazywa się podstawa, Lub poprzednik(poprzedni) nazywa się stwierdzenie występujące po słowie „że”. konsekwencja, Lub wynikający(późniejszy).

Potwierdzając zdanie warunkowe, mamy przede wszystkim na myśli, że nie może być tak, że to, co zostało powiedziane na jego podstawie, miało miejsce, a to, co zostało powiedziane w konsekwencji, było nieobecne. Innymi słowy, nie może się zdarzyć, że poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

Jeśli chodzi o zdanie warunkowe, zwykle definiuje się pojęcia warunków wystarczających i koniecznych: poprzednik (podstawa) jest warunkiem wystarczającym następnika (konsekwencji), a następnik jest warunkiem koniecznym poprzednika. Przykładowo prawdziwość zdania warunkowego „Jeżeli wybór jest racjonalny, to wybierana jest najlepsza z dostępnych alternatyw” oznacza, że ​​racjonalność jest powodem wystarczającym do wyboru najlepszej z dostępnych opcji i że wybór takiej opcji jest warunek konieczny jej racjonalności.

Typową funkcją instrukcji warunkowej jest uzasadnienie jednej instrukcji poprzez odniesienie do innej instrukcji. Na przykład fakt, że srebro przewodzi prąd elektryczny, można uzasadnić faktem, że jest metalem: „Jeśli srebro jest metalem, to przewodzi prąd elektryczny”.

Związek podstawy z uziemieniem (podstawą i konsekwencją) wyrażony zdaniem warunkowym jest trudny do ogólnego scharakteryzowania i tylko czasami jego natura jest stosunkowo jasna. Powiązaniem tym może być, po pierwsze, związek o logicznej konsekwencji, który zachodzi między przesłankami a wnioskiem prawidłowego wniosku („Jeśli wszystkie żyjące stworzenia wielokomórkowe są śmiertelne, a meduza jest takim stworzeniem, to jest śmiertelna”); po drugie, zgodnie z prawem natury („Jeśli ciało zostanie poddane tarciu, zacznie się nagrzewać”); po trzecie, związek przyczynowy („Jeśli Księżyc znajduje się w węźle swojej orbity w czasie nowiu, następuje zaćmienie słońca”); po czwarte, prawidłowość społeczna, reguła, tradycja itp. („Jeśli zmienia się społeczeństwo, zmienia się też człowiek”, „Jeśli rada jest rozsądna, należy ją zastosować”).

Związkowi wyrażonemu zdaniem warunkowym towarzyszy zwykle przekonanie, że konsekwencja „wynika” z pewną koniecznością z rozumu i że istnieje jakieś ogólne prawo, potrafiąc je sformułować, moglibyśmy logicznie wywnioskować konsekwencję z rozumu .

Na przykład stwierdzenie warunkowe „Jeśli bizmut jest metalem, to tworzywo sztuczne” wydaje się zakładać ogólne prawo „Żadne metale nie są plastyczne”, czyniąc następnik tego stwierdzenia logiczną konsekwencją jego poprzednika.

Zarówno w języku potocznym, jak i w języku nauki zdanie warunkowe, oprócz funkcji uzasadniającej, może spełniać także szereg innych zadań: sformułować warunek, który nie jest powiązany z żadnym dorozumianym ogólnym prawem lub regułą („Jeśli Chcę, obetnę płaszcz”); nagraj dowolną sekwencję („Jeśli poprzednie lato było suche, to w tym roku będzie deszczowo”); wyrazić niedowierzanie w osobliwej formie („Jeśli rozwiążesz to zadanie, udowodnię ostatnie twierdzenie Fermata”); sprzeciw („Jeśli w ogrodzie rośnie czarny bez, to w Kijowie mieszka facet”) itp. Wielość i niejednorodność funkcji instrukcji warunkowej znacznie komplikuje jej analizę.

Stosowanie instrukcji warunkowych wiąże się z pewnymi czynnikami psychologicznymi. Dlatego z reguły formułujemy takie zdanie tylko wtedy, gdy nie wiemy z całą pewnością, czy jego poprzednik i następnik są prawdziwe, czy fałszywe. W przeciwnym razie jego użycie wydaje się nienaturalne („Jeśli wata jest metalem, to jest przewodnikiem prądu elektrycznego”).

Zdanie warunkowe znajduje bardzo szerokie zastosowanie we wszystkich obszarach rozumowania. W logice jest to zwykle reprezentowane przez stwierdzenie implikacyjne, Lub implikacje. Jednocześnie logika wyjaśnia, systematyzuje i upraszcza użycie „jeśli…, to…”, uwalniając je od wpływu czynników psychologicznych.

Logika jest abstrahowana w szczególności od tego, że charakterystyczny dla zdania warunkowego związek między powodem a konsekwencją, w zależności od kontekstu, można wyrazić nie tylko za pomocą „jeśli…, to…”, ale także innymi środki językowe. Na przykład: „Ponieważ woda jest cieczą, równomiernie przenosi ciśnienie we wszystkich kierunkach”, „Chociaż plastelina nie jest metalem, jest plastikiem”, „Gdyby drewno było metalem, przewodziłoby prąd elektryczny” itp. Te i podobne stwierdzenia są w języku logiki reprezentowane przez implikację, chociaż użycie w nich „jeśli…, to…” nie byłoby całkowicie naturalne.

Dokonując implikacji, twierdzimy, że nie może się zdarzyć, że istnieje jej podstawa, a jej konsekwencja jest nieobecna. Innymi słowy, implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy jej przyczyna jest prawdziwa, a jej konsekwencja jest fałszywa.

Definicja ta zakłada, podobnie jak poprzednie definicje spójników, że każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe, a wartość logiczna zdania złożonego zależy wyłącznie od wartości logicznych zdań składowych i od sposobu ich powiązania.

Implikacja jest prawdziwa, gdy zarówno jej przyczyna, jak i konsekwencja są prawdziwe lub fałszywe; jest prawdą, jeśli jej przyczyna jest fałszywa, a konsekwencja prawdziwa. Tylko w czwartym przypadku, gdy przyczyna jest prawdziwa, a konsekwencja fałszywa, implikacja jest fałszywa.

Nie oznacza to, że oświadczenia A I W są ze sobą w jakiś sposób powiązane treściowo. Jeśli to prawda W stwierdzenie „jeśli A, To W" prawdą niezależnie od tego, czy A prawda czy fałsz i jest to powiązane w znaczeniu z W lub nie.

Na przykład następujące stwierdzenia są uważane za prawdziwe: „Jeśli na Słońcu jest życie, to dwa i dwa równa się cztery”, „Jeśli Wołga jest jeziorem, to Tokio jest dużą wioską” itp. Zdanie warunkowe jest również prawdziwe, gdy A fałszywe i znowu obojętnie prawdziwe W czy nie i czy jest to powiązane treściowo z A lub nie. Prawdziwe stwierdzenia obejmują: „Jeśli Słońce jest sześcianem, to Ziemia jest trójkątem”, „Jeśli dwa plus dwa równa się pięć, to Tokio jest małym miastem” itp.

W zwykłym rozumowaniu jest mało prawdopodobne, aby wszystkie te stwierdzenia zostały uznane za znaczące, a tym bardziej za prawdziwe.

Chociaż implikacja jest przydatna do wielu celów, nie jest całkowicie zgodna ze zwykłym rozumieniem połączenia warunkowego. Implikacja obejmuje wiele istotnych cech logicznego zachowania instrukcji warunkowej, ale jednocześnie nie jest jej dostatecznie adekwatnym opisem.

W ciągu ostatniego półwiecza podejmowano energiczne próby zreformowania teorii implikacji. Nie chodziło przy tym o rezygnację z opisywanej koncepcji implikacji, lecz o wprowadzenie wraz z nią innej koncepcji, która uwzględnia nie tylko wartość prawdziwości zdań, ale także ich związek treściowy.

Ściśle powiązany z implikacją równorzędność, czasami nazywane „podwójną implikacją”.

Równoważność jest złożonym stwierdzeniem „A wtedy i tylko wtedy, gdy B”, utworzonym ze stwierdzeń Li B i rozkładającym się na dwie implikacje: „jeśli A, wtedy B” i „jeśli B, to A". Na przykład: „Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest równokątny”. Termin „równoważność” oznacza także łącznik „... wtedy i tylko wtedy, gdy…”, za pomocą którego z dwóch zdań powstaje zdanie złożone. Zamiast „jeśli i tylko wtedy” można w tym celu użyć „wtedy i tylko wtedy”, „wtedy i tylko wtedy” itp.

Jeśli łączniki logiczne definiuje się w kategoriach prawdy i fałszu, równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania składowe mają tę samą wartość logiczną, tj. kiedy oba są prawdziwe lub oba fałszywe. Zatem równoważność jest fałszywa, gdy jedno z zawartych w niej stwierdzeń jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Drodzy przyjaciele, cieszymy się, że widzimy Was na tej stronie! Drogi gościu, możliwe, że szukasz prostych cytatów ze zdjęciami na ten temat. Fajny! Znalazłeś to, czego szukałeś. Życzymy inspirującej lektury i samodoskonalenia!

Ci, którzy uparcie wystawiają swoje życie na próbę, prędzej czy później osiągają swój cel i kończą go spektakularnie.

Uświadomiłem sobie, że aby zrozumieć sens życia, trzeba przede wszystkim, aby życie nie było bezsensowne i złe, a dopiero potem rozumować, aby je zrozumieć. Tołstoj L. N.

Im silniejsza miłość, tym bardziej jest bezbronna. Księżna Diana (Marie de Bossac)

Raz w życiu los puka do drzwi każdego człowieka, ale o tej porze często człowiek siedzi w najbliższej knajpie i nie słyszy pukania. Marka Twaina

Nie boję się kogoś, kto studiuje 10 000 różnych uderzeń. Boję się tego, który uczy się jednego ciosu 10 000 razy.

Codziennie o Tobie śnię, myślę o Tobie w nocy!

Niewolnikiem nazywa się każdego, kto nie może mieć dla siebie 2/3 dnia. Fryderyka Nietzschego

Byłem jednym z tych, którzy zgodzili się porozmawiać o sensie życia, aby być gotowym na redakcję układu na ten temat. Eko U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - kobieta piękna na czubku głowy, zakończona rybim ogonem.

Jesteśmy niewolnikami naszych nawyków. Zmień swoje nawyki, a Twoje życie się zmieni. Roberta Kiyosakiego

Mógłbyś wyciągnąć rękę i złapać szczęście. To bardzo blisko! Ale zawsze patrzysz wstecz

Zawsze możesz wybaczyć sobie błędy, jeśli tylko masz odwagę się do nich przyznać. Bruce'a Lee

Pierwszy oddech miłości jest ostatnim oddechem mądrości. Antoni Brett.

Przyjaźń to miłość bez skrzydeł. Byrona

Jeśli ktoś potrafi powiedzieć, czym jest miłość, to znaczy, że nikogo nie kochał.

W czymkolwiek się zakochasz, pocałuj to.

dzięki kilku osobom mogę pokonać swoją dumę i strach...

Nasza miłość zaczęła się od pierwszego wejrzenia.

Zazdrość jest zdradą przez podejrzenie zdrady. W. Krotow

Z wyjątkowym mężczyzną - chcę to powtórzyć!

Kobieta o skłonnościach romantycznych czuje obrzydzenie do seksu bez miłości. Dlatego spieszy się, by zakochać się od pierwszego wejrzenia. Lidia Jasińska

Miłość jest w każdym, ale warto ją okazywać tylko tym, którzy są na Ciebie otwarci.

Sekret miłości do człowieka zaczyna się w momencie, gdy patrzymy na niego bez chęci posiadania go, bez chęci panowania nad nim, bez chęci wykorzystania w jakikolwiek sposób jego darów czy osobowości – po prostu patrzymy i zdumiewają się pięknem, które zostało nam objawione. Antoni, metropolita Souroża

Chciałbym żyć w prymitywnym społeczeństwie. Nie trzeba myśleć o pieniądzach, o wojsku, o żadnych tytułach i stopniach naukowych. Ważne są tylko kobiety, bydło i niewolnicy.

Kiedy człowiekowi niewygodnie jest leżeć na jednym boku, przewraca się na drugi, a kiedy niewygodnie mu żyć, tylko narzeka. A ty podejmujesz wysiłek i przewracasz się. Maksym Gorki

Powolna wskazówka czasu wygładza góry. Wolter

Kobiety mają całe serce, nawet głowę. Jean Paul

Twój pocałunek był tak słodki, że po prostu zainspirowało mnie szczęście!

Osoba wyciąga rękę niczym kiełek w stronę Luminarza i staje się wyższa. Śniąc o niemożliwych do zrealizowania marzeniach, osiąga niebotyczne wyżyny.

Prawdziwa przyjaźń jest lepsza niż fałszywa miłość!

Nie możemy zostać pozbawieni szacunku do samego siebie, jeśli sami nie damy go Gandhiemu.

Miłość to wspólny egoizm.

Wiedza czyni człowieka bardziej znaczącym, a działania dodają mu blasku. Ale wiele osób ma tendencję do patrzenia, ale nie ważenia. T. Carlyle’a

Tylko w Rosji nazywają bliskich... Mój żal!

Nieodwzajemniona miłość nie jest miłością, ale torturą!

Adekwatność to zdolność do zrobienia dwóch rzeczy: milczenia w odpowiednim czasie i mówienia w odpowiednim czasie.

Szczęście wiąże się z właściwym osądem, właściwy osąd wiąże się z doświadczeniem, a doświadczenie wiąże się z błędnym osądem.

Nie oczekuj, że wszystko stanie się łatwiejsze, prostsze i lepsze. Nie będzie. Zawsze będą trudności. Naucz się być szczęśliwym już teraz. Inaczej nie będziesz miał czasu.

Życie, szczęśliwe lub nieszczęśliwe, udane lub nie, jest nadal niezwykle interesujące. B. Shaw

Nie uważaj się za mądrego, w przeciwnym razie twoja dusza uniesie się w dumie i wpadniesz w ręce swoich wrogów. Antoni Wielki

Zaloty do żony wydawały mu się równie absurdalne jak polowanie na pieczoną zwierzynę. Emila Krotkiego

Listy i prezenty oraz błyszczące zdjęcia wyrażające uczucia są ważne. Ale jeszcze ważniejsze jest słuchanie siebie twarzą w twarz; to wielka i rzadka sztuka. T. Janssona.

Życie jest tak diabelnie umiejętnie ułożone, że nie wiedząc, jak nienawidzić, nie da się szczerze kochać. M. Gorki

Miło jest, gdy ukochana osoba wręcza Ci ogromny bukiet, miło jest, do cholery!

Bez strachu ludzie zamieniają się w lekkomyślnych głupców, którzy często tracą życie. Isaac Asimov Fantastyczna podróż II

Przyjaciel to jedna dusza żyjąca w dwóch ciałach. Arystoteles

Bycie osobą myślącą tylko o sobie nie oznacza robienia tego, na co ma ochotę. Oznacza to, że chcesz, aby cały świat żył tak, jak chcesz. — O. Wilde

Każda mama powinna wygospodarować dla siebie kilka minut wolnego czasu na zmywanie naczyń.

Zdania proste i złożone, zmienne logiczne i stałe logiczne, negacja logiczna, mnożenie logiczne, dodawanie logiczne, tablice prawdy dla operacji logicznych

Aby zautomatyzować procesy informacyjne, konieczna jest nie tylko możliwość jednolitego przedstawienia informacji różnego typu (numerycznych, tekstowych, graficznych, dźwiękowych) w postaci ciągów zer i jedynek, ale także określenie działań, które można wykonać na informacja. Realizacja takich działań odbywa się zgodnie z regułami rządzącymi procesem myślenia. Inaczej mówiąc, zgodnie z prawami logiki. Termin „logika” pochodzi od starożytnego greckiego słowa1 O§08 , co oznacza „myśl, rozumowanie, prawo”. Naukalogikabada prawa i formy myślenia, metody dowodowe.

Do opisu rozumowania i zasad wykonywania działań z informacją używany jest specjalny język przyjęty w logice matematycznej. Rozumowanie opiera się na specjalnych zdaniach zwanych stwierdzeniami. Stwierdzenia zawsze potwierdzają lub zaprzeczają coś na temat obiektów, ich właściwości i relacji między obiektami. Twierdzenie to dowolne zdanie, o którym można powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe. Oświadczenia mogą być jedynie zdaniami oznajmującymi. Zdania pytające lub motywujące nie są stwierdzeniami.

Oświadczenie - zdanie sformułowane w formie zdania oznajmującego, o którym można powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.

Na przykład zdania pytające „W którym roku pojawiła się pierwsza wzmianka kronikarska o Moskwie?” oraz „Co to jest pamięć zewnętrzna komputera?” lub zdanie motywacyjne „Przestrzegaj zasad bezpieczeństwa w pracowni komputerowej” nie są stwierdzeniami. Zdania deklaratywne: „Pierwsza wzmianka o Moskwie w kronice pojawiła się w 1812 r.”, „Urządzenie pamięci o dostępie swobodnym to zewnętrzna pamięć komputera” i „W klasie komputerów nie ma potrzeby przestrzegania zasad bezpieczeństwa” są stwierdzeniami, ponieważ są to wyroków, z których każdy można powiedzieć, że jest fałszywy. Prawdziwymi stwierdzeniami będą następujące stwierdzenia: „Pierwsza kronikarska wzmianka o Moskwie pochodzi z 1147 r.”, „Twardy dysk magnetyczny to zewnętrzna pamięć komputera”.

Każde stwierdzenie odpowiada tylko jednemu z dwóch znaczeń: „prawda” lub „fałsz”.stałe logiczne.Wartość prawdziwa jest zwykle oznaczana liczbą 1, a wartość fałszywa liczbą 0. Instrukcje można oznaczać za pomocązmienne logiczne,które są używane wielkimi literami łacińskimi. Zmienne logiczne mogą przyjmować tylko jedną z dwóch możliwych wartości: prawdę lub fałsz. Na przykład stwierdzenie „Informacja w komputerze jest kodowana przy użyciu dwóch znaków” można oznaczyć zmienną logicznąA,a stwierdzenie „Drukarka jest urządzeniem pamięci masowej” można oznaczyć zmienną logicznąW.Skoro więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziweA= 1. Zapis ten oznacza, że ​​stwierdzenieAPRAWDA. Ponieważ drugie stwierdzenie nie jest prawdziwe, zatemB =0. Wpis ten oznacza, że ​​stwierdzenie in jest fałszywe.

Instrukcje mogą być proste lub złożone. Oświadczenie to tzwprosty,jeśli żadna część nie jest stwierdzeniem. Dotychczas podano przykłady prostych stwierdzeń, które są oznaczone zmianami logicznymi. Budując łańcuch rozumowania, osoba za pomocą operacji logicznych łączy proste stwierdzenia wtrudniejsze” wypowiedzi.Aby poznać znaczenie złożonego stwierdzenia, nie trzeba zastanawiać się nad jego treścią. Wystarczy znać znaczenie prostych zdań składających się na zdanie złożone oraz zasady wykonywania operacji logicznych.

Operacja logiczna - akcja pozwalająca na zbudowanie złożonego zestawienia z prostych stwierdzeń.

Całe rozumowanie człowieka, a także działanie współczesnych urządzeń technicznych opiera się na standardowych działaniach z informacją - trzech operacjach logicznych: logicznej negacji (inwersja), logicznego mnożenia (koniunkcja) i logicznego dodawania (dysjunkcja).

Negacja logiczna proste zestawienie uzyskuje się przez dodanie słów„To nieprawda, że” na początku prostej wypowiedzi.

■ PRZYKŁAD 1.Jest proste powiedzenie: „Krokodyle potrafią latać”. Wynikiem logicznej negacji będzie stwierdzenie„To nieprawda, że krokodyle potrafią latać.” Znaczenie pierwotnego stwierdzenia jest „fałszywe”, a znaczenie nowego jest „prawdziwe”.

■ PRZYKŁAD 2.Istnieje proste stwierdzenie: „Plik musi mieć nazwę”. Wynikiem logicznej negacji będzie stwierdzenie„To nieprawda, że plik musi mieć nazwę.” Znaczenie pierwotnego stwierdzenia jest „prawdziwe”, a znaczenie nowego stwierdzenia jest „fałszywe”.

Można zauważyć, że logiczna negacja zdania jest prawdziwa, gdy pierwotne zdanie jest fałszywe i odwrotnie, logiczna negacja zdania jest fałszywa, gdy pierwotne zdanie jest prawdziwe.

Negacja logiczna (inwersja) - operacja logiczna polegająca na powiązaniu prostego stwierdzenia z nowym stwierdzeniem, którego znaczenie jest przeciwne do znaczenia pierwotnego stwierdzenia.

Oznaczmy proste zestawienie zmiennej logicznejA.Następnie oznaczymy logiczną negację tego stwierdzenia jako NIEA. Zapiszmy wszystkie możliwe wartości zmiennej logicznejAi odpowiadające im wyniki logicznej negacji NOTA w formie tabeli tzwtablica prawdy dla logicznej negacji (Tabela 40).

TABELA PRAWDY DLA NEGZACJI LOGICZNEJ

Jeśli/1 = 0, toANI= 1 (patrz przykład 1). JeśliA= 1, zatemANI= 0 (patrz przykład 2)

ani

Można zauważyć, że w tabeli prawdy dla logicznej negacji zero zmienia się na jeden, a jeden zmienia się na zero.

Mnożenie logicznedwa proste stwierdzenia uzyskuje się łącząc te stwierdzenia za pomocą spójnikaI.Spójrzmy na przykłady 3-6, aby zobaczyć, jaki będzie wynik mnożenia logicznego.

■ PRZYKŁAD3. Istnieją dwa proste stwierdzenia. Jedno stwierdzenie – „Carlson mieszka w piwnicy”. Inne powiedzenie brzmi: „Carlsona leczy się lodami”.

Wynikiem logicznego mnożenia tych prostych stwierdzeń będzie złożone stwierdzenie „Carlson mieszka w piwnicy,ICarlson jest leczony lodami. Nowe stwierdzenie można sformułować krócej: „Carlson mieszka w piwnicyILeczone lodami.” Obydwa oryginalne stwierdzenia są fałszywe. Znaczenie nowego wyrażenia złożonego jest również „fałszywe”.

■ PRZYKŁAD 4.Istnieją dwa proste stwierdzenia. Pierwsze stwierdzenie brzmi: „Carlson mieszka w piwnicy”. Drugie stwierdzenie brzmi: „Carlson jest traktowany dżemem”.

Wynikiem logicznego mnożenia tych prostych stwierdzeń będzie złożone stwierdzenie: „Carlson mieszka w piwnicyILeczone dżemem.” Pierwsze oryginalne stwierdzenie jest fałszywe, a drugie prawdziwe. Znaczenie nowego zdania złożonego to „kłamać”.

■ PRZYKŁAD 5.Istnieją dwa proste stwierdzenia. Pierwsze stwierdzenie brzmi: „Carlson mieszka na dachu”. Drugie stwierdzenie brzmi: „Carlson jest traktowany lodami”.

Wynikiem logicznego mnożenia tych prostych stwierdzeń będzie złożone stwierdzenie „Carlson mieszka na dachuILeczone lodami.” Pierwsze zdanie początkowe jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Znaczenie nowego wyrażenia złożonego „kłamstwo”.

* PRZYKŁADB. Istnieją dwa proste stwierdzenia. Jedno z powiedzeń brzmi: „Carlson mieszka na dachu”. Inne powiedzenie: „Carlsona traktuje się dżemem”.

Wynikiem logicznego mnożenia tych prostych stwierdzeń będzie złożone stwierdzenie: „Carlson mieszka na dachu i jest traktowany dżemem”. Obydwa oryginalne stwierdzenia są prawdziwe. Znaczenie nowego złożonego stwierdzenia to także „prawda”.

Można zauważyć, że logiczne mnożenie dwóch zdań jest prawdziwe tylko w jednym przypadku – gdy oba pierwotne zdania są prawdziwe.S.

Mnożenie logiczne (koniunkcja) - operacja logiczna łącząca dwa proste stwierdzenia z nowym stwierdzeniem, którego znaczenie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba pierwotne stwierdzenia są prawdziwe.

TABELA PRAWDY DLA MNOŻENIA LOGICZNEGO

Tabela 41

		AIB

JeśliA = 0, W =0, potem A i B-0 (patrz przykład 3). JeśliA = 0,7? = 1, zatemAIW -0 (patrz przykład 4). Jeśli/1 = 1,B =0, zatemAOraz d=0 (patrz przykład 5). Jeśli L= \, B = \, następnie A\\ B = \(patrz przykład 6).

Zauważysz, że wyniki mnożenia logicznego są takie same, jak wyniki zwykłego mnożenia zer i jedynek.

Logiczny dodatekdwa proste stwierdzenia uzyskuje się łącząc te stwierdzenia za pomocą spójnikaLub.Spójrzmy na przykłady 7-10, aby zobaczyć, jaki będzie wynik logicznego dodawania.

PRZYKŁAD 7 . Istnieją dwa proste stwierdzenia. Jedno stwierdzenie - „Komedia „Generał inspektor” został napisany przez M. Yu. Kolejne stwierdzenie - „Komedia „Generał Inspektor” został napisany przez I. A. Kryłowa”.

Rezultatem logicznego dodania tych prostych stwierdzeń będzie złożone stwierdzenie „Komedia „Generał Inspektor” został napisany przez M. Yu LermontowaLubI. A. Kryłow.” Obydwa oryginalne stwierdzenia są fałszywe. Znaczenie nowego wyrażenia złożonego jest również „fałszywe”.

PRZYKŁAD 8. Istnieją dwa proste stwierdzenia. Pierwsze stwierdzenie brzmi: „Komedia „Generał inspektor” został napisany przez M. Yu. Drugie stwierdzenie brzmi: „Komedia „Generał Inspektor” została napisana przez N.V. Gogola”.

Wynik logicznego dodania tych prostych stwierdzeńniepojawi się złożone stwierdzenie „Komedia „Generał Inspektor” napisali M, K). LermontowLubN.V. Gogol.” Najpierw inicjal CiebieTo stwierdzenie jest fałszywe, a drugie jest prawdziwe. Znaczenie nowego złożonego stwierdzenia to „prawda”.

PRZYKŁAD 9 . Istnieją dwa proste stwierdzenia. Pierwsze stwierdzenie brzmi: „Wiersz „Mtsyri” napisał M. Yu. Drugie stwierdzenie brzmi: „Wiersz „Mtsyri” został napisany przez N.V. Gogola”. Wynikiem logicznego dodania tych prostych stwierdzeń będzie złożone stwierdzenie „Wiersz „Mtsyri” został napisany przez M. Yu Lermontowa lub N. V. Gogola”. Pierwsze oryginalne stwierdzenie jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Znaczenie nowego złożonego stwierdzenia to „prawda”.

PRZYKŁAD 10 . Istnieją dwa proste stwierdzenia. Jedno stwierdzenie – „A. S. Puszkin pisał wiersze” Kolejne stwierdzenie – „A. S. Puszkin pisał prozę.” Wynikiem logicznego dodania tych prostych stwierdzeń będzie złożone stwierdzenie „A. S. Puszkin pisał wiersze lub prozę.” Obydwa oryginalne stwierdzenia są prawdziwe. Znaczenie nowego zdania złożonego to także „prawda”.

Można zauważyć, że logiczne dodanie dwóch zdań jest fałszywe tylko w jednym przypadku – gdy oba zdania początkowe są fałszywe.

Dodatek logiczny (alternatywa)- operacja logiczna, która łączy dwa proste stwierdzenia z nowym zdaniem, którego znaczenie jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy oba pierwotne zdania są fałszywe.

Oznaczmy jedno proste stwierdzenie zmienną logiczną A, a drugie proste zdanie zmienną logiczną B.

Następnie zaznaczymy logiczne dodanie tych stwierdzeń A LUB W

Zapiszmy wszystkie możliwe wartości zmiennych logicznych A, B, a także odpowiadający im wynik dodania logicznego A LUB B w postaci tabeli zwanej tabelą prawdy.

Operacje na znakach binarnych wykonywane są zgodnie z tablicami prawdy dodawania logicznego

Jeśli A=0, B =0, to A LUB B =0 (patrz przykład 7) Jeśli A = 0, B = 1, to A LUB B = 1 (patrz przykład 8) Jeśli A = 1, B = 0, to A LUB B = 1 (patrz przykład 9) Jeśli A=1, B =1, to A LUB B =1 (patrz przykład 10)

A LUB B

Można zauważyć, że wyniki dodawania logicznego, za wyjątkiem ostatniej linijki, pokrywają się z wynikami zwykłego dodawania zer i jedynek.

Zatem posługując się językiem logiki, rozumowanie można zastąpić działaniami ze stwierdzeniami. Z kolei twierdzeniom można przypisać znak binarny - 0 lub 1. Działania ze znakami binarnymi wykonywane są zgodnie z tablicami prawdy dla podstawowych operacji logicznych negacji logicznej, mnożenia logicznego i dodawania logicznego (patrz tabele 40-42)

23. Oświadczenia. Operacje logiczne

Logiczne dodanie (alternatywa) dwóch zdań jest fałszywe

1) wtedy i tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia są prawdziwe

2) wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są fałszywe

3) gdy przynajmniej jedno stwierdzenie jest prawdziwe

4) gdy co najmniej jedno zdanie jest fałszywe

Wyrażenia logiczne. Wykonywanie operacji logicznych

Zapisywanie wyrażeń logicznych, priorytet wykonywania operacji logicznych, znajdowanie wartości wyrażenia logicznego, wykonywanie operacji logicznych na informacjach różnego typu. Negacja logiczna, mnożenie logiczne i dodawanie logiczne tworzą kompletny system operacji logicznych, za pomocą których możesz skomponuj dowolne złożone stwierdzenie i ustal jego prawdziwość. Opisując rozumowanie językiem logiki matematycznej, proste zdania oznaczamy zmiennymi logicznymi (literami łacińskimi), znaczenie zdań oznaczamy stałymi logicznymi (zerami lub jedynkami), a operacje logiczne oznaczamy specjalnymi łącznikami (NOT, AND, LUB). Rekord skompilowany przy użyciu takich zmiennych, stałych i łączników nazywany jest wyrażeniem logicznym.

Wyrażenie logiczne to zapis symboliczny w języku logiki matematycznej, składający się ze zmiennych logicznych lub stałych logicznych, połączonych operacjami logicznymi (połączeniami).

Przy znajdowaniu wartości wyrażenia logicznego operacje logiczne wykonywane są w określonej kolejności, zgodnie z ich priorytetem - najpierw logiczna negacja, potem logiczne mnożenie, a dopiero potem logiczne dodawanie. Operacje logiczne o tym samym priorytecie wykonywane są od lewej do prawej. Nawiasy służą do zmiany kolejności wykonywania operacji logicznych.

▪ PRZYKŁAD 1. Biorąc pod uwagę proste prawdziwe stwierdzenie A = „Arystoteles jest starożytnym filozofem greckim” i proste fałszywe stwierdzenie B = „Arystoteles jest starożytnym filozofem rosyjskim”.

Działania na informacjach. Podstawowe operacje

znaczenia zdań złożonych, które odpowiadają następującym wyrażeniom logicznym:

1) ANI;

2) A LUB B;

3) A I (NEV).

Rozwiązanie. 1) Wynikiem logicznej negacji zdania A będzie stwierdzenie: „Nie jest prawdą, że Arystoteles jest starożytnym filozofem greckim”. Ponieważ wartość pierwotnego stwierdzenia „prawda” wynosi A = 1, to wartość logicznej negacji tego stwierdzenia „fałsz” NIE wynosi A = 0 (patrz tabela 40). 2) Wynikiem logicznego dodania dwóch stwierdzeń będzie stwierdzenie „Arystoteles jest starożytnym Grekiem lub Arystoteles jest starożytnym rosyjskim filozofem”. Ponieważ wartość pierwszego zdania początkowego „prawda” A = 1 i wartość drugiego stwierdzenia początkowego „fałsz” B = 0, to wartość logicznego dodania tych zdań „prawda” A LUB B = 1 (patrz Tabela 42). 3) Wynikiem logicznego mnożenia zdania A i logicznej negacji zdania B będzie stwierdzenie: „Arystoteles jest starożytnym filozofem greckim i nie jest prawdą, że Arystoteles jest starożytnym filozofem rosyjskim”. Najpierw dokonujemy logicznej negacji zdania B. Ponieważ wartość pierwotnego stwierdzenia „fałsz” wynosi B = 0, to wartość logicznej negacji tego stwierdzenia „prawda” wynosi NIE B = 1 (patrz tabela 40). Ponieważ wartość pierwszego stwierdzenia początkowego „prawda” A = 1 i wartość logicznej negacji drugiego stwierdzenia początkowego „prawda” NOT B = 1, to wartość logicznego mnożenia tych stwierdzeń „prawda” A AND ( NIE B) =1

(patrz tabela 41)

Odpowiedź. 1) „Kłamstwo”; 2) „prawda”; 3) „prawda”. Aby znaleźć znaczenie zdania złożonego, wystarczy poznać znaczenie zdań prostych wchodzących w skład zdania złożonego oraz zasady wykonywania operacji logicznych łączących te proste zdania.

■ PRZYKŁAD 2. Znajdź wartość wyrażenia logicznego NIE A LUB (0 LUB 1) ORAZ (NIE B I 1), jeśli wartości zmiennych logicznych A =1, B =0.

Rozwiązanie. 1) Zastąpmy zmienne logiczne w wyrażeniu logicznym stałymi logicznymi. NEAILI(0OR 1)I(NEVI 1)= =NIE1LUB(0OR1)ORAZ(NIEAND1).

2) Ustal kolejność operacji logicznych zgodnie z ich priorytetem. HE4 1 OR6 (0 OR1 1) AND5 (HEG 0 AND3 1).

Pod oświadczenie rozumie się jako wyrażenie językowe, o którym można powiedzieć tylko jedną z dwóch rzeczy: jest prawdziwe lub fałszywe. Oświadczenia w odróżnieniu od orzeczeń nie mają charakteru osobistego.

Pytania, prośby, rozkazy, okrzyki, pojedyncze słowa (z wyjątkiem przypadków, gdy są reprezentacją stwierdzeń typu „robi się wieczór”, „robi się zimno” itp.) nie są stwierdzeniami. Prawdziwość i fałszywość stwierdzeń to ich sprawa wartości logiczne.

Wypowiedzi dzielą się na atrybutywne, egzystencjalne i relacyjne.

Atrybutywny nazywane są stwierdzeniami, w których potwierdza się lub zaprzecza właściwość lub stan obiektu.

Egzystencjalny to stwierdzenia potwierdzające lub zaprzeczające faktowi istnienia.

Relacyjny nazywane są instrukcjami wyrażającymi relacje między obiektami.

Instrukcje, podobnie jak ich formy logiczne, mogą być proste lub złożone. Złożony Stwierdzenie można podzielić na proste. Prosty wypowiedzi nie są dzielone na prostsze.

Proste zdanie atrybutywne ma strukturę obejmującą podmiot, orzeczenie i łącznik.

Temat wypowiedź (S) to ta część wypowiedzi, która wyraża przedmiot myśli.

Orzec wypowiedź (P) to część wypowiedzi, która wykazuje znak podmiotu myśli, jego właściwości, stanu, relacji.

Nazywa się podmiot (S) i orzeczenie (P). warunki. Garść wskazuje związek między terminami (S i P).

W zdaniach atrybutywnych często używa się kwantyfikatorów egzystencjalnych i ogólnych.

Stwierdzenia atrybutywne są podzielone według jakości i ilości.

Ze względu na jakość dzieli się je na pozytywne i negatywne. W twierdzący wskazuje, że atrybut możliwy do wyobrażenia w orzeczeniu należy (obecność) do podmiotu wypowiedzi: „S jest P”. Na przykład: „Platon jest filozofem idealistą”. W negatywny wskazuje, że orzeczenie nie należy do podmiotu: „S nie jest P”.

Na podstawie liczby stwierdzeń dzieli się je na pojedyncze, szczegółowe i ogólne. Odnosi się to do całości (liczby, liczby) poszczególnych obiektów tworzących nazwę klasy przedmiotowej.

W pojedynczy W wypowiedziach podmiot składa się z jednego przedmiotu.

Prywatny zdania mają postać: „Niektóre S są (nie są) P.”

W ogólny W wypowiedziach podmiot obejmuje wszystkie przedmioty. Takie stwierdzenia mają postać: „Wszystkie S są (nie są) P.”

Wyciągi klasyfikuje się według jakości i ilości. Istnieją 4 klasy instrukcji:

1) uniwersalny (A) - ogólnie pod względem ilości i twierdząco pod względem jakości („Wszystkie S są P”);

2) prywatna odpowiedź twierdząca (J)- iloraz ilości i twierdzenia jakości („Niektóre S są R");

3) ogólnie negatywny (E) - ogólne pod względem ilości i negatywne pod względem jakości („Żadne S nie jest P”);

4) częściowy negatywny (O)- iloraz ilości i ujemnej jakości („Niektóre S nie są P”).

W każdej klasie zestawień stosunek objętości S i P (terminów) jest inny. W logice nazywa się problem relacji między objętościami S i P problem dystrybucji terminów. Termin jest rozpowszechniany, jeśli jest całkowicie objęty zakresem innego terminu lub jest z niego całkowicie wyłączony.

W klasie A |Wszystkie S to P| podmiot jest całkowicie rozproszony w orzeczeniu, ale orzeczenie nie jest rozdzielone.

Oświadczenie jest formacją bardziej złożoną niż nazwa. Kiedy rozkładamy instrukcje na prostsze części, zawsze otrzymujemy określone nazwy. Powiedzmy, że stwierdzenie „Słońce jest gwiazdą” zawiera nazwy „Słońce” i „gwiazda” jako swoje części.

Oświadczenie- zdanie poprawne gramatycznie, łącznie ze znaczeniem (treścią), które wyraża oraz czy jest prawdziwe czy fałszywe.

Pojęcie zdania jest jednym z początkowych, kluczowych pojęć logiki. W związku z tym nie pozwala na precyzyjną definicję, która miałaby jednakowe zastosowanie w różnych jej sekcjach.

Zdanie uważa się za prawdziwe, jeśli podany w nim opis odpowiada sytuacji rzeczywistej, a za fałszywe, jeśli jej nie odpowiada. „Prawda” i „fałsz” nazywane są „wartościami prawdziwościowymi stwierdzeń”.

Z poszczególnych stwierdzeń można na różne sposoby konstruować nowe stwierdzenia.

Na przykład ze stwierdzeń „Wiatr wieje” i „Pada deszcz” można utworzyć bardziej złożone stwierdzenia „Wiatr wieje i pada deszcz”, „Albo wieje wiatr, albo pada deszcz”, „Jeśli pada deszcz, to wieje wiatr ”, itp. .

Oświadczenie to tzw prosty, chyba że zawiera inne stwierdzenia jako jego części.

Oświadczenie to tzw Jestem skomplikowany, jeśli jest uzyskiwany za pomocą spójników logicznych z innych prostszych instrukcji.

Przyjrzyjmy się najważniejszym sposobom konstruowania złożonych stwierdzeń.

Negatywne stwierdzenie składa się ze stwierdzenia początkowego i zaprzeczenia, wyrażanego zwykle słowami „nie”, „to nieprawda”. Zdanie negatywne jest zatem stwierdzeniem złożonym: zawiera w sobie stwierdzenie odmienne od niego. Np. negacją stwierdzenia „10 jest liczbą parzystą” jest stwierdzenie „10 nie jest liczbą parzystą” (lub: „Nie jest prawdą, że 10 jest liczbą parzystą”).

Zdania oznaczmy literami A, B, C,... Pełne znaczenie pojęcia negacji zdania nadaje warunek: jeśli zdanie A jest prawdziwe, to jego zaprzeczenie jest fałszywe, a jeśli A jest fałszywe, jego zaprzeczenie jest prawdziwe. Na przykład, ponieważ „1 jest dodatnią liczbą całkowitą” jest prawdą, jego negacja „1 nie jest dodatnią liczbą całkowitą” jest fałszywa, a ponieważ „1 jest liczbą pierwszą” jest fałszywa, jego negacja „1 nie jest liczbą pierwszą” jest fałszywa PRAWDA.

Połączenie dwóch instrukcji za pomocą słowa „i” tworzy złożoną instrukcję zwaną spójnik. Instrukcje połączone w ten sposób nazywane są „członkami spójnika”.

Na przykład, jeśli połączymy w ten sposób stwierdzenia „Dzisiaj jest gorąco” i „Wczoraj było zimno”, otrzymamy spójnik „Dzisiaj jest gorąco, a wczoraj było zimno”.

Spójnik jest prawdziwy tylko wtedy, gdy oba zawarte w nim stwierdzenia są prawdziwe; jeśli przynajmniej jeden z jego członków jest fałszywy, to cała koniunkcja jest fałszywa.

W języku potocznym dwa stwierdzenia są połączone spójnikiem „i”, gdy są ze sobą powiązane treścią lub znaczeniem. Natura tego związku nie jest do końca jasna, ale jasne jest, że nie uznalibyśmy spójnika „On chodził w płaszczu, a ja szłam na uniwersytet” za wyrażenie posiadające znaczenie i mogące być prawdziwe lub fałszywe. Choć stwierdzenia „2 to liczba pierwsza” i „Moskwa to duże miasto” są prawdziwe, to jednak nie jesteśmy skłonni uważać za prawdziwe także ich koniunkcji „2 to liczba pierwsza, a Moskwa to duże miasto”, gdyż zdania składowe nie są ze sobą powiązane znaczeniowo. Upraszczając znaczenie spójnika i innych spójników logicznych i rezygnując w tym celu z niejasnego pojęcia „powiązania zdań znaczeniem”, logika poszerza i rozjaśnia znaczenie tych spójników.

Połączenie dwóch instrukcji za pomocą słowa „lub” daje dysjunkcja te stwierdzenia. Instrukcje tworzące alternatywę nazywane są „członkami alternatywy”. .

Słowo „lub” ma w języku potocznym dwa różne znaczenia. Czasami oznacza „jedno lub drugie, albo oba”, a czasem „jedno lub drugie, ale nie oba”. Przykładowo stwierdzenie „W tym sezonie chcę wybrać się na Damę pik lub Aidę” dopuszcza możliwość dwukrotnego wyjścia do opery. Stwierdzenie „Studiuje na Uniwersytecie Moskiewskim lub Jarosławiu” oznacza, że ​​osoba skierowana studiowała tylko na jednej z tych uczelni.

Pierwsze znaczenie „lub” nazywa się niewyłączne. W tym sensie rozłączenie dwóch zdań oznacza, że ​​co najmniej jedno z nich jest prawdziwe, niezależnie od tego, czy oba są prawdziwe, czy nie. Zrobione w drugim ekskluzywny lub ścisłym znaczeniu, rozłączenie dwóch stwierdzeń stwierdza, że ​​jedno ze stwierdzeń jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Rozłączenie niewyłączne jest prawdziwe, gdy przynajmniej jedno z jego zdań składowych jest prawdziwe, a fałszywe tylko wtedy, gdy obaj jego członkowie są fałszywi.

Rozłączenie wyłączne jest prawdziwe, gdy tylko jeden z jego warunków jest prawdziwy, i jest fałszywe, gdy oba jego warunki są prawdziwe lub oba są fałszywe.

W logice i matematyce słowo „lub” jest prawie zawsze używane w znaczeniu niewyłącznym.

Instrukcja warunkowa - złożone stwierdzenie, zwykle formułowane przy użyciu łącznika „jeśli… to…” i stwierdzające, że jedno wydarzenie, stan itp. jest w takim czy innym sensie podstawą lub warunkiem innego.

Na przykład: „Jeśli jest ogień, to jest dym”, „Jeśli liczba jest podzielna przez 9, jest podzielna przez 3” itp.

Instrukcja warunkowa składa się z dwóch prostszych instrukcji. Ten, który jest poprzedzony słowem „jeśli”, nazywa się podstawa, Lub poprzednik(poprzedni) nazywa się stwierdzenie występujące po słowie „że”. konsekwencja, Lub wynikający(późniejszy).

Potwierdzając zdanie warunkowe, mamy przede wszystkim na myśli, że nie może być tak, że to, co zostało powiedziane na jego podstawie, miało miejsce, a to, co zostało powiedziane w konsekwencji, było nieobecne. Innymi słowy, nie może się zdarzyć, że poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

Jeśli chodzi o zdanie warunkowe, zwykle definiuje się pojęcia warunków wystarczających i koniecznych: poprzednik (podstawa) jest warunkiem wystarczającym następnika (konsekwencji), a następnik jest warunkiem koniecznym poprzednika. Przykładowo prawdziwość zdania warunkowego „Jeżeli wybór jest racjonalny, to wybierana jest najlepsza z dostępnych alternatyw” oznacza, że ​​racjonalność jest powodem wystarczającym do wyboru najlepszej z dostępnych opcji i że wybór takiej opcji jest warunek konieczny jej racjonalności.

Typową funkcją instrukcji warunkowej jest uzasadnienie jednej instrukcji poprzez odniesienie do innej instrukcji. Na przykład fakt, że srebro przewodzi prąd elektryczny, można uzasadnić faktem, że jest metalem: „Jeśli srebro jest metalem, to przewodzi prąd elektryczny”.

Związek podstawy z uziemieniem (podstawą i konsekwencją) wyrażony za pomocą zdania warunkowego jest trudny do ogólnego scharakteryzowania i tylko czasami jego natura jest stosunkowo jasna. Powiązaniem tym może być, po pierwsze, związek o logicznej konsekwencji, który zachodzi między przesłankami a wnioskiem prawidłowego wniosku („Jeśli wszystkie żyjące stworzenia wielokomórkowe są śmiertelne, a meduza jest takim stworzeniem, to jest śmiertelna”); po drugie, zgodnie z prawem natury („Jeśli ciało zostanie poddane tarciu, zacznie się nagrzewać”); po trzecie, związek przyczynowy („Jeśli Księżyc znajduje się w węźle swojej orbity w czasie nowiu, następuje zaćmienie słońca”); po czwarte, wzór społeczny, reguła, tradycja („Jeśli zmienia się społeczeństwo, zmienia się także człowiek”, „Jeśli rada jest rozsądna, należy jej przestrzegać”) itp.

Związkowi wyrażonemu zdaniem warunkowym towarzyszy zwykle przekonanie, że konsekwencja „wynika” z pewną koniecznością z rozumu i że istnieje jakieś ogólne prawo, potrafiąc je sformułować, moglibyśmy logicznie wywnioskować konsekwencję z rozumu .

Na przykład stwierdzenie warunkowe „Jeśli bizmut jest metalem, to jest ciągliwy”, zdaje się zakładać ogólne prawo „Wszystkie metale są plastyczne”, czyniąc następnik tego stwierdzenia logiczną konsekwencją jego poprzednika.

Zarówno w języku potocznym, jak i w języku nauki zdanie warunkowe, oprócz funkcji uzasadniającej, może spełniać także szereg innych zadań: sformułować warunek, który nie jest powiązany z żadnym dorozumianym ogólnym prawem lub regułą („Jeśli Chcę, obetnę płaszcz”); nagraj jakąś sekwencję („Jeśli poprzednie lato było suche, to w tym roku będzie deszczowo”); wyrazić niedowierzanie w osobliwej formie („Jeśli rozwiążesz to zadanie, udowodnię ostatnie twierdzenie Fermata”); sprzeciw („Jeśli w ogrodzie rośnie czarny bez, to w Kijowie mieszka wujek”) itp. Liczne i niejednorodne funkcje zdania warunkowego znacznie komplikują jego analizę.

Stosowanie instrukcji warunkowych wiąże się z pewnymi czynnikami psychologicznymi. Zdanie takie formułujemy zwykle tylko wtedy, gdy nie wiemy z całą pewnością, czy jego poprzednik i następnik są prawdziwe, czy fałszywe. W przeciwnym razie jej użycie wydaje się nienaturalne („Jeśli wata jest metalem, to przewodzi prąd elektryczny”).

Zdanie warunkowe znajduje bardzo szerokie zastosowanie we wszystkich obszarach rozumowania. W logice jest to zwykle reprezentowane przez wypowiedź implikacyjna, Lub implikacje. Jednocześnie logika wyjaśnia, systematyzuje i upraszcza użycie „jeśli…, to…” i uwalnia je od wpływu czynników psychologicznych.

Logika jest abstrahowana w szczególności od tego, że charakterystyczny dla zdania warunkowego związek między powodem a konsekwencją, w zależności od kontekstu, można wyrazić nie tylko za pomocą „jeśli… to…”, ale także innymi językami oznacza.

Na przykład: „Ponieważ woda jest cieczą, równomiernie przenosi ciśnienie we wszystkich kierunkach”, „Chociaż plastelina nie jest metalem, jest plastikiem”, „Gdyby drewno było metalem, przewodziłoby prąd elektryczny” itp. Te i podobne Zdania są reprezentowane w języku logiki za pomocą implikacji, chociaż użycie w nich „jeśli… to…” nie byłoby całkowicie naturalne.

Twierdząc implikację, twierdzimy, że nie może się zdarzyć, że ma ona podstawę i nie ma jej konsekwencji. Innymi słowy, implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy jej przyczyna jest prawdziwa, a jej konsekwencja jest fałszywa.

Definicja ta zakłada, podobnie jak poprzednie definicje spójników, że każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe, a wartość logiczna zdania złożonego zależy wyłącznie od wartości logicznych jego zdań składowych i sposobu ich powiązania.

Implikacja jest prawdziwa, gdy zarówno jej przyczyna, jak i konsekwencja są prawdziwe lub fałszywe; jest prawdą, jeśli jej przyczyna jest fałszywa, a konsekwencja prawdziwa. Tylko w czwartym przypadku, gdy przyczyna jest prawdziwa, a konsekwencja fałszywa, implikacja jest fałszywa.

Z tej implikacji nie wynika, że ​​zdania A i B są ze sobą w jakiś sposób powiązane treściowo. Jeśli B jest prawdziwe, stwierdzenie „jeśli A, to B” jest prawdziwe niezależnie od tego, czy A jest prawdziwe, czy fałszywe i czy ma ono związek znaczeniowy z B, czy nie.

Na przykład następujące stwierdzenia są uważane za prawdziwe: „Jeśli na Słońcu jest życie, to dwa razy dwa równa się cztery”, „Jeśli Wołga jest jeziorem, to Tokio jest dużą wioską” itp. Zdanie warunkowe jest również prawdziwe gdy A jest fałszywe, i jednocześnie nie ma znaczenia, czy B jest prawdziwe, czy nie i czy jest powiązane treściowo z A, czy nie. Prawdziwe stwierdzenia obejmują: „Jeśli Słońce jest sześcianem, to Ziemia jest trójkątem”, „Jeśli dwa plus dwa równa się pięć, to Tokio jest małym miastem” itp.

W zwykłym rozumowaniu jest mało prawdopodobne, aby wszystkie te stwierdzenia zostały uznane za znaczące, a tym bardziej za prawdziwe.

Chociaż implikacja jest przydatna do wielu celów, nie jest całkowicie zgodna ze zwykłym rozumieniem połączenia warunkowego. Implikacja obejmuje wiele istotnych cech logicznego zachowania instrukcji warunkowej, ale jednocześnie nie jest jej dostatecznie adekwatnym opisem.

W ciągu ostatniego półwiecza podejmowano energiczne próby zreformowania teorii implikacji. Nie chodziło przy tym o rezygnację z opisywanej koncepcji implikacji, lecz o wprowadzenie wraz z nią innej koncepcji, która uwzględnia nie tylko wartość prawdziwości zdań, ale także ich związek treściowy.

Ściśle powiązany z implikacją równorzędność, czasami nazywane „podwójną implikacją”.

Równorzędność- zdanie złożone „A wtedy i tylko wtedy, gdy B”, utworzone ze zdań A i B i rozkładające się na dwie implikacje: „jeśli A, to B” i „jeśli B, to A”. Na przykład: „Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest równokątny”. Termin „równoważność” oznacza także łącznik „... wtedy i tylko wtedy, gdy…”, za pomocą którego z dwóch zdań powstaje zdanie złożone. Zamiast „jeśli i tylko wtedy” można w tym celu użyć „wtedy i tylko wtedy”, „wtedy i tylko wtedy” itp.

Jeśli spójniki logiczne definiuje się w kategoriach prawdy i fałszu, równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania składowe mają tę samą wartość logiczną, to znaczy gdy oba są prawdziwe i oba fałszywe. Zatem równoważność jest fałszywa, gdy jedno z zawartych w niej stwierdzeń jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Rozważając sposoby tworzenia zdań złożonych z prostych, nie brano pod uwagę wewnętrznej struktury zdań prostych. Uznano je za cząstki nierozkładalne, posiadające tylko jedną właściwość: być prawdziwymi lub fałszywymi. Proste powiedzenia

To nie przypadek, że czasami nazywa się je atomowymi: z nich, podobnie jak z elementarnych cegieł, za pomocą spójników logicznych „i”, „lub” itp. Zbudowane są różne złożone („molekularne”) stwierdzenia.

Teraz powinniśmy zatrzymać się nad kwestią wewnętrznej struktury lub wewnętrznej struktury samych prostych zdań: z jakich konkretnych części się składają i jak te części są ze sobą powiązane.

Należy od razu podkreślić, że proste stwierdzenia można rozłożyć na części składowe na różne sposoby. Wynik dekompozycji zależy od celu, w jakim jest ona przeprowadzana, czyli od koncepcji wnioskowania logicznego (konsekwencji logicznej), w ramach której analizuje się takie twierdzenia.

Szczególne zainteresowanie twierdzeniami kategorycznymi tłumaczy się przede wszystkim faktem, że rozwój logiki jako nauki rozpoczął się od badania ich logicznych powiązań. Co więcej, stwierdzenia tego typu są szeroko stosowane w naszym rozumowaniu. Zwykle nazywa się teorią logicznych powiązań zdań kategorycznych sylogistyka.

Na przykład w stwierdzeniu „Wszystkie dinozaury wymarły” przypisywano dinozaurom atrybut „wymarcie”. W twierdzeniu „Niektóre dinozaury latały” zdolność latania przypisuje się określonym gatunkom dinozaurów. Twierdzenie „Wszystkie komety nie są asteroidami” zaprzecza istnieniu atrybutu „bycia asteroidą” w każdej z komet. Twierdzenie „Niektóre zwierzęta nie są roślinożerne” zaprzecza roślinożerności niektórych zwierząt.

Jeśli pominiemy cechy ilościowe zawarte w stwierdzeniu kategorycznym i wyrażone słowami „wszyscy” i „niektórzy”, otrzymamy dwie wersje takich stwierdzeń: twierdzącą i negatywną. Ich struktura:

„S to P” i „S to nie P”

gdzie litera S oznacza nazwę przedmiotu omawianego w wypowiedzi, a litera P oznacza nazwę cechy tkwiącej lub niewrodzonej temu przedmiocie.

Nazwa przedmiotu, o którym mowa w stwierdzeniu kategorycznym, nazywa się temat, a nazwa jego atrybutu to orzec. Nazywa się podmiot i orzeczenie warunki stwierdzenia kategoryczne i są połączone łącznikami „jest” lub „nie jest” („jest” lub „nie jest” itp.). Na przykład w zdaniu „Słońce jest gwiazdą” terminami są nazwy „Słońce” i „gwiazda” (pierwsze z nich jest podmiotem zdania, drugie jego orzeczeniem), a słowo „jest ” jest łącznikiem.

Proste stwierdzenia, takie jak „S jest (nie jest) P”, nazywane są atrybutywnymi: wiążą się z przypisaniem (przypisaniem) jakiejś właściwości przedmiotowi.

Zdania atrybutywne przeciwstawiane są twierdzeniom o relacjach, w których nawiązywane są relacje między dwoma lub większą liczbą obiektów: „Trzy to mniej niż pięć”, „Kijów jest większy niż Odessa”, „Wiosna jest lepsza niż jesień”, „Paryż położony jest między Moskwą a Nowy Jork” itp. Stwierdzenia dotyczące relacji odgrywają znaczącą rolę w nauce, zwłaszcza w matematyce. Nie dają się one sprowadzić do stwierdzeń kategorycznych, gdyż relacji pomiędzy kilkoma przedmiotami (takimi jak „równy”, „kocha”, „cieplejszy”, „jest pomiędzy” itp.) nie da się sprowadzić do właściwości poszczególnych obiektów. Jedną ze znaczących wad tradycyjnej logiki było to, że uważała, że ​​sądy dotyczące relacji można zredukować do sądów o właściwościach.

W wypowiedzi kategorycznej nie tylko ustanawia się związek między przedmiotem a cechą, ale podaje się także pewną ilościową cechę podmiotu wypowiedzi. W stwierdzeniach takich jak „Wszystkie S są (nie są) P” słowo „wszystkie” oznacza „każdy z obiektów odpowiedniej klasy”. W stwierdzeniach takich jak „Niektóre S są (nie są) P” słowo „niektóre” jest użyte w sensie niewyłącznym i oznacza „niektóre, a może wszystkie”. W sensie wyłącznym słowo „niektóre” oznacza „tylko niektóre” lub „niektóre, ale nie wszystkie”. Różnicę pomiędzy dwoma znaczeniami tego słowa można zilustrować stwierdzeniem: „Niektóre gwiazdy są gwiazdami”. W sensie niewyłącznym oznacza to „Niektóre, a może wszystkie gwiazdy są gwiazdami” i jest to oczywiście prawdą. W sensie wykluczającym stwierdzenie to oznacza „Tylko niektóre gwiazdy są gwiazdami” i jest w sposób oczywisty fałszywe.

W stwierdzeniach kategorycznych potwierdza się lub zaprzecza przynależność pewnych cech do rozpatrywanych obiektów oraz wskazuje, czy mówimy o wszystkich tych przedmiotach, czy o niektórych z nich.

Zatem możliwe są cztery typy twierdzeń kategorycznych:

Każde S jest P – stwierdzenie ogólnie twierdzące,

Niektóre S to P – szczególne stwierdzenie twierdzące,

Każde S nie jest P – stwierdzenie ogólnie negatywne,

Niektóre S nie są P – szczególne stwierdzenie negatywne.

Stwierdzenia kategoryczne można uznać za wynik podstawienia niektórych nazw do następujących wyrażeń ze spacjami (elipsami): „Wszyscy… są…”, „Niektórzy… są…”, „Wszyscy… są…” nie…” i „Niektóre… nie są…”. Każde z tych wyrażeń jest stałą logiczną (operacją logiczną), która pozwala nam uzyskać stwierdzenie z dwóch nazw. Przykładowo, podstawiając zamiast kropek nazwy „latające” i „ptaki” otrzymamy odpowiednio następujące stwierdzenia: „Wszyscy latający to ptaki”, „Niektórzy latający to ptaki”,

Wnioski

„Wszystkie, co latają, nie są ptakami” i „Niektóre latające nie są ptakami”. Pierwsze i trzecie zdanie jest fałszywe, drugie i czwarte są prawdziwe.

Wnioski

„Z jednej kropli wody osoba umiejąca logicznie myśleć może wywnioskować istnienie Oceanu Atlantyckiego lub Wodospadu Niagara, nawet jeśli nigdy ich nie widziała ani nie słyszała… Po paznokciach, po rękach, buty, fałd spodni na kolanach, pogrubienie skóry na kciuku i palcu wskazującym, wyraz twarzy i mankiety koszuli – po takich drobnostkach nietrudno odgadnąć jego zawód. I nie ma wątpliwości, że wszystko to razem wzięte doprowadzi doświadczonego obserwatora do właściwych wniosków.

To cytat z artykułu politycznego najsłynniejszego detektywa i konsultanta literatury światowej, Sherlocka Holmesa. Opierając się na najdrobniejszych szczegółach, budował logicznie bezbłędne ciągi rozumowań i rozwiązywał zawiłe przestępstwa, często nie wychodząc z mieszkania na Baker Street. Holmes zastosował stworzoną przez siebie metodę dedukcyjną, która – jak sądził jego przyjaciel dr Watson – doprowadziła rozwiązywanie problemów kryminalnych na skraj nauki ścisłej.

Oczywiście Holmes nieco przesadził znaczenie dedukcji w kryminalistyce, ale jego rozumowanie na temat metody dedukcyjnej spełniło swoje zadanie. „Odliczenie” od specjalnego terminu znanego tylko nielicznym stało się pojęciem powszechnie używanym, a nawet modnym. Popularyzacja sztuki prawidłowego rozumowania, a przede wszystkim rozumowania dedukcyjnego, jest nie mniejszą zasługą Holmesa niż wszystkie rozwiązane przez niego przestępstwa. Udało mu się „nadać logice uroku snu, przedostającego się przez kryształowy labirynt możliwych wniosków do jednego, błyskotliwego wniosku” (V. Nabokov).

Dedukcja jest szczególnym przypadkiem wnioskowania.

W szerokim znaczeniu wnioskowanie - operacja logiczna, w wyniku której z jednego lub większej liczby przyjętych stwierdzeń (przesłanek) otrzymuje się nowe stwierdzenie - wniosek (wniosek, konsekwencja).

W zależności od tego, czy istnieje związek między przesłankami a wnioskiem logiczna konsekwencja można wyróżnić dwa rodzaje wniosków.

W rdzeniu rozumowanie dedukcyjne leży prawo logiczne, dzięki któremu wniosek wynika z logicznej konieczności z przyjętych przesłanek.

Charakterystyczną cechą takiego wnioskowania jest to, że zawsze prowadzi ono do prawdziwego wniosku na podstawie prawdziwych przesłanek.

W rozumowanie indukcyjne związek między przesłankami a wnioskiem nie opiera się na prawie logiki, ale na pewnych podstawach faktycznych lub psychologicznych, które nie mają charakteru czysto formalnego.

W takim wnioskowaniu wniosek nie wynika logicznie z przesłanek i może zawierać informacje w nich niezawarte. Rzetelność przesłanek nie oznacza zatem wiarygodności twierdzenia wyprowadzonego indukcyjnie z nich. Indukcja daje tylko prawdopodobne, lub wiarygodny, wnioski wymagające dalszej weryfikacji.

Wnioski dedukcyjne obejmują na przykład:

Jeśli pada deszcz, ziemia jest mokra. Pada deszcz.

Ziemia jest mokra.

Jeśli hel jest metalem, to przewodzi prąd elektryczny. Hel nie przewodzi prądu elektrycznego.

Hel nie jest metalem.

Linia oddzielająca przesłanki od konkluzji zastępuje, jak zwykle, słowo „dlatego”.

Przykłady indukcji obejmują rozumowanie:

Argentyna jest republiką; Brazylia jest republiką; Wenezuela jest republiką; Ekwador jest republiką.

Argentyna, Brazylia, Wenezuela, Ekwador to państwa Ameryki Łacińskiej.

Wszystkie państwa Ameryki Łacińskiej są republikami .

Włochy są republiką, Portugalia jest republiką, Finlandia jest republiką, Francja jest republiką.

Włochy, Portugalia, Finlandia, Francja to kraje Europy Zachodniej.

Wszystkie kraje Europy Zachodniej są republikami.

Indukcja nie daje całkowitej gwarancji uzyskania nowej prawdy z już istniejących. Maksymalne, o czym możemy mówić, to pewien stopień prawdopodobieństwa wywnioskowania stwierdzenia. Zatem przesłanki pierwszego i drugiego wniosku indukcyjnego są prawdziwe, ale wniosek pierwszego z nich jest prawdziwy, a drugiego fałszywy. Rzeczywiście, wszystkie państwa Ameryki Łacińskiej są republikami; ale wśród krajów Europy Zachodniej są nie tylko republiki, ale także monarchie, na przykład Anglia, Belgia i Hiszpania.

Wnioski

Szczególnie charakterystycznymi dedukcjami są logiczne przejścia od wiedzy ogólnej do wiedzy szczegółowej, takie jak:

Wszystkie metale są plastyczne. Miedź jest metalem.

Miedź jest plastyczna.

We wszystkich przypadkach, gdy konieczne jest rozważenie jakiegoś zjawiska w oparciu o znaną już ogólną regułę i wyciągnięcie niezbędnych wniosków na temat tych zjawisk, wnioski wyciągamy w formie dedukcji. Typową indukcją jest rozumowanie prowadzące od wiedzy o niektórych przedmiotach (wiedza prywatna) do wiedzy o wszystkich przedmiotach określonej klasy (wiedza ogólna). Zawsze istnieje ryzyko, że uogólnienie okaże się pochopne i bezpodstawne („Napoleon jest dowódcą; Suworow jest dowódcą; to znaczy, że każdy człowiek jest dowódcą”).

Jednocześnie nie można utożsamiać dedukcji z przejściem od ogółu do szczegółu, a indukcji z przejściem od szczegółu do ogółu.

W argumentacji: „Szekspir pisał sonety; dlatego nie jest prawdą, że Szekspir nie pisał sonetów”. Jest to dedukcja, ale nie ma przejścia od ogółu do szczegółu. Rozumowanie „Jeśli aluminium jest tworzywem sztucznym lub glina jest tworzywem sztucznym, to aluminium jest tworzywem sztucznym” jest, jak się powszechnie uważa, indukcyjne, ale nie ma w nim przejścia od szczegółu do ogółu.

Dedukcja to wyprowadzenie wniosków równie wiarygodnych jak przyjęte przesłanki, indukcja to wyprowadzenie wniosków prawdopodobnych (wiarygodnych). Wnioski indukcyjne obejmują zarówno przejścia od szczegółu do ogółu, jak i analogię, metody ustalania związków przyczynowych, potwierdzanie konsekwencji, celowe uzasadnienie itp.

Szczególne zainteresowanie rozumowaniem dedukcyjnym jest zrozumiałe. Umożliwiają wyciągnięcie nowych prawd z istniejącej wiedzy, a ponadto przy pomocy czystego rozumowania, bez uciekania się do doświadczenia, intuicji, zdrowego rozsądku itp. Dedukcja daje stuprocentową gwarancję sukcesu, a nie tylko jego lub inne – być może wysokie – prawdopodobieństwo prawdziwego wniosku. Wychodząc od prawdziwych przesłanek i rozumując dedukcyjnie, we wszystkich przypadkach mamy pewność uzyskania rzetelnej wiedzy.

Podkreślając znaczenie dedukcji w procesie rozwijania i uzasadniania wiedzy, nie należy jednak oddzielać jej od indukcji i jej nie doceniać. Prawie wszystkie przepisy ogólne, w tym prawa naukowe, są wynikiem uogólnienia indukcyjnego. W tym sensie indukcja jest podstawą naszej wiedzy. Samo w sobie nie gwarantuje jego prawdziwości i aktualności, ale rodzi założenia, łączy je z doświadczeniem i tym samym nadaje im pewną wiarygodność, mniej lub bardziej wysoki stopień prawdopodobieństwa. Doświadczenie jest źródłem i fundamentem ludzkiej wiedzy. Indukcja, wychodząc od tego, co ujęte w doświadczeniu, jest niezbędnym środkiem jego uogólnienia i usystematyzowania.

PRAWA LOGICZNE

Rozdział

Pojęcie prawa logicznego

Prawa logiczne stanowią podstawę ludzkiego myślenia. Określają, kiedy inne stwierdzenia logicznie wynikają z niektórych zdań i reprezentują tę niewidzialną żelazną ramę, na której opiera się spójne rozumowanie i bez której zamienia się ona w chaotyczną, niespójną mowę. Bez prawa logicznego nie można zrozumieć, czym jest konsekwencja logiczna, a tym samym czym jest dowód.

Prawidłowe lub, jak zwykle mówią, logiczne myślenie to myślenie według praw logiki, według tych abstrakcyjnych wzorców, które są przez nie ustalone. To wyjaśnia znaczenie tych praw.

Jednorodne prawa logiczne łączą się w systemy logiczne, które zwykle nazywane są także „logikami”. Każdy z nich opisuje strukturę logiczną pewnego fragmentu lub typu naszego rozumowania.

Na przykład prawa opisujące logiczne powiązania zdań, niezależne od ich wewnętrznej struktury, łączą się w system zwany „logiką zdań”. Prawa logiczne określające powiązania zdań kategorycznych tworzą system logiczny zwany „logiką zdań kategorycznych” lub „sylogistyką” itp.

Prawa logiczne są obiektywne i niezależne od woli i świadomości człowieka. Nie są one wynikiem porozumienia między ludźmi, jakiejś specjalnie opracowanej lub spontanicznie utworzonej konwencji. Nie są one wytworem jakiegoś „ducha świata”, jak kiedyś sądził Platon. Władza praw logiki nad człowiekiem, ich obowiązkowa siła dla prawidłowego myślenia, wynika z tego, że stanowią one odbicie w ludzkim myśleniu o świecie rzeczywistym i wielowiekowym doświadczeniu jego poznania i przekształcania przez człowieka.

Podobnie jak wszystkie inne prawa naukowe, prawa logiczne są uniwersalne i konieczne. Działają zawsze i wszędzie, rozciągając się jednakowo na wszystkich ludzi i wszystkie epoki. Przedstawiciele

Pojęcie prawa logicznego

różne narody i różne kultury, mężczyźni i kobiety, starożytni Egipcjanie i współcześni Polinezyjczycy z punktu widzenia logiki ich rozumowania nie różnią się od siebie.

Konieczność zawarta w prawach logicznych jest w pewnym sensie jeszcze pilniejsza i niezmienna niż konieczność naturalna czy fizyczna. Nie sposób sobie nawet wyobrazić, że logicznie konieczne mogłoby być inaczej. Jeśli coś jest sprzeczne z prawami natury i jest fizycznie niemożliwe, to żaden inżynier, niezależnie od tego, jak bardzo byłby utalentowany, nie będzie w stanie tego wdrożyć. Jeśli jednak coś przeczy prawom logiki i jest logicznie niemożliwe, to nie tylko inżynier – nawet istota wszechmocna, gdyby pojawiła się nagle, nie byłaby w stanie tego ożywić.

Jak stwierdzono wcześniej, w prawidłowym rozumowaniu wniosek wynika z przesłanek z koniecznością logiczną, a ogólny schemat takiego rozumowania jest prawem logicznym.

Liczba schematów prawidłowego rozumowania (praw logicznych) jest nieskończona. Wiele z tych schematów jest nam znanych z praktyki rozumowania. Stosujemy je intuicyjnie, nie zdając sobie sprawy, że każdy wniosek, który wyciągamy poprawnie, opiera się na tym czy innym prawie logicznym.

Przed wprowadzeniem ogólnej koncepcji prawa logicznego podajemy kilka przykładów schematów rozumowania reprezentujących prawa logiczne. Zamiast zmiennych A, B, C, ..., zwykle używanych do określenia zdań, będziemy używać, jak to miało miejsce w starożytności, słów „pierwszy” i „drugi”, zastępując zmienne.

„Jeśli jest pierwsze, to jest i drugie; jest pierwszy; dlatego jest drugi.” Ten schemat rozumowania pozwala nam przejść od stwierdzenia zdania warunkowego („Jeśli jest pierwsze, to jest drugie”) i stwierdzenia jego podstawy („Istnieje pierwsze”) do stwierdzenia konsekwencji ( „Jest druga”). W szczególności zgodnie z tym schematem rozumowanie przebiega następująco: „Jeśli lód zostanie podgrzany, topi się; lód jest podgrzewany; dlatego się topi.”

Inny schemat prawidłowego rozumowania: „Ma miejsce albo pierwsze, albo drugie; jest pierwszy; to znaczy, że nie ma drugiego.” Dzięki temu schematowi, od dwóch wzajemnie wykluczających się alternatyw i ustalenia, która z nich ma miejsce, następuje przejście do negacji drugiej alternatywy. Na przykład: „Albo Dostojewski urodził się w Moskwie, albo urodził się w Petersburgu. Dostojewski urodził się w Moskwie. Oznacza to, że nie jest prawdą, że urodził się w Petersburgu.” W amerykańskim westernie „Dobry, zły i brzydki” jeden zły bohater mówi do drugiego: „Pamiętajcie, świat jest podzielony na dwie części: tych, którzy trzymają rewolwer i tych, którzy kopią. Mam teraz rewolwer, więc weź łopatę. To rozumowanie również opiera się na wskazanym schemacie.

I ostatni wstępny przykład prawa logicznego lub ogólnego schematu prawidłowego rozumowania: „To pierwsze lub drugie. Ale to pierwsze nie. Oznacza to, że chodzi o to drugie.” Zamiast wyrażenia „pierwszy” zastąpimy stwierdzeniem „Jest dzień”, a zamiast „drugiego” stwierdzeniem „Jest noc”. Z abstrakcyjnego diagramu otrzymujemy rozumowanie: „Czy jest dzień, czy jest noc. Ale to nieprawda, że ​​jest dzień.

Więc jest już noc.

Oto kilka prostych diagramów prawidłowego rozumowania ilustrujących koncepcję prawa logicznego. W naszych głowach pojawiają się setki podobnych schematów, choć nie jesteśmy tego świadomi. Na ich podstawie rozumujemy logicznie, czyli poprawnie.

Prawo logiki (prawo logiczne)- wyrażenie, które zamiast znaczących części zawiera tylko stałe i zmienne logiczne i jest prawdziwe w każdej dziedzinie rozumowania.

Weźmy jako przykład wyrażenie składające się wyłącznie ze zmiennych i stałych logicznych, wyrażenie: „Jeśli A, to B; oznacza, że ​​jeśli nie A, to nie B.” Stałymi logicznymi są tutaj spójniki zdaniowe „jeśli, to” i „nie”. Zmienne A i B reprezentują pewne stwierdzenia. Załóżmy, że A to stwierdzenie „Istnieje przyczyna”, a B to stwierdzenie „Istnieje skutek”. Mając tę ​​konkretną treść, otrzymujemy rozumowanie: „Jeśli jest przyczyna, to jest skutek; Oznacza to, że jeśli nie ma skutku, to nie ma przyczyny.” Załóżmy dalej, że zamiast A zostanie podstawione stwierdzenie „Liczba jest podzielna przez sześć”, a zamiast B zdanie „Liczba jest podzielna przez trzy”. Z tej konkretnej treści, na podstawie omawianego diagramu, otrzymujemy rozumowanie: „Jeśli liczba jest podzielna przez sześć, jest podzielna przez trzy. Zatem jeśli liczba nie jest podzielna przez trzy, nie jest podzielna przez sześć.” Niezależnie od tego, jakie inne stwierdzenia zastąpią zmienne A i B, jeśli te stwierdzenia są prawdziwe, wówczas wniosek z nich wyciągnięty będzie prawdziwy.

W logice zwykle zastrzega się, że obszar obiektów, wokół których toczy się rozumowanie i o których mówią twierdzenia wprowadzone do prawa logicznego, nie może być pusty: musi zawierać co najmniej jeden przedmiot. W przeciwnym razie rozumowanie według schematu, który jest prawem logiki, może prowadzić od prawdziwych przesłanek do fałszywego wniosku.

Na przykład z prawdziwych przesłanek „Wszystkie słonie są zwierzętami” i „Wszystkie słonie mają trąby”, zgodnie z prawem logiki, wynika prawdziwy wniosek „Niektóre zwierzęta mają trąby”. Jeżeli jednak dziedzina rozpatrywanych obiektów jest pusta, przestrzeganie praw logiki nie gwarantuje prawdziwego wniosku przy prawdziwych przesłankach. Będziemy rozumować według tego samego schematu, ale tym razem o górach złota. Wyciągnijmy wniosek: „Wszystkie złote góry są górami; wszystkie złote góry są złote; dlatego niektóre góry są złote”. Obie przesłanki tego wniosku są prawdziwe. Ale jego wniosek „Niektóre góry są złote” jest wyraźnie fałszywy: nie ma złotej góry.

Pojęcie prawa logicznego

Zatem rozumowanie oparte na prawach logiki charakteryzuje się dwiema cechami:

Takie rozumowanie zawsze prowadzi od prawdziwych przesłanek do prawdziwego wniosku;

Konsekwencja wynika z przesłanek z logiczną koniecznością.

Prawo logiczne jest również nazywane tautologia logiczna.

Tautologia logiczna- wyrażenie, które pozostaje prawdziwe, niezależnie od tego, o jakich przedmiotach się dyskutuje, lub wyrażenie „zawsze prawdziwe”.

Na przykład wszystkie wyniki podstawień do logicznego prawa podwójnej negacji „Jeśli A, to nie jest prawdą, że nie A” są zdaniami prawdziwymi: „Jeśli sadza jest czarna, to nie jest prawdą, że nie jest czarna”, „Jeśli ktoś drży ze strachu, to nie jest prawdą, że nie drży ze strachu” itp.

Jak już wspomniano, pojęcie prawa logicznego jest bezpośrednio związane z pojęciem implikacji logicznej: wniosek logicznie wynika z przyjętych przesłanek, jeśli jest z nimi powiązany prawem logicznym. Na przykład z przesłanek „Jeśli A, to B” i „Jeśli B, to C” logicznie wynika wniosek „Jeśli A, to C”, ponieważ wyrażenie „Jeśli A, to B, a jeśli B, to C, to jeśli A , to C” reprezentuje prawo logiczne, a mianowicie prawo przechodniości(przechodniość). Powiedzmy, że z przesłanek „Jeśli ktoś jest ojcem, to jest rodzicem” i „Jeśli ktoś jest rodzicem, to jest ojcem lub matką”, zgodnie z tym prawem wynika następujący wniosek: „Jeśli jeśli ktoś jest ojcem, to jest ojcem lub matką”.

Sekwencja logiczna- związek między przesłankami a wnioskiem, którego ogólny schemat jest prawem logicznym.

Ponieważ związek implikacji logicznej opiera się na prawie logicznym, charakteryzuje się on dwiema cechami:

Logiczna konsekwencja prowadzi od prawdziwych przesłanek jedynie do prawdziwego wniosku;

Wniosek wynikający z przesłanek wynika z nich z logiczną koniecznością.

Nie wszystkie prawa logiczne bezpośrednio definiują pojęcie konsekwencji logicznej. Istnieją prawa, które opisują inne powiązania logiczne: „i”, „lub”, „nieprawda, że” itp. i są jedynie pośrednio związane z relacją implikacji logicznej. Jest to w szczególności prawo sprzeczności omówione poniżej: „Nie jest prawdą, że arbitralnie przyjęte stwierdzenie i